2.1.1.2 指数幂及运算

幂的运算1、什么是幂幂指乘方运算的结果.m n 指将n 自乘m 次.把m n 看作乘方的结果,叫做n 的m 次幂。

其中,n 称为底,m 称为指数（写成上标）。

由幂的定义可以看出幂是乘方运算的结果而不是运算的过程。

m n 的亦可视为1×n ×n ×n...×n（注共m 个n 相乘）即起始值1（乘法的单位元）乘底数的指数次幂。

这样定义了后,很易想到如何一般指数为0和负数的情况︰除了0之外所有数的零次方都是1,即n 0=1（n ≠0）；指数为负数的幂定义为mn - = m n 1； 分数为指数的幂定义为n m a = n m a 。

2、幂的运算2.1、幂的运算公式同底数幂的乘法m a ×n a =)(n m a +幂的乘方：n m a )(=mn a同指数幂的乘法：m b a )(⨯=m a ×m b同底数幂相除：m a ÷n a =)(n m a - (a ≠0)这些公式也可以这样用：)(n m a += m a ×n amn a =n m a )(m a ×m b =m b a )(⨯)(n m a -= m a ÷n a (a ≠0)2.2幂的运算公式的运用运用幂的运算公式前应先知道这些公式是怎么得来的，观察幂的运算公式有什么特点，这样才能更好的运用公式。

幂的运算公式都是由幂的定义推导而来，是为了方便特殊情况幂的运算。

2.2.1幂的运算公式推导2.2.1.1同底数幂的乘法m a ×n a =)(n m a +因为：m a 由幂的定义为a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）；n a 由幂的定义为a ×a ×a ×...a(n 个a 相乘）；m a ×n a 由幂的定义为｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）｝×｛a ×a ×a ×...a(n 个a 相乘）}为m+n 个a 相乘即)(n m a +；所以：m a ×n a =)(n m a +2.2.1.2幂的乘方：n m a )(=mn a 因为：n m a )(由幂的定义为m a ×m a ×m a ...×m a (n 个m a 相乘）其中ma 由幂的定义为a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）即n m a )(由幂的定义也可以为｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}×｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}×｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}×...｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}(注：共n 个｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}）所以：n m a )(=mn a2.2.1.3同指数幂的乘法：m b a )(⨯=m a ×m b 因为：m b a )(⨯由幂的定义为(a ×b)×(a ×b)×(a ×b)×...×(a ×b)(共m 个a ×b 相乘）=a ×b ×a ×b ×a ×b ×...×a ×b(共m 个a ×b 相乘）=a ×a ×a ×...a(共m 各a 相乘）×b ×b ×b ×...b(共m 各a 相乘)所以：m b a )(⨯=m a ×m b2.2.1.4同底数幂相除：m a ÷n a =)(n m a - (a ≠0)因为：当a=0时n a 意义；当a ≠0时，m a ÷n a 由幂的定义为｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}÷｛a ×a ×a ×...a(n 个a 相乘）}所以：m a ÷n a =)(n m a - (a ≠0)2.2.2幂的运算公式运用选择运用幂的公式前我们应当清楚幂的公式的特点即使用的条件。

幂指数知识点总结一、基本概念1.1 幂指数的定义在初等代数中，幂指数是一种通过重复乘法得到的新的数值或变量。

即将底数（base）乘以自己若干次，其实质是一个重复的乘法运算。

通常用a^n来表示，其中a为底数，n为指数，n表示底数重复相乘的次数。

例如，3^4=3×3×3×3=81。

1.2 幂指数的特殊情况当指数为正整数时，说明底数重复相乘多少次；当指数为0时，任何非零数的0次幂都为1。

这是一个约定俗成的规定，也是为了保证指数幂运算的一致性；当指数为负整数时，a^-n等于1/a^n，也是为了保持指数幂法则的一致性。

1.3 幂指数的运算幂指数的运算基本包括幂的加、减、乘、除、乘方、开方等，这些运算法则是在基本的指数定义上衍生出的。

在进行运算时，需要遵守相应的运算法则和运算优先级，如先乘方后乘法等规则。

1.4 幂指数的乘方公式幂指数的乘方公式是指，当两个指数之间有相同时，可以将它们合并为一个较大的指数，例如a^m * a^n = a^(m+n)；a^m / a^n = a^(m-n)；(a^m)^n = a^(mn)等，这些公式在幂指数运算中非常常见。

二、运算性质2.1 幂指数的加减法当幂指数进行加减运算时，要求两个幂的底数相同，只有指数可以相加或相减，例如a^m * a^n = a^(m+n)，a^m / a^n = a^(m-n)。

2.2 幂指数的乘法幂指数的乘法运算可以简单地理解为将两个指数相加，底数不变，指数相加得到新的指数。

例如a^m * a^n = a^(m+n)。

2.3 幂指数的除法幂指数的除法运算可以简单地理解为将两个指数相减，底数不变，指数相减得到新的指数。

例如a^m / a^n = a^(m-n)。

2.4 幂指数的乘方幂指数的乘方运算是将同一底数的指数相乘，底数不变，指数相乘得到新的指数。

例如（a^m）^n = a^(mn)。

2.5 幂指数的开方幂指数的开方运算是将幂指数化简为较小的指数形式，即a^(1/n)的n次方根。

【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第二章 基本初等函数（I ）2.1.1.2 指数幂及运算课时作业 新人教版必修11.已知a m＝4，a n＝3，则a m －2n的值为( )A.23B.6C.32D.2解析am －2n＝a m （a n ）2＝49＝23. 答案 A2.如果x ＝1＋2b，y ＝1＋2－b，那么用x 表示y 等于( ) A.x ＋1x －1B.x ＋1xC.x －1x ＋1D.xx －1解析 由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，y ＝1＋2－b＝1＋12b ＝1＋1x －1＝x x －1.答案 D3.化简(36a 9)4(63a 9)4的结果为( )A.a 16B.a 8C.a 4D.a 2解析 (36a 9)4(63a 9)4＝⎝⎛⎭⎪⎫3a 964⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 934＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 124⎝ ⎛⎭⎪⎫a 124＝a 4. 答案 C4.（3×223×512）（－4×212×513）－3×216×556＝________. 解析 原式＝223＋2＋12－16×512＋13－56＝23＝8. 答案 85.下列根式、分数指数幂的互化中，正确命题的序号是______. ①－x ＝(－x )12 (x ≠0)；②x －13＝－3x ；③⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3(x ，y ≠0)；④⎝ ⎛⎭⎪⎫4b －32－23＝b 19. 解析 ①不正确，∵－x ＝－x 12；②不正确，∵x －13＝13x；③正确，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x43＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3； ④不正确，∵b ≠0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫4b －23－23＝b 19.答案 ③6.计算下列各式的值或化简：(1)(0.027)13－⎝ ⎛⎭⎪⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0；(2)化简：44x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－34x ·13y ÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫－63y 2x . 解 (1)原式＝[(0.3)3]13－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫52212＋(44) 34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23223－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝96715.(2)原式＝4×（－3）－6x 14＋14－(－12)y －13－23＝2x ·y －1＝2xy .7.化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0).解 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy 2（xy －1）1213·(xy )12·(xy )－1＝x 13·y 23|x |16|y |-16·|x |-12·|y |-12＝x 13·|x |-13＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0.8.化简：a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a . 解 原式＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13·a 13＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23·a 13a 13－2b 13·a 13 ＝a （a －8b ）⎝ ⎛⎭⎪⎫a 133－⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 133＝a （a －8b ）a －8b＝a .能 力 提 升9.(2016·宜春高一检测)计算2－12＋（－4）02＋12－1－（1－5）0，结果是( )A.1B.2 2C. 2D.2－12解析 原式＝12＋12＋2＋1（2＋1）（2－1）－1 ＝22＋22＋2＋1－1＝2 2. 答案 B10.(2016·长沙长郡中学模块检测)化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( ) A.1B.－1C.a 2－1a 2＋1D.a 2＋1a 2－1解析 (a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)＝（a －a －1）2（a ＋a －1）（a －a －1）＝a －a －1a ＋a －1＝a （a －a －1）a （a ＋a －1）＝a 2－1a 2＋1. 答案 C11.设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 解析 利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝2-15.答案 1421512.(2016·湖北襄阳五中月考)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2＝________.解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫827－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝12. 答案 1213.(2016·天津高一检测)已知a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，求a b －a －b的值. 解 由a b ＋a －b ＝22，得(a b ＋a －b )2＝8. 所以a 2b＋a－2b＋2＝8，即a 2b ＋a－2b＝6.同理(a b －a －b )2＝a 2b＋a－2b－2＝6－2＝4又a >1，b <0知a b－a －b<0. 故a b －a －b＝－2.探 究 创 新14.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值. 解 因为a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4，因为a >b >0，所以a >b >0.所以a －ba ＋b>0. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15， 所以a －ba ＋b＝15＝55.。

2.1.1.2 指数与指数幂的运算班级姓名小组________第____号【学习目标】1.通过习题掌握分数指数幂的运算，熟练进行分数指数幂和根式的互化。

2.通过探究和思考，培养学生推广的数学思想。

3.加深对n次方根的理解，加强学生自主探究的能力。

【重点难点】重点：分数指数幂和根式的互化。

难点：指数幂的运算应用。

【学情分析】在中学阶段已经接触过正数指数幂的运算，但是这对我们指数函数是远远不够的，通过本节课使学生对指数幂的运算和理解更加深入。

【导学流程】自主学习内容一.回顾旧知：通过回忆昨天学的知识，填写下列问题。

1．根式(1)根式的定义:如果x n＝a(n>1且n∈N*)，那么x叫作．式子叫作根式．这里n叫作，a叫作．①当n 为正奇数时，正数的n 次方根是 ，负数的n 次方根是 ．②当 时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数， 没有偶次方根．③0的任何次方根都是0，记作 . 2．分数指数幂(1)正数的正分数指数幂的意义na m 是a m的n 次方根，即n a m＝_____(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．(2)正数的负分数指数幂和零的分数指数幂． ①n-a m ＝ (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；②0的正分数指数幂等于 ； ③0的负分数指数幂 ． 二、根式的性质1. (n a )n＝ (n ∈N *，且n ＞1)2.当n 为奇数时，n a n＝ ；当n 为偶数时，n a n＝ ．二、基础知识感知通过阅读课本P51，回答有理数指数幂的运算性质。

1．a r a s＝ (a ＞0，r ，s ∈Q )； 2．(a r )s ＝ (a ＞0，r ，s ∈Q )； 3．(ab )r ＝ (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 三．探究问题 【例1】求值（1）328（2）21-25（3）5-21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （4）43-8116⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛【例2】根式与分数指数幂的互化(a>0)（1）3a （2）2a （3【例3】有理数幂的运算（1）()101142311810.0640.01816-⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()()23142412aba b ab c -----•-÷【例4】含附加条件的幂的求值问题 已知x+y=12,xy=9,且x<y,求11221122x y x y-+的值小组讨论问题预设(a >0，b >0)； (2)错误!(x ≠0)．提问展示问题预设1.若a>0,化为指数式是 .2.若b>0,则23-⎝⎭化为指数式是 .课堂训练问题预设 1.计算下列各式(3)411511336624463a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.已知11223a a -+=，则①1a a -+= .②22a a -+= .整理内化1.课堂小结2.本节课学习过程中的问题和疑难【课后限时练】限时50分钟第Ⅰ部分 本节知识总结第Ⅱ部分 基础知识达标一、选择题(每题4分，共36分) 1.计算()1335-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的结果是（ ）A.5-B.5C.52-D.522．已知a m ＝4，a n ＝3，则 a m －2n 的值为( ) A.23 B ．6 C.32 D ．2 3．设a >0，将232a a a•表示成分数指数幂，其结果是( )A.12a B.56a C ．76a D ．32a4．若a >0，且m ，n 为整数，则下列各式中正确的是( ) A.mnmna a a•= B.m mnna a a ÷= C.()nm m n aa += D.1n n a a -÷=5．化简44366399a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果为( ) A.16a B.8a C ．4a D ．2a 6．化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( )A ．1B ．－1 C.a 2－1a 2＋1 D.a 2＋1a 2－17．化简[3－52] 34 的结果是( )A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．－58．将 3－22化为分数指数幂，其形式是( )A ．2 12B ．－2 12C ．2－ 12D ．－2－ 12 9．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1120－(1－0.5－2)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫278 23 ＝( ) A ．－13 B.13 C.43 D.73 二、填空题(每题4分，共16分)10.若a>0,计算154a= .11.614－3338＋30.125的值为 ．12.⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2＝ ．13.设a ，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝ ，(2α)β＝ . 三．解答题（共48分） 14.(每题5分)计算下列各式(1) 323649⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)(3) 111824a a a -； (4) 1123331222x x x --⎛⎫- ⎪⎝⎭.15．(每题5分)化简求值：(1) 48373-271021.0972032-2-21+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π(2)()()()01-21-32-3-22-510-002.0833-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛16．(9分)已知11223x x -+=，求123x x -++的值17. (9分)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求a－ba＋b的值．第Ⅲ部分答疑解惑本节课学习过程中的问题和疑难。

高中数学公式大全指数与对数的幂运算与对数运算公式数学是一门具有广泛应用的学科，不论是在学术研究还是实际生活中，数学公式都扮演着重要的角色。

在高中数学中，指数与对数是两个重要的概念，它们的公式在解题过程中经常被用到。

本文将为您提供高中数学公式大全，重点介绍指数与对数的幂运算与对数运算公式。

1. 指数与幂运算公式指数与幂运算是指数函数的基本运算法则，它包括以下几个公式：1.1 指数幂运算法则（1）指数相同，底数相乘：a^m × a^n = a^(m+n)。

例子：2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。

（2）幂相同，底数相乘：a^m × b^m = (a × b)^m。

例子：2^3 × 3^3 = (2 × 3)^3 = 6^3。

（3）指数的乘方：(a^m)^n = a^(m×n)。

例子：(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12。

（4）幂的乘方：(a × b)^m = a^m × b^m。

例子：(2 × 3)^4 = 2^4 × 3^4 = 16 × 81。

1.2 指数的乘法法则（1）指数相加：a^m × a^n = a^(m+n)。

例子：2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。

（2）底数相乘：(a × b)^m = a^m × b^m。

例子：(2 × 3)^4 = 2^4 × 3^4 = 16 × 81。

2. 对数运算公式对数是指数的逆运算，它有以下几个重要的运算公式：2.1 对数幂运算法则（1）底数相同，幂相加：loga(x × y) = loga(x) + loga(y)。

例子：log2(4 × 8) = log2(4) + log2(8)。

（2）幂的乘方：loga(x^m) = m × loga(x)。

§2.1.2指数函数及其性质一．教学目标：理解指数函数的概念和意义，在此基础上理解和掌握指数函数的图象和性质；会用概念判断一个表达式是不是指数函数，并能运用性质比较两个指数的大小。

二．能力目标：通过探究、思考，培养学生理性思维能力，观察能力以及分析问题的能力，在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合以及类比的数学思想方法。

三．情感态度：通过学生的参与过程，培养学生首脑并用，多思勤练的学习习惯和勇于探索，锲而不舍的治学精神。

四．教学重点、难点：重点：理解指数函数定义，在此基础上理解和掌握指数函数的图象和性质，难点：弄清楚底数a对于指数函数图象和性质的影响五．教学方法启发引导，合作交流。

六．教学基本流程七．教具三角板。

八．教学过程T:前面，我们学习了有关指数与指数幂的运算性质，这节课我们继续来学习有关指数的一类基本初等函数------【板书】§2.1.2指数函数及其性质T:第一章学了集合之后，我们用集合是思想定义和研究了函数，并且知道，研究函数具有一般模式【板书】（定义---图像---性质）。

【补充说明】也就是说先得研究函数的定义，在研究函数的图像，根据图像得到函数的性质。

由图像得出性质是数学里面一个极为重要的数学思想---称为“数形结合”；而函数的性质我们着重研究了：定义域，值域，单调性，奇偶性以及最值问题；以后我们还要介绍函数还具有周期性。

T:指数函数是一个基本初等函数，研究它无外乎也从（定义---图像---性质）这个模式入手。

【设计意图】复习旧知识，引导学生回忆研究函数的一般方法，让学生整体把握本堂课的研究主线。

（1）创设情境，引出定义T:在得到定义之前，请同学们和我一起来看本章节的两个大问题。

问题1：我国GDP 值与时间的对应关系：问题2：碳14含量与时间的对应关系：t>0T:首先来看，这两个表达式能否构成函数？若能，它们具有怎样的共同特征？【设计意图】根据学生已有的知识，回忆函数的概念，明确指数函数是一个函数。