选讲2 三阶幻方的性质

微探究从三阶幻方谈起相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一本洛书，书中有如图所示的一幅奇怪的图，这幅图用今天的数学符号翻译出来，就是一个3阶幻方，也就是在3×3的方阵中填入1～9，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等。

现在人们已给出一般三阶幻方的定义：在3×3的方阵图中，每行、每列、每条对角线上3个数的和都相等，就称它为三阶幻方。

可以证明三阶幻方以下基本性质：（1）在3×3的方格中填入9个不同的数，使得各行各列及两条对角线上3个数的和都相等，且为S，若最中间的一个为m，则S=3m。

（2）在三阶幻方中，每个数都加上一个相同的数，仍是一个三阶幻方。

（3）在三阶幻方中，每个数都乘以一个相同的数，仍是一个三阶幻方。

解三阶幻方问题，常需恰当引元，运用三阶幻方定义、性质，整体核算等方法求解。

【例1】如图○1，有9个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等。

问：图中左上角的数是多少？图○1图○2（北京市“迎春杯”竞赛题）试一试虽然问题要求的只是左上角的数，但是问题的条件还与其他的数相关。

故为充分运用已知条件，需引入不同的字母表示数（如图○2）。

【例2】如图，在3×3的方格表中填入九个不同的正整数：1,2,3,4,5,6,7,8和x。

使得各行、各列所填的三个数的和都相等，请确定x的值，并给出一种填数法。

（“希望杯”邀请赛试题）试一试如下图，引入不同字母表示数，表中各行、各列三数的和都是相等的正整数，即1212345678x x=1233+++++++++为正整数，又a+b=c+d=12+x3-x=12-2x3，从估计a+b和c+d的最小值入手。

整体核算法整体核算法即将问题中的一些对象看做一个整体，观察、分析问题中的题设与结论之间的整体特征和结构，从整体上计算、推理。

【例2】如图○1，a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代表1、2、3、4、5、6、7、8、9中某一个数，不同字母代表不同的数，使每个小圆内3个数的和都相等，那么a+d+g的值是多少？（美国南卡罗来纳大学高中数学竞赛试题）分析与解设这个相等的和是S，现将这9个小圆中的（3×9）=27个数求和，可得：9S=（1+2+…+9）+2×（a+b+c+d+e+f+g+h+i）=3×（1+2+…+9）=3×45=135，故S=15.先从9所在的小圆看，h至少是1，i最多只能是5，再从1所在的小圆看，a最多只能是9，由于1+i+a=15，所以必须i=5，a=9，由此可以求得图○2。

简单幻方幻方1.概念简析：幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样.幻和：是指每行或每列或每条对角线上所有数字之和。

2.解题方法：三阶幻方的性质1.幻和相等，幻和等于9个数的和除以3.2.中间数必位于幻方中心，中间数等于幻和除以3.3.黄金三角: 黄金三角顶点的数为两腰之和除以2.如右图所示，在正方形的空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数相加都为21.1.1.如右图所示，在正方形的空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、以及对角线上的三个数相加都为18.问第三行的三个数字从左到右组成的数为_______.2.2.在空格里填数，使横行、竖行、以及对角线上的三个数相加得30。

问四个角数字之和为_______.如图所示，在正方形空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、斜行的四个数相加都等于34.1.1.在正方形空格里填上适当的数，使每一横行、竖行以及对角线上的四个数相加都等于34.问四个角数字之和为_______.2.2.在下图的方格里填上适当的数，使每一横行、竖行、以及对角线上的三个数相加都为18.问四角上的数字之和为________.请你在下图的方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等。

1.1.八戒巡山，遇到一块大石头挡路，上面写着：在方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等，填写正确才能过去，聪明的小朋友你会填吗？问最后一行的三位数为_________.2.2.请你在下图的方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等。

问四角上的数字之和为________.请你在下图的方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等。

1.1.请你在下图的方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等。

三阶幻方的讲解在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图形叫做三阶幻方。

如果是在4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在4×4方格中填上16个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。

幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，……，直到任意阶。

一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数（注意，这n×n个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占1格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的n个自然数的和都相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。

这里我们主要学习三阶幻方。

例1用1～9这九个数编排一个三阶幻方。

分析与解先求幻和再添数！雪帆提示：先求总和，看看有几个幻和，常把中间数填入中间先用a，b，c，…，i分别填入图1的九个空格内，以代表应填的数，如图2。

（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。

同时我们可以看到图2中e是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。

如果e以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。

（2）求幻和幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3=45÷3=15（3）选择解题突破口突破口显然是e，在图2中，因为a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）=15+15＋15＋15=60，也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。

简单幻方幻方1.概念简析：幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样.幻和：是指每行或每列或每条对角线上所有数字之和。

2.解题方法：三阶幻方的性质1.幻和相等，幻和等于9个数的和除以3.2.中间数必位于幻方中心，中间数等于幻和除以3.3.黄金三角: 黄金三角顶点的数为两腰之和除以2.如右图所示，在正方形的空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数相加都为21.1.1.如右图所示，在正方形的空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、以及对角线上的三个数相加都为18.问第三行的三个数字从左到右组成的数为_______.2.2.在空格里填数，使横行、竖行、以及对角线上的三个数相加得30。

问四个角数字之和为_______.如图所示，在正方形空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、斜行的四个数相加都等于34.1.1.在正方形空格里填上适当的数，使每一横行、竖行以及对角线上的四个数相加都等于34.问四个角数字之和为_______.2.2.在下图的方格里填上适当的数，使每一横行、竖行、以及对角线上的三个数相加都为18.问四角上的数字之和为________.请你在下图的方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等。

1.1.八戒巡山，遇到一块大石头挡路，上面写着：在方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等，填写正确才能过去，聪明的小朋友你会填吗？问最后一行的三位数为_________.2.2.请你在下图的方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等。

问四角上的数字之和为________.请你在下图的方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等。

1.1.请你在下图的方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等。

三阶幻方的概念
1.三阶幻方是一个3x3的方阵，其中每个格子内填入不重复的1到9的数字，使得每行、每列和对角线上的数字之和都相等。

2.这个定义是因为幻方是一种特殊的方阵，它具有一些特殊的数学性质和规律。

三阶幻方是最小的幻方之一，它的规模较小，更容易理解和构造。

3.除了三阶幻方，还存在其他阶数的幻方，如四阶、五阶等。

幻方在数学和游戏领域有着广泛的应用，研究幻方的规律和构造方法可以帮助我们更好地理解数学和培养逻辑思维能力。

幻方1.概念简析：幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样.2.构造幻方常用的方法：（1）适用于所有奇数阶幻方的填法—罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．（2）仅适用于三阶幻方—九宫格口诀.口诀是：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。

（3）适用于所有偶数阶幻方的填法—对称交换的方法1.将数依次填入方格中，对角线满足要求。

2.调整行，对角线数不动，对称行的其它数对调；调整列，对角线数不动，对称列的其它数对调。

3.三阶幻方的性质：1.幻和相等，幻和等于9个数的和除以3.2.中间数必位于幻方中心，中间数等于幻和除以3.3.黄金三角: 黄金三角顶点的数为两腰之和除以2.视频描述把0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数填在下面图中的方格内，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都相等。

1.1.请用11、13、15、17、19、21、23、25、27编制一个三阶幻方。

注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把7—15这九个数构成一个三阶幻方。

注：此题答案默认为0，正确答案见解析！3.3.请用1、4、7、10、13、16、19、22、25编制一个三阶幻方。

注：此题答案默认为0，正确答案见解析！视频描述将下面左边方格中的9个数填入右边方格中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和都相等。

1.1.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。

注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把３、４、５、８、９、10、13、14、15编成一个三阶幻方，并求出幻和是多少？3.3.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。

选讲2 三阶幻方的性质
一、知识点整理：
性质1：能组成幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加都相等且等于中间数两倍的九个数数列；
性质2：幻方的中心数为数列的中间数；
性质3：幻方中关于中心对称的两个数均为数列中首尾相对应的配对；
性质4：幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的3倍；
性质5：数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，即只能出现在中间位置，第二大与第二小的配对只能出现在四角；
性质6：幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数；
性质7：具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等。

二、精讲精练
例1：请你将2---10这9个自然数填入下图中的空格内，使每行、每列、每条对角线上的3个数之和相等。

练习1
在下图的9个方格中填入不大于12且互不相同的9个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的3个数之和都等于21.
例2：在下面方阵中已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。

（1） 如下左图所示，求x ；
（2） 如果中间的空格内填入100，如下右图所示，试在（1）的基础上完成填图。

练习2
下图是一个三阶幻方，那么标有☆的方格中所填的数是多少？。

三阶幻方同学们：在33⨯（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。

如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。

一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。

（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。

ab c def g hi图1 图2分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。

看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。

同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。

因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。

如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。

（2）求幻和：幻和=++++++++÷()1234567893=÷=45315（3）选择突破口，显然是e ，看图2。

因为：a e i b e h c e g d e f ++=++=++=++=15 所以：()()()()a e i b e h c e g d e f +++++++++++ =+++=1515151560也就是：()a b c d e f g h i e +++++++++⨯=360 又因为：a b c d e f g h i ++++++++=45 所以45360+⨯=e36045⨯=-e e =5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。

三阶幻方的相等关系
摘要：
1.三阶幻方的定义和结构
2.三阶幻方的相等关系概述
3.三阶幻方的相等关系的数学证明
4.三阶幻方的相等关系的实际应用
正文：
【1.三阶幻方的定义和结构】
三阶幻方，也被称为三阶魔方，是一个3x3 的矩阵，其特点是每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等。

幻方的结构通常如下：```
1 2 3
4 5 6
7 8 9
```
【2.三阶幻方的相等关系概述】
三阶幻方的相等关系，是指两个三阶幻方在经过一定的变换后，可以重合。

这个变换可以是旋转、翻转或者替换行、列或单元格。

【3.三阶幻方的相等关系的数学证明】
数学家已经证明了，任何一个三阶幻方都可以通过一定的变换，变成上面的标准结构。

这个变换可以通过对幻方的行、列或单元格进行操作得到。

具体
的变换方式有多种，但其数学本质是相同的。

【4.三阶幻方的相等关系的实际应用】
三阶幻方的相等关系在数学领域有广泛的应用，尤其是在组合数学和图论中。

它可以用来解决一些复杂的问题，如验证一个图是否可以染色，或者求解一些组合问题。

同时，它也是计算机科学中的一个重要工具，可以用来设计一些高效的算法。