统计学课件之线性相关与回归

联 方向一致 对同一样本， b与r的正负号一致 假设检验等价 对同一样本， b与r的t检验相等
系 用回归解释相关 决定系数
➢ 测得某地15名正常成年 人的血药X和24小时的 尿药Y。试分析X和Y之 间是否存在线性相关。
➢ r = 0.9787 ➢ tr = 17.189 df=13
编号
X
Y
1
0.11
➢ 线性关系是否存在、关系的密切程度 以及方向性
back
➢ 积差相关系数 ➢ 用ρ（总体）或r（样本）表示 ➢ 用来对线性关系的密切程度与方向
进行统计描述的指标
back
r lxy x xy y
lxxlyy
x x2 y y2
其中，lxy是x与y的离均差积和
lxx与lyy分别是x与y的离均差平方和
➢ 简单回归
➢ 研究两个连续性变量x与y之间的数量变化 依存关系
➢ 要求——y是服从正态分布的随机变量， 而对x无太严格要求
➢ 主要任务——找出合适的直线回归方程， 以确定一条最接近于各实测点的直线，描 述两个变量之间的线性回归关系。
back
➢ yˆ相当于y的计算值，与y的实测值不完全相同
yˆ a bx
l xx
x x2
a y bx
回归系数的回归线 与 过均yˆ 数 的水平线y 截成三个线段。
➢ SS总=SS回+SS残
y y2 yˆ y2 y yˆ2 总 回 残
➢ SS总: 未考虑x与y的回归关系时，y的总变异。
总 n 1
back
➢ 适用条件 凡不适合用pearson线性相关分析的研究
➢ 分析步骤
➢ 先将n对实测值x与y分别升序编秩，为pi与qi
➢ 以秩次计算rs rs
l pq l pplqq
➢ 对 rs 做假设检验 与r的t检验相同
➢ 适用条件 当r的假设检验有统计学意义时
➢ 分析步骤
➢ 将r进行变换（双曲正切）
线性相关与回归
(linear correlation and regression)
➢线性相关 ➢线性回归 ➢两者比较
➢ 概念
➢ 相关系数(correlation coefficient) 定义 计算 特点 假设检验
➢ 注意事项
back
➢ 简单相关
➢ 研究两个连续性随机变量x与y之间的 线性关系
back
➢ 无单位
➢ 取值[-1，1] 越接近于1，线性关系越密切 越接近于0，线性关系越不明显
➢ 方向性 若为正值，则正相关 若为负值，则负相关
back
➢ 检验目的 判断总体相关系数ρ是否为0
➢ 检验步骤
建立假设 H0： ρ=0
计算统计量
t 检验
t r 0
r
Sr
1 r 2 n 2
z tanh1 r 1 ln(1 r ) 2 1r
➢ 求出转换后z的(1-α)置信区间
z
2 , z n3
➢ 两个参数与对应的统计量
α与β
a与b
a ：截距（intercept）
即直线与y轴交点的坐标
b ：斜率（slope）
“回归系数”,表示x每改变一个单位，
y平均改变b个单位
➢ 回归系数 数值与方向
➢ 最小二乘原则
保证各实测点至回归直线的纵向距离 平方和最小
➢ a与b的求解
b lxy x xy y
回 1
残 n2
➢ t检验
t b0 b
b
Sb
S y,x lxx
SS残 (n 2) lxx
其中，S y, x为剩余标准差；Sb为回归系数标准误
back
➢ 定义：为相关系数的平方 实质为回归平方和与总平方和之比
➢ 作用：反映当前回归模型拟合效果的概括统计量
➢ 计算：
R2 r2 SS回 lx2y SS总 lxxlyy
➢ 特点： 取值[0，1]，无单位；
反映回归贡献的大小，即在Y的总变异中能用回
归关系解释的百分比或比重。
back
➢ 描述 通过计算求得回归方程并经过回归系数的假设检 验，若接受两变量存在直线回归关系，则可用该 方程进行描述两者间的数量依存关系。
➢ 预测 把预报因子（ x）代入回归方程，对预报量（y）
0.14
2
0.25
0.25
3
0.23
0.28
4
0.24
0.25
5
0.26
0.28
6
0.09
0.10
7
0.25
0.27
8
0.06
0.09
9
0.23
0.24
10
0.33
0.30
11
0.15
0.16
12
0.04
0.05
13
0.20
0.20
14
0.34
0.32
15
0.22
0.24 back
➢ 针对上例，请做线性回归分析。 ➢ a = 0.0319 b = 0.8973 ➢ F = MS回/ MS残 = 295.46 tb = 17.189 ➢ R2 = 0.9578 = ( 0.9787 )^2 = r^2
➢ β的置信区间 b t s 2,(n2) b
➢ 总体均数μy及个体值y的区间估计 back
线性回归 线性相关
资料要求 y服从正态分布 x与y均服从正态分布
区 应用目的 数量依存关系
b lxy
别
lxx
系 数 [-∞，+∞]
相关程度与方向 r lxy l xx l yy
[-1，1]
有单位
无单位
进行估计，其波动范围按个体y值的容许区间计算。
➢ 控制 利用回归方程进行逆估计，若要求y在一定范围 内波动，可通过x的取值来实现。 back
➢ 回归要有实际意义；
➢ 进行分析前，应绘制散点图，当观察点的分布 有直线趋势时，才适宜作线性回归；同时，散 点图还能提示有无异常点，有助于修正数据；
➢ 直线回归方程的适用范围一般以自变量的取值 范围为限，应避免不合理的外延。
➢ SS回:反映在y的总变异中，因x与y的直线关系而使
y变异减小的部分；即在总平方和中可用x解
释的部分。
回 1
➢ SS残:“剩余平方和”，反映x与y的直线关系之外
的所有因素对y的变异作用；即在总平方和
中无法用x解释的部分。
残 n2
➢ H0：总体回归系数β是否为0
➢ F检验（ANOVA）
F SS回 回 MS回 SS残 残 MS残
查表法 确定P值（ t界值表与r界值表) 作出结论
n2
back
➢ 要求x与y为双正态随机变量
➢ 相关关系≠因果关系
➢ 观察例数较少时，相关系数不够稳定
➢ 伪相关现象
➢ 相关分析要有实际意义
➢ 秩相关
➢ 相关系数的区间估计
back
➢ 概念 ➢ 直线回归方程 ➢ 决定系数 ➢ 应用 ➢ 注意事项
back