解析(1)设金属框在进入第一段匀强磁场区域前的速度为v0，金属框在进入第一段匀强
磁场区域的过程中，线框中产生平均感应电动势为E＝BL2
t
，
则平均电流为I＝E
r
＝BL2
rt
，故q＝I t＝BL2
r.
设线框经过每一段磁场区域的过程中安培力冲量大小为I，
则I＝B I Lt0＝2B2L3
r
，
整个过程累计得到I 总＝2nB 2L 3r
. (2)金属框穿过第(k －1)个磁场区域后，由动量定理得到－(k －1)2B 2L 3r
＝m v k －1－m v 0， 金属框完全进入第k 个磁场区域的过程中，由动量定理得到－B 2L 3r
＝m v ′k －m v k －1， n 2B 2L 3r
＝m v 0， 解得v ′k ＝(2n －2k ＋1)B 2L 3mr
. 答案 (1)BL 2r 2nB 2L 3r (2)(2n －2k ＋1)B 2L 3mr
2．(2019·山西康杰中学模拟)如图所示，两条“∧”形足够长的光滑金属导轨PME 和QNF 平行放置，两导轨间距L ＝1 m ，导轨两侧均与水平面夹角为α＝37°，甲、乙两导体棒分别放于MN 两边导轨上，且与导轨垂直并接触良好．两导体棒的质量均为m ＝0.1 kg ，电阻也均为R ＝1 Ω，导轨电阻不计，MN 两边分别存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为B ＝1 T ．设甲、乙两导体棒只在MN 两边各自的导轨上运动，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s 2.
(1)将乙导体棒固定，甲导体棒由静止释放，问甲导体棒的最大速度为多少？
(2)若导体棒甲、乙同时由静止释放，问两导体棒的最大速度为多少？
(3)若仅把乙导体棒的质量改为m ′＝0.05 kg ，电阻不变，在乙导体棒由静止释放的同时，让甲导体棒以初速度v 0＝0.8 m/s 沿导轨向下运动，问在时间t ＝1 s 内电路中产生的电能为多少？
解析 (1)将乙导体棒固定，甲导体棒静止释放，则电路中产生感应电动势E 1＝BL v ，
感应电流I1＝E1
2R
，甲导体棒受安培力F1＝BI1L，
甲导体棒先做加速度减小的变加速运动，达最大速度后做匀速运动，此时mg sin α＝F1，联立并代入数据解得甲导体棒最大速度v m1＝1.2 m/s.
(2)甲、乙两导体棒同时由静止释放，则电路中产生感应电动势E2＝2BL v，
感应电流I2＝E2
2R
，甲、乙两导体棒均受安培力F2＝BI2L，
最终均做匀速运动，此时甲(或乙)导体棒受力mg sin α＝F2，
联立并代入数据解得两导体棒最大速度均为v m2＝0.6 m/s.
(3)乙导体棒静止释放，甲导体棒以初速度v0下滑瞬间，则电路中产生感应电动势E3＝BL v0，
感应电流I3＝E3
2R
，甲、乙两导体棒均受安培力F3＝BI3L，
对于甲导体棒，根据牛顿第二定律得mg sin 37°－F3＝ma，
对于乙导体棒，根据牛顿第二定律得F3－m′g sin 37°＝m′a′，
代入数据联立解a＝a′＝2 m/s2，
甲导体棒沿导轨向下，乙导体棒沿导轨向上，均做匀加速运动，
在时间t＝1 s内，甲导体棒位移s甲＝v0t＋1
2at
2，乙导体棒位移s乙＝12a′t2，甲导体棒速度v甲＝v0＋at，乙导体棒速度v乙＝a′t，
据能量的转化和守恒，电路中产生电能
E＝mgs甲sin 37°－m′gs乙sin 37°＋1
2m v
2
－
1
2m v
2甲－12m′v2乙，
联立并代入数据解得E＝0.32 J.
答案(1)1.2 m/s(2)0.6 m/s(3)0.32 J
3．(2020·江西南昌开学考试)如图所示，质量为2m的重物与一质量为m的线框abcd用一根绝缘细线连接起来，挂在两个高度相同的定滑轮上．已知线框电阻为R，ab＝L，bc＝h，水平方向匀强磁场的磁感应强度为B，磁场上下边界的距离为h，初始时刻，磁场的下边缘与线框上边缘的高度差为2h，将重物从静止开始释放，已知线框穿出前已经做匀速运动，滑轮质量、摩擦阻力均不计，重力加速度为g.求：
(1)线框进入磁场时的速度大小；
(2)线框穿出磁场时的速度大小；
(3)线框通过磁场的过程中产生的热量．
解析 (1)线框进图磁场前，线框和重物组成的系统机械能守恒，则有2mg ×2h －mg ×2h ＝12
(2m ＋m )v 21， 解得v 1＝23
3gh . (2)线框穿出磁场时，已经做匀速直线运动，则线框和重物都处于平衡状态，由平衡条件可得
T ＝2mg ，T ＝mg ＋F ，F ＝BIL ，
线框在磁场中运动时，由电磁感应定律和欧姆定律可得
E ＝BL v 2，E ＝IR ，
联立上述各式解得v 2＝ mgR B 2L 2
. (3)从释放线框到线框完全离开磁场的过程中，对重物和线框的整个系统，根据能量守恒有
2mg ×4h －mg ×4h ＝ 12
(2m ＋m )v 22＋Q ， 解得Q ＝4mgh －3m 3g 2R 22B 4L 4
. 答案 (1)233gh (2)mgR B 2L 2 (3)4mgh －3m 3g 2R 22B 4L 4
