高考数学：命题有纲——六大核心素养

高中数学六大核心素养的详细介绍高中数学这门课，听起来好像有点儿沉重，但其实它可有趣多了，尤其是里面那些核心素养，真是能让你在生活中受益无穷。

咱们今天就来聊聊这六大核心素养，保证让你在听完之后会心一笑，甚至有点儿小兴奋呢！首先得说的就是“数感”，这可是个宝贵的能力啊！你有没有发现，生活中随处可见数字，像是你买东西时看到的价格、网上购物时的折扣，还有你考试时的分数，都是数字在和你对话。

数感就是让你能在这些数字中找到乐趣，搞明白它们背后的意思。

想象一下，买个披萨，上面写着“买一送一”，你是不是能心里一乐，算算自己到底能省多少钱？这种能力不仅让你在数学课上游刃有余，还能在生活中帮你省钱、做决策。

说不定哪天你就成了理财小达人呢！咱们得聊聊“空间观念”。

这个听起来有点高深，其实简单得很。

就是让你能在脑海中构建起物体的形状和空间关系。

想想你玩拼图的时候，那个感觉是不是特别好？把各个零件拼凑在一起，哇，终于形成了一幅美丽的画面。

空间观念不仅在画画时用得上，买家具、装修房子、甚至是在运动中，都需要你有很强的空间感。

这种能力能让你在各类活动中如鱼得水，嘿，打篮球的时候，你能一眼看出投篮角度，那可真是一种超级酷的能力啊！然后就是“逻辑思维”了。

逻辑思维就像你的思维工具箱，帮你解决问题，分析事物。

数学题的解法，很多时候就是一步一步推理的过程。

举个例子，解方程的时候，你得把每一步都理清楚，才能找到答案。

如果没有逻辑思维，你可能就像在迷宫里转圈圈，找不到出口。

培养逻辑思维，可以帮助你在学习上更有效率，甚至在生活中做决策也能更加理智。

比如，和朋友约好去哪儿吃饭，你能很快分析出哪个地方最好、最方便，还能算出大概多少钱，真是一举多得啊！再说“抽象思维”，这听起来是不是有点儿虚？这就是把复杂的问题简化，用简单的概念去理解复杂的事物。

数学中的函数、方程式，都是抽象的东西。

你试着把这些抽象的概念想象成你身边的东西，比如说，函数就像一个机器，把输入的东西变成输出。

核心素养视域下新高考数学试题分析及教学建议摘要：2022年新高考I卷的数学试卷，试题蕴含着丰富的数学核心素养，题题精彩．函数导数试题蕴含直观想象素养，立体几何试题蕴含逻辑推理素养，不等式试题蕴含数学抽象素养，圆锥曲线试题蕴含数学运算素养，概率统计试题蕴含数据分析素养，应用性试题蕴含数学建模素养赏析．整卷试题是数学核心素养浸润的成果，重在检测学生数学核心素养的养成情况．关键词：核心素养视域下；新高考数学试题；分析及教学建议引言《普通高中数学课程标准2017年版2020年修订》提出了数学学科的六大核心素养：数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算和数据分析．新高考试题的命制也从知识立意、能力立意，转变为素养立意.2022年，教育部教育考试院命制的新高考I卷数学试题，其题面亲切、形式简约、思想深刻、内涵丰富．每道试题的背后都有其精彩的故事，细品题中所蕴含的数学知识、思想、方法，可以感受到试题的命制基于数学核心素养，试题是核心素养自然浸润的成果．指向素养立意的新高考数学试题更加注重检测学生的基础知识、思维水平、探究能力、学科素养、创新能力、应用能力等，其解题过程更多的是基于核心素养的探究活动。

1、逻辑推理视域下的立体几何试题试题的命制过程往往是命题者“执果寻因”的逆向逻辑推理过程．如在编制“立体几何与空间向量”的试题时，命题者可先设定一个确定的空间几何体，并根据空间几何体的特征，编制若干可确定该几何体的几何量或者位置关系的条件，让学生根据条件求解空间几何体，然后在确定的空间几何体中探究其他的几何量和位置关系．题2.（2022年新高考数学I卷，T19）如图7，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1=AB平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值．命题者拟以直三棱柱为背景，考查“利用等积转化求空间中的点面距离”的方法．等积法的关键是转换顶点，进行等积转化，由VA-A1BC=VA1-ABC，可得13hAS△A1BC=13hA1S△ABC，又因为hA1S△ABC=VA1B1C1-ABC，所以hAS△A1BC=VA1B1C1-ABC．因此，只需要给定直三棱柱ABC-A1B1C1和△A1BC的面积，即可求解点A到平面A1BC的距离．由此，编制出题干与问题（1）：“直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22，求A到平面A1BC的距离．”一道立体几何试题的命制过程中，命题者是有全局观的．命题者对本道试题所涉及的几何图形、空间位置关系、几何量等是要有整体把握的．题干与问题（1）所给的两个条件是无法确定这个直三棱柱的．要确定一个三角形至少需要三个单一独立的条件，如已知三边、已知两边一夹角等．那么，需要几个条件才能确定这个直三棱柱呢？要确定一个直三棱柱，需要确定直三棱柱的侧棱和底面三角形的形状和大小，因此至少需要四个单一独立的条件．题中给出直三棱柱ABC-A1B1C1的体积和△A1BC的面积，因此需要再给出两个条件，于是命题者给出“AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1”两个条件．这四个条件即可确定直三棱柱，下面进行验证：由条件“AA1=AB”可以快速判断出四边形ABB1A1是正方形，其对角线互相垂直平分；结合条件“平面A1BC⊥平面ABB1A1”，可得点A到平面A1BC的距离等于点A到A1B中点的距离，从而得到正方形ABB1A1对角线的长度，进而确定AA1,AB的长度；由“直三棱柱ABC-A1B1C1的性质，平面A1BC⊥平面ABB1A1”可以证得BC⊥平面ABB1A1，进而得BC⊥AB，BC⊥A1B；再结合“△A1BC的面积为22”求得BC的长度．至此，侧棱及其底面三角形的形状和大小确定，从而确定了直三棱柱．有了确定的空间几何体，即可在几何体中设问其中的各种几何量，如求二面角的大小．由此，编制出问题（2）：“直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22，设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1求二面角A-BD-C的正弦值．”数学是讲道理的，解题靠推理．命题是“执果寻因”的推理过程，解题是“由因导果”的推理过程.无论解题还是命题，其基本工作形式都是逻辑推理，逻辑推理素养的具体表现是如何科学地、符合逻辑地在“因果”之间进行转化，从而实现命题或解题目标．2、数学抽象视域下的不等式试题数学抽象是指在具体问题背景中发现规律，归纳出共同的、本质的问题，建立数学模型加以研究．数学抽象常常从数量关系、数式的结构特征、图形关系等角度进行抽象研究．在命制“比较数值大小”的试题时，命题者常常从已知的不等关系出发，对不等式进行赋值、变形，得到具体数值的大小关系，从而设置试题．学生解题时需具备较强的数感和符号意识，根据数式的特征，对问题进行抽象，再构造函数求解．题3.（2022年新高考数学I卷，T7）设a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，则A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b根据题干所给三个式子的结构特征，通过观察、归纳、抽象，发现a,b,c均是某函数在0.1处的函数值．构造函数f(x)=xex，g(x)=1-xx，h(x)=-ln(1-x)，则a,b,c分别是f(x)，g(x)，h(x)在x=0.1处对应的函数值，即a=f(0.1)，b=g(0.1)，c=h(0.1)．借助画图软件作图，如图8，可以发现g(0.1)>f(0.1)>h(0.1)，即c<a<b．由图象可看出，函数f(x)，g(x)，h(x)在x=0附近的图象是非常接近的，肉眼几乎不可识别．若想借助函数图象解题，可用导数严格地加以证明.除了用图象观察得结论，编制试题．笔者猜测本题是对重要不等式ln x⩽x-1进行恒等变形、赋值而得．曲线y=ln x的图象在其切线y=x-1的下方（切点（1，0）除外），并由此可得不等式ln x⩽x-1，当且仅当x=1时，等号成立．y=ln x与y=x-1在x=1附近的函数值是非常接近的，通过估算是难以比较其大小的．因此，命题者考虑，设置比较两个函数在x=1的附近的函数值的大小，如比较ln0.9与0.9-1=-0.1的大小．由于背景的函数、不等式相对简单，若仅是对这两个数进行比较，则问题相对容易．因此，命题者对上述恒等式进行变形．由“ln x⩽x-1，当且仅当x=1时，等号成立”，得“ln11-x⩽11-x-1=x1-x，当且仅当x=0时，等号成立”，即“-ln(1-x)⩽x1-x，当且仅当x=0时，等号成立”．由“ln x⩽x-1，当且仅当x=1时，等号成立”，得“ln(1-x)⩽-x，当且仅当x=0时，等号成立”，得“e-x⩾1-x当且仅当x=0时，等号成立”，得“当x<1，ex⩽11-x，当且仅当x=0时，等号成立”，得“当0<x<1，xex⩽1-xx，当且仅当x=0时，等号成立”．综上，当0<x<1，xex⩽x1-x，-ln(1-x)⩽x1-x，当且仅当x=0时，等号成立．因此可得，0.1e0.1<19，-ln0.9<19．那么0.1e0.1与-ln0.9的大小关系又如何呢？构造函数φ(x)=xex+ln(1-x)(0<x⩽110)，φ′(x)=(x+1)ex+1x-1，φ″(x)=(x+2)ex-1(x-)2.当0<x⩽110时，(x+2)ex>2，1(x-1)2⩽10081，此时φ″(x)>0，φ′(x)单调递增，故φ′(x)>φ′(0)=0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)=0，因此有0.1e0.1>-ln0.9．综上，可得-ln0.9<0.1e0.1<抽象是数学的重要特性之一19．．抽象的目的在于确定数学的研究对象，抽象的常见方法是观察变化中的不变、不同中的共性、无序中的有序，并把问题符号化、模式化，抽象成数学问题再加以解决．3教学过程中强调把握住基础题得分尤为重要，对于应试考试还需要有一定的考试策略．基本策略是先易后难，会做的一分不扣，保证基础题得分，不会做的题尽量多写，可以对难题的条件和结论进行化简，选择题可以利用排除法、特值法等特殊方法．每次测试都要鼓励引导学生进行应试策略培训，这样可以拿到基本分数．所以在教学中应不断给予学生提出要求和目标引导，让他们把应试考试策略养成习惯。

高中数学六大核心素养包括哪些
数学学科核心素养的培养，要通过学科教学和综合实践活动课程来具体实施。

第一，数学学科教学活动是数学学科素养培养的主要途径。

数学核心素养的六个方面在小学、初中、高中、本专科、研究生教育等五个阶段的内涵、学科价值和教育价值、表现等方面的要求各不相同，要仔细推敲，准确把握，切实贯穿到学科教学活动中去。

第二，研究性学习综合实践活动课程是数学学科素养培养的重要途径。

由于研究性学习属于综合课程，所以必然包含数学学科的相关知识内容，又由于其实践活动课程的特点，对数学建模、数学抽象、数学推理等方面都有较高的要求。

第三，青少年科技创新活动是数学学科素养培养的很好途径。

全国青少年科技创新大赛是一项具有20多年历史的全国性青少年科技创新成果和科学探究项目的综合性科技竞赛，是面向在校
中小学生开展的具有示范性和导向性的科技教育活动之一，是目前我国中小学各类科技活动优秀成果集中展示的一种形式。

㊀㊀㊀高考命题有依据㊀复习备考有目标◉江苏省南京市大厂高级中学㊀李素娟１引言立德树人 是历年高考数学命题的指导思想,在这一核心功能指导下,全面贯彻高考评价体系的要求,推动人才培养的改革创新,引领并指导高中数学教育与教学,得以合理选拔高一层次人才．因而,高考数学命题有据可依,试卷必须充分体现数学学科的特点,突出数学必备知识的考查,合理引导教学,倡导育人为本㊁遵循教育规律㊁回归数学教材等的落实,为复习备考提供明确的目标．２核心素养引领复习方向培养数学学科核心素养是为了更好地促进学生形成 三观正 (正确的人生观㊁价值观㊁世界观)㊁ 用数学 的目的．借助数学的眼光观察世界,发展一般性素养 主要涉及数学抽象㊁直观想象;借助数学的思维分析世界,发展严谨性素养 主要涉及逻辑推理㊁数学运算;借助数学的语言表达世界,发展应用性素养 主要涉及数学建模㊁数据分析．从培养数学学科核心素养角度入手来设置命题,为复习备考指明方向．例１㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅲ文科第６题)在平面内,A ,B 是两个定点,C 是动点,若A C ң B C ң＝１,则点C 的轨迹为(㊀㊀)．A ．圆㊀㊀B ．椭圆㊀㊀C ．抛物线㊀㊀D ．直线分析:根据题目条件,取平面内的两个定点A ,B的极端位置 A ,B 重合,达到两点合二为一来分析与处理问题,并把特殊情况下得到的结论反馈到题目中去,选择与之相符合的结论,从而得以巧妙逻辑推理,合理破解．破解本题的方法很多,不同方法涉及不同的核心素养与数学知识．解析:由于A ,B 是平面内的两个定点,取极端位置 A ,B 重合,两点合二为一,此时A C ң B C ң＝A C ң２＝１,则点C 的轨迹为以点A 为圆心,１为半径的圆．故选:A ．复习备考建议:正确把握高中数学课程标准与教学大纲㊁高中数学教学㊁高考数学命题以及数学核心素养等之间的关系,有针对性地安排实例与练习,就六个方面的核心素养借助数学的眼光㊁数学的思维㊁数学的语言等视角切入,合理强化训练,落实核心素养的培养．３夯实教材为高考筑基数学教材是历年高考命题之源,典例之根,母题之库．而高考试题主要考查主干知识㊁能力和素养,侧重于思维㊁应用㊁创新,从 解题 上升到 解决问题 ,从 做题 升华到 做人做事 ,直到提升综合素养．在数学学科素养导向新举措㊁能力考查新突破的形势下,相当数量的高考试题都能在数学教材中寻觅其 影踪 ,找到相关的背景㊁面孔㊁变形㊁拓展与提升等,从回归数学教材角度入手来设置命题,为复习备考提供蓝本．例２㊀[２０２０年高考数学新高考卷Ⅰ(山东卷)第１３题]斜率为３的直线过抛物线C :y ２＝４x 的焦点,且与C 交于A ,B 两点,则A B ＝．分析:根据题目条件,先确定焦点的坐标,进而确定焦点弦所对应的直线方程,联立直线与抛物线方程,消元后转化为相应的二次方程,结合二次方程的实数根,利用弦长公式加以运算即可确定．解析:由抛物线C :y ２＝４x ,可知C 的焦点为F (１,０),而直线A B 过焦点F 且斜率为３,则直线A B 的方程为y ＝３(x －１)．将直线A B 的方程代入抛物线C :y ２＝４x ,化简整理可得３x ２－１０x ＋３＝０,解得x １＝１３或x ２＝３．结合抛物线的弦长公式,可得A B ＝１＋k ２x １－x ２＝１＋３１３－３＝１６３．故填答案:１６３．链接教材:普通高中课程标准实验教科书«数学 选修２ １(A 版)»(人民教育出版社,２００７年２月第２版)第６９页例４:斜率为１的直线l 经过抛物线y ２＝４x 的焦点F ,且与抛物线交于A ,B 两点,求线段A B 的长．复习备考建议:高考命题经常是源于教材意料之１５２０２２年８月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀备考指南复习备考Copyright 博看网 . All Rights Reserved.㊀㊀㊀外,植于教材情理之中,高于教材能力之上．在复习备考时,充分理解与掌握数学的知识体系㊁框架结构㊁公式定理㊁例题习题等,进一步对教材内容进行组合㊁加工和拓展,挖掘知识本源, 重视很多习题潜在着进一步扩展其教学功能㊁发展功能和教育功能的可行性 ．４高考真题延续往年精髓往届高考真题已然成为新一届高考命题的一个极佳的 试题库 题源库 ,通过变形㊁转化㊁深入㊁创新㊁拓展应用等手段加以合理改编,承载指导数学教学与学习中的示范与引领作用．而深入研究往届的一些典型高考试题,对把握高考命题规律,感悟高考热点㊁重点及其考查方式,探寻培养数学学科素养的途径,提高应考能力和复习效率等都大有益处．从高考真题角度入手设置命题,为复习备考提前演练．例３㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅰ理科第１４题)设a,b为单位向量,且a＋b＝１,则a－b＝．分析:对条件中平面向量和的模加以平方处理,通过数量积公式的转化与应用,确定对应数量积的值,再通过平面向量差的模的平方处理来转化与运算,进而得以求解．解析:由a,b为单位向量,且a＋b＝１,则有a＝１,b＝１,a＋b２＝１,得a２＋２a b＋b２＝１,即１＋２a b＋１＝１,所以２a b＝－１．而|a－b|２＝a２－２a b＋b２＝１－２a b＋１＝３,可得a－b＝３．故填答案:３．其实该高考命题来源于２００４年高考数学全国卷Ⅱ文科第９题．通过两向量a,b的模以及对应平面向量的和(或差)的模来求解相应平面向量的差(或和)的模问题．破解时,可以利用平面向量的数量积公式或坐标法来处理,也可以借助 平行四边形四边的平方和等于两条对角线的平方和 的公式来处理．高考真题㊀(２００４年高考数学全国卷Ⅱ文科第９题)已知向量a,b满足a＝１,b＝２,a－b＝２,则a＋b＝(㊀㊀)．A．１㊀㊀㊀B．２㊀㊀㊀C．５㊀㊀㊀D．６(答案:D)复习备考建议:高考复习备考一定要 知己知彼 ,才能 百战百胜 ．特别是有针对性做一些历年高考中的同一知识点的相关典型实例,从数学知识㊁数学思想方法与数学能力等角度切入,不断理解并掌握对应的实质,领悟并升华思想方法,挖掘并拓展数学能力,为我所用,融会贯通,真正分享历年高考真题的智慧,不断提升数学能力与核心素养．５科学育人巧融高考命题高考命题倡导 五育 (德智体美劳)并举的根本目标,有效落实 五育 ,全面提升人文素养．高考数学试题也经常融入政治经济㊁科学文化㊁艺术哲学㊁道德修养㊁价值理念等 五育 元素,交汇数学,特别是合理设置创新情境,结合社会现实,贴近生活实际,关注时代热点,充分体现数学实际应用价值以及育人价值．从科学育人角度入手设置命题,为复习备考创设情境．例４㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅱ理科第３题,文科第４题)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成１２００份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压．为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压５００份订单未配货,预计第二天的新订单超过１６００份的概率为０．０５,志愿者每人每天能完成５０份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于０．９５,则至少需要志愿者(㊀㊀)．A．１０名㊀㊀B．１８名㊀㊀C．２４名㊀㊀D．３２名分析:结合阅读与理解,通过概率与对应的数据分析,归纳与总结出题目的内涵,合理构建数学模型,合理调配志愿者．解析:由题意知超市第二天能完成１２００份订单的配货,如果没有志愿者帮忙,则超市第二天共会积压超过５００＋(１６００－１２００)＝９００(份)订单的概率为０．０５,那么为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于０．９５,至少需要志愿者９００５０＝１８(名)．故选:B．复习备考建议:在复习备考过程中,有针对性结合一些相关 五育 (德智体美劳)实例的问题,通过问题背景的巧妙设置,合理把高考数学与育人根本目标进行有机融合,充分体现高考数学的指导性功能与方向性意义．复习备考关键在于引导学生对问题的理解㊁分析㊁剖析㊁建模等,并结合数学相关知识来进一步融合与深入,拓展数学创新与应用,体现数学特色．６结束语合理借助核心素养引领复习方向,落实命题指导思想;夯实教材只为高考筑基,复习应回归数学教材;高考真题延续往年精髓,要合理应用历年真题;科学育人巧融高考命题,可创新情境巧妙设置．把握改革精神,创新试题设计,优化试卷结构,明确复习方向,全面对学生的数学语言的阅读㊁理解㊁转化㊁表达等能力加以不断深化,紧紧抓住数学基础知识和基本技能,从基础入手,不断深入,有效复习,全面提升．F２５复习备考备考指南㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年８月上半月Copyright博看网. All Rights Reserved.。

第1讲命题有纲——六大核心素养命题趋势随着新课程标准的实施，今后的高考命题必将以知识为载体，能力立意、思想方法为灵魂，核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，落实立德树人的根本任务，推动人才培养的改革创新.聚焦核心素养的养成，才能从容应对高考的变化.类型一用数学的眼光去观察世界——数学抽象、直观想象数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系.直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物.【例1】(1)如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到 4 095个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小正方形的边长为________.(2)第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.(3)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛解析 (1)依题意，正方形的边长构成首项为22，公比为22的等比数列，因为共有4 095个正方形，则1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝4 095，解得n ＝12.所以最小正方形的边长为22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2212－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2212＝164. (2)依题意得大、小正方形的边长分别是5，1， 于是有5sin θ－5cos θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，则sin θ－cos θ＝15.从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925， 则sin θ＋cos θ＝75，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝sin θ＋cos θcos θ－sin θ＝－7.(3)设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π.所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2·5≈3209(立方尺). 故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛). 答案 (1)164 (2)－7 (3)B探究提高 1.第(1)题借助毕达哥拉斯的生长程序命题，考查等比数列的求和问题； 2.第(2)题借助第24届国际数学家大会会标命题，考查三角恒等变换问题； 3.第(3)题以古代文化为载体，考查空间几何体的体积.【训练1】 (1)刍薨(chú hōn ɡ)，中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也，薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨的字面意思为茅草屋顶”.如图所示的几何体为刍薨，底面ABCD 为矩形，且EF ∥底面ABCD ，EF 到平面ABCD 的距离为h ，BC ＝a ，AB ＝b ，EF ＝c ，则V B －CDEF V E －ABD＝2时，b c ＝( )A.1B.32C.23D.12(2)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的910.若这堆货物总价是100－200⎝ ⎛⎭⎪⎫910n万元，则n 的值为( )A.7B.8C.9D.10解析 (1)由题意可知：V E －ABD ＝V F －BCD ＝13×12a ·b ·h ＝16abh ，V B －DFC V B －DEF ＝b c，所以V B－DEF ＝16ach ，V B －CDEF ＝V B －DEF ＋V B －CDF ＝16(c ＋b )ah ， V B －CDEF V E －ABD＝b ＋c b ＝2，所以c ＝b ，bc ＝1.(2)由题意知，茭草垛自上而下堆放的货物件数构成一个等差数列，其通项a n ＝n ，货物单价构成一个等比数列，其通项b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1，所以每一层货物的总价为a n ·b n ，这堆货物的总价为S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，即S n ＝1×1＋2×910＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －2＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1，所以910S n ＝1×910＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，两式相减，得110S n ＝1＋910＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫910n －1－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫910n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫910n1－910－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＝10－(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ，所以S n ＝100－10(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ，于是由100－10(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫910n＝100－200⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，得10(10＋n )＝200，解得n ＝10. 答案 (1)A (2)D类型二 用数学的思维去分析世界——数学运算、逻辑推理数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.逻辑推理主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.【例2】 (1)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩(2)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.(0，＋∞) C.(－1，0)D.(－∞，0)(3)(2019·济南质检)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则双曲线Γ的离心率为( )A.233B. 2C. 3D.2解析 (1)由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“一人优秀，一人良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩；丁看甲的成绩，由于乙与丙一人优秀，一人良好，则甲与丁也是一人优秀，一人良好，丁由甲的成绩可判断自身成绩.(2)当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x<0.(3)设与平面α平行的平面为β，以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x 轴，在平面β内与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.根据题意可设双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0).由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为y ＝±33x ，即b a ＝33，所以离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233. 答案 (1)D (2)D (3)A探究提高 1.第(1)题对考生逻辑推理、数学抽象等数学核心素养有着不同层次的要求，求解的关键是由条件信息推理判断乙、丙中一人优秀，一人良好，从而甲、丁中一人优秀，另一人良好.2.破解第(2)题的关键：一是会“用图”，即根据图形的特征，寻找转化的桥梁；二是运算准确，求解函数与不等式问题运算要准确.3.第(3)题以古代数学问题作为引入，考查空间几何与圆锥曲线的综合问题，体现了数学文化的美学特征.【训练2】 (1)(2019·全国数学大联考)已知直线m ，n 和平面α，满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2018·全国Ⅱ卷)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( ) A.－50 B.0 C.2D.50(3)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________.解析 (1)若m ⊄α，n ⊂α，m ∥n ，由线面平行的判定定理得m ∥α，但m ⊄α，n ⊂α，m ∥α，则m ∥n 或m 与n 异面.故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件.(2)法一 ∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (4＋x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且一个周期为4，又f (0)＝0，知f (2)＝f (0)，f (4)＝f (0)＝0，由f (1)＝2，知f (－1)＝－2，则f (3)＝f (－1)＝－2，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.法二 由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示.由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.(3)作出单位圆的内接正六边形，如图，OA ＝OB ＝AB ＝1， 从而S 6＝6S △OAB ＝6×12×12×sin 60°＝332.答案 (1)A (2)C (3)332类型三 用数学的语言去表达世界——数学建模、数据分析数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.数据分析主要表现为：收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识.【例3】 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3). 附：K 2＝n （a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.解 (1)由频率分布直方图知，旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，则事件A 的概率估计值为0.62. (2)列联表如下：K 2＝200×（62×66－38×34）2100×100×104×96≈15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)由箱产量的频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在45～50 kg 之间，新养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在50～55 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法分布集中程度高，可知新养殖法的箱产量高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.探究提高 1.本题以现实生活中的水产品养殖方法作为创新背景，试题的第(1)问是根据频率分布直方图估计事件的概率；第(2)问是根据整理的数据进行独立性检验；第(3)问根据箱产量的频率分布直方图，比较两种养殖方法的优劣.有效的考查学生阅读理解能力与运用数学模型解决问题的能力.2.应用性和创新性相结合是历年高考靓丽的风景线，全国卷概率与统计解答题尤为明显，体现数学知识在现实生活中的应用.概率与统计问题需要对大量数据的分析和加工，揭示数据提供的信息及呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，从而考查数据分析的数学核心素养.【训练3】 统计学中，经常用环比、同比来进行数据比较.环比是指本期统计数据与上期比较，如2017年7月份与2017年6月份相比.同比是指本期数据与历史同时期比较，如2017年7月份与2016年7月份相比.环比增长率＝本期数－上期数上期数×100%，同比增长率＝本期数－同期数同期数×100%.下表是某地区近17个月来的消费者信心指数的统计数据：整数)；(ⅱ)除2017年1月以外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？(2)由以上数据可以判断，序号x 与该地区消费者信心指数y 具有线性相关关系，写出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^(a ^，b ^保留2位小数)，并依此预测该地区2018年6月份的消费者信心指数(结果保留1位小数，参考数据与公式：∑17i ＝1x i y i ≈ 18 069，∑17i ＝1x 2i ＝1 785，x －＝9，y －≈115，b －＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x －2).解 (1)(ⅰ)该地区2018年5月份消费者信心指数的同比增长率为124－112.6112.6×100%≈10%.(ⅱ)由已知知环比增长率为负数，即本期数<上期数，从表中可以看出，2017年3月、2017年6月、2017年8月、2018年2月、2018年4月共5个月的环比增长率为负数.(2)由已知计算得，b －＝∑17i ＝1x i y i －17x － y －∑17i ＝1x 2i －17·x － 2≈1.16，a ^＝y －－b ^x －≈115－1.16×9＝104.56，∴线性回归方程为y ^＝1.16x ＋104.56.当x ＝18时，y ^≈125.4，即预测该地区2018年6月份的消费者信心指数为125.4.。

专题研究·高考数学试题研究【摘要】本文采用SEC一致性分析模式，从数学知识、问题解决、数学思维三个维度，对2023年高考全国甲卷数学试题的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大数学学科核心素养及其三个水平进行分析，发现2023年高考全国甲卷数学试题的学科核心素养测评与课程标准达到一定程度的一致，认为2024年高考试题将会突出考查学生的数学抽象、逻辑推理和数据分析素养，提高对学生问题解决和数学思维的测评力度，数学学科核心素养高考测评集中体现在素养的第二个水平。

【关键词】数学学科核心素养2023年高考测评课程标准一致性【中图分类号】G63【文献标识码】A【文章编号】0450-9889（2023）35-0063-07《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课程标准》），明确数学学科六大核心素养的内涵并将每一个数学学科核心素养划分为三个水平，从课程引领角度将数学学科核心素养的培养从理念层面转向教学实践。

2019年6月，国务院办公厅印发《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》指出，学业水平选择性考试与高等学校招生全国统一考试命题要以普通高中课程标准和高校人才选拔要求为依据。

2019年12月，教育部考试中心发布《中国高考评价体系》，明确了高考命题要突出考查学生必备知识、关键能力及学科思维，使得以核心素养为导向的基础教育考试评价日益成为社会关注的焦点。

然而，高考试题是否真实、有效、适切地考查了学生的数学学科六大核心素养及其三个不同水平？回答这个问题，需要开展数学学科核心素养高考试题测评与数学学科核心素养课程标准的要求一致性研究。

2024年，广西即将迎来高考综合改革的第一次新高考，目前面临着重新构建数学学科考试的知识体系、能力框架、试卷结构和试题类型等新问题，迫切需要开展数学学科核心素养高考测评与课程标准一致性研究。

本文通过解构2023年高考全国甲卷数学试题中核心素养的考查，形成一致性结论，以期为将来学生数学学科核心素养的研究提供参考依据，为学生数学学科核心素养成分、维度、水平三大层面的测评提供操作范式，为学生数学学科核心素养的测评提供经验借鉴，并有效指导教学改革、试题命制改革以及备考。

数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。

共六项三大类。

1.数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。

2.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。

（数学抽象与直观想象体现了数学的一般特性。

）3.逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的思维过程。

4.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程。

（逻辑推理与数学运算体现了数学思维的严谨性。

）5.数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。

6.数据分析是指针对研究对象获取相关数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的过程。

（数学建模与数据分析体现了数学的实用性。

）1.通过由具体的实例概括一般性结论，看学生能否在综合的情境中学会抽象出数学问题，并在得到数学结论的基础上形成新的命题，以此考查数学抽象素养。

2.通过提出问题和论证命题的过程，看学生能否选择合适的论证方法和途径予以证明，并能用准确、严谨的数学语言表述论证过程，以此考查逻辑推理素养。

3.通过实际应用问题的处理，看学生是否能够运用数学语言，清晰、准确地表达数学建模的过程和结果，以此考查数学建模素养。

4.通过空间图形与平面图形的观察以及图形与数量关系的分析，通过想象对复杂的数学问题进行直观表达，看学生能否运用图形和空间想象思考问题，感悟事物的本质，形成解决问题的思路，以此考查直观想象素养。

5.通过各类数学问题特别是综合性问题的处理，看学生能否做到明确运算对象，分析运算条件，选择运算法则，把握运算方向，设计运算程序，获取运算结果，以此考查数学运算素养。

6.通过对概率与统计问题中大量数据的分析和加工，看学生能否获得数据提供的信息及其所呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，以此考查数据分析素养。

高中数学课标6个核心素养
高中数学课标中的6 个核心素养包括：
1. 数学抽象：通过对数学对象的特征和本质进行抽象概括，形成数学概念和法则。

2. 逻辑推理：根据已知事实和数学定义、定理，进行逻辑推理和证明。

3. 数学建模：运用数学知识和方法解决实际问题，建立数学模型。

4. 直观想象：借助几何直观、空间想象等方式理解和解决数学问题。

5. 数学运算：进行准确、快速、灵活的数学计算和推理。

6. 数据分析：收集、整理和分析数据，提取有用信息，进行推断和预测。