5 曲线拟合的最小二乘法

最新资料推荐最小二乘法拟合原理最小二乘法拟合原理最小二乘拟合在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。

根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。

这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x与y之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x与y之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。

后一种情况常假设x与y之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。

一、最小二乘法原理在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x，而把所有的误差只认为是y的误差。

设x和y的函数关系由理论公式y = f (x; cl , c2 , cm) (0-0-1 ) 给出，其中cl , c2 , cm是m个要通过实验确定的参数。

对于每组观测数据(xi , yi ) i = 1, 2 , , N。

都对应于xy平面上一个点。

若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。

只要选取m组测量值代入式（0-0-1 ）,便得到方程组yi1 / 12=f （x; cl , c2 , cm）（0-0-2 ）式中i = 1,2 , , m.求m个方程的联立解即得m个参数的数值。

显然Nm时，参数不能确定。

在Nm的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得m个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。

设测量中不存在着糸统误差，或者说已经修正，则y 的观测值yi围绕着期望值f （x ；cl ,c2 , cm）摆动，其分-布为正态分布，则yi的概率密度为p yi 1 yi f xi;c1, c2, ............................... , cm exp 2 2 i2 i2 ，式中i是分布的标准误差为简便起见，下面用C代表（cl，c2，cm）。

最小二乘法原理1. 概念 最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m 个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。

2. 原理给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m 。

求近似曲线y= φ(x)。

并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。

近似曲线在点pi 处的偏差δi= φ(xi)-yi ，i=1,2,...,m 。

常见的曲线拟合方法：1. 是偏差绝对值最小11min (x )y m mi i i i i φδφ===-∑∑ 2. 是最大的偏差绝对值最小min max (x )y i i i iφδϕ=- 3. 是偏差平方和最小2211min ((x )y )m mii i i i φδϕ===-∑∑ 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。

推导过程：1. 设拟合多项式为：01...k k y a a x a x =+++2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：22011(...)m k i i k i i R y a a x a x =⎡⎤=-+++⎣⎦∑ 3. 为了求得符合条件的a 值，对等式右边求ak 偏导数，因而我们得到了：0112(...)0m k i k i i y a a x a x =⎡⎤--+++=⎣⎦∑0112(...)0m k ik i i y a a x a x x =⎡⎤--+++=⎣⎦∑……..0112( 0k k i k i i y a a x a x x =⎡⎤--+++=⎣⎦∑4. 将等式简化一下，得到下面的式子01111...n n nki k ii i i i a n a x a x y ===+++=∑∑∑ 21011111...n n n nk i ik i i i i i i i a x a x a x y x +====+++=∑∑∑∑ ……12011111...n n n nkk k k ii k i i i i i i i a x a x a x y x +====+++=∑∑∑∑ 5. 把这些等式表示成矩阵形式，就可以得到下面的矩阵：11102111111121111.........n n n k i i i i i i n n n n k i i i i i i i i i n n n n k k k k k i i i i i i i i i n x x y a a x x x x y a x x x x y ===+====+====⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 6. 将这个范德蒙矩阵化简后得到：011112221...1...1...k k k k n n n a y x x a y x x a y x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

最小二乘法拟合原理最小二乘法是一种常用的数学方法，用于寻找一组数据的最佳拟合曲线或者最佳拟合函数。

它的原理是通过最小化实际观测数据与拟合曲线之间的残差平方和，来确定最佳拟合曲线的参数。

这个方法在实际应用以及科学研究中非常常见，下面将详细介绍最小二乘法的拟合原理。

在介绍最小二乘法之前，我们首先需要了解线性回归模型。

线性回归是一种常见的数据拟合手段，它基于以下假设：给定自变量X和因变量Y，存在一个线性关系Y=aX+b。

其中，a称为斜率，b称为截距。

当我们拥有一组数据（X1，Y1），（X2，Y2），（X3，Y3），...，（Xn，Yn）时，最小二乘法通过找到最佳的a和b，使得方程Y=aX+b最好地拟合这组数据。

它通过最小化每个观测点的残差来确定最佳拟合曲线。

残差是指实际观测值与拟合值之间的差异。

对于每一个观测点（Xi，Yi），其拟合值为Yi'=aXi+b，残差为Ri=Yi-Yi'，即实际观测值与拟合值的差。

S=∑(Yi-Yi')²=∑(Yi-aXi-b)²为了找到最佳的a和b，我们需要求解方程S对a和b的偏导数，并令其等于0。

求解a和b的偏导数得到以下两个方程：∂S/∂a=0∂S/∂b=0对第一个方程求解可以得到：∂S/∂a=-2∑(Yi-aXi-b)Xi=0进一步整理可以得到：∑YiXi-a∑(Xi)²-b∑(Xi)=0对第二个方程求解可以得到：∂S/∂b=-2∑(Yi-aXi-b)=0进一步整理可以得到：∑Yi - a∑(Xi) - nb = 0其中，n为观测点的数目。

解这个方程组，我们可以得到a和b的值，从而确定最佳拟合曲线的方程Y=aX+b。

最小二乘法还可以用于非线性的数据拟合。

对于非线性拟合，我们可以假设一个非线性的函数模型，例如Y=f(X,θ)，其中θ是待拟合的参数。

然后，通过最小化残差平方和来确定最佳的θ值。

方法类似于线性拟合，其中拟合值变为Yi'=f(Xi,θ)，残差为Ri=Yi-Yi'。

Lab04．曲线拟合的最小二乘法实验【实验目的和要求】1．让学生体验曲线拟合的最小二乘法，加深对曲线拟合的最小二乘法的理解；2．掌握函数ployfit和函数lsqcurvefit功能和使用方法，分别用这两个函数进行多项式拟合和非多项式拟合。

【实验内容】1．在Matlab命令窗口，用help命令查询函数polyfit和函数lsqcurvefit 功能和使用方法。

2．用多项式y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)，再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0，1)均匀分布随机数，或用randn产生N(0，1)均匀分布随机数)，然后对xi和添加了随机干扰的yi用Matlab提供的函数ployfit用3次多项式拟合，将结果与原系数比较。

再作2或4次多项式拟合，分析所得结果。

3．用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为，其中V0是电容器的初始电压，τ是充电常数。

对于下面的一组t，v数据，用Matlab提供的函数lsqcurvefit确定V0和τ。

t(秒) 0.5 1 2 3 4 5 7 9v(伏) 6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63 【实验仪器与软件】1．CPU主频在1GHz以上，内存在128Mb以上的PC；2．Matlab 6.0及以上版本。

实验讲评：实验成绩：评阅教师：200 年月日问题及算法分析：1、利用help命令，在MATLAB中查找polyfit和lsqcurvefit函数的用法。

2、在一组数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)上，对yi上添加随机干扰，运用多项式拟合函数，对数据进行拟合（分别用2次，3次，4次拟合），分析拟合的效果。

3、根据t和V的关系画散点图，再根据给定的函数运用最小二乘拟合函数，确定其相应参数。

第一题：（1）>> help polyfitPOLYFIT Fit polynomial to data.P = POLYFIT(X,Y,N) finds the coefficients of a polynomial P(X) ofdegree N that fits the data Y best in a least-squares sense. P is arow vector of length N+1 containing the polynomial coefficients indescending powers, P(1)*X^N + P(2)*X^(N-1) +...+ P(N)*X + P(N+1).[P,S] = POLYFIT(X,Y,N) returns the polynomial coefficients P and astructure S for use with POLYVAL to obtain error estimates forpredictions. S contains fields for the triangular factor (R) from a QRdecomposition of the Vandermonde matrix of X, the degrees of freedom(df), and the norm of the residuals (normr). If the data Y are random,an estimate of the covariance matrix of P is(Rinv*Rinv')*normr^2/df,where Rinv is the inverse of R.[P,S,MU] = POLYFIT(X,Y,N) finds the coefficients of a polynomial inXHAT = (X-MU(1))/MU(2) where MU(1) = MEAN(X) and MU(2) = STD(X). Thiscentering and scaling transformation improves the numerical propertiesof both the polynomial and the fitting algorithm.Warning messages result if N is >= length(X), if X has repeated, ornearly repeated, points, or if X might need centering and scaling.Class support for inputs X,Y:float: double, singleSee also poly, polyval, roots.Reference page in Help browserdoc polyfit>>（2）>> help lsqcurvefitLSQCURVEFIT solves non-linear least squares problems.LSQCURVEFIT attempts to solve problems of the form:min sum {(FUN(X,XDATA)-YDATA).^2} where X, XDATA, YDATA and the valuesX returned by FUN can be vectors ormatrices.X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA) starts at X0 and finds coefficients Xto best fit the nonlinear functions in FUN to the data YDATA (in theleast-squares sense). FUN accepts inputs X and XDATA and returns avector (or matrix) of function values F, where F is the same size asYDATA, evaluated at X and XDATA. NOTE: FUN should returnFUN(X,XDATA)and not the sum-of-squares sum((FUN(X,XDATA)-YDATA).^2).((FUN(X,XDATA)-YDATA) is squared and summed implicitly in thealgorithm.)X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB) defines a set of lower andupper bounds on the design variables, X, so that the solution is in therange LB <= X <= UB. Use empty matrices for LB and UB if no boundsexist. Set LB(i) = -Inf if X(i) is unbounded below; set UB(i) = Inf ifX(i) is unbounded above.X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB,OPTIONS) minimizes with thedefault parameters replaced by values in the structure OPTIONS, anargument created with the OPTIMSET function. See OPTIMSET for details.Used options are Display, TolX, TolFun, DerivativeCheck, Diagnostics,FunValCheck, Jacobian, JacobMult, JacobPattern, LineSearchType,LevenbergMarquardt, MaxFunEvals, MaxIter, DiffMinChange andDiffMaxChange, LargeScale, MaxPCGIter, PrecondBandWidth, TolPCG,OutputFcn, and TypicalX. Use the Jacobian option to specify that FUNalso returns a second output argument J that is the Jacobian matrix atthe point X. If FUN returns a vector F of m components when X has length n, then J is an m-by-n matrix where J(i,j) is the partialderivative of F(i) with respect to x(j). (Note that the Jacobian J isthe transpose of the gradient of F.)[X,RESNORM]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,...) returns the valueof thesquared 2-norm of the residual at X: sum {(FUN(X,XDATA)-YDATA).^2}.[X,RESNORM,RESIDUAL]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,...) returns the value of residual,FUN(X,XDATA)-YDATA, at the solution X.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,...) returnsan EXITFLAG that describes the exit condition of LSQCURVEFIT. Possiblevalues of EXITFLAG and the corresponding exit conditions are1 LSQCURVEFIT converged to a solution X.2 Change in X smaller than the specified tolerance.3 Change in the residual smaller than the specified tolerance.4 Magnitude of search direction smaller than the specified tolerance.0 Maximum number of function evaluations or of iterations reached.-1 Algorithm terminated by the output function.-2 Bounds are inconsistent.-4 Line search cannot sufficiently decrease the residual alongthecurrent search direction.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA ,...)returns a structure OUTPUT with the number of iterations taken inOUTPUT.iterations, the number of function evaluations inOUTPUT.funcCount,the algorithm used in OUTPUT.algorithm, the number of CG iterations (ifused) in OUTPUT.cgiterations, the first-order optimality (if used)inOUTPUT.firstorderopt, and the exit message in OUTPUT.message.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDAT A,YDATA,...)returns the set of Lagrangian multipliers, LAMBDA, at the solution:LAMBDA.lower for LB and LAMBDA.upper for UB.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA,JACOBIAN]=LSQCURVEFIT(FU N,X0,XDATA,YDATA,...)returns the Jacobian of FUN at X.ExamplesFUN can be specified using @:xdata = [5;4;6]; % example xdataydata = 3*sin([5;4;6])+6; % example ydatax = lsqcurvefit(@myfun, [2 7], xdata, ydata)where myfun is a MATLAB function such as:function F = myfun(x,xdata)F = x(1)*sin(xdata)+x(2);FUN can also be an anonymous function:x = lsqcurvefit(@(x,xdata) x(1)*sin(xdata)+x(2),[2 7],xdata,ydata)If FUN is parameterized, you can use anonymous functions to capture theproblem-dependent parameters. Suppose you want to solve the curve-fittingproblem given in the function myfun, which is parameterized by its secondargument c. Here myfun is an M-file function such asfunction F = myfun(x,xdata,c)F = x(1)*exp(c*xdata)+x(2);To solve the curve-fitting problem for a specific value of c, first assignthe value to c. Then create a two-argument anonymous function that capturesthat value of c and calls myfun with three arguments. Finally, pass thisanonymous function to LSQCURVEFIT:xdata = [3; 1; 4]; % example xdataydata = 6*exp(-1.5*xdata)+3; % example ydatac = -1.5; % define parameterx = lsqcurvefit(@(x,xdata) myfun(x,xdata,c),[5;1],xdata,ydata) See also optimset, lsqnonlin, fsolve, @, inline.Reference page in Help browserdoc lsqcurvefit>>第二题：1 三次线性拟合clear allx=0:0.5:5;y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;y1=y;for i=1:length(y)y1(i)=y1(i)+rand;enda=polyfit(x,y1,3);b=polyval(a,x);plot(x,y,'*',x,b),aa =1.0121 -6.1033 5.1933 -2.4782② 二次线性拟合clear allx=0:0.5:20;y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;y1=y;for i=1:length(y)y1(i)=y1(i)+rand;enda=polyfit(x,y1,2);b=polyval(a,x);plot(x,y,'*',x,b),aa =23.9982 -232.0179 367.9756③ 四次线性拟合clear allx=0:0.5:20;y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;y1=y;for j=1:length(y)y1(j)=y1(j)+rand;enda=polyfit(x,y1,4);b=polyval(a,x);plot(x,y,'*',x,b),aa =-0.0001 1.0038 -6.0561 5.2890 -2.8249 >>第三题：1 拟合曲线为：f(x)=定义函数：function f=fun(a,x)f=a(1)-(a(1)-a(2))*exp(-a(3)*x);主程序：clear allclcx=[0.5 1 2 3 4 5 7 9];y=[6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63];a0=[1 1 1];a=lsqcurvefit('fun',a0,x,y);y1=a(1)-(a(1)-a(2))*exp(-a(3)*x);plot(x,y,'r*',x,y1,'b')V1=a(2)tei=1/a(3)Optimization terminated: relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun.。

最小二乘法表达式
最小二乘法是一种常见的数学方法，用于拟合数据点的线性模型。

它通过最小化观测值与模型预测值之间的平方误差来确定最佳拟合
直线。

最小二乘法的表达式可以用以下公式表示：
y = a + bx
其中，y是因变量，x是自变量，a是截距，b是斜率。

最小二乘法的目标是找到最佳的a和b，使得所有数据点到拟合直线的距离平方和最小化。

最小二乘法可以用于各种拟合问题，例如线性回归、非线性回归、曲线拟合等。

它是统计学、经济学等领域中广泛应用的方法之一。

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数学建模中的参数拟合方法数学建模是研究实际问题时运用数学方法建立模型，分析和预测问题的一种方法。

在建立模型的过程中，参数拟合是非常重要的一环。

所谓参数拟合，就是通过已知数据来推算模型中的未知参数，使模型更加精准地描述现实情况。

本文将介绍数学建模中常用的参数拟合方法。

一、最小二乘法最小二乘法是一种常用的线性和非线性回归方法。

该方法通过最小化误差的平方和来估计模型参数。

同时该方法的优点在于可以使用简单的数学公式解决问题。

最小二乘法的基本思想可以简单地表示如下：对于给定的数据集合，设其对应的观测值集合为y,$y_1,y_2,...,y_n$，对应的自变量集合为x,$x_1,x_2,...,x_n$，则目标是找到一组系数使得拟合曲线最接近实际数据点。

通常拟合曲线可以用如下所示的线性方程表示：$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_kx^k$$其中，k为拟合曲线的阶数，$a_i$表示第i个系数。

最小二乘法的目标即为找到一组系数${a_0,a_1,...,a_k}$，使得曲线拟合残差平方和最小：$$S=\sum_{i=1}^{n}(y_i-f(x_i))^2$$则称此时求得的拟合数学模型为最小二乘拟合模型。

最小二乘法在实际问题中应用广泛，如线性回归分析、非线性回归分析、多项式拟合、模拟建模等领域。

对于非线性模型，最小二乘法的数学公式比较复杂，需要使用计算机编程实现。

二、梯度下降法梯度下降法是一种优化算法，通过求解函数的导数，从而找到函数的最小值点。

在数学建模中，梯度下降法可以用于非线性回归分析，最小化误差函数。

梯度下降法的基本思想为：在小区间范围内，将函数$f(x)$视为线性的，取其一阶泰勒展开式，在此基础上进行优化。

由于$f(x)$的导数表示$f(x)$函数值增大最快的方向，因此梯度下降法可以通过调整参数的值，逐渐朝向函数的最小值点移动。

具体地，对于给定的数据集合，设其对应的观测值集合为y,$y_1,y_2,...,y_n$，对应的自变量集合为x,$x_1,x_2,...,x_n$，则目标是找到一组系数使得拟合曲线最接近实际数据点。