2018高三数学一轮复习专项检测试题：13 Word版含解析

数列
解答题(本大题共个小题，共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
．函数()定义在[]上,满足且(),在每个区间,…)上, () 的图象都是平行于轴的直线的一部分.
(Ⅰ)求()及的值,并归纳出)的表达式;
(Ⅱ)设直线轴及()的图象围成的矩形的面积为, 求及
的值.
【答案】 (Ⅰ) 由()(), 得().
由及(), 得.
同理,
归纳得
(Ⅱ) 当时,
所以是首项为,公比为的等比数列.
所以
．已知等差数列满足；又数列满足…
，其中是首项为，公比为的等比数列的前项和。

(）求的表达式；
(Ⅱ）若，试问数列中是否存在整数，使得对任意的正整数都有成立？并证明你的结论。

【答案】（）设的首项为，公差为，于是由
解得
(Ⅱ）
由①
得②
①—②得即
当时，，当时，。

2018届高考数学一轮统计复习精选试题（广州市天河区附
答案）
5 c 统计02
解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出字说明，证明过程或演算步骤)
1．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下
(Ⅰ）求出表中及图中的值；
(Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；
(Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于5、4-7选方面进行改革，由学生自由选择2门（不可多选或少选），选情况如下表
(1）为了解学生情况，现采用分层抽样方法抽取了三科作业共50本，统计发现4-5有18本，试根据这一数据求出的值。

(2）为方便开，学校要求，计算的概率。

【答案】 (1)由每生选2科知共有600人次选，所以按分层抽样得，
所以a=116,从而b=114
(2)因为a+b=230
a≥110，b＞110,所以（a,b）的取值有
(110，120）（111，119）（112，118）（113，117）
(114，116）（115，115）（116，114）（117，113）。

高考数学复习练习题全套(附参考答案)1. 已知：函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ．2. 设,x y 为正实数，且33log log 2x y +=，则11x y+的最小值是 . 3. 已知：()()()()50050A ,,B ,,C cos ,sin ,,αααπ∈． （1）若AC BC ⊥，求2sin α．（2）若31OA OC +=OB 与OC 的夹角．4. 已知：数列{}n a 满足()211232222n n na a a a n N -+++++=∈……． （1）求数列{}n a 的通项． （2）若n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项的和n S ．姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 002 1. 2275157515cos cos cos cos ++的值等于 ．2. 如果实数.x y 满足不等式组22110,220x x y x y x y ≥⎧⎪-+≤+⎨⎪--≤⎩则的最小值是 ．3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）．（1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）；（2）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值．4. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数．(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；(2)判断函数()21xg x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数()f x 为理想函数，假定∃[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证00()f x x =．0.01频率组距姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 003 1. 复数13i z =+，21i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第_______象限． 2. 一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 . 3. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（是不小于40不大于100的整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后：（1）求第四小组的频率，并补全这个画出如下部分频率分布直方图.(2) 观察频率分布直方图图形的信息，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．4. 在ABC ∆中，c ,b ,a 分别是角A 、B 、C 的对边，,a (n ),C cos ,c b (m =-=→→2)A cos ，且→→n //m ． （1）求角A 的大小；（2）求)23cos(sin 22B B y -+=π的值域．姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 0041. 如果执行下面的程序框图，那么输出的S =2．△ABC 中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则△ABC 的面积等于 __． 3. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面CB 1D 1； （2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．4. 已知数列{}n a 的首项1213a a ==，，前n 项和为n S ，且1n S +、n S 、1n S -（n ≥2）分别是直线l 上的点A 、B 、C 的横坐标，21n na AB BC a +=，设11b =，12log (1)n n n b a b +=++． ⑴ 判断数列{1}n a +是否为等比数列，并证明你的结论；⑵ 设11114n b n n n n c a a +-++=，证明：11<∑=nk k C ．批阅时间 等级DA B 1C 1D 1E课堂作业参考答案（1）1. 32a ≤；2. 23； 3. 解：（1）()()cos 5,sin ,cos ,sin 5AC BC αααα=-=-…………………………1分AC BC ⊥，∴()()cos cos 5sin sin 50AC BC αααα⋅=-+-=，即1sin cos 5αα+=………………………………………………………………4分 ∴()21sin cos 25αα+=， ∴24sin 225α=-………………………………………7分（2）()5cos ,sin OA OC αα+=+，∴(5OA OC +==9分∴1cos 2α=又()0,απ∈，∴sin α=, 1,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴53OB OC ⋅=11分 设OB 与OC 夹角为θ，则52cos 512OB OC OB OCθ⋅===⋅⋅，∴30θ︒= , OB 与OC 夹角为30︒……14分。

2018年高考数学二轮复习分类专项训练題目录专项检测试题01 不等式专项检测试题02 导数及应用专项检测试题03 概率专项检测试题04 函数专项检测试题05 集合与逻辑专项检测试题06 计数原理专项检测试题07 空间几何体（1）专项检测试题08 空间几何体（2）专项检测试题09 平面向量专项检测试题10 三角函数（1）专项检测试题11 三角函数（2）专项检测试题12 数列（1）专项检测试题13 数列（2）专项检测试题14 数系扩充与复数的引入专项检测试题15 算法初步与框图（1）专项检测试题16 算法初步与框图（2）专项检测试题17 统计（1）专项检测试题18 统计（2）专项检测试题19 推理与证明专项检测试题20 选考内容专项检测试题21 圆锥曲线与方程（1） 专项检测试题22 圆锥曲线与方程（2） 专项检测试题23 直线与圆专项检测试题24 平面解析几何（1） 专项检测试题25 平面解析几何（2） 专项检测试题26 平面解析几何（3） 专项检测试题27 平面解析几何（4） 专项检测试题28 平面解析几何（5）不等式第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知不等式222xy ax y ≤+，若对任意[]1,2x ∈及[]2,3y ∈，该不等式恒成立，则实数a 的范围是( ) A ．3519a -≤≤- B ．31a -≤≤- C ．3a ≥- D ．1a ≥-【答案】D2．已知0,0>>b a ，以下三个结论：①22b a b a ab +≤+，②，2222b a b a +≤+③b a ba ab +≥+22，其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D3．设函数)0(112)(<-+=x xx x f ，则)(x f ( ) A ．有最大值 B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数【答案】A4．设M ＝2a(a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( )A ．M ＞NB ．M ≥NC ．M ＜ND ．M ≤N 【答案】B5．不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于R x ∈恒成立，那么a 的取值范围是( )A ．)2,2(-B ．]2,2(-C ．]2,(-∞D ．)2,(--∞【答案】B6．今有甲、乙、丙、丁四人通过“拔河”进行“体力”较量。

2018届山东省菏泽高三一轮复习强化训练数学（文）试题(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,5},∁U B={4,5,6},则A ∩B=( ) A.{1,2} B.{5} C.{1,2,3} D.{3,4,6}2.若复数z 满足(3-4i)z=1+i,则复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. .已知p :a<0,q :a 2>a ,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若焦点在x 轴上的双曲线=1的离心率为,则该双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±x B.y=±2x C.y=±x D.y=±x5.执行如图所示的程序框图,输出的结果是( )A.5B.7C.9D.116. .已知双曲线=1(a>0,b>0)与椭圆=1的焦点相同,若过右焦点F ,且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同的交点,则此双曲线的实半轴长的取值范围是( ) A.(2,4) B.(2,4] C.[2,4) D.(2,+∞)7.若数列{a n }满足=d (n ∈N *,d 为常数),则称数列{a n }为调和数列.已知数列为调和数列,且x 1+x 2+…+x 20=200,则x 5+x 16=( ) A.10 B.20 C.30 D.408.先将函数f (x )=2sin 的周期变为原来的4倍,再将所得函数的图象向右平移个单位,则所得图象的函数解析式为( )A.h (x )=2sin xB.h (x )=2sinC.h (x )=2sin 4xD.h (x )=2sin 9.函数y=x sin x+cos x 的图象大致是( )10. .若定义在R 上的函数f (x )满足f (1)=1,且对任意的x ∈R ,都有f'(x )<,则不等式f (log 2x )>的解集为( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,2)D.(2,+∞)11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上,且|AK|=|AF|,则点A的横坐标为()A.2B.3C.2D.412.已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax-1恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-6]B.[-6,0]C.(-∞,-1]D.[-1,0]第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设等比数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n.若a1=1,a3=4,S k=63,则k= .14.若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,a⊥(a+λb),则λ=.15.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,则2枝玫瑰的价格m与3枝康乃馨的价格n的大小关系是.16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2-a2=bc,>0,a=,则b+c的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在等差数列{a n}中,a7=4,a19=2a9.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.18.(本小题满分:部):按分层抽样的方法在这个月生产的手机中抽取50部,其中A类手机有10部.(1)求a的值;(2)用分层抽样的方法在A,B两类手机中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2部,求至少有1部A类手机的概率;(3)用随机抽样的方法从A,B两类手机中各抽取4部,进行综合指标评分,经检测它们的得分如图,比较哪类手机综合评分比较稳定.19.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点.(1)求证:BM∥平面PAD;(2)求证:PD⊥平面ABM;(3)求三棱锥A-PBM的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合,原点到过点A(a,0),B(0,- b)的直线的距离是.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P,过F1作PF1的垂线与直线l交于点Q,求证:点Q在定直线上,并求出定直线的方程.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=a(x2-1)-x ln x.(1)若F(x)=f'(x),当a=时,求F(x)的单调区间;(2)若当x≥1时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos=0.(1)写出直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程;(2)求圆C截直线l所得的弦长.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=|x-4|+|x-a|(a>1).(1)若f(x)的最小值为3,求a的值;(2)在(1)的条件下,求使得不等式f(x)≤5成立的x的取值集合.2018届山东省菏泽高三一轮复习强化训练数学（文）试题参考答案1.A.2.B3.B4.A.5.C6.B7.D8.B9.A 10.D 11.B 12.B 13.6 14.2 15.m>n16.由b2+c2-a2=bc得A=.由>0得B为钝角,故A+C<.从而0<C<.由正弦定理可知,=1,从而b+c=sin B+sin C=sin+sin C=sin.又因为0<C<,所以<b+c<.17.解 (1)由a7=a1+6d=4,a1+18d=2(a1+8d),得a1=1,d=,故a n=.(2)因为b n==2,所以S n=b1+b2+…+b n=2=2.18.解 (1)由题意得×4 000=10,故a=10 000.(2)根据分层抽样可得,样本中有A类手机2部,B类手机3部,分别记作A1,A2,B1,B2,B3,则从中任取2部的所有基本事件为(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10个, 其中至少有1部A类手机的基本事件为(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7个, 故从中任取2部,至少有1部A类手机的概率为.(3)因为A类手机得分的平均数=88,B类手机得分的平均数=91,所以=13.5,=12.5.由12.5<13. 5,可知B类手机综合评分较稳定.19.(1)证明取PD的中点E,连接AE和EM,则EM∥CD,EM=CD.又AB∥CD,AB=CD,∴AB∥EM,AB=EM.∴四边形ABME为平行四边形,∴BM∥AE.又BM⊄平面PAD,AE⊂平面PAD,∴BM∥平面PAD.(2)证明∵AD=AP,E是PD中点,∴AE⊥PD.∵PA⊥AB,AD⊥AB,PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD.又AE∩AB=A,∴PD⊥平面ABM.(3)解∵在矩形ABME中,AB=1, BM=AE=PE=PD=,∴V三棱锥A-PBM=V三棱锥P-ABM=PE·S△ABM=.20.(1)解由题意可得点A,B,C的坐标分别为(-,0),(,0),.设椭圆的标准方程是=1(a>b>0),则2a=AC+BC=2,即a=,故b2=a2-c2=1.因此,椭圆的标准方程是+y2=1.(2)证明将y=kx+t代入椭圆方程,得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0.由直线与椭圆有两个交点,可知Δ=(6kt)2-12(1+3k2)(t2-1)>0,解得k2>.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.因为以MN为直径的圆过E点,所以=0,即(x1+1)(x2+1)+y1y2=0.因为y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+tk(x1+x2)+t2,所以(k2+1)-(tk+1)+t2+1=0,解得k=.因为>0,所以k2>,即k=符合Δ>0.所以对任意的t>0,都存在实数k=,使得以线段MN为直径的圆过E点.21.解 (1)因为F(x)=f'(x)=x-ln x-1,所以F'(x)=1-(x>0).所以当x∈(0,1)时,F'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,F'(x)>0.所以F(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).(2)因为当x≥1时,f(x)≥0,即a(x2-1)≥x ln x,所以a≥ln x.令g(x)=ln x-a(x≥1),则当x≥1时,g(x)≤0恒成立.g'(x)=.①当a≤0时,g'(x)=>0,可知g(x)在[1,+∞)内单调递增,故g(x)≥g(1)=0,这与g(x)≤0恒成立矛盾.②当a>0时,一元二次方程-ax2+x-a=0的判别式Δ=1-4a2.当Δ≤0,即a≥时,g(x)在[1,+∞)内单调递减,故g(x)≤g(1)=0,符合题意;当Δ>0,即0<a<时,设方程-ax2+x-a=0的两根分别是x1,x2,其中x1<1,x2>1.当x∈(1,x2)时,g'(x)>0,即g(x)在(1,x2)内单调递增,g(x)≥g(1)=0,这与g(x)≤0恒成立矛盾.综上可知,a≥,即a的取值范围为.22.解 (1)由得由①2+②2得,圆C的普通方程为(x-)2+(y-1)2=9.由ρcos=0,得ρcos θ-ρsin θ=0,故直线l的直角坐标方程为x-y=0.(2)由题意可知圆心(,1)到直线l的距离d==1.设圆C截直线l所得弦长为m,则=2,故m=4.23.解 (1)因为|x-4|+|x-a|≥|(x-4)-(x-a)|=|a-4|,又f(x)的最小值为3,所以|a-4|=3.又a>1,所以a=7.(2)由(1)知f(x)=|x-4|+|x-7|,因为f(x)≤5,所以解得3≤x≤8.所以使不等式f(x)≤5成立的x的取值集合为{x|3≤x≤8}.。

2018届高三数学第一轮复习阶段性测试题（带答案）
5 c 阶段性测试题七(不等式)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

) 1．()(2018 甘肃天水一中期末)已知a、b为非零实数，且a b，则下列不等式成立的是( )
A．a2 b2 B1a 1b
c1ab2 1a2b D1a－b 1a
[答案] c
[解析] ∵a，b为非零实数，且a b，∴当a＝－5，b＝1时，A、B不成立，当a＝1，b＝2时，D不成立，故选c
[点评] c可证明如下∵a，b为非零实数，∴a2b2 0，∵a b，∴aa2b2 ba2b2，∴1ab2 1a2b
(理)(2018 东北育才期末、辽宁大连市联考)若a 0，b 0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A1ab 12 B1a＋1b≤1
cab≥2 D1a2＋b2≤18
[答案] D
[解析] ∵a 0，b 0，a＋b＝4，∴ab≤a＋b2＝2，∴ab≤4，∴1ab≥14，
∴1a＋1b＝a＋bab＝4ab≥1，故A、B、c均错，选D
[点评] 对于D有，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥16－2×4＝8，∴1a2＋b2≤18
2．(2018 辽宁铁岭六校联考)设a 0，点集S的点(x，)满足下列所有条①a2≤x≤2a；②a2≤≤2a；③x＋≥a；④x＋a≥；⑤＋a≥x。

D 单元 数列D1 数列的概念与简单表示法15．D1，D5 对于E ＝{a 1，a 2，...，a 100}的子集X ＝{ai 1，ai 2，...，ai k }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，...，x 100，其中xi 1＝xi 2＝...＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0，1，1，0，0， 0(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于________；(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1，1≤i≤99；E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q 的元素个数为________．15．2 17 (1)由特征数列的定义可知，子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0…，0，故可知前三项和为2.(2)根据“E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1，1≤i≤99”可知子集P 的“特征数列”为1，0，1，0，…，1，0.即奇数项为1，偶数项为0.根据“E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j＋1＋q j ＋2＝1，1≤j≤98”可知子集Q 的“特征数列为1，0，0，1，0，0， 01.即项数除以3后的余数为1的项为1，其余项为0，则P∩Q 的元素为项数除以6余数为1的项，可知有a 1，a 7，a 13，…，a 97，共17项．4．D1 下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列a nn是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd}是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 44．D 因为数列{a n }为d>0的数列，所以{a n }是递增数列，则p 1为真命题．而数列{a n ＋3nd}也是递增数列，所以p 4为真命题，故选D.D2 等差数列及等有效期数列前n 项和19．D2，D4 设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n∈N *，函数f(x)＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .19．解：(1)由题设可得，f ′(x)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x. 对任意n∈N *，f′π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1·(n－1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2a n ＋12a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n （n ＋1）2＋121－12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n . 7．D2 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．27．A 设公差为d ，则8a 1＋28d ＝4a 1＋8d ，即a 1＝－5d ，a 7＝a 1＋6d ＝－5d ＋6d ＝d ＝－2，所以a 9＝a 7＋2d ＝－6.20．M2，D2，D3，D5 给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1，2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3，4，7，1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．20．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q>1， 所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1，2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1，2，…，n －1， d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q)q i －1.因此d i ≠0且d i ＋1d i ＝q(i ＝1，2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i≤n－2，因为B i ≤B i ＋1，d>0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d>B i ＋d i＝A i .又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列，因此A i ＝a i (i ＝1，2，…，n －1)． 又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1，所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1，2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ， 即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．17．D2、D4 等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1na n，求数列{b n }的前n 项和S n .17．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d.因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝4，a 19＝2a 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1＋8d ），解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12.(2)因为b n ＝1na n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，所以S n ＝21－22＋22－23＋…＋2n －2n ＋1＝2n n ＋1. 17．D2，D3 已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围． 17．解：(1)因为数列{a n }的公差d ＝1， 且1，a 1，a 3成等比数列，所以a 21＝1×(a 1＋2)， 即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或a 1＝2. (2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9， 所以5a 1＋10>a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10<0，解得－5<a 1<2.17．D2，D3 已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.17．解：(1)设{a n }的公差为d.由题意，a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d)2＝a 1(a 1＋12d)，于是d(2a 1＋25d)＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56) ＝－3n 2＋28n.20．D2 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n∈N *，求{b n }的前n 项和T n .20．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1. 解得a 1＝1，d ＝2. 因此a n ＝2n －1，n∈N *.(2)由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n∈N *，当n ＝1时，b 1a 1＝12；当n≥2时，b n a n ＝1－12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1＝12n .所以b n a n ＝12n ，n∈N *.由(1)知a n ＝2n －1，n∈N *，所以b n ＝2n －12n ，n∈N *.又T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ，12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1， 两式相减得12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1， 所以T n ＝3－2n ＋32n .17．D2 设S n 表示数列{}a n 的前n 项和． (1)若{}a n 是等差数列，推导S n 的计算公式；(2)若a 1＝1，q≠0，且对所有正整数n ，有S n ＝1－q n1－q .判断{}a n 是否为等比数列，并证明你的结论．17．解： (1)方法一：设{}a n 的公差为d ，则 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 1＋d)＋…＋，又S n ＝a n ＋(a n －d)＋…＋， ∴2S n ＝n(a 1＋a n )， ∴S n ＝n （a 1＋a n ）2. 方法二：设{}a n 的公差为d ，则 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 1＋d)＋…＋， 又S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1 ＝＋＋…＋a 1， ∴2S n ＝＋＋…＋ ＝2na 1＋n(n －1)d ， ∴S n ＝na 1＋n （n －1）2 d.(2){}a n 是等比数列．证明如下： ∵S n ＝1－q n1－q ，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n＝1－q n ＋11－q －1－q n 1－q ＝q n （1－q ）1－q＝q n .∵a 1＝1，q≠0，∴当n≥1时，有 a n ＋1a n ＝q n q n －1＝q.因此，{a n }是首项为1且公比为q 的等比数列．16．D2，D3 在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．16．解：设该数列的公比为q ，由已知，可得a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a 1＝1. 所以，数列的前n 项和S n ＝3n －12.17．D2、D4 已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和． 17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2 d.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5， 解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n.(2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1（3－2n ）（1－2n ）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1＝n 1－2n .19．D2 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d<0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 19．解：(1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0.故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n∈N *或 a n ＝4n ＋6，n∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为d<0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则 当n≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n.当n≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ，n≤11，12n 2－212n ＋110，n≥12.16．D2和D3 设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20. 16．解：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1， S n ＝1－3n 1－3＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1 010.12．D2 若2，a ，b ，c ，9成等差数列，则c －a ＝________． 12.72 设公差为d ，则d ＝9－25－1＝74，所以c －a ＝2d ＝72.D3 等比数列及等比数列前n 项和20．M2，D2，D3，D5 给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1，2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3，4，7，1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．20．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q>1， 所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1，2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1，2，…，n －1， d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q)q i －1.因此d i ≠0且d i ＋1d i ＝q(i ＝1，2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i≤n－2，因为B i ≤B i ＋1，d>0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d>B i ＋d i＝A i .又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列，因此A i ＝a i (i ＝1，2，…，n －1)． 又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1，所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1，2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ， 即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．11．D3 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________．11．2 2n ＋1－2 ∵a 3＋a 5＝q(a 2＋a 4)，∴40＝20q ，∴q＝2，∴a 1(q ＋q 3)＝20，∴a 1＝2，∴S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.22．H6、H8、D3 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．22．解：(1)由题设知c a ＝3，即a 2＋b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.将y ＝2代入上式，并求得x ＝±a 2＋12.由题设知，2 a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝22.(2)证明：由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|<22，代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝（x 1＋3）2＋y 21＝（x 1＋3）2＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)， |BF 1|＝（x 2＋3）2＋y 22＝（x 2＋3）2＋8x 22－8＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199. 由于|AF 2|＝（x 1－3）2＋y 21＝（x 1－3）2＋8x 21－8＝1－3x 1， |BF 2|＝（x 2－3）2＋y 22＝（x 2－3）2＋8x 22－8＝3x 2－1，故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16. 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB|2，所以|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．7．D3 已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－310)C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)7．C 由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ≠0(否则a 2＝0)且a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是公比为－13的等比数列，代入a 2可得a 1＝4，故S 10＝4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101＋13＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1310＝3(1－3－10)．17．D2，D3 已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围． 17．解：(1)因为数列{a n }的公差d ＝1， 且1，a 1，a 3成等比数列，所以a 21＝1×(a 1＋2)， 即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或a 1＝2. (2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9， 所以5a 1＋10>a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10<0，解得－5<a 1<2.11．D3 设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．11．15 方法一：易求得a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，∴a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝15.方法二：相当于求首项为1，公比为2的等比数列的前4项和，S 4＝1－241－2＝15.14．D3 在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3. 则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．14．12 设{a n }的公比为q.由a 5＝12及a 5(q ＋q 2)＝3得q ＝2，所以a 1＝132，所以a 6＝1，a 1a 2…a 11＝a 116＝1，此时a 1＋a 2＋…＋a 11>1.又a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－132，a 1a 2…a 12＝26<27－132，所以a 1a 2…a 12>a 1a 2…a 12，但a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－132，a 1a 2…a 13＝26·27＝25·28>28－132，所以a 1＋a 2＋…＋a 13<a 1a 2…a 13，故最大正整数n 的值为12.12．D3 某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N *)等于________．12．6 S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2≥100，得n≥6.14．D3 已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.14．63 由题意可知a 1＋a 3＝5，a 1·a 3＝4.又因为{a n }为递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，所以S 6＝1×（1－26）1－2＝63.17．D2，D3 已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.17．解：(1)设{a n }的公差为d.由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d)2＝a 1(a 1＋12d)， 于是d(2a 1＋25d)＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56) ＝－3n 2＋28n.16．D2，D3 在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．16．解：设该数列的公比为q ，由已知，可得 a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a 1＝1. 所以，数列的前n 项和S n ＝3n －12.6．D3 设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n 6．D a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，S n ＝1－23n 1－23＝31－23a n ＝3－2a n . 16．D2和D3 设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20. 16．解：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1， S n ＝1－3n 1－3＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1 010.D4 数列求和19．D2，D4 设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n∈N *，函数f(x)＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .19．解：(1)由题设可得，f ′(x)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x.对任意n∈N *，f′π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1·(n－1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2a n ＋12a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n （n ＋1）2＋121－12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n . 17．D2、D4 等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .17．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d.因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝4，a 19＝2a 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1＋8d ），解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12.(2)因为b n ＝1na n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，所以S n ＝21－22＋22－23＋…＋2n －2n ＋1＝2n n ＋1. 16．D4 正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1（n ＋1）a n，求数列{b n }的前n 项和T n .16．解：(1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n)(a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n.(2)由a n ＝2n ，b n ＝1（n ＋1）a n ，则b n ＝12n （n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n2（n ＋1）. 17．D2、D4 已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和． 17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2 d.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5， 解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n.(2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1（3－2n ）（1－2n ）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1＝n 1－2n .D5 单元综合20．M2，D2，D3，D5 给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1，2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3，4，7，1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．20．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q>1， 所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1，2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1，2，…，n －1， d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q)q i －1.因此d i ≠0且d i ＋1d i ＝q(i ＝1，2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i≤n－2，因为B i ≤B i ＋1，d>0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d>B i ＋d i ＝A i .又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列，因此A i ＝a i (i ＝1，2，…，n －1)．又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1，所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1.因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n .所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1，2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ，即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．19．D5，E9 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：a 2＝4a 1＋5；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12. 19．解：19．D5 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18， 即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q （1＋q ＋q 2）＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2， 故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－（－2）n ]1－（－2）＝1－(－2)n . 若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n ＞0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n|n ＝2k ＋1，k∈N ，k≥5}．15．D1，D5 对于E ＝{a 1，a 2，...，a 100}的子集X ＝{ai 1，ai 2，...，ai k }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，...，x 100，其中xi 1＝xi 2＝...＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0，1，1，0，0， 0(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于________；(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1，1≤i≤99；E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q 的元素个数为________．15．2 17 (1)由特征数列的定义可知，子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0…，0，故可知前三项和为2.(2)根据“E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，...，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1，1≤i≤99”可知子集P 的“特征数列”为1，0，1，0，...，1，0.即奇数项为1，偶数项为0.根据“E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，...，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1，1≤j≤98”可知子集Q 的“特征数列为1，0，0，1，0，0， 01.即项数除以3后的余数为1的项为1，其余项为0，则P∩Q 的元素为项数除以6余数为1的项，可知有a 1，a 7，a 13，…，a 97，共17项．19．D5 设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS n n 2＋c，n∈N *，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n∈N *)；(2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.19．解：由题设，S n ＝na ＋n （n －1）2d. (1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d.又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋3d ， 化简得d 2－2ad ＝0.因为d≠0，所以d ＝2a.因此，对于所有的m∈N *，有S m ＝m 2a.从而对于所有的k ，n∈N *，有S nk ＝(nk)2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS n n 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n∈N *， 代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n∈N *，有⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎪⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c(d 1－b 1)． 令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c(d 1－b 1)，则对于所有的n∈N *，有 An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D(*)．在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0，①19A ＋5B ＋cd 1＝0，②21A ＋5B ＋cd 1＝0，③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0.即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0. 若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0. 又因为cd 1＝0，所以c ＝0.19．D5 已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n∈N *)，且－2S 2，S 3，4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明S n ＋1S n ≤136(n∈N *)． 19．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3，4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明：S n ＝1－－12n ，S n ＋1S n ＝1－－12n ＋11－－12n ＝⎩⎨⎧2＋12n （2n ＋1），n 为奇数，2＋12n （2n －1），n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136. 当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512. 故对于n∈N *，有S n ＋1S n ≤136.。

第三章导数及其应用考点1 导数的概念及计算1．(2014·陕西，10)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A．y＝12x3－12x2－x B．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－x D．y＝14x3＋12x2－2x1.解析法一由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0，0)，(2，0)，在(0，0)处的切线方程为y＝－x，在(2，0)处的切线方程为y＝3x－6，以此对选项进行检验．A选项，y＝12x3－12x2－x，显然过两个定点，又y′＝32x2－x－1，则y′|x＝0＝－1，y′|x＝2＝3，故条件都满足，由选择题的特点知应选A.法二设该三次函数为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧f（0）＝0⇒d＝0，f（2）＝0⇒8a＋4b＋2c＋d＝0，f′（0）＝－1⇒c＝－1，f′（2）＝3⇒12a＋4b＋c＝3，解得a＝12，b＝－12，c＝－1，d＝0.故该函数的解析式为y＝12x3－12x2－x，选A.答案 A2.(2016·新课标全国Ⅲ，16)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝-x-1e－x，则曲线y ＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.2.解析设x>0，则－x<0，f(－x)＝e x－1＋x，因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝e x－1＋x，f′(x)＝e x－1＋1，f′(1)＝2，y－2＝2(x－1)，即y＝2x.答案 y ＝2x3．(2015·新课标全国Ⅰ，14)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.3.解析 f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝1＋3a ，f (1)＝a ＋2. 点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(1＋3a )(x －1)． 将(2，7)代入切线方程，得7－(a ＋2)＝(1＋3a )， 解得a ＝1. 答案 14.(2015·新课标全国Ⅱ，16)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.4.解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0，得a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案 85.(2015·天津，11)已知函数f (x )＝a ax ln ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．5.解析 f ′(x )＝x a ln ＋ax ·1x＝a (ln x ＋1)，由f ′(1)＝3得，a (ln 1＋1)＝3，解得a＝3. 答案 36.(2014·江苏，11)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________． 6.解析 由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b 2 (1)．又y ′＝2ax －bx2，所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－72(2)．由(1)(2)解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.答案 －37.(2014·广东，11)曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为______________ 7.解析 由y ＝－5e x＋3得，y ′＝－5e x，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0. 答案 5x ＋y ＋2＝08.(2014·北京，20)已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2,1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1,2)，B (2,10)，C (0,2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)8.解 (1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3. 令f ′(x )＝0，得x ＝－22或x ＝22. 因为f (－2)＝－10，f ⎝⎛⎭⎪⎫－22＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－2，f (1)＝－1，所以f (x )在区间[－2，1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)， 则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3， 所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)， 因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)． 整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0. 设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)， g (x )与g ′(x )的情况如下：当g (0)＝t ＋3≤0，即t ≤－3时，此时g (x )在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点．当g (1)＝t ＋1≥0，即t ≥－1时，此时g (x )在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点．当g (0)＞0且g (1)＜0，即－3＜t ＜－1时，因为g (－1)＝t －7＜0，g (2)＝t ＋11＞0，所以g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A(－1，2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；过点B(2，10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；过点C(0，2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．考点2 导数的应用1.(2016·四川，6)已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )A.－4B.－2C.4D.21.解析∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，∴f(x)的极小值点为a＝2.答案 D2.(2015·陕西，9)设f(x)＝x－sin x，则f(x)( )A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数2.解析f(x)＝x－sin x的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f′(x)＝1－sin x≥0恒成立，所以f(x)在其定义域内为增函数，故选B.答案 B3.(2015·安徽，10)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A．a>0，b<0，c>0，d>0B．a>0，b<0，c<0，d>0C ．a <0，b <0，c >0，d >0D ．a >0，b >0，c >0，d <03.解析 由已知f (0)＝d >0，可排除D ；其导函数f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c 且f ′(0)＝c >0，可排除B ； 又f ′(x )＝0有两不等实根，且x 1x 2＝c a＞0，所以a ＞0.故选A. 答案 A4.(2014·新课标全国Ⅱ，11)若函数f (x )＝k x －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)4.解析 因为f (x )＝k x －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x.因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ＞1时，f ′(x )＝k －1x≥0恒成立，即k ≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x ＞1，所以0＜1x＜1，所以k ≥1.故选D.答案 D5.(2014·湖南，9)若0＜x 1＜x 2＜1，则( ) A ．e2x －e 1x＞ln x 2－ln x 1B ．e2x －e 1x＜ln x 2－ln x 1C ．x 2e 1x＞x 1e2x D ．x 2e 1x＜x 1e2x5.解析 构造函数f (x )＝e x －ln x ，则f ′(x )＝e x －1x，故f (x )＝e x－ln x 在(0，1)上有一个极值点，即f (x )＝e x－ln x 在(0，1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故A 、B 错；构造函数g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝x e x－e xx 2＝e x（x －1）x 2，故函数g (x )＝exx在(0，1)上单调递减，故g (x 1)＞g (x 2)，x 2e x 1＞x 1e x 2，故选C. 答案 C6.(2014·新课标全国Ⅰ，12)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)6. 解析 由题意知f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，当a ＝0时，不满足题意． 当a ≠0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝2a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，＋∞上单调递增，在 ⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减．又f (0)＝1，此时f (x )在(－∞，0)上存在零点，不满足题意；当a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ，(0，＋∞)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上单调递增，要使f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a＞0，即a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋1＞0，解得a ＜－2，故选C. 答案 C7.(2016·新课标全国卷Ⅱ，20)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1). (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围.7.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0，曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y－2＝0.(2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a （x －1）x ＋1>0，设g (x )＝ln x －a （x －1）x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a （x ＋1）2＝x 2＋2（1－a ）x ＋1x （x ＋1）2，g (1)＝0.(ⅰ)当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)单调递增，因此g (x )>0；(ⅱ)当a >2时，令g ′(x )＝0得，x 1＝a －1－（a －1）2－1，x 2＝a －1＋（a －1）2－1. 由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)单调递减，因此g (x )<0， 综上，a 的取值范围是(－∞，2].8.(2016·新课标全国Ⅲ，21)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x<x ；(3)设c >1，证明：当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x >c x.8.(1)解 由题设，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. (2)证明 由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0. 所以当x ≠1时，ln x <x －1.故当x ∈(1，＋∞)时，ln x <x －1，ln 1x <1x －1，即1<x －1ln x <x .(3)证明 由题设c >1，设g (x )＝1＋(c －1)x －c x，则g ′(x )＝c －1－c xln c ，令g ′(x )＝0，解得x 0＝lnc －1ln cln c.当x <x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减.由(2)知1<c －1ln c<c ，故0<x 0<1.又g (0)＝g (1)＝0，故当0<x <1时，g (x )>0. 所以当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x >c x.9.(2016·山东，20)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R . (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 9.解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a . 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2axx.当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增；当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )＞0时，函数g (x )单调递增， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减. 所以当a ≤0时，g (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0. ①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.②当0＜a ＜12时，12a ＞1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增.可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意. ③当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减.所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意. ④当a ＞12时，0＜12a ＜1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减. 所以f (x )在x ＝1处取极大值，合题意 .综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.10.(2016·四川，21)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e e x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数. (1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0；(3)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立.10.(1)解 f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0).当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减. 当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a .当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.(2)证明 令s (x )＝ex －1－x ，则s ′(x )＝ex －1－1.当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ，从而g (x )＝1x －1ex －1>0.(3)解 由(2)知，当x >1时，g (x )>0. 当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0，故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a >1，由(1)有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >0.所以f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立； 当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)，当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x2>0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)单调递增.又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立.综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.11.(2016·北京，20)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件.11.(1)解 由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，切线斜率k ＝f ′(0)＝b . 又f (0)＝c ，所以切点坐标为(0，c ).所以所求切线方程为y －c ＝b (x －0)，即bx －y ＋c ＝0. (2)解 由a ＝b ＝4得f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ∴f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4＝(3x ＋2)(x ＋2) 令f ′(x )＝0，得(3x ＋2)(x ＋2)＝0， 解得x ＝－2或x ＝－23，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下：所以，当c ＞0且c －3227＜0时，存在x 1∈(－∞，－2)，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点.(3)证明 当Δ＝4a 2－12b ＜0时，即a 2－3b ＜0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＞0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增， 所以f (x )不可能有三个不同零点.当Δ＝4a 2－12b ＝0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增. 所以f (x )不可能有三个不同零点.综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b ＞0， 故a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要条件.当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b ＞0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点， 所以a 2－3b ＞0不是f (x )有三个不同零点的充分条件. 因此a 2－3b ＞0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件.12.(2015·新课标全国Ⅱ，21)已知f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 12.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1)．13.(2015·新课标全国Ⅰ，21)设函数f (x )＝e 2x－a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数；(213.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a x(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点． 当a >0时，因为e 2x单调递增，－a x单调递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明 由(1)可设f ′(x )在(0，＋∞)的唯一零点为x 0， 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于2e2x 0－a x 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.)证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.14.(2015·福建，22)已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0＞1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )＞k (x －1)．14.解 (1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0.解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52.(2)令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x2x.当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减， 故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0， 即当x ＞1时，f (x )＜x －1.(3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0＞1满足题意． 当k ＞1时，对于x ＞1，有f (x )＜x －1＜k (x －1)， 则f (x )＜k (x －1)，从而不存在x 0＞1满足题意． 当k ＜1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)， 则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋（1－k ）x ＋1x.由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0.解得x 1＝1－k －（1－k ）2＋42＜0，x 2＝1－k ＋（1－k ）2＋42＞1.当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )＞0，故G (x )在[1，x 2)内单调递增． 从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )＞G (1)＝0， 即f (x )＞k (x －1)．综上，k 的取值范围是(－∞，1)．15.(2015·浙江，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型． (1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．15.解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a 25＋b ＝40，a 400＋b＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000x3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20]．②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数． 从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.答：当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．16.(2015·湖南，21)已知a >0，函数f (x )＝a e xcos x (x ∈[0，＋∞))．记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ∈N *)个极值点． (1)证明：数列{f (x n )}是等比数列；(2)若对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，求a 的取值范围．16.解 (1)f ′(x )＝a e x cos x －a e x sin x ＝2a e xcos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令f ′(x )＝0，由x ≥0， 得x ＋π4＝m π－π2，即x ＝m π－3π4，m ∈N *.而对于cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当k ∈Z 时，若2k π－π2＜x ＋π4＜2k π＋π2，即2k π－3π4＜x ＜2k π＋π4，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＞0. 若2k π＋π2＜x ＋π4＜2k π＋3π2，即2k π＋π4＜x ＜2k π＋5π4，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＜0. 因此，在区间⎝⎛⎭⎪⎫（m －1）π，m π－3π4与⎝ ⎛⎭⎪⎫m π－3π4，m π＋π4上，f ′(x )的符号总相反．于是当x ＝m π－3π4(m ∈N *)时，f (x )取得极值，所以x n ＝n π－34π(n ∈N *)．此时，f (x n )＝a e n π－3π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫n π－3π4＝(－1)n ＋12a 2e n π－3π4.易知f (x n )≠0，而f （x n ＋1）f （x n ）＝（－1）n ＋22a 2e （n ＋1）π－3π4（－1）n ＋12a 2e n π－3π4＝－e π是常数，故数列{f (x n )}是首项为f (x 1)＝2a 2e π4，公比为－e π的等比数列． (2)对一切n ∈N *，x n ≤|f (x n )|恒成立，即n π－3π4≤2a 2e n π－3π4恒成立，亦即2a ≤e n π－3π4n π－3π4恒成立(因为a ＞0)．设g (t )＝e tt (t ＞0)，则g ′(t )＝e t（t －1）t2. 令g ′(t )＝0得t ＝1.当0＜t ＜1时，g ′(t )＜0，所以g (t )在区间(0，1)上单调递减； 当t ＞1时，g ′(t )＞0，所以g (t )在区间(1，＋∞)上单调递增． 因为x 1∈(0，1)，且当n ≥2时，x n ∈(1，＋∞)，x n ＜x n ＋1， 所以[g (x n )]min ＝min{g (x 1)，g (x 2)}＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4πe π4. 因此，x n ≤|f (x n )|恒成立，当且仅当2a ≤4π4πe ，解得a ≥2π44π-e .故a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡∝+-,424ππe .17.(2015·山东，20)设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2ex . 已知曲线y ＝f (x ) 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行．(1)求a 的值；(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，求m (x )的最大值． 17.解 (1)由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2， 所以f ′(1)＝2，又f ′(x )＝ln x ＋a x＋1，所以a ＝1. (2)k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根． 设h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)ln x －x 2e x ，当x ∈(0，1]时，h (x )＜0.又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4e 2＞1－1＝0，所以存在x 0∈(1，2)，使得h (x 0)＝0. 因为h ′(x )＝ln x ＋1x ＋1＋x （x －2）e x， 所以当x ∈(1，2)时，h ′(x )＞1－1e ＞0，当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0， 所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增，所以k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根． (3)由(2)知方程f (x )＝g (x )在(1，2)内存在唯一的根x 0. 且x ∈(0，x 0)时，f (x )＜g (x )，x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )＞g (x )， 所以m (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）ln x ，x ∈（0，x 0]，x 2e x ，x ∈（x 0，＋∞）.当x ∈(0，x 0)时，若x ∈(0，1]，m (x )≤0； 若x ∈(1，x 0)，由m ′(x )＝ln x ＋1x＋1＞0，可知0＜m (x )≤m (x 0)； 故m (x )≤m (x 0)．当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x （2－x ）ex，可得x ∈(x 0，2)时，m ′(x )＞0，m (x )单调递增；x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减；可知m (x )≤m (2)＝4e 2，且m (x 0)＜m (2)．综上可得，函数m (x )的最大值为4e2.18.(2015·浙江，20)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1,1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围．18.解 (1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x ＝－a2.当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2.当－2＜a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1.当a ＞2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2tt ＋2(－1≤t ≤1)．当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t2t ＋2，由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45，所以－32≤b ≤9－4 5.当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t2t ＋2，由于－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t2t ＋2＜0，所以－3≤b ＜0.故b 的取值范围是[－3，9－45]．19.(2015·天津，20)已知函数f (x )＝4x －x 4，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x )， 求证：对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )；(3)若方程f (x )＝a (a 为实数)有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2－x 1≤－a3＋134.19.(1)解 由f (x )＝4x －x 4，可得f ′(x )＝4－4x 3. 当f ′(x )＞0，即x ＜1时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＞1时，函数f (x )单调递减．所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)证明 设点P 的坐标为(x 0，0)，则x 0＝413，f ′(x 0)＝－12.曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)，即g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)． 令函数F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)， 则F ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)．由于f ′(x )＝－4x 3＋4在(－∞，＋∞)上单调递减， 故F ′(x )在(－∞，＋∞)上单调递减，又因为F ′(x 0)＝0，所以当x ∈(－∞，x 0)时，F ′(x )＞0，当x ∈(x 0，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在(－∞，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减， 所以对于任意的实数x ，F (x )≤F (x 0)＝0， 即对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )． (3)证明 由(2)知g (x )＝－12(x －413)．设方程g (x )＝a 的根为x 2′，可得x 2′＝－a 12＋413.因为g (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， 又由(2)知g (x 2)≥f (x 2)＝a ＝g (x 2′)， 因此x 2≤x 2′.类似地，设曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝h (x )， 可得h (x )＝4x .对于任意的x ∈(－∞，＋∞)，有f (x )－h (x )＝－x 4≤0，即f (x )≤h (x )． 设方程h (x )＝a 的根为x 1′，可得x 1′＝a4.因为h (x )＝4x 在(－∞，＋∞)上单调递增，且h (x 1′)＝a ＝f (x 1)≤h (x 1)，因此x 1′≤x 1，由此可得x 2－x 1≤x 2′－x 1′＝－a 3＋413.20.(2015·广东，21)设a 为实数，函数f (x )＝(x －a )2＋|x －a |－a (a －1)．(1)若f (0)≤1，求a 的取值范围； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当20.解 (1)f (0)＝a 2＋|a |－a 2＋a ＝|a |＋a ，因为f (0)≤1，所以|a |＋a ≤1， 当a ≤0时，|a |＋a ＝－a ＋a ＝0≤1，显然成立； 当a >0，则有|a |＋a ＝2a ≤1，所以a ≤12，所以0<a ≤12，综上所述，a 的取值范围是a ≤12.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（2a －1）x ，x ≥a ，x 2－（2a ＋1）x ＋2a ，x <a .对于u 1＝x 2－(2a －1)x ，其对称轴为x ＝2a －12＝a －12<a ，开口向上，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增；对于u 1＝x 2－(2a ＋1)x ＋2a ，其对称轴为x ＝2a ＋12＝a ＋12>a ，开口向上，所以f (x )在(－∞，a )上单调递减.综上，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，a )上单调递减，(3)由(2)得f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，所以f (x )min ＝f (a )＝a －a 2.(ⅰ)当a ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥2，x 2－5x ＋4，x <2，令f (x )＋4x ＝0，即f (x )＝－4x(x >0)，因为f (x )在(0，2)上单调递减，所以f (x )>f (2)＝－2，而y ＝－4x 在(0，2)上单调递增，y <f (2)＝2，所以y ＝f (x )与y ＝－4x在(0，2)无交点．当x ≥2时，f (x )＝x 2－3x ＝－4x，即x 3－3x 2＋4＝0，所以x 3－2x 2－x 2＋4＝0，所以(x －2)2(x ＋1)＝0， 因为x ≥2，所以x ＝2，即当a ＝2时，f (x )＋4x有一个零点x ＝2.(ⅱ)当a >2时，f (x )min ＝f (a )＝a －a 2， 当x ∈(0，a )时，f (0)＝2a >4，f (a )＝a －a 2，而y ＝－4x 在x ∈(0，a )上单调递增，当x ＝a 时，y ＝－4a，下面比较f (a )＝a －a 2与－4a的大小，因为a －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a ＝－（a 3－a 2－4）a ＝－（a －2）（a 2＋a ＋2）a <0所以f (a )＝a －a 2<－4a.结合图象不难得当a >2，y ＝f (x )与y ＝－4x有两个交点，综上，当a ＝2时，f (x )＋4x 有一个零点x ＝2；当a >2，y ＝f (x )与y ＝－4x有两个零点a ≥2时，讨论f (x )＋4x在区间(0，＋∞)内的零点个数．21.(2014·安徽，20)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 21.解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1＜x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＜0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增． (2)因为a ＞0，所以x 1＜0，x 2＞0.①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增， 所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值． ②当0＜a ＜4时，x 2＜1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减， 因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝1处取得最小值； 当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1＜a ＜4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．22.(2014·广东，21)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＜0时，试讨论是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 22.解 (1)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 开口向上， 方程x 2＋2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a ＝4(1－a )，若a ≥1，则Δ≤0，f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ≥0恒成立，∴f (x )在R 上单调递增．若a ＜1，则Δ＞0，方程x 2＋2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，x 1＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a ，当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＞0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＜0， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)， 单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在R 上单调递增；当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)，f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )．(2)当a ＜0时，Δ＞0，且f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3124＋a2，f (1)＝73＋a ，此时x 1＜0，x 2＞0， 令x 2＝12得a ＝－54.①当－54＜a ＜0时，x 1＜0＜x 2＜12，f (x )在(0，x 2)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫x 2，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增．(ⅰ)若－54＜a ＜－712，则f (0)＝1＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∴存在x 0∈(0，x 2)，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12；(ⅱ)当－712≤a ＜0时，f (0)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∴不存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.②当a ＝－54时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增． ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.③当－2512＜a ＜－54时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f (1)， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.④当a ≤－2512时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥f (1)， ∴不存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 综上，当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－712，0∪{－54}∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512时，不存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12；当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－2512，－54∪⎝⎛⎭⎪⎫－54，－712时，存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝⎛⎭⎪⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.23.(2014·天津，19)已知函数f (x )＝x 2－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1.求a 的取值范围．23.解 (1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a ＞0)． 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，a ；单调递减区间是(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，＋∞.当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝1a时，f (x )有极大值，且极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝13a2. (2)由f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＝0及(1)知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a 时，f (x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，＋∞时，f (x )＜0.设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （x ）|x ∈（1，＋∞），f （x ）≠0，则“对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B .显然，0∉B .下面分三种情况讨论：(1)当32a ＞2，即0＜a ＜34时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＝0可知，0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集．(2)当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0，且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故A ＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)；由f (1)≥0，有f (x )在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B .所以A ⊆B .(3)当32a ＜1，即a ＞32时，有f (1)＜0，且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故B ＝⎝⎛⎭⎪⎫1f （1），0，A ＝(－∞，f (2))，所以A 不是B 的子集．综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32.24.(2014·陕西，21)设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f (b)－f (a )b －a＜1恒成立，求m 的取值范围．24.解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x，则f ′(x )＝x －ex2， ∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减， 当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减． ∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点， 因此x ＝1也是φ(x )的最大值点． ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点．(3)对任意的b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a＜1恒成立，等价于f (b )－b ＜f (a )－a 恒成立． (*) 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋m x－x (x ＞0)， ∴(*)式等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h ′(x )＝1x －mx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14(x ＞0)恒成立，∴m ≥14(对m ＝14，h ′(x )＝0仅在x ＝12时成立)，∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.25.(2014·新课标全国Ⅰ，21)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1, f (1))处的切线斜率为0. (1) 求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值范围．25.解 (1)f ′(x )＝a x＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞). 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x (x －a1－a)(x －1)．①若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1的充要条件为f (1)＜a a －1，即1－a 2－1＜aa －1， 解得－2－1＜a ＜2－1. ②若12＜a ＜1，则a1－a＞1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－a ，＋∞时，f ′(x )＞0.f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＜aa －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1＞a a －1，所以不合题意．③若a ＞1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12＜aa －1.综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．。

山东省泰安市2018年3月高三第一轮质量检测数学试题(理科) 2018．3第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}-1012A =，，，，集合{}23,B y y x x A ==-∈⋂，则A B 等于A ．{}101-，，B ．{}11-，C ．{}112-，，D ．{}012，，2．若()125i z i -=，则z 的值为A ．3B ．5CD 3．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，6483,a a a =+则A ．有最小值6B ．有最大值6C ．有最大值9D ．有最小值34．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x 与相应的生产能耗y 的几组对应数据：根据上表可得回归方程9.49.1y x =+，那么表中m 的值为A ．27．9B ．25．5C ．26．9D ．265．阅读右侧程序框图，运行相应程序，则输出i 的值为A ．3B ．4C ．5D ．66．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，则下列说法不正确．．．的是A ．()g x 的周期为πB ．6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()3x g x π=是的一条对称轴 D ．()g x 为奇函数7．以()0,02P F P ⎛⎫> ⎪⎝⎭为焦点的抛物线C 的准线与双曲线222x y -=相交于M ，N 两点，若MNF ∆为正三角形，则抛物线C 的标准方程为A ．2y =B ．2y =C ．2x =D ．2x = 8．()9201cos 2a x dx ax ax π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则展开式中3x 项的系数为 A ．212- B ．638- C ．638 D ．63169．已知m ，n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，则下列命题正确的是A ．//,//,//m n m n αα若则B ．,//αγβγαβ⊥⊥若，则C ．//,//,//m m αβαβ若则D ．,,//m n m n αα⊥⊥若则10．如图，平面四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=，2BC CD ==，点E 在对角线AC 上，AC=4，AE=1，则EB ED ⋅的值为A ．17B ．13C ．5D ．111．已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为A B C C 12．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()()1f x y f x '=-，函数是奇函数，当()()()()1110x x f x x f x '<-+++<⎡⎤⎣⎦时，，则不等式()()10xf x f ->的解集为A ．(1，+∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，+∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡中的横线上．13．设函数()()()()2211log 2,16log 112,1x x x f x f f x -⎧+-<⎪=-+=⎨≥⎪⎩，则 ▲ ． 14．已知实数,x y 满足关系2040,0x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则22x y -+的最大值是 ▲ ．15．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ▲ ．16．对任意数列123:,,,,,n A a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，定义A ∆为数列2132431,,,,,n n a a a a a a a a +---⋅⋅⋅-⋅⋅⋅，如果数列A 使得数列()A ∆∆的所有项都是1，且122220a a a ===，则 ▲ ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A ，B ，C所对的边分别为()222,,24a b c a b c =-，且． (I)求角B 的大小；(Ⅱ)若1b c =-的取值范围．18．(本小题满分12分)如图，三棱柱1111ABC A B C A -，点在平面ABC 内的射影D 在AC 上11602BAC CAA AB AC AA ∠=∠====，且．(I)求证：11B C A B ⊥；(Ⅱ)求二面角1A B C B --的余弦值．19．(本小题满分12分)体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般。