探究应用新思维：数学8年级

七年级·数学探究应用新思维近几年，小学数学教学改革的发展变得越来越迅速，有越来越多的教育专家倡导采用以探究、实践为主的课堂模式，以开发学生的创新能力，调动学生学习数学的积极性，提高学生学习数学的能力。

在这样的情况下，越来越多的学校采取了“七年级数学探究应用新思维”的教学模式。

七年级数学探究应用新思维，主要侧重于培养学生探究式思维，实现对新技能、新知识的探究与应用，渗透跨学科连接，学习数学的积极性激发得更加明显。

其核心就是培养学生的自主学习能力，让他们学会从多方面思考问题，综合分析数据，培养从多角度探究数学知识、解决问题的能力。

首先，教师要让学生掌握数学知识点，围绕某一学科数学知识，使学生深入探究、提出问题，让学生能够多角度探究、探究思维的形成成为可能；其次，要培养学生的实践能力和分析能力，教师可以指导学生运用新发现的知识，发现一些规律，并通过实际操作，加深对数学的理解和应用；最后，要激发学生的创新精神，让学生能发挥自己身上的能力，用独到的角度、思维去探究和解决问题。

在探究应用过程当中，教师要采用较多的多媒体和科技设备，比如电脑设备、科学仪器等，通过这些辅助设备，教师可以对学生实施更加有效、有趣、针对性的辅导，同时可以激发学生的创新能力，让他们学会以多方面角度探究和解决问题。

此外，学校可以在开展七年级数学探究应用新思维的教学模式的同时，开展科技教育、社会实践教育等一系列活动，让学生参与其中，扩展学生的知识面和眼界，建立起学术论文写作与课程学习的联系，真正做到教学和课外活动的有机结合，让学生学会以探究、实践为主的思维，获得真正的数学学习成果。

教学改革是一场长期的斗争，紧密相连的每一节课都要为改革的深入而努力。

“七年级数学探究应用新思维”的教学模式正是让学生拥有更多学习数学的机会和时间，让学生学会以探究、实践为主的思维，从而推进数学教学改革，更好、更深地挖掘学生的潜能，实现中学数学教学改革的最终目标。

七年级·数学探究应用新思维
近年来，数学教育更加注重学生自主学习能力和解决实际问题的能力，以促进学生学习数学的兴趣和科学素养。

数学探究应用新思维就是一种新的数学教学模式，主要是由学生自主探究而得到，侧重培养学生的学习习惯和能力，使学生能够灵活运用知识驱动回答问题的能力，发展创新思维。

首先，数学探究应用新思维以学生为主体，由他们自主探究，解决问题，不仅注重学生心智发展，而且培养学生自主学习、自我反思和研究问题的能力。

例如，从学生现有知识出发，引导学生尝试推翻概念，解决问题，拓展、发掘学生原有知识；同时，可以让学生通过比较不同概念之间的差异，思考和发现新的概念，进行探究，形成新的数学知识体系，有助于培养学生的分析、总结、推理、创新能力。

其次，数学探究应用新思维由学生自主发现，选择新方法并根据实际情况调整。

通过小组讨论，学生可以相互交流，寻求问题的解决方案，并自我协调和研究。

此外，也可以让学生在实践中发现规律，学会使用新方法，熟练掌握数学解决问题的方法，解决生活中的实际问题，提高数学实践能力。

此外，数学探究应用新思维还有助于改善学生的学习习惯和兴趣，鼓励学生发挥自己的知识和技能，并且培养学生勤奋努力、勇于探索、解决实际问题的意识，培养新思维。

通过数学探究应用新思维，发挥学生创造力、挑战性思维，增强学生的主观能力，发展学生的自主学习能力、创新能力、解决问题的
能力，更加深入和灵活地学习数学，提高学生数学素养。

因此，数学探究应用新思维在七年级数学教育中具有重要意义。

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分享2024年八年级下期数学教学的探究与创新分享2024年八年级下期数学教学的探究与创新精选2篇〔一〕2024年八年级下期数学教学的探究与创新随着时代的开展和科技的进步，教育也逐渐走向了数字化、网络化、智能化。

作为数学教育工作者或学生，如何在信息时代的条件下推动数学教学的创新与开展，是当前非常重要的问题。

在此背景下，我们讨论了2024年八年级下期数学教学的创新与探究。

教材是数学教学的根据，对于数学教学的创新与开展起着至关重要的作用。

针对传统教材存在的知识重叠、难度跨度大、教学方法单一等问题，我们将采用全新的教材，其中最大的改变是将数学中形式语言的学习全部通过人工智能+VR技术实现。

这通过技术时代的先进工具解决了传统数学教育中难点之一的数学符号的习题训练。

新教材范围较大，涉及到二次函数、三角函数、导数应用、微积分等多项内容，但教材编写人员选用了关键技术，将数学中枯燥而难懂的概念内容实现了虚拟实景、生动形象、数学符号和实物相结合的生动展现。

通过引入VR技术，在让学生把数学概念和真实物品联络起来的同时，还能更大地助力师生掌握最新技术。

教学方法是教育改革的切入点，针对传统数学教学中喜欢以定型化的套路形式手把手地教学，拘泥于教科书的课本顺序，造成学生的兴趣在急速退却，我们将采用“学生中心+小组合作+工程式学习”的数学教育形式。

学生中心指的是以学生的需求、兴趣为出发点，关注学生的参与、开展、自主性、协作性、理论等主体性教育理念，鼓励学生自主深化思索、多方位学习、理论探究、合作交流，以进步数学学习效果。

在教学方法创新上，我们将增加“善用语言，淘汰陈旧的成见”的数学讨论环节，以让学生从小就培养换位考虑的才能。

小组合作是在学生中心理念指导下，采用积极合作学习的方法，增强小组精神，促进学生开展，以优秀学生为带着者，自主学习，互帮互助，共同升华，以此进步数字时代思维才能。

工程式学习是对传统数学学习进校门学，出校门忘的彻底革新，引导学生从真实的环境应用问题中探究数学规律，让学生在完成已经模拟的理论性工程情境正式开展应用的形式，从而发挥学习效果。

思维新观察. 八年级数学. 上册
1.基本定义：
⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.
⑵全系列等三角形：能全然重合的两个三角形叫作全系列等三角形.
⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.
⑷对应边：全系列等三角形中互相重合的边叫作对应边.
⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.
2.基本性质：
⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.
⑵全系列等三角形的性质：全系列等三角形的对应边成正比，对应角成正比.
3.全等三角形的判定定理：
⑴边边边()：三边对应成正比的两个三角形全系列等.
⑵边角边()：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
⑶角边角()：两角和它们的夹边对应成正比的两个三角形全系列等.
⑷角角边()：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
⑸斜边、直角边()：斜边和一条直角边对应成正比的两个直角三角形全系列等.
4.角平分线：
⑴画法：
⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
⑶性质定理的逆定理：角的内部至角的两边距离成正比的点在角的平分线上.
5.证明的基本方法：
⑴明晰命题中的未知和澄清.(包含暗含条件，例如公共边、公共角、对顶
角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系)
⑵根据题意，图画出来图形，用数字符号则表示未知和澄清.
⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.。

七年级·数学探究应用新思维如今，数学教育正在发生着前所未有的变化，以探究为基础应用新思维是这一变化的重要特征之一。

探究数学思维方法能够帮助学生改变传统的学习手段，为学生提供一种更有效的学习环境，加深对数学的理解，帮助学生发现和应用数学规律，从而引发他们更多的学习兴趣。

在这种新的数学思维方式下，学生可以通过探究来深入理解数学，而不是只依靠抽象思维来记忆。

首先，探究数学思维方法主要强调“以研究为基础”，这意味着学生需要认真观察、分析、思考，甚至创新，从而探究数学知识的意义，用这种方法引导学生探究数学知识，从而获得解决问题的能力。

也就是说，学生将从数学的概念和定律出发，大胆研究，挖掘数学知识背后的自然规律，从而使学生更加深入地理解数学知识，而不是被动地记忆知识。

其次，在运用探究式学习方法教授七年级数学时，老师需要正确认识学生的需求，为学生创建有效的学习环境，激发他们的学习兴趣，搭建平台，让他们运用探究的思维方式去探究数学中的规律，帮助他们发现和把握数学中的规律。

当学生们掌握了探究的技巧后，老师还需要鼓励他们，让他们更加自信地把握这些技巧，让他们在学习数学中更充实更快乐。

最后，当老师教学时，他还需要重视学生的研究能力。

通过积极激发并培养学生研究的能力，让学生发挥自己的创造力和想象力，在探究过程中获得更多的乐趣。

例如，老师可以给学生出不同的探究课题，让学生自己探究，以找出解决问题的方法，也可以让他们参与到实践环节，以加深对数学知识的理解，最终让学生掌握数学知识，运用数学知识解决问题。

总而言之，数学探究应用新思维的方法对七年级的学生来说是非常重要的，老师们在教学中可以使用这种方法，让学生们更好地理解数学知识，更加兴趣地学习，更加有效地解决问题，以达到最终的学习效果。

只有在老师的正确引导下，学生们才能充分利用探究数学思维方法，真正融入数学知识，从而获得更好的学习效果。

人教版初二数学教学中的思维培养与问题解决能力数学作为一门学科，不仅仅是为了学生学习知识，更重要的是培养学生的思维能力和解决问题的能力。

人教版初二数学教材在教学设计中充分考虑到了这一点，通过灵活的教学方法和合理的问题设置，有效培养学生的思维能力和解决问题的能力。

在初二数学教学中，人教版注重培养学生的逻辑思维能力。

数学是逻辑性很强的学科，学习数学不仅要掌握基本的计算方法，更需要学会运用逻辑思维解决问题。

人教版初二数学教材通过引导学生思考、发现问题，培养学生发散性思维和逻辑推理的能力。

例如，在解决代数方程的过程中，教材引导学生通过观察整理公式，列方程并求解，培养学生的逻辑思维和推理能力。

这种教学方式不仅培养了学生的数学能力，还促进了学生思维的发展。

此外，人教版初二数学教材注重培养学生的问题解决能力。

数学是一个充满问题的学科，学习数学就是学会解决问题。

人教版初二数学教材通过设置有趣的问题和实际问题，引导学生主动探究、思考并解决问题。

例如，在解决应用题时，教材通过情境化的描述，让学生将数学知识应用于实际场景，激发学生解决问题的兴趣和动力。

这样的教学设计不仅可以提高学生的数学应用能力，还能培养学生的问题解决能力和创新思维。

在数学教学中，人教版初二数学教材注重培养学生的批判性思维能力。

批判性思维是指学生在接触问题时能够进行推理、分析和评价的思维过程。

人教版初二数学教材通过设计一些有争议性的问题，引导学生进行批判性思考。

例如，在讨论几何形状的性质时，教材会设计一些让学生产生疑问的问题，激发学生思考并质疑已有的结论。

这样的教学设计可以培养学生的批判性思维和创新思维，提高他们解决问题的能力。

总的来说，人教版初二数学教材在教学设计中注重培养学生的思维能力和解决问题的能力。

通过灵活的教学方法和合理的问题设置，培养学生的逻辑思维能力、问题解决能力和批判性思维能力。

这不仅可以提高学生的数学成绩，更重要的是培养学生终身学习的能力，使他们能够在面对各种问题时，能够运用数学知识进行思考和解决。

新思维新观察答案-八年级数学下册答案-2014年2月版（课时精练）-智能一对一教材目录新观察8第十六章二次根式1.二次根式（一）2.二次根式（二）3.二次根式的乘除（一）4.二次根式的乘除（二）专题二次根式的性质专题二次根式的乘除运算5.二次根式的加减（一）6.二次根式的加减（二）专题与根式相关的规律问题专题根式及其运算第十七章勾股定理7.勾股定理（一）8.勾股定理（二）专题勾股定理与特殊角专题运用勾股定理列方程专题勾股定理与折叠问题专题勾股定理与分类讨论9.勾股定理的逆定理（一）10.勾股定理的逆定理（二）专题利用勾股定理逆定理证垂直专题勾股定理（逆定理）与网格画图专题问题的证明专题或问题的证明专题勾股定理综合（一）纯几何问题专题勾股定理综合（二）与代数结合第十八章平行四边形11.平行四边形的性质（一）12.平行四边形的性质（二）13.平行四边形判定14.三角形的中位线专题平行四边形中的简单证明专题平行四边形中面积问题专题构造三角形中位线15.矩形（一）性质16.矩形（二）判定专题矩形中的折叠与勾股定理专题构造斜边上的中线17.菱形（一）性质16.菱形（二）判定专题灵活运用菱形的性质专题灵活运用菱形的判定19.正方形（一）性质20.正方形（二）判定专题正方形中的简单证明专题中点四边形专题运用正方形的性质求点的坐标专题正方形中的动态画图专题正方形中的问题（一）基本图形专题正方形中的问题（二）综合探究期中复习专题期中专题（一）二次根式期中专题（二）勾股定理期中专题（三）特殊四边形的简单证明期中专题（四）正方形中的证明与计算期中专题（五）几何常规辅助线小结期中专题（六）45°角的基本图形探究期中专题（七）动态问题--点的运动期中专题（八）坐标系中的正方形第十九章一次函数21.变量与函数（一）22.变量与函数（二）23.函数的图像（一）24.函数的图像（二）专题函数的基本概念专题根据实际问题确定函数图像25.正比例函数26.一次函数（一）--概念27.一次函数（二）图像和性质28.一次函数（三）待定系数法29.一次函数（四）分段函数专题用待定系数法求一次函数解析式专题一次函数图像信息问题30.一次函数与一元一次方程31.一次函数与一元一次不等式32.一次函数与二元一次方程组专题一次函数与方程、不等式专题一次函数与面积（一）33.课题学习选择方案（1）34.课题学习选择方案（2）专题一次函数与面积（二）--动点问题专题一次函数与方案选择专题巧构等腰直角三角形求一次函数解析式专题一次函数与四边形运动问题第二十章数据的分析35.平均数（一）36.平均数（二）37.中位数38.众数39.数据的波动程度（一）40.数据的波动程度（二）专题统计期末复习专题期末专题（一）根式及其运算期末专题（二）统计期末专题（三）特殊四边形的性质及计算期末专题（四）一次函数性质期末专题（五）求一次函数的解析式期末专题（六）一次函数与方程、不等式期末专题（七）一次函数的图像信息期末专题（八）一次函数的应用期末专题（九）一次函数与面积期末专题（十）一次函数与指教三角形全等期末专题（十一）几何综合探究（1）期末专题（十二）几何综合探究（2）期末专题（十三）一次函数与几何综合（1）期末专题（十四）一次函数与几何综合（2）智能一对一 (新思维新观察视频答案-八年级数学下册答案) 智能一对一简介：智能学习系统就是无人值守的学习系统，从此解放家长，方便老师，帮助学生；智能一对一系统是一个解决学生作业难题的智能学习系统；一个老师一个学生一道习题一个视频，做到全方位辅导孩子写作业，帮助解决家庭作业难题；智能一对一，做到无人值守也能有老师指导学习的情况下，还做到了随时随地学习，随时随地解决作业难题，让学生的难题无处可躲，发现一个解决一个。

七八年级奥数培训题（乙）例1.如图，正方形ABCD的边长为6cm,M、N分别为AD、BC边的中点，将点C 折至MN上，落在点P处，折痕BQ交MN于点E，则BE的长等于 cm。

例2.如图，矩形纸张ABCD，AB=2，∠ADB=30°，沿对角线BD折叠，则A、E 两点间的距离为。

例3.如图，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD、AD=DE=BE，则∠Ａ的度数为（）。

例4.如图，△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C= 度。

例5.P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC= 度。

例6、如图，在△ABC 中，AB=BC ，在BC 上取点M ，在MC 上取点N ，使MN=NA ，若∠BAM=∠NAC ，则∠MAC= 度。

例7.解方程8x 7x 3x 2x 9x 8x 2x 1x +++++=+++++的解是 。

例8.解方程4x 112x 7x 16x 5x 12x 3x 1222+=++++++++的解是 。

例9.某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合作所需天数的b 倍、丙队独做所需天数是甲乙两队合做所需天数的c 倍。

则1c 11b 11a 1+++++的值是 。

例10.求方程2x 2-xy-3x+y+2006=0的正整数解。

例11.小林从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A 点，再走上坡路到达B 点，最后走下坡路到达工作单位上班。

所用时间和路程的关系如图所示。

下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、 下坡路的速度分别保持不变，那么他从单位回 到家门口需要用的时间是（ ）分钟。

例12．化简并求值：已知526-=x ，求）（）（1x 24x 2x 12x 12--⨯++-的值。

例13．已知实数x 、y 满足））（—（2008y y 2008x x 22---=2008。

1．数形结合话数轴解读课标数学是研究“数〞和“形〞的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来.在日常生活中我们通常对有形的东西认识比拟快，而对抽象的东西认识比拟慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法．运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在：1．利用数轴形象地表示有理数；2．利用数轴直观地解释相反数；3．利用数轴解决与绝对值有关的问题；4．利用数轴比拟有理数的大小．问题解决例1 (1)a 、b 为有理数，且0a >，0b <，0a b +<，将四个数a 、b 、a -、b -按由小到大的顺序排列是__________．〔?时代学习报?数学文化节试题〕(2)数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是__________．〔广西竞赛题〕试一试 对于(1)，赋值或借助数轴比拟大小；对于(2)确定A 、B 两点在数轴上的位置，充分考虑A 、B 两点的多种位置关系.例2如图，数轴上标出假设干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是( )．A.A 点B.B 点C.C 点D.D 点〔江苏省竞赛题〕试一试 从寻找d 与a 的另一关系式入手．例3 两数a 、b ，如果a 比b 大，试判断||a 与||b 的大小.试一试 因a 、b 符号未定，故a 比b 大有多种情形，借助数轴可直观全面比拟||a 与||b 的大小．例4电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数．〔“希望杯〞邀请赛试题〕试一试 设0K 点表示的数为x ，把1K 、2K 、、100K 点所表示的数用x 的式子表示．例5 数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边．(1)求A、B两点所对应的数．(2)数轴上点A以每秒1个单位长度出发问左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C处追上了点A，求C点对应的数．(3)在数轴上点M从点A出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO的中点为P (O为原点)，在运动的过程中线段PO AM-的值是否变化？假设不变，求其值；假设变化，请说明理由．分析与解对于(3)，设M点运动时间为t秒，把PO AM-用2的式子表示．(1)A、B两点所对应的数分别为8,20-；(2)C点对应的数为22-；(3)202,102tAM t OP t+===+(为什么？)，那么1010PO AM t t-=+-=，即PO AM-的值不变．生活启示例6 李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后〔点A与点B重合〕，固定左端向右均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作〔例如，在第一次操作后，原线段AB上的14，34均变成12；12变成1；等等〕.那么在线段AB上〔除点A、点B外〕的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和.〔浙江省绍兴市中考题〕分析捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作〞的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点．解故在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数字之和是13144+=． 数学冲浪知识技能广场 A 、B 两点，假设点A 对应的数是2-，且A 、B 两点的距离为3，那么点B 对 应的数是__________.2.电影?哈利·波特?中，小哈利，波特穿墙进入“394站台〞的镜头〔如示意图中的M 站台〕，构思奇妙，能给观众留下深刻的印象，假设A 、B 站台分别位于2-，1-处，2AN NB =，那么N 站台用类似电影中的方法可称为“__________站台〞． 〔“?时代学习报?数学文化节〞试题〕3.点A 、B 、P 在数轴上，点B 表示的数为6，8AB =，5AP =，那么点P 表示的数是__________．4.如下图，按以下方法将数轴的正半轴绕在一个圆〔该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2〕上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、所对应的点分别与圆周上1、2、0、1所对应的点重合.这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．(1)圆周上的数字a 与数轴上的数5对应，那么a =__________；(2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈〔n 为正整数〕后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是__________〔用含n 的代数式表示〕．〔江西省中考题〕5.有理数a 、b 在数轴上的位置如下图：，那么以下各式正确的选项是( )．A.0a b +>B.0ab >C.||0a b +<D.0a b ->〔2012年湖南省常德市中考题〕6.文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西20米，玩具店位于书店东100米处．小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60-米，此时小明的位置在( )．A.文具店B.玩具店C.文具店西边40米D.玩具店东60-米7.将一刻度尺如下图放在数轴上〔数轴的单位长度是1cm 〕，刻度尺上的“0cm 〞“15cm 〞分别对应数轴上的 3.6-和x ，那么( )．A.910x <<B.1011x <<C.1112x <<D.1213x <<〔浙江省绍兴市中考题〕8.在数轴上任取一条长度为119999的线段，那么此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )．A.1998B.1999C.2000D.2001〔重庆市竞赛题〕9.一个跳蚤在一条直线上，从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次晾左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位……依此规律剧下去，当它跳第100次落下时，求落点处离O 点的距离〔用单位表示〕．〔江苏省无锡市中考题〕10.数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，求所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和．〔北京市“迎春杯〞竞赛题〕--思维方法天地--11.在数轴上，点A 、B 分别表示13-和15，那么线段AB 的中点所表示的数是____. 12.在数轴上，表示数(2)2a +，的点M 与表示数(3)3a +，的点N 关于原点对称，那么a 的值为__________．13.数形相伴(1)如下图，点A 、B 所代表的数分别为1-,2，在数轴上画出与A 、B 两点的距离和为5的点〔并标上字母〕．(2)假设数轴上点A 、B 所代表的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点之间的距离可表示为||AB a b =-，那么，当|1||2|7x x ++-=时，x =__________；当|1||2|5x x ++->时，数x 所对应的点在数轴上的位置是在__________．〔?时代学习报?数学文化节试题〕14.点A 、B 分别是数3-、12-在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动为A B ''，且线段A B ''的中点对应的数是3，那么点A '对应的数是__________，点A 移动的距离是__________.〔江苏省竞赛题〕15.点1A 、2A 、3A 、、n A 〔n 为正整数〕都在数轴上，点1A 在原点O 的左边，且11AO =，点2A 在点1A 的右边，且212A A =;点3A 在点2A 的左边，且323A A =，点4A 在点3A 的右边，且434A A =，，依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为( )． A.2008,2009-B.2008-,2009C.1004,1005-D.1004,1004-〔福建省泉州市中考题〕16.如图：，数轴—上标出假设干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是〔 〕.A.A 点B.B 点C.C 点D.D 点 17.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，式子||||a b ++||||a b b c ++-化简结果为( )．A.23a b c +-B.3b c -C.b c +D.c b -18.不相等的有理数a 、b 、c 在数轴上对应点分别为A 、B 、C ,假设||||||a b b c a c -+-=-那么点B ( )．A 、C 点右边A 、C 点左边A 、C 点之间 (“希望杯〞邀请赛题)19.在数轴上，N 点与O 点的距离是N 点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N 点表示的数是多少?(“CASIO 杯〞河南省竞赛题)20.数轴上有A 、B 、C 三点，分别代表24-、10-、10,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 4个单位/秒.(1)问多少秒后甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位?(2)假设乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向1而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇?(3)在(1)、(2)的条件下，当甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗?假设能，求出相遇点；假设不能，请说明理由.21.操作与探究对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P '.点A ,B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A B '',其中，点A ,B 的对应点分别为A B '',如下图，假设点A 表示的数是3-,那么点A '表示的数是__________；假设点B '表示的数是2,那么点B '表示的数是__________；线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合，那么点E 表示的数是__________.〔2012年北京市中考题〕22.—动点P 从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进5个单位、后退3个P 每秒前进或后退1个单位，设n x 表示第n 秒点P 在数轴上的位置所对应的数(如44x =，55x =，64x =)，求2011x 所对应的数.绝对值是数学中的一个根本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的根底；绝对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值 方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用，理解、掌握绝对值应注意以下几个方面：脱去绝对值符号常用到相关法那么、分类讨论、数形结合等知识方法.从数轴上看||a 表示数a 的点到原点的距离；||a b -表示数a 、数b 的两点间的距离.①||0a ≥；②222||||a a a ==；③||||||ab a b =⋅；④||||()||a ab a b b =≠ 例1: |||20||20|y x b x x b =-+-+--其中020b <<,20b x ≤≤，那么y 的最小值为__________.(“CASIO 杯〞河南省竞赛题)试一试 结合条件判断出每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号.例2式子||||||a b ab a b ab ++的所有可能的值有( ). A.2个 B.3个 C.4个试一试根据a 、b 的符号所有可能情况，去掉绝对值符号，这是解本例的关键.例 3 (1)|2||2|0ab a -+-=,求111(1)(1)(2)(2)ab a b a b ++++++1(2005)(2006)a b +⋅⋅⋅+++的值.(“华罗庚杯〞香港中学竞赛题)(2)设a 、b 、c 为整数，且||||1a b c a -+-=，求||||||c a a b b c -+-+-的值.(“希望杯〞邀请赛试题)试一试 对于〔1),由非负数的性质先导出a 、b 的值;对于(2)，1写成两个非负整数的和的形式又有几种可能?这是解(2)的突破口.例4阅读以下材料并解决有关问题：我们知道(0),||0(0),(0).x x x x x x >⎧⎪=-⎨⎪-<⎩现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|1||2|x x ++-|时，可令：10x +=和20x -=，分别求得1x =-，2x = (称1-，2分别为|1|x +与|2|x -的零点值)在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：(1)1x <-；(2)12x -≤<；(3)2x ≥.从而化简代数式|1||2|x x ++-可分以下3种情况：(1)当1x <- 时，原式(1)(2)21x x x =-+--=-+;(2)当12x -≤<时，原式1(2)3x x =+--=；(3)当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-.综上讨论，原式21(1),3(12),21(2).x x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩通过以上阅读，请你解决以下问题：(1)分别求出|2|x +和|4|x -的零点值；(2)化简代数式|2||4|x x ++-.(云南省中考题)试一试 在阅读理解的根底上化简求值.例5 (1〕当x 取何值时，|3|x -有最小值?这个最小值是多少?〔2〕当x 取何值时，5|2|x -+有最大值?这个最大值是多少?〔3〕求|4||5|x x -++的最小值.〔4〕求|7||8||9|x x x -+-+-的最小值.分析对于〔3〕、〔4〕可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值;也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示x 的点，使之到表示4、5的点 (:或表示7、8、9的点〕的距离和最小.解(1〕当3x =时，原式有最小值，最小值为0.〔2〕当2x =-时，原式有最大值，最大值为5.〔3〕当45x ≤≤时，原式有最小值，最小值为1.〔4〕当8x =时，原式有最小值，最小值为2.对于〔3〕，给出另一种解法：当4x ≤时，原式(4)(5)92x x x =----=-，最小值为1；当45x <≤时，原式4(5)1x x =---=，最小值为1；当5x >时，原式4529x x x =-+-=-,最小值为1.综上所述，原式有最小值等于1.以退求进例6少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后 再取绝对值的运算，其运算过程是:输人第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输人整数2x 心后那么显示12||x x -的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取1到1991这1991个整数随意地一个一个地输人,全部输入完毕之后显示的最后结果设为P ，试求出P 的最大值，并说明理由.分析 先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出P 的最大值.解 由于输入的数都是非负数，当10x ≥,20x ≥时，12||x x -不超过1x 、2x 中最大的数，对10x ≥，20x ≥,30x ≥,那么123||||x x x --不超过工1x 、2x 、3x 中最大的数，设小明输入这1991个数的次序是1x ,2x ⋅⋅⋅,1991x .相当于计算: 12319901991||||||||x x x x x P --⋅⋅⋅--=，因此P 的值1991x ≤.另外从运算奇偶性分析，1x 、2x 为整数，12||x x -与12||x x +奇偶性相同，因此P 与121991x x x ++⋅⋅⋅+的奇偶性相同，但121991121991x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=1990P x ≤，我们证明P 可以取到1990. 对 1,2,3,4,按如下次序：|||13|4|2|0---=，|||(41)(43)|(44)|(42)|0k k k k +-+-+-+=,对于0,1,2,k =⋅⋅⋅均成立.因此，1~1988可按上述方法依次输入最后显示结果为0,而后||19891990|1991|1990--=，故P 的最大值为1990.数学冲浪知识技能广场a 在数轴上的位置如下图，，且|1|2a +=,那么|37|a +=____.||5a =，||3b =,且||a b b a -=-，那么a b +=____.1111111120032003200220022001202004200401-+-+--=____. (北京市竞赛题〕a 、b 、c 在数轴上的对应位置如下图:,那么|1|||||c a c a b -+-+-化简后的结果是__________. 1a ，2a ，3a ，4a ，⋅⋅⋅满足以下条件：10a =, 21|1|a a =-+，32|2|a a =-+，43|3|a a =+，⋅⋅⋅，依次类推，那么2012a 的值为〔 〕.A.1005-B.1006-C.1007-D.2012-〔2012年江苏省盐城市中考题〕||a a =-,化简|1||2|a a ---所得的结果是〔 〕.A.1-B.1C.23a -D.32a -m 是有理数，那么m m -一定是〔 〕.a 、b 、c 的大小关系如图： 那么以下式子中一定成立的是〔 〕.A.0a b c ++>B.||a b c +<C.||||a c a c -=+D.||||b c c a ->-(“希望杯〞遨请赛试题)(1)|3|x -； (2)|1||2|x x +++.10.阅读下面材料并答复以下问题.点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为||AB .。

七年级·数学探究应用新思维近年来，随着教育理念的改变，“数学探究应用新思维”成为数学教育的一个重要方向，它旨在帮助孩子们在学习中体会数学知识的乐趣，发展认知能力和探究精神，并帮助他们掌握有用的数学知识。

七年级数学教育通常是基础教育的重要组成部分，对于孩子们来说，学习数学知识可以增强他们的逻辑思维和分析能力，而探究型教学可以帮助他们更好地理解和运用所学知识。

而当孩子们使用新思维来探究数学知识时，他们可以获得更多的经验，并获得更深刻的理解。

首先，孩子们需要了解数学探究应用新思维的原理，这将有助于他们更好地理解和掌握数学知识。

其次，孩子们可以使用现实世界的例子来帮助自己理解和掌握数学知识，这将有助于他们更好地理解和掌握数学知识。

此外，孩子们可以通过使用电脑编程软件，开展编程活动，来帮助他们更好地理解数学知识。

在数学探究应用新思维的过程中，教师也起到着重要作用。

首先，老师需要提供良好的教学环境，并通过恰当的设计和指导，鼓励孩子们发挥主体性，自主探究，以培养孩子们的探究精神。

其次，老师还可以设计一些探究课程，通过指导孩子们解决问题，培养孩子们的分析性思维能力。

此外，老师还可以创造一个支持新思维的课堂氛围，以启发孩子们利用新思维来探究并解决问题。

七年级数学课堂中应用“数学探究应用新思维”，可以帮助孩子们建立自信心，使他们在学习中更能发挥主动作用。

它可以帮助他们充分发挥学习的潜力，在未来的学习中取得更好的成绩。

“数学探究应用新思维”也可以帮助他们培养独立思考的能力，使他们可以更好地运用所学的数学知识。

总之，七年级的数学教育应该采取“数学探究应用新思维”的方式，以帮助孩子们更好地理解和运用所学的数学知识，并为他们未来学习和发展打下扎实的基础。

1.因式分解——解读课标——因式分解是整式乘法的逆向运用，她不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是学习后续内容（如分式的化简、解方程）等普遍使用的恒等变形的基础，为数学交流提供有效途径。

提公因式、公式法是因式分解的基本方法，有公因式先提公因式、分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，这是因式分解的基本原则。

一些复杂的因式分解问题，常用到以下知识方法：1.若q=ab 且p=a+b ，则形如2x +px+q 的多项式可分解为（x+a)(x+b); 2.当多项式数较多（4项或4项以上）时，通过恰当分组分解； 3.对结构较复杂的多项式，利用换元法分解 ——问题解决——例1 分解因式3)32(y x -+3)23(y x --3)(125y x -= .(“五羊杯”竞赛题）试一试 从公式3a +3b =（a+b)(2a -ab+2b )入手，若能发现前两项与后一项的联系，则能获得简解。

例2 把下列各式分解因式（1）（2x +5x+2)（2x +5x+3）-12； （2）（x+1)（x+2)（x+3)（x+6)+3x （3） (x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)（“希望杯”邀请赛试题）试一试 对于（1），视x x 52+为整体，或用一个新字母代替；（2）是形如abcd+e 型的多项式，恰当把四个因式两两分组相乘，使得分组相乘后所得的项中有相同的部分；（3）式中（x+y)、xy 多次出现，引入两个新字母，突出式子特点。

例3 阅读理解观察下列因式分解的过程： （1）y x xy x 442-+-原式=()()()()()()44442+-=-+-=-+-x y x y x y x x y x xy x（2）bc c b a 2222+--原式=()()()()c b a c b a b a a bc c b a +--+=--=-+-222222第1题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式。

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九、《解题决策》
十、《点拨训练》。

经典新思维数学八年级下册电子版1、31、点A(-2,-3)关于y轴对称的点的坐标是（）[单选题] *(2,3)(-2,-3)(3,-2)(2,-3) (正确答案)2、下列各式计算正确的是（）[单选题] *A. 2a2＋3a2＝5a?B. (－2ab)3＝－6ab3C. (3a＋b)(3a－b)＝9a2－b2(正确答案)D. a3·(－2a)＝－2a33、33、点P(-5,-7)关于原点对称的点的坐标是（）[单选题] *A. (-5,-7)B. (5,7)(正确答案)C. (5,-7)D. (7,-5)4、41、将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能是（）[单选题]* A．都是锐角三角形(正确答案)B．都是直角三角形C．都是钝角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形5、300°用弧度制表示为（）[单选题] *5π/3(正确答案)π/62π/32π/56、4、已知直角三角形的直角边边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是（）[单选题] *A、6B、10(正确答案)C、8D、27、下列计算正确的是（）[单选题] *A. a2+a2=2a?B. 4x﹣9x+6x=1C. （﹣2x2y）3=﹣8x?y3(正确答案)D. a6÷a3=a28、从3点到6点，分针旋转了多少度？[单选题] *90°960°-1080°(正确答案)-90°9、20.下列函数为既不是奇函数，也不是偶函数的是（）. [单选题] *A.?（x）＝x5+3(正确答案)B.?（x）＝x-4C.?（x）＝3x+4x2D.?（x）＝√(1-x^2 )10、如果平面a和平面β有公共点A，则这两个平面就相交（）[单选题] *A、经过点A的一个平面B、经过点A的一个平面(正确答案)C、点AD、无法确定11、下列各角中，是界限角的是（）[单选题] *A. 1200°B. -1140°C. -1350°(正确答案)D. 1850°12、1．在0，，3，2π，﹣23%，2021这六个数中，非正数有（）个．[单选题] *A．2(正确答案)B．3C．4D．013、14．平面上有三个点A，B，C，如果AB＝8，AC＝5，BC＝3，则（）[单选题] * A．点C在线段AB上(正确答案)B．点C在线段AB的延长线上C．点C在直线AB外D．不能确定14、23、在直角坐标平面内有点A，B，C，D，那么四边形ABCD的面积等于（）[单选题]A. 1B. 2C. 4(正确答案)D. 2.515、22、在平面直角坐标系中，已知点P，在轴上有点Q，它到点P的距离等于3，那么点Q的坐标是（）[单选题] *(0,3)(0,5)(0,-1)(0,5)或(0,-1) (正确答案)16、9、横坐标为3的点一定在（）[单选题] *A.与x轴平行，且与x轴的距离为3的直线上B.与y轴平行，且与y轴的距离为3的直线上C.与x轴正半轴相交，与y轴平行，且与y轴的距离为3的直线上(正确答案)D.与y轴正半轴相交，与x轴平行，且与x轴的距离为3的直线上17、26．已知（x﹣a）（x+2）的计算结果为x2﹣3x﹣10，则a的值为（）[单选题] *A．5(正确答案)B．﹣5C．1D．﹣118、18．已知条件p:x≤1,条件q;1/x<1 ,则p 是非q成立的（）[单选题] * A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件(正确答案)D．既非充分也非必要条件19、下列各对象可以组成集合的是（）[单选题] *A、与1非常接近的全体实数B、与2非常接近的全体实数(正确答案)C、高一年级视力比较好的同学D、与无理数相差很小的全体实数20、下列语句中，描述集合的是（）[单选题] *A、比1大很多的实数全体B、比2大很多的实数全体C、不超过5的整数全体(正确答案)D、数轴上位于原点附近的点的全体21、6.有15张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这15张卡片中任意抽取一张正面的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是1/3?，则正面画有正三角形的卡片张数为（）[单选题] *Ａ.3Ｂ.5Ｃ.10(正确答案)Ｄ.1522、32、在、、、、、3.14这六个数中, 无理数的个数有（）[单选题] *A) 1 个;B) 2 个; (正确答案)C) 3 个;D) 4 个.23、17．若a与﹣2互为相反数，则a的值是（）[单选题] *A．﹣2B．C．D．2(正确答案)24、直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（）[单选题] *A、平行B、平行C、相交但不垂直(正确答案)D、不能确定25、22.若+3x+m=0的一个根为2，则m=（）[单选题] *A.3B.10C.-10(正确答案)D.2026、?方程x2?+2X-3=0的根是（? ? ? ??）[单选题] *A、X1=-3, X2=1(正确答案)B、X1=3 ,X2=-1C、X1=3, X2=1D. X1=-3, X2=-127、二次函数y=3x2-4x+5的二次项系数是（）。

9.反比例函数——解读课标—— 形如 y k (k  0) 叫做反比例函数，这也是现实生活中普遍使用的模型，如过过改变电阻 x来控制电流的变化，从而使舞台的灯光达到变幻的效果；又如过湿地时，在点上铺上地板， 人对地面的压力减小，从而使人不陷入泥中。

反比例函数的基本性质有： 1.反比例函数图像是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无线延伸，但不能接近坐标 轴 2.K 的正负性，决定双曲线大致的位置，及 y 随着 x 的变化情况 3.双曲线上的点是关于原点成中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线 y=x 及 y=-x ——问题解决—— 例 1 如图，直线 y  kx(k  0) 与双曲线 y 4 交于 A（ x1 , y1 ） ，B（ x2 , y2 ）两点，则 x2 x1 y2  7 x2 y1 的值等于________例 2 如图，过点 C（1,2）分别作 x 轴、y 轴的平行线，交直线 y=-x+6 于 A、B 两点，若反 比例函数 y A ． 2≤ k≤ 9k ( x  0) 的图象与△ ABC 有公共点，则 k 的取值范围是（ xB ． 2≤ k≤ 8 C ． 2≤ k≤ 5）D ． 5≤ k≤ 8例 3 如图，Rt△ABO 的顶点 A 是双曲线 y k 与直线 y=-x-（k+1）在第二象限的 交 x点．A B⊥x 轴于 B，且 S△ABO=3 2（1）求这两个函数的解析式； （2）求直线与双曲线的两个交点 A、C 的坐标和△ AOC 的面积．例 4 已知反比例函数 y k 和一次函数 y  2 x  1 ，其中一次函数的图像经过（ a,b) 、 2x(a+1,b+k)两点 （1）求反比例函数的解析式； （2）已知点 A 在第一象限，且同时在上述两函数的图象上，求 A 点的坐标． （3）利用（2）的结果，请问：在 x 轴上是否存在点 P，使△ AOP 为等腰三角形？若存在， 把符合条件的 P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由例 5 如图正方形 AOCB 的边长为 4，反比例函数的图像经过点 E（3,4） （1）求反比例函数的解析式； （2）反比例函数的图象与线段 BC 交于点 D，直线 y  1 x  b 过点 D，与线段 AB 相交 2于点 F，求点 F 的坐标； （3）连接 OF，OE，探究∠ AOF 与∠ EOC 的数量关系，并证明．曲线叠加 如图，已知反比例函数 y  c1,c2 例 6 （1）如图①，若点 P 再 c1 上，PE⊥x 轴于点 E，交 c2 与点 A,PD⊥y 轴于点 D，交 c2 于点 B，则 S 四边形 PAOB=k1-k2k1 k 和 y  2 ( k1  k 2  0) ，在第一象限内的图象一次是曲线 x x， （2）如图②， 若过点 O 做两直线分别交 c1,c2 与 A、 B 两点和 C,D 两点， 则 ∥CD A D C (3)如图③，若一条直线与 c1,c2 分别交于 A、B 两点和 C、D 两点，则 AC=BD.OC OD  , AB OA OBBCA B D数学冲浪 ——知识技能广场—— 1.已知直线 y=ax(ax≠0）与双曲线 y  交点坐标为______ 2.已知双曲线 y  那么 b1_____b2 3.如图，点 A，B 在反比例函数 y k (k  0) 的一个交点坐标为（2,6） ，则他们的另一个 xk 经过点 （-1,3） ， 如果 A （a1,b1),B(a2,b2)两点在该双曲线上， 且 a1  a2  0 , x k (k  0, x  0) 的图像上，过点 A,B 做 x 轴的垂线，垂 x足分别为 M,N,延长线段 AB 交 x 轴于点 C，若 OM=MN=NC,△AOC 的面积为 6，则 k 的值为_______.4.函数 y1=x(x≥0） ， y2=4 ( x  0) 图像如图所示， 则结论： ① 两函数图象的交点坐标为 A （2， x2） ； ② 当 x＞2 时，y2＞y1； ③ 直线 x=1 分别与两函数图象交于 B、C 两点，则线段 BC 的长为 3； ④ 当 x 逐渐增大时，y1 的值随着 x 的增大而增大，y2 的值随着 x 的增大而减小． 则其中正确的是（ ）5.点 A(x1,y1),B(x2,y2),C（x3,y3)都在反比例函数 y  y1,y2,y3 的大小关系A． y3＜ y 1＜ y 2 B． y2＜ y 1＜ y 33 的图像上，若 x1  x2  0  x3 ，则 xC． y3＜ y 2＜ y 1D． y1＜ y 2＜ y 36.如图， 已知 A 是一次函数 y=x 的图像与反比例函数 y 2 的图像在第一象限内的交点， 点 x）B 再 x 轴的负半轴上，且 OA=OB，那△AOB 的面积为（ A. 2 B.2 2C.2D2 27. 函数 y=kx+b(k≠b)与 y k (k  0) 在同一坐标系中的图像可能是（ x） 。

七年级·数学探究应用新思维
随着科技的发展和教育改革的深入，教育界不断推出各种新教育理念，推动教学模式的改革，提高教育质量。

在这种背景之下，提出了一种“探究性教学”，它发挥了学生的学习活动中的主体作用，把学生作为主导者，通过实践实践、探究研究的方式和思维引导进行学习，丰富学习内容，拓展学习方式，在教学评价上把考查学生想办法解决实际问题的能力列为比较重要的一环，实现课堂开放与学习活动实践的统一。

数学作为一门重要的学科，在学习中也需要采用探究性教学模式去提高教学质量，引入新的学习思维，培养学生的创新能力和探究精神。

例如，在七年级数学课上，老师可以采用“探究式教学”，在课堂设置一系列有趣的活动，启发学生的探究精神，如围绕一个让学生容易理解的小问题，变换不同的材料，让学生重新研究、探究或发现，在学习中增加趣味性，培养学生的逻辑分析能力和解决实际问题的能力；此外，老师也可以开展一些小组活动，让学生在小组内围绕一个相关的数学问题展开探讨，互相学习，在团队协作中锻炼自身的思维能力，培养创新思维。

另外，在数学学习中，老师也可以利用一些信息技术手段，如计算机、教学软件等，通过计算机软件动画形象，让学生从动画形象中来理解相关的数学知识点，学习的过程中也可以随时暂停和重放，减少对老师的讲解负担，提高学生的学习效率。

以上就是数学探究式应用新思维的概念，它主要的思想是将学生
的学习活动从被动转变为主动，培养学生的创新精神与探究能力，激发学生的学习热情与兴趣，引导学生萌发出学习创造力，以探究式教学模式促使学生学习的兴趣。

虽然在实施过程中，仍有许多不能被忽视的问题，但这种学习模式是可以提高学生的学习、思维的能力的，可以为学生的未来学习和发展奠定基础，这也正是教育界在努力实践的方向。

14.直角三角形例1若a b c、、是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：①以222a b c，，的长为边的三条线段能组成一个三角形；能组成一个三角形；③以++a b c h h，，的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以111a b h，，的长为边的三条线段能组成直角三角形.其中所有正确结论的序号为______. (绵阳市中考题)【答案】②③④2=++a b c，③④参考例3.例2如图，梯子AB斜靠在墙上，AC⊥BC，=AC BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x 米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（）A.=x y B.>x y C.<x y D.不确定(第18届江苏省竞赛题)【答案】选B化简得222()0-=+>>a x y x y x y，.（第18届江苏省竞赛题）例3如图，在Rt△ABC中，∠90=ACB°,CD⊥AB于D，设=A C b，.BC a AB c CD h===，，求证：（1）22211;a b h1+=（2）;+<+a b c h（3）以++a b h c h、、为边的三角形是直角三角形.【答案】证明略例4已知∠90=AOB°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA OB、（或它们的反向延长线）相交于点D E、.当三角板绕C旋转到CD与OA垂直时，如图①，易证：.+=OD OE当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，如图②、图③这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD OE OC、、之间又有怎样的数量关系？请写出出你的猜想，不需证明.（黑龙江省中考题）图②D【答案】图②结论:.+OD OE 过C 作CP ⊥OA 于P CQ ，⊥OB 于Q ，则△CPD ≌△CQE ，==+=-DP EQ OP OD DP OQ OE EQ ，，，又+OP OQ ，即++-OD DP OE EQ ，∴.+OD OE图③结论：-=OE OD .（黑龙江省中考题）例5 3，4，5是最简单的勾股数，这表明三边长为连续整数的直角三角形是存在的，并且只有一个（为什么？），由此研究边长为连续整数的三角形. 问题：（1）三边长为连续整数的钝角三角形存在吗？如果存在，有多少个？ （2）三边长为连续整数的锐角三角形存在吗？如果存在，有多少个？分析与解 对于（1）,设三边长分别为11-+x x x ，，(x 为大于1的整数)，则（1+x ）222(1)>+-x x ,整理得(4)0-<x x .∴042 3.<<=x x ，，当x =2时，边长为1，2，3的三角形是不存在的.故三边长为连续整数的印角三角形也只有一个，它的三边长为2，3，4.至此，也许你猜想:三边长为连续整数的锐角三角形也只有一个，这个猜想是错误的.实际上，这种锐角三角形有无数个，只要设x 为大于4的整数，那么以11-+x x x ，，为三边的三角形都为锐角三角形.（为什么？）例6 （1）如图①,在△ABC 中，=BA BC D E ，、是AC 边上的两点，且满足∠12=DBE ∠(0ABC °< ∠1)2<<CBE ABC ，以点B 为旋转中心，将△BEC 按逆时针方向旋转 ∠ABC ，得到△'BE A ,连接'DE ，求证：;'=DE DE（2）如图②,在△ABC 中，=BA BC ，∠90=ABC ° ，D E 、是AC 边上的两点，且满足∠12=DBE ∠(0ABC °< ∠45<CBE °).求证：222.++DE AD EC （2012年宿迁市中考题） 图①图②ABCDEE'EDA (C )BC分析 对于（2），证明的关键是把一直线上的三条线段怎样转化到一个三角形中？从一般到特殊，运用类比思想.解略，请读者完成.数学冲浪知识技能广场1.用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形，所得的四边形的周长是_______. (齐齐哈尔市中考题)【答案】14或16或182.如图，P 是△ABC 内的一点，且6810===PA PB PC ，，，若将△PAC 绕点A 旋转后，得到'P AB ，则点P 与点'P 之间的距离为_______,∠APB =_______.(青岛市中考题)【答案】6;150°3.如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，=AB AD ，若四边形ABCD 的面积为224cm ，则AC 长为_______cm. （2012南充市中考题）（第2题）（第3题）（第5题）ABCM N ABCDP'ABCP【答案】 延长CB 至E ，使=EB CD ，连接AE ，则△ABE ≌△ADC ，△AEC 为等腰直角三角形.4.在等腰直角三角形ABC 中，∠90=C °,1=AC ,过点C 作直线l ∥AB F ，是l 上的一点，且=AB AF ，则F 点到直线BC 的距离为______. (杭州市中考题)如图，分两种情况讨论. l l ABCD EFABC D EF（第4题）5.如图，在△ABC 中，56===AB AC BC ，，点M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）. A.65 B.95C.125D.165（第6题）AB C 【答案】C（安徽省中考题）6.如图，小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则AC 边上的高为（ ）(福州市中考题)【答案】C 7.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边6=AC cm,8=BC cm,将△ABC 折叠，使B 点与A点重合，折痕为DE ，则CD 等于（ ）cm.A.254 B.223 C.74 D.53(泰州市中考题)【答案】C8.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边是（ ）.A.10C.10或D.10或 (2012年安徽省中考题)【答案】C 原直角三角形纸片有如图所示的两种情况：AABC DFE（第8题）DCFB9.如图，在△ABC 中，∠45=ABC °，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，F 为BC 中点，BE 与DF DC 、分别交于点G H 、，∠=ABE ∠.CBEHGFED ABC（第9题）（第8题）234（1）求证：;=BH AC （2）求证:222-=BG GE EA .ED A B C （第7题）(2012年泰安市中考题) 【答案】（1）证明△DBH ≌△DCA .（2）==EC EA BG CG ，，代换即可. 10. △ABC 中，=BC a ，==AC b AB c ，，若∠90=C °，如图①，根据勾股定理，则222+=a b c ，若△ABC 不是直角三角形，如图②、③，请你类比勾股定理，试猜想222+a b c 与的关系，并证明你的结论.(临沂市中考题)（第11题）A B PQMABCABCcba cba bcA BC图①图②图③（第10题）O【答案】当△ABC 是锐角三角形时，过A 作AD ⊥BC 于D ，可证222.+>a b c 当△ABC 是钝角三角形时，过B 作BD ⊥AC 于D ，可证222.+<a b c11.如图，在Rt △POQ 中，O 4==P OQ M ，是PQ 中点，把一三角尺的直角顶角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A B 、.（1）求证：.=MA MB（2）连接AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB 的周长是否存在最小值?若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. （2012年南充市中考题） 【答案】（1）连接OM ，证明△AMO ≌△BMQ .（2）设=AO x ,则4=-OB x AB ，当x =2时，AB 的最小值为故△AOB 的周长的最小值为思维方法天地12.美丽的人造平面珊瑚礁图案.图中的三角形都是直角三角形，图中的四边形都是正方形.如果图中所有的正方形的面积之和是980cm 2.问：最大的正方形的边长是_______.【答案】14cm 图中所有正方形的面积之和等于5倍的最大的正方形的面积，980÷5=196cm 2 13.如图,在△ABC 中，513==AB AC ，，边BC 上的中线6=AD ，则BC 的长为_______.【答案】 延长AD 至E ，使=DE AD ，连接BE ，则1312===BE AC AE ，，又5=AB ，则∠90=BAE ° .14.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m 、8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形，则扩充后等腰三形的周长为_______. (牡丹江市中考题)E DABCDABC（第16题）（第13题）（第12题）【答案】32m 或)m 或803m 15.在△ABC中，已知6=AB BC CA M ，是边BC 的中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D ，则线段BD 的是_______. (2012年四川省竞赛题) 【答案】32∠90=ACB °AC ,∠DMB =∠CMA =30°. 16.如图，若Rt △ABC 两直角边上的中线分别为AE 和BD ，则22+AE BD 与2AB 的比值为( )A.34 B.1 C.54 D.32 (“希望杯”邀请赛试题) 【答案】C17.对如下的3个命题:命题1:边长为连续整数的直角三角形是存在的. 命题2：边长为连续整数的锐角三角形是存在的. 命题3：边长为连续整数的钝角三角形是存在的. 正确命题的个数为（ ）. A.0 B.1 C.2 D.3 (江苏省竞赛题)【答案】D 3,4,5;4,5,6;2,3,4的三角形显然存在，且分别为直角、锐角、钝角三角形. 18.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么(+a b )2的值为（ ） A.13 B.19 C.25 D.169【答案】 C 由题意得22213()1⎧+=⎪⎨-=⎪⎩a b a b ,解得6=ab ，故222()225.+=++=a b a b ab19.在锐角三角形中，已知某两边13==a b ，，那么第三边的变化范围是( ). A.24<<c B.2<c ≤3 C.2<cc（第18题）【答案】D 设第三边长为x ,则22222231131313.⎧>-+>⎧⎪⎨⎨+>+>⎪⎩⎩x x x x 且， 20.如图，已知∠90=ACB °，AD 是∠CAB 的平分线，342==BC CD ，，求AC 的长.（河南省竞赛题）【答案】过D 作DE ⊥AB 于E ，则Rt △ADC ≌Rt △ADE ，32==DE CD ，又52=BD ，在Rt △BDE 中，得=BE 2，设=A C x ，则=A E x ，则Rt △ABC 中，2224(2)+=+x x ，解得x =3,即 3.=AC21.如图，已知∠30=ABC °, ∠60=ADC °，.=AD DC 求证：222.=+BD AB BC（广西竞赛题）DABCDABC（第22题）（第21题）（第20题）【答案】如图，连接AC ，则可证△ADC 为等边三角形，==DC CA AD ，以BC 为边向形外作等边三角形BCE ， ==BC BE CE ，则∠BCE =∠EBC =∠CEB =60°, ∠ABE =∠ABC +∠EBC =90°,连接AE ，则22222=+=+AE AB BE AB BC ，易证△BDC ≌△EAC ，得=BD AE故222.=+BD AB BC22.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A B 、的坐标分别为(30)(34)，、，,动点M N 、分别O B、同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中，点M 从O 点出发沿OA 向终点A 运动，点N 从B 出发沿BC 向终点C 运动，过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于P ，连MP ，若M N 、两动点运动了x 秒.（1）设△MPA 面积为y ，试求y 与x 的函数关系式； （2）请你探索：当x 为何值时，△MPA 是一个等腰三角形? (苏州市中考题)【答案】（1）3=-MA x MA ，边上的高为43x ，S =12(3-x )×242233=-+x x x . （2）延长NP 交x 轴于Q ，则有PQ ⊥OA .①若=MP PA ，则==MQ QA x ,∴33 1.==x x ， ②若=MP MA ，则43233=-===-MQ x PQ x PM MA x ，，，由2PM =（第21题）ACDB222224(3)(32)3⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭MQ PQ x x x ，得，解得54.43=x ③若=PA AM ，∵533==-PA x AM x ，,∴59.38=-=x x x x ，解得 综上所述，1=x 或549.438==x x 或 应用探究乐园23.如图，A B C 、、三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，已知2=AB km,3=BC km,在B 村的正北方向有一个D 村，测得∠45=ADC °，今将△ADC 区域规划为开发区，除其中4.5km 2的水塘外，均作为绿化用地，试求绿化用地的面积.（黄石市中考题）24.定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”.数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动.小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”； 小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发、分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”. （1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图； （2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”？ 如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由. ①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊(既非直角三角形，也非等腰三角形)“整数三角形”. （宁德市中考题）【答案】作AE ⊥CD 于E ，设=AD =c DC a ，，由=AE DE 、AE ·=CDDB ·AC 可求得1656152∆===⨯⨯=ABC a S ，，故开发区的绿化用地面积为15-4.5=10.5(km 2)24.（1）小颖摆出如图①所示的“整数三角形”：小辉摆出如图②所示的三个不同的等腰“整数三角形”： （2）①不能摆出等边“整数三角形”，理由略. ②摆出如图③所示的一个非特殊“整数三角形”.A B C （第23题）345（第24题）15图③45131210541255683121085561013图②图①等边三角形（微探究）例1如图，等边三角形ABC中，D E、分别为AB BC、边上的点，=AD BE AE，与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AGAF的值为______.（天津市中考题）【答案】例2如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠62=EBD°，则∠AEB的度数是（）A.124°B.122°C.120°D.118°(四川省竞赛题)【答案】B △BCD≌△ACE，则∠DCB=∠ECA，设∠BAE=α，则∠=CBD∠CAE=60°-α,∠=EBC∠EBD-∠2=CBD°+α,于是∠60=EBA°-（2°+α）=58°-α，故∠AEB=180°-α-(58°-α)=122°.例3如图，在△ABC中，∠60=B°，延长BC到D，延长BA到E,使=AE BD，连CE DE、，若=CE DE，求证：△ABC是等边三角形.（“希望杯”邀请赛试题）【答案】延长BD至F，使=D F B C，连EF，则△BCE≌△FDE,.=EB EF∵∠B=60°，∴△EBF为等边三角形.∴=EB FB，∵=AE BD，=BD CF，∴.=AE CF∴=AB CB，故△ABC为等边三角形.例4如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E是线段AD上一点，且12=AE BC BE，的延长线交AC于F.若=AF EF，求∠ADB的度数.（日本数学竞赛题）【答案】下面解法仅共参考GFEDA BCEDAB CEDAB CFEDAB C如图，延长AD 至G ，使=D G A E ，于是=AD EG ，连BG ，则△ACD ≌△EBG ,∴.====BG CD BD AE DG 于是△BDG 为正三角形，∴∠60=ADC °. 故∠120=ADB °.例5 如图，△ABC 、△CDE 都是等边三角形，且点A C E 、、在一条直线上，AD 与BE AD 、与BC BE 、与CD 分别交于点O 、点P 、点Q .求证：（1）;==AD BE AP BQ ， （2）∠60=AOB °,OC 平分∠AOE ;（3）PQ ∥AE ;（4）△CPQ 为等边三角形； （5）111=+PQ AC CE. 拓展: （1）如图①，将△ABC 绕C 点旋转，上述结论哪些依然成立？哪些不成立？（2）如图②，当点C 在线段上沿着从点A 向点E 的方向移动（点C 与点A E 、不重合）.连接BD R ，为BD 中点，则点R 到AE 的距离为定值； （3）将两个正三角形改为正方形，我们又能提出什么问题？图①图②EDABCRSEDABCPQO练一练1.如图，在等边△ABC 中，9=AC ，点O 在AC 上，且3=AO ，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是( ).A.4B.5C.6D.8 (陕西省中考题)【答案】C △OCD ≌△PAO ,=OC PA .2.如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当=PA CQ 时，连PQ 交AC 于D ，则DE 的长为（ ）A.13B.12C.23 D.不能确定(黄冈市中考题)E D AB C PQO（例4）D F ABECGABCDEPMEABCDPQABP （第3题）（第2题）（第1题）【答案】B 利用=PA CQ 构造全等三角形.3.如图，在线段AE 同侧作两个等边△ABC 、△(CDE ∠ACE <120°),P M 、分别是线段BE 、AD 的中点，则△CPM 是（ ）A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.非等腰三角形 (海南省竞赛题)【答案】C △ACD ≌△BCE ，△BCE 可以看成是△ACD 绕着点C 顺时针旋转60°而得到的，又M 为线段AD 的中点，P 为线段BE 的中点，故CP 就是CM 绕着点C 顺时针旋转60°而得，所以=CP CM 且，∠60=PCM °，故△CPM 是等边三角形.4.如图，一个凸六边形的六个内角都是120°，六边形的长分别为a b c d e f 、、、、、,则下列等式中成立的是（ ）.A.++=++a b c d e fB.++=++a c e b d fC.+=+a b d eD.+=+a c b d (“希望杯”邀请赛试题)ABCDfe dabc（第5题）（第4题）【答案】C 将六边形补成等边三角形.5.如图，在四边形ABCD 中，AC BD 、是对角线，△ABC 是等边三角形，∠30=ADC °，35==AD BD ，，则CD 的长为( )A. B.4D.4.5(2012年“数学周报”全国初中数学竞赛题)【答案】B 以CD 为边作等边△CDE ，连接AE ，则△BCD ≌△ACE .6.请阅读，完成证明和填空.九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：ENA B CDMA BCDMN ABCMN图①图②图③OO O（1）如图①，正三角形ABC 中，在AB ，AC 边上分别取点M N ，，使=BM AN ，连接BN CM ，，发现=BN CM ，且∠60=NOC °.请证明∠60=NOC °.（2）如图②，正方形ABCD 中，在AB ，BC 边上分别取点M N ，，使=AM BN ，连接AN EM ，，那么=AN ________，且∠DON =_______.(3)如图③，正五边形ABCDE 中，在AB BC 、边上分别取点M N 、，使=AM BN ，连接AN EM 、，那么=AN ______，且∠EON =_______.(4)在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.请大胆猜测，用一句话概括你的发现：___________________________. (青海省中考题) 【答案】（1）略（2）在正方形中，=AN DM ，∠90=DON °. (3)在正五边形中，=AN EM ，∠108=EON °.(4)以上所求的角恰好等于正n 边形的内角°(2)180.-∙n n7.（1）操作发现如图①，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF ,连接AF .你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗?并证明你发现的结论.AB C DFFDA B图①图②（2）类比猜想如图②，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？AFC F'BDF'A BCDF图④图③（3）深入探究 ①如图③，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC为边在BC 上方、下方分别作等边△DCF 和等边△'DCF ,连接'A F B F 、，探究'A F B F A B 、与有何数量关系?并证明你探究的结论. ②如图④，当动点D 在等边三角形边BA 的延长线上运动时，其他作法与图③相同，①中的结论是否成立?若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论. （2012年岳阳市中考题） 【答案】（1）、（2）皆有=AF BD(3) ①=+'AB AF BF ②=-'AB AF BF 等边三角形与定值8.如图，若P 是边长为a 的等边△ABC 内的任一点，P 到三边的距离为PD 、PE 、PF ，则（1）;++=PD PE PF （2）32++=AD BE CF a .ABCPPABCDEF （第9题）（第8题）【答案】（1）连接PA PB PC 、、，运用面积法可证明. （2）以下证法仅供参考，由勾股定理得：222222222222222AD PD PA AE PE BE PE PB PF BF CD PD PC PF CF ⎧+==+⎪+==+⎨⎪+==+⎩①②③①②-③，整理得3.2++=AD BE CF a9.如图，P 为△ABC 内部一点，使得∠30=PBC °，∠8=PBA °，且∠=PAB ∠22=PAC °，求∠APC 的度数.（青少年数学国际城市邀请赛试题）【答案】如图，延长AC 至点Q ，使得=AB AQ ，则△BAP ≌△QAP ，又∠180=APB °-∠PBA -∠PAB =150°，则∠360=BPQ °-∠APB -∠APQ =60°因此，△BPQ 是一个等边三角形，BC 是PQ 上的中垂线，即∠=CPQ ∠CQP =∠PBA =8°,故∠APC =∠APQ -∠=CPQ 142°.勾股定理再探索（微探究）1.(3,4,5)是一组最简单的勾股数，由此提出下列问题（1）三边长为连续整数的直角三角形有多少个？（2）三边长为连续整数的钝角三角形存在吗？如果存在，有多少个？ (3)三边长为连续整数的名角三角形存在吗？如果存在，有多少个？【答案】三边长为连续整数的直角三角形是存在的，并且只有一个；三边长为连续整数的钝角三角形也只有一个，它的三边长为2,3,4；三边长为连续整数的锐角三角形有无数个. 2.看下列两组勾股数（1） a b C （2） a b c 3 4 5 4 3 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8 15 17 9 40 41 10 24 26 11 60 61 12 35 37 … … … … … … 从以上的勾股数的表中，你发现了什么规律？【答案】所给的勾股数（a b c ，，），当a 为奇数时，22111(1)(1)22=-=-=+b c b a c a ，，；当a 为偶数时，22112(4)(4)44=-=-=+b c b a c a ，，.3.中画的启示波格达洛夫·别林斯基是俄国著名的画家他的名画《难题》上画的一位老师耐心启发学生用口算很快求出下式结果：222221011121314?365++++=题中隐藏着五个连续自然数平方的某种关系，即102+112+122=132+142.若能联想到32+42=52,则好奇心悄然而至：是否有更一般的教学秘密隐藏其中？ 【答案】有趣的数字金字塔：n =1 32=42=52n =2 102+112+122=132+142 n =3 212+222+232+242=252+262+272 n =4 362+372+382+392+402=412+422+432+442 n =5 552+562+572+582+592+602=612+622+632+642+652存在(21+k )个连续的正整数，使得其中较小的1+k 个数的平方和等于较大的k 个数的平方（第9题）QC B PA和.即2222(2)(21)+++++k k k k …+22222(22)(221)(222)2+=++++++k k k k k k …+ (223+k k )2(其中k 为正整数).a,b 的直角三角形斜边的长.利用这一意义，以形助数，我们可解决一些与二次根式相关的代数问题. 【答案】例 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①，图②由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123S S S ，，，若12310++=S S S ，则，2S 的值是_______..（温州市中考题）H KMN TGFEDAB C图①图②实弦中黄实三勾股弦五四实朱弦图弦实二十五朱及黄朱实六黄实一分析与解 解题的关键在于理解如何拼接成“弦图”，并运用弦图中隐含的结论寻找新的等量关系.设直角三角形的两直角边分别为().>a b b a 、 解法一 ∵2222123()()=+=+=-S a b S a b S b a ，，， ∴22222210()()()10.3++++-=+=a b a b b a a b ，得 即210.3=S 解法二 ∵122311422-=⨯-=S S ab S S ab ，，∴1223-=-S S S S ，即2132210=+=-S S S S ，∴210.3=S 练一练1.如图①，是用四个全等的直角三角形与两个小正方形镶嵌而成的正方形图案，设x y ，表示直角三角形的两直角边（>x y ）.（1）若大正方形面积为49，小正方形面积为4，下列四个说法：①2249;+=x y ②-x y =2;③2449+=xy ;④13.+=x y 其中正确的序号是_______;(广东省中考题)（2）如图②，若65==x y ，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长1倍，得到“数学风车”，则这个风车的外围周长为______ （河南省中考题）图①图②（第1题）【答案】（1） ①②③ （2）762.如图，四边形ABDC 中，∠120=ADB °,AB ⊥AC BD ， ⊥4=CD AB ，，=CD ，则该四边形的面积是_______. (呼和浩特市中考题)3.下表中给出的每行三个数222()<<+=a b c a b c a b c 、、满足，根据表中已有的数的规律填空：（1）当20==a b 时，_______,=c _______; （2）用含字母a 的代数式分别表示=b c b 、，_______,=c _______. （江苏省竞赛题）【答案】（1）99;101 （2）22⎛⎫ ⎪⎝⎭a -1;12⎛⎫+ ⎪⎝⎭aa4.如图，等腰Rt △ABC 直角边长为1，以它的斜边上的高AD 为腰作第一个等腰Rt △ADE ;再以所作的第一个等腰Rt △ADE 的斜边上的高AF 为腰作第二个等腰Rt △AFG ,……以此类推，这样所作的第n 个等腰直角三角形的腰长为_______, (齐齐哈尔市中考题)（第2题）DABC（第4题）EF GDABC【答案】⎝⎭n5.如图，在△ABC 中，4==AB AC P ，是BC 上异于B C 、的一点，则2+∙AP BP PC 的值是（ ）.A.16B.20C.25D.30 【答案】 5.A 过A 点作AD ⊥BC 于D ，则22+∙=++AP B P P C A D P D ()-BD DP (+DC 2).=PD AB6.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三、股四，则弦五”的记载.如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图②是由图①放入矩形内得到的，∠90=BAC °，3=AB ，4=AC ，点 D E F G H I ，，，，，都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( ). A.90 B.100 C.110 D.121 (2012年宁波市中考题)ABCPLKJIMHG FE DABC 图①图②（第7题）（第6题）（第5题）ABCP【答案】C7.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠90=CAB °，P 是△ABC 内一点，且1=PA ，=PB 3，PC ，则∠CPA =( ).A.120°B.135°C.150°D.145°【答案】B 在△ABC 外部作△AQC ≌△APB ，连接PQ ，2=PQ 222+=AQ AP ，2+PQ 22=PC QC ，∠90=QPC °, ∠CPA =∠CPQ +∠QPA =135° 8.满足两条直角边长均为为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（ ）.A.1个B.2个C.3个D.无穷多少 (浙江省竞赛题)【答案】C 设直角三角形的两条直角边长为()≤a b a b ，，则+a b 12=∙k ab (a b k ，，为正整数),化简得4-ka kb (-4)()=8，故4148-=⎧⎨-=⎩kakb或4244-=⎧⎨-=⎩kakb，解得(k a b，，)=(1,5,12)或(2,3,4)或（1,6,8）.9.图①、图②、图③是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1.请在图①、图②、图③中分别画出符号要求的图形，所画图形各顶点必须与方各纸中的小正方形顶点重合.具体要求如下：（1）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；（2）画一个底面积为10的等腰直角三角形；（3）画一个边长为6的等腰三角形.（哈尔滨市中考题）（第9题）图①图②图③【答案】如图所示（第9题）图①图②图③10.问题背景在△ABC中，AB BC AC、、求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示.这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积.（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上.________思维拓展（2）我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法，若△ABC 三边的长分别为(0)>a ，，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC ，并求出它的面积. 探索创新（3）若△ABC0>m ， 0>n ，m 且≠n ），试运用构图法求出这个三角形的面积.（咸宁市中考题）B CAABCD（第11题）（第10题）图①图②【答案】（1）72（2） △ABC 如图①所示（位置不唯一）,11242222∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯ABC S a a a a a 122-⨯a243⨯=a a a(3)构造△ABC 如图②所示，11344.22∆=⨯-⨯⨯-⨯ABC S m n m n 1322⨯-⨯m n 2⨯m 2=n5mn .4n3mBACBCA（第10题）图①图②11.如图，在△ABC 中，已知∠90=BAC °，=AB AC D ，是BC 上的一点，求证：2222.+=BD CD AD【答案】11.过点A 作AE ⊥BC 于E ，则222()==+=++AE BE CE BD CD BE DE ，(-CE22)2.=DE AD12.已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的斜边长. （2012年全国初中数学联赛题）【答案】设直角三角形三边长分别为a b c 、、(a ≤b <c ),则30++=a b c ，由a ≤b <c 得30310=++<∴>a b c c c ，, 由a +b >c 得30215=++>∴<a b c c c ，, ∵c 为整数，∴11≤c ≤14.∵222+=a b c ，把30=--c a b 代入并化简得30()4500-++=ab a b . ∴(30-a )(30-b )=450=2×32×52.∵a b 、均为整数，且a ≤b ，∴只可能是223053023⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩a b ， 解得512=⎧⎨=⎩a b ，从而c =13.。

人教版数学8年级上册智慧学习探究学习数学是一门基础性的学科，被认为是最需要重视的学科之一，在学校的教学中一般分为两个阶段：基础数学学习和探究性学习，其中，探究性学习是学习数学的关键环节。

人教版数学8年级上册智慧学习探究学习，以教师导学、学生活动、家长参与和小组讨论等形式，旨在让学生在学习过程中激发思维、探讨问题、研究答案、尝试实践，结合知识、能力和感性综合提升。

首先，教师应该在实施人教版数学8年级上册智慧学习探究学习之前，把整个课程的概念、重点和方法都事先完整地准备好，并结合学生的实际情况对教学内容进行定制，引入素材、游戏、案例等让学生能更深入的理解老师的讲解及教学内容。

其次，在课堂上，以教师为主，学生为辅的形式，给学生机会发表自己的观点和看法，教师及时并加以肯定引导，多提问题，让学生将学习的知识和解决问题的过程结合起来，不断引导学生积极思考，运用自身的思维活动，解决实际的问题，以达到提高数学的学习技能。

再次，在进行人教版数学8年级上册智慧学习探究学习的过程中，家长也可以参与进来，主动联系学校教师，获取学校教学进度，以及孩子遇到的问题和困惑，并在家中及时指导孩子在学习中解决问题，可以配合学校，给予孩子更多的解决问题的指导和帮助，减轻孩子的学习压力，同时也可以让孩子有更多的空间学习新知识，以及设计新的探究学习活动，尝试一些不同的思考方式来更深层次的学习数学。

最后，学生可以根据自己的兴趣爱好，通过小组讨论的方式，形成自己的学习理念，结合讨论交流的沟通方式，不断积极地探究，形成掌握知识及解决问题的能力，在知识的学习过程中，也可以体会到智慧学习的乐趣。

综上所述，人教版数学8年级上册智慧学习探究学习，以教师导学、学生活动、家长参与和小组讨论等形式，可以把学生从理论学习中解脱出来，从实践出发思考，让学生从被动的接受变为主动的学习，有效的提升数学的学习效果。