第一讲
因动点产生的三角形
例1：如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D
处。已知折叠CE =，且3tan 4
EDA ∠=.（1）判断OCD △与ADE △是否相似？请说明理由；（2）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标；
（3）是否存在过点D 的直线l，使直线l、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线l、直线CE 与y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。
【解答】解：（1）△OCD 与△ADE 相似．理由如下：
由折叠知，∠CDE=∠B=90°，∴∠CDO+∠EDA=90°，∵∠CDO+∠OCD=90°，∴∠OCD=∠EOA．又∵∠COD=∠DAE=90°，∴△OCD∽△ADE．
（2）∵tan∠EDA=，
∴设AE=3t，则AD=4t，由勾股定理得DE=5t，
∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=3t+5t=8t．
由（1）△OCD∽△ADE，得，
∴
，
O
x
y
C
B
E
D
A
∴CD=10t．
在△DCE 中，∵CD 2+DE 2=CE 2，
∴（10t）2
+（5t）2
=（5）2
，
解得t=1．
∴OC=8，AE=3，点C 的坐标为（0，8），点E 的坐标为（10，3），设直线CE 的解析式为y=kx+b，∴
，
解得
∴y=﹣x+8，则点P 的坐标为（16，0）．
（3）满足条件的直线l 有2条：y 1=﹣2x+12，y 2=2x﹣12．如图：准确画出两条直线．
【点评】本题考查了一次函数的应用、图形的翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．
A
C
D O x y
例2：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1与x轴交于两点A(－1,0)、B(1,0)，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于两点A（﹣1，0），B（1，0），
∴，解得，
∴此抛物线的解析式为：y=﹣x2+1；
（2）∵由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x2+1，
∴C（0，1），
∵A（﹣1，0），B（1，0），∠BOC=90°，
∴OB=OC=1，
∴∠OCB=∠OCA=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BD∥CA，
∴四边形ACBD是直角梯形，
设过A、C两点的直线解析式为y=kx+b，
∵A（﹣1，0），C（0，1），
∴，解得，
∴直线AC的解析式为y=x+1，
∵BD∥CA，B（1，0），
∴把直线AC向右平移2个单位即可得到直线BD，
∴直线BD的解析式为：y=x﹣1，
B
∴，解得或，
∴D（﹣2，﹣3），
∴BD==3，
=（AC+BD）•BC=×（+3）×=4．
∴S
四边形ACBD
答：四边形ACBD的面积为4．
（3）∵OA=OB=OC=1，
∴△ABC是等腰Rt△；
∵AC∥BD，
∴∠CBD=90°；
易求得BC=，BD=3；
∴BC：BD=1：3；
由于∠CBD=∠MNA=90°，
若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似，
则有：△MNA∽△CBD或△MNA∽△DBC，得：
=或=3；
即MN=AN或MN=3AN；
设M点的坐标为（x，﹣x2+1），
①当x＞1时，AN=x﹣（﹣1）=x+1，MN=x2﹣1；
∴x2﹣1=（x+1）或x2﹣1=3（x+1）
解得x=，x=﹣1（舍去）或x=4，x=﹣1（舍去）；
∴M点的坐标为：M（，﹣）或（4，﹣15）；
②当x＜﹣1时，AN=﹣1﹣x，MN=x2﹣1；
∴x2﹣1=（﹣x﹣1）或x2﹣1=3（﹣x﹣1）
解得x=，x=﹣1（两个都不合题意，舍去）或x=﹣2，x=﹣1（舍去）；
∴M（﹣2，﹣3）；
故存在符合条件的M 点，且坐标为：M（
，﹣）或（4，﹣15）或（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查的是二次函数综合题，其中涉及到的知识点有用待定系数法求二次函数即一次函数的解析式，直角梯形的判定与性质，一次函数的图象与几何变换,相似三角形的性质等考点的理解，难度适中．
例3：如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2
y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2
()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D .
（1）求h k 、的值；
（2）判断ACD △的形状，并说明理由；
（3）在线段AC 上是否存在点M ，使AOM △与ABC △相似.若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.
【解答】解：（1）∵y=x 2的顶点坐标为（0，0），∴y=（x﹣h）2+k 的顶点坐标D（﹣1，﹣4），∴h=﹣1，k=﹣4（3分）
（2）由（1）得y=（x+1）2﹣4当y=0时，（x+1）2﹣4=0x 1=﹣3，x 2=1
∴A（﹣3，0），B（1，0）（1分）当x=0时，y=（x+1）2﹣4=（0+1）2﹣4=﹣3∴C 点坐标为（0，﹣3）
又∵顶点坐标D（﹣1，﹣4）（1分）
A
y
x
B
F
D
C O
