幂函数 概念整理

幂函数与指数函数幂函数与指数函数是高等数学中的重要概念，它们在数学和实际问题中有广泛的应用。

本文将介绍幂函数和指数函数的定义、性质以及它们在不同领域的应用。

一、幂函数的定义与性质幂函数是指形如y = x^a的函数，其中x为自变量，a为常数。

幂函数的定义域为正实数集。

当a>0时，幂函数是严格递增的；当a<0时，幂函数是严格递减的。

特别地，当a=0时，幂函数为常函数。

幂函数的图像可以分为几种不同的情况。

当a>1时，幂函数的图像在原点处是水平右移的U形曲线，右侧逐渐变得陡峭；当0<a<1时，幂函数的图像在原点处是水平右移的倒U形曲线，右侧逐渐变得平缓；当a<0时，幂函数的图像在原点处是水平右移的S形曲线。

二、指数函数的定义与性质指数函数是指形如y = a^x的函数，其中a为底数，x为自变量。

指数函数的定义域为实数集。

当底数a>1时，指数函数是严格递增的；当0<a<1时，指数函数是严格递减的。

特别地，当底数a=1时，指数函数为常函数。

指数函数的图像也有几种不同的情况。

当底数a>1时，指数函数的图像在原点处是水平右移的U形曲线，右侧逐渐变得陡峭；当0<a<1时，指数函数的图像在原点处是水平右移的倒U形曲线，右侧逐渐变得平缓；当底数a<0时，指数函数的图像在原点处是水平右移的S形曲线。

三、幂函数与指数函数的应用1. 科学领域幂函数与指数函数在科学领域的应用非常广泛。

在物理学中，幂函数与指数函数可以描述天体运动、物体的增长规律等。

在化学中，幂函数与指数函数可用于描述化学反应速率、物质的衰变等。

2. 经济领域在经济学中，幂函数与指数函数常用于描述经济增长、人口增长等问题。

其中，指数函数可以用来描述指数增长，而幂函数则可以用来描述多项式增长。

3. 网络领域在网络传输中，幂函数与指数函数可以用于描述网络带宽的分配、传输速度的控制等问题。

指数函数在网络拓扑中也有广泛的应用，如指数递增的网络节点连接数量等。

(1)幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．(1)指数为常数．(2)底数是自变量，自变量的系数为1.(3)幂x α的系数为1.(4)只有1项． (2)幂函数的图象与性质 幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1 的图象与性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图象定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R[0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数奇函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)1．函数f (x )＝(m 2－m －1)x 是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式． ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．(4)若幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (5)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.比较幂值大小的方法(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，1、若()()22251,,4,1,1,,12xxy x y y x y x y x y x y a a ⎛⎫====+=-==> ⎪⎝⎭上述函数是幂函数的个数是( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1C.32 D ．23、幂函数224(1)m y m m x -=-+在第一象限内单调递减，求实数m 的取值集合（ ）A.(),2-∞ B.{}0 C.{}1 D.{}0,14．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f (x )的解析式． 5．若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则a 的取值范围是________．6．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1<n <0<m <1 B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1 D ．n <－1，m >15．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·x 23n n－(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或27．已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．b ＞a ＞ca ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .若不分离参数，其关键点是： ①不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立，转化为f (x )min >A ，从而求f (x )的最小值． ②不等式f (x )<A 在区间D 上恒成立，转化为f (x )max <A ，从而求f (x )的最大值．8．设a ＝20.3，b ＝30.2，c ＝70.1，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <b B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <b <a 9、已知函数2243()(1)m m f x m m x -+=--是幂函数，且其图像与y 轴没有交点，则实数m =( )A.2或-1B.2C.4D.-1 10、已知点(,9)m 在幂函数()(2)nf x m x=-的图象上，设1312(),(ln ),()32a f mb fc f -===则,,a b c 的大小关系为( )A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<11、已知幂函数()y f x =的图象过12(,)22，则2log (2)f 的值为( )A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 12、设11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭,则使幂函数a yx =为奇函数且在()0,?+∞上单调递增的a 值的个数为( )A.2 B.3 C.4 D.513、已知函数,,a b c y x y x y x ===的图像如图所示,则,,a b c 的大小关系为( )A.c b a << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<14、已知函数1()2x f x -=,则2(2)(log 12)f f +=_________________.15、幂函数()f x 的图像过点()3,3,则()22f x x -的减区间为__________.16、2．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·x 2-3n n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3 B ．1 C ．2 D ．1或217、已知221(2)(2)x x a a a a -++>++,则x 的取值范围是________.15、已知幂函数21()*()()m m f x x m N -+=∈的图象经过点(2,2)(1).试求m 的值并写出该幂函数的解析式 (2).试求满足(1)(3)f a f a +>-的实数a 的取值范围18.幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·x m2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为________.19.若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )20下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x )C ．y＝ln(1＋x ) D ．y ＝ln(2＋x )。

指数对数幂函数知识点总结8篇第1篇示例：指数对数幂函数是高等数学中重要、常用的一类函数。

它们是解决数学问题和建立数学模型中不可或缺的工具。

在学习指数对数幂函数的知识时，需要掌握函数的定义、性质、图像、导数等方面的内容。

本文将对指数对数幂函数进行系统总结，以便读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、指数函数指数函数是形如y = a^x（其中a>0且a≠1）的函数，其中a称为底数，x称为指数。

指数函数的图像通常是一个以底为a的指数曲线，其特点是随着x的增大，y值迅速增大。

指数函数的性质有：1.当底数a>1时，函数y = a^x是递增函数；当0 0时，函数y = a^x是减函数。

2.指数函数的定义域是所有实数，值域是所有大于0的实数。

3.指数函数的图像通常是通过点(0,1) 并且随着x的增大发生指数增长。

4.指数函数满足f(x) * f(y) = f(x+y)。

5.指数函数的反函数是对数函数，即y = loga(x)。

3.对数函数的图像是一个S形曲线，随着x的增大，y值逐渐增大。

5.对数函数的导数为1/x*ln(a)。

三、幂函数幂函数是形如y = x^a（其中a为常数）的函数，其特点是x的次方为a。

幂函数的性质有：3.幂函数的特殊情况之一是y = x^2，即二次函数，其图像是一个开口向上的抛物线。

第2篇示例：指数对数幂函数是数学中常见的一类函数，主要包括指数函数、对数函数和幂函数。

在数学中，这些函数在图像、性质和应用等方面都有着重要的作用。

本文将从定义、性质和应用三个方面对指数对数幂函数进行总结。

一、指数函数指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数且a>0且a≠1，x为指数。

指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。

指数函数的图像呈指数增长或指数衰减的特点，当底数a>1时为指数增长；当底数0<a<1时为指数衰减。

指数函数的特点包括：单调性、奇偶性、零点、渐近线等。

k < 1幂函数【知识要点】一、幂函数的定义：形如k x y =（k 为常数，∈k Q ）的函数叫做幂函数。

二、幂函数在第一象限的图像：【注】掌握幂函数在第一象限的图像，并据此结合定义域和奇偶性即可画出幂函数的图像。

三、幂函数的性质：1、幂函数在第一象限必有图像，在第四象限没有图像；2、幂函数恒过定点)1,1(；当0>k 时，幂函数还过定点)0,0(；3、当0>k 时，幂函数在),0[∞+单调递增；当0<k 时，幂函数在),0(∞+单调递减；反之亦然。

【例题解析】1、画出下列幂函数的大致图像：（1）21x y =； （2）4x y =； （3）31x y =； （4）3-=x y ； （5）32x y =；（6）2-=x y ； （7）21-=x y ； （8）23x y =； （9）3x y =。

2、判断下列命题的真假：（1）幂函数0x y =的图像是一条直线；（×） （2）幂函数的图像与坐标轴至多一个交点；（√） （3）幂函数要么是奇函数，要么是偶函数；（×） （4）若一个幂函数是奇函数，则它必经过原点；（×） （5）若一个幂函数是奇函数，则它在定义域内单调递增；（×）（6）如果一个幂函数的图像不经过)1,1(-，则它一定不是偶函数；（√）（7）如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个函数一定相同； （8）任何两个不同的幂函数的图像最多有三个交点。

（√）3、已知函数a x y =（∈a Q ）的图像当10<<x 时在直线x y =的上方，当1>x 时在直线x y =的下方，则a 的取值范围是}1|{Q ∈<a a a 且。

4、已知幂函数)237(3251)1(t t x t t y -+⋅+-=（∈t Z ）是偶函数，且在区间),0[∞+单调递增，求整数t 的值。

【解】由题意得：113=+-t t ，解得：0=t 或1=t 或1-=t ；当0=t 时，57x y =不是偶函数，所以0=t 不满足题意； 当1=t 时，58x y =是偶函数，所以1=t 满足题意； 当1-=t 时，52x y =是偶函数，所以1-=t 满足题意。

3.3幂函数【知识梳理】知识点一幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 312y xy ＝x－1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．【基础自测】1．下列函数中不是幂函数的是________．①y ＝x 0；②y ＝x 3；③y ＝2x ；④y ＝x －1.2．幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是（）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a >>>D ．b c d a>>>3．已知幂函数f (x )＝k ·x αk ＋α等于()A.12B ．1C.32D ．24．函数()12f x x -=的定义域为_______，值域为___________．5．已知幂函数()()221m f x m m x +=-+是奇函数，则m =___________.【例题详解】一、幂函数的概念例1(1)给出下列函数：①31y x=；②32y x =-；③42y x x =+；④y =；⑤()21y x =-；⑥0.3x y =，其中是幂函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知幂函数()(R,R)f x k x k αα=⋅∈∈的图象经过点(14,2)，则k α+=（）A ．12B ．1C ．32D ．2(3)若幂函数()25ay a a x =--的图像关于y 轴对称，则实数=a ______．跟踪训练1(1)下列函数是幂函数的是（）A ．22y x =B ．1y x -=-C ．31y x =D ．2xy =(2)（多选）如果幂函数()22233mm y m m x--=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（）A ．0B ．2C ．1D ．无解(3)已知幂函数()2232(1)mm f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，则()f x 的解析式是_____.二、幂函数的图象及应用例2(1)如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）A ．①1y x -=，②12y x =，③13y x =B ．①1y x -=，②13y x =，③12y x =C ．①13y x =，②12y x =，③1y x -=D ．①13y x =，②1y x -=，③12y x =(2)函数()12f x x -=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．跟踪训练2(1)图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（）A ．12、3、1-B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3(2)在同一坐标系内，函数(0)a y x a =≠和1y ax a=+的图象可能是()A ．B ．C ．D ．三、比较幂值的大小例3(1)1.5－3.1，23.1，2－3.1的大小关系是（）A ．23.1＜2－3.1＜1.5－3.1B ．1.5－3.1＜23.1＜2－3.1C ．1.5－3.1＜2－3.1＜23.1D ．2－3.1＜1.5－3.1＜23.1(2)下列比较大小中正确的是（）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3377(2.1)(2.2)--<-D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭跟踪训练3(1)设1313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1325b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12c =，则（）A ．a b c<<B ．c a b<<C ．b c a<<D ．b a c<<(2)已知0.325a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.313c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b<<B ．a b c<<C ．b<c<aD ．b a c<<四、幂函数性质的应用例4(1)若幂函数f （x ）的图象过点（16，8），则f （x ）<f （x 2）的解集为（）A ．（–∞，0）∪（1，+∞）B ．（0，1）C ．（–∞，0）D ．（1，+∞）(2)已知12()3f x x =，若01a b <<<，则下列各式中正确的是（）．A ．11()()f a f b f f a b ⎛⎫⎛⎫<<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11()()f f f b f a a b ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11()()f a f b f f b a ⎛⎫⎛⎫<<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11()()f f a f f b a b ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)已知函数355()3f x x =，若当()0,x ∈+∞时，()0a f x f x ⎛+-> ⎝恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,∞+B ．(),2-∞C ．()3,+∞D ．(),1-∞跟踪训练4(1)对于幂函数45()=f x x ，若0<a <b ，则2+⎛⎫⎪⎝⎭a b f ，()()2f a f b +的大小关系是________．(2)已知幂函数的图象经过点1(,22，那么()f x 的解析式为____________；不等式()2f x ≤的解集为____________.(3)已知幂函数39m y x -=（*m N ∈）的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是减函数．（i ）求m 的值；（ii ）求满足不等式33(1)(32)m m a a +<-的实数a 的取值范围．【课堂巩固】1．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A ．y ＝x－2B ．y ＝x－1C ．y ＝x 2D ．y ＝13x2．函数y =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3．（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（）A ．一定是单调函数B ．可能是非奇非偶函数C ．图像必过点(1,1)D ．图像不会位于第三象限4．对幂函数y x α=，填空：（1）当1α>，0x ≥时，图象恒过______和______两点；其中当01x <<时，幂函数图象在y x =图象的______方；当1x >时，幂函数图象在y x =图象的______方．（2）当01α<<，0x ≥时，图象也恒过______和______两点；其中当01x <<时，幂函数图象在y x =图象的______方；当1x >，幂函数图象在y x =图象的______方．（3）当0α<，0x >时，图象恒过点______．5．幂函数()()222mm m f x x =+-在区间()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为______．6．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．7．已知幂函数()()211m f x m m x +=--是奇函数，则实数m 的值为________.8．已知幂函数1101 ()f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()182f a f a -<-，则a 的取值范围是__________.9．比较下列各组数的大小：(1)33()(2 2.5)----，；(2)788-，7819⎛⎫ ⎪⎝⎭.10．已知幂函数()()222322N mm y k k xm --*=--⋅∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数.(1)求m 和k 的值；(2)求满足()()132mma a --+<-的a 的取值范围.11．已知幂函数()y f x =的表达式为223()(21)()n n f x m x n -++=-∈Z ，函数()y f x =的图像关于y 轴对称，且满足(3)(5)f f <，求m n +的值．12．已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x m －1为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )－ax －3在[1,3]上不是单调函数，求实数a 的取值范围．【课时作业】1．“当()0,x ∈+∞时，幂函数()22231m m y m m x --=--为减函数”是“1m =-或2”的（）条件A ．既不充分也不必要B ．必要不充分C ．充分不必要D ．充要2．已知幂函数122()(32)m f x m m x -=-满足(2)(3)f f >，则m =（）A ．23B ．13-C ．1D ．1-3．函数23y x =的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．4．给出幂函数：①()f x x =；②2()f x x =；③()3f x x =；④()f x =⑤()1f x x=．其中满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭的函数的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．幂函数y =f （x ）的图象经过点（4，2），若0<a <b <1，则下列各式正确的是（）A ．f （a ）<f （b ）<f （1b ）1f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．11f f a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<f （b ）<f （a ）C ．f （a ）<f （b ）11f f a b ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()()11f f a f f b a b ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx =+与幂函数(0)ba y x x =>图像的关系可能为（）A ．B ．C ．D ．7．已知幂函数a y x =与b y x =的部分图像如图所示，直线2x m =，()01x m m =<<与a y x =，b y x =的图像分别交于A ，B ，C ，D 四点，且AB CD =，则a b m m +=（）A ．12B ．1C D ．28．函数()()2231mm f x m m x +-=--是幂函数，对任意()12,0,,x x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若,a b R ∈，且0,0a b ab +><，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断9．（多选）已知幂函数()()2m f x m x =-，则（）A ．3m =B ．定义域为[)0,∞+C ．(1.5)(1.4)m m -<-D 2=10．（多选）下列说法正确的是（）A ．若幂函数的图象经过点1(,2)8，则解析式为13y x -=B ．若函数()45f x x -=，则()f x 在区间(,0)-∞上单调递减C ．幂函数y x α=()0α>始终经过点(0,0)和()1,1D ．若幂函数()()2223m f x m m x =--图象关于y 轴对称，则()()2253f a a f -+->11．已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为__________.12．不等式()()2233213x x +<-的解为______.13．已知幂函数()f x 的图象过点⎛ ⎝⎭，且()()212f b f b -<-，则b 的取值范围是______.14．已知幂函数()f x 经过点(9,3)，则不等式()211f x x -+<的解集为___________．15．已知幂函数()()35m f x xm N -=∈在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，求m 的值．16．已知幂函数f （x ）=()12-+m m x （m ∈N *）的图象经过点(2．（1）试求m 的值，并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足f （1+a ）>f （a 的取值范围．17．已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)若函数()()1f x g x x+=，根据定义证明()g x 在区间()1,+∞上单调递增.18．已知幂函数22+1()=(2+2)m f x m m x -在(0,)+∞上是减函数(1)求()f x 的解析式(2)若f f <，求a 的取值范围.。

幂函数知识点总结5篇在平时的学习中，大家都没少背知识点吧？知识点就是掌握某个问题/知识的学习要点。

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高一数学幂函数知识点总结篇一1、函数的单调性（局部性质）（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。

区间D称为y=f(x)的单调减区间。

注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。

（3）函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：a.任取x1，x2D，且x1b.作差f(x1)-f(x2)；c.变形（通常是因式分解和配方）；d.定号（即判断差f（x1）-f(x2)的正负）；e.下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）。

(B)图象法（从图象上看升降）(C)复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律："同增异减'注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集。

8、函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。

（2）奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称。

利用定义判断函数奇偶性的步骤：a.首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；b.确定f(-x)与f(x)的关系；c.作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数。

专题20 幂函数【知识点梳理】 知识点一：幂函数概念 形如()yx R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数.知识点诠释： 幂函数必须是形如()yx R αα=∈的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数.例如：()2423,1,2y x y x y x ==+=-等都不是幂函数.知识点二：幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象：(1)x y =；(2)21x y =；(3)2x y =；(4)1-=x y ；(5)3x y =．知识点诠释：幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；(3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0)+∞，或[0)+∞，，作图已完成； 若在()0-∞，或(]0-∞，上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．(3)如函数()af x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()af x x =．4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．【题型归纳目录】 题型一：幂函数的概念 题型二：幂函数的图象的应用 题型三：幂函数的单调性 题型四：幂函数的奇偶性 题型五：幂值大小的比较 题型六：定点问题 题型七：定义域问题 题型八：值域问题【典型例题】 题型一：幂函数的概念1．（2022·河北沧州·高一期末）下列函数是幂函数的是（ ） A ．2y x = B ．21y x =- C ．3y x = D ．2x y =2．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）下列函数是幂函数的是（ ） A ．22y x = B ．1y x -=- C ．31y x = D ．2x y =3．（2022·河南新乡·高一期末）已知幂函数()()2311mf x m x =-在()0,∞+上单调递减，则()4f =（ ）A ．2B ．16C ．12D ．1164．（2022·四川·什邡中学高一阶段练习）已知点4)在幂函数()y f x =的图象上，则(2)f =_______．5．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）幂函数()y f x =的图象经过点(14,2)，则1()4f =____.6．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知幂函数()f x 的图象过点18,2⎛⎫⎪⎝⎭，则127f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________7．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）若幂函数()21my m m x =--为偶函数，则m = ________ .8．（2022·甘肃庆阳·高一期末）已知幂函数()f x 的图象过点13,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则此函数的解析式为______．9．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）已知幂函数()2()1mf x m m x =--的图象关于y 轴对称，则()f m =___________．10．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期中（文））已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________.11．（2022·湖南·高一课时练习）已知()m x 是幂函数，若()()9271m m =，求()25m 和()8m ．题型二：幂函数的图象的应用1．（2021·河北省博野中学高一开学考试）函数2,y x y x ==和1y x=的图象如图所示，有下列四个说法： ①如果21a a a>>，那么01a <<； ②如果21a a a>>，那么1a >； ③如果21a a a>>，那么10a -<<； ④如果21a a a>>时，那么1a <-. 其中正确的是（ ）.A ．①④B ．①C ．①②D ．①③④2．（2020·上海市晋元高级中学高一期中）已知幂函数()y f x =的图象经过点14,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则()y f x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2022·四川凉山·高一期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y xC ．y x =D ．58y x =4．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知幂函数()f x 的图象过点()9,3，则函数()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2022·辽宁大连·高一期末）已知幂函数a y x =与b y x =的部分图像如图所示，直线2x m =，()01x m m =<<与a y x =，b y x =的图像分别交于A ，B ，C ，D 四点，且AB CD =，则a b m m +=（ ）A ．12B ．1CD ．26．（2021·福建·高三学业考试）函数y = ）A ．B ．C ．D ．7．（2021·全国·高一单元测试）图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）A ．12、3、1-B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、38．（2021·全国·高一课时练习）若幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图像如图所示，则（ ）A ．101n m -<<<<；B ．1n <-，01m <<；C ．10n -<<，1m ；D ．1n <-，1m ．9．（2021·陕西·咸阳市实验中学高一阶段练习）若幂函数,a b y x y x ==在同一坐标系中的部分图象如图所示，则a ､b 的大小关系正确的是（ ）A ．1a b >>B ．1b a >>C ．0a b >>D ．0b a >>（多选题）10．（2021·全国·高一课时练习）下列关于幂函数y x α=的性质说法正确的有（ ） A ．当1α=-时，函数在其定义域上递减 B ．当0α=时，函数图象是一条直线 C ．当2α=时，函数是偶函数D ．当3α=时，函数的图象与x 轴交点的横坐标为0（多选题）11．（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）如果幂函数()22233m m y m m x--=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．无解12．（2022·湖南·高一课时练习）对幂函数y x α=，填空：（1）当1α>，0x ≥时，图象恒过______和______两点；其中当01x <<时，幂函数图象在y x =图象的______方；当1x >时，幂函数图象在y x =图象的______方．（2）当01α<<，0x ≥时，图象也恒过______和______两点；其中当01x <<时，幂函数图象在y x =图象的______方；当1x >，幂函数图象在y x =图象的______方． （3）当0α<，0x >时，图象恒过点______．题型三：幂函数的单调性1．（2022·四川成都·高一开学考试）下列幂函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+单调递增的是（ ）A ．()3f x x =B ．()2f x x =C ．()12f x x =D ．()1f x x -=2．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知函数()22my m m x =+幂函数，且在其定义域内为单调函数，则实数m =（ ） A ．12B ．1-C ．12或1-D ．12-3．（2022·四川凉山·高一期末）已知0a ≠，若()2021202120a b a a b ++++=，则ba=（ ） A ．－2 B ．－1C ．12-D ．2（多选题）4．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知函数()a f x x 的图象经过点1,33⎛⎫⎪⎝⎭则（ ）A ．()f x 的图象经过点(3,9)B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 在(0,)+∞上单调递减D ．()f x 在(0,)+∞内的值域为(0,)+∞5．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知幂函数()()213m f x m x -=-在()0,∞+内是单调递减函数，则实数m =______．6．（2022·北京房山·高一期末）试写出函数()f x ，使得()f x 同时()f x 满足以下条件： ①定义域为[)0,∞+；②值域为[)0,∞+；③在定义域内是单调增函数．则函数()f x 的解析式可以是_______（写出一个满足题目条件的解析式）．7．（2022·湖南·高一课时练习）已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．8．（2022·湖南·高一课时练习）已知幂函数()f x x α=的图象经过点3,19⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．9．（2022·湖南·高一课时练习）结合图中的五个函数图象回答问题：(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？ (2)写出每个函数的定义域、值域； (3)写出每个函数的单调区间； (4)从图中你发现了什么？10．（2022·湖南·高一课时练习）已知幂函数()f x x α=的图象经过点1(8,)2，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．11．（2022·全国·高一课时练习）求函数2()(2)f x x -=+的定义域，并指出其单调区间.题型四：幂函数的奇偶性1．（2022·北京丰台·高一期末）下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（ ）A ．y =B ．3y x =C ．y x =D ．2x y =2．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知幂函数()y f x =的图象过，则下列结论正确的是（ ）A ．()y f x =的定义域为[0,)+∞B ．()y f x =在其定义域内为减函数C ．()y f x =是偶函数D ．()y f x =是奇函数3．（2022·四川雅安·高一期末）已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．1或2（多选题）4．（2022·安徽阜阳·高一期中）已知函数()21m my m x -=-为幂函数，则该函数为（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．区间()0,∞+上的增函数D ．区间()0,∞+上的减函数（多选题）5．（2022·广东深圳·高一期末）若函数()2()3104m f x m m x =-+是幂函数，则()f x 一定（ ）A ．是偶函数B ．是奇函数C ．在(,0)x ∈-∞上单调递减D ．在(,0)x ∈-∞上单调递增（多选题）6．（2022·广西钦州·高一期末）若函数()2231()69m m f x m m x-+=-+是幂函数且为奇函数，则m的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．（2022·湖南·湘潭一中高一期末）已知幂函数()()221m f x m m x +=-+是奇函数，则m =___________.8．（2022·湖南怀化·高一期末）写出一个同时具有下列三个性质的函数：()f x =________.①()()f x x R αα=∈；②()f x 在R 上单调递增；③()()f x f x -=-.9．（2022·河南南阳·高一期末）写出一个同时具有下列三个性质的函数：()f x =___________. ①()f x 为幂函数；②()f x 为偶函数；③()f x 在(),0∞-上单调递减.10．（2022·黑龙江绥化·高一期末）已知幂函数f (x )是奇函数且在(0,)+∞上是减函数，请写出f (x )的一个表达式________．11．（2022·山东·济南一中高一阶段练习）已知幂函数()223m m y xm N --*=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递减，则满足()()33132mma a --+<-的a 的取值范围为________.12．（2022·重庆巫山·高一期末）若幂函数()f x 过点()2,8，则满足不等式()()310f a f a -+-≤的实数a 的取值范围是______13．（2022·上海·同济大学第二附属中学高一期末）已知α∈112,1,,,1,2,322⎧⎫---⎨⎬⎩⎭.若幂函数f (x )＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.14．（2022·北京房山·高一期末）已知幂函数()f x x α=的图象经过点2)． (1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()f x 满足条件(2)(1)f a f a ->- ，试求实数a 的取值范围．15．（2022·上海市第三女子中学高一期末）已知幂函数()()24Z m mf x x m -+=∈的图象关于y 轴对称，且在区间()0,+∞上是严格增函数． (1)求m 的值；(2)求满足不等式()()211f a f a -<+的实数a 的取值范围．16．（2022·全国·高一课时练习）判断函数3y x -=与2y x 的奇偶性.题型五：幂值大小的比较1．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知幂函数a y x =的图象过点13,9⎛⎫⎪⎝⎭，则下列两函数的大小关系为：()224ax x -+（ ）(3)a - A ．≤ B ．≥ C ．< D ．>2．（2021·山东聊城一中高一期中）设幂函数()f x 的图像经过点12⎛ ⎝，若实数1m ，则()f m 与()1f m -的大小关系是（ ）A ．()()1f m f m ->B ．()()1f m f m -<C ．()()1f m f m -=D ．以上都有可能3．（2021·江苏·高一专题练习）下列比较大小中正确的是（ ）. A ．0.50.532()()23<B ．1123()()35---<-C ．3377( 2.1)( 2.2)--<-D ．443311()()23-<4．（2022·湖南·高一课时练习）已知()()1230m a a -=+≠，13n -=，则m 与n 的大小关系为________．5．（2022·全国·高一）比较下列各组数的大小． （1）11331.5 1.71,,；（2）22433310(,,1.()17-－－；（3）2235353.()8 3.9 1.8-－，，；6．（2021·全国·高一课前预习）求出函数2245()44x x f x x x ++=++的单调区间，并比较()f π-与f ⎛ ⎝⎭的大小．7．（2021·全国·高一课时练习）已知幂函数()0,R my xm m =<∈.(1)求证：该函数在区间()0,∞+上是严格减函数； (2)利用（1）的结论，比较1ca ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1cb ⎛⎫⎪⎝⎭()0,0a b c >>>的大小关系.8．（2021·江苏·高一课时练习）比较下列各组数中两个数的大小（0a >）： （1）560.31，560.35； （2）13-，13-； （3） 1.5(1)a +， 1.5a ； （4）23(2)a -+，232-.9．（2021·全国·高一课时练习）已知223()m m f x x +-=（m ∈Z ）的图像关于y 轴对称且在(0,)+∞上()f x 随着x 值的增大而减小，求()f x 的解析式及其定义域、值域，并比较(2)f -与(1)f -的大小.10．（2021·全国·高一课时练习）比较下列各组中两个数的大小，并说明理由． （1）120.75，120.76；（2）()30.95-，()30.96-．11．（2021·全国·高一专题练习）比较下列各组数的大小：（1）5-23和523.1-；（2）788--和781()9-；（3）232()3--和23()6π--；题型六：定点问题1．（2022·全国·高一）下列命题中正确的是（ ） A ．幂函数的图象一定过点（0，0）和点（1，1）B ．若函数f （x ）＝xn 是奇函数，则它在定义域上单调递增C ．幂函数的图象上的点一定不在第四象限D ．幂函数的图象不可能是直线2．（2022·全国·高三专题练习）下列结论正确的是（ ） A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2y x 既是二次函数，也是幂函数3．（2021·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ） A ．当0α=时，函数y x α=的图像是一条直线； B ．幂函数的图像都经过()0,0和()1,1点； C ．幂函数32y x -=的定义域为[)0,∞+； D ．幂函数的图像不可能出现在第四象限．（多选题）4．（2022·福建漳州·高一期末）已知幕函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 是增函数C ．函数()f x 的图象一定经过点()0,1D ．函数()f x 的最小值为0（多选题）5．（2022·全国·高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（ ） A ．幂函数的图象都过(1,1)点B ．幂函数的图象都不经过第四象限C ．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D ．幂函数必定是增函数或减函数中的一种6．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数i y x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．7．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一期中）若幂函数()221()1m f x m m x -=--的图象经过点()0,0，则m =________．8．（2022·北京·高一期末）幂函数()y f x =的图象恒过点_________，若幂函数()y f x =的图象过点()2,4，则此函数的解析式是____________．9．（2022·湖南·高一课时练习）对幂函数y x α=，填空：（1）当1α>，0x ≥时，图象恒过______和______两点；其中当01x <<时，幂函数图象在y x =图象的______方；当1x >时，幂函数图象在y x =图象的______方．（2）当01α<<，0x ≥时，图象也恒过______和______两点；其中当01x <<时，幂函数图象在y x =图象的______方；当1x >，幂函数图象在y x =图象的______方． （3）当0α<，0x >时，图象恒过点______．题型七：定义域问题1．（2022·山西吕梁·高一期末）已知幂函数()f x 的图象过点(，则()f x 的定义域为（ ） A ．R B ．()0,∞+ C ．[)0,∞+ D ．()(),00,∞-+∞2．（2022·全国·高一课时练习）设α∈11,132⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，，则使函数y ＝xα的定义域为R 的所有α的值为（ ）A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,33．（2022·黑龙江绥化·高一期末）函数4()(1)f x x =- ） A ．()1，∞+ B ．(2,)-+∞C ．()()211∞-⋃+，，D ．R4．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知幂函数()y f x =的图象过点⎛ ⎝⎭，则下列关于()f x 说法正确的是（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．在(0,)+∞单调递减D ．定义域为[0,)+∞5．（2021·陕西·西安市第三中学高一期中）幂函数a y x =中a 的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为（ ） A ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭（多选题）6．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）若函数()f x x α=的定义域为R 且为奇函数，则α可能的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．37．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末）已知幂函数()1*4n y x n N -=∈的定义域为()0,∞+，且单调递减，则n =________.8．（2022·辽宁丹东·高一期末）写出一个具有性质①②③的函数()f x =______． ①()f x 定义域为{}0x x ≠；②()f x 在(),0∞-单调递增；③()()()f ab f a f b =⋅．9．（2022·全国·高一课时练习）求函数2()(2)f x x -=+的定义域，并指出其单调区间.题型八：值域问题1．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）已知幂函数()f x x α=的图象过点2⎫⎪⎪⎝⎭，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为[)0,∞+C ．()f x 为偶函数D ．()f x 为减函数2．（2022·广东·广州六中高一期末）幂函数()y f x =的图象过点(，则函数()y x f x =-的值域是（ ） A ．(),-∞+∞ B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（多选题）3．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）已知函数()f x x α=图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ） A ．函数为增函数 B ．函数为偶函数 C ．若1x >，则()1f x > D ．若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭4．（2022·北京房山·高一期末）试写出函数()f x ，使得()f x 同时()f x 满足以下条件： ①定义域为[)0,∞+；②值域为[)0,∞+；③在定义域内是单调增函数．则函数()f x 的解析式可以是_______（写出一个满足题目条件的解析式）．5．（2021·江苏·高一专题练习）函数213324y x x =++，其中8x ，则其值域为___________.6．（2021·全国·高一课时练习）已知函数2(),x af x x x a=>⎪⎩，若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为__________．7．（2022·湖南·高一课时练习）已知幂函数()()226Z m m f x x m --=∈在区间()0,∞+上是减函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)讨论函数()f x 的奇偶性和单调性； (3)求函数()f x 的值域．8．（2022·全国·高一课时练习）写出函数53y x =与15y x =的定义域和值域.9．（2021·全国·高一课时练习）（1）使用五点作图法，在图中画出()23f x x =的图象，并注明定义域．（2）求函数()423323h x x x =--的值域．10．（2021·江苏·高一专题练习）已知幂函数()2()1()kf x k k x k R =--∈，且在区间(0,)+∞内函数图象是上升的．（1）求实数k 的值；（2）若存在实数a ，b 使得函数f （x ）在区间[a ，b ]上的值域为[a ，b ]，求实数a ，b 的值．11．（2019·全国·高一课时练习）已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增.（1）求m 的值；（2）当[]1,2x ∈时，记()f x 的值域为集合A ，若集合[]2,4B k k =--，且A B A ⋃=，求实数k 的取值范围.。