2020年中考数学总复习圆压轴题专题练习
1．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）
（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵AO＝DO，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥OD，
∵∠ACD＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC与⊙O相切；
（2）解：连接OE，ED，
∵∠BAC＝60°，OE＝OA，
∴△OAE为等边三角形，
∴∠AOE＝60°，
∴∠ADE＝30°，
又∵∠OAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADE＝∠OAD，
∴ED∥AO，
∴四边形OAED是菱形，
∴OE⊥AD，且AM＝DM，EM＝OM，
∴S△AED＝S△AOD，
∴阴影部分的面积＝S扇形ODE＝＝π．
2．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点E在⊙O外，连接CE，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）若∠BCE＝∠BAC，求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BC＝3，求弦AC的长．
（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠BAC＝∠BCE，
∴∠ACO＝∠BCE，
∴∠BCE+∠BCO＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴AD＝BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AB＝AD＝4，
∵BC＝3，
∴AC＝＝＝．
3．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED ⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．
（1）证明：连接OE．
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
又∵∠DAE＝∠OAE，
∴∠OEA＝∠DAE，
∴OE∥AD，
∴∠ADC＝∠OEC，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
故∠OEC＝90°．
∴OE⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝45°，
∴△OCE是等腰直角三角形，
∴CE＝OE＝2，∠COE＝45°，
∴阴影部分面积＝S△OCE﹣S扇形OBE＝2×2﹣＝2﹣．
4．如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC垂足为D，弧AE＝弧AB，BE分别交AD、AC于点F、G．
（1）判断△FAG的形状，并说明理由；
（2）如图②若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直径BC．解：（1）△FAG等腰三角形；
理由：∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AGB＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵弧AE＝弧AB，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠AGB，
∴FA＝FG，
∴△FAG是等腰三角形；
（2）成立；
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°
∴∠ABE+∠AGB＝90°
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵弧AE＝弧AB，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠AGB，
∴FA＝FG，
∴△FAG是等腰三角形；
（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，
且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°，
∴∠BAD＝∠ABG，
∴AF＝BF，
又∵AF＝FG，
∴F为BG的中点
∵△BAG为直角三角形，
∴AF＝BF＝BG＝13，
∵DF＝5，
∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，
∴在Rt△BDF中，BD＝＝12，
∴在Rt△BDA中，AB＝＝4，
∵∠ABC＝∠DBA，∠BAC＝∠ADB＝90°
∴△ABC∽△DBA，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝，
∴⊙O的直径BC＝．
5．如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，点P、Q分别是AB、BC边
上的动点．
（1）连接AQ、PQ，以PQ为直径的⊙O交AQ于点E．
①若点E恰好是AQ的中点，则∠QPB与∠AQP的数量关系是∠QPB＝2∠AQP；
②若BE＝BQ＝3，求BP的长；
（2）已知AP＝3，BQ＝1，⊙O是以PQ为弦的圆．
①若圆心O恰好在CB边的延长线上，求⊙O的半径；
②若⊙O与矩形ABCD的一边相切，求⊙O的半径．
解：（1）①∵点E恰好是AQ的中点，∠ABQ＝90°，
∴BE＝AE＝EQ，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴∠QEB＝2∠EBP，
∵以PQ为直径的⊙O交AQ于点E，
∴∠QPB＝∠QEB，∠PBE＝∠PQA，
∴∠QPB＝2∠AQP，
故答案为：∠QPB＝2∠AQP；
②∵BE＝BQ，
∴∠BEQ＝∠BQE，且∠BPQ＝∠BEQ，
