2019考研数学之多元函数微分学及其应用测试题(2019-6)

考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且f’x(0，0)=3，f’y(0，0)=1，则( )A．dz｜(0,0)=3dx+dy．B．曲面z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0))处的法向量为{3，1，1}．C．曲线，在点(0，0，f(0，0))处的切向量为{1，0，3}．D．曲线，在点(0，0，f(0，0))处的切向量为{3，0，1}．正确答案：C解析：化曲线则该曲线在点(0，0，f(0，0))处的切向量为{1，0，f’x(0，0)}={1，0，3}，故选C．知识模块：多元函数微分学2．已知fx(x0，y0)存在，则=( )A．fx(x0，y0)．B．0．C．2fx(x0，y0)．D．fx(x0，y0)．正确答案：C解析：故选C．知识模块：多元函数微分学3．设f(x，y)=则f(x，y)在点(0，0)处( )A．两个偏导数都不存在．B．两个偏导数存在但不可微．C．偏导数连续．D．可微但偏导数不连续．正确答案：B解析：由偏导数定义，有故f(x，y)在(0，0)点不可微．应选B．知识模块：多元函数微分学4．已知为某二元函数u(x，y)的全微分，则a等于( )A．0．B．2．C．1．D．一1．正确答案：B解析：知识模块：多元函数微分学5．函数f(x，y)在(0，0)点可微的充分条件是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：可知，f(x，y)的两个一阶偏导数fx(x，y)和fy(x，y)在(0，0)点可微，故选D．知识模块：多元函数微分学6．设z=则该函数在点(0，0)处( )A．不连续．B．连续但偏导数不存在．C．连续且偏导数存在但不可微．D．可微．正确答案：C解析：存在，即x(x，y)在点(0，0)不可微，故选C．知识模块：多元函数微分学填空题7．设f(x，y，z)=ex+y2z，其中z=Z(x，y)是由方程x+y+z+xyz=0所确定的隐函数，则f’x(0，1，一1)=_________．正确答案：1解析：已知f(x，y，z)=ex+y2z，那么有f’x(x，y，z)=ex+y2z’x．在等式x+y+z+xyz=0两端对x求偏导可得1+z’x+yz+xyz’x=0．由z=0，y=1，z=一1，可得z’x=0．故f’x(0，1，一1)=e0=1．知识模块：多元函数微分学8．设f(x，y)=在点(0，0)处连续，则a=_________．正确答案：0解析：因为知识模块：多元函数微分学9．设z==_________．正确答案：解析：知识模块：多元函数微分学10．设f(x，y)=，则f’x(1，0)=_________．正确答案：2解析：由题干可知f(x，0)=x2，那么f’x(x，0)=2x．故f’x(1，0)=2x｜x=1=2．知识模块：多元函数微分学11．设z=z(x，y)由方程z+e2=xy2所确定，则dz=_________．正确答案：(y2dx+2xydy)解析：知识模块：多元函数微分学12．设函数f(u)可微，则f’(2)=2，则z=f(x2+y2)在点(1，1)处的全微分dz｜(1,1)=_________．正确答案：4(dx+dy)解析：由题干可知，dz=f’(x2+y2)(2xdx+2ydy)，则dz｜(1,1)=f’(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)．知识模块：多元函数微分学13．设f(u，v)为二元可微函数，z=f(xy，yx)，则=_________．正确答案：f’1.yxy—1+f’2.yxlny解析：利用复合函数求偏导的公式，有=f’1.yxy—1+f’2.yxlny。

考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2002年试题，二)考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有( )．A．②→③→①B．③→②→①C．③→④→①D．③→①→④正确答案：A解析：由题设，分析4条性质可知，①与④没有直接联系，从而可排除C，D，关于A和B，重点在于分析性质②和③，显然性质②更强，即f的两个偏导数连续则f可微，因此②→⑧，B也被排除，从而只有A正确，选A．知识模块：多元函数微分学2．(1997年试题，二)二元函数在点(0，0)处( )．A．连续，偏导数存在B．连续，偏导数不存在C．不连续，偏导数存在D．不连续，偏导数不存在正确答案：C解析：二元函数的连续性与可偏导性之间的关系并非与一元函数中可导与连续的关系一样，因此需要按定义一一加以判断．由已知，[*]所以f(x，y)在点(0，0)处不连续；又[*]因此f(x，y)在(0，0)点的两个偏导数都存在．综上选C．讨论分段、分块定义的函数的连续性、偏导数的存在性以及可微性一般按定义处理．知识模块：多元函数微分学3．(2012年试题，一)如果函数f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是( )．A．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微B．若极限存在，则，(x，y)在(0，0)处可微C．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限存在D．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限存在正确答案：B解析：f(x，y)在(0，0)处连续，如果存在，则f(0，0)=0．且由存在，知存在，则即fx(0，0)=0，同理可得fy(0，0)=0，再根据可微定义；0．可知f(x，y)在(0，0)处可微．选B．知识模块：多元函数微分学4．(2005年试题，二)设函数其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题意可得因为所以选B．题中含有二元变限积分，求偏导时，可将一个变量视为常数，按一元函数积分学中求变限积分的导数方法求解即可．知识模块：多元函数微分学5．(2010年试题，一)设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F2’≠0，则等于( )．A．xB．zC．一xD．-z正确答案：B解析：根据题意可得故而有即正确答案为B．解析二在方程两边求全微分得从而即正确答案为B．解析三方程两边分别对X，Y求偏导数，则有解得从而即正确答案为B．知识模块：多元函数微分学6．(2005年试题，二)设有三元方程xy—xlny+exy=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程( )．A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和z=z(x，y)D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=y(x，z)正确答案：D解析：根据题意，记方程为F(x，y，z)=0，其中F(x，y，z)=xy—zlny+exx 一1F对x，y，z均有连续偏导数，而且可知r(0，1，1)=0由于F(X，y，z)满足偏导数的连续性，根据隐函数存在定理可知，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域该方程可确定有连续偏导数的隐函数：x=x(y，z)和y=y(x，z)所以选D．求解此题应理解隐函数存在性定理的条件和结论，该知识点是2005年大纲新增加的考点．知识模块：多元函数微分学7．(2008年试题，一)函数一在点(0，1)处的梯度等于( )．A．iB．一iC．jD．一j正确答案：A解析：梯度的计算公式中涉及到函数的偏导数，故先求二元函数f(x，y)的偏导数：则fx(0，1)=lfy(0，1)=0．梯度gradf(0，1)=1×i+0×j=i，故应选A．知识模块：多元函数微分学8．(2001年试题，二)设函数f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且fx’(0，0)=3,fy’(0，0)=1，则( )．A．出dz｜(0,0)=3dx+dyB．曲面z=f(x，y)在点(0，0,f(0，0))的法向量为{3，1，1}C．曲线在点(0，0,f(0，0))的切向量为{1，0，3}D．曲线在点(0，0,f(0，0))的切向量为{3，0，1}正确答案：C解析：多元函数可偏导不一定可微，这一点与一元函数有本质区别，因此从题设给定(0，0)点有偏导数的条件无法推出在(0，0)点函数可微，因而A不一定成立；关于B，假设z=f(x，y)在(0，0,f(0，0))点法向量存在，由定义知该法向量也应为{3，1，一1}，何况题设仅给出(0，0)点处fx’，fy’的值，因此B也可排除；选项C，D是互斥的，可算出曲线在点(0，0,f(0，0))的切向量为{3，1，一1}×{0，1，0}={1，0，3}，从而选C．本题考查了多个知识点：可微性与可偏导的关系，曲面的法向量及其求法，空间曲线的切向量及其求法．注意A选项是考生易犯的错误，简单地认为将偏导数代入全微分计算公式即得出全微分，而忽视了全微分是否存在的前提．知识模块：多元函数微分学9．(2011年试题，一)设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)>0，f’(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )．A．f(0)>1，f’’(0)>0B．f(0)>1，f’’(0)0D．f(0)若z=f(x)lnf(y)在(0，0)处取极值，则A=f’’(0)lnf(0)，B=0，c=f’’(0)由AC=[f’’(0)]2lnf(0)>0且A>0得f(0)>1且．f’’(0)>0，故选A．知识模块：多元函数微分学10．(2006年试题，二)设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则f’(x’，y’)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0正确答案：D解析：考查化条件极值问题为一元函数极值问题．根据拉格朗日乘子法，令F(x，y，λ)=，(x，y)+λφ(x，y)，则(x0，y0)满足若fx’(x0，y0)=0，由(1)→λ=0或φx’(x0，y0)=0当A=0时，由(2)得fx’(x0，y0)=0；但当A≠0时，由(2)及φy’(x0，x0)≠0,fy’(x0，y0)≠0所以A，B错误．若fx’(x0，y0)≠0，由(1)→λ≠0，再由(2)及φy’(x0，x0)≠0→fy’(x0，y0)≠0故选D．知识模块：多元函数微分学11．(2003年试题，二)已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则( )．A．点(0，0)不是f9x,y)的极值点B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点正确答案：A解析：根据题意，可将原式改用极坐标表示，即因此且f(pcosθ,psinθ)=ρ2cosθ.sinθ+ρ4+o(ρ4)当p充分小时，f(pcosθ，psinθ)的符号由p2cosθ.sin θ决定，但sinθ.cosθ符号不定，因此f(x，y)在(0，0)点不取极值，选A．知识模块：多元函数微分学填空题12．(2011年试题，二)设函数=____________.正确答案：涉及知识点：多元函数微分学13．(2009年试题，二)设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则____________.正确答案：则解析二因f(u，v)有二阶连续偏导数，故而涉及知识点：多元函数微分学14．(2007年试题，二)设f(u，v)为二元可微函数，z=f(xy，yz)．则=____________.正确答案：涉及知识点：多元函数微分学15．(1998年试题，一)设具有二阶连续导数，则=______________.正确答案：由题设，有解析：本题亦可先求再求．因为题设复合函数的混合偏导数与求导次序无关．但求导时应注意f(xy)和φ(x+y)均为一阶复合函数，对x求导时，y被视为常数；对y求导时，x视为常数，切不可与多元复合函数的求导法则混淆．知识模块：多元函数微分学16．(2005年试题，一)设函数单位向量则=____________.正确答案：由题意可知根据方向导数计算公式可得涉及知识点：多元函数微分学17．(2003年试题，一)曲面z=x2+y2与平面2x+4y一z=0平行的切平面的方程是________________。

0809 B一、填空题（每小题3分，共18分）2、设)ln(xy z =，则其全微分dz = ． 11dx dy x y+ 3、函数xy x y u 2222-+=的所有间断点是 .2{(,)|2,,}x y y x x R y R =∈∈二、选择题（每小题3分，共15分）1、22),(y x xyy x f +=，则极限=→→),(lim 00y x f y x （ Ａ ）（A ）不存在 （B ）1 （C ）2 （D ）0A当点(,)P x y 沿曲线y kx =趋向(0,0)时，222200lim (,)lim x x y kxk x f x y x k x →→==+21kk =+显然，当k 取值不同是，极限也不相同。

所以22(,)(0,0)limx y xyx y →+不存在．2、在曲线32,,t z t y t x =-==所有切线中，与平面433=++z y x 平行的切线（ Ａ ）（A ）只有一条； （B ） 只有两条； （C ）至少有3条； （D ） 不存在曲线的切向量2((),(),())=(12,3)T t t t t t ϕψω'''=-，,平面的法向量(1,3,3)n = 22(12,3)(1,3,3)1690t t t t -⋅=-+=，,2(31)0t -=,1.3t =得所以只有一条切线满足条件.3、点()0,0是函数xy z =的（ Ｂ ）（A ）极值点；（B ）.驻点但不是极值点；（C ）是极值点但不是驻点；（D ）以上都不对 分析: 令0,0x y z y z x ====,得(0,0)是驻点,但点(0,0)是xy z =的鞍点,不是极值点.四、计算题（每小题8分，共32分）1、设, , ,sin y x v xy u v e z u+===求xz∂∂和y z ∂∂ 解z f f u f vx x u x v x∂∂∂∂∂∂=+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂e sin e cos e [sin()cos()]u u x y v y v y x y x y =⋅+=⋅+++e sin e cos u u zf f u f v v x v y y u y v y∂∂∂∂∂∂=+⋅+⋅=⋅+∂∂∂∂∂∂e [sin()cos()]x y x x y x y =⋅+++ 五、解答题（每小题分10，共20分）1、要造一个容积为定数a 的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小？此时最小表面积为多少？解：设长方体的长宽高分别为,,,z y x 则问题就是在条件(,,)0x y z xyz a ϕ=-=下求函数 22S xy xz yz =++ )0,0,0(>>>z y x的最小值. 作拉格朗日函数(,,)22(),L x y z xy xz yz xyz a λ=++++-求其对,,,x y z λ的偏导数，并使之为零，得到 20,20,2()0,0.y z yz x z xz x y xy xyz a λλλ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪-=⎩因为z y x ,,都不等于零， 得 11,22z x y ==代入0xyz a -=,得x y z ===这是唯一可能的极值点. 由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.时, 最小表面积S =0910B一、填空题（每小题2分，共10分）2、设函数),(y x f z =是由方程z z y x 4222=++给出，则全微分=dz ．2d 224x x ydy zdz dz ++=,2xdx ydydz z+=-.3、曲面14222=++z y x 在点)3,2,1(P 处的切平面方程为 .切平面得法向量(1,2,3)(1,2,3)(2,2,2)n x y z =(2,4,6),=切平面方程为2(1)+4(2)6(3)0,23140.x y z x y z --+-=++-=或 二、选择题（每小题2分，共10分）1、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处可微是两个偏导数),(',),('0000y x f y x f y x 都存在的 （ Ａ ）（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件.四、计算题（每小题10分，共40分） 1、设v u z ln 2=，而y x u =、y x v 23-=，求:xz∂∂、y z ∂∂． 解：()()22223323ln 2y y x x y x y x x z -+-=∂∂，()()223223223ln 2y y x x y x yx y z ----=∂∂1011B一、填空题（每小题3分，共15分）(1) 设二元函数)1ln()1(y x xez yx +++=+，则=)0,1(|dz .(1,0)(1,0)(1,0)1|(ln(1))|()|1x y x y x y x dz e xe y dx xe dy y++++=++++++ (1,0)d 2ed (e 2)d zx y ∴=++(2) 旋转抛物面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的法线方程是 . 法线的方向向量(2,1,4)(2,1,4)(2,2,1)s x y =-(4,2,1),=-法线方程是214421x y z ---==-. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）(4) 设),(y x f z =的全微分为ydy xdx dz += 则点 )0,0( ( C ) .A 不是),(y x f 的连续点；.B 不是),(y x f 的极值点；.C 是),(y x f 的极小值点；.D 是),(y x f 的极大值点.分析:z ,x y x z y ==,得z 1,1,0xx yy xy z z ===,由210,10AC B A -=>=>,则点 )0,0(是),(y x f 的极小值点.三、求偏导数（每小题10分，共20分）（1）设),(3xyxy f x z =，其中f 具有二阶连续偏导数.求 y z ∂∂；22y z ∂∂；y x z ∂∂∂2.解:231223(())z yx f x yf f x x∂''=++-∂23123x f x yf xyf ''=+-3121(())z x xf f y x∂''=+∂ 4212x f x f ''=+ 242122()z x f x f y y ∂∂''=+∂∂421112212211(())(())x f x f x f x f x x ''''''''=⋅++⋅+ 531112222x f x x f xf ''''''=⋅++ y x z ∂∂∂22z y x ∂=∂∂4212()x f x f x∂''=+∂ 3421111222122224(())2(())y y x f x f y f xf x f y f x x ''''''=+⋅+⋅-+++- 3412112242.x f xf x yf yf ''''=++- (2)设),(y x z z =是方程)arc tan(z y x xyz ++=在)1,1,0(-点确定的隐函数，求xz∂∂及)1,1,0(-∂∂yz解:令)arctan(),,(z y x xyz z y x F ++-= …1分则 2)(11z y x xy F z +++-= 2)(11z y x yz F x +++-=2)(11z y x xz F y+++-= …6分 1])(1[1])(1[22-+++-+++-=-=∂∂z y x xy z y x yz F F x z z x ； …8分 11])(1[1])(1[22)1,1,0(-=-+++-+++-=-=∂∂-z y x xy z y x xz F F yz z y…10分六、应用题（本题满分10分）从斜边长为l 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形，并求出最大周长.解：设另两边长分别为y x ,，则 222l y x =+，周长 l y x C ++= …2分 设拉格朗日函数 )(),,(222l y x l y x y x F -++++=λλ …4分令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=0021021222l y x F y F x F y x λλλ …6分解方程组得l y x 22==为唯一驻点，且最大周长一定存在 …8分 故当l y x 22==时，最大周长为l C )21(+= …10分1112B一、填空题（每小题2分，共10分）1. y x z 2=在点)1,1(处的._______________=dz22,dz xydx x dy =+112.x y dzdx dy ===+2. 设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-取得极值，则常数_____=a .211(1,1)(4)0x x y f x a y ==--=++=,11(1,1)220y x y f xy ==--=+=,所以 5.a =-例36 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常数a ，并确定极值的类型．分析 这是二元函数求极值的反问题， 即知道(,)f x y 取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题．解 因为(,)f x y 在(,)x y 处的偏导数均存在，因此点(1,1)-必为驻点， 则有 2(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)40220fx a y x f xy y ----⎧∂=++=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎩，因此有410a ++=，即5a =-． 因为22(1,1)4f A x-∂==∂，2(1,1)(1,1)22fB y x y--∂===-∂∂， 22(1,1)(1,1)22fC x y--∂===∂，2242(2)40AC B ∆=-=⨯--=>，40A =>，所以，函数(,)f x y 在(1,1)-处取得极小值．二、选择题（每小题2分，共10分）3. 在点P 处函数),(y x f 的全微分df 存在的充分条件为 （ Ｃ ） (A) y x f f ,均存在 (B) f 连续(C) f 的全部一阶偏导数均连续 (D) f 连续且y x f f ,均存在三、计算题（每小题8分，共40分）1. 设),(y x z z =是由方程z z y x 2222=++所确定的隐函数，计算22,x z x z ∂∂∂∂的值. 解:设 222(,,)2F x y z x y z z =++-，则2x F x =，2y F y = ，22,z F z '=-2,221z x x x z z ∂=-=∂--22()1z xx x z∂∂=∂∂-21(1)x z xz z -+=-22231(1)1(1)(1)xz xz x z z z -+-+-==-- 4. 求函数zx yz xy u ++=在点)3,1,2(沿着从该点到点)15,5,5(的方向导数.解 方向(3,4,12)l = 03412{,,}.13133l =1312cos ,134cos ,133cos ===γβα3)3,1,2(,5)3,1,2(,4)3,1,2(===z y x u u u ,1368cos cos cos =++=∂∂γβαz y x u u u l z . 五、证明题（每小题7分，共7分）证明(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩在)0,0(点偏导数存在，但不可微.证: (,0)0,(0,)0f x f y ==,0(0,0)(0,0)(0,0)limlim00.x x x f x f f x∆→→+∆-===∆ 00(0,0)(0,0)(0,0)limlim 00.y y y f y f f y∆→∆→+∆-===∆ (,)(0,0)f x y 所以函数在处可导....................3分2202200lim ),(lim )0,0()0,0(limy x y x yx y x f y f x f z y x ∆∆∆∆∆∆∆∆ρ∆∆∆ρρρ+=+=--→→→当点(,)P x y ∆∆沿曲线y kx =趋向(0,0)时，22222222000()lim lim lim ()()()()x x y k xx y x y k x x y x y x k x ρ→∆→→∆=∆∆∆∆∆∆==∆+∆∆+∆∆+∆21kk =+. 显然，当k 取值不同是，极限也不相同。

考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2017年] 函数f(x，y，z)=x2y+z2在点(1，2，0)处沿向量，n={1，2，2}的方向导数为( )．A．12B．6C．4D．2正确答案：D解析：因，则因给出的方向向量不是单位向量，将其单位化得则，故所求的方向导数为仅D入选．知识模块：多元函数微分学2．[2008年] 函数f(x，y)=arctan(x／y)在点(0，1)处的梯度等于( )．A．iB．一iC．jD．-j正确答案：A解析：由函数f(x，y)在点(0，1)处的梯度计算公式知，只需求出f(x，y)在点(0，1)处的一阶偏导数．事实上，有故gradf(x，y)｜(0，1)=f’x(0，1)i+f’y(0，1)j=1·i+0·j=i．仅A入选．知识模块：多元函数微分学3．[2001年] 设函数f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且f’x(0，0)=3，f’y(0，0)=1，则( )．A．dz｜(0，0)=3dx+dyB．曲面z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0))的法向量为(3，1，1)C．曲面在点(0，0，f(0，0))的切向量为(1，0，3)D．曲面在点(0，0，f(0，0))的切向量为(3，0，1)正确答案：C解析：C中所给曲线方程为交面式方程注意到F’x(0，0，f(0，0))=f’x(x，y)｜(0，0，f(0，0))=f’x(0，0)=3，F’y(0，0，f(0，0))=f’y(0，0)=1，F’z(0，0，f(0，0))=一1，G’x(0，0，f(0，0))=G’z(0，0，f(0，0))=0，G’y(0，0，f(0，0))=1，有故在点P0(0，0，f(0，0))处的切向量为(1，0，3)．仅C入选．知识模块：多元函数微分学4．[2013年] 曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在点(0，1，-1)处的切平面方程为( )．A．x—y+z=一2B．x+y+z=0C．x一2y+z=一3D．x—y—z=0正确答案：A解析：令F(x，y，z)=x2+cos(xy)+yz+x，则曲面F(x，y，z)在点(0，1，一1)处的法向量为n={F’x，F’y，F’z}={2x-ysin(xy)+1，-xsin(xy)+z，y}｜(0，1，-1)={1，一1，1}，则曲面F(x，y，z)=0在点(0，1，一1)处的切平面方程为1·(x-0)一1·(y 一1)+1·(z+1)=0，即x—y+z=一2．仅A入选．知识模块：多元函数微分学5．[2003年] 已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且{[f(x，y)-xy]／(x2+y2)2}=1，①则( )．A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点D．根据所给条件无法判别点(0，0)是否为f(x，y)的极值点正确答案：A解析：由极限与无穷小的关系知，在点(0，0)充分小的邻域内有即f(x，y)=xy+(1+α)(x2+y2)2，③其中．又由式①及(x2+y2)=0得到即于是f(x，y)-xy=(1+α)(x2+y2)2，即f(x，y)=xy+(x2+y2)2+α(x2+y2)2，亦即f(x，y)=f(x，y)=f(0，0)=xy+(x2+y2)2+o((x2+y2)2)=xy+(x2+x2)2+o(r2) (r=x2+y2 →0)．当y=x时，f(x，y)—f(0，0)=x2+(x2+y2)2+o(r2)＞0 (0＜r＜σ)．当y=一x 时，f(x，y)一f(0，0)=一x2+(x2+x2)2+o(r2)＜0 (0＜r＜σ)，其中σ是充分小的正数．可知，(0，0)不是f(x，y)的极值点．仅A入选．知识模块：多元函数微分学6．[2011年] 设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)＞0，f’(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )．A．f(0)＞1，f’’(0)＞0B．f(0)＞1，f’’(0)＜0C．f(0)＜1，f’’(0)＞0D．f(0)＜1，f’’(0)＜0正确答案：A解析：若函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值，则得到又由式①有则lnf(0)＞0，即f(0)＞1．②又因lnf(0)＞0，由得到f’’(0)＞0．③由式②、式③得到f(0)＞1，f’’(0)＞0．仅A入选．知识模块：多元函数微分学7．[2014年]∫-ππ(x一a1cosx-b1sinx)2dx={∫-ππ(x一acosx一bsinx)2dx}，则a1cosx+b1sinx=( )．A．2sinxB．2cosxC．2nsinxD．2πcosz正确答案：A解析：∫-ππ(x一acosx一bsinx)2dx=∫-ππ[(x一bsinx)-acosx]2dx=∫-ππ[(x—b sinx)2一2a cosx(x—b sinx)+a2cos2x]2dx=∫-ππ(x2一2bx sinx+b2sin2x+a2cos2x)dx (注意cosx(x一b sinx)为奇函数)=2∫0π(x2一2bx sinx+b2sin2x+a2cos2x)dz，因∫0πxsinxdx=，∫0πsin2x dx=，故F(a，b)=∫-ππ(x-a cosx一b sinx)2dx=π3—4b2π+b37π+a3π①=π(a2+b2一4b)+π3=π[a2+(b-2)2一4]+π3．因而当a=0，b=2时，上述积F(a，b)最小．于是a1=a=0，b1=b=2，a1cosx+b1sinx=2sinx．仅A入选．知识模块：多元函数微分学8．[2006年] 设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’y(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若f’x(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)=0B．若f’x(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若f’x(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)=0D．若f’x(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：由拉格朗日乘数法，得消去λ，得f’x(x0，y0）φ’y(x0，y0）一f’y(x0，y0）φ’x(x0，y0）=0．因φ’y(x0，y0）≠0，故因而当f’x(x0，y0）≠0时，必有f’y(x0，y0）≠0．仅D入选．知识模块：多元函数微分学填空题9．[2016年] 设函数f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z-y2=x2f(x—z，y)确定，则dz｜(0,1)=______．正确答案：一dx+2dy解析：先在所给方程两边求偏导，得到z+(x+1)z’x>=2xf(x—z，y)+x2f’1·(1一z’x)，(x+1)z’y—2y=x2[f’1·(一z’y)+f’2]．将x=0，y=1代入所给方程得到z-1=0，即z=1，再将x=0，y=1，z=1分别代入上述两式得到1+z’x=2·0·f(0—1，1)+0．f’1·[1一z’x]=0，故z’x=一1．z’y-2=0，故z’y=2．应用微分公式得到dz｜(0，1)=z’xdx+z’ydy=一dx+2dy．知识模块：多元函数微分学10．[2005年] 设函数u(x，y，z)=，单位向量，则=______.正确答案：解析：根据三元函数方向导数的计算公式即有因n=(1，1，1)=n0为单位向量，故cosα=cosβ=cosγ=．由于u=f(x，y，z)=1+x2／6+y2／12+z2／18，P0=(1，2，3)，下面求出函数u在点P0处各个偏导数：则将其代入方向导数的计算公式中得到知识模块：多元函数微分学11．[2012年]grad(xy+z／y)｜(2，1，1)=______．正确答案：3解析：令u=xy+z／y，则故知识模块：多元函数微分学12．[2003年] 曲面z=x2+y2与平面2x+4y—z=0平行的切平面的方程是______．正确答案：2x+4y—z=5解析：设曲面的显式方程为z=f(x，y)，该曲面的法向量为n=(f’x，f’y，一1)=(2x，2y，一1)．设切点坐标为M0(x0，y0，z0)，则过切点M1(x0，y0，z0)的切平面的法向量为n=(2x0，2y0，一1)．由假设有，故x0=1，y0=2，因而z0=x02+y02=5，故所求的切平面方程为2(x一1)+4(y一2)一(z一5)=0，即2x+4y —z=5．知识模块：多元函数微分学13．曲面x2+2y2+3z2=21在点(1，一2，2)处的法线方程为______．正确答案：解析：先求曲面F(x，y，z)=x2+2y2+3z2一21=0在点(1，一2，2)处的法向量．n=(F’x，F’y，F’z)｜(1，-2，2)=(2x，4y，6z)｜(1，-2，2)=(2，一8，12)=2(1，一4，6)，则在点(1，一2，2)处的法线方程为知识模块：多元函数微分学14．[2014年] 曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为______．正确答案：2x—y一z—1=0解析：令F=x2(1一siny)+y2(1一sinx)-z，则故在点(1，0，1)处的法向量为n={2，一1，一1}，切平面方程为2(x一1)一(y-0)一(z一1)=0，即2x—y一z—1=0．知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一（多元函数微分学）-试卷2(总分：78.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设f(x，y)=｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处连续且φ(0，0)=0，则f(，y)在点(0，0)处（分数：2.00）A.连续，但偏导数不存在．B.不连续，但偏导数存在．C.可微．√D.不可微．解析：解析：逐项分析：(Ⅰ)｜x—y｜在(0，0)连续，φ(x，y)在点(0，0)处连续f(x，y)在点(0，0)处连续．f(x，y)在点(0，0)处可微．选(C)．3.(0，0)的二元函数是（分数：2.00）A.f(x，y) =x 4 +2x 2 y 2 +y 10．B.f(x，y)=ln(1+x 2 +y 2 )+cosxy．√解析：解析：对于(A)，(B)：f(x，y)均是二元初等函数，．因而(C)，(D)中必有一个是f″ xy(0，0)=f″ yx (0，0)，而另一个是f″ xy (0，0)≠f′ yx (0，0)．现考察(C) ． (x，y)≠(0，0)时，因此，f″ xy (0，0)≠f″ yx (0，0)．选(C)．4.设u(x，y)在M 0取极大值，且（分数：2.00）√解析：解析：偏导数实质是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值．由一元函数的极大值的必要条件可得相应结论．令f(x)=u(x，y 0) x=x 0是f(x)的极大值点(若＞0，则x=x 0是f(x)的极小值点，于是得矛盾)．同理，令g(y)=u(x 0，y) y=y 0是g(y)的极大值点因此，选(C)．5.设f(x，y)在(x 0，y 0 )邻域存在偏导数(x 0，y 0 )处不连续，则下列结论中正确的是（分数：2.00）A.f(x，y)在点(x 0，y 0 )处可微且B.f(x，y)在点(x 0，y 0 )处不可微．C.f(x，y)在点(x 0，y 0 )沿方向D.曲线在点(x 0，y 0，f(x 0，y 0 ))处的切线的方向向量是√解析：解析：当f(x，y)在(x 0，y 0 )邻域偏导数，而在(x 0，y 0 )不连续时，不能确定f(x，y)在(x 0，y 0 )是否可微，也不能确定它在(x 0，y 0 )是否存在方向导数．故(A)，(B)，(C)不正确，只有(D)正确．或直接考察曲线它在点(x 0，y 0，f(x 0，y 0 ))处的切向量是故(D)正确．二、填空题(总题数：9，分数：18.00)6.设，e t )dt，其中f是二元连续函数，则dz= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：f(x 2 y，e x2y )(2xydx+x 2 dy)）解析：解析：dz=f(x 2 y，e x2y )d(x 2 y)=f(x 2 y，e x2y )(2xydx+x 2 dy)．7.设z=z(x，y)满足方程2z－e z +2xy=3且z(1，2)=0，则dz｜(1，2) = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一4dx一2dy）解析：解析：将方程分别对x，y求偏导数，得" 令x=1，y=2，z=0得｜(1，2)=－4dx－2dy．8.设z=yf(x 2－y 2 )，其中f(u)可微，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：=yf′(x 2一y 2).2x=2xyf′(x 2一y 2 )，=yf′(x 2一y 2 )(一2y)+f(x2一y 2 )=－2y 2f′(x 2一y 2 )+f(x 2一y 2 )，9.设f(x，y)有连续偏导数，满足f(1，2)=1，f′ x(1，2)=2，f′ y(1，2)=3，Ф(x)=f(x，2f(x，2f(x，2x)))，则Ф′(1)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：302）解析：解析：Ф(x)=f(x，u(x))，u(x)=2f(x，v(x))，v(x)=2f(x，2x)， v(1)=2f(1，2)=2，u(1)=2f(1，v(1))=2f(1，2)=2，Ф′(1)=(1，2)u′(1)=2+3u′(1)，(1，2)v′(1)]=2[2+3v′(1)]，v′(1)=2[(1，2)]=2(2+2.3)=16．Ф′(1)=2+3.100=302．10.设x=x(y，z)，y=y(z，x)，z=z(x，y)都是由方程F(x，y，z)=0所确定的隐函数，并且F(x，y，z)满= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一1）解析：解析：由隐函数求导法知(如，由F(x，y，z)=0确定x=x(y，z)，将方程对y求偏导数得其余类似)11.函数z=1－(x 2 +2y 2 )在点M 0处沿曲线C：x 2 +2y 2 =1在该点的内法线方向n的方向导数为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：M 0在曲线C上，C在M 0点的内法线方向n=－grad(x 2 +2y 2—1)=－(2x，4y)｜M0，单位内法向n 0= gradz｜M0=－grad(x 2+2y 2)｜M0=－( ，2)．按方向导数计算公式，12.过曲面z－e z +2xy=3上点M 0 (1，2，0)处的切平面方程为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2x+y一4=0）解析：解析：曲面方程F(x，y，z)=0，F(x，y，z)=z—e z+2xy一3，，2x，1一e z}，gradF｜M0 ={4，2，0}=2{2，1，0}．点M 0的切平面方程为 2(x一1)+(y一2)=0，即2x+y一4=0．13.过曲面z=4－x 2－y 2上点尸处的切平面平行于2x+2y+z一1=0，则P点的坐标为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(1，1，2)）解析：解析：P(x，y，z)处一个法向量n={2x，2y，1}，平面2x+2y+z一1=0的法向量n 0 ={2，2，1}，由n=λn 0x=λ，y=λ，λx=1，y=1，z=4—1—1=2，因此P点是(1，1，2)．14.曲线M 0 (1，1，2)处的切线方程为 1，法平面方程为 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ 一x=0）解析：解析：M 0在曲线上，M 0处的切向量=[(一4yz+4y)i+(一4x+4xz)j+(8xy一8xy)k] M0 =一4i+4j=4{一1，1，0}． M 0处切线方程法平面方程一(x一1)+(y一1)=0，即y一x=0．三、解答题(总题数：25，分数：50.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（多元函数微分学）-试卷6(总分：68.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：（分数：2.00）A.等于0B.不存在√C.D.0解析：解析：当取y=kx k有关，故极限不存在．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：将x视为常数，属基本计算．（分数：2.00）A.等于0B.不存在√C.D.存在且不等于0解析：解析：取5.设u=f(r)，而f(r)具有二阶连续导数，则=( )（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：属基本计算，考研计算中常考这个表达式．6.考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x 0，y 0 )处连续②f(x，y)在点(x 0，y 0 )处的两个偏导数连续③f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微④f(x，y)在点(x 0，y 0 )处的两个偏导数存在若P 推出性质Q ，则有 ( )（分数：2.00） A.②→③→① √ B.③→②→① C.③→④→① D.③→①→④解析：解析：本题考查图1．4—17.设函数u=u(x ，y)满足 及(x ，2x)=x ，u 1 "(x ，2x)=x 2，u 有二阶连续偏导数，则u 11"(x ，2x)=( )（分数：2.00） A. B. √ C. D.解析：解析：等式u(x ，2x)=x 两边对x 求导得u 1 "+2u 2 "=1，两边再对x 求导得 u 11 "+2u 12 "+2u 21 "+4u22"=0， ① 等式u 1 "(x ，2x)=x 2两边对x 求导得 u 11 "+2u 12 "=2x ， ② 将②式及u 12 "=u 21 "，u 11 "=u 21"代入①式中得u 11 "(x ，．8.利用变量替换u=x ，y=，可将方程化成新方程（分数：2.00） A. √ B. C. D.解析：解析：由复合函数微分法于是9.若函数u=．其中f ，y)u ，则函数G(x ，y)= ( )（分数：2.00） A.x+y B.x —y √ C.x 2一y 2D.(x+y) 2解析：解析：则u=xyf(t)，于是—y)u ，即G(x ，y)=x 一y ．10.已知du(x ，y)=[axy 3+cos(x+2y)]dx+[3x 2y 2+bcos(x+2y)]dy ，则 ( )（分数：2.00） A.a=2，b=一2 B.a=3，b=2 C.a=2，b=2 √ D.a=一2，b=2解析：解析：由du(x，y)=[axy 3 +cos(x+2y)-]dx+[3x 2 y 2 +bcos(x+2y)]dy可知，以上两式分别对y，x求偏导得3axy 2一2sin(x+2y)=6xy 2一bsin(x+2y)．故得a=2，b=2．11.设u(x，y)在平面有界闭区域D u(x，y)的 ( )（分数：2.00）A.最大值点和最小值点必定都在D的内部B.最大值点和最小值点必定都在D的边界上√C.最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D.最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上解析：解析：令 B 2一AC＞0，函数u(x，y)不存在无条件极值，所以，D的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D的内部出现．但是u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域D上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D的边界上．12.设函数z=(1+e y )cos x—ye y，则函数z=f(x，y) ( )（分数：2.00）A.无极值点B.有有限个极值点C.有无穷多个极大值点√D.有无穷多个极小值点解析：解析：本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷，给判别带来一定的难度．事实证明，考生对这类问题把握不好，请复习备考的同学们注意加强对本题的理解和记忆．得驻点为(kπ,coskπ-1),k=0,±1，±2，…，又z xx "=一(1+e y )cos x，z xy "=一e y sin x，z yy "=e y (cos x一2一y)． (1)当k=0，±2，±4，…时，驻点为(kπ，0)，从而 A=z2一AC=一2＜0，而A=一2＜0，xx "(kπ，0)=一2，B=z xy "(kπ，0)=0，C=z yy "(kπ，0)=一1，于是B即驻点(kπ，0)均为极大值点，因而函数有无穷多个极大值； (2)当k=±1，±3，…时，驻点为(kπ，一2)，此时 A=z xx "(kπ，一2)=1+e -2，B=z xy "(kπ一2)=0，C=z yy "(kπ，一2)=一e -2，于是B 2一AC=(1+e -2 ).e -2＞0，即驻点(kπ，一2)为非极值点．综上所述，故选(C)．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)13.设f可微，则由方程f(cx一az，cy—bz)=0确定的函数z=z(z，y)满足az x "+bz y "= 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：c）解析：解析：方程两边求全微分，得f 1 ".(cdx—adx)+f 2 ".(fdy—bdz)=0，即14.设函数z=z(x，y)由方程sin x+2y-z=e z所确定，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：方程两端对x15.函数f(x，y，z)=一2x 2在x 2一y 2一2z 2 =2条件下的极大值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一4）解析：解析：由拉格朗日乘数法可得．16.函数 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）17.设z=e sinxy，则dz= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e sinxy cos xy(ydx+xdy)）解析：解析：z x "=e sinxy cos xy.y，z y "=e sinxy cos xy.x，则dz=e sinxy cos xy(ydx+xdy)．三、解答题(总题数：17，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（多元函数微分学、重积分）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2012年试题，一)设函数f(x，y)为可微函数，且对任意的x，y都有则使不等式f(x1，y1)>f(x2，y2)成立的一个充分条件是( )．A．x1＞x2，y1＜y2B．x1＞x2，y1＞y2C．x1如果f(x1，y1)>f(x2，y1)，则x1＞x2，又，如果有f(x2，y1)>f(x2，y2)，则y1＜y2．所以f(x1，y1)>f(x2，y1)>f(x1，y2)时，就有x1＞x2，y1＜y2．因此选A．知识模块：多元函数微分学2．(2007年试题，一)二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：选项A相当于已知f(x，y)在点(0，0)处连续．选项B相当于已知两个一阶偏导数fx’(0，0)，fy’(0，0)存在，因此A,B均不能保证f(x，y)在点(0，0)处可微．选项D相当于已知两个一阶偏导数fx’(0，0)fy’(0，0)存在，但不能推导出两个一阶偏导数fx’(x，y)fy’(x，y)在点(0，0)处连续，因此也不能保证f(x，y)在点(0，0)处可微．对于选项C，若则即fx’(0，0)=0．同理有fy’(0，0)=0．从而有根据可微的定义，知函数f(x，y)在(0，0)处可微．故应选C．知识模块：多元函数微分学3．(2005年试题，二)设函数其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设可得因为所以选B．知识模块：多元函数微分学4．(2010年试题，5)设函数z=z(x，y)，由方程确定．其中，为可微函数，且F2’≠0，则：A．xB．zC．一xD．一z正确答案：B解析：根据题意可得故而有，即正确答案为B．知识模块：多元函数微分学5．(2011年试题，一)设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)>0，g(0)0 B．f’’(0)0，g’’(0)>0D．f’’(0)>0，g’’(0)在(0，0)点，A=f’’(0)g(0)，B=f’(0)g’(0)=0，C=f(0)g’’(0)若z=f(x)g(y)在(0，0)有极小值．则AC—B2＞0且A>0→f’’(0)0，故选A．知识模块：多元函数微分学6．(2009年试题，一)设函数z=f(x，y)的全微分为出=xdx+ydy，则点(0，0)( )．A．不是f(x，y)的连续点B．不是f(x，y)的极值点C．是f(x，y)的极大值点D．是f(x，y)的极小值点正确答案：D解析：由全微分dz=xdx+ydy可得令在(0，0)处又因为在此处A=1>0且AC 一B2=1>0，故可知点(0，0)为函数z=f(x，y)的一个极小值点．故正确答案为D．知识模块：多元函数微分学7．(2006年试题，二)设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若f’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若f’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0C．若f’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若f’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0正确答案：D解析：用拉格朗日乘数法判断．令F(戈，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，则(x0，y0)满足若fx’(x0，y0)=0，由(1)式→λ或φx(x0，y0)=0，而当λ=0时，由(2)式得fy’(x0;y0)=0；当λ≠0时，由(2)式及φy’(x0，y0)≠0→fy’(x0，y0)≠0．所以排除A，B．若fx’(x0，y0)≠0，则由(1)式λ→0，再由(2)式及φy’(x0，y0)≠0→fy’(x0，y0)≠0，即fx’(x0，y0)≠0时，fy’(x0，y0)≠0．故选D．知识模块：多元函数微分学8．(2010年试题，6)=( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：因故根据积分的几何定义可知．即正确答案为D．知识模块：重积分9．(2008年试题，一)设函数f(x)连续，．其中区域Duv为图1-5-1，阴影部分，则( )．A．vf(u2)B．C．vf(u)D．正确答案：A解析：在极坐标系下，则故应选A．知识模块：重积分10．(2004年试题，二)设函数f(u)连续，区域D=｜(x，y)｜x2+y2≤2y｜，则等于( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设，从而A不成立；由于仅知f(u)连续，题设并未指出f(xy)是否具有关于坐标轴的对称性，因此B不一定成立；将原积分化为极坐标下二次积分，有所以选择D[评注]由极坐标下面积元dz=rdrdθ可排除(c)，由D的边界曲线x2+(y一1)2=1可排除A，由f(x，y)为抽象函数知B不对，故应选D．知识模块：重积分11．(2012年试题，一)设区域D由曲线围成，则( )．A．πB．2C．-2正确答案：D解析：其中，sinx为奇函数，在对称区间上积为零，应选D 知识模块：重积分12．(2005年试题，二)设区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，x>0，y≥0}f(x)为D 上的正值连续函数，a，b为常数,则A．abπB．C．(a+b)πD．正确答案：D解析：由题意可知，D关于直线Y=X对称，于是从而可得所以选D 知识模块：重积分13．(2009年试题，一)设函数f(x,y)连续，则A．B．C．D．正确答案：C解析：[*]的积分区域有两部分：D1={(x，y)｜1≤x≤2，x≤y≤2}，D2={(x，y)｜1≤y≤2，y≤x≤4一y}这两个积分区域可合成一个积分区域D={(x，y)｜1≤y≤2，1≤x≤4一y}，所以题干中的二重积分等于[*]y)dx．故正确答案为C．知识模块：重积分14．(2007年试题，一)设函数f(x，y)连续，则二次积分等于( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由二次积分的积分上、下限可知积分区域为的反函数为x=π—arcsiny，则上述区域等价于，所以积分变换为故应选B．[评注]关键在于先确定x和y的范围，再交换积分次序，确定y的范围时应注意，当时，y=sinx=sin(π一x)于是π一x=arcsiny，从而x=π—arc-siny 知识模块：重积分15．(2006年试题，二)设f(x，y)为连续函数，则等于( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：用排除法．若选择先y后x的积分顺序，则要分块积分．由于选项并未分块积分，故A,B错误．又其中D如图1一5—4所求，其极坐标表示为0≤r≤1，0≤θ≤现转换为先x后y的积分顺序：因为y=x与x2+y2=1在第一象限的交点为所以从而故选C．知识模块：重积分填空题16．(2012年试题，二)设y=y(x)是由方程x2一y+1=ey所确定的隐函数，则__________.正确答案：将x=0代入方程x2+y+1=ey，得y=0，在方程x2一y+1=ey两端对x求一阶导，得2x—y’=y’ey，将x=0，y=0代入得y’(0)=0再在2x—y’=y’ey 两端对x求一阶导，得2一y’’=y’’ey+(y’)2ey，将x=0，y=0，y’(0)=0代入得y’’(0)=1，即涉及知识点：多元函数微分学17．(2004年试题，一)设函数z=z(x，y)由方程x=e2x-3x+2y确定，则_________.正确答案：由方程z=e2x-3x+2y两边分别对x，y求偏导得于是所以解析：在函数f(x，y，z)中x,y，z都是相互独立的自变量，求隐函数偏导数有三种方法：按复合函数求导；代公式；利用全微分的形式不变性．知识模块：多元函数微分学18．(2006年试题，三(20))设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数．且z=f 满足等式(I)验证(Ⅱ)若f(1)=0,f’(1)=1，求函数f(u)的表达式．正确答案：(I)用复合函数求导法验证．令，则式(1)+式(2)，得(Ⅱ)因为(已证)，所以uf’’(u)+f’(u)=0，即[uf’(u)]’=0积分得uf’(u)=C1由f’(1)=1→C1=1，于是再积分得f(u)=In｜u｜+C2由f(1)=0→C2=0，所以f(u)=In｜u｜．涉及知识点：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。