(淄博专版)2019届中考数学第三章函数第五节二次函数的图象与性质要题随堂演练

2019年全国中考数学真题分类二次函数概念、性质和图象一、选择题9．（2019·温州）已知二次函数y=x2-4x+2，关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值-1，有最小值-2 B．有最大值0，有最小值-1C．有最大值7，有最小值-1 D．有最大值7，有最小值-2【答案】D【解析】∵二次函数y=x2-4x+2=(x-2)2-2，∴该函数在-1≤x≤3的取值范围内，当x=2时，y有最小值-2；当x=-1时，y有最大值7．故选D.7．（2019·绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(y经过变换后得到抛物线=xx+5(-+=xy，则这个变换可以是 ( )x(-)5)(3A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位【答案】B【解析】y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选B．10．（2019·嘉兴）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）,①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1,∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上,故结论①正确；②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1，解得：x＝m﹣，x＝m+，∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|,解得：m＝0或1,∴存在m＝0或1，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结论②正确；③∵x1+x2＞2m,∴,∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m,∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离,∵x1＜x2，且﹣1＜0,∴y1＞y2,故结论③错误；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且﹣1＜0,∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选C．10．（2019·杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M 个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M=N-1或M=N+1 B．M=n-1或M=N+2 C．M=N或M=N+1 D．M=N或M=N-1【答案】A【解析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．∵y=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+1，∴（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，∴函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M=2，∵函数y=（ax+1）（bx+1）=abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N=2，此时M=N；当ab=0时，不妨令a=0，∵a≠b，∴b≠0，函数y=（ax+1）（bx+1）=bx+1为一次函数，与x 轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；综上可知，M=N 或M=N+1．故选C ．11．（2019·烟台）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：04x <<时，0y >；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，则12x x <． 其中正确的个数是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解题过程】先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确，由图象（或表格）可以看出抛物线与x 轴的两个交点分别为（0,0），（4,0），所以抛物线的对称轴为直线2x =且抛物线与x 轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确，有抛物线的图象可以看出当04x <<时，0y <，所以结论③错误，由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对于的点均有两个，若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，既有可能12x x <，也有可能12x x >，所以结论⑤错误．7．（2019·绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(-+=x x y 经过变换后得到抛物线)5)(3(-+=x x y ，则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位 【答案】B【解析】y ＝（x +5）（x ﹣3）＝（x +1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y ＝（x +3）（x ﹣5）＝（x ﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y ＝（x +5）（x ﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝（x +3）（x ﹣5），故选B ．10．（2019·益阳）已知二次函数c bx ax y ++=2如图所示，下列结论:①ae ＜0，②b-2a ＜0，③ac b 42-＜0，④a-b+c ＜0，正确的是（ ）A. ①②B.①④C.②③D.②④第10题图【答案】A【解析】∵抛物线开口向下，且与y 的正半轴相交，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，故①正确； ∵对称轴在-1至-2之间，∴122---＜＜ab，∴4a ＜b ＜2a ，∴b-2a ＜0，故②正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△=ac b 42-＞0，∴③错误； ∵当x=-1时，y=a-b+c ＞0，∴④错误. ∴正确的说法是①②.故选A.11．（2019·娄底） 二次函数2y ax bx c =++的图象如图（5）所示，下列结论中正确的有（ ）① abc<0 ② 240b ac -<③ 2a b > ④ ()22a c b +<A ． 1个B ． 2个C ．3个D ． 4个【答案】A【解析】解：①由抛物线的开口方向向下知a<0，对称轴在y 轴的左侧得a 、b 同号，抛物线与y 轴交于正半轴得c>0,所以abc>0；故结论①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点得240b ac ->，故结论②错误； ③由图象知对称轴12b x a =->-得12ba<；由a<0，结合不等式的性质三可得 b>2a,即2a<b ；故结论③错误； ④由图象知：当x ＝1时，y<0即a+b+c<0；当x ＝－1时，y>0即a －b+c>0； ∴()()0a b c a b c ++-+<，即()220a c b +-<；∴()22a c b +<．故结论④正确．故答案A 正确．1. （2019·济宁）将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．y ＝(x －4)2－6B ．y ＝(x －1)2－3C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －4)2－2 【答案】D【解析】y ＝x 2－6x ＋5＝ (x －3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后， 得y ＝ (x －3－1) 2－4＋2，即y ＝(x －4)2－2．2. (2019·巴中)二次函数y ＝ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,下列结论①b2>4ac,②abc<0,③2a+b －c>0,3. ④a+b+c<0,其中正确的是( ) A.①④B.②④C.②③D.①②③④第10题图 【答案】A【解析】①:因为图象与x 轴有两个不同的交点,所以b 2－4ac>0,即b 2>4ac,故①正确;②:图象开口向下,故a<0,图象与y 轴交于正半轴,故c>0,因为对称轴为x ＝－1,所以12ba-=-,所以2a ＝b,故b<0,所以abc>0,②错误;③:a<0,b<0,c>0,所以2a+b －c<0,③错误;④当x ＝1时,y ＝a+b+c,由图可得,x ＝－3时,y<0,由对称性可知,当x ＝1时,y<0,即a+b+c<0,故④正确.综上所述,①④正确,故选A.3. （2019·达州）如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置， AB 与EF 在一条直线上，点A 与点F 重合.现将△EFG 沿AB 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F 与点B 重合时停止，在这个运动过程中正方形ABCD 和△EFG 重叠部分的面积S 与运动时t 的函数图像大致是( )【答案】C【思路分析】可分两种情况，第一种情况重合部分为三角形，第二种情况重合部分为四边形，分别求出对应的函数关系式即可.【解题过程】运动过程中，当顶点G 在正方形外部时，重合部分为三角形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为232t y =，函数图像为开口向上的二次函数，当顶点G 在正方形内部时，重合部分为四边形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为343423-2-+=t t y ，函数图像为开口向下的二次函数，故选C.4. （2019·凉山）二次函数y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a –b=0；②b2-4ac ＞0；③5a-2b+c ＞0； ④4b+3c ＞0,其中错误结论的个数是（ ▲ ） A. 1B. 2C. 3D. 4第12题图【答案】A【解析】根据对称轴232-=-a b 得b =3a ，故可得3a –b =0，所以结论①正确；由于抛物线与x 轴xxx有两个不同的交点，所以b 2-4ac ＞0，结论②正确；根据结论①可知b =3a ，∴5a -2b +c =5a -6a +c =-a +c ，观察图像可知a ＜0,c ＞0，∴5a -2b +c =-a +c ＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当x =1时，y =a +b +c ＜0，∵a =b 31，∴b 34+c ＜0，∴4b +3c ＜0，所以结论④错误.故选 A.5. （2019·攀枝花）在同一坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】据参数符号可排除A 、D 选项，联立两函数解析式所得方程无解，则两函数图象无交点，故选C ．【知识点】二次函数的图象；一次函数的图象6.（2019·天津）二次函数y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：（1）abc>0；(2)-2和3是关于x 的方程ax 2+bx+c=t 的两个根；（3）0<m+n<203，其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】(1)因为当12x =-时，与其对应的函数值y>0，由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可以判断对称轴左侧y 随x 的增大而减小，图像开口向上，a>0;由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可得对称轴为直线21=x ，所以b<0;x=0时，y=-2,所以c=-2<0,故abc>0（1）正确；（2）由于对称轴是直线21=x ，-2和3是关于对称轴对称的，所以（2）正确；（3）由对称轴是直线21=x 可得a+b=0,因为x=0时，y=-2，可知c=-2，当21-=x 时，与其对应的函数值y>0可得38>a ，当x=-1时，m=a-b-2=2a-2>310,因为-1和2关于对称轴对称，可得m=n ，所以m+n>320，故（3）错误，故选C.【知识点】二次函数图像的性质.7. （2019·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（A ） A. （1.3） B.（1，-3） C.（-1.3） D.（-1.-3）【答案】A【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定，二次函数y=a （x-h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），所以y=（x-1）2+3的顶点坐标是（1.3），故选A.8. （2019·重庆B 卷）物线y ＝的对称轴是（ ）A.直线B.直线C.直线D.直线 【答案】Ｃ【解析】设二次函数的解析式是y=， 则二次函数的对称轴为直线y ＝的对称轴是直线 .故选Ｃ．263-2++x x 2=x 2-=x 1=x 1-=x c bx ax ++2263-2++x x 1=x9.（2019·自贡）一次函数y=ax+b与反比例函数y=c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的x大致图象是（）【答案】A.【解析】∵双曲线y=c经过一、三象限，x∴c＞0.∴抛物线与y轴交于正半轴.∵直线y=ax+b经过第一、二和四象限，∴a＜0，b＞0，即−b＜0.2a∴抛物线y=ax2+bx+c开口向下，对称轴在y轴的右侧.故选A.9.（2019·遂宁）二次函数y=x2-ax+b的图像如图所示，对称轴为直线x=2，下列结论不正确的是( )A. a=4B.当b= -4时，顶点的坐标为（2，-8）C.当x= -1 时，b> -5D.当x>3时，y随x的增大而增大【答案】C【解析】选项A,由对称轴为直线x=2可得22a--=，∴a=4，正确；选项B,∵a=4,b= -4 ∴代入解析式可得，y=x 2-4x-4，当x=2时，y=-8,∴顶点的坐标为（2，-8），正确；选项C ，由图像可知，x=-1时，y=0，代入解析式得B=-5，∴错误；选项D 由图像可以看出当x>3时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，正确，故选C.二、填空题14. （2019·遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A,点C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，G 为线段OA 上一点，将△OCG 沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数xy 12=经过点B ，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像经过C （0,3），G 、A 三点，则该二次函数的解析式为（填一般式）【答案】3411212+-=x x y 【解析】∵矩形OABC ，C （0,3）∴B 点的纵坐标为3，∵反比例函数x y 12=经过点B ，∴B(4,3），A （4,0），∴OA=4，∵C （0,3），∴OC=3，∴Rt △ACO 中，AC=5.设G （m,0)则OG=m ∵翻折∴GP=OG=m,CP=CO=3,∴AP=2，AG=4-m,∴Rt △AGP 中，m 2+22=(4-m)2,∴m=23,∴G(23,0），∵A （4,0）C （0,3）G(23,0）∴解析式为3411212+-=x x y15．(2019·广元)如图,抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)过点(－1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M ＝4a+2b+c,则M 的取值范围是________.第15题图 【答案】－6<M<6【解析】∵y ＝ax 2+bx+c 过点(－1,0),(0,2),∴c ＝2,a －b ＝－2,∴b ＝a+2,∵顶点在第一象限,∴2ba>0,∴a<0,b>0,a+2>0,a>－2,∴－2<a<0,M ＝4a+2b+c ＝4a+2(a+2)+2＝6a+6,∴－6<M<6.18．（2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知点A 坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4…，依次进行下去，则点A 2019的坐标为 ．【答案】（－1010，10102）【解析】A （1，1），A 1（－1，1），A 2（2，4），A 3（－2，4），A 4（3，9），A 5（－3，9），…，A 2019（－1000，1000 2）．11．（2019·株洲）若二次函数2y ax bx =+的图像开口向下，则a 0（填“＝”或“＞”或“＜”）． 【答案】＜【解析】二次函数开口向下，则a<0。

第三章函数 5.二次函数的图象和性质一、选择题1、（2019·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（）A. （1，3）B. （1，-3）C. （-1，3）D. （-1，-3）2、（2019·重庆）抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是（）A. 直线x=2B. 直线x=-2C. 直线x=1D. 直线x=-13、（2019·河南）已知抛物线y=-x2+bx+4经过（-2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A. -2B. -4C. 2D. 44、（2019·兰州）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y=-（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A. 2＞y1＞y2B. 2＞y2＞y1C. y1＞y2＞2D. y2＞y1＞25、（2019·哈尔滨）将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线对应的函数解析式为（）A. y=2（x+2）2+3B. y=2（x-2）2+3C. y=2（x-2）2-3D. y=2（x+2）2-36、（2019·西藏）要得到函数y=-12（x-1）2+1的图象，可以把函数y=-12x2的图象（）A. 向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度B. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度C. 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度7、（2019·百色）要得到抛物线y=x2+6x+7，可把抛物线y=x2（）A. 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度B. 先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度C. 先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度D. 先回右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度8、（2019·雅安）在平面直角坐标系中，对于二次函数y=（x-2）2+1，下列说法错误的是（）A. y的最小值为1B. 图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2C. 当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D. 它的图象可以由y=x2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到9、（2019·淄博）将二次函数y=x2-4x+a的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，若得到的函数图象与直线y=2有两个交点，则a的取值范围是（）A. a＞3B. a＜3C. a＞5D. a＜510、（2019·河池）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，则下列结论中，错误的是（）A. ac＜0B. b2-4ac＞0C. 2a-b=0D. a-b+c=011、（2019·成都）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（）A. c＜0B. b2-4ac＜0C. a-b+c＜0D. 图象的对称轴是直线x=312、（2019·沈阳）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. abc＜0B. b2-4ac＜0C. a-b+c＜0D. 2a+b=013、（2019·娄底）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2-4ac＜0；③2a＞b；④（a+c）2＜b2.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个14、（2019·鄂州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2-b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 415、（2019·通辽）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．有下列结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a-3b+c=0；④a-b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac-b2＜0.其中错误结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 416、（2019·葫芦岛）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=ax+b的图象大致是（）A. B. C. D.17、（2019·呼和浩特）二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A. B. C. D.18、（2019·湖州）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1=ax2+bx 与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是（）A. B. C. D.19、（2019·陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2+（2m-1）x+2m-4与y=x2-（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A. 57，-187B. 5，-6C. -1，6D. 1，-220、（2019·贵阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），点B（1，1）都在直线y=12x+12上，若抛物线y=ax2-x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A. a≤-2B. a＜9 8C. 1≤a＜98或a≤-2 D. -2≤a＜9821、（2019·玉林）如图，抛物线C：y=12（x-1）2-1，顶点为D，将C沿水平方向向右（或向左）平移m个单位长度，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1=60°，则m的值为（）A. B. C. -2或 D. -4或22、（2019·宜宾）已知抛物线y=x2-1与y轴交于点A，与直线y=kx（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论不正确的是（）A. 存在实数k，使得△ABC为等腰三角形B. 存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°C. 任意实数k，使得△ABC都为直角三角形D. 存在实数k，使得△ABC为等边三角形23、（2019·福建）若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过不同的五点A（m，n），B（0，y1），C（3-m，n），D（2，y2），E（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A. y1＜y2＜y3B. y1＜y3＜y2C. y3＜y2＜y1D. y2＜y3＜y124、（2019·资阳）如图是函数y=x2-2x-3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（）A. m≥1B. m≤0C. 0≤m≤1D. m≥1或m≤025、（2019·岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜1＜x2，那么c的取值范围是（）A. c＜-3B. c＜-2C. c＜14D. c＜1二、填空题26、（2019·哈尔滨）二次函数y=-（x-6）2+8的最大值是______．27、（2019·荆州）二次函数y=-2x2-4x+5的最大值是______．28、（2019·白银）将二次函数y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式为______．29、（2019·凉山州）将抛物线y=（x-3）2-2向左平移______个单位长度后经过点A（2，2）．30、（2019·宜宾）将抛物线y=2x2的图象，向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式为______．31、（2019·广元）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（-1，0），（0，2），且顶点在第一象限，设M=4a+2b+c，则M的取值范围是______．32、（2019·天水）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若M=4a+2b，N=a-b.则M，N的大小关系为M______N（填“＞”“＜”或“=”）．33、（2019·荆门）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（-1，0），B（m，0），C（-2，n）（1＜m＜3，n＜0）．下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③a （m-1）+2b＞0；④当a=-1时，存在点P使△P AB为直角三角形．其中正确的为______（填序号）．34、（2019·镇江）已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是______．35、（2019·内江）若x，y，z为实数，且2421x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩则代数式x2-3y2+z2的最大值是______．36、（2019·雅安）函数y=()()220x x xx x-+>⎧⎪⎨-≤⎪⎩的图象如图所示．若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为______．37、（2019·大庆）如图，抛物线y=14px2（p＞0），点F（0，p），直线l：y=-p，已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1，B1，连接A1F，B1F，A1O，B1O.若A1F=a，B1F=b，则△A1OB1的面积为______（只用a，b表示）．38、（2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2的图象如图所示．已知点A的坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4，…，依次进行下去，则点A2019的坐标为______．三、解答题39、（2019·宁波）如图，二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P（-2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m=2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．40、（2019·永州）如图，抛物线经过两点A（-3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x=-1．（1）求此抛物线对应的函数解析式；（2）若P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，B），求△P AB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．41、（2019·安徽）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．42、（2019·台州）已知函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（-2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当-5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．43、（2019·南通）已知二次函数y=x2-4x+3a+2（a为常数）．（1）请写出该二次函数的三条性质；（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有两个交点，求a的取值范围．44、（2019·北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P112a⎛⎫-⎪⎝⎭，，Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．45、（2019·天门）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y=ax2+2x-1（a≠0）和直线l：y=kx+b，点A（-3，-3），B（1，-1）均在直线l上．（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a=-1，二次函数y=ax2+2x-1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为-4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．46、（2019·上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2x，其顶点为A.（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y=x2-2x的“不动点”的坐标；①平移抛物线y=x2-2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线对应的函数解析式．47、（2019·河北）如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x-b与y轴交于点B；抛物线L：y=-x2+bx的顶点为C，且L与x轴的右交点为D.（1）若AB=8，求b的值，并求此时抛物线L的对称轴与直线a的交点坐标；（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．第三章 函数 5.二次函数的图象和性质一、选择题1、A2、C3、B4、A5、B6、C7、A8、C9、D 10、C 11、D 12、D 13、A 14、C 15、A 16、D 17、D 18、D 19、D 20、C 21、A 22、D 23、D 24、C 25、B二、填空题26、8 27、7 28、y =（x -2）2+1 29、3 30、y =2（x +1）2-2 31、-6＜M ＜6 32、＜ 33、②③ 34、74 35、26 36、0＜m ＜14 37、4ab 38、（-1010，10102） 三、解答题39、（1）把点P （-2，3）代入y =x 2+ax +3中，得3=4-2a +3，解得a =2.∴二次函数的解析式为y =x 2+2x +3=（x +1）2+2.∴顶点坐标为（-1，2）（2）①当m =2时，n =（2+1）2+2=11②∵点Q 到y 轴的距离小于2，∴|m |＜2.∴-2＜m ＜2.∴结合图象可知，n 的取值范围为2≤n ＜1140、（1）∵抛物线的对称轴是直线x =-1，且经过点A （-3，0），∴由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点（1，0）．设抛物线对应的函数解析式为y =a （x -1）（x +3），把B （0，3）代入，得3=-3a ，解得a =-1.∴抛物线对应的函数解析式为y =-x 2-2x +3（2）设直线AB 对应的函数解析式为y =kx +b ，∵点A （-3，0），B （0，3）在直线y =kx +b 上，∴33k b b -+=0⎧⎨=⎩解得13.k b =⎧⎨=⎩∴直线AB 对应的函数解析式为y =x +3.过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，交直线AB 于点M ，设P （x ，-x 2-2x +3），则M （x ，x +3），∴PM =-x 2-2x +3-（x +3）=-x 2-3x .∴S △P AB =12（-x 2-3x ）×3=-32（x +32）2+278.当x =-32时，S △P AB 有最大值，为278，此时点P 的纵坐标为-232⎛⎫- ⎪⎝⎭-2×32⎛⎫- ⎪⎝⎭+3=154，∴△P AB 面积的最大值为278，此时点P 的坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭， 41、（1）根据题意，得二次函数y =ax 2+c 的图象的顶点坐标为（0，c ）．将点（0，c ），（1，2）代入一次函数的解析式，得424c k =⎧⎨=+⎩解得42.c k =⎧⎨=-⎩将点（1，2）代入y =ax 2+4，得2=a +4，解得a =-2.∴k 的值为-2，a 的值为-2，c 的值为4（2）由（1）可知，二次函数的解析式为y =-2x 2+4.令y =m ，得2x 2+m -4=0，解得x设B ，C 两点的坐标分别为（x 1，m ），（x 2，m ），则BC =|x 1-x 2|=2∴W =OA 2+BC 2=m 2+4×42m -=m 2-2m +8=（m -1）2+7.∵0＜m ＜4，∴当m =1时，W 有最小值，为7 42、（1）将点（-2，4）代入y =x 2+bx +c ，得4=4-2b +c ，即-2b +c =0，∴c =2b（2）根据题意，得m =-2b ，n =244c b -.∴b =-2m .又由（1）知，c =2b ，∴c =-4m .∴n =244c b -=21644m m --=-m 2-4m （3）如图，由（2）的结论，画出函数y =x 2+bx +c 和函数y =-x 2-4x 的图象．∵函数y =x 2+bx +c 的图象不经过第三象限，∴-4≤-2b ≤0.①当-4≤-2b ≤-2，即4≤b ≤8时，如图①.当x =1时，函数取到最大值，为1+3b ；当x =-2b 时，函数取到最小值，为284b b -.∴1+3b -284b b -=16，即b 2+4b -60=0，解得b 1=6，b 2=-10（不合题意，舍去）．②当-2＜-2b ≤0，即0≤b ＜4时，如图②.当x =-5时，函数取到最大值，为25-3b ；当x =-2b 时，函数取到最小值，为284b b -，∴25-3b -284b b -=16，即b 2-20b +36=0，解得b 1=2，b 2=18（不合题意，舍去）．综上所述，b 的值为2或643、（1）答案不唯一，如①图象开口向上；②图象的对称轴为直线x =2；③当x ＞2时，y 随x 的增大而增大（2）∵二次函数的图象与一次函数y=2x-1的图象有两个交点，∴x2-4x+3a+2=2x-1，即x2-6x+3a+3=0.∴Δ=36-4（3a+3）=-12a+24＞0，解得a＜2.∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有两个交点，∴二次函数y=x2-6x+3a+3的图象与x轴x≤4的部分有两个交点．结合图象（图略）可知，当x=4时，x2-6x+3a+3≥0.∴当x=4时，x2-6x+3a+3=3a-5≥0，解得a≥53.∴当二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有两个交点时，a的取值范围为53≤a＜244、（1）由题意，得A1a⎛⎫-⎪⎝⎭，，又∵将点A向右平移2个单位长度，得到点B，∴B12a⎛⎫-⎪⎝⎭，（2）∵点A1a⎛⎫-⎪⎝⎭，与点B12a⎛⎫-⎪⎝⎭，关于直线x=1对称，点A，B均在抛物线上，∴抛物线的对称轴为直线x=1（3）①当a＞0时，则-1a＜0.结合图象（图略）可知，此时线段PQ与抛物线没有交点．②当a＜0时，则-1a＞0.结合图象（图略）可知，此时-1a≤2，解得a≤-12.综上所述，当a≤-12时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点45、（1）将点A（-3，-3），B（1，-1）代入y=kx+b，得133k bk b+=-⎧⎨-+=-⎩解得123.2kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线l对应的函数解析式为y=12x-32.联立y=ax2+2x-1与y=12x-32，得2ax2+3x+1=0.∵抛物线C与直线l有交点，∴Δ=9-8a≥0，解得a≤98.又∵a≠0，∴a的取值范围为a≤98且a≠0（2）根据题意，得二次函数的解析式为y=-x2+2x-1=-（x-1）2.∵-1＜0，∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=1.∵当m≤x≤m+2时，y有最大值-4，∴当y=-4时，有-（x-1）2=-4，解得x=-1或x=3.①当x＜1时，y随x的增大而增大，∴当x=m+2=-1时，y有最大值-4，此时m=-3；②当x＞1时，y随x的增大而减小，∴当x=m=3时，y有最大值-4.综上所述，m的值为-3或3（3）49≤a＜98或a≤-246、（1）对于抛物线y=x2-2x=（x-1）2-1，其开口向上，顶点A的坐标为（1，-1）；当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t ，t ），则t =t 2-2t .解得t =0或3.∴“不动点”的坐标为（0，0）或（3，3）①∵新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点B （m ，m ），∴新抛物线的对称轴为直线x =m ，与x 轴的交点C 的坐标为（m ，0）．∵四边形OABC 是梯形，∴直线x =m 在y 轴左侧．∵BC 与OA 不平行，∴OC ∥AB. 又∵点A 的坐标为（1，-1），点B 的坐标为（m ，m ），∴m =-1.∴新抛物线是由抛物线y =x 2-2x 向左平移2个单位长度得到的．∴新抛物线对应的函数表达式为y =（x +1）2-147、（1）当x =0时，y =x -b =-b ，∴点B 的坐标为（0，-b ）．∵AB =8，而点A 的坐标为（0，b ），∴b -（-b ）=8.解得b =4.∴抛物线L 对应的函数解析式为y =-x 2+4x .∴抛物线L 的对称轴为直线x =2.当x =2时，y =x -4=-2.∴抛物线L 的对称轴与直线a 的交点坐标为（2，-2）（2）∵y =-x 2+bx =-22b x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+24b ，∴抛物线L 的顶点C 的坐标为224b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.∵点C 在l 下方，∴C 与l 的距离为b -24b =-14（b -2）2+1≤1.∴点C 与l 距离的最大值为1 （3）由题意，得y 3=122y y +，即y 1+y 2=2y 3，得b +x 0-b =2（-x 20+bx 0）．解得x 0=0或x 0=b -12.但x 0≠0，取x 0=b -12.对于L ，当y =0时，得0=-x 2+bx ，即0=-x （x -b ）．解得x 1=0，x 2=b .∵b ＞0，∴右交点D 的坐标为（b ，0）．∴点（x 0，0）与点D 间的距离为b -12b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=12（4）①当b =2019时，抛物线L 对应的函数解析式为y =-x 2+2019x ，直线a 对应的函数解析式为y =x -2019.联立上述两个解析式，可得x 1=-1，x 2=2019.∴可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，且-1和2019之间（包括-1和-2019）共有2021个整数．∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点．∴总计4042个整数点．∵这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数为4042-2=4040；①当b =2019.5时，抛物线L 对应的函数解析式为y =-x 2+2019.5x ，直线a 对应的函数解析式为y =x -2019.5.联立上述两个解析式，可得x 1=-1，x 2=2019.5，∴当x 取整数时，在一次函数y =x -2019.5上，y 取不到整数值．∴在该图象上“美点”的个数为0.∵在二次函数y =x 2+2019.5x 的图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知-1到2019.5之间有1010个偶数，∴“美点”共有1010个．综上所述，当b =2019时，“美点”的个数为4040；当b =2019.5时，“美点”的个数为1010。

二次函数的综合应用要题随堂操练1．( 2018·莱芜中考 ) 如图，抛物线y＝ ax 2＋ bx＋c 经过 A(－ 1， 0) ，B(4 ， 0) ， C(0 ， 3) 三点， D为直线 BC 上方抛物线上一动点， DE⊥BC 于 E.(1)求抛物线的函数分析式；(2)如图 1，求线段 DE长度的最大值；(3) 如图 2，设 AB 的中点为F，连结CD， CF，能否存在点D，使得△ CDE 中有一个角与∠ CFO 相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明原因．图 1图 22．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的极点A， C分别在y 轴， x 轴上，∠ ACB＝90°，OA＝3，抛物2线y＝ax－ax－a经过点B(2 ，33) ，与y 轴交于点 D.(1)求抛物线的分析式；(2)点 B 对于直线 AC的对称点能否在抛物线上？请说明原因；(3) 延伸 BA 交抛物线于点 E ，连结 ED ，试说明 a － b ＋c ＝ 0，1．解： (1) 由已知得16a ＋ 4b ＋ c ＝ 0，解得c ＝ 3，∴ y ＝－ x 2＋9x ＋ 3. 443ED ∥AC 的原因．参照答案3a ＝－ 4，9 b ＝ ，4c ＝ 3，(2) 设直线 BC 的分析式为 y ＝kx ＋ b ，3∴4k ＋ b ＝ 0， 解得 k ＝－ 4，b ＝3，b ＝ 3，3∴ y ＝－ 4x ＋ 3.3 2 9设 D(a ，－ 4a ＋ 4a ＋ 3) ， (0<a<4) ．如图，过点 D 作 DM⊥x轴，交 BC于点 M，3∴M(a，－ a＋ 3) ，43293∴DM＝ ( －4a ＋4a＋ 3) － ( －4a＋3) ＝3－4a2＋ 3a.∵∠ DME＝∠ OCB，∠ DEM＝∠ COB，DE OB ∴△ DEM∽△ BOC，∴＝.DM BC∵OB＝ 4， OC＝ 3，∴ BC＝ 5，∴ DE＝4 DM，532123212∴DE＝－5a＋5 a＝－5(a － 2) ＋5，12∴当 a＝ 2 时， DE取最大值，最大值是 5.(3)假定存在这样的点 D，使得△ CDE中有一个角与∠ CFO 相等．∵F为 AB的中点，∴ OF＝3OC，tan ∠CFO＝＝ 2. 2OF如图，过点 B 作 BG⊥BC，交 CD的延伸线于 G，过点 G作 GH⊥x轴，垂足为H.GB①若∠ DCE＝∠ CFO，∴ tan ∠DCE＝＝2，∴ BG＝10.BCGH HB GB∵△ GBH∽△ BCO，∴＝＝，BO OC BC∴GH＝ 8， BH＝ 6，∴ G(10， 8) ．设直线 CG的分析式为 y＝ kx＋ b，b＝ 3，1 k＝，∴解得2 10k ＋ b＝8，b＝ 3，1∴y＝ x＋ 3，21x＋ 3，y＝7 2∴ 3 29解得 x＝3或 x＝0( 舍 ) ．y＝－ x ＋ x＋ 3，44②若∠ CDE＝∠ CFO，同理可得3BH＝2，11∴G( 2，2)．同理可得直线 CG的分析式为2y＝－11x＋3，∴解得3 29y＝－4x ＋4x＋ 3，5BG＝2， GH＝ 2，2y＝－11x＋ 3，107x＝或x＝0(舍)．337107综上所述，存在 D 使得△ CDE中有一个角与∠ CFO 相等，其横坐标是3或33.2．解： (1) 把点 B 的坐标代入抛物线的分析式，得323＝a×2－ 2a－a，解得 a＝ .333233∴抛物线的分析式为y＝3 x －3x－3 . (2)如图，连结 CD，过点 B 作 BF⊥x轴于点 F，则∠ BCF＋∠ CBF＝90°.∵∠ ACB＝90°，∴∠ ACO＋∠ BCF＝90°，∴∠ ACO＝∠ CBF.∵∠ AOC＝∠ CFB＝90°，∴△ AOC∽△ CFB，AO OC∴＝ .CF FB设 OC＝ m，则 CF＝ 2－ m，则有3m＝，2－ m33解得 m＝ 1，∴ OC＝ CF＝ 1.33当 x＝ 0 时， y＝－3，∴ OD＝3，∴ BF＝ OD.∵∠ DOC＝∠ BFC＝90°，∴△ OCD≌△ FCB，∴DC＝ CB，∠ OCD＝∠ FCB，∴点 B， C， D 在同向来线上，∴点 B 与点 D 对于直线 AC对称，∴点 B 对于直线AC的对称点在抛物线上．(3)如图，过点 E 作 EG⊥y轴于点 G，设直线 AB的分析式为 y＝ kx＋ b，b＝ 3，k＝－3，则3解得3 3＝ 2k＋b，b＝3，∴直线 AB的分析式为 y＝－3x＋ 3.333233代入抛物线的分析式，得－3 x＋3＝3 x－3 x－3 .解得 x＝ 2 或 x＝－ 2.353当 x＝－ 2 时， y＝－3 x＋3＝ 3 ，5 3∴点 E的坐标为 (－2，3 )．∵tan ∠EDG＝EG2＝3＝53，∴∠ EDG＝30°. DG333＋3∵tan ∠OAC＝OC1＝3＝，∴∠ OAC＝30°，OA33∴∠ OAC＝∠ EDG，∴ ED∥AC.。

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二次函数的图象与性质要题随堂演练1．（2018·德州中考)给出下列函数：①y＝－3x＋2；②y＝错误!;③y＝2x2；④y＝3x，上述函数中符合条件“当x>1时，函数值y随自变量x增大而增大"的是（ )A．①③ B．③④ C．②④ D．②③2．(2018·威海中考）抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象如图所示，下列结论错误的是（ )A．abc<0 B．a＋c<bC．b2＋8a〉4ac D．2a＋b>03．（2018·潍坊中考)已知二次函数y＝－(x－h）2（h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( ）A．3或6 B．1或6C．1或3 D．4或64．(2018·烟台中考)如图,二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0）,B（3，0)．下列结论：①2a－b＝0；②(a＋c）2＜b2；③当－1＜x＜3时，y＜0；④当a＝1时,将抛物线先向上平移2个单位,再向右平移1个单位，得到抛物线y＝(x－2)2－2.其中正确的是（ )A．①③ B．②③C．②④ D．③④5．（2018·天津中考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数,a≠0）经过点（－1，0)，（0,3),其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点（1，0）；②方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等的实数根;③－3＜a＋b＜3其中，正确结论的个数为（ )A．0 B．1 C．2 D．36．（2018·广州中考）已知二次函数y＝x2，当x＞0时,y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）．7．（2018·自贡中考)若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为________．8．(2018·淄博中考）已知抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m〉0）个单位，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D 的左侧)．若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为__________．9．(2018·宁波中考）已知抛物线y＝－错误!x2＋bx＋c经过点(1,0)，（0，错误!)．（1)求该抛物线的函数解析式；（2)将抛物线y＝－错误!x2＋bx＋c平移,使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数解析式．参考答案1．B 2.D 3。

2019年全国中考试题汇编知识点17 二次函数概念、性质和图象（通用版全解全析）一、选择题9．（2019·温州）已知二次函数y=x 2-4x+2，关于该函数在-1≤x ≤3的取值范围内，下列说法正确的是 （ ） A ．有最大值-1，有最小值-2 B ．有最大值0，有最小值-1 C ．有最大值7，有最小值-1 D ．有最大值7，有最小值-2 【答案】D【解析】∵二次函数y=x 2-4x+2=(x-2)2-2，∴该函数在-1≤x ≤3的取值范围内，当x=2时，y 有最小值-2；当x=-1时，y 有最大值7．故选D.7．（2019·绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(-+=x x y 经过变换后得到抛物线)5)(3(-+=x x y ，则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位 【答案】B【解析】y ＝（x +5）（x ﹣3）＝（x +1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y ＝（x +3）（x ﹣5）＝（x ﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y ＝（x +5）（x ﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝（x +3）（x ﹣5），故选B ．10．（2019·嘉兴）小飞研究二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）性质时如下结论： ①这个函数图象的顶点始终在直线y ＝﹣x +1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形； ③点A （x 1，y 1）与点B （x 2，y 2）在函数图象上，若x 1＜x 2，x 1+x 2＞2m ，则y 1＜y 2； ④当﹣1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m ≥2． 其中错误结论的序号是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④【答案】C【解析】二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）, ①∵顶点坐标为（m ，﹣m +1）且当x ＝m 时，y ＝﹣m +1, ∴这个函数图象的顶点始终在直线y ＝﹣x +1上, 故结论①正确；②假设存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形, 令y ＝0，得﹣（x ﹣m ）2﹣m +1＝0，其中m ≤1， 解得：x ＝m ﹣，x ＝m +，∵顶点坐标为（m ，﹣m +1），且顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形, ∴|﹣m +1|＝|m ﹣（m ﹣）|,解得：m ＝0或1,∴存在m ＝0或1，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形, 故结论②正确； ③∵x 1+x 2＞2m, ∴,∵二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2﹣m +1（m 为常数）的对称轴为直线x ＝m, ∴点A 离对称轴的距离小于点B 离对称轴的距离, ∵x 1＜x 2，且﹣1＜0, ∴y 1＞y 2, 故结论③错误；④当﹣1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，且﹣1＜0, ∴m 的取值范围为m ≥2． 故结论④正确． 故选C ．10．（2019·杭州）在平面直角坐标系中，已知a ≠b ，设函数y=（x+a ）（x+b ）的图象与x 轴有M 个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x 轴有N 个交点，则（ ）A ．M=N-1或M=N+1B ．M=n-1或M=N+2C ．M=N 或M=N+1D ．M=N 或M=N-1 【答案】A【解析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x 轴的交点个数，若一次函数，则与x 轴只有一个交点，据此解答．∵y=（x+a ）（x+b ）=x 2+（a+b ）x+1，∴（a+b ）2-4ab=（a-b ）2＞0，∴函数y=（x+a ）（x+b ）的图象与x 轴有2个交点，∴M=2，∵函数y=（ax+1）（bx+1）=abx 2+（a+b ）x+1，∴当ab ≠0时，（a+b ）2-4ab=（a-b ）2＞0，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x 轴有2个交点，即N=2，此时M=N ；当ab=0时，不妨令a=0，∵a ≠b ，∴b ≠0，函数y=（ax+1）（bx+1）=bx+1为一次函数，与x 轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；综上可知，M=N 或M=N+1．故选C ．11．（2019·烟台）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：4x <时，0y >；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，则12x x <．其中正确的个数是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解题过程】先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确，由图象（或表格）可以看出抛物线与x 轴的两个交点分别为（0,0），（4,0），所以抛物线的对称轴为直线2x =且抛物线与x 轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确，有抛物线的图象可以看出当04x <<时，0y <，所以结论③错误，由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对于的点均有两个，若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，既有可能12x x <，也有可能12x x >，所以结论⑤错误．7．（2019·绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(-+=x x y 经过变换后得到抛物线)5)(3(-+=x x y ，则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位 【答案】B【解析】y ＝（x +5）（x ﹣3）＝（x +1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y ＝（x +3）（x ﹣5）＝（x ﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y ＝（x +5）（x ﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝（x +3）（x ﹣5），故选B ．10．（2019·益阳）已知二次函数c bx ax y ++=2如图所示，下列结论:①ae ＜0，②b-2a ＜0，③ac b 42-＜0，④a-b+c ＜0，正确的是（ ）A. ①②B.①④C.②③D.②④第10题图【答案】A【解析】∵抛物线开口向下，且与y 的正半轴相交，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，故①正确； ∵对称轴在-1至-2之间，∴122---＜＜ab，∴4a ＜b ＜2a ，∴b-2a ＜0，故②正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△=ac b 42-＞0，∴③错误； ∵当x=-1时，y=a-b+c ＞0，∴④错误. ∴正确的说法是①②.故选A.11．（2019·娄底） 二次函数2y ax bx c =++的图象如图（5）所示，下列结论中正确的有（ ）① abc<0② 240b ac -<③ 2a b > ④ ()22a c b +<A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 【答案】A【解析】解：①由抛物线的开口方向向下知a<0，对称轴在y 轴的左侧得a 、b 同号，抛物线与y 轴交于正半轴得c>0,所以abc>0 ；故结论①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点得240b ac ->，故结论②错误； ③由图象知对称轴12b x a =->-得12ba<；由a<0，结合不等式的性质三可得 b>2a,即2a<b ；故结论③错误；④由图象知：当x ＝1时，y<0即a+b+c<0；当x ＝－1时，y>0即a －b+c>0；∴()()0a b c a b c ++-+<，即()220a c b +-<；∴()22a c b +<．故结论④正确． 故答案A 正确．1. （2019·济宁）将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．y ＝(x －4)2－6B ．y ＝(x －1)2－3C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －4)2－2 【答案】D【解析】y ＝x 2－6x ＋5＝ (x －3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后， 得y ＝ (x －3－1) 2－4＋2，即y ＝(x －4)2－2．2. (2019·巴中)二次函数y ＝ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,下列结论①b2>4ac,②abc<0,③2a+b －c>0,3. ④a+b+c<0,其中正确的是( )A.①④B.②④C.②③D.①②③④第10题图 【答案】A【解析】①:因为图象与x 轴有两个不同的交点,所以b 2－4ac>0,即b 2>4ac,故①正确;②:图象开口向下,故a<0,图象与y 轴交于正半轴,故c>0,因为对称轴为x ＝－1,所以12ba-=- ,所以2a ＝b,故b<0,所以abc>0,②错误;③:a<0,b<0,c>0,所以2a+b －c<0,③错误;④当x ＝1时,y ＝a+b+c,由图可得,x ＝－3时,y<0,由对称性可知,当x ＝1时,y<0,即a+b+c<0,故④正确.综上所述,①④正确,故选A.3. （2019·达州）如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置， AB 与EF 在一条直线上，点A 与点F 重合.现将△EFG 沿AB 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F 与点B 重合时停止，在这个运动过程中正方形ABCD 和△EFG 重叠部分的面积S 与运动时t 的函数图像大致是( )【答案】C【思路分析】可分两种情况，第一种情况重合部分为三角形，第二种情况重合部分为四边形，分别求出对应的函数关系式即可.【解题过程】运动过程中，当顶点G 在正方形外部时，重合部分为三角形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为232t y =，函数图像为开口向上的二次函数，当顶点G 在正方形内部时，重合部分为四边形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为343423-2-+=t t y ，函数图像为开口向下的二次函数，故选C.4. （2019·凉山）二次函数y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a –b=0；②b2-4ac ＞0；③5a-2b+c ＞0； ④4b+3c ＞0,其中错误结论的个数是（ ▲ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第12题图【答案】A【解析】根据对称轴232-=-a b 得b =3a ，故可得3a –b =0，所以结论①正确；由于抛物线与x 轴有两个不同的交点，所以b 2-4ac ＞0，结论②正确；根据结论①可知b =3a ，∴5a -2b +c =5a -6a +c =-a +c ，观察图像可知a ＜0,c＞0，∴5a -2b +c =-a +c ＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当x =1时，y =a +b +c ＜0，∵a =b 31，∴b 34+c ＜0，∴4b +3c ＜0，所以结论④错误.故选 A.5. （2019·攀枝花）在同一坐标系中，二次函数y ＝ax2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】据参数符号可排除A 、D 选项，联立两函数解析式所得方程无解，则两函数图象无交点，故选C ． 【知识点】二次函数的图象；一次函数的图象6.（2019·天津）二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当21-=x 时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：（1）abc>0;(2)-2和3是关于x 的方程ax2+bx+c=t 的两个根；（3）0<m+n<320,其中，正确结论的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】(1)因为当21-=x 时，与其对应的函数值y>0，由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可以判断对称轴左侧y 随x 的增大而减小，图像开口向上，a>0;由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可得对称轴为直线21=x ，所以b<0;x=0时，y=-2,所以c=-2<0,故abc>0（1）正确；（2）由于对称轴是直线21=x ，-2和3是关于对称轴对称的，所以（2）正确；（3）由对称轴是直线21=x 可得a+b=0,因为x=0时，y=-2，可知c=-2，当21-=x x x x时，与其对应的函数值y>0可得38>a ，当x=-1时，m=a-b-2=2a-2>310,因为-1和2关于对称轴对称，可得m=n ，所以m+n>320，故（3）错误，故选C. 【知识点】二次函数图像的性质.7. （2019·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（A ） A. （1.3） B.（1，-3） C.（-1.3） D.（-1.-3） 【答案】A【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定，二次函数y =a （x -h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），所以y =（x -1）2+3的顶点坐标是（1.3），故选A .8. （2019·重庆B 卷）物线y ＝263-2++x x 的对称轴是（ ）A.直线 2=xB.直线 2-=xC.直线 1=xD.直线 1-=x 【答案】Ｃ【解析】设二次函数的解析式是y=c bx ax ++2， 则二次函数的对称轴为直线y ＝263-2++x x 的对称轴是直线 1=x .故选Ｃ．9.（2019·自贡）一次函数y=ax+b 与反比例函数y=cx 的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c 的大致图象是（ ）【答案】A.【解析】∵双曲线y=cx 经过一、三象限， ∴c ＞0.∴抛物线与y 轴交于正半轴.∵直线y =ax +b 经过第一、二和四象限， ∴a ＜0，b ＞0，即−b2a ＜0.∴抛物线y =ax 2+bx +c 开口向下，对称轴在y 轴的右侧. 故选A.9.（2019·遂宁）二次函数y=x 2-ax+b 的图像如图所示，对称轴为直线x=2，下列结论不正确的是 ( )A. a=4B.当b= -4时，顶点的坐标为（2，-8）C.当x= -1 时，b> -5D.当x>3时，y 随x 的增大而增大 【答案】C【解析】选项A,由对称轴为直线x=2可得22a--=，∴a=4，正确；选项B,∵a=4,b= -4 ∴代入解析式可得，y=x 2-4x-4，当x=2时，y=-8,∴顶点的坐标为（2，-8），正确；选项C ，由图像可知，x=-1时，y=0，代入解析式得B=-5，∴错误；选项D 由图像可以看出当x>3时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，正确，故选C.二、填空题14. （2019·遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A,点C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，G 为线段OA 上一点，将△OCG 沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数xy 12=经过点B ，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像经过C （0,3），G 、A 三点，则该二次函数的解析式为（填一般式）【答案】3411212+-=x x y 【解析】∵矩形OABC ，C （0,3）∴B 点的纵坐标为3，∵反比例函数x y 12=经过点B ，∴B(4,3），A （4,0），∴OA=4，∵C （0,3），∴OC=3，∴Rt △ACO 中，AC=5.设G （m,0)则OG=m ∵翻折∴GP=OG=m,CP=CO=3,∴AP=2，AG=4-m,∴Rt △AGP 中，m 2+22=(4-m)2,∴m=23,∴G(23,0），∵A （4,0）C （0,3）G(23,0）∴解析式为3411212+-=x x y15．(2019·广元)如图,抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)过点(－1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M ＝4a+2b+c,则M 的取值范围是________.第15题图【答案】－6<M<6【解析】∵y ＝ax 2+bx+c 过点(－1,0),(0,2),∴c ＝2,a －b ＝－2,∴b ＝a+2,∵顶点在第一象限,∴2ba->0,∴a<0,b>0,a+2>0,a>－2,∴－2<a<0,M ＝4a+2b+c ＝4a+2(a+2)+2＝6a+6,∴－6<M<6.18．（2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知点A 坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4…，依次进行下去，则点A 2019的坐标为 ．【答案】（－1010，10102）【解析】A （1，1），A 1（－1，1），A 2（2，4），A 3（－2，4），A 4（3，9），A 5（－3，9），…，A 2019（－1000，1000 2）．11．（2019·株洲）若二次函数2y ax bx =+的图像开口向下，则a 0（填“＝”或“＞”或“＜”）． 【答案】＜【解析】二次函数开口向下，则a<0。

第五节二次函数的图象与性质姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·岳阳中考)抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是( )A．(－2，5) B．(－2，－5)C．(2，5) D．(2，－5)2．(2018·山西中考)用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( )A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－25C．y＝(x＋4)2＋7 D．y＝(x＋4)2－253．(2017·玉林中考)对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是( )A．开口向下B．对称轴是x＝mC．最大值为0 D．与y轴不相交4．(2019·易错题)已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为( )A．1或－5 B．－1或5C．1或－3 D．1或35．(2019·原创题)如图，一次函数y1＝mx＋n(m≠0)与二次函数y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象相交于两点A(－1.5，6)，B(7，2)，请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围是( )A．－1.5≤x≤7 B．－1.5≤x＜7C．－1.5＜x≤7 D．x≤－1.5或x≥76．(2018·绍兴中考)若抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A．(－3，－6) B．(－3，0)C．(－3，－5) D．(－3，－1)7．(2018·湖州中考)在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为(－1，2)，(2，1)，若抛物线y ＝ax2－x＋2(a≠0)与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是( )A ．a≤－1或14≤a<13B.14≤a<13 C ．a≤14或a>13D ．a≤－1或a≥148．(2019·易错题)若函数y ＝mx 2＋2x ＋1的图象与x 轴只有一个公共点，则常数m 的值是__________． 9．(2019·改编题)若二次函数y ＝4x 2－6x －3的图象与x 轴交于点A(x 1，0)，B(x 2，0)两点，则1x 1＋1x 2的值为________．10．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(－1，0)，且对称轴为直线x ＝1，有下列结论：①abc ＜0；②10a＋3b ＋c ＞0；③抛物线经过点(4，y 1)与点(－3，y 2)，则y 1＞y 2；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线都经过同一个点(－ca，0)；⑤am 2＋bm ＋a≥0，其中所有正确的结论是__________．11．(2018·北京中考)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝4x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C. (1)求点C 的坐标； (2)求抛物线的对称轴；(3)若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．12．(2018·泸州中考)已知二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋3a 2＋3(其中x 是自变量)，当x≥2时，y 随x 的增大而增大，且－2≤x≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为( ) A ．1或－2 B ．－2或2 C. 2D ．113．(2018·衡阳中考)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A(－1，0)，顶点坐标(1，n)，与y 轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①3a＋b<0；②－1≤a≤－23；③对于任意实数m ，a ＋b≥am 2＋bm 总成立；④关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝n－1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个14．(2018·高青一模)若抛物线y ＝2x 2－px ＋4p ＋1中不管p 取何值时都通过定点，则定点坐标为______________．15．(2018·湖州中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx(a ＞0)的顶点为C ，与x 轴的正半轴交于点A ，它的对称轴与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于点B.若四边形ABOC 是正方形，则b 的值是________．16．(2018·嘉兴中考)已知，点M 为二次函数y ＝－(x －b)2＋4b ＋1图象的顶点，直线y ＝mx ＋5分别交x 的正半轴，y 轴于点A ，B.(1)判断顶点M 是否在直线y ＝4x ＋1上，并说明理由；(2)如图1，若二次函数图象也经过点A ，B ，且mx ＋5>－(x －b)2＋4b ＋1.根据图象，写出x 的取值范围； (3)如图2，点A 坐标为(5，0)，点M 在△AOB 内，若点C(14，y 1)，D(34，y 2)都在二次函数图象上，试比较y 1与y 2的大小．17．(2018·高青一模)例：用图象法解一元二次不等式：x 2－2x －3＞0解：设y＝x2－2x－3，则y是x的二次函数．∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴由此得抛物线y＝x2－2x－3的大致图象如图所示．观察函数图象可知当x＜－1或x＞3时，y＞0，∴x2－2x－3＞0的解集为x＜－1或x＞3.(1)观察图象，直接写出一元二次不等式：x2－2x－3≤0的解集是__________；(2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2－1＞0.参考答案【基础训练】1．C 2.B 3.D 4.B 5.A 6.B 7.A8．0或1 9.－2 10.②④⑤11．解：(1)令x＝0代入直线y＝4x＋4得y＝4，∴B(0，4)．∵点B 向右平移5个单位长度得到点C ， ∴C(5，4)．(2)令y ＝0代入直线y ＝4x ＋4得x ＝－1， ∴A(－1，0)．将点A(－1，0)代入抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 中得 0＝a －b －3a ，即b ＝－2a ，∴抛物线对称轴为x ＝－b 2a ＝－－2a2a＝1.(3)∵抛物线始终过点A(－1，0)且对称轴为x ＝1，由抛物线对称性可知抛物线也一定过点A 的对称点(3，0)． ①如图，a>0时，将x ＝0代入抛物线得y ＝－3a. ∵抛物线与线段BC 恰有一个公共点， ∴－3a<4，a>－43.将x ＝5代入抛物线得y ＝12a ， ∴12a≥4，a≥13.②如图，a<0时，将x ＝0代入抛物线得y ＝－3a.∵抛物线与线段BC 恰有一个公共点， ∴－3a>4，∴a<－43.③如图，当抛物线顶点在线段BC 上时，则顶点为(1，4)．将点(1，4)代入抛物线得4＝a －2a －3a ， ∴a＝－1.综上所述，a≥13或a<－43或a ＝－1.【拔高训练】 12．D 13.D 14．(4，33) 15.－216．解：(1)由题意知，点M 的坐标是(b ，4b ＋1)， ∴把x ＝b 代入y ＝4x ＋1得y ＝4b ＋1， ∴点M 在直线y ＝4x ＋1上． (2)∵直线y ＝mx ＋5与y 轴交于点B ， ∴点B 坐标为(0，5)． 又∵B(0，5)在抛物线上，∴5＝－(0－b)2＋4b ＋1，解得b ＝2， ∴二次函数的解析式为y ＝－(x －2)2＋9， ∴当y ＝0时，得x 1＝5，x 2＝－1， ∴A(5，0)．观察图象可得，当mx ＋5>－(x －b)2＋4b ＋1时， x 的取值范围为x<0或x>5.(3)如图，∵直线y ＝4x ＋1与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 的解析式为 y ＝－x ＋5，解方程组⎩⎨⎧y ＝4x ＋1，y ＝－x ＋5得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝215，∴点E(45，215)，F(0，1)．点M 在△AOB 内，∴0<b<45.当点C ，D 关于抛物线对称轴对称时， b －14＝34－b ，∴b＝12，且二次函数图象的开口向下，顶点M 在直线y ＝4x ＋1上．综上所述，①当0<b<12时，y 1>y 2；②当b ＝12时，y 1＝y 2；③当12<b<45时，y 1<y 2.【培优训练】 17．解：(1)－1≤x≤3.(2)设y ＝x 2－1，则y 是x 的二次函数． ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上．又∵当y＝0时，x2－1＝0，解得x1＝－1，x2＝1，∴由此得抛物线y＝x2－1的大致图象如图所示．观察函数图象可知当x＜－1或x＞1时，y＞0，∴x2－1＞0的解集为x＜－1或x＞1.。

考点16 二次函数【知识梳理】知识点一、二次函数的定义一般地，如果2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数． 备注：如果2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零． a 的绝对值越大，抛物线的开口越小．知识点二、二次函数的图象与性质1．二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2y ax =；②2y ax k =+；③()2y a x h =-；④()2y a x h k =-+，其中2b h a=-，244ac b k a -=；⑤2y ax bx c =++．（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：2．抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点．(1) a 的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；(2)平行于y 轴(或重合)的直线记作x=h ．特别地，y 轴记作直线x=0． 3．抛物线()20y ax bx c a =++≠中，a ，b ，c 的作用：(1) a 决定开口方向及开口大小；(2) b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置．由于抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a=-， 故：①b=0时，对称轴为y 轴；② 0b a > (即a 、b 同号)时，对称轴在y 轴左侧；③ 0b a< (即a 、b 异号)时，对称轴在y 轴右侧．(3) c 的大小决定抛物线2y ax bx c =++与y 轴交点的位置．当x=0时，y=c ，∴抛物线2y ax bx c =++与y 轴有且只有一个交点(0，c)： ①c=0，抛物线经过原点； ②c>0，与y 轴交于正半轴；③c<0，与y 轴交于负半轴．4．用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：2y ax bx c =++（a≠0）．已知图象上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式． (2)顶点式：()2y a x h k =-+（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式． (可以看成2y ax =的图象平移后所对应的函数．)(3)交点式：已知图象与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式： ()()12y a x x x x =--（a≠0）．(由此得根与系数的关系：12b x x a +=-,12cx x a⋅=)．知识点三、二次函数与一元二次方程的关系函数2y ax bx c =++（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0），那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况．(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时240b ac ∆=-> ，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时240b ac ∆=-= ，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时240b ac ∆=-<，则方程没有实根． 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：知识点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题．在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义． 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题． 备注：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等．解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式．【例题精讲】1、(2018浙江宁波)如图，二次函数y ＝ax 2+bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点P ．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．2、（2018四川广安）抛物线y＝（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y＝x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【答案】D【解析】解：抛物线y＝x2顶点为（0，0），抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y＝x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的图象．故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．3、(2018湖北随州)如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D 点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．4、已知函数y使y＝a成立的x的值恰好只有3个时，a的值为______．【答案】2【解析】解：函数y的图象如图：根据图象知道当y＝2时，对应成立的x值恰好有三个，∴a＝2．故答案：2．【点睛】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．5、（2018甘肃兰州A）如图，抛物线y x2﹣7x与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，若直线y x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．m B．m C．m D．m【答案】Cx2﹣7x+5﹣2m＝0∵相切∴△＝49﹣20+8m＝0∴m如图∵若直线y x+m与C1、C2共有3个不同的交点，∴m故选：C．学科*网【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．6、（2018四川绵阳）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m．【答案】4 4解得：x＝±2，所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（44）米，故答案为：44．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．7、（2018辽宁抚顺）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？【答案】见解析【解析】解：（1）y＝300﹣10（x﹣44），即y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，解得x1＝50，x2＝64（舍去），答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；【点睛】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．也考查了一元二次方程的应用．学科@网8、(2018湖北潜江)绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？【答案】见解析【解析】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，∵经过点（0，168）与（180，60），∴，解得：，∴产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1x+168（0≤x≤180）；②当50＜x＜130时，W＝x[（x+168）﹣（x+80）]（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，W的值最大，最大值为4840；③当130≤x≤180时，W＝x（x+168﹣54）（x﹣95）2+5415，∴当x＝130时，W的值最大，最大值为4680．因此当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．。