初中二年级下学期数学竞赛辅导资料_中位线

初中数学竞赛几何中常用的24个必备定理1. 同位角定理：同位角互相相等或互补。

2. 对顶角定理：对顶角相等。

3. 同旁内角定理：同旁内角互补。

4. 外角定理：与一个多边形任意一内角相对的外角相等。

5. 内角和定理：n边形的内角和为180度×(n-2)。

6. 相关角定理：相邻角互补，对顶角互相相等。

7. 垂直直角定理：垂线与直线相交，形成直角。

8. 垂线定理：直线上任意一点向另一直线作垂线，垂线所在直线与原直线垂直。

9. 三角形内角和定理：三角形内角和为180度。

10. 等腰三角形定理：等腰三角形的底角相等。

11. 等边三角形定理：等边三角形的三个内角均为60度。

12. 直角三角形性质：直角三角形斜边平方等于其他两条边平方和。

13. 等角定理：两角相等的两个三角形全等。

14. 外接圆定理：三角形三个顶点到外接圆圆心的距离相等。

15. 中线定理：连接三角形两边的中线相等。

16. 中位线定理：连接三角形两边中点的线段平分第三边。

17. 高线定理：连接三角形顶点与对边垂直的线段相交于三角形内心。

18. 海伦公式：用三角形三条边的长度求其面积：S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2。

19. 正多边形内角定理：正n边形的内角和为(180度×(n-2))/n。

20. 球面三角形定理：球面三角形三个顶点到球心的距离相等。

三条边为大圆弧。

21. 圆周角定理：圆周角等于对应的弧所夹的圆心角。

22. 切线定理：切线相切于圆，与该切点相切的直线垂直于切线。

23. 弦长定理：在同一圆上，两条弦所夹的圆心角相等，则它们的弦长相等。

24. 弧长定理：同一圆上，两个相等的圆心角所对应的弧长相等。

中位线一、知识点讲解1、三角形中位线及性质（1）定义：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。

（2）性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

证明：2、三角形的重心及其性质。

（1）定义：三角形三边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心。

（2）性质：三角形重心与一边中点的连线的长是对应中线长的31 证明：二、典例分析题型一、运用三角形中位线的性质进行计算例1 如图，在□ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为AD 上一点，EF 交AC 于点G ，AF =4cm ，DF =8cm ，AG =6cm ，则AC 的长为（ ）A 、28cmB 、20cmC 、24cmD 、30cm变式练习：1、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论不正确的是（ ） A 、BC =2DEB 、△ADE ∽△ABCC 、ACABAE AD D 、S △ABC =3S △ADE 2、如图，已知点E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB 边的中点，BE 、CF 相交于点G ，FG =2，则CG 的长为（ ） A 、4 B 、4.5 C 、5 D 、6第1题 第2题 第3题 3、如图，在△ABC 中，点E 、D 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，AB =6，AC =4，则四边形AEDF 的周长是（ ） A 、10 B 、20 C 、30 D 、404、如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点的得三角形的周长可能是（ ） A 、5.5 B 、5 C 、4.5 D 、45、（易错）在等腰直角三角形ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，D 、E 分别是AB 、BC 的中点，求DE 的长。

题型二：三角形中位线的性质的应用例2 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 是BC 延长线上的一点，且BC CF 21。

知识点：三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

注意：重要辅助线⑴中点配中点构成中位线；⑵加倍中线；⑶添加辅助平行线证明方法⑴直接证法：综合法、分析法⑵间接证法-反证法：①反设②归谬③结论⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法⑸证线段和差关系：延结法、截余法⑹证面积关系：将面积表示出来视频教学：练习：1．顺次连结矩形四边的中点所得的四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.以上都不对2．如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结四边形中点所得的四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.以上都不对3．如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形的对角线（）A.互相平分B.互相垂直C.相等D.相等且互相平分4．顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（）.A．等腰梯形 B．矩形 C．平行四边形 D．菱形或对角线互相垂直的四边形5．已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是（）.A．3cm B．26cm C．24cm D．65cm6．已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8cm，则原三角形的周长为 cm7.如图，四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM、CD分别交于点E、F。

1.中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)初中竞赛需要，重要2.托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC初中竞赛需要，重要3.梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1初中竞赛需要，重要4.梅涅劳斯定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要5.梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R 三点共线。

不用掌握6.梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线不用掌握7.、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.初中竞赛需要，重要8.塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M不用掌握9.塞瓦定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要10.塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮11.塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。

不用掌握12.西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)初中竞赛的常用定理13.西摩松定理的逆定理：(略)初中竞赛的常用定理14.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角15.圆的外切四边形的两组对边的和相等16.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 第一角元形式的梅涅劳斯定理 且因为AF=BF 所以AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点 此外，可用定比分点来定义塞瓦定理： 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。

精锐教育学科教师辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 学科教师：季昌林 教学目标中位线教学内容一、知识点：1、三角形的中位线：⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 区别三角形的中位线与三角形的中线。

⑵三角形中位线的性质三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．2、梯形的中位线：⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意：中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。

⑵梯形中位线的性质梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

二、举例：例1：如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、、DA 的中点。

四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？例2：如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、DO 的中点，四边形EFGH 是矩形吗？为什么？例3：已知：如图，AD 是△ABC 的中线，E 、G 分别是AB 、AC 的中点，GF ∥AD 交ED 的延长线于点F 。

FEDC BAHG FE o DC B A⑴猜想：EF 与AC 有怎样的关系？ ⑵试证明你的猜想。

例4：已知在△ABC 中，∠B=2∠C，AD⊥BC 于D ，M 为BC 的中点。

试说明DM=21AB例5：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 为中位线，EF=18，AC ⊥AB ，∠B=60°，求梯形ABCD 的周长及面积。

例6、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，E 是梯形外一点，且AE=BE ，F 是CD 的中点。

试说明：EF ∥BC 。

例7：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是两条对角线BD 、AC 的中点，试说明：MN ∥BC 且MN ＝21(BC －AD)。

例8：已知：如图，四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点O ，点P 、Q 、R 分别为AO 、BO 、CD 的中点，且∠AOD ＝60°。

初中中位线知识点总结一、中位线的概念及作用1. 中位线是一条线段，它将一个几何图形分成两个面积相等的部分。

2. 在三角形和四边形中，中位线与其它中线交点的位置可以用于解决一些几何问题。

3. 中位线可用于解决实际问题，如计算房屋地面面积、农田面积等。

二、三角形中的中位线1. 三角形中位线定义：通过三角形的一个顶点，作对边中点连线。

2. 中位线的性质：三角形中位线相等，即三角形中的三条中位线相等。

这是因为三角形的三边相等。

3. 中位线的作用：在三角形中，中位线可以用来证明三角形的面积、证明三角形的角平分线等。

三、四边形中的中位线1. 四边形中位线定义：四边形的对角线中点连线。

2. 中位线的性质：四边形中的中位线相等，即四边形的两对对角线中的中位线相等。

3. 中位线的作用：中位线可以用来证明四边形的面积、证明四边形的性质。

四、中位线的应用1. 实际问题：中位线可用于计算几何图形的面积，如计算房屋地面面积、农田面积等。

2. 定理证明：中位线可用于证明几何定理，如证明三角形的角平分线，证明四边形的面积等。

3. 建筑设计：在建筑设计中，中位线可用于布局、规划和设计。

五、中位线的计算1. 中位线长度的计算：中位线的长度等于对角线中点间的距离。

2. 中位线的数学公式：中位线的长度等于两个对角线中点的距离的一半。

3. 计算实例：根据给定的对角线长度，可以计算四边形中位线的长度。

六、中位线与中心线的区别1. 中位线是一条几何图形中的线段，它具有等长性质。

2. 中心线是几何图形的中心轴线，它与图形的对称轴或对称中心有关。

七、中位线与平行四边形1. 中位线是平行四边形的对角线的中点连线，它将平行四边形分成两个面积相等的部分。

2. 中位线的性质：平行四边形的两条对角线中的中位线相等，即平行四边形中的两条中位线相等。

八、中位线与菱形1. 中位线是菱形的对角线的中点连线，它将菱形分成两个面积相等的部分。

2. 中位线的性质：菱形的两条对角线中的中位线相等，即菱形中的两条中位线相等。

1•中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P,则有AB2+AC2=2（AP2+BP2）初中竞赛需要，重要2. 托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+A× BC=AC 初中竞赛需要，重要3. 梅涅劳斯定理：设△ ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPP× CQQA ARRB=I 初中竞赛需要，重要4. 梅涅劳斯定理的逆定理：（略）初中竞赛需要，重要5. 梅涅劳斯定理的应用定理1:设厶ABC的∠ A的外角平分线交边CA于Q、/ C的平分线交边AB于R,、/ B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。

不用掌握6. 梅涅劳斯定理的应用定理2 :过任意厶ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R,贝U P、Q、R三点共线不用掌握7. 、塞瓦定理：设厶ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R ,则BPP× CQQA ARRB（）=1.初中竞赛需要，重要8. 塞瓦定理的应用定理：设平行于△ ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E,又设BE和CD交于S,则AS 一定过边BC的中心M不用掌握9. 塞瓦定理的逆定理：（略）初中竞赛需要，重要10. 塞瓦定理的逆定理的应用定理1 :三角形的三条中线交于一点这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮11. 塞瓦定理的逆定理的应用定理2:设△ ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T,贝U AR、BS、CT交于一点。

不用掌握12. 西摩松定理：从厶ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R ,则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线）初中竞赛的常用定理13. 西摩松定理的逆定理：（略）初中竞赛的常用定理14. 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角15. 圆的外切四边形的两组对边的和相等16. 弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角17. 推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等18. 相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等19. 推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项20. 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项21. 推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等斯特瓦特定理有三角形ABC，D为角A平分线与BC边的交点，则有以下定理：(2) DC + AC (2) BD —AD (2) BC=BC BD ∙ DC托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)•已知：圆内接四边形ABCD ,求证：AC ∙ BD = AB ∙CD + AD ∙ BC •证明：如图1 ,过C作CP交BD于P ,使∠ 1= ∠ 2 ,又∠ 3= ∠ 4 ,丄 ACDBCP .得AC : BC=AD : BP , AC∙ BP=AD BC ①。

初二数学专项三角形的中位线与性质初二数学专项：三角形的中位线与性质在初二数学的学习中，三角形的中位线及其性质是一个重要的知识点。

它不仅在解决几何问题时经常用到，而且对于培养我们的逻辑思维和空间想象能力也具有重要意义。

首先，让我们来了解一下什么是三角形的中位线。

三角形的中位线，是连接三角形两边中点的线段。

一个三角形有三条中位线。

那么，三角形中位线具有哪些性质呢？性质一：三角形的中位线平行于第三边。

这意味着中位线与第三边没有交点，并且它们的方向相同。

性质二：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半。

为了更好地理解这些性质，我们来看几个具体的例子。

假设我们有一个三角形 ABC，D、E 分别是 AB、AC 的中点，那么DE 就是三角形 ABC 的一条中位线。

由于中位线 DE 平行于 BC，并且DE 的长度是 BC 长度的一半。

如果我们知道 BC 的长度为 10 厘米，那么根据中位线的性质，DE的长度就是 5 厘米。

再比如，在一个三角形中，如果中位线的长度为 6 厘米，那么与之平行的第三边的长度就是 12 厘米。

那么，这些性质在实际解题中有什么用呢？用途一：证明两直线平行。

当我们需要证明两条直线平行，而又难以直接证明时，如果能够找到连接对应边中点的中位线，利用中位线平行于第三边的性质，就可以轻松得出结论。

用途二：计算线段长度。

已知中位线的长度或者第三边的长度，就可以通过中位线长度等于第三边长度的一半这一性质，求出另一边的长度。

用途三：构造平行四边形。

通过连接三角形两边中点得到中位线，再利用中位线平行且等于第三边一半的性质，可以构造出平行四边形，从而解决相关问题。

接下来，我们通过一些具体的题目来进一步掌握三角形中位线的应用。

例 1：在三角形 ABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点，若三角形 ABC 的周长为 20 厘米，求三角形 DEF 的周长。

因为 D、E、F 分别是三角形三边的中点，所以 DE、EF、DF 是三角形 ABC 的中位线。

中位线定理三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段中位线定理：1、三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半2、梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半例1、△ABC 的三条边AB 、AC 、BC 的中点分别是点D 、E 、F ，且DE=4，EF=3，DF=6，则△ABC 的周长为（ ）A 、22B 、26C 、20D 、24例2、如图，DE 是△ABC 的中位线，下面的结论中错误的是（ ）A 、AB DE 21 B 、AB//DEC 、BC=2DED 、AB=2DE例3、如图，在四边形ABCD 中，∠C=60°，AD//BC ，AD=DC=8，E 、F 分别为AB 和DC 的中点，则EF 的长为___________1、如图，已知△ADE周长为4，且DE是△ABC的中位线，则△ABC的周长为（）A、6B、8C、12D、162、在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（）A、10B、20C、30D、403、如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，则菱形ABCD的周长是（）A、4B、8C、12D、162cm，则这个等边三角形的中位线为（）4、等边三角形的一边上的高为3A、3cmB、2.5cmC、2cmD、4cm5、若三角形的三边分别是6cm、8cm、10cm，则分别连接三边中点所组成的三角形的周长是（）A、24cmB、48cmC、12cmD、无法确定6、如图，△ABC 的周长为a ，以各边中点为顶点组成一个新三角形，以新三角形各边中点为顶点又组成一个三角形，则这个小三角形的周长等于（ ）A 、2aB 、3aC 、4a D 、6a7、如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处。

若∠CDE=48°，则∠APD 等于（ ）A 、42°B 、48°C 、52°D 、58°8、如图，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，若BC=6，则DF 的长是（ ）A 、2B 、3C 、25D 、49、如图，△ABC 中，AB=AC=8，BC=6，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为（ ）A 、10B 、11C 、12D 、1310、如图，△ABC中，D、E、F、G分别是AB、AC、AD、AE的中点，若BC=8，则DE+FG等于（）A、4.5B、6C、7D、811、如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A、7B、9C、10D、1112、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段AO，BO的中点。