数列章节复习

数列习题及答案详解一、 选择题1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( )． A ．30 B ．31 C ．32 D ．33解析 a 5＝2a 4＋1＝2(2a 3＋1)＋1＝22a 3＋2＋1＝23a 2＋22＋2＋1＝24a 1＋23＋22＋2＋1＝31. 答案 B2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )． A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 解析 由于S n ＝n 2，∴a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又a 1＝1适合上式． ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15. 答案 A3．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )．A ．31B ．32C ．33D ．34解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎨⎧a 1＝263，d ＝－43.∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案 B4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )．A ．－12B ．－2C ．2 D.12解析 由题意知：q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.答案 D5．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( )． A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 解析 由等比数列的性质得：a 2a 6＝a 24＝16. 答案 C6．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )． A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n4D ．n 2＋n 7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )．A ．－11B ．－8C ．5D ．11解析 设等比数列的首项为a 1，公比为q .因为8a 2＋a 5＝0，所以8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝)1(11)1(2151q a q q q a --⋅-- ＝1－q 51－q 2＝－11. 答案 A8．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )．A ．120B ．70C ．75D ．100 解析 ∵)2(2)123(+=++=n n n n S n ，S nn ＝n ＋2.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 前10项的和为：(1＋2＋…＋10)＋20＝75.答案 C9．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( )．A.2]1)1[(--n nB. 2]1)1[(1+--n C. 2]1)1[(+-n D. 2]1)1[(--n解析 因为数列{(－1)n }是首项与公比均为－1的等比数列，所以S n ＝)1(1])1(1)[1(------n＝2]1)1[(--n . 答案 D10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则S 4＝( )． A ．7 B ．8 C ．15 D ．16解析 设数列{a n }的公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3，∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋4＝0，∴q＝2.∴S 4＝1－241－2＝15.答案 C 11．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )． A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小关系不确定解析 10476518218218121932222)(b b b a q a q q a q q a q a q a a a +====≥+=+=+12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为)(*∈N n S n ，且7,373=-=S S ，那么数列{}n a 的公差=d （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A二、填空题13．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，S 50＝________. 解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50 ＝(－1)×25＝－25. 答案 －2514．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.解析 设{a n }的公差为d ，由S 9＝S 4及a 1＝1，得9×1＋9×82d ＝4×1＋4×32d ，所以d ＝－16.又a k ＋a 4＝0，所以0)]61)(14(1[)]61)(1(1[=--++--+k ，即k ＝10.答案 1015.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析 设竹子从上到下的容积依次为a 1，a 2，…，a 9，由题意可得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，设等差数列{a n }的公差为d ，则有4a 1＋6d ＝3①，3a 1＋21d ＝4②，由①②可得d＝766，a 1＝1322，所以a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766. 答案 676616. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥217. 等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n －1－12.答案 －2 2n －1－12三、解答题18. 知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6. (1)求S n ；(2)证明：数列{a n }是等差数列．(1)解 设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，解得：A ＝2，B ＝－4，C ＝0.∴S n ＝2n 2－4n .(2)证明 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)] ＝4n －6.∴a n ＝4n －6(n ∈N *)．当n ＝1时符合上式，故a n ＝4n －6， ∴a n ＋1－a n ＝4，∴数列{a n }成等差数列．19. 知数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋24n (n ∈N *)． (1)求{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，S n 达到最大？最大值是多少？ 解 (1)n ＝1时，a 1＝S 1＝23.n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋24n ＋(n －1)2－24(n －1)＝－2n ＋25.经验证，a 1＝23符合a n ＝－2n ＋25，∴a n ＝－2n ＋25(n ∈N *)．(2)法一 ∵S n ＝－n 2＋24n ，∴n ＝12时，S n 最大且S n ＝144. 法二 ∵a n ＝－2n ＋25，∴a n ＝－2n ＋25＞0，有n ＜252.∴a 12＞0，a 13＜0，故S 12最大，最大值为144.20. d 为非零实数，a n ＝1n[C 1n d ＋2C 2n d 2＋…＋(n －1)C n －1n d n －1＋n C n n d n ](n ∈N *)． (1)写出a 1，a 2，a 3并判断{a n }是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由； (2)设b n ＝nda n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)由已知可得a 1＝d ，a 2＝d (1＋d )，a 3＝d (1＋d )2.当n ≥2，k ≥1时，k nC k n ＝C k －1n －1，因此 a n ＝∑n k ＝1k n C k n d k ＝∑n k ＝1C k －1n －1d k ＝d ∑n －1k ＝0C k n －1d k ＝d (d ＋1)n －1. 由此可见，当d ≠－1时，{a n }是以d 为首项，d ＋1为公比的等比数列； 当d ＝－1时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }不是等比数列．(2)由(1)可知，a n ＝d (d ＋1)n －1，从而b n ＝nd 2(d ＋1)n －1S n ＝d 2[1＋2(d ＋1)＋3(d ＋1)2＋…＋(n －1)(d ＋1)n －2＋n (d ＋1)n －1]．① 当d ＝－1时，S n ＝d 2＝1.当d ≠－1时，①式两边同乘d ＋1得(d ＋1)S n ＝d 2[(d ＋1)＋2(d ＋1)2＋…＋(n －1)(d ＋1)n －1＋n (d ＋1)n ]．② ①，②式相减可得－dS n ＝d 2[1＋(d ＋1)＋(d ＋1)2＋…＋(d ＋1)n －1－n (d ＋1)n ]＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+n n d n d d d )1(1)1(2.化简即得S n ＝(d ＋1)n (nd －1)＋1.综上，S n ＝(d ＋1)n (nd －1)＋1.21. 知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比q ＝14的等比数列，设n n a b 41log 32=+ (n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .[尝试解答] (1)由题意，知a n ＝⎝⎛⎭⎫14n(n ∈N *)， 又2log 341-=n n a b ，故b n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)由(1)，知a n ＝⎝⎛⎭⎫14n，b n ＝3n －2(n ∈N *)，∴c n ＝(3n －2)×⎝⎛⎭⎫14n (n ∈N *)． ∴S n ＝1×14＋4×⎝⎛⎭⎫142＋7×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(3n －5)×⎝⎛⎭⎫14n －1＋(3n －2)×⎝⎛⎭⎫14n ， 于是14S n ＝1×⎝⎛⎭⎫142＋4×⎝⎛⎭⎫143＋7×⎝⎛⎭⎫144＋…＋(3n －5)×⎝⎛⎭⎫14n ＋(3n －2)×⎝⎛⎭⎫14n ＋1， 两式相减，得 34S n ＝14＋3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫143＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －(3n －2)×⎝⎛⎭⎫14n ＋1＝12－(3n ＋2)×⎝⎛⎭⎫14n ＋1， ∴S n ＝23－3n ＋23×⎝⎛⎭⎫14n(n ∈N *)． 22. 数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15， 又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，则a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n＝3n－1.(2)设{b n}的公差为d，由T3＝15，b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，故可设b1＝5－d，b3＝5＋d，又a1＝1，a2＝3，a3＝9，由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2，解得d1＝2，d2＝－10.∵等差数列{b n}的各项为正，∴d＞0，∴d＝2，b1＝3，∴T n＝3n＋n n－12×2＝n2＋2n.。

人教A 版选择性必修第二册第四章数列综合测试1一、单选题1．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ） A ．9B ．12C ．15D ．182．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60B ．11C ．50D ．553．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4 C ．12-D ．12±4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） A ．48B ．60C ．72D ．245．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（ ） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 6．已知数列1，2a a +,234a a a ++,3456a a a a +++,…，则数列的第k 项是（ ）A ．12k k k a a a ++++B ．121k k k a a a --++C ．12k k k a a a -+++D ．122k k k a a a --+++7．数列{a n }满足211232222n n na a a a -+++⋯+=(n ∈N *)，数列{a n }前n 和为S n ，则S 10等于（ ）A ．5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10112⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9112⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．6612⎛⎫ ⎪⎝⎭8．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），()*3n n N≥∈，，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ） A ．3B ．2C ．1D ．09．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足()*122n n a S n N ++=∈，则满足2100111100010n nS S 的n 的最大值为（ ）. A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知数列{}n a 满足2122111,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为（ ） A ．92 B ．102C ．8182D ．11211．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*21n n n S a a n =+∈N，且0nS>，记数列{}2nn a ⋅的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．1112．函数222,3()11,316x ax a x f x ax x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩，数列{}n a 满足()n a f n =，*n ∈N ，且为递增数列．则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．53,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且463a a +=，则9S =______.14．数列{}n a 的前n 项和为223n S n n =-+，则n a =_________________.15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若()112nn n n S a =-+，则129S S S +++=________.16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，现将该金杖截成长度相等的15段，记第n 段的重量为n a 斤(n =1，2，…，15)，且1215a a a <<<，若[]n n n b a a =⋅(其中[]n a 表示不超过n a 的最大整数)，则数列{}n b 的所有项和为________.三、解答题17．在等比数列{}n a 中，已知1a 1=-，2a 2=．()1求{}n a 的通项公式；()2若3a ，4a 分别为等差数列{}n b 的前两项，求{}n b 的前n 项和n S ．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35a =，15150=S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记124na nb =⋅，{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 19．已知数列{}n a 的前n 项和为233n S n n =-.（1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）求n S 的最大值及取得最大值时n 的值.20．已知等差数列{}n a ，n S 为其前n 项和，5710,56.a S == （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+，数列{}n b 的通项公式为1n n b x -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ；（3）设()44n n d n a =+，12n n H d d d =+++()*n N ∈，求使得对任意*n N ∈，均有9n mH >成立的最大整数m 22．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，131n n S S +=+，11a =． （1）证明：数列{}n a 是等比数列，并求n a 的通项公式； （2）若()11n n n b na -=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．参考答案1．A 【分析】在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6， 所以95132a a a =+，所以139522639a a a =-=⨯-=， 故选：A 2．D 【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，所以()1111161111552a a S a +===.故选：D. 3．C 【分析】利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案；()211142211111122211121644a a q a qqqqa q a q⎧⎧=-=--⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩，故选：C.4．A【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093S S a a a a-=++=，代入求值. 【详解】由条件可知114832362a da d+=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：12ad=⎧⎨=⎩，()10789109133848S S a a a a a d-=++==+=.故选：A5．C【分析】由已知可得数列1nx⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1nx⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案．【详解】由已知可得数列1nx⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x==，故公差12d=则()1111122nnnx+=+-⨯=，故21nxn=+6．D 【分析】根据已知中数列的前4项，分析数列的项数及起始项的变化规律，进而可得答案 【详解】解：由已知数列的前4项：1，2a a +,234a a a ++,3456a a a a +++,归纳可知该数列的第k 项是一个以1为首项，以a 为公比的等比数列第k 项开始的连续k 项和，所以数列的第k 项为：122k k k a a a --+++故选：D 7．B 【分析】根据题意得到22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥），与条件两式作差，得到12n n a =，（2n ≥），再验证112a =满足12n n a =，得到12n n a =()*n N ∈，进而可求出结果. 【详解】因为数列{}n a 满足211232222n n na a a a -++++=， 22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥） 则1112222--=-=n n n n a ，则12n n a =，（2n ≥）， 又112a =满足12n n a =，所以12n n a =()*n N ∈，因此1010210123101011111112211222212S a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++=+++==- ⎪+⎝-=⎭.故选：B 8．A 【分析】根据条件得出数列{}n b 的周期即可. 【详解】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3， 故选：A 9．C 【分析】根据()*122n n a S n N ++=∈可求出na的通项公式，然后利用求和公式求出2,n n S S ，结合不等式可求n 的最大值. 【详解】1122,22()2n n n n a S a S n +-+=+=≥相减得1(22)n n a a n +=≥，11a =，212a =；则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，100111111000210n⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，1111000210n⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n 的最大值为9. 故选：C10．B 【分析】本题先根据递推公式进行转化得到21112n n n n a a a a +++=．然后令1n n na b a +=，可得出数列{}n b 是等比数列．即11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭．然后用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列{}n a 的最大项． 【详解】解：由题意，可知： 21112n n n na a a a +++=． 令1n n n ab a +=，则112n n b b +=． 21116a b a ==， ∴数列{}n b 是以16为首项，12为公比的等比数列． 111163222n nn b -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．∴11322nn n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴1211322a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2321322a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111322n n n a a --⎛⎫= ⎪⎝⎭．各项相乘，可得：12111111(32)222n n na a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)2511()22n n n --⎛⎫= ⎪⎝⎭2115(1)221122n n n---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211552212n n n --+⎛⎫= ⎪⎝⎭21(1110)212n n -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．令2()1110f n n n =-+，则，根据二次函数的知识，可知：当5n =或6n =时，()f n 取得最小值．()2551151020f =-⨯+=-，()2661161020f =-⨯+=-，()f n ∴的最小值为20-．∴211(1110)(20)1022101112222n n -+⨯--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴数列{}n a 的最大项为102．故选：B ． 【点睛】本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值； 11．B 【分析】由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1122n n T n +=-⋅+，即可得解.【详解】由题意，()()*21n n n S a a n N=+∈，当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+， 整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+， 当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以n a n =，所以1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()()234111212222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--，所以()1122n n T n +=-⋅+，所以876221538T =⨯+=，987223586T =⨯+=，所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用. 12．B 【分析】根据分段函数的特征，以及数列在*n N ∈是单调递增数列，列式求解. 【详解】{}n a 是单调递增数列，所以0a >，数列{}n a 是单调递增数列22303321142222316a a a a a ⎧<<⎪⎪⇔⇔<<⎨⎪-⋅+<-⎪⎩. 故选：B ． 【点睛】易错点点睛：本题考查分段函数的单调性和数列单调性的简单综合应用，本地的易错点是1n =和2n =时，数列的单调性，容易和函数222,3y x ax a x =-+<时函数单调性搞混，此时函数单调性和数列单调性的式子是不一样的，需注意这点. 13．272【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，求出532a =，再由等差数列的求和公式，根据等差数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且463a a +=， 由等差数列的性质可得，46523a a a +==，所以532a =， 因此()1995927922a a S a +===. 故答案为：272. 14．2,123,2n n n =⎧⎨-≥⎩【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得出数列{}n a 的通项公式.【详解】当2n ≥时，()()()221=23121323n n n a S S n n n n n -⎡⎤=--+----+=-⎣⎦; 而112a S ==不适合上式，2,123,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩.故答案为：2,123,2n n n =⎧⎨-≥⎩. 15．3411024【分析】令1n =计算得出114a =，然后推导出当n 为偶数时，0n S =，当n 为奇数时，112n n S +=，利用等比数列的求和公式可求得129S S S +++的值.【详解】当1n =时，11112a S a ==-+，解得114a =；当2n ≥时，()()()1111122nnn n n n n nS a S S -=-+=-⋅-+. 当n 为偶数时，可得112n n n n S S S -=-+，则112n nS -=； 当()3n n ≥为奇数时，可得112n n n n S S S -=-++，则1112120222n n n n nS S -+=-=-=. 因此，2512924681011111111341240000122222102414S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=++++++++==-.故答案为：3411024. 【点睛】方法点睛：本题考查已知n S 与n a 的关系求和，常用的数列求和方法如下：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.16．869【分析】先根据等差数列的通项公式列方程求出公差与首项，可得1018n n a +=，结合新定义与等差数列的求和公式可得答案. 【详解】由题意，由细到粗每段的重量成等差数列{}n a ，设公差为d ，则1123131415132,4,323394a a a a a a d a d a +++=⎧⎧⇒⎨⎨++=+=⎩=⎩解得11118a =，118d =， 所以1018n n a +=． 所以[]0,17,1,815.n n a n ≤≤⎧=⎨≤≤⎩因此数列{}n b 的所有项和为891518192586189a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==．故答案为：869【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答..17．（1）1(2)n n a -=--；（2）2610n S n n =-.【分析】(1)求出等比数列的公比q ，进而得到其通项公式；（2）求出等差数列公差d ，再利用等差数列的前n 项和公式求解. 【详解】（1）∵公比212a q a ==-，∴()1112n n n a a q --==--. （2）∵34a =-，48a =，4a -3a =8+4=12,∴14b =-，公差12d =.故()214126102n n n S n n n -=-+⨯=-.【点睛】本题考查了等比数列的基本量计算和等比数列的通项公式，考查了等差数列的基本量计算和前n 项和公式.是基础题.18．（1）2n a n =+ （2）122n n T +=-【分析】（1）由15150=S ，可得11510a a +=，即85a =，从而可得公差d ，从而得出答案. （2）由条件可得21122244n a n n n b +=⋅=⋅=，由等比数列的前n 项和公式可得答案. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，11515151502a a S +=⨯= 则11520a a +=，又1158220a a a +==，810a =，又35a =83510a a d =+=，得1d =，则13a =所以()11312n a a n d n n =+-⨯=+-=+（2）21122244n a n n n b +=⋅=⋅= 所以()12122212n n nT +⨯-==--19．（1）证明见解析；（2）前16项或前17项和最大，最大值为272. 【分析】（1）先由n S 求{}n a 通项公式，再利用定义法证明即可；（2）先判断0n a ≥的n 的范围，得到数列的正负分布，即得何时n S 最大. 【详解】解：（1）证明：当2n ≥时，1342n n n a S S n -=-=-，又当1n =时，11323421a S ===-⨯，满足342n a n =-，故{}n a 的通项公式为342n a n =-， ∴()()134213422n n a a n n +-=-+--=-. 故数列{}n a 是以32为首项，2-为公差的等差数列； （2）令0n a ≥，即3420n -≥，解得17n ≤， 故数列{}n a 的前16项或前17项和最大，此时21617331717272S S ==⨯-=.20．（1）2n a n =；（2）12332n n T n n +-=++. 【分析】（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，然后根据题目条件列出关于1a 和d 的方程组求解；（2）将（1）中所得的数列{}n a 的通项公式代入，得到n b 的通项公式，再根据通项公式确定该用哪个方法求前n 项和. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则根据题意得：由715172156410S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，所以2n a n =.（2）23na n n nb a n =+=+，则123(23)(43)(63)(23)n n T n =++++++++2(242)(333)n n =+++++++(22)3(13)213n n n +⨯-=+- 12332n n n +-=++. 【点睛】本题考查等差数列的基本公式的运用，考查利用分组求和法求数列的前n 项和. 解答时，如果已知数列为等差数列或等比数列求通项公式，只需将题目条件翻译成数学表达式，然后通过方程解出首项和公差或公比，然后得出数列的通项公式. 对于数列n n n c a b =+，当{}n a 和{}n b 分别为等差数列与等比数列时，可采用分组求和法求和.21．（1）2n a n =；（2）()()1222212,112,1n n n n x nx x T x n n x +⎧-++≠⎪=-⎨⎪+=⎩；（3）存在最大的整数5m =满足题意． 【分析】（1）当1n =时，11a S =；当2n ≥时，1n n n a S S -=-，将已知代入化简计算可得数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法计算n T ，分1x ≠和1x =两种情况，分别得出答案；（3）利用裂项相消法计算出n H ，并得出单调性和最值，代入不等式解出m 的范围，得到答案． 【详解】（1）当1n =时，112a S ==当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦即数列{}n a 的通项公式为2n a n =（2）12n n n n c a b nx -==，23124682n n T x x x nx -=+++++，①则23424682n n xT x x x x nx =+++++，②①﹣②，得()21122222n n n x T x x nx nx --=++++-．当1x ≠时，()11221nn n x x T nx x--=⨯--，则()()1222121n n n n x nx T x +-++=-． 当1x =时，224682n T n n n =+++++=+综上可得，()()1222212,112,1n n n n x nx x T x n n x +⎧-++≠⎪=-⎨⎪+=⎩（3）由（1）可得()411242n d n n n n ==-++，则12111111111111324352212n n H d d d n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-++-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然n H 为关于n 的增函数，故()1min 23n H H ==． 于是欲使9n mH >恒成立， 则293m <，解得6m <．∴存在最大的整数5m =满足题意．【点睛】方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下： 1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和． 22．（1）证明见解析，13-=n n a ；（2）()11316164n n n T ⎛⎫=-+⋅- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）首先根据131n n S S +=+，131n n S S -=+两式相减得()132n n a a n +=≥，即可得到n a 的通项公式.（2）首先求出()13n n b n -=⋅-，再利用错位相减法求前n 项和n T 即可.【详解】（1）证明：由131n n S S +=+，当2n ≥时，131n n S S -=+，两式相减得()132n n a a n +=≥，当1n =时，2131S S =+即12131a a a +=+，∴23a =，∴213a a =， ∴1n ≥时都有13n n a a +=，∴数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，∴13-=n n a ．（2）解：()()1113n n n n b na n --=-⋅=⋅-， ∴()()()()()122112333133n n n T n n --=+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-， ()()()()()12131323133n n n T n n --=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+-⋅-+⋅-， ∴()()()()111413333n n n T n -=+-+-+⋅⋅⋅+--⋅-， ∴()()()131********n n n n T n n --⎛⎫=-⋅-=-+⋅- ⎪+⎝⎭∴()11316164n n n T ⎛⎫=-+⋅- ⎪⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的求和，常见的数列求和方法如下：1.公式法：直接利用等差、等比数列的求和公式计算即可；2.分组求和法：把需要求和的数列分成熟悉的数列，再求和即可；3.裂项求和法：通过把数列的通项公式拆成两项之差，再求和即可；4.错位相减法：当数列的通项公式由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成时，可使用此方法求和.。

汤阴一中2009届第二轮复习使用材料备考冲刺阶段如何搞好数列专题复习数列历来是高考重点考查的章节，可能出较简单的题目，也可能出很难的题目．尤其是近几年来，很多高考试卷以数列题为压轴题，数列难题频频出现，给考生和中学数学教学带来很大压力．为了适应高考这一新形势，在教学中，尤其是进入第二轮复习以后，如何讲解或强化训练，使学生能够更熟练地解数列题，甚至是数列难题，很值得研究．下面，我抛砖引玉，就备考冲刺阶段如何搞好数列专题复习谈点个人看法或做法，不当或错误之处，敬请各位专家、学者、老师们批评、指正．一、进一步强化下列知识点：1．11 (1), (2).nnn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 2．（1）在等差数列中，依次每k 项之和仍成等差数列．（2）在等比数列中，依次每k 项之和若均不为零，则仍成等比数列．3．数列求和的特殊方法：（1）错位相减法：适用于形如{}n n a b ，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列的数列求和．【n n S qS -，其中q 为{}n b 的公比．】（2）分项求和法：往往适用于通项公式为多项式的数列求和．例1 已知数列{}n a 的通项公式为2[(1)]n n a n =---，求{}n a 的前n 项和S n ． 解：∵2[(1)]22(1),n n n a n n =---=-+-∴2(123)n S n =-+++++122[(1)(1)(1)]n-+-++- (1)(1)[1(1)]22(1)(1)121(1)nnn n n n +---=-⋅+⋅=-++----．（3）裂项相消法：往往适用于通项公式为分式的数列求和． 例2 求下列数列的前n 项和S n ． （1）；（2）1(32)(31)n n ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭．解：（1=∴1n S =+++++= ． （2）∵1111()(32)(31)33231n n n n =--+-+， 11111111[(1)()()()34477101013n S =-+-+-+-∴++1111()()]35323231n n n n -+----+11(1).33131nn n =-=++（4）集项求和法：其基本思想是：先求局部和，再求总和．往往适用于项的符号正、负不定的数列求和．例3 求数列2{(1)}n n -⋅的前n 项和n S ．解：（1）当n 为偶数时，1221(1)(1)(1)21n n n n a a n n n --+=-⋅-+-⋅=-，12341[3(21)](1)2()()()3711(21).22n n n nn n n S a a a a a a n -+-+=++++++=++++-==∴（2）当n 为奇数（n ≥3）时，21(1)(1)22nn n n n n n S S a n --+=+=-=-．又∵111S a ==-也适合上式，∴(1)2nn n S +=-（n 为奇数）．综上：对任意n ∈N*，有(1)(1)2nnn n S +=-．4．根据递推关系求数列通项的特殊方法：累加法；累乘法；拼凑法；不动点法；迭代法；等等．二、强调以下易错点：1．11 (1),(1) (1).1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩2．等比数列的各项与公比均不为零． 3．研究数列，一定要注意找准起始项． 例4 （2004·全国）已知数列{}n a 满足11a =，123123(1)n n a a a a n a -=++++- (2)n ≥，求{}n a 的通项公式．解：∵123123(1)n n a a a a n a -=++++- (2)n ≥， ∴1123223(2)n n a a a a n a --=++++- (3)n ≥， 两式相减得11(1)n n n a a n a ---=-，即1n n a n a -=(3)n ≥．∵211a a ==，∴3211211!134(1)12n nn a a a n a a n n a a a -=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅-⋅= ．又∵11a =不适合上式，21a =适合上式，∴1(1),!(2).2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩例5 在数列{a n }中，已知a 1=1，a n =a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1（n ∈N*，n ≥2），求这个数列的通项公式．解：方法1 ∵a n =a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1（n ∈N*，n ≥2），∴111,2n n n n n S S S S S ----==∴，∴数列{S n }是以S 1=a 1=1为首项，以2为公比的等比数列， ∴12n n S -=．当n ≥2时，1221222n n n n n n a S S ----=-=-=． ∵a 1=1不适合上式，∴数列的通项公式为21(1),2(2).nn n a n -=⎧⎪=⎨⎪⎩≥方法2 ∵1221(2)n n n a a a a a n --=++++≥ ，∴12321(3)n n n a a a a a n ---=++++≥ ，∴两式相减得11n n n a a a ---=，即12(3)n n a n a -=≥，∴当2n ≥时，数列{}n a 是以211a a ==为首项，以2为公比的等比数列，∴22222n n n a a --=⋅=．故数列{}n a 的通项公式为21(1),2(2).nn n a n -=⎧=⎨≥⎩三、一条重要解题经验例6 已知数列{a n }中，1111,1(,2n n a a n a -==-∈*N 且n ≥2），求2008a ．解：∵3n n a a +=，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，∴200820071112a a a +===．四、归纳法与数列例7 在△ABC 内部有任意三点不共线的2007个点，加上A 、B 、C 三个顶点，共有2010个点，把这2010个点连线，将△ABC 分割成以这些点为顶点，且互不重叠的小三角形，则小三角形的个数为（ B ）A ．4017B ．4015C ．4013D ．4012例8 在三棱锥A －BCD 内部有2007个点，加上A 、B 、C 、D 四个顶点，共有2011个点，且这2011个点任意三点不共线，任意四点不共面，把这2011个点连线，将三棱锥A －BCD 分割成以这些点为顶点，且互不重叠的小三棱锥，则小三棱锥的个数为（ A ）A ．6022B ．6020C ．6018D ．6015五、数列的应用例9 某工厂去年贷款A 元，从今年开始，每年偿还相同的金额．以今年为第1年，恰在第n 年还清．已知银行贷款年利率为r ，每年的贷款与利息之和自动转为下一年的贷款．问：工厂每年偿还的金额为多少元？解：方法1 A 元贷款经过n 年，本金与利息总计为A (1＋r )n 元．设工厂每年偿还a 元，则经过n 年，本金与利息总计为1221(1)(1)(1)[1(1)(1)(1)]1(1)[(1)1]().1(1)n n n nna r a r a r a a r r r r a a r r r---+++++++=+++++++-+=⋅=+--+ 元∵恰在第n 年还清，∴(1)[(1)1](1),(1)1nn nna Ar r r A r a rr ++-=+=+-得．故工厂每年偿还的金额为(1)(1)1nnAr r r ++-元．方法2 第1年贷款余额：(1)A r a +-； 第2年贷款余额：2[(1)](1)(1)(1)A r a r a A r a r a+-+-=+-+-；第3年贷款余额：2[(1)(1)](1)A r a r a r a +-+-+-=32(1)(1)(1)A r a r a r a+-+-+-；……第n 年贷款余额：12(1)(1)(1)(1)0n n n A r a r a r a r a --+-+-+--+-= ，得(1)(1)1nnA r r ar +=+-．故工厂每年偿还的金额为(1)(1)1nnA r r r ++-元．六、突破数列难题要使学生在高考中会解数列难题，首先是老师要研究高考中的数列难题，研究难在什么地方，研究突破难点的规律性方法．1．讲透求通项的思想方法，突破求通项的难点．例10 （2005，江西，文）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1213()(3)2n nn S S n ---=-≥，且11S =，232S =-，求数列{}n a 的通项公式．解：方法1：当n 为奇数，且3n≥时，131532()()()n n n S S S S S S S S -=+-+-++-2461111113[()()()()]2222n -=+-+-+-++-2461111113[()()()()]2222n -=+++++12111[1()]144132()(3)1214n n n ---=+⨯=-≥-，又∵11S =也适合上式，∴当n 为奇数时，112()2n n S -=-．当n 为偶数，且4n≥时，242642()()()n n n S S S S S S S S -=+-+-++-35131113[()()()]2222n -=-+-+-++-35131113[()()()]2222n -=--+++24111[1()]318432()(4)12214n n n ---=--⨯=-+≥-，又∵232S =-也适合上式，∴当n 为偶数时，112()2n n S -=-+．当n 为奇数，且3n≥时，1211111[2()][2()]43()222n n n nn n a S S ----=-=---+=-⨯，且111a S ==也适合上式．当n 为偶数时，1211111[2()][2()]43()222n n n nn n a S S ----=-=-+--=-+⨯．综上，得11143(),(2143(),().2n n n n a n --⎧-⨯⎪⎪=⎨⎪-+⨯⎪⎩为奇数）,为偶数方法2：∵1213()(3)2n nn S S n ---=-≥，∴1113()(3)2n n na a n --+=-≥．又∵12232a a S +==-适合上式，∴1113()(2)2n n na a n --+=-≥． 方法（1） ∵1113()(2)2n n na a n --+=-≥，∴22113()(3)2n n n a a n ---+=-≥，两式相减得1219()(3)2n n n a a n ---=⨯-≥．当n 为奇数，且3n≥时，131532()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-2411111119[()()()]43()2222n n --=+-+-++-=-⨯ ，且11a =也适合上式．当n 为偶数时，1121111113()3()[43()]43()2222n n n n nn a a -----=--=---⨯=-+⨯．综上，得11143(),(),2143(),().2n n n n a n --⎧-⨯⎪⎪=⎨⎪-+⨯⎪⎩为奇数为偶数方法（2） ∵1113()(2)2n nn a a n --+=-≥，∴111(1)3()2n n n a a --=-+-，∴111113()123()2(1)(1)(1)n n n n nn na a ------==-⨯---．令(1)n nna b =-，则1113()2n nn b b ---=-⨯，∴当2n≥时，21121321111()()()13[()()]222n n n n b b b b b b b b --=+-+-++-=--+++=1111[1()]1221343()1212n n -----⨯=-+⨯-，且11b =-也适合上式，∴1*143()()2n nb n -=-+⨯∈N ，∴1143()2(1)n n na -=-+⨯-，即111143(),(),12(1)[43()]1243(),().2n nn n n n a n ---⎧-⨯⎪⎪=-⋅-+⨯=⎨⎪-+⨯⎪⎩为奇数为偶数 2．强化较常见的几种不等式放缩技巧，突破数列与不等式综合题的难点．技巧1：放缩后，转化为等比数列求和． 例11 （2002，全国，理）设数列{}n a 满足211,1,2,3,n n n a a na n +=-+= ．（1）当12a =时，求234,,a a a ，并由此猜想出n a 的一个通项公式； （2）当13a ≥时，证明对所有的1n ≥，都有： ①2n a n ≥+； ②1231111111112na a a a ++++≤++++ ．解：（1）∵12342,3,4,5a a a a ====，∴猜想1n a n =+． （2）证明：①用数学归纳法证明： 当1n =时，1312a ≥=+，不等式成立．假设当n k =时不等式成立，即2k a k ≥+，那么，1()1(2)[(2)]125(1)2k k k a a a k k k k k k +=-+≥++-+=+≥++，也就是说，当1nk =+时，不等式也成立．综上，知对任意*n ∈N ，均有2n a n ≥+． ②当2n≥时，1111[(1)]1[(1)2(1)]121n n n n n a a a n a n n a ----=--+≥-+--+=+，∴112(1)n n a a -+≥+，∴1112(1)n n a a -+≥+， ∴211211111111111121(1)2(1)11112112222n nna a a a a a -+++≤++++=⋅-<≤++++++ ．例12 （2006，福建）已知数列{}n a 满足111,21()n n a a a n *+==+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足12111444(1)()nn b b b bn a n ---*=+∈N ，证明：{}n b 是等差数列；（3）证明：122311()232n n a a a n n n a a a *+-<+++<∈N ．解：（1）∵112(1)n n a a ++=+，∴111(1)22n nna a -+=+⋅=，∴21nna =-．（2）方法1：∵1242n nb bb nnb +++-= ，∴122()2n n b b b n nb +++-= ，∴12112()2(1)(1)(2)n n b b b n n b n --+++--=-≥ ，两式相减得122(1)n n n b nb n b --=--， 即1(2)2(1)(2)n n n b n b n --+=-≥，∴12(3)2(2)(3)n n n b n b n ---+=-≥，两式相减，得 112(2)(3)(1)(2)n n n n n b n b n b n b ------=---，即21(2)()2(2)(3)n n n n b b n b n ---+=-≥， 即212n n n b b b --+=，即112(3)n n n n b b b b n ----=-≥，∴数列{}n b 为等差数列． 方法2：同方法1，得1(2)2(1)(2)n n n b n b n --+=-≥．令2n =，得12b =． 设212()b b d d d =+=+∈R ，下面用数学归纳法证明2(1)n b n d =+-． ①当1,2n =时，等式成立．②假设当(2)n k k =≥时，2(1)k b k d =+-，那么122[2(1)]22[(1)1]1111k k k k b b k d kd k dk k k k +=-=+--=+=++-----，这就是说，当1n k =+时，等式也成立．根据①和②，知2(1)n b n d =+-对任何n *∈N 均成立，∴1n n b b d +-=，∴{}n b 是等差数列．（3）∵112112111222122nnn n nn a a ++--==⋅<--，∴31223411112222n n n a a a a n a a a a +++++<+++=个．∵111111211221(21)1111111122222321212142232(22)2nn n n n n n n n nnn a a ++++++----==⋅=⋅=-=-≥-⋅---⋅-⋅+-，∴1222311111111()(1)2322323222n n n n a a a n n n a a a ++++≥-+++=-->- ．综上，得122311()232n n a a a n n n a a a *+-<+++<∈N ．技巧2：∵111(1)(1)112322kknkkk kk n n n k n Cnk nn---⋅⋅-+=≤=⨯⨯⨯⨯⋅⋅ ，∴12221111[1()]111111122111222212n knn nnknn n C C C nnn----++++≤+++==-<-．技巧3：∵1(1)(1)1111!(1)1!!k k nkkkn n n k nC k k kk knk nk n-⋅⋅-+=≤=≤=---⋅⋅ ，∴22111111111(1)()()112231knn nn knC C C n nnnnn++++≤-+-++-=-<- ．技巧4：∵21111(2)(1)1n n n n nn<=-≥--，∴22211111111111(1)()()22223123n nnn++++<+-+-++-=-<- ．例13 已知函数()n f x （*n ∈N ）满足1(0)2n f =，11[()()][()1]()n n n n k k k k n f f f f n n n n++-=-（0,1,2,,1)k n =- ．（1）记1()kn a kf n =，若n 为定值，求{}(0,1,2,,)k a k n = 的通项公式；（2）对*n ∈N ，求证：11(1)43n f <≤．解：（1）∵1()n k k f n a =，∴111111()(1)k kkk n a a a a ++-=-⋅，得111k k n a a nn++=-．令11()k k n a a nλλ+++=+，则11k k n a a nnλ++=+，∴1nnλ=-，∴1λ=-，∴111(1)k k n a a n++-=-．故{1}k a -是以01111(0)n a f -=-=为首项，以1n n+为公比的等比数列，∴11()kkn a n +-=，即1(1)1(0,1,2,,)kka k n n=++= ．（2）1111111(1)343(1)142(1)34343nnn n nf a a nn<≤⇔<≤⇔≤<⇔≤++<⇔≤+<．1222211111111(1)12()nknknnnnnnnnknknC C C C C C C n nnnnnnn+=++++++=+++++ ．方法1：∵111(1)(1)112322kk nkkk kk n n n k n Cnk nn---⋅⋅-+=≤=⨯⨯⨯⨯⋅⋅ ，∴12221111[1()]111111122111222212n knn nnknn n C C C nnn----++++≤+++==-<-，∴12(1)3nn≤+<．方法2：∵1(1)(1)1111!(1)1!!k k nkkkn n n k nC k k kk knk nk n-⋅⋅-+=≤=≤=---⋅⋅ ，∴22111111111(1)()()112231knn n nknC C C n nnnnn++++≤-+-++-=-<- ，∴12(1)3nn≤+<．说明：也可以用均值不等式12,1ni a a a a i n n++++≥∈≤≤R ，且*)i ∈N 证明1(1)2nn+≥．证明如下：∵1111(1)1111121(1)(1)(1)(1)1[]()(1)111nn n n n n n nnnn n n n +++++++=+⋅+⋅⋅+⋅≤==++++ ，∴1{(1)}nn+是递增数列，∴111(1)(1)21nn +≥+=．例14对*n ∈N ，不等式组0,0,2x y y nx n >⎧⎪>⎨⎪≤-+⎩所表示的平面区域为n D ．将n D 内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列： 112233(,),(,),(,),,(,)n n x y x y x y x y ．（1）求{}n x 和{}n y 的通项公式； （2）数列{}n a 满足11a x =，且2n≥时，2222121111()n n n a y y y y -=+++，证明：当2n≥时，12221(1)n n a a n nn+-=+；（3）在（2）的条件下，比较1231111(1)(1)(1)(1)na a a a +⋅+⋅+⋅⋅+与4的大小关系． 解：（1）由20nx n-+>得2x <，又∵0x >，且*x ∈N，∴1x=．nD 内的整点都落在直线1x =上，且*,y n y ≤∈N，故满足条件的点列为(1,1),(1,2),(1,3),,(1,)n ，∴1n x =，n y n =．（2）当2n ≥时，由2222212311111n nn a y y y y y -=++++得222211112(1)n a n n =+++- ，∴12222111(1)12n a n n+=++++ ，两式相减得12221(1)n n a a n nn+-=+．（3）当1n =时，11124a +=<． 当2n≥时，由12221(1)n n a a n nn+-=+得2211(1)n n a na n ++=+，∴1231111(1)(1)(1)(1)na a a a +⋅+⋅+⋅⋅+1231211212341(1)(1)(1)11111n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 22212221232434(1)n na n +=⨯⨯⨯⨯⨯⋅+ 122(1)n a n +=⋅=+2221112(1)23n++++． ∵21111(2)(1)1n n n n nn<=-≥--，∴1231111(1)(1)(1)(1)na a a a +⋅+⋅+⋅⋅+<11111122[1(1)()()]2(2)442231n nnn+-+-++-=-=-<- ．综上，对*n ∈N ，均有1231111(1)(1)(1)(1)4na a a a +⋅+⋅+⋅⋅+< ．。

中职数学数列复习在中职数学的学习中，数列是一个重要的知识点。

它不仅在数学学科中有着广泛的应用，对于培养我们的逻辑思维和数学素养也具有重要意义。

为了更好地掌握数列这一板块，进行系统的复习是必不可少的。

一、数列的基本概念数列，简单来说，就是按照一定顺序排列的一列数。

比如：1，3，5，7，9 就是一个数列。

数列中的每一个数都称为这个数列的项。

第一项称为首项，用 a₁表示；第 n 项称为通项，用 aₙ 表示。

数列的通项公式是表示数列中第 n 项与序号 n 之间关系的公式。

例如，等差数列的通项公式为 aₙ ＝ a₁＋（n 1)d，其中 a₁是首项，d是公差。

二、等差数列等差数列是数列中的常见类型之一。

它的特点是从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数称为公差，用d 表示。

等差数列的通项公式如前所述，通过通项公式，我们可以求出数列中的任意一项。

等差数列的前 n 项和公式为 Sₙ ＝ n(a₁＋ aₙ) ／ 2 或 Sₙ ＝ na₁＋ n(n 1)d ／ 2 。

在解决等差数列的问题时，关键是要找到首项、公差和项数这几个关键量。

例如：已知一个等差数列的首项为 2，公差为 3，求它的第 10 项和前 10 项的和。

首先，根据通项公式 aₙ ＝ a₁＋（n 1)d，可得第 10 项 a₁₀＝ 2＋（10 1)×3 ＝ 29 。

然后，根据前 n 项和公式 Sₙ ＝ n(a₁＋ aₙ) ／ 2 ，可得前 10 项的和 S₁₀＝ 10×（2 ＋ 29) ／ 2 ＝ 155 。

三、等比数列等比数列则是另一种重要的数列类型。

它从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，这个常数称为公比，用 q 表示。

等比数列的通项公式为 aₙ ＝ a₁qⁿ⁻¹。

等比数列的前 n 项和公式为：当q ≠ 1 时，Sₙ ＝ a₁(1 qⁿ) ／（1 q)；当 q ＝ 1 时，Sₙ ＝ na₁。

重点、难点是：如何解数列的解答题；通过知识的归类总结，构建数学知识的体系。

5. 学习评价设计通过课堂强化训练进行评价，通过学生的行为表现判断学习目标的达成度。

题组强化：(课件投影)基础练习，温故知新：1．各项为正数的等比数列中，a 1=3,前三项和为21，则a 3+a 4+a 5= ( ) A. 33 B. 72 C. 84 D. 189 2. 记等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若a 1=21，S 4＝20，则S 6＝（ ） A ． 16 B. 24 C. 36 D. 48 3. 设等比数列｛a n ｝的公比q=2，前n 项和为S n ,则24S a ＝（ ） A. 2 B. 4 C.215 D. 217 4. 将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 34 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………据此规律，数阵中第n(n ≥3)行的从左至右的第3个数是＿＿＿＿＿6.学习活动设计 教师活动 学生活动环节一：激活思维1．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5=（ ） A ．﹣12B ．﹣10C ．10D ．122．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=1，S 8=3，则a 9+a 10+a 11+a 12=（ ） A ．8 B ．6 C ．4D ．23．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1+a 3=，且a 2+a 4=，则等于（ ）A ．4n ﹣1B ．4n ﹣1C ．2n ﹣1D ．2n ﹣14．已知数列{an}为等差数列，Sn是它的前n项和，若S4=20，a4=8，则S8=（）A．52 B．72 C．56 D．645．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S10=﹣10，a5=a3+4，则S30=（）A．10 B．180 C．570 D．178教师活动11．已知等比数列{an}公比为q，其前n项和为Sn，若S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（）A．﹣B．1 C．﹣或1 D．﹣1或2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a11=a9+7，则S25=（）A．B．145 C．D．1758．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn=2an+1，则S6= ．3．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3=，S6=，则a8= ．学生活动1学生完成练习，发现问题。

017 数列章节复习课【学习目标】1．进一步掌握等差数列和等比数列的概念和性质．2．进一步掌握等差数列和等比数列的前n项和．3．初步学会处理简单的等差数列和等比数列的综合应用．【学习重难点】重点：等差数列和等比数列的概念和性质，会判断等差等比数列．难点：等差数列和等比数列的综合应用．【学法指导及要求】1【学习过程】一、复习回顾：二、典型例题:例1．已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)a n.设b n＝a n n.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；(3)求数列{a n}的通项公式．反思感悟例2．正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1(n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .反思感悟四、课堂反馈：1．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列的前13项和为() A ．13 B ．26C ．52D ．1562．设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8等于( )A ．12B ．24C ．30D ．323．已知数列{a n }是n 次多项式f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 的系数，且f (1)＝n (n ＋1)2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ，并证明221<⎪⎭⎫⎝⎛f .五、课堂总结：。

数学数列章节中考知识点总结在数学中，数列是一系列数按照一定的规律排列的集合。

在学习数学数列的过程中，我总结了以下几个考点，希望对大家有所帮助。

一、数列的概念及表示方法数列是由一串有序的数字组成，可以用字母表示。

常见的表示方法有通项公式和递推公式。

通项公式表示数列中的每一项与项号之间的关系，递推公式则表示数列中的第n+1项与前n项之间的关系。

二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相等的数列。

常用的求和公式是等差数列的通项公式和求和公式。

通项公式为an=a1+(n-1)d，求和公式为Sn=n/2(a1+an)。

三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。

常用的求和公式是等比数列的通项公式和求和公式。

通项公式为an=a1*r^(n-1)，求和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中r为公比。

四、递归数列递归数列是指数列中的每一项都是前几项的函数。

常用的递归公式有斐波那契数列和阶乘数列。

斐波那契数列的递归公式为fn=fn-1+fn-2，其中f1=f2=1；阶乘数列的递归公式为n!=n*(n-1)!，其中0!=1。

五、数列的极限数列的极限是指随着项数的增加，数列中的数趋于一个固定的值或趋于无穷。

常用的极限表示方法有极限定义法和数列收敛定理。

极限定义法用于证明数列收敛，数列收敛定理则用于判断数列是否收敛。

六、数列的应用数列在实际生活中有着广泛的应用。

常见的应用包括等差数列的数学题中求和、等比数列在利率问题中的应用、递归数列在计算机编程中的应用等。

综上所述，数学数列是数学中的重要概念之一，在考试中经常涉及到各种与数列相关的题目。

通过掌握数列的概念、表示方法以及各种数列的性质和应用，我们能够更好地理解数学中的数列章节，提高解题的能力。

希望以上内容能够对大家的学习有所帮助。

《数列》章节沖关一、选择题(本大题共15小题,每题3分,共45分)1.数列()1111,,,,26121n n +的前n 项和n S 为（ ）A .()11n +B . ()11n n +C . ()1n n +D . ()121n n +2.在等差数列{}n a 中,14727a a a ++=，3699a a a ++=，则9S =（ ） A . 72 B . 54 C . 36 D .273.若{}n a 为等比数列,n S 为前项和,333S a =,则公比q 为( )A . 11-22或B . 11-2-或C . 11-2或D .1-24.等差数列{}n a 中,14a =,33a =则当n 取（ ）时,n S 最大 A . 7 B . 8 C . 9 D . 8或95.在等差数列{}n a 中,已知前13项和1365S =,则7a =（ ） A . 15 B .52C .5D .10 6.已知1234,,,a a a a 成等差数列,且23,a a 是方程22520x x -+=的两个根,则14a a +=（ ）A . 1 B . 52 C . -1 D .52-7.在等差数列{}n a 中,公差d =1,且134,,a a a 成等比数列,则该数列中为0的项是 第（ ）项A. 4 B . 5 C . 6 D . 0不是该数列的项8.如果椭圆的短轴长、焦距、长轴长依次成等差数列,则这个椭圆的离心率为( ) A .45 B .35 C .34 D .239.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若363,7,S S ==则9S =( ) A . 10 B . 11 C . 12 D . 1310.在等比数列{}n a 中,102048,60S S ==则30S =( )A . 75B . 68C . 63D . 5411.在等差比数列{}n a 中,若283736,15a a a a =+=,则公差d 为（ ）A .32-B .32C .32-或32D .23-或2312.已知数列{}n a ,11a =且1331n n a a +-=,则301a 等于( ) A .100 B .101 C .102 D .10313. 在等比数列{}n a 中,前n 项和Sn ,若267,91,S S ==,则4S =( ) A. 18 B . 20 C . 26 D . 28 在等比数列{}n a 中,14. 0n a >,若569a a =,则313233310log a log a log a log a ++++=(A .325log +B .8C .10D .12 15.等差数列的公差12d =,前100项的和100145S =,则它的前100项中所有奇数项的 A .85 B .1452C .70D .60ニ、填空题(本大题共12小题,每题3分,共36分) 16.等差数列84,80,76,┄┄的前________项为正数 17. 数列24816,,,,12233445--⨯⨯⨯⨯,的一个通项公式为_______18.已知数列{}n a 的前n 项和23n n S =+,则n a =______19.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若51010,5S S ==,则公差d =_______20.在83和272之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_______21.在等比数列{}n a 中,若5421108,4a a a a -=-=,则n a =——— 22.在等差数列{}n a 中,前n 项和22n S n n =-,则567a a a ++=———— 23.公差d ≠0的等差数列{}n a 中,1216,,a a a 依次成等比数列,则公比q =_______ 24.已知{}n a 为等比数列且0n a >,24354625a a a a a a ++=,那么35a a +=______25.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若10a >且190S =,则当n =______时n S 最大26.在等比数列中,13a =,2q =,则6S =_______ 27.在等比数列中,284a a =,则5a =________三、解答题(本大题共4小题,第28题9分,第29、30、31题每题10分,共39分)28.在等差数列{}n a 中,132,12a S == (1)求数列{}n a 的通项公式(2)令3n a n b =,求数列{}n b 的前n 项和 29.在等差数列{}n a 中,1311130,a S S == (1)求公差d(2)试问该数列的前几项和最大?最大是多少?30.已知实数,,a b c 成等差数列,114a b c +++、、成等比数列,且15a b c ++=,求,,a b c31.在等比数列{}n a 中,若1221,n n a a a ++⋯+=-求22212n a a a ++⋯+的值.《数列》章节冲关答案一、选择题1.C2.B3.C4.D5.C6.B7.B8.A9.C 10.C 11.C 12.B 13.D 14.C 15.D 二、填空题16.21 17.a n =(-1)n 2(1)n n n + 18.a n =15(1)2(2)n n n -=⎧⎨⎩ 19.35- 20.21621.a n =2×13n - 22.63 23.14 24.5 25.9或10 26.189 27. ±2 三、解答题28.解:(1)因为a 1=2,a 1+a 2+a 3=12=3a 1+3d ,所以d =2,所以a n =2n . (2)因为b n =3an =32n =9n ,b n +1=9n+1,1199n n n n b b ++==9,所以{bn }是等比数列,b 1=91=9, q =9,b n 的前n 项和S n =9(19)19n ⨯--=1998n +-.29.解:(1)因为{a n }是等差数列,S 3=S 1,所以a 4+a 5+a 6+…+a 11=4(a 4+a 11)=0,即2a 1+13d =0. 又因为a 1=130,所以d =-20. (2)S n =130n +(20)(1)2n n --=-10n 2+140n =-10((n -7)2+490所以当n =7时取最大值,最大值为490.30.解:因为a 、b 、c 成等差数列,且a +b +c =15=3b ,所以b =5. 设a 、b 、c 的公差为d ,则a =5-d ,c =5+d .又因为a +1、b +1、c +4成等比数列,即6-d 、6、9+d 成等比数列,所以36=(6-d )(9+d )) 得d =-6或3.当d =-6时,a =11,b =5,c =-1; 当d =3时,a =2,b =5,c =8.31.解:因为{a n }是等比数列,且a 1+a 2+…+a n =2n -1=S n ,所以a n = S n -S n -1= (2n-1)-(2n -1-1)= 12n -,所以a n 2=(2n -1)2=222n -,得a n+12=22n,因此212n na a +=22=4,得{a n 2}是等比数列,且首项为a 12=S 12=1,公比是4,所以22212na a a +++=1(14)14n ⨯--=413n -.。

第二章《数列》章节考试卷一、选择题（共14小题；共70分）1. 设等比数列的前项和为，已知，，则A. B. C. D.2. 数列满足，，则A. B. C. D.3. 已知数列，，，，，，下列各数中是此数列中的项的是A. B. C. D.4. 已知等比数列满足，，则A. B. C. D.5. 数列，，，，的一个通项公式A. B. C. D.6. 设等差数列的前项和为，若，则A. B. C. D.7. 已知数列的前项和为，且，则等于A. B. C. D.8. 在数列中，，，则的值为A. B. C. D.9. 数列的前项和为A. B. C. D.10. 在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于A. B. C. D.11. 已知数列中，，当时，，则A. B. C. D.12. 等比数列满足，，则A. B. C. D.13. 已知数列的前项和是，则正整数A. B. C. D.14. 设数列的前项和为，令，称为数列的"理想数"．已知的"理想数"为，那么数列的"理想数"为A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）15. 数列中，数列的通项公式，则该数列的前项之和等于．16. 是数列的前项和，且，，则．17. 观察分析下列数据：，，，，，，，，根据数据排列的规律得到第个数据应是．18. 等比数列中，，则．19. 数列，，，，，，的前项之和等于．20. 设数列是公差不为的等差数列，为其前项和，若，，则的值为．三、解答题21.（10）已知等差数列的前项和为，且，，求．22.（20）等比数列中，，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．23. （20）设数列满足（1）求数列的通项；（2）设求数列的前项和．答案第一部分1. A2. C3. B4. C 【解析】设数列的公比为．因为，所以，，．因为，所以，所以，所以，所以．故．5. C【解析】由题意，，，，所以．6. B 【解析】在等差数列中，由，得：，即．所以．7. C8. D9. D10. A【解析】由题意知，数列为等差数列，其公差为，所以．所以．11. C 【解析】答案：C12. B 【解析】设等比数列公比为，则，又因为，所以，解得，所以 .13. C14. B第二部分15.16.17.18.【解析】由等比数列的性质，及其，所以，所以．19.20.第三部分21. （方法一）由可得所以．（方法二）在等差数列中，，，这三项也构成等差数列．由，及，可得，又，所以．（方法三）由，得，又，所以，所以．22. （1）设的公比为，由题设得．由已知得，解得（舍去），或．故或．（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．若，则．由得，解得．综上，．23. （1）因为所以两式相减，得验证时也满足上式，（2）由（1）知，故所以。