2016-2017《创新设计》同步人教A版选修1-22.1.1

1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念明目标、知重点1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.[情境导学]某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一 平均变化率的概念 思考1 气球膨胀率很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答 气球的半径r (单位：dm)与体积V (单位：L)之间的函数关系是r (V )＝ 33V4π，(1)当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球半径增加了 r (1)－r (0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为r (1)－r (0)1－0≈0.62(dm/L)．(2)当空气容量V 从1 L 增加到2 L 时，气球半径增加了r (2)－r (1)≈0.16 (dm)， 气球的平均膨胀率为r (2)－r (1)2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 结论 当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是r (V 2)－r (V 1)V 2－V 1.思考2 高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系 h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.计算运动员在时间段①0≤t ≤0.5，②1≤t ≤2内的平均速度v ，并思考平均速度有什么作用？ 答 ①在0≤t ≤0.5这段时间里， v ＝h (0.5)－h (0)0.5－0＝4.05(m/s)；②在1≤t ≤2这段时间里，v ＝h (2)－h (1)2－1＝－8.2(m/s)．由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢．思考3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考1和思考2中的平均变化率分别表示什么？答 如果上述两个思考中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么思考中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考1中的平均变化率表示在空气容量从V 1增加到V 2时，气球半径的平均增长率．思考2中的平均变化率表示在时间从t 1增加到t 2时，高度h 的平均增长率．思考4 平均变化率也可以用式子Δy Δx 表示，其中Δy 、Δx 的意义是什么？Δy Δx 有什么几何意义？答 Δx 表示x2－x 1是相对于x 1的一个“增量”；Δy 表示f (x 2)－f (x 1)．Δx 、Δy 的值可正可负，Δy 也可以为零，但Δx 不能为零． 观察图象可看出，ΔyΔx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率．小结 平均变化率为Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，其几何意义是：函数y ＝f (x )的图象上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率．例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义． 解 f (x )＝2x 2＋3x －5， ∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝2(Δx )2＋19Δx .Δy Δx ＝2(Δx )2＋19Δx Δx＝2Δx ＋19. (1)当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1，Δy ＝2(Δx )2＋19Δx ＝2＋19＝21，ΔyΔx ＝21.(2)当x 1＝4，x 2＝4.1时Δx ＝0.1， Δy ＝2(Δx )2＋19Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋19＝19.2. (3)在(1)题中Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (4)5－4，它表示抛物线上点P 0(4,39)与点P 1(5,60)连线的斜率． 在(2)题中，Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (4.1)－f (4)4.1－4，它表示抛物线上点P 0(4,39)与点P 2(4.1,40.92)连线的斜率． 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)计算函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)思考：当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1) ＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 探究点二 函数在某点处的导数思考1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，易知h (6549)＝h (0)，v ＝h (6549)－h (0)6549－0＝0，而运动员依然是运动状态．思考2 观察跟踪训练1，当Δx ＝0.000 01时，ΔyΔx ＝？这个平均速度能描述物体的运动状态吗？ 答ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.300 049，说明当时间间隔非常小的时候平均速度约等于一个常数，这个常数就是x ＝1这一时刻的速度．思考3 什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．如求t ＝2时的瞬时速度，可考察在t ＝2附近的一个间隔Δt ，当Δt 趋近于0时，平均速度v 趋近于lim Δt→h (2＋Δt )－h (2)Δt ，这就是物体在t ＝2时的瞬时速度．类似可以得出平均变化率与瞬时变化率的关系，我们把函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx→0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0ΔyΔx叫做函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数．思考4 导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？答 导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度． 小结 1.函数的瞬时变化率： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx→0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0ΔyΔx.2．函数在某点处的导数：我们称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx→0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0ΔyΔx.例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数． 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx→f (2＋Δx )－f (2)Δx ，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0－(Δx )2－ΔxΔx ＝lim Δx →0(－Δx －1)＝－1.反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx. 跟踪训练2 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数． 解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx→0ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解 在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)． 根据导数的定义，Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－7(2＋Δx )＋15－(22－7×2＋15)Δx＝4Δx ＋(Δx )2－7Δx Δx ＝Δx －3，所以，f ′(2)＝lim Δx→0ΔyΔx ＝lim Δx →0(Δx －3)＝－3. 同理可得，f ′(6)＝5.在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 ℃/h 的速率上升． 反思与感悟 (1)本题中，f ′(x 0)反映了原油温度在时刻x 0附近的变化情况． (2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．跟踪训练3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解 令t 0＝6598，Δt 为增量．则h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt＝－4.9×⎝⎛⎭⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝⎛⎭⎫6598＋Δt ＋10＋4.9×⎝⎛⎭⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝⎛⎭⎫6549＋Δt ＋6.5Δt Δt ＝－4.9⎝⎛⎭⎫6549＋Δt ＋6.5， ∴lim Δt→0h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt ＝lim Δt →0[－4.9⎝⎛⎭⎫6549＋Δt ＋6.5]＝0， 即运动员在t 0＝6598s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( )． A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3 答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h ( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 答案 B3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2 答案 C解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1 ＝2(Δx )2＋4Δx ，∴ΔyΔx ＝2Δx ＋4.4．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________. 答案 －12解析 f ′(1)＝lim Δx→f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →011＋Δx－1Δx＝lim Δx →－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.[呈重点、现规律]利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx. 简记为一差，二比，三趋近．特别提醒 ①取极限前，要注意化简ΔyΔx ，保证使Δx →0时分母不为0.②函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关． ③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.一、基础过关1．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为( ) A ．－6 B ．Δx －6 C ．－2 D ．Δx －2答案 B解析 设y ＝f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，Δy ＝f (－2＋Δx )－f (－2)＝(－2＋Δx －1)2－(－2－1)2＝(－3＋Δx )2－9＝(Δx )2－6Δx ， 所以ΔyΔx＝Δx －6，所以函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为Δx －6. 2．函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．Δx 答案 A 解析Δy Δx ＝1－1Δx＝0.3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )． A ．－4.8 m /s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m /s D ．4.8 m/s答案 A解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 4．一质点按规律s (t )＝2t 3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( ) A ．4 B ．6 C ．24 D ．48 答案 B解析 ∵s ′(1)＝lim t →1s (t )－s (1)t －1＝lim t →12t 3－2t －1＝lim t →12(t 2＋t ＋1)＝6. 5．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.答案 －12解析 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12.6.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．相同 D ．不确定 答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )， 即⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好． 7．利用定义求函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率．解 因为在x ＝2附近，Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2(Δx )2Δx ＝－8－2Δx .故函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率为lim Δx →0(－8－2Δx )＝－8.二、能力提升8．过曲线y ＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝______，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________. 答案 2.1 2.001解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1) ＝2Δx ＋(Δx )2，∴ΔyΔx ＝2＋Δx ，∴割线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1. 当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.9．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________． 答案 3解析 v 初＝s ′|t ＝0＝li m Δt→s (0＋Δt )－s (0)Δt＝li m Δt →(3－Δt )＝3. 10．求y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率． 解 因为Δy ＝x 0＋Δx －x 0，所以y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为Δy Δx ＝x 0＋Δx －x 0Δx ＝1x 0＋Δx ＋x 0.11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝lim Δx→0ΔyΔx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0a (Δx )2＋2a ΔxΔx＝lim Δx →(a Δx ＋2a )＝2，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与拓展13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解 由导数的定义知， f ′(x )＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，g′(x)＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝3x2.∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.即3x2－2x－2＝0，解得x＝1－73或x＝1＋73.。

[学习目标] 1.通过实例了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识，以及整理收集到的资料信息.2.结合作出的结构图与他人交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用．知识点一结构图结构图是一种描述系统结构的图示．一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成，连线通常按照从上到下、从左到右的方向(方向箭头按照箭头所指的方向表示)，各要素之间是从属关系或逻辑的先后关系．思考1如何确定结构图中各元素之间的关系？答案上下位元素之间是从属或逻辑先后关系．同一元素的下位元素间一般是并列关系．思考2如何画结构图？答案(1)整体把握，理清要素间的逻辑先后关系或上下从属关系；(2)对主要脉络进行细化，分解成若干步骤；(3)将步骤进行总结归纳，将提炼出的要素填入矩形框中；(4)按其内在的逻辑顺序，用连线(或方向箭头)连接．知识点二常见的结构图题型一知识结构图例1画出《数学必修2》中“点、线、面之间的位置关系”这一节的知识结构图．解反思与感悟(1)理解线面之间关系的相互转化是解决本题的关键，也是空间问题向平面问题转化的关键所在．(2)知识结构图能帮助我们清晰地认识所学知识，掌握各知识点间的联系．跟踪训练1(1)设计一个结构图，来表示“推理与证明”这一章的知识结构．(2)画出“数列”一章的知识结构图．解(1)如图所示．(2)如图所示．题型二组织结构图例2某学校设了下面的部门：校长室下设学校办公室、总务处、政教处、教导处、工会办公室，总务处下设保卫科、会计室、校产办公室、水电办公室，保卫科下设门卫、综合办公室，政教处下设政教办公室、学生心理咨询办公室、法制安全教育办公室，教导处下设教研组、教导服务组、教学科研室，教研组下设数学、物理、化学、语文、英语、历史、地理、政治、生物、体育、音乐、信息技术教研组，另外数学分为文科、理科两个教研组，试画出该校部门设置的组织结构图．解该学校部门设置的组织结构图如图所示．反思与感悟画组织结构图时先理清各大部门的并列关系，再理清大部门与各小部门的从属关系即可，一般常用树形结构图表示．上位要素与下位要素题干中一般会给出，不必自己去梳理，比知识结构图容易画．跟踪训练2 某公司的组织结构是：总经理之下设执行经理、人事经理和财务经理．执行经理领导生产经理、工程经理、品质管理经理和物料经理．生产经理领导线长，工程经理领导工程师，工程师管理技术员，物料经理领导计划员和仓库管理员．根据上述描述，用框图表示这家公司的组织结构．解题型三其它结构图例3某银行代缴费用包括代缴公用事业费和手机充值缴费，其中代缴公用事业费包含水费、电费、煤气费和固定电话费；手机充值缴费包含手机充值、实时查询缴费和实时账单缴费，试画出结构图．解缴费结构图如图所示：反思与感悟画结构图的具体步骤：(1)从头到尾抓住主要脉络，分解成若干步；(2)将每一步提炼成简炼的语言放在矩形框内；(3)各步按逻辑顺序排列并用线段相连．要注意实际问题的逻辑顺序和概念上的从属关系．根据所给的信息画出结构图．跟踪训练3 一家新技术公司计划研制一个名片管理系统，希望系统能够具备以下功能：(1)用户管理：能够修改密码，显示用户信息，修改用户信息；(2)用名登录；(3)名片管理：能够对名片进行删除、添加、修改、查询；(4)出错信息处理．根据以上要求画出该系统的结构图．解结构图如图所示．1．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为()A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析本小题考查程序框图等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，难度较小．由a ＝1，i＝0→i＝0＋1＝1，a＝1×1＋1＝2→i＝1＋1＝2，a＝2×2＋1＝5→i＝2＋1＝3，a＝3×5＋1＝16→i＝3＋1＝4，a＝4×16＋1＝65＞50，∴输出4.2．执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．2 B．4 C．8 D．16答案 C解析初始：k＝0，S＝1，第一次循环：由0<3，得S＝1×20＝1，k＝1；第二次循环：由1<3，得S＝1×21＝2，k＝2；第三次循环：由2<3，得S＝2×22＝8，k＝3.经判断此时要跳出循环．因此输出的S值为8.3．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()A．3 B．4 C．5 D．8答案 B解析由程序框图依次可得，x＝1，y＝1→x＝2，y＝2→x＝4，y＝3→x＝8，y＝4→输出y ＝4.4．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为()A．105 B．16C．15 D．1答案 C解析i＝1，s＝1；i＝3，s＝3；i＝5，s＝15，i＝7时，输出s＝15.1.在结构图中会出现“树”形结构，也会出现一些“环”形结构．一般来说，包含从属关系的结构图呈“树”形结构，包含逻辑先后关系的结构图则可能呈“环”形结构．2．对于包含从属关系的系统，由于其中至少包含一个“上位”或“下位”要素，因此也可以先将系统的主体要素及其之间的关系表示出来，然后确定主体要素的下位要素(即从属于主体要素的要素)，再逐步细化各层要素，直到将整个系统表示出来为止．一、选择题1．下列结构图中要素之间表示从属关系的是()答案 C解析A、D是逻辑关系，呈现了知识的先后关系，B是结构图但不是从属关系，对于C而言，显然合情推理和演绎推理是推理的下位要素．2．下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则的结构图正确的是()答案 A解析从知识结构划分：函数包括函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则．3．如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在()A．“集合的概念”的下位B．“集合的表示”的下位C．“基本关系”的下位D．“基本运算”的下位答案 C解析子集是集合与集合之间的基本关系，故应为“基本关系”的下位．4．如图所示是数列一章的知识结构图，下列说法正确的是()A．“概念”与“分类”是从属关系B．“等差数列”与“等比数列”是从属关系C．“数列”与“等差数列”是从属关系D．“数列”与“等差数列”是从属关系，但“数列”与“分类”不是从属关系答案 C解析画某一章节的知识结构图时，首先应对本章节的知识有全面的把握，然后明确各知识点之间在逻辑上的先后顺序、概念上的从属关系．按从上到下、从左到右的顺序画图，在A、B、C、D四个选项中只有C正确．5．如图是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析影响“计划”的主要要素应是三个“上位”要素．二、填空题6．下面关于结构图的说法正确的是________．①结构图只能是从左向右分解；②结构图只能是从上向下分解；③结构图只能是从下向上分解；④结构图一般呈“树”形结构；⑤结构图有时呈“环”形结构．答案④⑤解析结构图呈“树”形或“环”形结构．7．按边对三角形进行分类的结构图为则①处应填入________．答案等边三角形解析等腰三角形又可分为“等边三角形”和“腰和底边不相等的三角形”两类．8．某期货商会组织结构图如图所示，其中理事会的上一级是________．答案会长办公会和会员代表大会9．如图所示：则“函数的应用”包括的主要内容有：________.答案函数与方程，函数模型及其应用解析从题图中可以看出，“函数应用”包括“函数与方程”和“函数模型及其应用”两部分主要内容．10．某市质量技术监督局质量认证审查流程图如图所示，从图中可得在审查过程中可能不被通过审查的环节有________处．答案 3解析这是一个实际问题，观察流程图可知有3处判断框，即3处环节可能不被审查通过．三、解答题11．某地行政服务中心办公分布结构如下：(1)服务中心管理委员会全面管理该中心工作，下设办公室、综合业务处、督查投诉中心，三部门设在一楼，其余局、委办理窗口分布如下：(2)二楼：公安局、民政局、财政局；(3)三楼：工商、地税、国税、技监、交通局；(4)四楼：城建局、人防办、计生局、规划局；(5)五楼：其余部门办理窗口．试绘制该服务中心的结构图．解该中心的结构图为：12．某大学的学校组织结构图如图所示，由图回答下列问题．(1)学生工作处的下位要素是什么？(2)学生工作处与其下位要素是什么关系？解(1)由题图可知学生工作处的下位要素包括工业工程系、城建环保工程系、电气工程系、计算机工程系、机械工程系、汉教部．(2)学生工作处与其“下位”要素的关系是从属关系．13．某公司进行人事调整：设总经理一名，配有经理助理一名；设副经理两名，直接对总经理负责；设有6个部门，其中副经理A管理生产部、安全部和质量部，副经理B管理销售部、财务部和保卫部；生产车间由生产部和安全部共同管理，公司配有质检中心和门岗．请根据以上信息设计并画出该公司人事调整后的人事结构图．解人事结构图：。

明目标、知重点1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．1．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则ʃb a f(x)d x＝S上．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则ʃb a f(x)d x＝－S下．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f(x)d x＝S上－S下，若S上＝S下，则ʃbaf(x)d x＝0.[情境导学]从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ10 x3d x的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？探究点一微积分基本定理问题你能用定义计算ʃ211x d x吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？思考1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？答由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃb a v(t)d t＝ʃb a y′(t)d t，所以ʃb a v(t)d t＝ʃb a y′(t)d t＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′(t)．小结(1)一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃb a f(x)d x很方便，其关键是准确写出满足F′(x)＝f(x)的F(x)．思考2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．不影响，因为ʃb a f(x)d x＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)例1计算下列定积分：(1)ʃ211x d x；(2)ʃ31(2x－1x2)d x；(3)ʃ－π(cos x－e x)d x.解 (1)因为(ln x )′＝1x ，所以ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2. (2)因为(x 2)′＝2x ，(1x )′＝－1x 2，所以ʃ31(2x －1x2)d x ＝ʃ312x d x －ʃ311x2d x ＝x 2|31＋1x|31 ＝(9－1)＋(13－1)＝223.(3)ʃ－π(cos x －e x )d x ＝ʃ－πcos x d x －ʃ－πe x d x＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1. 反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限． 跟踪训练1 若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1答案 B 解析 S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝73， S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2<1， S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)>73. 所以S 2<S 1<S 3，选B. 探究点二 分段函数的定积分例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．解 图象如图．ʃ40f (x )d x ＝π20⎰sin x d x ＋π20⎰1d x ＋42⎰(x －1)d x＝(－cos x )|π20＋x |2π2＋(12x 2－x )|42 ＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x . 解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23. 探究点三 定积分的应用 例3 计算下列定积分： ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．解 因为(－cos x )′＝sin x ， 所以ʃπ0sin x d x ＝(－cos x )|π＝(－cos π)－(－cos 0)＝2； ʃ2ππsin x d x ＝(－cos x )|2ππ＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2； ʃ2π0sin x d x ＝(－cos x )|2π0＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．解 所求面积为 S ＝5π4π2-⎰－π2|sin x |d x ＝－0π2-⎰sin x d x ＋ʃπ0sin x d x －5π4π⎰sin x d x＝1＋2＋(1－22)＝4－22.1．π2π2-⎰(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2 答案 D解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴π2π2-⎰(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )|π2π2-＝π2＋sin π2－⎣⎡⎦⎤－π2＋sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝π＋2. 2．若ʃa1(2x ＋1x)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D 解析 ʃa1(2x ＋1x)d x ＝ʃa12x d x ＋ʃa 11xd x＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2.3．ʃ20(x 2－23x )d x ＝________. 答案 43解析 ʃ20(x 2－23x )d x ＝ʃ20x 2d x －ʃ2023x d x ＝x 33|20－x 23|20＝83－43＝43. 4．已知f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算ʃπ0f (x )d x .解 ʃπ0f (x )d x ＝π20⎰f (x )d x ＋ππ2⎰f (x )d x＝π20⎰(4x －2π)d x ＋ππ2⎰cos x d x ，取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x . 所以π20⎰(4x －2π)d x ＋ππ2⎰cos x d x ＝(2x 2－2πx )|π20＋sin x |ππ2＝－12π2－1，即ʃπ0f (x )d x ＝－12π2－1. [呈重点、现规律]1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．一、基础过关1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|b a ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n →∞i ＝1nb －ans ′(ξi )； ④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃba s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④答案 D2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B 3．ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 答案 C 解析 ʃ10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e. 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( )D ．－23答案 B 解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ－1x 2d x ＋ʃ101d x ＝x 33|0－1＋1＝13＋1＝43，故选B. 5．π20⎰sin 2x2d x 等于( )－1 C ．2答案 D 解析 π20⎰sin 2x 2d x ＝π20⎰1－cos x 2d x ＝12(x －sin x )|π20＝π－24，故选D. 6．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.答案 1 解析 ∵ʃ10(2x ＋k )d x ＝(x 2＋kx )|10＝1＋k ＝2，∴k ＝1. 二、能力提升7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．答案 33解析 ʃ10(ax 2＋c )d x ＝ax 20＋c ， ∴a 3＝ax 20， ∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0， 若f [f (1)]＝1，则a ＝________. 答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1， 解得a ＝1.9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝4x ＋3解析 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则 ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x ＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.10．计算下列定积分： (1)ʃ21(e x＋1x)d x ；(2)ʃ91x (1＋x )d x ；(3)ʃ200(－－＋1)d x ； (4)ʃ211x (x ＋1)d x .解 (1)∵(e x ＋ln x )′＝e x ＋1x ，∴ʃ21(e x ＋1x)d x ＝(e x ＋ln x )|21＝e 2＋ln 2－e. (2)∵x (1＋x )＝x ＋x ，(12x 2＋2332x )′＝x ＋x ，∴ʃ91x (1＋x )d x ＝(12x 2＋2332x )|91＝1723. (3)∵(e －＋1)′＝－－＋1， ∴ʃ200(－－＋1)d x ＝e －＋1|200＝1－e. (4)∵1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1， (ln x )′＝1x ，(ln(x ＋1))′＝1x ＋1，∴ʃ211x (x ＋1)d x ＝ln x |21－ln(x ＋1)|21＝2ln 2－ln 3. 11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值．解 由定积分的性质，知： ʃ30f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ＋ʃ32f (x )d x ＝ʃ10x 3d x ＋ʃ21x d x ＋ʃ322x d x ＝x 44|10＋23x 32|21＋2x ln 2|32 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2.12．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．解 ∵(23ax 3－12a 2x 2)′＝2ax 2－a 2x ，∴ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10 ＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12(a 2－43a ＋49)＋29＝－12(a －23)2＋29，∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.三、探究与拓展 13．求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x .解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时， 原式＝ʃ3－4(x ＋a )d x ＝(x 22＋ax )|3－4＝7a －72. (2)当－4<－a <3即－3<a <4时， 原式＝ʃ－a－4[－(x ＋a )]d x ＋ʃ3－a(x ＋a )d x＝(－x 22－ax )|－a－4＋(x 22＋ax )|3－a ＝a 22－4a ＋8＋(a 22＋3a ＋92) ＝a 2－a ＋252.(3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝ʃ3－4[－(x ＋a )]d x ＝(－x 22－ax )|3－4 ＝－7a ＋72.综上，得ʃ3－4|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧7a －72(a ≥4)a 2－a ＋252 (－3<a <4)－7a ＋72 (a ≤－3).。

1.7.1 定积分在几何中的应用明目标、知重点会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．1．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝ʃba f (x )d x .2．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝－ʃba f (x )d x .3．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝ʃba [f (x )－g (x )]d x .(如图)探究点一 求不分割型图形的面积思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．例1 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S .解 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 2得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为 S ＝S 曲边梯形OABC —S 曲边梯形OABD ＝ʃ10x d x －ʃ10x 2d x＝23x 32|10－13x 3|10 ＝23－13＝13. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2－4y ＝－x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0， 所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ， 根据图形可得S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x )|2－3 ＝252－(－253)＝1256. 探究点二 分割型图形面积的求解思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？答 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S . 解 方法一 作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图．解方程组⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝x －4得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)． 直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)． 因此，所求图形的面积为 S ＝S 1＋S 2 ＝ʃ42x d x ＋[]ʃ 842x d x －ʃ 84(x －4)d x＝22332x |40＋22332x |84－12(x －4)2|84 ＝403. 方法二 把y 看成积分变量，则 S ＝ʃ4(y ＋4－12y 2)d y ＝(12y 2＋4y －16y 3)|40 ＝403. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 画出图形，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x ，及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ， 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以S ＝ʃ10[x －(－13x )]d x ＋ʃ31[(2－x )－(－13x )]d x ＝ʃ10(x ＋13x )d x ＋ʃ31(2－x ＋13x )d x ＝(23x 32＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13 ＝136. 探究点三 定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：切点A 的坐标以及在切点A 处的切线方程． 解 如图，设切点A (x 0，y 0)，其中x 0≠0，由y ′＝2x ，过点A 的切线方程为 y －y 0＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C (x 02，0)，设由曲线和过点A 的切线与x 轴围成图形的面积为S ， 则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC ，∵S 曲边△AOB ＝ʃx 00x 2d x ＝13x 3|x 00＝13x 30，S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.∴x 0＝1，从而切点为A (1,1)， 切线方程为2x －y －1＝0.反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22－13x 3|10＝16.又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ， 由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ， 所以，S 2＝ʃ1－k 0(x －x 2－kx )d x＝⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－13x 3|1－k 0＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝ʃab [f (x )－g (x )]d xS ＝ʃ80(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝ʃ41f (x )d x －ʃ74f (x )d xS ＝ʃ a 0[g (x )－f (x )]d x ＋ʃ ba [f (x )－g (x )]d x③ ④A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④ 答案 D 解析 ①应是S ＝ʃba [f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝ʃ8022x d x －ʃ84(2x －8)d x ，③和④正确，故选D.2．曲线y ＝cos x (0≤x ≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( )A ．2B ．3 C.52 D ．4答案 B 解析 S ＝π20⎰cos x d x －3π2π2⎰cos x d x＝sin x|π20－sin x|3π2π2＝sin π2－sin 0－sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为________． 答案 43解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4. ∴曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 交点为(2,4)，(0,0)． ∴S ＝ʃ20(2x －x 2)d x ＝(x 2－13x 3)|2＝(4－83)－0＝43.4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________． 答案193解析 由图形可得 S ＝ʃ10(x 2＋4－5x )d x ＋ʃ41(5x －x 2－4)d x ＝(13x 3＋4x －52x 2)|10＋(52x 2－13x 3－4x )|41 ＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝193. [呈重点、现规律]对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．一、基础过关1．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A ．ʃca f (x )d x B ．|ʃca f (x )d x | C ．ʃba f (x )d x ＋ʃcb f (x )d x D ．ʃcb f (x )d x －ʃba f (x )d x答案 D解析 ∵x ∈[a ，b ]时，f (x )<0，x ∈[b ，c ]时，f (x )>0， ∴阴影部分的面积S ＝ʃcb f (x )d x －ʃba f (x )d x .2．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2 C.83 D.1623答案 C解析 ∵抛物线方程为x 2＝4y ，∴其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x 轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)， 即S ＝4－2ʃ20x24d x ＝⎪⎪4－2·x 31220＝4－43＝83.3．若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( ) A ．∫b a [f (x )－g (x )]d x B ．∫b a [g(x)－f(x)]d x C ．∫b a |f (x )－g (x )|d xD.||∫ba [f (x )－g (x )]d x答案 C解析 当f (x )＞g (x )时， 所求面积为∫b a [f (x )－g (x )]d x ；当f (x )≤g (x )时，所求面积为∫b a [g (x )－f (x )]d x . 综上，所求面积为∫b a |f (x )－g (x )|d x .4．曲线y ＝x 2－1与x 轴所围成图形的面积等于( ) A.13 B.23 C ．1 D.43答案 D解析 函数y ＝x 2－1与x 轴的交点为(－1,0)，(1,0)，且函数图象关于y 轴对称，故所求面积为 S ＝2ʃ10(1－x 2)d x ＝2(x －13x 3)|10 ＝2×23＝43.5．由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________． 答案 ʃ10(x －x 3)d x解析 画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎨⎧y ＝xy ＝x 3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝ʃ10(x －x 3)d x .6．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝______.答案 14解析 图形如图所示：S ＝ʃ10x 2d x －ʃ1014x 2d x＝ʃ1034x 2d x＝14x 3|10＝14. 二、能力提升7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在 答案 C解析 数形结合，如图，ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21＝13＋(4－2－2＋12)＝56. 8．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，则c 等于( )A.13B.12 C ．1 D.23 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝cx3得x ＝0或x ＝1c . ∵0<x <1c 时，x 2>cx 3，∴S ＝10c ⎰(x 2－cx 3)d x＝(13x 3－14cx 4)|10c ＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23. ∴c 3＝18.∴c ＝12.9．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．答案 13解析 根据题意得：S 阴＝ʃ103x 2d x ＝x 3|10＝1，则点M 取自阴影部分的概率为S 阴S 矩＝13×1＝13.10．求曲线y ＝6－x 和y ＝8x ，y ＝0围成图形的面积．解 作出直线y ＝6－x ，曲线y ＝8x 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧ y ＝6－x y ＝8x得直线y ＝6－x 与曲线y ＝8x 交点的坐标为(2,4)，直线y ＝6－x 与x 轴的交点坐标为(6,0)．因此，所求图形的面积S ＝S 1＋S 2＝ʃ208x d x ＋ʃ62(6－x )d x＝8×2332x |20＋(6x －12x 2)|62 ＝163＋[(6×6－12×62)－(6×2－12×22)] ＝163＋8＝403. 11．求由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积． 解 由y ′＝－2x ＋4得在点A 、B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6，得两直线交点坐标为C (2,2)， ∴S ＝S △ABC －ʃ31(－x 2＋4x －3)d x ＝12×2×2－⎝⎛⎭⎫－13x 3＋2x 2－3x ⎪⎪⎪31＝2－43＝23. 12．设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．解 (1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则P 点的坐标为(t ，t 2)，直线OP 的方程为y ＝tx .S 1＝ʃt 0(tx －x 2)d x ＝16t 3， S 2＝ʃ2t (x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3. 因为S 1＝S 2，所以t ＝43，点P 的坐标为(43，169)．(2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3 ＝13t 3－2t ＋83，S ′＝t 2－2， 令S ′＝0得t 2－2＝0.因为0<t <2，所以t ＝2，因为0<t <2时，S ′<0；2<t <2时，S ′>0.所以，当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423， 此时点P 的坐标为(2，2)．三、探究与拓展13．已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．解 作出y ＝x 2－2x 的图象如图．(1)当a <0时，S ＝ʃ0a (x 2－2x )d x＝(13x 3－x 2)|0a ＝－a 33＋a 2 ＝43， ∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a <0，∴a ＝－1.(2)当a >0时，①若0<a ≤2，则S ＝－ʃa 0(x 2－2x )d x＝－(13x 3－x 2)| a 0 ＝a 2－13a 3＝43， ∴a 3－3a 2＋4＝0即(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a >0，∴a ＝2.②当a >2时，S ＝－ʃ20(x 2－2x )d x ＋ʃa 2(x 2－2x )d x＝－(13x 3－x 2)|20＋(13x 3－x 2)|a 2＝－(83－4)＋(13a 3－a 2－83＋4) ＝43＋(13a 3－a 2－83＋4)＝43. ∴13a 3－a 2＋43＝0 ∴a >2不合题意．综上a ＝－1，或a ＝2.。