化工传递过程 第二章 动量传递

( (ux )
x
(uy )
y
(uz ))dxdydz
z
(
)
dxdydz
0
(ux ) (uy ) (uz )
( )
0
连续性方程
x
y
z
写成向量形式：
• (u) 0
§2-1连续性方程
二、柱坐标和球坐标连续性方程
x = rcos θ y = rsin θ z = z
0≤r≤∞ 0≤θ≤2π —∞≤z≤∞
同理y方向质量流率之差：
( u y
(uy )
y
dy)dxdz
u y dxdz
(uy )
y
dxdydz
z方向质量流率之差
(uz
(uz )
z
ห้องสมุดไป่ตู้
dz)dxdy
u z dxdy
(uz )
z
dxdydz
( ) 微元体积内累积的质量流率＝ dxdydz
§2-1连续性方程
根据质量守恒定律
（输出的质量流率）—（输入的质量流率）＋累积的质量速率＝0
x
y
z
对于不可压缩流体，ρ=常数，此时无论是稳态流动 还是非稳态流动，连续性方程均简化为
ux uy uz 0 x y z
§2-2运动方程
一.动量守恒定律在流体微元上的表达式
任何物体的运动，都遵循动量守恒定律即牛顿第二定律，
将牛顿第二定律应用于运动着的流体时，可理解为：作用
在流体上的诸外力向量之和应等于该流体的动量随时间的
轴垂直。第二个下标x、y、z表示应力方向
为 x轴、y轴和z轴方向。
xx
xx
xx
x
dx
yx
yx
y
dy
zx
yx
zx
zx
z
dz
§2-2运动方程
以 x 轴的正方向为力的方向, 则
为
经简化后得
dFsx
xx
x
yx
y
zx
z
dxdydz
§2-2运动方程
dFx dFBx dFsx
dFsx
变化率，即
F
d(Mu ) d
F——诸外力向量之和； M——流体的质量； u——流体的速度向量；
θ——时间。
外力＝惯性力＝动量变化速率
§2-2运动方程
• 采用拉格朗日观点，在流场中选一微元系统（质量一定，
体积和形状变化）
故
F M du
d
设某一时刻 ，微元系统的体积为 dV=dxdydz
x方向： y方向： z方向：
B
元的质量、旋转半径的平方以及
角加速度三者的乘积。
§2-2运动方程
证明：当所考察的流体微元的体积趋近于0时，则上式中的旋转半
径也必然相应地趋近于0 。 切应力互等定律
§2-2运动方程
剪应力 根据牛顿粘性定律 dux ，对于三维流动，每一剪应力
dy
与其相应两方向的形变速率有关。经分析推导，其关系为
第二章 动量传递
本章讨论连续性方程、运动方程的推导过程。 §2-1连续性方程 §2-2运动方程
§2-1连续性方程
连续性方程 单组分流体系统（如水）或组成均匀的多组 分混合物系统（如空气）中，运用质量守恒原理进行微分质 量衡算，所得方程称为连续性方程
采用欧拉观点
§2-1连续性方程
一、直角坐标系连续性方程
流体场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为dx，
dy，dz，在某一瞬时流过微元体的流速分别为ux，uy，uz，
密度为ρ。
以x方向为例：
y
(x,y,z)
输入的质量流率 uxdydz
输出的质量流率
[ux
(ux
x
)
dx]dydz
质量流率之差 (ux ) dxdydz
x
z
dy
dx
dz
x
§2-1连续性方程
质量力与表面力之和，即 dF dFB dFs 首先考察微元流体系统在x方向上受到的质量力和表面力。
显然
dFx dFBx dFsx
dFBx Xdxdydz
X-单位质量流体的质量力在x方向上的分量。
重力X＝gconβ
当X方向为水平方向时，X=0 当X方向为垂直方向，X＝g＝9.81m/s2
τxx 第一个下标表示应力分量的作用面与x
(ux ) (uy ) (uz )
( )
0
连续性方程
x
y
z
展开：
D D
( (ux )
x
(u y ) y
(u z z
)
)
u
x
(
x
)
uy
()
y
uz
()
z
0
(
ux x
uy y
uz z
)
D D
0
§2-1连续性方程
某些特定情况下，连续性方程可以简化。
例如稳态流动时 0
， 可简化为
(ux ) (uy ) (uz ) 0
描述应力与形变 速率之间关系的 方程
§2-2运动方程
法向应力
流体静止时，法向应力在数值上即为流体的静压力。当流体流动 时, 这一关系并不成立。它是由两部分组成的：其一是流体的压力， 它使流体微元承受压缩，发生体积形变；其二由流体的粘性作用引起， 它使流体微元在法线方向上承受拉伸或压缩发生线性形变。
各法向应力与压力及形变速率之间的关系如下
§2-2运动方程
Dux
D
X
p x
2ux x2
2ux y 2
2ux z 2
3
x
ux x
u y y
uz z
Duy D
Y
p y
2u y x2
2uy y 2
1 r
(
rur
r
)
1 r
(u
)
z
( u z
)
0
x = rsin θ cosφ y = rsin θsinφ z = rcos θ 0≤r≤∞ 0≤φ≤2π 0≤θ≤π
1 r2
(r2ur ) r
1 r sin
(u sin )
1 r sin
(
u )
0
§2-1连续性方程
三、连续性方程分析简化
dy dz dx
§2-2运动方程
二.作用在流体上的外力分析
质量力 表面力
按作用力的性质，可将其划分为两类：质量力和表面力， 下面将这两类力更深人地予以讨论。
外力 ＝ 质量力 + 表面力
§2-2运动方程
三.直角坐标系的运动方程 1.用应力表示的粘性流体的运动方程
根据前面的讨论可知，作用在流体微元系统上的合外力为
§2-2运动方程
2.奈维-斯托克斯(Navier—Stokes)方程 在以应力表示的粘性流体的运动方程中,共有9个表面应力, 其 中3个法向应力; 即 xx、 yy、 zz 。6个剪应力, 即
yx、 zx xz、 yz xy、 zy A
由力学的知识可知，对于旋转轴
线所产生的力矩应该等于流体微
xx
x
yx
y
zx
z
dxdydz
dFBx
Xdxdydz
dFx
dxdydz
Dux
D
Du x X xx yx zx
D
x y z
同理可得y、z方向
Du y Y xy yy zy
D
x y z
Du z Z xz yz zz
D
x y z
两式合并
变量13个，分别为： 、ux、u y、uz xx、 yy、 zz yx、 zx xz、 yz xy、 zy