电磁场与电磁波作业(汇总)

电磁场与电磁波作业电子版

071244146 朱志峰 071214121 周少波

1.6 证明：如果CABA和BACA,则CB。

解: CABA，有)()(CAABAA

CAAACABAAABA)()()()(

由 CABA

同理有CAABAA)()(

∴CB

1.14 利用直角坐标系证明：

(uv)=uv+vu

证明：uv+vu=u(zuvyuvxuvzvyvxvzyxzyx()()

=)()()(yvvzvuyuvyvuxuvxvuyyzyyyxxx

=)()()(zyxuvzuvyuvx

=)(uv

1.15 一球面S的半径为5，球心在原点，计算sders)sin3(的值。

解：rdrddrdrsdsin

原式=drdrdsers2sin3sin3

=15derder)5(sin

=752

补充题 已知在直角坐标系中U(x,y,z)，求证uduudfuf)()(。

证明：eyufyexufxeuf)()()(zzuf)(

=zuduudfzeyuduudfyexuduudfxe)()()(

=uduudf)(

kkekekezkykxkzezkykxkyezkykxkxerkzkykxkrkkekekekyrxrxrzrzryrzeyexeryrxrexrzrezryrezeyexerzryrxrkzeyexerkrkzzyyxxzyxzzyxyzyxxzyxzzyyxxxyzxyzyxxyzzxyyxzyxzyxzyx)()()()(30r0)()(r23111rr1)(30r23r123.1zz，则）设（）（）（又）证明：（为一常矢量。，。其中）；（）；（）证明：（

学号071244104 陈继龙 学号071244103 陈凤的作业

1.28 利用直角坐标，证明

fAAfAf

证明：在直角坐标下，=Axex+Ayey+Azez,

zyxezeyex ,

则AfzfAzyfAyxfAxAzzAyyAxxffAAf

1.30利用直角坐标，证明

GfGfGf

证明：在直角坐标系下, zyxezeyex,

zyxfGzefGyefGxeGf,

xyxeyGxxfGyexfGzzfGxefGyzyfGzGf

])()()[((zyxeyGxxGyexGxzGxezGxyGzfGf

zyxezfeyfexff

zxyyzxxyzeGyfGxfeGxfGzfeGzfGyfGf)()()(

所以：GfGfGf

1.31利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明0)(u及0)(A，试证明。

证明：（1）由斯托克斯定理知

)(usds dluc00110dududuc

因为曲面是任意的，所以被积函数0)(u

（2）由散度定理知，svdsAdVA)(

把闭合曲面任意分成两半，

由斯托克斯定理知，有

11)(csdlAdsA

22)(csdlAdsA

因为C1和C2同一回路，方向相反。

所以 1cdlA 2cdlA

0sdsA

也就是0)(dVAv

又因为体积是任意的，

故得：0)(A

补充题 证明

duAduA;duAduuAu）（）（，其中),,(zyxuu。

duAdu)uuu(duAduduAduduAduduAd)()()(uzyxzyxzyxzyxzuAyuAxuAAzyx）（证明：duAd)]()()([)()()())()(())()(())()((uAuyuxuexuzuezuyueduAdyuduAdxuduAdexuduAdzuduAdezuduAdyuduAdeyuAxuAexuAzuAezuAyuAexyyzxyyzxxyyzxyyzxxyzzxyyzx）（

071244143 张康 071244144 张黎明

2.3 电荷Q均匀分布在半径为r的导体球面上，当导体以角速度绕通过球心的z轴旋转时，试计算导体球面上的面电流密度。

解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为，则P点的线速度为

sinrvre

球面的上电荷面密度为

24Qa

故 2sinsin44SQQaaaJvee

2.5 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，求球内的电流密度。

解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r，且

r与z轴的夹角为，则P点的线速度为

sinrvre

球内的电荷体密度为

343Qa

故 333sinsin434QQrraaJvee

2．12 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明：垂直于平面的z轴上0zz处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为03z的圆内的电荷产生的。

解 半径为r、电荷线密度为dlr的带电细圆环在z轴上0zz处的电场强度为

0223200dd2()zrzrrzEe

故整个导电带电面在z轴上0zz处的电场强度为

00223222120000000d12()2()2zzzrzrzrzrzEeee

而半径为03z的圆内的电荷产生在z轴上0zz处的电场强度为

003300223222120000000d112()2()42zzzzzrzrzrzrzEeeeE

2．16 一个一半径为a的导体球带电荷量为q,当球体以均匀角速度ω绕一个直径旋转时，如图题2.16所示,试求球心处的磁感应强度B.

解：球面上的电荷面密度为

当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量点处的电荷面密度为

将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任意一个宽度为的细圆环的电流为

细圆环的半径为b=sinθ圆环平面到球心的距离d=a cosθ利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该圆环电流在球心产生的磁场为

故整个球面电流在球心产生的处产生的磁感应强度为

2.22通过电流密度为J的均匀电流长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔,其横截面如图题2.22所示.试计算各部分的磁感应强度,并证明空腔内的磁场是均匀的.

解:建立如解2-22图所示坐标系,因为空腔的电流密度为0,可把该电流分布看做是两个电流密度的合成.

设整个半径为b的圆柱导体内通有电流密度为的电流,半径为a的圆柱体内通有电流密度为-的电流,那么,这时整个空间的场是由这二者共同产生的.

对于大圆柱体,由安培环路定律得:

同理, 对于小圆柱有:

空间任一点的磁感应强度应有二者的矢量和

,所以在大圆柱体处时,     

   



) ' ( ' 2 ) ' ( 2 '

' 2

0 ' 0

a r e r Ja a r e Jr

B

 

 

小     

 



) ( 2 ) ( 2

2

0 0

b r e r Jb b r e Jr

B

 

 

大

334334aqaqeraqvJsin433在空腔和大圆柱之间时，

在空腔内时，

因为d为一定值

所以空腔内的磁场是均匀的.

成康与陈莹的作业

2.3 电荷q均匀分布在半径为a的导体球面上，当导体以匀角速度绕通过球心的z轴旋转时，试计算导体球表面的面电流密度。

解：设球面上任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为，则P点的线速度为

球面的上电荷面密度为

24aqs

故 eaqweaaqvJsssin4sin42

2.5 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为q的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，求球内的电流密度

解：球内电荷体密度为：

设球内任一点P的位置矢量为r且r与z轴夹角为，则P点线速度

errvsin

              2 ' ) ' ( 2 2 ' 2 2 2 2

0

2 2

0

2 2

0

' 2

0 2

0 r r b e J r e r Ja r e r Jb e r Ja e r Jb B z z z     

 

           ' ) ' ( 2 ' 2 2 2 2

0

' 2

0 0 r r a r e J e r Ja e Jr B z   