初中数学优秀课例《二次函数与一元二次方程关系》教学设计实录
一、课堂实录（简）
问题1：二次函数的一般形式是什么？举例说明。
答：y=ax2+bx+c(a≠0)
教师：每确定一组a、b、c的合适值，都有一个对应的二次函数解析式，如：y=4x2-3x+2。
问题2：作函数图像的步骤有哪些？
答：（1）列表；（2）描点；（3）连线。
实践1：在同一坐标系中作出下列函数的图像。
y1=x2+2x y2=x2-2x+1 y3=x2-2x+2
学生通过列表、描点、连线作出函数的图像
问题3：根据图像说出上述抛物线的性质。
答：学生从开口方向、对称轴、顶点、增减性方面进行总结。（以上已用时间18分钟）
问题4：观察图像与x轴、y轴交点个数，若有交点，说出交点的坐标。
答：y1=x2+2x与x轴有两个交点：（0，0），（-2，0）；与y轴交于（0，0）；
y2=x2-2x+1与x轴有一个交点：（1，0）；与y 轴交于（0，1）；
y3=x2-2x+2与x轴有无交点；与y轴交于（0，2）。（已用时间23分钟）
讨论、探究：观察分析上述二次函数图像与x 轴交点坐标与对应的一元二次方程解的关系，如下：（1）Y1=x2+2x x2+2x=0
（2）y2=x2-2x+1 x2-2x+1=0
（3）y3=x2-2x+2 x2-2x+2=0
学生分组讨论。（讨论较积极，课堂争论声较大，课堂好像“失控”了）
总结：小组代表汇报本小组讨论结果
（1）方程的解0、2即为交点的横坐标；
（2）方程只有两个相等的解1，也是交点的横坐标；
（3）方程无解，抛物线与x轴无交点。（已用时间28分钟）
猜想：二次函数图像与x轴交点坐标与对应的一元二次方程的解有何关系？
学生继续讨论（课堂好像再次失控）。
总结：小组代表汇报本小组猜想结果
1、二次函数图像与x轴交点坐标横坐标与对应的一元二次方程的解
2、方程解的个数等于抛物线与x轴交点的个数：
（1）若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的解，则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 与x 轴有两个交点；
（2）若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的解，则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 与x 轴只有一个交点；
（3）若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数解，则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 与x 轴无交点；
（教师帮助总结，引导学生规范用语）（已用时间43分钟）
验证：（教师出示小黑板）
1、已知二次函数y=ax2-2图像经过（1，-1），求它与x轴交点坐标。
学生解题（已用时间45分钟，下课）
2、已知二次函数y=kx2-7x-7的图像与x轴有两个交点，求k的取值范围。
3、判断下列函数的图像与x轴是否有交点，
说明理由。
(1) y=x2-x；（2）y=-x2+6x-9 ；（3）y=3x2+6x+11；
小结：（没有进行）
作业：验证（2、3）
一、课堂实录（简）
问题1：二次函数的一般形式是什么？举例说明。
答：y=ax2+bx+c(a≠0)
教师：每确定一组a、b、c的合适值，都有一个对应的二次函数解析式，如：y=4x2-3x+2。
问题2：作函数图像的步骤有哪些？
答：（1）列表；（2）描点；（3）连线。
实践1：在同一坐标系中作出下列函数的图像。
y1=x2+2x y2=x2-2x+1 y3=x2-2x+2
学生通过列表、描点、连线作出函数的图像
问题3：根据图像说出上述抛物线的性质。
答：学生从开口方向、对称轴、顶点、增减性方面进行总结。（以上已用时间18分钟）
问题4：观察图像与x轴、y轴交点个数，若有
交点，说出交点的坐标。
答：y1=x2+2x与x轴有两个交点：（0，0），（-2，0）；与y轴交于（0，0）；
y2=x2-2x+1与x轴有一个交点：（1，0）；与y 轴交于（0，1）；
y3=x2-2x+2与x轴有无交点；与y轴交于（0，2）。（已用时间23分钟）
讨论、探究：观察分析上述二次函数图像与x 轴交点坐标与对应的一元二次方程解的关系，如下：（1）Y1=x2+2x x2+2x=0
（2）y2=x2-2x+1 x2-2x+1=0
（3）y3=x2-2x+2 x2-2x+2=0
学生分组讨论。（讨论较积极，课堂争论声较大，课堂好像“失控”了）
总结：小组代表汇报本小组讨论结果
（1）方程的解0、2即为交点的横坐标；
（2）方程只有两个相等的解1，也是交点的横坐标；
（3）方程无解，抛物线与x轴无交点。（已用时间28分钟）
猜想：二次函数图像与x轴交点坐标与对应的
一元二次方程的解有何关系？
学生继续讨论（课堂好像再次失控）。
总结：小组代表汇报本小组猜想结果
1、二次函数图像与x轴交点坐标横坐标与对应的一元二次方程的解
2、方程解的个数等于抛物线与x轴交点的个数：
（1）若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的解，则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 与x 轴有两个交点；
（2）若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的解，则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 与x 轴只有一个交点；
（3）若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数解，则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 与x 轴无交点；
（教师帮助总结，引导学生规范用语）（已用时间43分钟）
验证：（教师出示小黑板）
1、已知二次函数y=ax2-2图像经过（1，-1），求它与x轴交点坐标。
学生解题（已用时间45分钟，下课）
