安徽省2017年中考数学总复习 第一轮 中考考点系统复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第14讲

第16讲 全等三角形1．(2016·某某)如图，点E ，F 在线段BC 上，△ABF 与△DCE 全等，点A 与点D ，点B 与点C 是对应顶点，AF 与DE 交于点M ，则∠DCE＝( A )A ．∠B B ．∠AC ．∠EMFD ．∠AFB2．(2016·永州)如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于点O ，已知AB ＝AC ，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD ( D )A ．∠B ＝∠C B ．AD ＝AE C ．BD ＝CE D ．BE ＝CD3．如图，用尺规作∠AOB 的平分线的方法如下：以点O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D 两点，再分别以点C ，D 为圆心，大于12CD 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP.由作法得△OCP≌△ODP 的根据是( D )A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS4．(2016·某某)如图，OP 为∠AOB 的平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是点C ，D ，则下列结论错误的是( B ) A. PC ＝PD B ．∠CPO ＝∠DOP C ．∠CPO ＝∠DPO D ．OC ＝OD5．如图，∠B ＝∠D＝90°，BC ＝CD ，∠1＝40°，则∠2＝( B )A ．40°B ．50°C ．60°D ．75°6．(2014·某某)如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB ＝DE ，BE ＝CF ，AC ＝6，则DF ＝6．7．(2016·某某)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，AD 与CE 交于点H ，请你添加一个适当条件答案不唯一，如：A H ＝BC 或AE ＝CE 或EH ＝EB 等_，使△AEH≌△CEB.8．(2016·某某)如图，△ABC ，△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE＝90°，点E 在AB 上．求证：△CDA≌△CEB.证明：∵△ABC、△CDE 均为等腰直角三角形， ∠ACB ＝∠DCE＝90°， ∴CE＝CD ，BC ＝AC.∴∠ACB －∠ACE＝∠DCE－∠ACE， 即∠ECB＝∠DCA.在△CEB 和△CDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠ECB ＝∠DCA EC ＝DC ，∴△CDA ≌△CEB(SAS)．9．如图，已知∠ABO＝∠DCO，OB ＝OC ，求证：△ABC≌△DCB.证明：在△ABO 和△DCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO＝∠DCO， BO ＝CO ，∠AOB ＝∠DOC，∴△ABO ≌△DCO(ASA)． ∴∠A ＝∠D.∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB.又∵∠ABO＝∠DCO，∴∠ABO ＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB， 即∠ABC＝∠DCB.在△ABC 和△DCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，∠ABC ＝∠DCB，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB(AAS)．10．(2016·某某)如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，，不一定正确的是( B ) A ．△AFD ≌△DCE B ．AF ＝12ADC ．AB ＝AFD ．BE ＝AD －DF11．(2016·某某)如图，在△PAB 中，PA ＝PB ，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK ，若∠MKN ＝44°，则∠P 的度数为( D ) A ．44°B ．66°C ．88°D ．92°12．(2016·贺州)如图，在△ABC 中，分别以AC 、BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连接AE 、BD 交于点O ，则∠AOB 的度数为__120°__.13．(2016·某某)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△ABO ≌△ADO ，①②③．14．(2016·威海改编)如图，在△ABC 和△BCD 中，∠BA C ＝∠BCD＝90°，AB ＝AC ，CB ，使AE ＝AC ；延长CB 至点F ，，AF ，DF ，EF.延长DB 交EF 于点N. (1)求证：AD ＝AF ；(2)求证：BD ＝EF.证明：(1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°.∴∠ABF ＝135°. ∵∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ACB＋∠BCD＝135°. ∴∠ABF ＝∠ACD.∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD. 在△ABF 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠ABF ＝∠ACD，BF ＝CD ，∴△ABF ≌△ACD(SAS)． ∴AD ＝AF.(2)由(1)知，AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ， ∴∠FAB ＝∠DAC.∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC＝90°. ∵∠EAB －∠FAB＝∠BAC－∠DAC， 即∠EAF＝∠BAD.∵AB ＝AC ，AE ＝AC.∴AE＝AB.在△AEF 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AB ，∠EAF ＝∠BAD，AF ＝AD ，∴△AEF ≌△ABD(SAS)． ∴BD ＝EF.15．(2016·某某)感知：如图1，AD 平分∠BAC，∠B ＋∠C＝180°，∠B ＝90°，易知：DB ＝DC. (1)探究：如图2，AD 平分∠BAC，∠ABD ＋∠ACD＝180°，∠ABD ＜90°，求证：DB ＝DC ；(2)应用：如图3，四边形ABDC 中，∠B ＝45°，∠C ＝135°，DB ＝DC ＝a ，则AB －AC ＝2a(用含a 的代数式表示)．解：证明：过点D 作DE⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ， ∵DA 平分∠BAC，D E⊥AB，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF.∵∠B ＋∠ACD＝180°，∠ACD ＋∠FCD＝180°， ∴∠B ＝∠FCD. 在△DFC 和△DEB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠F＝∠DEB，∠FCD ＝∠B，DF ＝DE ， ∴△DFC ≌△DEB. ∴DC ＝DB.16．(2016·某某)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A 步行到达B 处的过程中，通过隔离带的空隙O ，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，如图，AB ∥OH ∥CD ，相邻两平行线间的距离相等．AC ，BD 相交于O ，OD ⊥CD ，垂足为D.已知AB ＝20米．请根据上述信息求标语CD 的长度．解：∵AB∥CD，∴∠ABO ＝∠CDO. 又∵OD⊥CD，∴∠CDO ＝90°. ∴∠ABO ＝90°，即OB⊥AB.∵相邻两平行线间的距离相等，∴OB ＝OD. 在△ABO 和△CDO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO＝∠CDO，OB ＝OD ，∠AOB ＝∠COD，∴△ABO ≌△CDO. ∴CD ＝AB ＝20米．提示：也可利用“AAS ”证△ABO≌△CDO，其他过程相同．。

第2课时能力提升1．(2016·滨州)如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( D )A．50° B．51°°°2．(2016·某某)如图，在△ABC中，∠AB C＝90°，AB＝8，BC＝6, 若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角平分线于点F，则线段DF的长为( B )A．7 B．8 C．9 D．103．(2016·马某某和县一模)如图，等边三角形ABC边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是( D )A．PD＝DQ B．DE＝12AC C．AE＝12CQ D．PQ⊥AB提示：过点P作PF∥BC，则△APF为等边三角形，△PDF≌△QDC.4．(2016·某某)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4，S5，S6.其中S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝( C )A．86 B．64 C．54 D．48提示：S3＝S2－S1，S4＝S5＋S6，∴S3＋S4＝S2－S1＋S5＋S6＝54.5．(2016·某某)如图所示，底边BC为23，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于点D，则△ACE的周长为( A )A．2＋23B．2＋ 3 C．4 D．3 36．(2016·某某)如图，∠AOB ＝120°，OP 平分∠AOB，，N 分别在OA ，OB 上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．3个以上7．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 2 017的值为( C ) A ．(22)2 014 B ．(22)2 015 C ．(12)2 014 D ．(12)2 015提示：S n ＝(12)n －3.8．(2016·某某)如图，矩形ABCD 中，对角线AC ＝23，E 为BC 边上一点，BC ＝3BE ，将矩形ABCD 沿AE 所在的直线折叠，B 点恰好落在对角线AC 上的B′处，则AB ＝3．提示：设BE ＝x ，则CE ＝2x ，根据折叠的性质得B ′E ＝x ，∠AB ′E ＝90°，则∠ACB＝30°.∴AB ＝12AC ＝ 3.9．如图，在等边△ABC 中，AD 是高，点G 是AD 的中点，过点G 作EF∥AC，交AB 于点F ，交BC 于点E ，下列说法正确的有①③④．(将你认为正确的序号填在横线上) ①∠AGF ＝30°；②AD＝EF ；③EG＝2FG ；④S △GDE ＝2S △AFG .提示：先根据等边三角形的性质得出∠DAC＝30°，再由平行线的性质可得出∠AGF 的度数；设AC ＝a ，由直角三角形的性质求出AD 的长，再由EF∥AC，G 是AD 的中点可求出EF 的长，故可得出②错误；根据三角形中位线定理求出EG 的长，进而可得出FG 的长，得出③正确；过F 作FH∥BC 交AD 于点H ，根据相似三角形的性质可得出FH ＝12DE ，由三角形的面积公式可知④正确．10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，其三边的长之比为3∶4∶5，按图中的方法将它对折，使折痕(图中虚线)过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，若不重叠的部分△ADE 的面积是6 cm 2，则△ABC 的面积是24或54cm 2.提示：设△ABC 的三边分别是3x ，4x ，5x ，然后分BC ＝3x ，AC ＝4x ，AB ＝5x 和BC ＝4x ，AC ＝3x ，AB ＝5x 两种情况进行讨论．11．(2016·某某)在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC 于点D ，设BD ＝ x ，用含x 的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x →利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形面积解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，设BD ＝x ，则CD ＝14－x.由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x)2，∴152－x 2＝132－(14－x)2，解得x ＝9.∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC·AD＝12×14×12＝84.12．(2016·某某考试纲要)如图，D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AB 上的点，△ABD 与△ACD 的周长相等，△CAE 与△CBE 的周长相等，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c. (1)求AE 和BD 的长；(2)若∠BAC＝90°，△ABC 的面积为S.求证：S ＝AE·BD.解：(1)∵△ABD 和△ACD 的周长相等， ∴AB ＋BD ＝AC ＋CD ，即c ＋BD ＝b ＋a －BD.∴BD＝a ＋b －c 2.∵△CAE 和△CBE 的周长相等，∴AE ＋AC ＝BE ＋BC ，即AE ＋b ＝c －AE ＋a. ∴AE ＝c ＋a －b 2.(2)证明：∵∠BAC＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，S ＝12bc.由(1)得，AE ·BD ＝c ＋a －b 2·a ＋b －c2＝a 2－c 2＋2bc －b 24＝12bc.∴S ＝AE·BD.13．(2016·某某二模)如图1，在等腰Rt △ABC 与等腰Rt △ADE 中，∠ACB ＝90°，∠DEA ＝90°，BD 的中点是点M ，CE 的中点是点N ，连接MN ，ME ，MC. (1)当点E 在AB 边上．①若点E 为AB 的中点，请在画图区(图2)画出满足题意的示意图，则图中等腰直角三角形共7个； ②若点E 不是AB 的中点(AE ＜BE)，求证：△EMC 是等腰直角三角形； (2)当点D 在AB 边上(图3)，且AC ＝12，AE ＝5，求MN 的长．解：(1)②证明：∵在Rt △BCD 和Rt △BED 中，点M 是斜边BD 的中点， ∴EM ＝CM.∵EM＝12BD ＝BM ，∴∠MBE ＝∠MEB，同理∠MCB＝∠MBC. ∴∠EMD ＝∠MBE＋∠MEB＝2∠MBE， ∠CMD ＝∠MBC＋∠MCB＝2∠MBC. ∵∠MBE ＋∠MBC＝45°.∴∠CME ＝∠EMD＋∠CMD＝2(∠MBE＋∠MBC)＝90°. ∴△EMC 是等腰直角三角形． (2)∵∠EAC＝90°，AE ＝5，AC ＝12， ∴EC ＝13.延长ED 交BC 于点F ，连接FM ，则∠EFB＝90°，EF ＝AC ＝BC. ∵点M 是BD 的中点，且∠B＝45°，∴FM ⊥AB. ∴M F ＝MB ，∠EFM ＝∠B.∴△CMB≌△EMF. ∴ME ＝MC ，∠FME ＝∠BMC.∴∠FME －∠CMF＝∠BMC－∠FMC，即∠CME＝∠BMF＝90°. ∴MN ＝12CE ＝6.5.14．(2016·某某)如图，AB ＝6，O 是AB 的中点，直线l 经过点O ，∠1＝120°，P 是直线l 上一点．当△APB 为直角三角形时，AP ＝3或33或37．。