高考导数题型大全及答案

第三讲导数的应用

研热点（聚焦突破）

类型一利用导数研究切线问题

导数的几何意义

(1)函数y＝f(x)在x＝x

0处的导数f′(x

)就是曲线y＝f(x)在点(x

，f(x

))处的切线的斜率，即k＝f′(x

)；

(2)曲线y＝f(x)在点(x

0，f(x

))处的切线方程为y－f(x

)＝f′(x

)(x－x

)．

[例1](2012年高考卷改编)设函数f(x)＝a e x＋

1

a e x＋b(a>0)．在点(2，f(2))处的切线方程为y

＝3

2x，求a，b的值．[解析]∵f′(x)＝a e

x－

1

a e x，

∴f′(2)＝a e2－

1

a e2＝

3

2，解得a e

2＝2或a e2＝－

1

2(舍去)，

所以a＝

2

e2，代入原函数可得2＋

1

2＋b＝3，即b＝

1

2，故

a＝

2

e2

，b＝

1

2

.

跟踪训练

已知函数f(x)＝x3－x.

(1)求曲线y＝f(x)的过点(1，0)的切线方程；

(2)若过x轴上的点(a，0)可以作曲线y＝f(x)的三条切线，求a的取值围．

解析：(1)由题意得f′(x)＝3x2－1.曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t)，

即y＝(3t2－1)·x－2t3，将点(1，0)代入切线方程得2t3－3t2＋1＝0，解得t＝1或－1

2

，代入y

＝(3t2－1)x－2t3得曲线y＝f(x)的过点(1，0)的切线方程为y＝2x－2或y＝－1

4

x＋

1

4

.

(2)由(1)知若过点(a，0)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则方程2t3－3at2＋a＝0有三个相异的实

根，记g(t)＝2t3－3at2＋a.

则g′(t)＝6t2－6at＝6t(t－a)．

当a>0时，函数g(t)的极大值是g(0)＝a，极小值是g(a)＝－a3＋a，要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根，需使a>0且－a3＋a<0，即a>0且a2－1>0，即a>1；

当a＝0时，函数g(t)单调递增，方程g(t)＝0不可能有三个相异的实数根；

当a<0时，函数g(t)的极大值是g(a)＝－a3＋a，极小值是g(0)＝a，要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根，需使a<0且－a3＋a>0，即a<0且a2－1>0，即a<－1.

综上所述，a的取值围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

类型二利用导数研究函数的单调性

函数的单调性与导数的关系

在区间(a，b)，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．

[例2](2012年高考卷改编)已知函数f(x)＝ln

x

x k

e

(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底

数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求k的值；

(2)求f(x)的单调区间．

[解析](1)由f(x)＝ln x＋k

e x，

得f′(x)＝1－kx－x ln x

x e x，x∈(0，＋∞)．

由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，

所以f′(1)＝0，因此k＝1.

(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)．

令h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)，

当x∈(0，1)时，h(x)>0；

当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.

又e x>0，所以当x∈(0，1)时，f′(x)>0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.

因此f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．

跟踪训练

若函数f(x)＝ln x－1

2ax

2－2x存在单调递减区间，数a的取值围．

解析：由题知f′(x)＝1

x－ax－2＝－

ax2＋2x－1

x，因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)＝

－ax2＋2x－1

x≤0有解．又因为函数的定义域为(0，＋∞)，则应有ax

2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上

有实数解．

(1)当a>0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线，所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上恒有解；

(2)当a<0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线，要使ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上有实数

解，则Δ＝44a

+>0，此时－1

(3)当a＝0时，显然符合题意．

综上所述，实数a的取值围是(－1，＋∞)．

类型三利用导数研究函数的极值与最值

1．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤

(1)求导数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的根x

；

(3)检查f′(x)在x＝x

左右的符号；

①左正右负⇔f(x)在x＝x

处取极大值；

②左负右正⇔f(x)在x＝x

处取极小值．

2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤

(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)的极值(极大值或极小值)；

(2)将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．[例3](2012年高考卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.

(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；

(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．[解析](1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，

因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，

所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．

即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.

解得a＝3，b＝3.

(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝1

4a

2时，

h(x)＝x3＋ax2＋1

4a

2x＋1，

h′(x)＝3x2＋2ax＋1

4a 2.

令h′(x)＝0，得x1＝－a

2，x2＝－

a

6.

a>0时，h(x)与h′(x)的变化情况如下：

所以函数h(x)的单调递增区间为(－∞，－a

2)和(－

a

6，＋∞)；单调递减区间为(－

a

2，－

a

6)．