2015年高中数学3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)课时跟踪检测新人教A版必修4

第2课时两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式[提示]不是对任意角α，β均成立，必须使正切有意义，两角和的正切公式使用条件为α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)，两角差的正切公式使用条件为α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)．1．已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )A．711 B．－711C.713D．－713B[tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝4＋31－4×3＝－711.]2．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )A．1 B．2 C．－2 D．不确定B[∵A＋B＝45°，∴(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋tan A＋tan B＋tan A tan B＝1＋tan(A＋B)(1－tan A tan B)＋tan A tan B＝1＋tan 45°(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝2.]3．已知tan α＝2，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ ． －3 [tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.] 4.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝ ．3 [原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝3.]【例1】 (1)已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，则tan(β－2α)＝( )A ．－34B ．－112C ．－98D ．98(2)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，则tan∠BAC ＝ ．思路点拨：(1)构造角2α－β＝α＋(α－β)．(2)先求∠CAD ，∠BAD 的正切值，再依据tan∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD )求值． (1)B (2)17 [(1)由已知可知tan(－α)＝－12，又β－2α＝(－α)－(α－β)，所以tan(β－2α)＝tan[(－α)－(α－β)]＝tan （－α）－tan （α－β）1＋tan （－α）tan （α－β）＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－251＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＝－112.(2)∵AD ⊥BC 且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，∴tan∠BAD ＝BD AD ＝13，tan∠CAD ＝CD AD ＝12，tan∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD )＝tan∠CAD －tan∠BAD1＋tan∠CAD tan∠BAD＝12－131＋12×13＝17.]1．公式T (α±β)的结构特征和符号规律：(1)结构特征：公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反． 2．利用公式T (α＋β)求角的步骤： (1)计算待求角的正切值．(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息． (3)根据角的范围及三角函数值确定角．1．(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知tan(α－5π4)＝15，则tan α＝ ．(2)已知角α，β均为锐角，且cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β＝ ．(1)32 (2)3 [(1)因为tan(α－5π4)＝15， 所以tan α＝tan[(α－5π4)＋5π4]＝tan （α－5π4）＋tan 5π41－tan （α－5π4）tan 5π4＝15＋11－15×1＝32.(2)因为cos α＝35，α为锐角，所以sin α＝45，tan α＝43，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝43－⎝ ⎛⎭⎪⎫－131＋43×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3.]【例2】 (1)1＋tan 15°1－tan 15°＝ ．(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝ ．思路点拨：注意特殊角的正切值和公式T (α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值． (1) 3 (2)－1 [(1)原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°) ＝tan 60°＝ 3.(2)原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.]公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换． 如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.2．求值：(1)tan 74°＋tan 76°1－tan 74°tan 76°；(2)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°. [解] (1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－33. (2)∵tan 60°＝3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3.1．两角和与差的正切公式揭示了tan αtan β与哪些式子的关系？提示：揭示了tan αtan β与tan α＋tan β，tan αtan β与tan α－tan β之间的关系．2．若tan α，tan β是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)的两个根，则如何用a ，b ，c 表示tan(α＋β)?提示：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－b a 1－c a＝－ba －c.【例3】 (1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝ ．(2)已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tanB －1，试判断△ABC 的形状．思路点拨：(1)看到tan 67°－tan 22°与tan 67°tan 22°想到将tan(67°－22°)展开变形，寻找解题思路．(2)先由关于角A ，B 的等式求出tan(A ＋B )得角A ＋B ，然后求角C 并代入关于角B ，C 的等式求角B ，最后求角A ，判断△ABC 的形状．(1)1 [∵tan 67°－tan 22°＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°) ＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°) ＝1＋tan 67°tan 22°，∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22° ＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.] (2)[解] ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33. 又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6.∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3， tan C ＝33，∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33， ∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为顶角为2π3的等腰三角形．1．将本例(1)中的角同时增加1°结果又如何？[解] ∵tan 45°＝tan(68°－23°)＝tan 68°－tan 23°1＋tan 68°tan 23°，∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°， 即tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1.2．能否为本例(1)和探究1归纳出一个一般结论？若能，试证明．[解] 一般结论：若α－β＝45°(α，β≠k π＋π2，k ∈Z )，则tan α－tan β－tanαtan β＝1.证明：∵tan 45°＝tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β， 即tan α－tan β－tan αtan β＝1.1．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan （α＋β）；(3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； (4)tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan （α＋β）.提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．1．应用公式T (α±β)时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，公式的适用条件是α，β，α＋β(或α－β)≠k π＋π2(k ∈Z )．(2)公式的变形应用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路．特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．2．活用公式巧变换(1)“1”的代换：在T (α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan π4来代换，以达到化简求值的目的．如3tan α＋31－tan α＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4. (2)角的变换：看到两个角的正切值应想到T (α±β)公式看到α＋β，β，α－β应想到凑角，如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝12[(α＋β)－(α－β)]等．(3)名的变换：常常用到同角关系，诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或把正切化为正、余弦求解.1．下列说法不正确的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立B ．对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．C ．tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtanβ)D ．△ABC 中，若tan A tan B ＜0，则三角形为钝角三角形B [A 对．当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立．B 错．两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )．C 对．当α≠k π＋π2(k ∈Z )，β≠k π＋π2(k ∈Z )，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．D 对．tan A tan B ＜0，则A ，B 中必有一个为钝角，所以三角形必为钝角三角形．]2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( )A ．2B ．1C ．12D ．4C [∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝4，且tan α＋tan β＝2，∴21－tan αtan β＝4，解得tan αtan β＝12.]3．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝3，则tan α的值为 ．6－5313 [tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝tan π3－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α1＋tan π3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝3－31＋3×3＝（3－3）（33－1）（33）2－1＝12－10326＝6－5313.] 4．已知cos α＝55，cos β＝35，其中α，β都是锐角，求tan(α＋β)的值． [解] 因为α，β都是锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝255，sin β＝1－cos 2β＝45， tan α＝sin αcos α＝2，tan β＝sin βcos β＝43，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2.。

课时跟踪检测两角和与差的正弦余弦正切公式在学习三角函数时，我们已经了解了正弦、余弦和正切函数。

在本次课时跟踪检测中，我们将学习两个角度的和与差的正弦、余弦和正切公式。

通过这些公式，我们可以计算两个角度相加或相减的正弦、余弦和正切值。

首先，我们来看两角和的公式。

1.两角和的正弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正弦之和可以表示为：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB2.两角和的余弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的余弦之和可以表示为：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB3.两角和的正切公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正切之和可以表示为：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)接下来，我们来看两角差的公式。

1.两角差的正弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正弦之差可以表示为：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB2.两角差的余弦公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的余弦之差可以表示为：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB3.两角差的正切公式：当角A和角B是任意两个角度时，它们的正切之差可以表示为：tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA * tanB)这些公式可以帮助我们在计算角度和或差的正弦、余弦和正切值时，避免重复计算。

通过将已知的角度的正弦、余弦和正切值带入公式，我们可以求解未知角度的正弦、余弦和正切值。

例如，如果我们知道sinA和cosA的值，我们可以使用两角和的正弦和余弦公式来计算任意角B的正弦和余弦值。

同样，如果我们知道tanA和tanB的值，我们可以使用两角和的正切公式计算角度(A + B)的正切值。

理解和掌握这些公式对于解决与三角函数相关的问题非常重要。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第1、2课时）学习目标：1、能用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解其内在联系；2、能运用公式解决基本的三角函数式的化简、求值、证明等问题。

学习重点：运用公式进行化简、求值、证明等问题学习难点：用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

一、知识链接：1、cos(α－β)＝2、cos 80cos 35cos10cos 55+ =3、0000cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)_______a a a a -++-+= 二、新课导学 （一）新知探究思考1:由公式C αβ-出发，如何推导出两角和的余弦公式？新知1：对于任意角,αβ有：cos()αβ+=思考2：怎样用两角和与差的余弦公式推导出sin()αβ±？（利用诱导公式来实现正、余弦的互化）新知2：对于任意角,αβ有：sin()αβ+= sin()αβ-=思考3：你能用两角和与差的正、余弦公式及正切函数与正、余弦函数的关系推导出tan()αβ±吗？新知3：tan()αβ+=tan()αβ-=思考4：公式T αβ±中的,αβ依然可以是任意角吗？若不是，你能确定出公式T αβ±中的,αβ的取值范围吗？依据是什么？注意：公式的变形：tan tan αβ±=分析以上6个公式的特点，并记忆。

（二）新知运用 Ⅰ、简单的公式应用1、（A 级）求0000sin 15,sin 75,cos 75,tan 105的值。

2、（A 级）完成课本P 131的练习 第五题 （做在课本上）3、（A 级）求下列各式的值： （1）sin 21cos 39cos 21sin 39+（2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°；（3）cos(40)cos 20sin(40)sin(20)-+--（4）0cos(25)sin(35)sin(25)ααα++-+ ； （5）tan17°＋tan28°+tan17°tan28° （6）tan 50tan 20tan 50tan 203--第二课时4、自学课本P129例题3，并完成课本P131的练习2、3、4、7 练习2 （A级）解：练习3 （A级）解：练习4 （A级）解：练习7（B级）解：5、（B级）在△ABC中，若3cos5A=，且5cos13B=，则cos___________C=Ⅱ、凑角思想的应用6、（B级）21tan(),tan(),tan()5444ππαββα+=-=+已知求的值。

2015—2016学年度高一数学导学案 使用时间 编制：陈腾 组长：王玉梅 年级：高一第1 页 共 2 页 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第2课时）班级 姓名学习目标：类比两角和与差的正弦、余弦公式，能推导并掌握两角和与差的正切公式，进一步巩固两角和与差的正弦、余弦公式学习重点：两角和与差的正切公式的准确运用学习过程（一）两角和与差的正弦、余弦公式cos()αβ-= cos()αβ+==+)s i n(βα sin()αβ-= 如何以上公式推导tan()αβ+和tan()αβ-？（二）两角和与差的正切公式t a n()αβ+= t a n()αβ-= 自我总结以上6个公式的特点(三)预习自测：1、计算下列各式的值35tan 95tan 135tan -95tan 1+）（15tan 115tan 12-+）（ （四）自主探究1---三角函数求值例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα和⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值。

自主探究2---配凑角求值例2、()的值，求，已知⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4tan 414-tan 52tan παπββα班级： 小组： 姓名： 评价：第 2页 共 2 页 自主探究3---三角函数与一元二次方程的综合例3、已知22-,22-πβππαπ<<<<且βαtan tan ，是方程0762=++x x 的两个根，求βα+的值(五)当堂检测1 sin 7cos37sin83sin37︒︒-︒︒、的值为_______3 sin 2sin3cos2cos3, ______x x x x x =、若则的值是()()._________sin sin cos cos 4=+++ββαββα、5、不查表求cos75°的值.6、已知sin αβ==且,αβ为锐角，则αβ+的值是（） Ａ.4πＢ.34π Ｃ.74π Ｄ.2π7、在ABC ∆中，已知53cos ,sin ,135A B ==则cos C 的值是（ ）A.1565B.5665 C.1665或5665 D.1665-8、化简.sin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(a a a a θθθβθβββ-+-+-._________15tan 3115tan 3 9=︒+︒-、 10、求tan105°的值。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(二)【课前准备】1．课时目标（1）了解两角和的余弦公式，两角和与差的正弦公式、正切公式的推导过程，通过公式的推导了解角与角之间的内在联系；（2）正确理解与掌握两角和的余弦公式，两角和与差的正弦公式、正切公式，并会进行简单的化简、求值等应用．2．基础预探（1）两角和的余弦：cos （α+β）=__________；（2）两角和与差的正弦：sin （α+β）=__________；sin （α－β）=__________；（3）两角和与差的正切：tan （α+β）=__________；tan （α－β）=__________．【知识训练】1．满足cos αcos β=23+sin αsin β的一组α、β的值是（ ） A ．α=12π13，β=4π3 B ．α=2π，β=3π C ．α=2π，β=6π D ．α=3π，β=6π 2．下列等式中成立的是（ ）A ．2120sin 80sin 20cos 80cos =︒︒-︒︒B ．2117sin 13cos 17cos 13sin =︒︒-︒︒ C ．2220sin 25sin 25cos 70sin =︒︒+︒︒D ．2320sin 50sin 20cos 140sin =︒︒+︒︒ 3．下列四个命题中的假命题是（ ）A ．存在这样的α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βB ．不存在无穷多个α、β，使得cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin βC ．对于任意的α、β，cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α、β，使得cos （α+β）≠cos αcos β－sin αsin β4．已知sin αcos β=－31，cos αsin β=21，则sin （α+β），sin （α－β）的值分别为（ ） A ．61，65 B ．－61，－65 C ．61，－65 D ．－61，65 5．若tan α=21，则tan （α+4π）=____________． 6．已知tan （4π+α）=2，求ααα2cos cos sin 21+的值．【学习引领】在两角和与差的三角函数公式中，对应的角α，β可以是单独的两个角，也可以是对应的两个整体部分所组成的角，比如α=（α+β）－β，β=（α+β）－α，2α=（α+β）+（α－β），2β=（α+β）－（α－β），（4π+α）+（4π－α）=2π等，同时在解答时要注意角的范围的讨论．在实际求解问题过程中，要注意对角的变形与整体思维的考虑．运用两角和与差的三角函数公式时的“四要”：一要审查公式成立的条件；二要弄清两角和与差的三角函数公式中角、函数的排列顺序及式中每一项的符号；三要熟练掌握公式的逆用、反用、变形用；四要注意和、差的相对性．【题型探究】题型一：公式的直接应用例1．已知α，β都是锐角，且sin α=55，cos β=10103，求α+β的值 思路导析：利用两角和的余弦公式分三步进行：①先求α+β的余弦值；②确定α+β所在的范围（或区间）；③求角α+β的值．点评：其实，间接利用公式求解有关角的值的问题，可以结合不同的三角函数值加以解决：①求cos （α+β），在（0，π）内余弦值为22的角是唯一的，故可求之；②求sin （α+β），将角α+β的范围缩小到（0，2π）或更小，使之正弦值为22的角是唯一的；③求tan （α+β），在（0，π）内正切值为1的角也是唯一的．变式练习1：已知α，β是锐角，且sin α=51，cos β=101，求α－β的值．题型二：公式的整体应用例2．求sin （α+75º）+cos （α+45º）－3cos （α+15º）的值．思路导析：这道题的常规方法是利用两角和与差的公式直接展开，再加以必要的合并与化简，而这里的75º与15º均为非特殊角，又要通过必要的两角和与差的公式，最终达到求值的目的．而如果通过整体思维考查，令β=α+15º，通过换元转化加以运算，则更加简单、快捷．点评：这道题充分突出整体思维，通过整体换元，把非特殊角的三角函数的求值问题转化特殊角的三角函数的求值问题，从而使问题迎刃而解．变式练习2：设2)tan(=-βα，3)4tan(=-βπ，则)4tan(απ-等于（ ） A ．71 B ．71- C ．51 D ．51- 题型三：公式的综合应用例3．已知sin α+sin β=22，求cos α+cos β的取值范围． 思路导析：先把cos α+cos β作为一个整体，利用条件中相关等式的变形与组合，结合同角三角函数基本关系式与两角和的余弦公式，利用三角函数的图象与性质加以综合．点评：综合利用同角三角函数基本关系式、两角和与差的三角公式、三角函数的图象与性质等来解决相关三角函数式的取值范围问题，关键在是等价变换与应用等．变式练习3：不查表，求下式的值：tan23︒+tan22︒+tan23︒tan22︒．【随堂练习】1．tan15°+cot15°等于（ ）A ．2B ．2+3C ．4D ．334 2．cos75°－cos15°的值等于（ ）A ．26B ．－26C ．－22D ．22 3．cos20ºcos110º+sin20ºsin110º的值为（ ）A ．0B ．－21 C ．21 D ．1 4．锐角βα,满足54cos =α，53)cos(=+βα，则βsin =________． 5．cos （45º+x ）cos （15º－x ）－cos （45º－x ）sin （15º－x ）=________．6．已知sin β=m sin （2α+β）（m ≠1），求证：tan （α+β）=mm -+11tan α．【参考答案】【课前准备】2．基础预探（1）cos αcos β－sin αsin β；（2）sin αcos β+cos αsin β，sin αcos β－cos αsin β；（3）βαβαtan tan 1tan tan -+，βαβαtan tan 1tan tan +-． 【知识训练】1．A ；【解析】由已知得cos （α+β）=23，代入检验得A ； 2．D ；【解析】根据两角和与差的公式加以判断；3．B ；【解析】由cos （α+β）=cos αcos β+sin αsin β=cos αcos β－sin αsin β，得sin αsin β=0，∴α=k π或β=k π（k ∈Z ）；4．C ；【解析】根据两角和与差的正弦公式加以求解；5．3；【解析】tan （α+4π）=4πtan tan 14πtantan ⋅-+αα=1211121⨯-+=3； 6．解 由tan （4π+α）=ααtan tan 1-1+=2，解得tan α=31， 于是ααα2cos cos sin 21+=ααααα222cos cos sin 2cos sin ++=1+1+ααtan 2tan 2=13121312+⨯+）（=32． 【典例导析】例1. 解 ∵α是锐角，sin α=55，∴cos α=α2sin 1-=552， ∵β是锐角，cos β=10103，∴sin β=β2cos 1-=1010， 那么cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin β=552·10103－55·1010=22， ∵α，β是锐角，∴0<α+β<π，故α+β=4π．变式练习1：解 ∵α是锐角，sin α=51，∴cos α=α2sin 1-=552， ∵β是锐角，cos β=101，∴sin β=β2cos 1-=10103， 那么cos （α－β）=cos αcos β+sin αsin β=22， ∵α，β是锐角，∴－2π<α－β<2π， 又sin α=51<10103= sin β，则α<β，故α－β=－4π． 例2. 解 令β=α+15º，则sin （α+75º）+cos （α+45º）－3cos （α+15º）=sin （β+60º）+cos （β+30º）－3cos β=sin βcos60º+cos βsin60º+cos βcos30º－sin βsin30º－3cos β =21sin β+23cos β+23cos β－21sin β－3cos β=0． 变式练习2：A ； 【解析】)4tan(απ-＝)]()4tan[(βαβπ---＝)tan()4tan(1)tan()4tan(βαβπβαβπ--+---＝23123⨯+-＝71； 例3. 解析：令t =cos α+cos β， ①而sin α+sin β=22， ② 由①2+②2，得t 2+21=（cos α+cos β）2+（sin α+sin β）2=cos 2α+cos 2β+2cos αcos β+sin 2α+sin 2β+2sin α+sin β=2+2cos （α－β），∴2cos （α－β）=t 2－23∈［－2，2］， ∴t ∈［－214，214］，即cos α+cos β的取值范围为［－214，214］．变式练习3：解 因为tan （23︒+22︒）=︒︒+︒+︒22tan 32tan 122tan 32tan ，所以tan23︒+tan22︒=tan （23︒+22︒）（1－tan23︒tan22︒）， 原式=tan45︒ （1－tan23︒tan22︒）+tan23︒tan22︒=1－tan23︒ tan22︒+ tan23︒ tan22︒ =1；【随堂练习】1．C ；【解析】由tan15°=tan （45°－30°）=︒︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan =331331+-=3333+-，∴原式=3333+-+3333-+=4；2．C ；【解析】cos75°－cos15°=cos （45º+30º）－cos （45º－30º）=cos45ºcos30º－sin45ºsin30º－（cos45ºcos30º+sin45ºsin30º）=－2sin45ºsin30º=－22； 3．A ；【解析】cos20ºcos110º+sin20ºsin110º=cos （20º－110º）=cos （－90º）=cos90º=0；4．257；【解析】根据锐角βα,和条件，可得53sin =α，54)sin(=+βα，则βsin =])sin[(αβα-+=αβααβαsin )cos(cos )sin(+-+=257； 5．21；【解析】cos （45º+x ）cos （15º－x ）－cos （45º－x ）sin （15º－x ）=cos （45º+x ）cos （15º－x ）－cos[90º－（45º+x ）]sin （15º－x ）=cos （45º+x ）cos （15º－x ）－sin （45º+x ）sin （15º－x ）=cos[（45º+x ）+（15º－x ）]=cos60º=21； 6．证明：∵sin β=m sin （2α+β），∴sin ［（α+β）－α］=m sin ［（α+β）+α］，∴sin （α+β）cos α－cos （α+β）sin α=m sin （α+β）cos α+m cos （α+β）sin α，∴（1－m ）sin （α+β）cos α=（1+m ）cos （α+β）sin α，∴tan （α+β）=m m -+11tan α．。