圆的证明题30道含答案数学组卷-(1)

圆的有关计算及证明2023年数学中考试题精选（一）1.（2023.营口23题）如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径作圆O与AC将于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E.（1）求证：DF为圆O的切线；，求BF的长。

（2）若BE=3，cosC=452.（2023.本溪铁岭辽阳24题）如图，AB是圆O的直径，点C，E在圆O上，∠CAB=2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE=∠ABC.（1）求证：EF与圆O相切；，求BC的长。

（2）若BF=1，sin∠AFE=453.(2023.沈阳22题)如图，BE是圆O的直径，点A和点D是圆O上的两点，过点A作圆O的切线交BE延长线于点C.（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求圆O半径的长.4.(2023.大连市23题)如图1，在圆O中，AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，AD为∠CAB的平分线交圆O于点D，连接OD交BC于点E.（1）求∠BED的度数；（2）如图2，过点A作圆O的切线BC延长线于点F，过点D作DG ∥AF交AB于点G.若AD=2√35,DE=4，求DG的长。

5.(2023.湖北省恩施州23题)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连接CO交圆O于点E，圆O与AC 相切于点D.（1）求证：BC是圆O的切线；（2）延长CO交圆O于点G，连接AC交圆O于点F，若AC=4√(2)，求FG的长.6.（2023.贵州省23题）如图，已知圆O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交圆O于点E，连接EA，EB.（1）写出图中一个度数为30°的角；____，图中与△ACD全等的三角形是______；（2）求证：△AED∽△CEB;（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由。

7.(2023.江苏省24题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB.（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作圆O的切线，交CE 于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（2）在（1）的条件下，求证：BD=BF.8.(2023.江西省20题)如图，在△ABC中，AB=4,∠C=64°，以AB为直径的圆O与AC相交于点D，E为优弧ABD上一点，且∠ADE=40°.（1）求BE的长；（2）若∠EAD=76°，求证：CB为圆O的切线.9.(2023.沈阳22题)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的一点（点C不与点A，B重合），连接AC，BC，点D是AB上的一点，AC=AD，BE交CD的延长线于点E，且BE=BC.（1）求证：BE是圆O的切线；（2）若圆O的半径为5，tanE=1，则BE的长为_____.210.(2023.扬州市25题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、上一点，且∠BCD=12D两点.（1）试判断直线AB与圆O的位置关系，并说明理由；，圆O的半径为3，求AC的长.（2）若sinB=3511.(2023.广西壮族自治区23题)如图，PO平分∠APD，PA与圆O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.（1）求证：PB是圆O的切线；（2）若圆O的半径为4，OC=5，求PA的长.12.（2023.广东省22题）如图1，在矩形ABCD中（AB>AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A`，连接AA`交BD于点E，连接CA`.（1）求证：AA`⊥CA`；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆.①如图2，圆O与CD相切，求证：AA`=√3CA`；②如图3，圆O与CA`相切，AD=1，求圆O的面积.13.(2023.安徽省20题)已知四边形ABCD内接于圆O，对角线BD是圆O的直径.（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分⊥BCD; （2）如图2，E为圆O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB，若BD=3√3，AE=3.求弦BC的长.14.(2023.湖北黄冈市20题)如图，⊥ABC 中，以AB 为直径的圆O 交BC 于点D ，DE 是圆O 的切线 ，且DE⊥AC ，垂足为E ，延长CA 交圆O 于点F.（1）求证：AB=AC ；（2）若AE=3，ED=6，求AF 的长。

圆有关的证明题1．如图，已知直线MN 与以AB 为直径的半圆相切于点C ，∠A=28°．（1）求∠ACM 的度数．（2）在MN 上是否存在一点D ，使AB ·CD=AC ·BC ，说明理由．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O 的半径为3．（1）若圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 有怎样的位置关系？（2）若点O 沿CA 移动，当OC 等于多少时，⊙O 与AB 相切？3．（苏州市）已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，过点B 作⊙O 的切线，交CA 的延长线于点E ，∠EBC ＝2∠C ． ①求证：AB ＝AC ；②若tan ∠ABE ＝21，（ⅰ）求BCAB 的值；（ⅱ）求当AC ＝2时，AE 的长．4．（广州市）如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，⊙O 的割线PBC 过点O 与⊙O 分别交于B 、C ，PA ＝8cm ，PB ＝4cm ，求⊙O 的半径．5．（河北省）已知：如图，BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ，若AD ︰DB ＝2︰3，AC ＝10，求sin B 的值．6．（北京市海淀区）如图，PC 为⊙O 的切线，C 为切点，PAB 是过O 的割线，CD ⊥AB 于点D ，若tan B ＝21，PC ＝10cm ，求三角形BCD 的面积．7．（宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN 与小圆相切，D 为切点，且MN ∥AB ，MN ＝a ，ON 、CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．8．（四川省）已知，如图，以△ABC 的边AB 作直径的⊙O ，分别并AC 、BC 于点D 、E ，弦FG ∥AB ，S △CDE ︰S △ABC ＝1︰4，DE ＝5cm ，FG ＝8cm ，求梯形AFGB 的面积．9．（贵阳市）如图所示：PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，求：（1）⊙O 的面积（注：用含π的式子表示）；（2）cos ∠BAP 的值．1．解：（1）连结BC ，9028AB ACB A ⇒∠=︒⎫⎬∠=︒⎭是直径⇒∠B=62°． MN 是切线⇒∠ACM=∠B=62°．（2）过点B 作BD ⊥MN ，则190BDC ACB MN BCN A ∠=︒=∠⎫⎬⇒∠=∠⎭是切线⇒△ACB ∽△CNB ⇒1AC AB CD BC =⇒AB ·CD 1=AC ·BC ． 过点A 作AD 2⊥MN ，则190AD C ACB MN MCA CBA ∠=︒=∠⎫⎬⇒∠=∠⎭是切线⇒△ABC ∽△ACD 2 ⇒2CD AC AB CB=⇒CD 2·AB=AC ·CB 2．解：（1）过点C 作CH ⊥AB 于H ，由三角形的面积公式得AB ·CH=AC ·BC ，∴CH=AC BC AB =6013，即圆心到直线的距离d=6013． ∵d=6013>3，∴⊙O 与AB 相离． （2）过点O 作OE ⊥AB 于E ，则OE=3．∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A ，∴△AOE ∽△ABC ，∵OA=OE AB BC =31313124⨯= ∴OC=AC-OA=5-134=74． ∴当OC=74时，⊙O 与AB 相切． 3．（1）∵ BE 切⊙O 于点B ，∴ ∠ABE ＝∠C ．∵ ∠EBC ＝2∠C ，即 ∠ABE ＋∠ABC ＝2∠C ，∴ ∠C ＋∠ABC ＝2∠C ，∴ ∠ABC ＝∠C ，∴ AB ＝AC ．（2）①连结AO ，交BC 于点F ，∵ AB ＝AC ，∴ ＝，∴ AO ⊥BC 且BF ＝FC ．在Rt △ABF 中，AF ＝tan ∠ABF ，∴ AF ＝21BF ． ∴ AB ＝22BF AF +＝2221BF BF +⎪⎭⎫ ⎝⎛＝25BF ． ∴ 452==BF AB BC AB ． ②在△EBA 与△ECB 中，∵ ∠E ＝∠E ，∠EBA ＝∠ECB ，∴ △EBA ∽△ECB ．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧⋅==EC EA BE BC AB EB EA 2，解之，得516EA 2＝EA ·（EA ＋AC ），又EA ≠0， ∴ 511EA ＝AC ，EA ＝115×2＝1110． 4．设⊙的半径为r ，由切割线定理，得PA 2＝PB ·PC ， ∴ 82＝4（4＋2r ），解得r ＝6（cm ）． 即⊙O 的半径为6cm ．5．由已知AD ︰DB ＝2︰3，可设AD ＝2k ，DB ＝3k （k ＞0）． ∵ AC 切⊙O 于点C ，线段ADB 为⊙O 的割线，∴ AC 2＝AD ·AB ， ∵ AB ＝AD ＋DB ＝2k ＋3k ＝5k ，∴ 102＝2k ×5k ，∴ k 2＝10， ∵ k ＞0，∴ k ＝10．∴ AB ＝5k ＝510．∵ AC 切⊙O 于C ，BC 为⊙O 的直径，∴ AC ⊥BC ．在Rt △ACB 中，sin B ＝51010510==AB AC ． 6．解法一：连结AC ．∵ AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD ⊥AB 于点D ，∴ ∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∠2＝90°－∠BAC ＝∠B ． ∵ tan B ＝21， ∴ tan ∠2＝21．∴ CB ACDB CD CD AD ===21．设AD ＝x （x ＞0），CD ＝2x ，DB ＝4x ，AB ＝5x ．∵ PC 切⊙O 于点C ，点B 在⊙O 上，∴ ∠1＝∠B ． ∵ ∠P ＝∠P ，∴ △PAC ∽△PCB ，∴ 21==CB ACPC PA．∵ PC ＝10，∴ PA ＝5，∵ PC 切⊙O 于点C ，PAB 是⊙O 的割线，∵ PC 2＝PA ·PB ，∴ 102＝5（5＋5 x ）．解得x ＝3．∴ AD ＝3，CD ＝6，DB ＝12．∴ S △BCD ＝21CD ·DB ＝21×6×12＝36．即三角形BCD 的面积36cm 2．解法二：同解法一，由△PAC ∽△PCB ，得21==CB AC PC PA ．∵ PA ＝10，∴ PB ＝20．由切割线定理，得PC 2＝PA ·PB ．∴ PA ＝201022-PB PC ＝5，∴ AB ＝PB －PA ＝15，∵ AD ＋DB ＝x ＋4x ＝15，解得x ＝3，∴ CD ＝2x ＝6，DB ＝4x ＝12．∴ S △BCD ＝21CD ·DB ＝21×6×12＝36．即三角形BCD 的面积36cm 2．7．解：如图取MN 的中点E ，连结OE ，∴ OE ⊥MN ，EN ＝21MN ＝21a ．在四边形EOCD 中，∵ CO ⊥DE ，OE ⊥DE ，DE ∥CO ，∴ 四边形EOCD 为矩形．∴ OE ＝CD ，在Rt △NOE 中，NO 2－OE 2＝EN 2＝22⎪⎭⎫ ⎝⎛a ．∴ S 阴影＝21π（NO 2－OE 2）＝21π·22⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＝28πa ．8．解：∵ ∠CDE ＝∠CBA ，∠DCE ＝∠BCA ，∴ △CDE ∽△ABC ．∴ 2⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆AB DE S S ABC CDE∴ AB DE ＝ABC CDES S ∆∆＝41＝21，即215=AB ，解得 AB ＝10（cm ），作OM ⊥FG ，垂足为M ，则FM ＝21FG ＝21×8＝4（cm ），连结OF ，∵ OA ＝21AB ＝21×10＝5（cm ）．∴ OF ＝OA ＝5（cm ）．在Rt △OMF 中，由勾股定理，得OM ＝22FM OF -＝2245-＝3（cm ）．∴ 梯形AFGB 的面积＝2FG AB +·OM ＝2810⨯×3＝27（cm 2）．9．⎭⎬⎫的割线⊙是的切线⊙是O PBC O PA )1(⇒PA 2＝PB ·PC ⇒PC ＝20⇒半径为7.5⇒圆面积为π4225（或56.25π）（平方单位）．⎭⎬⎫∠=∠∠=∠P P BAP C )2(⇒△ACP ∽△BAP ⇒PB PA AB AC =⇒12=AB AC．∵ ∠BAP ＝∠C ，∴ cos ∠BAP ＝cos ∠C ＝55252==x x BC AC 解法二：设AB ＝x ，在Rt △ABC 中，AC 2＋AB 2＝BC 2， 即 x 2＋（2x ）2＝152，解之得 x ＝35，∴ AC ＝65， ∵ ∠BAP ＝∠C ，∴ ∴ cos ∠BAP ＝cos ∠C ＝5521556==BC AC。

DOBC A EPEECOB P D AOBACDBACDO1．如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过点C 作CD ⊥PA 于D ． （1） 求证：CD 是⊙O 的切线； （2） 若AD ：DC =1：3，AB =8，求⊙O 的半径．（1）证明：连结OC ．∵ OC =OA ，∴ ∠OAC = ∠OCA∵ AC 平分∠PAE ，∴ ∠DAC = ∠OAC ，∴ ∠DAC = ∠OCA ， ∴ AD ∥OC ．∵ CD ⊥PA ，∴ ∠ADC = ∠OCD =90°， 即 CD ⊥OC ，点C 在⊙O 上，∴ CD 是⊙O 的切线． （2）解：过O 作OE ⊥AB 于E ．∴ ∠OEA =90°∵ AB =8， ∴ AE =4． 在Rt △AEO 中，∠AEO =90°，∴ AO 2=42+OE 2． ∵ ∠EDC = ∠OEA =∠DCO =90°，∴ 四边形DEOC 是矩形， ∴ OC =DE ，OE =CD ．∵ AD:DC =1:3，∴ 设AD =x ，则DC =OE =3x ，OA =OC =DE =DA +AE =x +4， ∴ (x +4)2=42+(3x )2，解得 x 1=0(不合题意，舍去)，x 2=1．则 OA =5．∴ ⊙O 的半径是5． 2.如图1和图2，MN 是⊙O 的直径，弦AB 、CD•相交于MN•上的一点P ，•∠APM=∠CPM ． （1）由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．BA CE DP ONM FB A CE DPNM F解：（1）AB=CD 理由：过O 作OE 、OF 分别垂直于AB 、CD ，垂足分别为E 、F∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF 连结OD 、OB 且OB=OD ∴Rt △OFD ≌Rt △OEB ∴DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD（2）作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足为E 、F ∵∠APM=∠CPN 且OP=OP ，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt △OPE ≌Rt △OPF ∴OE=OF 连接OA 、OB 、OC 、OD易证Rt △OBE ≌Rt △ODF ，Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD3．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系为什么解：BD=CD 理由是：如图，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD4. 如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（ ） A ．130° B ．100° C ．50° D ．65° 答案A5．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=•∠A ． （1）CD 与⊙O 相切吗如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由． （2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．解：（1）CD 与⊙O 相切 ∵AB 是直径 ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90° 综上：CD 是⊙O 的切线．（2）在Rt △OCD 中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10 答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10．6．如图，已知正六边形ABCDEF ，其外接圆的半径是a ，•求正六边形的周长和面积．解：如图所示，由于ABCDEF 是正六边形，所以它的中心角等于3606︒=60°，•△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt △OAM 中，OA=a ，AM=12AB=12a 利用勾股定理，可得边心距OM=221()2a a -=123a∴所求正六边形的面积=6×12×AB×OM=6×12×a×32a=323a 27．已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm 2． （1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少解：（1）如图所示： ∵300π=2120360R π ∴R=30∴弧长L=12030180π⨯⨯=20π（cm ）（2）如图所示： ∵20π=20πr ∴r=10，R=30 AD=900100-=202 ∴S 轴截面=12×BC×AD =12×2×10×202=2002（cm 2） 因此，扇形的弧长是20πcm 卷成圆锥的轴截面是2002cm 2． 8.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交⋂BC 于D ． (1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC =8，ED ＝2，求⊙O 的半径． 解：(1)不同类型的正确结论有：①BE =CE ;②弧BD=弧CD ③∠BED =90°④∠BOD =∠A ;⑤AC ∥OD ，⑥AC ⊥BC ; ⑦OE 2+BE 2=OB 2;⑧S △ABC ＝BC ·OE ;⑨△BOD 是等腰三角形，⑩△BOE ∽△BAC ; (2)∵OD ⊥BC ， ∴BE ＝CE =12BC =4．设⊙O 的半径为R ，则OE =OD －DE=R －2． 在Rt △OEB 中，由勾股定理得 OE 2＋BE 2=OB 2，即(R －2)2＋42=R 2．解得R ＝5． ∴ ⊙ O 的半径为59.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧PC 上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连FDECBAOM结CD ．（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形为什么 解：（1）PDC △为等边三角形． 理由：ABC ∵△为等边三角形AC BC =∴，又∵在⊙O 中PAC DBC ∠=∠又AP BD =∵ APC BDC ∴△≌△． PC DC =∴ 又AP ∵过圆心O ，AB AC =，60BAC ∠=°1302BAP PAC BAC ∠=∠=∠=∴° 30BAP BCP ∠=∠=∴°，30PBC PAC ∠=∠=°303060CPD PBC BCP ∠=∠+∠=+=∴°°° PDC ∴△为等边三角形．（2）PDC △仍为等边三角形理由：先证APC BDC △≌△（过程同上） PC DC =∴ 60BAP PAC ∠+∠=∵° 又BAP BCP ∠=∠∵，PAC PBC ∠=∠60CPD BCP PBC BAP PAC ∠=∠+∠=∠+∠=∴° 又PC DC =∵ PDC ∴△为等边三角形．10.(1)如图OA 、OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 是OB 延长线上任意一点：过点C 作CD 切⊙O 于点D ，连结AD 交DC 于点E ．求证：CD=CE(2)若将图中的半径OB 所在直线向上平行移动交OA 于F ，交⊙O 于B ，其他条件不变，那么上述结论CD=CE 还成立吗为什么(3)若将图中的半径OB 所在直线向上平行移动到⊙O 外的CF ，点E 是DA 的延长线与CF 的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE 还成立吗为什么解：(1)证明：连结OD 则OD ⊥CD ，∴∠CDE+∠ODA=90° 在Rt △AOE 中，∠AEO+∠A=90°在⊙O 中，OA=OD ∴∠A=∠ODA ， ∴∠CDE=∠AEO 又∵∠AEO=∠CED ，∠CDE=∠CED ∴CD=CE (2)CE=CD 仍然成立． ∵原来的半径OB 所在直线向上平行移动∴CF ⊥AO 于F ， 在Rt △AFE 中，∠A+∠AEF=90°． 连结OD ，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD ．∠A=∠ODA ∴∠AEF=∠CDE 又∠AEF=∠CED ∴∠CED=∠CDE ∴CD=CE(3)CE=CD 仍然成立．∵原来的半径OB 所在直线向上平行移动．AO ⊥CF 延长OA 交CF 于G ，在Rt △AEG 中，∠AEG+∠GAE=90° 连结OD ，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD ∴∠ADO=∠OAD=∠GAE ∴∠CDE=∠CED ∴CD=CEAOCPB图①AOCPB图②11.AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若30P ∠=o，求B ∠的度数．解： PA Q 切⊙O 于A AB ，是⊙O 的直径， ∴90PAO ∠=o．30P ∠=o Q ，∴60AOP ∠=o ．∴1302B AOP ∠=∠=o12.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠． （1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若301cm DBC DE ∠==o，，求BD 的长． （1）证明：连接OA ，DA Q 平分BDE ∠，BDA EDA ∴∠=∠．OA OD ODA OAD =∴∠=∠Q ，．OAD EDA ∴∠=∠．OA CE ∴∥． AE DE ⊥Q ，9090AED OAE DEA ∴∠=∠=∠=o o ，．AE OA ∴⊥．AE ∴是⊙O 的切线．（2）BD Q 是直径，90BCD BAD ∴∠=∠=o．3060DBC BDC ∠=∠=o o Q ，，120BDE ∴∠=o ．DA Q 平分BDE ∠，60BDA EDA ∴∠=∠=o ．30ABD EAD ∴∠=∠=o ．在Rt AED △中，90302AED EAD AD DE ∠=∠=∴=oo，，． 在Rt ABD △中，903024BAD ABD BD AD DE ∠=∠=∴==oo，，． DE Q 的长是1cm ，BD ∴的长是4cm ．13.如图，已知在⊙O 中，AB=34，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径. 解：连结AD ．∵AC ⊥BD ，AC 是直径，∴AC 垂直平分BD 。

专题二 圆的证明与计算类型一 圆基本性质的证明与计算1.如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点． (1)求证：P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)若P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，求点O 到PC 的距离．第1题图2. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是AB ︵的中点，连接P A ，PB ，PC .(1)如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AC ＝3AP ； (2)如图②，若sin ∠BPC ＝2425，求tan ∠P AB 的值．第2题图3. 已知⊙O 中弦AB ⊥弦CD 于E ，tan ∠ACD ＝32. (1)如图①，若AB 为⊙O 的直径，BE ＝8，求AC 的长；(2)如图②，若AB 不为⊙O 的直径，BE ＝4，F 为BC ︵上一点，BF ︵＝BD ︵，且CF ＝7，求AC 的长．第3题图4.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，连接AD 、DE .(1)求证：D 是BC 的中点；(2)若 DE ＝3，BD －AD ＝2，求⊙O 的半径； (3)在(2)的条件下，求弦AE 的长．第4题图5.如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点， ∠APC ＝∠CPB ＝60°.(1)判断△ABC 的形状：________；(2)试探究线段P A ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； (3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．第5题图 备用图类型二与切线有关的证明与计算(一、与三角函数结合1.已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD 交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.(1)求证：AC与⊙O相切；(2)当BD＝6，sin C＝35时，求⊙O的半径．第1题图2.如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.(1)求证：∠PCA＝∠ABC；(2)过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE.若sin ∠P ＝35，CF ＝5，求BE 的长．第2题图3. 如图①，在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，点P 在BA 的延长线上，且满足∠PDA ＝∠ADC .(1)判断直线PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)延长DO 交⊙O 于M (如图②)，当M 恰为BC ︵的中点时，试求DE BE 的值；(3)若P A ＝2，tan ∠PDA ＝12，求⊙O 的半径．第3题图二、与相似三角形结合1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，连接DE . (1)求证：△ABC ∽△CBD ； (2)求证：直线DE 是⊙O 的切线．第1题图2. 如图，⊙O 的圆心在Rt △ABC 的直角边AC 上，⊙O 经过C 、D 两点，与斜边AB 交于点E ，连接BO 、ED ，有BO ∥ED ，作弦EF ⊥AC 于G ，连接DF .(1)求证：CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠DFE ＝35，求EF 的长．第2题图3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠ADE ＝45，求BF 的长．第3题图4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F.(1)若∠B＝30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形；(2)若AC＝6，AB＝10，连接AD，求⊙O的半径和AD的长．第4题图5.已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD ＝DC，延长CB交⊙O于点E.(1)图①的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；(2)如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.①若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；②若CF＝aCD(a>0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)第5题图6.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，OF延长线交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)求证：CE2＝EH·EA；(3)若⊙O 的半径为5，sin A ＝35，求BH 的长．第6题图7.如图①，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交BC 于点E (BE ＞EC )，且BD ＝2 3.过点D 作DF ∥BC ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：DF 为⊙O 的切线；(2)若∠BAC ＝60°，DE ＝7，求图中阴影部分的面积；(3)若AB AC ＝43，DF ＋BF ＝8，如图②，求BF 的长．第7题图三、与全等三角形结合1.如图，已知PC 平分∠MPN ，点O 是PC 上任意一点，PM 与⊙O 相切于点E ，交PC 于A 、B 两点． (1)求证：PN 与⊙O 相切；(2)如果∠MPC ＝30°，PE ＝23，求劣弧BE ︵的长．第1题图2.如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M是⊙O上一点，并且∠BMC ＝60°.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若E、F分别是边AB、AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O 的半径为2.试问BE＋CF的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．第2题图3. 已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE.(1)求证：AE与⊙O相切；(2)连接BD，若ED∶DO＝3∶1，OA＝9，求AE的长和tan B的值．第3题图4. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O 交于点C，连接BC，AF.(1)求证：直线P A为⊙O的切线；(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；(3)若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．第4题图5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线PD ，交CA 的延长线于点P ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F . (1)求证：PD ∥AB ； (2)求证：DE ＝BF ；(3)若AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，求线段PC 的长．第5题图6.如图，点P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D . (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若PD ＝163，AC ＝8，求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，若点E 是AB ︵的中点，连接CE ，求CE 的长．第6题图7. 如图①，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与半径OB相交于点F，连接BD，过圆心O作OG∥BD，过点A作⊙O的切线，与OG 相交于点G，连接GD，并延长与AB的延长线交于点E.(1)求证：GD＝GA；(2)求证：△DEF是等腰三角形；(3)如图②，连接BC，过点B作BH⊥GE，垂足为点H，若BH＝9，⊙O的直径是25，求△CBF的周长．第7题图专题二圆的证明与计算类型一圆基本性质的证明与计算1. (1)证明：如解图，连接AD，BC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠P AD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC，∴△P AD ∽△PCB ， ∴P A PD ＝PC PB ， ∴P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)解：如解图，连接OD ，过O 点作OE ⊥DC 于点E ， ∵P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，∴PB ＝P A ＋AB ＝16，PC ＝PD ＋DC ＝2DC ＋2， ∵P A ·PB ＝PD ·PC ，∴454×16＝(DC ＋2)(2DC ＋2)， 解得DC ＝8或DC ＝－11(舍去)， ∴DE ＝12DC ＝4， ∵OD ＝5，∴在Rt △ODE 中，OE ＝OD 2－DE 2＝3， 即点O 到PC 的距离为3.2. (1)证明：∵∠BAC 与∠BPC 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°， 又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形， ∴∠ACB ＝60°， ∵点P 是AB ︵的中点， ∴P A ︵＝PB ︵，∴∠ACP ＝∠BCP ＝12∠ACB ＝30°，而∠APC ＝∠ABC ＝60°， ∴△APC 为直角三角形， ∴tan ∠APC ＝AC AP ， ∴AC ＝AP tan60°＝3AP ；(2)解：连接AO 并延长交PC 于点E ，交BC 于点F ，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，连接OC ，BO ，如解图，∵AB ＝AC ， ∴AF ⊥BC ， ∴BF ＝CF ， ∵点P 是AB ︵中点， ∴∠ACP ＝∠PCB ， ∴EG ＝EF .∵∠BPC ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝∠FOC ， ∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC ＝2425， 设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ，∴OF ＝OC 2－FC 2＝7a ，AF ＝25a ＋7a ＝32a ， 在Rt △AFC 中，∵AC 2＝AF 2＋FC 2， ∴AC ＝（32a ）2＋（24a ）2＝40a ， ∵∠EAG ＝∠CAF ， ∴△AEG ∽△ACF ， ∴EG CF ＝AE AC ，又∵EG ＝EF ，AE ＝AF －EF ，第2题解图∴EG 24a ＝32a －EG 40a ， 解得EG ＝12a ，在Rt △CEF 中，tan ∠ECF ＝EF FC ＝12a 24a ＝12， ∵∠P AB ＝∠PCB ，∴tan ∠P AB ＝tan ∠PCB ＝tan ∠ECF ＝12. 3. 解：(1)如解图①，连接BD ， ∵直径AB ⊥弦CD 于点E ， ∴CE ＝DE ，∵∠ACD 与∠ABD 是同弧所对的圆周角， ∴∠ACD ＝∠ABD ， ∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝32， ∴ED EB ＝AE CE ＝32，即ED 8＝32， ∴ED ＝12， ∴CE ＝ED ＝12， 又∵AE ＝32CE ＝18， ∴AC ＝AE 2＋CE 2＝613；(2)连接CB ，过B 作BG ⊥CF 于G ，如解图②， ∵BF ︵＝BD ︵， ∴∠BCE ＝∠BCG ， 在△CEB 和△CGB 中第3题解图①⎩⎪⎨⎪⎧∠BCE ＝∠BCG ∠BEC ＝∠BGC BC ＝BC， ∴△CEB ≌△CGB (AAS)， ∴BE ＝BG ＝4，∵四边形ACFB 内接于⊙O ， ∴∠A ＋∠CFB ＝180°， 又∵∠CFB ＋∠BFG ＝180°， ∴∠BFG ＝∠A ， ∵∠FGB ＝∠AEC ＝90°， ∴△BFG ∽△CAE ， ∴FG BG ＝AE CE ＝32， ∴FG ＝32BG ＝6， ∴CE ＝CG ＝13， ∴AE ＝32CE ＝392，∴AC ＝AE 2＋CE 2＝13213. 4. (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， 即AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴等腰△ABC ，AD 为BC 边上的垂线， ∴BD ＝DC ， ∴D 是BC 的中点； (2)解：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵∠ABC 和∠AED 是同弧所对的圆周角， ∴∠ABC ＝∠AED ， ∴∠AED ＝∠C ， ∴CD ＝DE ＝3， ∴BD ＝CD ＝3， ∵BD －AD ＝2， ∴AD ＝1，在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋12＝10， ∴AB ＝10，∴⊙O 的半径＝12AB ＝102； (3)解：如解图，连接BE ， ∵AB ＝10， ∴AC ＝10，∵∠ADC ＝∠BEA ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△CDA ∽△CEB ， ∴AC BC ＝CD CE ，由(2)知BC ＝2BD ＝6，CD ＝3， ∴106＝3CE ， ∴CE ＝9510，∴AE ＝CE －AC ＝9510－10＝4510. 5. 解：(1)等边三角形．第4题解图【解法提示】∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，又∵∠BAC 和∠CPB 是同弧所对的圆周角，∠ABC 和∠APC 是同弧所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ＝60°，∠ABC ＝∠APC ＝60°， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°， ∴AC ＝BC ，又∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， ∴△ABC 是等边三角形． (2)P A ＋PB ＝PC .证明如下：如解图①，在PC 上截取PD ＝P A ，连接AD ， ∵∠APC ＝60°， ∴△P AD 是等边三角形， ∴P A ＝AD ＝PD ，∠P AD ＝60°， 又∵∠BAC ＝60°， ∴∠P AB ＝∠DAC ， 在△P AB 和△DAC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AD ∠P AB ＝∠DAC ，AB ＝AC ∴△P AB ≌△DAC (SAS)， ∴PB ＝DC ， ∵PD ＋DC ＝PC ， ∴P A ＋PB ＝PC ，(3)当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 的面积最大． 理由如下：如解图②，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，第5题解图①第5题解图②过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ， ∵S △P AB ＝12AB ·PE ，S △ABC ＝12AB ·CF ， ∴S 四边形APBC ＝12AB ·(PE ＋CF )．当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径， 此时四边形APBC 的面积最大， 又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝ 3 ， ∴四边形APBC 的最大面积为12×2×3＝ 3 . 类型二 与切线有关的证明与计算 一、与三角函数结合 针对演练1. (1)证明：连接OE ，如解图， ∵AB ＝BC 且D 是AC 中点， ∴BD ⊥AC ， ∵BE 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝∠DBE ， ∵OB ＝OE ， ∴∠OBE ＝∠OEB ， ∴∠OEB ＝∠DBE ， ∴OE ∥BD ，第1题解图∵BD ⊥AC ， ∴OE ⊥AC ， ∵OE 为⊙O 半径， ∴AC 与⊙O 相切；(2)解：∵BD ＝6，sin C ＝35，BD ⊥AC ， ∴BC ＝BDsin C ＝10， ∴AB ＝BC ＝10.设⊙O 的半径为r ，则AO ＝10－r ， ∵AB ＝BC ， ∴∠C ＝∠A ， ∴sin A ＝sin C ＝35， ∵AC 与⊙O 相切于点E ， ∴OE ⊥AC ，∴sin A ＝OE OA ＝r 10－r ＝35，∴r ＝154， 即⊙O 的半径是154.2. (1)证明：连接OC ，如解图， ∵PC 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PC ， ∴∠PCO ＝90°， ∴∠PCA ＋∠OCA ＝90°， ∵AB 为⊙O 的直径，第2题解图∴∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠OAC ＝90°， ∵OC ＝OA ， ∴∠OCA ＝∠OAC ， ∴∠PCA ＝∠ABC ； (2)解：∵AE ∥PC ， ∴∠PCA ＝∠CAF ， ∵AB ⊥CG ， ∴AC ︵＝AG ︵， ∴∠ACF ＝∠ABC ， ∵∠PCA ＝∠ABC ， ∴∠ACF ＝∠CAF ， ∴CF ＝AF ， ∵CF ＝5， ∴AF ＝5， ∵AE ∥PC ， ∴∠F AD ＝∠P ， ∵sin ∠P ＝35， ∴sin ∠F AD ＝35，在Rt △AFD 中，AF ＝5，sin ∠F AD ＝35， ∴FD ＝3，AD ＝4， ∴CD ＝CF ＋FD ＝8， 在Rt △OCD 中，设OC ＝r ， ∴r 2＝(r －4)2＋82，∴r ＝10， ∴AB ＝2r ＝20， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，sin ∠EAD ＝35， ∴BE AB ＝35， ∵AB ＝20， ∴BE ＝12.3. 解：(1)直线PD 与⊙O 相切， 理由如下：如解图①，连接DO ，CO ， ∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDC ＝2∠ADC ， ∵∠AOC ＝2∠ADC ， ∴∠PDC ＝∠AOC ， ∵直径AB ⊥CD 于点E ， ∴∠AOD ＝∠AOC ， ∴∠PDC ＝∠AOD ， ∵∠AOD ＋∠ODE ＝90°， ∴∠PDC ＋∠ODE ＝90°， ∴OD ⊥PD ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴直线PD 与⊙O 相切； (2)如解图②，连接BD ， ∵M 恰为BC ︵的中点，第3题解图①∴∠CDM ＝∠BDM ， ∵OD ＝OB ， ∴∠BDM ＝∠DBA ， ∴∠CDM ＝∠DBA ， ∵直线PD 与⊙O 相切， ∴∠PDA ＋∠ADO ＝90°， 又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠ADO ＋∠BDM ＝90°， ∴∠PDA ＝∠BDM ， ∴∠PDA ＝∠DBA ＝∠CDM ， 又∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDM ＝3∠CDM ＝90°， ∴∠CDM ＝30°， ∴∠DBA ＝30°， ∴DE BE ＝tan30°＝33； (3)如解图③，∵tan ∠PDA ＝12，∠PDA ＝∠ADC ， ∴AE DE ＝12，即DE ＝2AE ，在Rt △DEO 中，设⊙O 的半径为r ， DE 2＋EO 2＝DO 2， ∴(2AE )2＋(r －AE )2＝r 2， 解得r ＝52AE ，在Rt △PDE 中，DE 2＋PE 2＝PD 2，第3题解图②第3题解图③∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝PD 2， ∵直线PD 与⊙O 相切，连接BD ， 由(2)知∠PDA ＝∠DBA ，∠P ＝∠P ， ∴△P AD ∽△PDB ， ∴PD PB ＝P A PD ，∴PD 2＝P A ·PB ，即PD 2＝2×(2＋2r )， ∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝2×(2＋2r )， 化简得5AE 2＋4AE ＝4r ， ∵r ＝52AE ， 解得r ＝3. 即⊙O 的半径为3. 二、与相似三角形结合 针对演练1. 证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°， ∴∠CDB ＝90°， 又∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠CDB ， 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△CBD ； (2)连接DO ，如解图，∵∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点， ∴DE ＝CE ＝BE ， ∴∠EDC ＝∠ECD ，第1题解图又∵OD ＝OC ， ∴∠ODC ＝∠OCD ，而∠OCD ＋∠DCE ＝∠ACB ＝90°， ∴∠EDC ＋∠ODC ＝90°，即∠EDO ＝90°， ∴DE ⊥OD ， ∵OD 为⊙O 的半径， ∴DE 与⊙O 相切．2. (1)证明：连接CE ，如解图， ∵CD 为⊙O 的直径， ∴∠CED ＝90°， ∵∠BCA ＝90°， ∴∠CED ＝∠BCO ， ∵BO ∥DE ， ∴∠BOC ＝∠CDE ， ∴△CBO ∽△ECD ， ∴CO DE ＝BO CD ， ∴CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)解：∵∠DFE ＝∠ECO ，CD ＝2·OC ＝10，∴在Rt △CDE 中，ED ＝CD ·sin ∠ECO ＝CD ·sin ∠DFE ＝ 10×35＝6，∴CE ＝CD 2－ED 2＝102－62＝8， 在Rt △CEG 中，EG CE ＝sin ∠ECG ＝35， ∴EG ＝35×8＝245，第2题解图根据垂径定理得：EF ＝2EG ＝485. 3. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵AB ＝AC ，∴AD 垂直平分BC ，即DC ＝DB ， ∴OD 为△BAC 的中位线， ∴OD ∥AC . 而DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠DAC ＝∠DAB ，且∠AED ＝∠ADB ＝90°， ∴∠ADE ＝∠ABD ，在Rt △ADB 中，sin ∠ADE ＝sin ∠ABD ＝AD AB ＝45，而AB ＝10， ∴AD ＝8，在Rt △ADE 中，sin ∠ADE ＝AE AD ＝45， ∴AE ＝325， ∵OD ∥AE ， ∴△FDO ∽△FEA ，∴OD AE ＝FO F A ，即5325＝BF ＋5BF ＋10，第3题解图∴BF ＝907.4. (1)证明：如解图①，连接OD 、OE 、ED . ∵BC 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥BC ，∴∠ODB ＝90°＝∠C ， ∴OD ∥AC ， ∵∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°， ∵OA ＝OE ，∴△AOE 是等边三角形， ∴AE ＝AO ＝OD ，∴四边形AODE 是平行四边行， ∵OA ＝OD ，∴平行四边形AODE 是菱形； (2)解：设⊙O 的半径为r . ∵OD ∥AC ， ∴△OBD ∽△ABC ，∴OD AC ＝OBAB ，即10r ＝6(10－r )． 解得r ＝154， ∴⊙O 的半径为154.如解图②，连接OD 、DF 、AD . ∵OD ∥AC ， ∴∠DAC ＝∠ADO ，第4题解图①∵OA ＝OD ， ∴∠ADO ＝∠DAO ， ∴∠DAC ＝∠DAO ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°＝∠C ， ∴△ADC ∽△AFD ， ∴AD AC ＝AF AD ， ∴AD 2＝AC ·AF ，∵AC ＝6，AF ＝154×2＝152， ∴AD 2＝152×6＝45，∴AD ＝45＝3 5.(9分) 5. 解：(1)存在，AE ＝CE . 理由如下：如解图①，连接AE ，ED ， ∵AC 是△ABC 的斜边， ∴∠ABC ＝90°， ∴AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， 又∵D 是AC 的中点， ∴ED 为AC 的中垂线， ∴AE ＝CE ；(2)①如解图②，∵EF 是⊙O 的切线， ∴∠AEF ＝90°.第5题解图①由(1)可知∠ADE＝90°，∴∠AED＋∠EAD＝90°，∵∠AED＋∠DEF＝90°，∴∠EAD＝∠DEF.又∵∠ADE＝∠EDF＝90°∴△AED∽△EFD，∴ADED＝EDFD，∴ED2＝AD·FD.又∵AD＝DC＝CF，∴ED2＝2AD·AD＝2AD2，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2＋ED2＝3AD2，由(1)知∠AED＝∠CED，又∵∠CED＝∠CAB，∴∠AED＝∠CAB，∴sin∠CAB＝sin∠AED＝ADAE＝13＝33.②sin∠CAB＝a＋2 a＋2.【解法提示】由(2)中的①知ED2＝AD·FD，∵CF＝aCD(a＞0)，∴CF＝aCD＝aAD，∴ED2＝AD·DF＝AD(CD＋CF)＝AD(AD＋aAD)＝(a＋1)AD2，在Rt△AED中，AE2＝AD2＋ED2＝(a＋2)AD2，∴sin ∠CAB ＝sin ∠AED ＝ADAE ＝1a ＋2＝a ＋2a ＋2. 6. (1)证明：∵∠ODB ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ， ∴∠ODB ＝∠ABC ， ∵OF ⊥BC ， ∴∠BFD ＝90°，∴∠ODB ＋∠DBF ＝90°， ∴∠ABC ＋∠DBF ＝90°， 即∠OBD ＝90°， ∴BD ⊥OB ， ∵OB 为⊙O 的半径， ∴BD 是⊙O 的切线；(2)证明：连接AC ，如解图①所示： ∵OF ⊥BC ， ∴BE ︵＝CE ︵， ∴∠ECH ＝∠CAE ， ∵∠HEC ＝∠CEA ， ∴△CEH ∽△AEC ， ∴CE EH ＝EA CE ， ∴CE 2＝EH ·EA ；(3)解：连接BE ，如解图②所示： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，∵⊙O 的半径为5，sin ∠BAE ＝35，第6题解图①第6题解图②∴AB ＝10，BE ＝AB ·sin ∠BAE ＝10×35＝6， 在Rt △AEB 中，EA ＝AB 2－BE 2＝102－62＝8， ∵BE ︵＝CE ︵， ∴BE ＝CE ＝6， ∵CE 2＝EH ·EA ， ∴EH ＝CE 2EA ＝628＝92，在Rt △BEH 中，BH ＝BE 2＋EH 2＝62＋（92）2＝152.7. (1)证明：连接OD ，如解图①， ∵AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ， ∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴BD ︵＝CD ︵， ∴OD ⊥BC ， ∵BC ∥DF ， ∴OD ⊥DF ， ∴DF 为⊙O 的切线；(2)解：连接OB ，连接OD 交BC 于P ，作BH ⊥DF 于H ，如解图①，∵∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝30°，∴∠BOD ＝2∠BAD ＝60°， 又∵OB ＝OD ，∴△OBD 为等边三角形， ∴∠ODB ＝60°，OB ＝BD ＝23，第7题解图①∴∠BDF ＝30°， ∵BC ∥DF ， ∴∠DBP ＝30°，在Rt △DBP 中，PD ＝12BD ＝3，PB ＝3PD ＝3， 在Rt △DEP 中， ∵PD ＝3，DE ＝7，∴PE ＝（7）2－（3）2＝2， ∵OP ⊥BC ， ∴BP ＝CP ＝3，∴CE ＝CP －PE ＝3－2＝1， 易证得△BDE ∽△ACE ， ∴BE AE ＝DE CE ，即5AE ＝71， ∴AE ＝577. ∵BE ∥DF ， ∴△ABE ∽△AFD ，∴BE DF ＝AE AD ，即5DF ＝5771277，解得DF ＝12，在Rt △BDH 中，BH ＝12BD ＝3， ∴S 阴影＝S △BDF －S 弓形BD ＝S △BDF －(S 扇形BOD －S △BOD )＝12·12·3－60·π·（23）2360＋34·(23)2＝93－2π；(7分)(3)解：连接CD ，如解图②，由AB AC ＝43可设AB ＝4x ，AC ＝3x ，BF ＝y ， ∵BD ︵＝CD ︵， ∴CD ＝BD ＝23， ∵DF ∥BC ，∴∠F ＝∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ， ∴△BFD ∽△CDA ， ∴BD AC ＝BF CD ，即233x ＝y 23，∴xy ＝4，∵∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ＝∠F AD ， 而∠DFB ＝∠AFD ， ∴△FDB ∽△F AD ， ∴DF AF ＝BF DF ， ∵DF ＋BF ＝8， ∴DF ＝8－BF ＝8－y ， ∴8－y y ＋4x ＝y 8－y ， 整理得：16－4y ＝xy ， ∴16－4y ＝4，解得y ＝3， 即BF 的长为3.(10分) 三、与全等三角形结合第7题解图②针对演练1. (1)证明：连接OE ，过点O 作OF ⊥PN ，如解图所示， ∵PM 与⊙O 相切， ∴OE ⊥PM ，∴∠OEP ＝∠OFP ＝90°， ∵PC 平分∠MPN ， ∴∠EPO ＝∠FPO ， 在△PEO 和△PFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EPO ＝∠FPO ∠OEP ＝∠OFP OP ＝OP， ∴△PEO ≌△PFO (AAS)， ∴OF ＝OE ，∴OF 为圆O 的半径且OF ⊥PN, 则PN 与⊙O 相切；(2)解：在Rt △EPO 中，∠MPC ＝30°，PE ＝23， ∴∠EOP ＝60°，OE ＝PE ·tan30°＝2， ∴∠EOB ＝120°，则劣弧BE ︵的长为120π×2180＝4π3.2. (1)证明：如解图①，连接BO 并延长交⊙O 于点N ，连接CN ， ∵∠BMC ＝60°， ∴∠BNC ＝60°， ∵∠BNC ＋∠NBC ＝90°， ∴∠NBC ＝30°，又∵△ABC 为等边三角形，第1题解图∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABN ＝30°＋60°＝90°， ∴AB ⊥BO ，即AB 为⊙O 的切线．(2)解：BE ＋CF ＝3，是定值． 理由如下：如解图②，连接D 与AC 的中点P ， ∵D 为BC 中点， ∴AD ⊥BC ， ∴PD ＝PC ＝12AC ， 又∵∠ACB ＝60°，∴PD ＝PC ＝CD ＝BD ＝12AC ， ∴∠DPF ＝∠PDC ＝60°， ∴∠PDF ＋∠FDC ＝60°， 又∵∠EDF ＝120°， ∴∠BDE ＋∠FDC ＝60°， ∴∠PDF ＝∠BDE ， 在△BDE 和△PDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠DPF BD ＝PD∠BDE ＝∠PDF， ∴△BDE ≌△PDF (ASA)， ∴BE ＝PF ，∴BE ＋CF ＝PF ＋CF ＝CP ＝BD ， ∵OB ⊥AB ，∠ABC ＝60°，第2题解图②∴∠OBC ＝30°， 又∵OB ＝2，∴BD ＝OB ·cos30°＝2×32＝3， 即BE ＋CF ＝ 3.3. (1)证明：连接OC ，如解图①， ∵OD ⊥AC ，OC ＝OA ， ∴∠AOD ＝∠COD . 在△AOE 和△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOE ＝∠COE OE ＝OE， ∴△AOE ≌△COE (SAS)， ∴∠EAO ＝∠ECO . 又∵EC 是⊙O 的切线， ∴∠ECO ＝90°， ∴∠EAO ＝90°. ∴AE 与⊙O 相切；(2)解：设DO ＝t ，则DE ＝3t ，EO ＝4t ， 在△EAO 和△ADO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA ＝∠AOD ∠EAO ＝∠ADO， ∴△EAO ∽△ADO ， ∴AO DO ＝EO AO ，即9t ＝4t 9， ∴t ＝92，即EO ＝18.第3题解图①∴AE ＝EO 2－AO 2＝182－92＝93；延长BD 交AE 于点F ，过O 作OG ∥AE 交BD 于点G ， 如解图②， ∵OG ∥AE ， ∴∠FED ＝∠GOD 又∵∠EDF ＝∠ODG ， ∴△EFD ∽△OGD ， ∴EF OG ＝ED OD ＝31，即EF ＝3GO . 又∵O 是AB 的中点， ∴AF ＝2GO ，∴AE ＝AF ＋FE ＝5GO ， ∴5GO ＝93， ∴GO ＝935， ∴AF ＝1835， ∴tan B ＝AF AB ＝35.4. (1)证明：如解图，连接OB ， ∵PB 是⊙O 的切线， ∴∠PBO ＝90°，∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于点D ， ∴AD ＝BD ，∠POA ＝∠POB ， 又∵PO ＝PO ，∴△P AO ≌△PBO (SAS)， ∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，第3题解图②第4题解图∴OA ⊥P A ，∴直线P A 为⊙O 的切线；(2)解：线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系为EF 2＝4OD ·OP . 证明：∵∠P AO ＝∠PDA ＝90°，∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OP A ＋∠AOP ＝90°，∴∠OAD ＝∠OP A ，∴△OAD ∽△OP A ，∴ OD OA ＝OA OP ，即OA 2＝OD ·OP ，又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3，设AD ＝x ，∵tan ∠F ＝12，∴FD ＝2x ，OA ＝OF ＝FD －OD ＝2x －3，在Rt △AOD 中，由勾股定理，得(2x －3)2＝x 2＋32，解之得，x 1＝4，x 2＝0(不合题意，舍去)，∴AD ＝4，OA ＝2x －3＝5，∵AC 是⊙O 直径，∴∠ABC ＝90°，又∵AC ＝2OA ＝10，BC ＝6，∴ cos ∠ACB ＝610＝35.∵OA 2＝OD ·OP ，∴3(PE ＋5)＝25，∴PE ＝103.5. (1)证明：连接OD ，如解图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∴∠DAB ＝∠ABD ＝45°，∴△DAB 为等腰直角三角形，∴DO ⊥AB ，∵PD 为⊙O 的切线，∴OD ⊥PD ，∴PD ∥AB ；(2)证明：∵AE ⊥CD 于点E ，BF ⊥CD 于点F ，∴AE ∥BF ，∴∠FBO ＝∠EAO ，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴∠EDA ＋∠FDB ＝90°，∵∠FBD ＋∠FDB ＝90°，∴∠FBD ＝∠EDA ，在△FBD 和△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFD ＝∠DEA ∠FBD ＝∠EDA BD ＝DA， ∴△FBD ≌△EDA (AAS)，∴DE ＝BF ；第5题解图(3)解：在Rt △ACB 中，∵AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，∴BC ＝6×43＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴AD ＝AB 2＝52， ∵AE ⊥CD ，∴△ACE 为等腰直角三角形，∴AE ＝CE ＝AC 2＝62＝32， 在Rt △AED 中，DE ＝AD 2－AE 2＝（52）2－（32）2＝42，∴CD ＝CE ＋DE ＝32＋42＝72，∵AB ∥PD ，∴∠PDA ＝∠DAB ＝45°，∴∠PDA ＝∠PCD ，又∵∠DP A ＝∠CPD ，∴△PDA ∽△PCD ，∴PD PC ＝P A PD ＝AD DC ＝5272＝57， ∴P A ＝57PD ，PC ＝75PD ，又∵PC ＝P A ＋AC ，∴57PD ＋6＝75PD ，解得PD ＝354，∴PC ＝57PD ＋6＝57×354＋6＝254＋6＝494.6. (1)证明：如解图①，连接OC ，∵P A 切⊙O 于点A ，∴∠P AO ＝90°，∵BC ∥OP ，∴∠AOP ＝∠OBC ，∠COP ＝∠OCB ，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴∠AOP ＝∠COP ，在△P AO 和△PCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOP ＝∠COP OP ＝OP， ∴△P AO ≌△PCO (SAS)，∴∠PCO ＝∠P AO ＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 为⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线；(2)解：由(1)得P A ，PC 都为圆的切线，∴P A ＝PC ，OP 平分∠APC ，∠ADO ＝∠P AO ＝90°， ∴∠P AD ＋∠DAO ＝∠DAO ＋∠AOD ，又∵∠ADP ＝∠ADO ，∴∠P AD ＝∠AOD ，∴△ADP ∽△ODA ，∴AD PD ＝DO AD ，第6题解图①∴AD 2＝PD ·DO ，∵AC ＝8，PD ＝163， ∴AD ＝12AC ＝4，OD ＝3，在Rt △ADO 中，AO ＝AD 2＋OD 2＝5，由题意知OD 为△ABC 的中位线，∴BC ＝6，AB ＝BC 2＋AC 2＝10.∴S 阴影＝12S ⊙O －S △ABC ＝12·π·52－12×6×8＝25π2－24；(3)解：如解图②，连接AE 、BE ，作BM ⊥CE 于点M ， ∴∠CMB ＝∠EMB ＝∠AEB ＝90°，∵点E 是AB ︵的中点，∴AE ＝BE ，∠EAB ＝∠EBA ＝45°，∴∠ECB ＝∠CBM ＝∠ABE ＝45°，CM ＝MB ＝BC ·sin45°＝32，BE ＝AB ·cos45°＝52，∴EM ＝BE 2－BM 2＝42，则CE ＝CM ＋EM ＝7 2.7. (1)证明：连接OD ，如解图①所示，∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠OBD .∵OG ∥BD ，∴∠AOG ＝∠OBD ，∠GOD ＝∠ODB ，∴∠DOG ＝∠AOG ，在△DOG 和△AOG 中，第6题解图②第7题解图①⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OA ∠DOG ＝∠AOG OG ＝OG， ∴△DOG ≌△AOG (SAS)，∴GD ＝GA ；(2)证明：∵AG 切⊙O 于点A ，∴AG ⊥OA ，∴∠OAG ＝90°，∵△DOG ≌△AOG ，∴∠OAG ＝∠ODG ＝90°，∴∠ODE ＝180°－∠ODG ＝90°，∴∠ODC ＋∠FDE ＝90°，∵OC ⊥AB ，∴∠COB ＝90°，∴∠OCD ＋∠OFC ＝90°，∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD ，∴∠FDE ＝∠OFC ，∵∠OFC ＝∠EFD ，∴∠EFD ＝∠EDF ，∴EF ＝ED ，∴△DEF 是等腰三角形；(3)解：过点B 作BK ⊥OD 于点K ，如解图②所示： 则∠OKB ＝∠BKD ＝∠ODE ＝90°，∴BK ∥DE ，∴∠OBK ＝∠E ，∵BH ⊥GE ，∴∠BHD ＝∠BHE ＝90°， ∴四边形KDHB 为矩形， ∴KD ＝BH ＝9，∴OK ＝OD －KD ＝72，在Rt △OKB 中，∵OK 2＋KB 2＝OB 2，OB ＝252， ∴KB ＝12，∴tan ∠E ＝tan ∠OBK ＝OK KB ＝724，sin ∠E ＝sin ∠OBK ＝OK OB ＝725，∵tan ∠E ＝OD DE ＝724，∴DE ＝3007，∴EF ＝3007，∵sin ∠E ＝BH BE ＝725，∴BE ＝2257，∴BF ＝EF －BE ＝757，∴OF ＝OB －BF ＝2514，在Rt △COF 中，∠COB ＝90°， ∴OC 2＋OF 2＝FC 2，∴FC ＝125214，在Rt △COB 中，∵OC 2＋OB 2＝BC 2，OC ＝OB ＝252， ∴BC ＝2522，∴BC ＋CF ＋BF ＝1502＋757， ∴△CBF 的周长＝1502＋757.。

1．如图，在ABC中，AB AC=，以AB为直径作O，交BC于点D，交AC于点E，过点B作O 的切线交OD的延长线于点F．(1)求证：A BOF∠=∠；(2)若4AB=，1DF=，求AE的长．2．如图，AB是O的直径，点C在O上，ABC∠的平分线与AC相交于点D，与O过点A的切线相交于点E．(1)猜想EAD的形状，并证明你的猜想；(2)若8AB=，6AD=，求BD的长．3．如图所示，Rt△ABC中∠ACB＝90°，斜边AB与⊙O相切于D，直线AC过点O并于⊙O相交于E、F两点，BC与DF交于点G，DH⊥AC于H．(1)求证：∠B＝2∠F；(2)若HE＝4，cos B＝35，求DF的长．4．如图，O的直径23AB=点C为O上一点，CF为O的切线，OE AB⊥于点O，分别交AC，CF于D，E两点．(1)求证：ED EC=；(2)若30∠=︒，求图中两处（点C左侧与点C右侧）阴影部分的面积之和．A5．已知PA，PB分别与O相切于点A，B，C为O上一点，连接AC，BC．∠的大小；(1)如图①，若70∠=︒，求ACBAPB∠的大小．(2)如图②，AE为O的直径交BC于点D，若四边形PACB是平行四边形，求EAC6．如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，BDC A⊥，交AD的延长线于∠=∠，CE AD点E．(1)求证：CD与O相切：(2)若4CE=，2DE=，求AD的长，7．如图，四边形ABCD为平行四边形，边AD是O的直径，O交AB于F点，DE为O的切线交BC于E，且BE BF=，BD和O交于G点．(1)求证：四边形ABCD为菱形．(2)若O半径52r=，5BG=BF长．8．如图，O为ABC的外接圆，AB为直径，ABC∠的角平分线BD交O于点D，过点D作O 的切线DE，交BC的延长线于点E．(1)求证：DE BC⊥；(2)若1CE=，3DE=O的半径．9．如图，AB是O的直径，CA与O相切于点A，且AB AC=．连接OC，过点A作AD OC⊥于点E，交O于点D，连接DB．(1)求证：ACE BAD△△≌；(2)连接BC交O于点F．若6AD=，求BF的长．10．在Rt ABC中，90C∠=︒，以AC为直径的O与AB相交点D、E是BC的中点．(1)判断ED与O的位置关系，并说明理由；(2)若O的半径为3，DEC A∠=∠，求DC的长．11．如图，在ABC中，以ABC的边AB为直径作O，交AC于点D，DE是O的切线，且DE BC⊥，垂足为点E．(1)求证AB BC=；(2)若3DE=，610AC=O的半径．12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O在AC上，过点C作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，过点O作OE BC，交⊙O于点E，连接CE交AB于点F．(1)求证：CE平分∠ACB；(2)连接OD，若CF=CD=6，求OD的长．13．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径⊙O的交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交BA 延长线于点E，延长CA交⊙O于点F，交DE于点G，连接DF．(1)求证：点E为线段CF垂直平分线上一点；，BE=8，求AF的长．(2)若sin∠E=3514．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是AC的中点，连接OD，交AC于点E ，作BF ∥CD ，交DO 的延长线于点F ．(1)求证：四边形BCDF 是平行四边形．(2)若AC =8，连接BD ，tan∠DBF =34，求直径AB 的长及四边形ABCD 的周长．15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交AC 于点F ，交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE ，交AC 于点E ．(1)求证：DE ⊥AC ；(2)若⊙O 的直径为5，25sin B =EF 的长． 16．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作CE ⊥OB ，交⊙O 于点C ，垂足为点E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF ⊥PC 于点F ，连接CB ．(1)求证：△CBE ∽△CPB ；(2)当43AB =34CF CP =时，求扇形COB 的面积． 17．如图，AB 为O 的直径，ACB ∠的角平分线交O 于点D ，交AB 于点E ，CAB ∠的角平分线交CD 于点F ．(1)求证：ADB 为等腰直角三角形；(2)求证：2DF DE DC =⋅．18．如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆上的点（在AB 同侧），过点D 的圆的切线交直线AB 于点E ．(1)若2AB =，1BC =，求AC 的长；(2)若四边形ACDE 是平行四边形，证明：BD 平分ABC ∠．19．如图，AB 与O 相切于点B ，BC 为O 的弦，OC OA ⊥，OA 与BC 相交于点P ．(1)求证：AP AB =； (2)若4OB =，3AB =，求线段BP 的长．20．如图，ABC ∆为O 的内接三角形，AD BC ⊥，垂足为D ，直径AE 平分BAD ∠，交BC 于点F ，连接BE ．(1)求证：AEB AFD ∠=∠；(2)若10AB =，5BF =，求DF 的长；(3)若点G 为AB 的中点，连接DG ，若点O 在DG 上，求:BF FC 的值．参考答案：1．(1)见解析 (2)83AE =【分析】(1)首先根据等边对等角可证得C ODB ∠=∠，再根据平行线的判定与性质，即可证得结论；(2)首先根据圆周角定理及切线的性质，可证得AEB OBF ∠=∠，即可证得ABE OFB △∽△，再根据相似三角形的性质即可求得．（1）证明：AB AC =C ABC ∴∠=∠ OB OD =ODB OBD ∴∠=∠C ODB ∴∠=∠AC OD ∴∥A BOF ∴∠=∠（2）解：如图：连接BEAB 是O 的直径，AB =490AEB ∴∠=︒，122OB OD AB === BF 是O 的切线90OBF ∴∠=︒AEB OBF ∴∠=∠又A BOF ∠=∠ABE OFB ∴△∽△AE AB OB OF∴=又213OF OD DF =+=+=423AE ∴=，解得83AE = 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线，证得ABE OFB △∽△是解决本题的关键．2．(1)等腰三角形，证明见解析； (2)145.【分析】（1）利用角平分线和∠C =∠BAE =90°，得出∠E =∠4，从而得到AD =AE 可得三角形的形状；（2）先证明△BCD ∽△BAE ，利用相似比得到得出即34AE DC AB BC ==，若设CD =3x ，则BC =4x ，BD =5x ，再利用勾股定理得到（4x ）2+（6+3x ）2=82，然后解方程求出x 后计算5x 即可．(1)猜想：△EAD 是等腰三角形,证明：∵BE 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，∵AB 为直径，∴∠C =90°，∴∠2+∠3=90°，∵AE 为切线,∴AE ⊥AB ，∴∠E +∠1=90°，∴∠E =∠3，而∠4=∠3，∴∠E =∠4，∴AE =AD ，∴△EAD 是等腰三角形；(2)∵∠2=∠1，∴Rt △BCD ∽Rt △BAE ，∴CD ：AE =BC ：AB ， 即34AE DC AB BC ==， 设CD =3x ，BC =4x ，则BD =5x ，在Rt △ABC 中，AC =AD +CD =3x +6，∵（4x ）2+（6+3x ）2=82，解得x 1=1425，x 2=-1（舍去）， ∴BD =5x =145． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；也考查了利用勾股定理和相似比进行几何计算．3．(1)见解析； (2)85【分析】（1）连接OD ，由题意可得：90ODA =∠°，再根据∠ACB ＝90°，可得B AOD ∠=∠，由圆周角定理可得2AOD F ∠=∠，即可求解；（2）由（1）可得B AOD ∠=∠，则3cos 5OH AOD OD ∠==，设OD OE r ==，求得半径r ，由勾股定理求得DH ，再由勾股定理即可求得DF ．（1）解：连接OD ，如下图：∵AB 与⊙O 相切于D ，∴OD AB ⊥，即90ODA =∠°，∴90A AOD ∠+∠=︒，又∵∠ACB ＝90°，∴A B ∠∠=︒+90，∴B AOD ∠=∠，由圆周角定理可得：2AOD F ∠=∠，∴2B F ∠=∠；（2）解：∵DH ⊥AC∴90DHO ∠=︒，由（1）得B AOD ∠=∠， ∴3cos cos 5OH B AOD OD =∠==， 设OD OE OF r ===，则4OH r =-， 则435r r -=，解得10r =， 则6OH =，16HF OH OF =+= 由勾股定理可得：228DH OD OH -=， 由勾股定理可得：2285DF DH HF +=【点评】此题考查了圆的综合应用，涉及了切线的性质定理，圆周角定理，三角形内角和的性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．4．(1)见解析 3π-【分析】（1）连接OC ，则OC CF ⊥，故90ACE ACO ∠+∠=︒，又90ADO A ∠+∠=︒，且A ACO ∠=∠，可得ACE ADO EDC ∠=∠=∠，故ED EC =； （2）过点C 作CG AB ⊥于G ，结合三角函数的知识求得CG 与CE 的长，从而利用COE BOC COB COH S S S S S =+--△△阴影扇形扇形求得阴影部分的面积之和．（1）证明：连接OC ，CF 是O 的切线，∴OC CF ⊥，∴90ACO ACE ∠+∠=︒，OE AB ⊥，∴90ADO A ∠+∠=︒，OA OC =，∴A ACO ∠=∠，∴ACE ADO ∠=∠， 又ADO CDE ∠=∠，∴ACE CDE ∠=∠，∴ED EC =．（2）解：过点C 作CG AB ⊥于G ，30A ACO ∠=∠=︒，∴260BOC A ∠=∠=︒， ∴33sin 6032CG OC =︒==， 9030COE BOC ∠=︒-∠=︒，90OCE ∠=︒，∴3tan 3031CE OC =︒==． 1133122COE S OC CE =⨯⨯==△， 260(3)3602COB S ππ=⨯⨯=扇形， 230(3)3604COH S ππ=⨯⨯=扇形， 113333222BOC S OB CG =⨯⨯==△ ∴333324COE BOC COB COH S S S S S πππ-=+--=-=△△阴影扇形扇形 【点评】本题属于圆的综合题，涉及到了圆的切线的性质，扇形面积的计算方法，以及三角函数相关知识，解题的关键是学会常用辅助线的作法．5．(1)55°(2)30°【分析】（1）连接OA 、OB ，根据切线的性质可得∠OAP =∠OBP =90°，再根据四边形内角和等于360度求出AOB ∠，再由圆周角定理即可求出结果；（2）连接AB ，EC ，由切线长定理以及平行四边形的性质可证明四边形PACB 是菱形，进而证明△ABC 是等边三角形，进一步可得结论．（1）如图①，连接OA 、OB ，∵P A ，PB 是⊙O 的切线，∴∠OAP =∠OBP =90°，∵∠APB =70°，∴∠AOB =360°-90°-90°-70°=110°∴∠ACB =12∠AOB =11102⨯︒=55°； （2）如图②，连接AB ，EC ，∴,BAE BCE ∠=∠∵PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ，∴,PA PB =∵四边形PACB 是平行四边形，∴四边形PACB 是菱形，∴,AC BC =∵PA 是O 的切线，且AE 是O 的直径，∴,AE PA ⊥∵四边形APBC 是平行四边形，∴PA //BC∴,AE BC ⊥即∠90,ADB ︒=∴∠90,BAD ABD ︒+∠=∵AE 是O 的直径，∴∠90,ACE ︒=即∠90,ACD BCE ︒+∠=∵∠,BAD BCE =∠∴∠,ABD ACB =∠∴,AB AC =∴,AB AC BC ==即△ABC 是等边三角形，∴∠60,ABC BAC ACB ︒=∠=∠=∵,AE BC ⊥ ∴116030.22EAC BAC ︒︒∠=∠=⨯= 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质等知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．6．(1)见解析(2)6【分析】(1) 连接OD ，然后根据圆的性质和已知可以得到90ODC ∠=︒，即可证得CD 与O 相切；（2）由已知可以得到AEC CED ∽，再根据三角形相似的性质和已知条件即可求出AD 的值．（1）证明：连接OD ，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，即90ODB ADO ∠+∠=︒，∵OA OD =，∴ADO A ∠=∠，又∵BDC A ∠=∠；∴90ODB BDC ∠+∠=︒，即90ODC ∠=︒∴CD 是O 切线.（2）∵CE AE ⊥，∴90∠=∠=︒E ADB ，∴DB //EC ，∴DCE BDC ∠=∠，∵BDC A ∠=∠，∴A DCE ∠=∠，∵E E ∠=∠，∴AEC CED ∽， ∴CE AE DE CE=， ∴2CE DE AE =⋅，∴162(2)AD =+，∴6AD =．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆切线的判定方法、三角形相似的判定和性质是解题关键．7．(1)证明过程见解析(2)2【分析】（1）连接DF ，通过证明Rt △DFB ≌Rt △DEB （HL ）得到DF =DE ，证明△ADF ≌△CDE （ASA ）得到AF =CE ，即可证明四边形ABCD 是菱形；（2）连接AG，根据等腰三角形三线合一的性质得到DG=GB，设BF=x，则AF=5-x，利用勾股定理可得2222-=-，列出方程求解即可得到BF的长．AD AF DB BF（1）证明：连接DF，如图所示∵DE是切线，AD是直径∴∠ADE=90°，∠DF A=90°∵四边形ABCD是平行四边形∴∠DEB=90°，∠CDF=90°∴∠DFB=∠DEB=90°又∵BF=BE，DB=DB∴Rt△DFB≌Rt△DEB（HL）∴DF=DE∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C又∵∠AFD=∠DEC∴△ADF≌△CDE（AAS）∴AF=CE∴AB=CB∴四边形ABCD是菱形（2）解：连接AG，如图所示∵AD是直径∴∠AGD=90°，即AG⊥BD∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD∴DG=GB5∴DB5设BF=x，则AF=5-x∵2222AD AF DB BF -=-∴()(2222555x x --=-，解得x =2∴BF 的长为2【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、直径所对圆周角是直角、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，掌握这些知识点是解答本题的关键．8．(1)见解析(2)2【分析】（1）根据切线性质得90ODE ∠=︒，再根据圆及角平分线的性质，证得//OD BC ，最后根据平行线的性质，证得结论．（2）连接OD 交AC 于点F ，证明四边形CEDF 是矩形，再设O 的半径r ，在Rt AOF 中运用勾股定理，建立关于r 的方程，求解即可．(1)证明：如图，连接OD ，DE 与O 相切于点D ，DE OD ∴⊥，90ODE ∴∠=︒，OD OB =，ODB OBD ∴∠=∠， BD 平分ABC ∠，OBD DBC ， ODB DBC ，//OD BC ∴，18090E ODE ∴∠=︒-∠=︒，DE BC ∴⊥．(2)解：如图，连接OD 交AC 于点F ，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，18090ECF ACB ∴∠=︒-∠=︒，90ECF E EDF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形CEDF 是矩形．90AFO CFD ∴∠=∠=︒，1DF CE ==，FO AC ∴⊥，3AF CF DE ∴===设O 的半径为r ，则OA OD r ==，222OA OF AF =+，1OF r =-，()22213r r ∴=-+， 解得2r =，O ∴的半径为2．【点评】本题考查了与圆有关的综合问题，灵活运用切线性质，勾股定理进行推理求值是解题的关键．9．(1)证明见解析 310【分析】（1）根据切线的性质可得90BAD CAE ∠+∠=︒，根据圆周角定理的推论可得90BAD ABD ∠+∠=︒，即得出CAE ABD ∠=∠．结合题意即可利用“AAS ”证明ACE BAD △△≌；（2）连接AF ．由垂径定理可得132AE ED AD ===．再根据全等三角形的性质可得6CE AD ==，3AE ED BD ===，利用勾股定理可求出35AC AB ==．再根据圆周角定理的推论结合等腰三角形“三线合一”的性质即可求出13102BF BC ==．(1)证明：∵CA 与O 相切于点A ，∴90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒．∵AB 为直径，∴90BDA ∠=︒，∴90BAD ABD ∠+∠=︒，∴CAE ABD ∠=∠．∵AD OC ⊥，∴90AEC ADB ∠=∠=︒．又∵AB AC =，∴()ACE BAD AAS ≌△△；(2)如图，连接AF ．∵AD OC ⊥， ∴132AE ED AD ===． ∵ACE BAD △△≌，∴6CE AD ==，3AE ED BD ===∴在Rt AEC 中，22223635AC AE CE AB ++=， ∴2310BC ==∵AB 为直径，∴90AFB ∠=︒．∵AB =AC ， ∴13102BF BC ==． 【点评】本题为圆的综合题．考查切线的性质，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理．掌握与圆相关的知识点是解题关键．10．(1)相切；理由见解析(2)2π【分析】（1）连接OD，CD，再根据直径所对的圆周角是直角及直角三角形斜边上的中线性质证明OD⊥DE即可；（2）根据DEC A∠=∠证明三角形DEC是等边三角形，即可得到DC的圆心角是120°，再根据弧长公式计算即可．(1)ED与⊙O相切．理由：连接OD，CD．∵AC是直径，∴∠ADC=90°，在Rt△BDC中，E为BC的中点，∴DE=EC，∴∠3=∠2，又∵OD=OC，∴∠1=∠4，∵∠1+∠2=90°，∴∠ODE=∠3+∠4=90°，∴ED与⊙O相切；(2)∵∠A+∠1=90°，∠1+∠2=90°，∴∠A=∠2，∵∠DEC=∠A，∴∠2=∠3=∠DEC=60°，∴∠A=60°，∴∠DOC=2∠A=120°，∴弧DC的长=12032 180ππ⨯=．【点评】本题考查圆的性质及弧长公式，熟记直径所对的圆周角是直角、切线的证明、弧长公式是解题的关键．11．(1)见解析；(2)5【分析】（1）连接OD、BD，根据切线的性质得到OD⊥DE，推出OD∥BC，证得∠ODB=∠CBD，由此推出∠OBD=∠CBD，根据AB为O的直径，得到∠ADB=∠CDB=90°，证得△ABD≌△CBD（ASA），即可得到AB=BC；（2）根据AB=BC，BD⊥AC，求出AD=CD=13102AC=CE=9，证得△CDE∽△CBD，求出CB，即可得到O的半径．(1)证明：连接OD、BD，∵DE是O的切线，∴OD⊥DE，∵DE BC⊥，∴OD∥BC，∴∠ODB=∠CBD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∴∠OBD=∠CBD，∵AB为O的直径，∴∠ADB=∠CDB=90°，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD（ASA），∴AB=BC；(2)∵AB=BC，BD⊥AC，∴AD=CD=1310 2AC=∵DE=3，∴()222293103 CE CD DE=--，∵∠C=∠C，∠CED=∠CDB=90°，∴△CDE∽△CBD，∴2CD CE CB=⋅，∴(22109310CDCBCE===，∴AB=CB=10，∴O的半径为5．【点评】此题考查了切线的性质定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．12．(1)见解析(2)37【分析】（1）根据OC=OE，可得∠OCE=∠E，再由OE BC，可得∠E=∠BCE，从而得到∠OCE=∠BCE，即可求证；（2）根据CD=CF，可得∠BCD=∠BCE=∠OCE，再由CD是⊙O的切线，可得∠BCD=30°，再证得∠A=∠BCD=30°，根据直角三角形的性质，即可求解．【解析】（1）证明：∵OC=OE，∴∠OCE=∠E，∵OE BC，∴∠E=∠BCE，∴∠OCE=∠BCE，∴CE平分∠ACB；（2）解：如图，∵CD=CF，∴∠BCD=∠BCE，∵CE平分∠ACB，∴∠BCD=∠BCE=∠OCE，∵CD是⊙O的切线，∴∠ACD=90°，即∠BCD+∠ACB=90°，∴∠BCD=30°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠A=∠BCD=30°，∵CD=6，∴AD=2CD=12，∴2263AC AD CD-=∴33OC=∴2237OD OC CD=+=【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．13．(1)见解析(2)AF=185．【分析】（1）根据圆周角定理可得AD⊥BC，再由等腰三角形的性质可得BD=CD，进而得出OD是三角形的中位线，由切线的性质可得OD∥FC，证出三角形DFC是等腰三角形即可；（2）在Rt△ODE中，根据锐角三角函数可求出半径OD，进而得出直径AB，在Rt△ABF 中，由锐角三角函数可求出AF．(1)证明：如图，连接OC，AD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠ABC=∠F，∴∠F=∠ACB，∴DF=DC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，又∵OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴FC⊥DE，∵DF=DC，∴DE是FC的垂直平分线，即点E为线段CF垂直平分线上一点；(2)解：连接BF，在Rt△ODE中，设OD=x，则OE=BE-OB=8-x，∵sin∠E=35=ODOE，∴8xx=35，解得x=3，经检验x=3是原方程的根，∴AB=2OD=6，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴DG∥BF，∴∠E=∠ABF，在Rt△ABF中，AB=6，sin∠ABF=sin∠E=35，∴AF =AB •sin ∠ABF =6×35=185． 【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的边角关系是正确解答的前提．14．(1)见解析(2)AB =10，周长16+45【分析】（1）根据AB 是⊙O 的直径，得∠C =90°，根据点D 是AC 的中点，得CA ⊥DF ，即有∠AEO =90°，则有BC DF ∥，即可得证；（2）先利用平行及圆周角定理证得∠DBF =∠BAC ，则根据正切值和勾股定理即可求出CB 、AB ，在Rt △AEO 中，利用勾股定理得OE =3，在Rt △AED 中，利用勾股定理，得AD 5则四边形的周长可得．（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C =90°，∵点D 是AC 的中点，∴DO 垂直平分AC ，且AD =DC ，∴CA ⊥DF ，AE =EC ，∴∠AEO =90°，∴BC DF ∥，∵BF CD ∥，∴四边形BCDE 是平行四边形；（2）∵BC DF ∥，∴∠DBF =∠CDB ，又∵根据圆周角定理有∠CDB =∠BAC ，∴∠DBF =∠BAC ，即tan ∠BAC =34， ∵AC =8，∴CB =6，则在Rt △ACB 中，利用勾股定理可得AB =10，即AO =5=OD ，∵AE =EC =12AC ，∴AE=EC=4，在Rt△AEO中，利用勾股定理得OE=3，∴DE=OD-OE=5-3=2，在Rt△AED中，利用勾股定理，得AD5CD5∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD5545【点评】本题考查了平行四边的判定与性质、同弧所对的圆周角相等、同弧所对的弦相等、勾股定理以及解直角三角形的知识，利用正切值以及同弧所对的圆周角相等是解答本题的关键．15．(1)见解析(2)1【分析】（1）连接OD，由AB=AC，OB=OD，则∠B=∠ODB=∠C，则OD∥AC，由DE为切线，即可得到结论成立；（2）如图所示，连接BF，AD，先解直角三角形ACD求出AD的长，从而求出CD的长，然后分别解直角三角形BCF，直角三角形DCE，求出BF，DE，进而求出CF，CE，即可得到EF．（1）解：连接OD，如图：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠B=∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DE是切线，∴OD⊥DE，∴AC⊥DE；（2）解：如图所示，连接BF，AD，∵AB是圆O的直径，∴∠AFB=∠ADB=90°，∴∠BFC=90°，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°∵AB=AC，∴BC=2CD，∠ABD=∠C，∴25 sin sinADABD CAC∠===∴2525 AD AC==∴225CD AC AD-∴5BC=∴sin2DE CD C=⋅=，sin=4BF BC C=⋅，∴221CE CD DE=-=，222CF BC BF=-=，∴EF=CF-CE=1．【点评】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质与判定，解直角三角形、勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的求出边的长度．．16．(1)见解析(2)2π【分析】（1）先证明∠CEB=∠CBP＝90°，再由∠D+∠P=90°，∠CAB＋∠CBE＝90°，∠CAB=∠D，推出∠CBE=∠P，即可证明结论；（2）设CF=3k，CP=4k，先证明∠F AC=∠CAB，得到CE=CF=3k，再由相似三角形的性质得到BC2＝CE•CP；从而求出sin∠CBE323k∠CBE=60°，即可证明△OBC是等边三角形，得到∠COB=60°，据此求解即可．（1）解：∵CE⊥OB，CD为圆O的直径，∴∠CEB=∠DBC＝90°，∴∠CEB=∠CBP＝90°，∵PF是切线，∴∠DCP=90°，∴∠D+∠P=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°∴∠CAB＋∠CBE＝90°，∵∠CAB=∠D，∴∠CBE=∠P，∴△CBE∽△CPB；（2）解：∵34 CFCP=，∴设CF=3k，CP=4k，∵PF是切线，∴OC⊥PF，∵AF⊥PF，∴AF∥OC．∴∠F AC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠OAC=∠ACO，∴∠F AC=∠CAB，∴CE=CF=3k，∵△CBE∽△CPB，∴CB CE CP CB=，∴BC2＝CE•CP；∴BC =23k∴sin ∠CBE 323k= ∴∠CBE =60°，∵OB =OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴∠COB =60°， ∵43AB =∴扇形COB 的面积260232360ππ⨯=（） 【点评】本题主要考查了圆切线的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，角平分线的性质，解直角三角形，扇形面积，等边三角形的性质与判定等等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．17．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据AB 为O 的直径，可得90ADB ACB ∠=∠=︒，由ACB ∠的角平分线交O 于点D ，可得45ACD BCD ∠=∠=︒，AD BD =，AD BD =，进而结论得证；（2）由CAB ∠的角平分线交CD 于点F ，得到CAF BAF ∠=∠，结合（1）可得ACD BAD ∠=∠，再由∠=∠+∠DFA CAF ACD ，∠=∠+∠DAF BAF BAD ，得到DFA DAF ∠=∠，从而说明DA DF =，最后再证明ADE CDA △∽△，利用相似三角形的性质即可得证．(1)证明：∵AB 为O 的直径，∴90ADB ACB ∠=∠=︒，∵ACB ∠的角平分线交O 于点D ，∴45ACD BCD ∠=∠=︒，∴AD BD =，∴AD BD =，∴ADB 为等腰直角三角形；(2)证明：∵CAB ∠的角平分线交CD 于点F ，∴CAF BAF ∠=∠，由（1）可知：45ACD ∠=︒，AD BD =，90ADB ∠=︒∴45BAD ABD ∠=∠=︒，∴ACD BAD ∠=∠，∵∠=∠+∠DFA CAF ACD ，∠=∠+∠DAF BAF BAD ，∴DFA DAF ∠=∠，∴DA DF =，在ADE 和CDA 中DAE DCA ADE CDA ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴ADE CDA △∽△， ∴AD DE CD AD=， ∴2AD DE DC =⋅，∴2DF DE DC =⋅．【点评】本题考查的是圆和三角形的综合题，考查了直径所对的圆周角为90°，角平分线，圆周角，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质等知识．对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键．18．(1)3AC =(2)见解析【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得90ACB ∠=︒，再根据勾股定理进行计算即可；（2）连结BD ，连结OD 与AC 交于F 点．根据切线的性质及平行四边形的性质可证明四边形OBCD 是菱形，即可得到结论．(1)∵AB 是圆O 的直径，∴90ACB ∠=︒∴2223AC AB BC =-=，∴3AC =．(2)连结BD ，连结OD 与AC 交于F 点．∵ED 与圆O 相切于D 点，∴OD ED ⊥，∵四边形ACDE 是平行四边形，∴ED AC ∥， CD EA ∥，∴OD AC ⊥，90OFA ACB ∠=︒=∠，∴OD BC ∥，∵CD EB ∥，OD OB =，∴四边形OBCD 是菱形，∴BD 平分ABC ∠．【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理、平行四边形的性质及菱形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的根据．19．(1)见解析 65【分析】（1）根据等角的余角相等，ABP CPO ∠=∠，进而证得APB ABP ∠=∠，最后结论得证；（2）作OH BC ⊥于H ，在Rt POC △中，求出OP ，PC ，OH ，CH 即可解决问题．（1）证明：∵OC OB =，∴OCB OBC ∠=∠，∵AB 是O 的切线，∴OB AB ⊥，∴90OBA ∠=︒，∴90ABP OBC ∠+∠=︒，∵OC AO ⊥，∴=90AOC ∠︒，∴90OCB CPO ∠+∠=︒，∴ABP CPO ∠=∠，∵APB CPO ∠=∠，∴APB ABP ∠=∠，∴AP AB =．（2）解：作OH BC ⊥于H ,在Rt OAB 中，∵4OB =，3AB =， ∴22345OA +，∵3AP AB ==，∴2PO =．在Rt POC △中，∵4OC OB == ∴2225PC OC OP =+=1122POC S PC OH OC OP ==△， ∴455OC OP OH PC == ∴2285CH OC OH =- ∵OH BC ⊥，∴CH BH =，∴1652BC CH = ∴165655PB BC PC =-=-=． 【点评】本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、垂径定理等知识，学会添加适当的辅助线，构造直角三角形解决问题是解本题的关键．20．(1)见解析(2)3DF =22【分析】（1）由题意得BAE DAE ∠=∠，且90ABE ︒∠=，即90BAE AEB ︒∠+∠=，根据AD BC ⊥得90DAE AFD ︒∠+∠=，即可得；（2）根据AEB AFD ∠=∠，AFD BFE ∠=∠得BEF BFE ∠=∠，即BE BF =，根据BAE DAF ∠=∠，90ABE ADF ︒∠=∠=得ΔΔABE ADF ∽，根据10AB =，5BF =得12BE AB =，设DF x =，则2AD x =，在Rt ABD ∆中，根据勾股定理， 即()()2221052x x =++，即可得；（3）根据点G 为AB 中点，点O 在DG 上得OG 是ABE ∆的中位线，即OG BE ∥，12OG BE =，根据90ABE ︒∠=得OD DF =，AEB ∠和ACB ∠是AB 所对的圆周角得AEB ACB ∠=∠，即ACB AFC ∠=∠，即有AC AF =，设BF a =，DF b =， 有11222BE OD a b DG BD BF DF a b ++===++，即可得． (1)解：∵直径AE 平分BAD ∠，∴BAE DAE ∠=∠，且90ABE ︒∠=，∴90BAE AEB ︒∠+∠=，∵AD BC ⊥，∴90DAE AFD ︒∠+∠=，∴AEB AFD ∠=∠．(2)解：∵AEB AFD ∠=∠，AFD BFE ∠=∠，∴BEF BFE ∠=∠，∴BE BF =，∵BAE DAF ∠=∠，90ABE ADF ︒∠=∠=，∴ΔΔABE ADF ∽，∵10AB =，5BF =， ∴51102BE BF DF AB AB AD ====， 设DF x =，则2AD x =，在Rt ABD ∆中，根据勾股定理，222AB BD AD =+，即()()2221052x x =++，解得：13x =，25x =-，舍去负值，得到3DF =．(3)解：如图所示，∵点G 为AB 中点，点O 在DG 上，∴OG 是ABE ∆的中位线，∴OG BE ∥，12OG BE =， ∵90ABE ︒∠=，∴DG AB ⊥，ABD ∆是等腰直角三角形，AOG AEB AFD ∠=∠=∠，∴OD DF =，∵AEB ∠和ACB ∠是AB 所对的圆周角，∴AEB ACB ∠=∠，∴ACB AFC ∠=∠，即有AC AF =，∵AD CF ⊥，∴DF CD =．设BF a =，DF b =， 有11222BE OD a b DG BD BF DF a b ++===++， 解得2a b =， ∴::222BF FC a b ==．【点评】本题考查了圆与三角形，解题的关键是掌握垂径定理，相似三角形的判断与性质，中位线，勾股定理．。

圆的有关计算与证明(50题)一、单选题1.(2023·新疆·统考中考真题)如图，在⊙O 中，若∠ACB =30°，OA =6，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()A.12πB.6πC.4πD.2π【答案】B【分析】根据圆周角定理求得∠AOB =60°，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．【详解】解：∵AB=AB，∠ACB =30°，∴∠AOB =60°，∴S =60360π×62=6π．故选：B .【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键．2.(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，分别以AB 、BC 、CD 、AD 为直径向外作半圆．若AB =4,BC =5，则阴影部分的面积是()A.414π-20 B.412π-20 C.20πD.20【答案】D【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为AB ,BC 的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解．【详解】解：如图所示，连接AC ，∵矩形ABCD 内接于⊙O ，AB =4,BC =5∴AC 2=AB 2+BC 2∴阴影部分的面积是S 矩形ABCD +π×AB 2 2+π×BC22-πAC22S 矩形ABCD +π×14AB 2+BC 2-AC 2=S 矩形ABCD=4×5=20，故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3.(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC)，点O 是这段弧所在圆的圆心，B 为AC上一点，OB ⊥AC 于D ．若AC =3003m ，BD =150m ，则AC 的长为()A.300πmB.200πmC.150πmD.1003πm【答案】B【分析】根据垂径定理求出AD 长度，再根据勾股定理求出半径长度，最后利用弧长公式即可求出答案.【详解】解：∵OB ⊥AC ，点O 是这段弧所在圆的圆心，∴AD =CD ，，∵OD =OD ，OA =OC ，∴△ADO ≌△CDO ，∴∠AOD =∠COD .∵AC =3003m ，AD =CD ，∴AD =CD =1503m .设OA =OC =OB =x ，则DO =x -150，在Rt △ADO 中，x 2=x -150 2+1503 2，∴x =300m ，∴sin ∠AOD =AD AO=1503300=32.∴∠AOD =60°，∴∠AOC =120°，∴AC =n πR 180=120×π×300180=200πm .故选：B .【点睛】本题考查了圆的垂径定理，弧长公式，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度，从而求出所求弧长所对应的圆心角度数.4.(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm 的三个等圆构成，且三个等圆⊙O 1,⊙O 2,⊙O 3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为()A.14πcm 2 B.13πcm 2 C.12πcm 2 D.πcm 2【答案】C 【分析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如图，连接AO 1,AO 2,O 1O 2，阴影AO 1O 2的面积=扇形AO 1O 2的面积，据此即可解答.【详解】解：根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等；如图，连接AO 1,AO 2,O 1O 2，则AO 1=AO 2=O 1O 2，△AO 1O 2是等边三角形，∴∠AO 1O 2=60°，弓形AO 1,AO 2,O 1O 2的面积相等，∴阴影AO 1O 2的面积=扇形AO 1O 2的面积=60π×12360=16πcm 2，∴图中三个阴影部分的面积之和=3×16π=12πcm 2；故选：C .【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、掌握求解的方法是解题关键.5.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由多段90°的圆心角的圆心为C ，半径为CB 1；C 1D 1 的圆心为D ，半径为DC 1⋯,DA 1 、A 1B 1 、B 1C 1、C 1D 1⋯的圆心依次为A 、B 、C 、D 循环，则A 2023B 2023�的长是()A.4045π2B.2023πC.2023π4D.2022π【答案】A【分析】曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+12，得到AD n -1=AA n =4×12(n -1)+12，BA n =BB n =4×12(n -1)+1，得出半径，再计算弧长即可．【详解】解：由图可知，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+12，∴AD =AA 1=12，BA 1=BB 1=1，CB 1=CC 1=32，DC 1=DD 1=2，AD 1=AA 2=2+12，BA 2=BB 2=2+1，CB 2=CC 2=2+32，DC 2=DD 2=2+2，⋯⋯，AD n -1=AA n =4×12(n -1)+12，BA n =BB n =4×12(n -1)+1，故A 2023B 2023 的半径为BA 2023=BB 2023=4×12×2023-1 +1=4045，∴A 2023B 2023 的弧长=90180×4045π=40452π．故选：A .【点睛】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：l =n πr180，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．6.(2023·四川广安·统考中考真题)如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB =90°,AC =BC =22，以点A 为圆心，AC 为半径画弧，交AB 于点E ，以点B 为圆心，BC 为半径画弧，交AB 于点F ，则图中阴影部分的面积是()A.π-2B.2π-2C.2π-4D.4π-4【答案】C【分析】先利用扇形的面积公式求出扇形ACE 和扇形BCF 的面积，再减去△ABC 的面积即可得．【详解】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A =∠B =45°，∵AC =BC =22，∴图中阴影部分的面积是S 扇形ACE +S 扇形BCF -S Rt △ABC =45π×22 2360+45π×22 2360-12×22 ×22=2π-4，故选：C ．【点睛】本题考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．7.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，AB 是半圆O 的直径，点C ,D 在半圆上，CD=DB，连接OC ,CA ,OD ，过点B 作EB ⊥AB ，交OD 的延长线于点E ．设△OAC 的面积为S 1,△OBE 的面积为S 2，若S 1S 2=23，则tan ∠ACO 的值为()A.2B.223C.75D.32【答案】A【分析】如图，过C 作CH ⊥AO 于H ，证明∠COD =∠BOE =∠CAO ，由S 1S 2=23，即12OA ∙CH 12OB ∙BE =23，可得CH BE =23，证明tan ∠A =tan ∠BOE ，可得CH BE =AH OB =23，设AH =2m ，则BO =3m =AO =CO ，可得OH =3m -2m =m ，CH =9m 2-m 2=22m ，再利用正切的定义可得答案．【详解】解：如图，过C 作CH ⊥AO 于H ，∵CD=BD，∴∠COD =∠BOE =∠CAO ，∵S 1S 2=23，即12OA ∙CH 12OB ∙BE =23，∴CH BE=23，∵∠A =∠BOE ，∴tan ∠A =tan ∠BOE ，∴CH AH=BE OB ，即CH BE =AH OB =23，设AH =2m ，则BO =3m =AO =CO ，∴OH =3m -2m =m ，∴CH =9m 2-m 2=22m ，∴tan ∠A =CH AH=22m2m =2，∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO ，∴tan ∠ACO =2；故选：A .【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．二、填空题8.(2023·重庆·统考中考真题)如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，E 为BC 的中点，连接AE ，DE ，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE ，DE 交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为．(结果保留π)【答案】4-π【分析】利用矩形的性质求得AB =CD =2,BE =CE =2，进而可得∠BAE =∠AEB =∠DEC =∠CDE =45°，然后根据S 阴影=2S △ABE -S 扇形BEM 解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB =2，BC =4，E 为BC 的中点，∴AB =CD =2,BE =CE =12BC =2，∠ABC =∠DCB =90°，∴∠BAE =∠AEB =∠DEC =∠CDE =45°，∴S 阴影=2S △ABE -S 扇形BEM =2×12×2×2-45π×22360 =2×2-12π=4-π；故答案为：4-π．【点睛】本题考查了矩形的性质和不规则面积的计算，熟练掌握矩形的性质、明确阴影面积为两个全等的等腰直角三角形的面积减去两个圆心角为45°的扇形面积是解题关键．9.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，⊙O 的半径为2cm ，AB 为⊙O 的弦，点C 为AB上的一点，将AB沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为．(结果保留π与根号)【答案】23π-3cm 2【分析】根据折叠的性质得出△AOC 是等边三角形，则∠AOC =60°，OD =CD =1，根据阴影部分面积=S 扇形AOC -S △AOC 即可求解．【详解】解：如图所示，连接OA ,OC ，设AB ,CO 交于点D∵将AB沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，∴AC =AO ，OC ⊥AB 又OA =OC ∴OA =OC =AC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC =60°，OD =CD =1，∴AD =AO 2-CD 2=3,∴阴影部分面积=S 扇形AOC -S △AOC =60360π×22-12×2×3=23π-3cm 2 故答案为：23π-3cm 2．10.(2023·重庆·统考中考真题)如图，⊙O 是矩形ABCD 的外接圆，若AB =4,AD =3，则图中阴影部分的面积为．(结果保留π)【答案】254π-12【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到BD =5，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．【详解】解：连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD 是⊙O 的直径，∵AB =4,AD =3，∴BD =AB 2+AD 2=5，∴⊙O 的半径为52，∴⊙O 的面积为254π，矩形的面积为3×4=12，∴阴影部分的面积为254π-12；故答案为：254π-12.【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．11.(2023·江苏扬州·统考中考真题)用半径为24cm ，面积为120πcm 2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为cm ．【答案】5【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：S =π⋅r ⋅l ，就可以求出圆锥的底面圆的半径．【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r ，l =24，由扇形的面积：S =π⋅r ⋅l =120π，得：r =5故答案为：5.【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线．12.(2023·浙江温州·统考中考真题)若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．【答案】4π【分析】根据弧长公式l =n πr180即可求解．【详解】解：扇形的圆心角为40°，半径为18，∴它的弧长为40180×18π=4π，故答案为：4π．【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．13.(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为cm2．(结果保留π)【答案】1500π【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式S=12lr代值求解即可得到答案．【详解】解：∵圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，∴烟囱帽的侧面积S=12lr=12×2π×30×50=1500π(cm2)，故答案为：1500π．【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式S=12lr，熟记扇形面积公式是解决问题的关键．14.(2023·天津·统考中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．(1)线段AB的长为；(2)若点D在圆上，AB与CD相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的(不要求证明)．【答案】(1)29(2)画图见解析；如图，取AC,AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求【分析】(1)在网格中用勾股定理求解即可；(2)取AC,AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点M，连接MB；连接DB与网格线相交于点G，连接GF并延长与网格线相交于点H，连接AH并延长与圆相交于点I，连接CI并延长与MB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求，连接PQ，AD,BK，过点E作ET⊥网格线，过点G作GS ⊥网格线，由图可得Rt △AJF ≌Rt △BLF AAS ，根据全等三角形的性质可得Rt △IMF ≌Rt △HNF ASA 和△AIF ≌△BHF SAS ，根据同弧所对圆周角相等可得AD=BK，进而得到∠1=∠2和∠PCQ =60°，再通过证明△CAP ≌△CBQ ASA 即可得到结论．【详解】(1)解：AB =22+52=29；故答案为：29．(2)解：如图，取AC ,AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接AI 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求；连接PQ ，AD ,BK ，过点E 作ET ⊥网格线，过点G 作GS ⊥网格线，由图可得：∵∠AJF =∠BLF ，∠AFJ =∠BFL ，AJ =BL ，∴Rt △AJF ≌Rt △BLF AAS ，∴FJ =FL ，AF =BF ，∵MJ =NL ，∴FJ -MJ =FL -NL ，即FM =FN ，∵∠IMF =∠HNF ，∠IFM =∠HFN ，∴Rt △IMF ≌Rt △HNF ASA ，∴FI =FH ，∵∠AFI =∠BFH ，AF =BF ，∴△AIF ≌△BHF SAS ，∴∠FAI =∠FBH ，∴AD=BK，∴∠1=∠2，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，即∠1+∠PCB =60°，∴∠2+∠PCB =60°，即∠PCQ =60°，∵ET =GS ，∠ETF =∠GSF ，∠EFT =∠GFS ，∴Rt △ETF ≌Rt △GSF AAS ，∴EF =GF ，∵AF =BF ，∠AFE =∠BFG ，∴△AFE ≌△BFG SAS ，∴∠EAF =∠GBF ，∴∠GBF =∠EAF =∠CBA =60°，∴∠CBQ =180°-∠CBA -∠GBF =60°，∴∠CBQ =∠CAB ，∵CA =CB ，∴△CAP ≌△CBQ ASA ，∴CQ =CP ，∵∠PCQ =60°，∴△PCQ 是等边三角形，此时点Q 即为所求；故答案为：如图，取AC ,AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接AI 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键．15.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，垂足为H ,AH =3．以点A 为圆心，AH 长为半径画弧，与AB ,AC ,AD 分别交于点E ,F ,G ．若用扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 1；用扇形AHG 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 2，则r 1-r 2=．(结果保留根号)【答案】324【分析】由▱ABCD ，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，AH =3，AD =BC =2，DH =22-3 2=1，cos DAH =AH AD=32，AB =CD =3+1，AB ∥CD ，求解∠DAH =30°，CH =3=AH ，证明∠ACH =∠CAH =45°，可得∠BAC =45°，再分别计算圆锥的底面半径即可．【详解】解：∵在▱ABCD 中，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，AH =3，∴AD =BC =2，DH =22-3 2=1，∵cos ∠DAH =AHAD=32，AB =CD =3+1，∴∠DAH =30°，CH =3=AH ，∴∠ACH =∠CAH =45°，∵AB ∥CD ，∴∠BAC =45°，∴45π×3180=2πr 1，30π×3180=2πr 2，解得：r 1=38，r 2=312，∴r 1-r 2=3324-2324=324；故答案为：324【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，扇形的弧长的计算，圆锥的底面半径的计算，熟记圆锥的侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长是解本题的关键．16.(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，小珍同学用半径为8cm ，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是cm 2．【答案】169π【分析】由题意知，底面半径为2cm 的圆锥的底面周长为4πcm ，扇形弧长为100π×8180=409πcm ，则扇形中未组成圆锥底面的弧长l =409π-4π=49πcm ，根据圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积可得圆锥上粘贴部分的面积为12lr =12×49π×8，计算求解即可．【详解】解：由题意知，底面半径为2cm 的圆锥的底面周长为4πcm ，扇形弧长为100π×8180=409πcm ，∴扇形中未组成圆锥底面的弧长l =409π-4π=49πcm ，∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积，∴圆锥上粘贴部分的面积为12lr =12×49π×8=169πcm 2，故答案为：169π．【点睛】本题考查了扇形的弧长、面积公式．解题的关键在于熟练掌握S 扇形=12lr ，l 扇形=n πr180，其中n 为扇形的圆心角，r 为扇形的半径．三、解答题17.(2023·四川南充·统考中考真题)如图，AB 与⊙O 相切于点A ，半径OC ∥AB ，BC 与⊙O 相交于点D ，连接AD ．(1)求证：∠OCA =∠ADC ；(2)若AD =2,tan B =13，求OC 的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)连接OA ，根据切线的性质得出∠OAB =90°，再由平行线的性质得出∠AOC =90°，利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质即可证明；(2)过点A 作AH ⊥BC ，过点C 作CF ⊥BA 的延长线于点F ，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质得出AH =DH =2，再由正切函数确定BH =32，AB =25，再由正方形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】(1)证明：连接OA ，如图所示：∵AB 与⊙O 相切于点A ，∴∠OAB =90°，∵OC ∥AB ，∴∠AOC =90°，∴∠ADC =45°，∵OC =OA ，∴∠OCA =45°，∴∠OCA =∠ADC ；(2)过点A 作AH ⊥BC ，过点C 作CF ⊥BA 交BA 的延长线于点F ，如图所示：由(1)得∠OCA =∠ADC =45°，∴ΔAHD 为等腰直角三角形，∵AD =2，∴AH =DH =2，∵tan B =13，∴BH =32，AB =AH 2+BH 2=25，由(1)得∠AOC =∠OAF =90°，∵CF ⊥BA ，∴四边形OCFA 为矩形，∵OA =OC ，∴四边形OCFA 为正方形，∴CF =FA =OC =r ，∵∠B =∠B ,∠AHB =∠CFB =90°，∴△ABH ∽△CBF ,∴BH BF =AH CF 即3225+r=2r ，解得：r =5，∴OC =5．【点睛】题目主要考查圆周角定理，解直角三角形及正方形与相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．18.(2023·四川成都·统考中考真题)如图，以△ABC 的边AC 为直径作⊙O ，交BC 边于点D ，过点C 作CE ∥AB 交⊙O 于点E ，连接AD ，DE ，∠B =∠ADE ．(1)求证：AC=BC；(2)若tan B=2，CD=3，求AB和DE的长．【答案】(1)见解析(2)AB=25，DE=25【分析】(1)根据CE∥AB，得到∠ACE=∠BAC，再根据同弧所对的圆周角相等，得到∠ACE=∠ADE=∠B，可证明△ABC是等腰三角形，即可解答；(2)根据直径所对的圆周角为直角，得到tan B=2=ADBD，设BD=x，根据勾股定理列方程，解得x 的值，即可求出AB；解法一：过点E作DC的垂线段，交DC的延长线于点F，证明∠B=∠ECF，求出EF,DF的长，根据勾股定理即可解出DE的长；解法二：连接AE,得到角相等，进而证得△ABC∽△ADE，根据对应边成比例即可解出DE的长．【详解】(1)证明：∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE，∴∠BAC=∠ACE=∠ADE，∵∠B=∠ADE，∴∠B=∠BAC，∴AC=BC；(2)解：设BD=x，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵tan B=2，=2，即AD=2x，∴ADBD根据(1)中的结论，可得AC=BC=BD+DC=x+3，根据勾股定理，可得AD2+DC2=AC2，即2x2，2+32=x+3解得x1=2，x2=0(舍去)，∴BD=2，AD=4,根据勾股定理，可得AB=AD2+BD2=25；解法一：如图，过点E作DC的垂线段，交DC的延长线于点F，∵CE∥AB，∴∠ECF=∠B，∵EF⊥CF，∴tan∠ECF=tan∠B=2，即EF=2，CF∵∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDF=90°，∠B=∠ADE，∴∠BAD=∠EDF，∴∠DEF =90°-∠EDF =90°-∠BAD =∠B ，∴DF EF=2，设CF =a ，则DF =DC +CF =a +3，∴EF =2a ，可得方程a +32a=2，解得a =1，∴EF =2，DF =4，根据勾股定理，可得DE =DF 2+EF 2=25．解法二：如图，连接AE ,∵∠B =∠ADE ，∠ACB =∠AED ，∴△ABC ∽△ADE ，∴AB AD=BC DE ，又∵BC =5，AD =4，AB =25，∴254=5DE ，∴DE =25．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理，正切，利用等量代换证明相关角相等是解题的关键．19.(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，D 是AC上一点，P 是AB 延长线上一点，连接AD ,DC ,CP ．(1)求证：∠ADC -∠BAC =90°；(请用两种证法解答)(2)若∠ACP =∠ADC ，⊙O 的半径为3，CP =4，求AP 的长．【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】(1)证法一：连接BD ，得到∠ADB =90°，因为∠BAC =∠BDC ，所以∠ADC -∠BAC =90°；证法二：连接BC ，可得∠ADC +∠ABC =180°，则∠ABC =180°-∠ADC ，根据∠ACB =90°，可得∠BAC +∠ABC =90°，即可得到结果；(2)连接OC ，根据角度间的关系可以证得△OCP 为直角三角形，根据勾股定理可得边OP 的长，进而求得结果．【详解】(1)证法一：如图，连接BD ，∵BC=BC，∴∠BDC=∠BAC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC∵∠BAC=∠BDC，∴∠ADC=90°+∠BAC，∴∠ADC-∠BAC=90°，证法二：如图，连接BC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°-∠ADC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠BAC+180°-∠ADC=90°，∴∠ADC-∠BAC=90°，(2)解：如图，连接OC，∵∠ACP=∠ADC，∠ADC-∠BAC=90°，∴∠ACP-∠BAC=90°，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠ACP-∠ACO=90°，∴∠OCP=90°．∵⊙O的半径为3，∴AO=OC=3，在Rt△OCP中，OP2=OC2+CP2，∵CP=4，∴OP2=32+42=25，∴OP=5，∴AP=AO+OP=8，【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题的关键．20.(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线交⊙O于点D，连接OD交BC于点E．(1)求∠BED 的度数；(2)如图2，过点A 作⊙O 的切线交BC 延长线于点F ，过点D 作DG ∥AF 交AB 于点G ．若AD =235,DE =4，求DG 的长．【答案】(1)90°(2)210【分析】(1)根据圆周角定理证明两直线平行，再利用平行线的性质证明角度相等即可；(2)由勾股定理找到边的关系，求出线段长，再利用等面积法求解即可．【详解】(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵AD 平分∠CAB ，∴∠BAD =12∠BAC ，即∠BAC =2∠BAD ，∵OA =OD ，∴∠BAD =∠ODA ，∴∠BOD =∠BAD +∠ODA =2∠BAD ，∴∠BOD =∠BAC ，∴OD ∥AC ，∴∠OEB =∠ACB =90°，∴∠BED =90°，(2)如图，连接BD ，设OA =OB =OD =r ，则OE =r -4，AC =2OE =2r -8，AB =2r ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，在Rt △ADB 中，有勾股定理得：BD 2=AB 2-AD 2由(1)得：∠BED =90°，∴∠BED =∠BEO =90°，由勾股定理得：BE 2=OB 2-OE 2，BE 2=BD 2-DE 2，∴BD 2=AB 2-AD 2=BE 2+DE 2=OB 2-OE 2+DE 2，∴2r 2-235 2=r 2-r -4 2+42，整理得：r 2-2r -35=0，解得：r =7或r =-5(舍去)，∴AB =2r =14，∴BD =AB 2-AD 2=142-235 2=214，∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥AB，∵DG∥AF，∴DG⊥AB，∴S△ABD=12AD·BD=12AB·DG，∴DG=AD·BDAB =235×21414=210．【点睛】此题考查了圆周角定理和勾股定理，三角形中位线定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．21.(2023·浙江杭州·统考中考真题)在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F．(1)若ED=13，求DF的长．(2)求证：AE⋅CF=1．(3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EG=ED，求ED的长．【答案】(1)1 2(2)见解析(3)14【分析】(1)证明△AEB∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例求解；(2)证明△AEB∽△CBF，利用相似三角形的对应边成比例证明；(3)设EG=ED=x，则AE=1-x，BE=1+x，在Rt△ABE中，利用勾股定理求解．【详解】(1)解：由题知，AB=BC=CD=DA=1，若ED=13，则AE=AD-ED=23．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠FDE=90°，又∵∠AEB=∠FED，∴△AEB∽△DEF，∴AB DF =AE ED，即1DF=2313，∴DF=12．(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠C=90°，AB∥CD，∴∠ABE=∠F，∴△ABE∽△CFB，∴AB CF =AE BC，∴AE⋅CF=AB⋅BC=1×1=1．(3)解：设EG=ED=x，则AE=AD-AE=1-x，BE=BG+GE=BC+GE=1+x．在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即12+(1-x)2=(1+x)2，解得x=1 4．∴ED=14．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正方形的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．22.(2023·河北·统考中考真题)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于点C．(1)求OC的长．操作：将图1中的水面沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．探究：在图2中(2)操作后水面高度下降了多少？(3)连接OQ 并延长交GH 于点F ，求线段EF 与EQ的长度，并比较大小．【答案】(1)7cm (2)112cm(3)EF =2533cm ，EQ =25π6cm ，EF >EQ ．【分析】(1)连接OM ，利用垂径定理计算即可；(2)由切线的性质证明OE ⊥GH 进而得到OE ⊥MN ，利用锐角三角函数求OD ，再与(1)中OC 相减即可；(3)由半圆的中点为Q 得到∠QOB =90°，得到∠QOE =30°分别求出线段EF 与EQ的长度，再相减比较即可．【详解】解：(1)连接OM ，∵O 为圆心，OC ⊥MN 于点C ，MN =48cm ，∴MC =12MN =24cm ，∵AB =50cm ，∴OM =12AB =25cm ，∴在Rt △OMC 中，OC =OM 2-MC 2=252-242=7cm ．(2)∵GH 与半圆的切点为E ，∴OE ⊥GH ∵MN ∥GH∴OE ⊥MN 于点D ，∵∠ANM =30°，ON =25cm ，∴OD =12ON =252cm ，∴操作后水面高度下降高度为：252-7=112cm ．(3)∵OE ⊥MN 于点D ，∠ANM =30°∴∠DOB =60°，∵半圆的中点为Q ，∴AQ=QB，∴∠QOB =90°，∴∠QOE =30°，∴EF =tan ∠QOE ⋅OE =2533cm ，EQ =30×π×25180=25π6cm ，∵2533-25π6=503-25π6=2523-π 6>0，∴EF >EQ．【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性质构造直角三角形是解题关键．23.(2023·湖北武汉·统考中考真题)如图，OA ,OB ,OC 都是⊙O 的半径，∠ACB =2∠BAC ．(1)求证：∠AOB =2∠BOC ；(2)若AB =4,BC =5，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)52【分析】(1)由圆周角定理得出，∠ACB =12∠AOB ,∠BAC =12∠BOC ，再根据∠ACB =2∠BAC ，即可得出结论；(2)过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，根据垂径定理得出∠DOB =12∠AOB ,AE =BE ，证明∠DOB =∠BOC ，得出BD =BC ，在Rt △BDE 中根据勾股定理得出DE =BD 2-BE 2=1，在Rt △BOE 中，根据勾股定理得出OB 2=(OB -1)2+22，求出OB 即可．【详解】(1)证明：∵AB=AB，∴∠ACB =12∠AOB ，∵BC =BC ，∴∠BAC =12∠BOC ，∵∠ACB =2∠BAC ，∴∠AOB =2∠BOC ．(2)解：过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，则∠DOB =12∠AOB ,AE =BE ，∵∠AOB =2∠BOC ，∴∠DOB =∠BOC ，∴BD =BC ，∵AB =4,BC =5，∴BE =2,DB =5，在Rt △BDE 中，∵∠DEB =90°∴DE =BD 2-BE 2=1，在Rt △BOE 中，∵∠OEB =90°，∴OB 2=(OB -1)2+22，∴OB =52，即⊙O 的半径是52．【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理．24.(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，四边形ABCD 是半径为R 的⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，∠ABD =45°，直线l 与三条线段CD 、CA 、DA 的延长线分别交于点E 、F 、G ．且满足∠CFE =45°．(1)求证：直线l ⊥直线CE ；(2)若AB =DG ；①求证：△ABC ≌△GDE ；②若R =1，CE =32，求四边形ABCD 的周长．【答案】(1)见解析(2)①见解析，②72+2【分析】(1)在⊙O 中，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACD =∠ABD =45°，结合已知在△CFE 中根据三角形内角和定理可求得∠FEC =90°；(2)①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得∠ABC =∠GDE ，由直径所对的圆周角是直角和(1)可得∠ACB =∠GED ，结合已知即可证得△ABC ≌△GDE AAS ；②在⊙O 中由R =1，可得AB =2，结合题意易证DA =DB ，在Rt △ABC 中由勾股定理可求得DA =2，由①可知易得BC +CD =DE +CD =CE ，最后代入计算即可求得周长．【详解】(1)证明：在⊙O 中，∵AD =AD，∴∠ACD =∠ABD =45°，即∠FCE =45°，在△CFE 中，∵∠CFE =45°，∴∠FEC =180°-∠FCD +∠CFE =90°，即直线l ⊥直线CE ；(2)①四边形ABCD 是半径为R 的⊙O 的内接四边形，∴∠ADC +∠ABC =180°，∵∠ADC +∠GDE =180°，∴∠ABC =∠GDE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，由(1)可知∠GED =90°，∴∠ACB=∠GED，在△ABC与△GDE中，∠ABC=∠GDE ∠ACB=∠GED AB=DG，∴△ABC≌△GDE AAS，②在⊙O中，R=1，∴AB=2R=2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=45°，∴∠BAD=90°-∠ABD=45°，∴DA=DB，在Rt△ABC中，∴DA2+DB2=AB2，即2DA2=22，解得：DA=2，由①可知△ABC≌△GDE，∴BC=DE，∴BC+CD=DE+CD=CE=32，∴四边形ABCD的周长为：DA+AB+BC+CD=DA+AB+CE=2+2+32=72+2．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解．25.(2023·天津·统考中考真题)在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC=60°，E为弦AB所对的优弧上一点．(1)如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；(2)如图②，CE与AB相交于点F，EF=EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA=3，求EG的长．【答案】(1)∠AOB=120°，∠CEB=30°(2)3【分析】(1)根据半径OC 垂直于弦AB ，可以得到AC =BC，从而得到∠AOC =∠BOC ，结合已知条件∠AOC =60°即可得到∠AOB =2∠AOC =120°，根据∠CEB =12∠AOC 即可求出∠CEB =30°；(2)根据∠CEB =30°，结合EF =EB ，推算出∠EBF =∠EFB =75°，进一步推算出∠GOE =∠AOE-∠AOG =30°，在Rt △OEG 中，tan ∠GOE =EG OE,OE =OA =3，再根据EG =3×tan30°即可得到答案．【详解】(1)解：在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，∴AC =BC ，得∠AOC =∠BOC ．∵∠AOC =60°，∴∠AOB =2∠AOC =120°．∵∠CEB =12∠BOC =12∠AOC ，∴∠CEB =30°．(2)解：如图，连接OE ．同(1)得∠CEB =30°．∵在△BEF 中，EF =EB ，∴∠EBF =∠EFB =75°．∴∠AOE =2∠EBA =150°．又∠AOG =180°-∠AOC =120°，∴∠GOE =∠AOE -∠AOG =30°．∵GE 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥GE ，即∠OEG =90°．在Rt △OEG 中，tan ∠GOE =EG OE,OE =OA =3，∴EG =3×tan30°=3．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质和直角三角函数，解题的关键是灵活运用相关知识．26.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，AC =5,BC =25，点F 在AB 上，连接CF 并延长，交⊙O 于点D ，连接BD ，作BE ⊥CD ，垂足为E ．(1)求证：△DBE ∽△ABC ；(2)若AF =2，求ED 的长．【答案】(1)证明见解析(2)355【分析】(1)分别证明∠ACB=90°=∠BED，∠CAB=∠CDB，从而可得结论；(2)求解AB=AC2+BC2=5，tan∠ABC=ACBC =12，可得BF=3，证明tan∠ABC=tan∠DBE=DE BE =12，设DE=x，则BE=2x，BD=5x，证明△ACF∽△DBF，可得ACBD=AFDF=CFBF，可得DF=2x，EF=x=DE，BD=BF=3，从而可得答案．【详解】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，BE⊥CD，∴∠ACB=90°=∠BED，∵∠CAB=∠CDB，∴△DBE∽△ABC．(2)∵AC=5,BC=25，∠ACB=90°，∴AB=AC2+BC2=5，tan∠ABC=ACBC =12，∵AF=2，∴BF=3，∵△DBE∽△ABC，∴∠ABC=∠DBE，∴tan∠ABC=tan∠DBE=DEBE =12，设DE=x，则BE=2x，BD=5x，∵∠AFC=∠BFD，∠CAB=∠CDB，∴△ACF∽△DBF，∴AC BD =AFDF=CFBF，∴55x =2DF，则DF=2x，∴EF=x=DE，∴BD=BF=3，∴DE=355．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键．27.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB=BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB=∠ACB，AC、BD相交于点E．(1)求证：AP 是⊙O 的切线；(2)若BE =2，DE =4，∠P =30°，求AP 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)由AB =BC ，OB 为半径，可知OB ⊥AC ，∠CAB =∠ACB ，则∠CAB +∠ABO =90°，∠ACB +∠ABO =90°，∠PAB +∠ABO =90°，如图1，连接OA ，由OA =OB ，可得∠OAB =∠ABO ，则∠PAB +∠OAB =90°，即∠OAP =90°，进而结论得证；(2)如图2，记OB 与AC 交点为M ，连接OD ，过O 作ON ⊥DB 于N ，证明△ABO 是等边三角形，则AB =OB =OA ，∠ABM =60°，设⊙O 半径为r ，则BM =AB ⋅cos ∠ABM =12r ，由OB =OD ，ON ⊥DB ，可得BN =12BD =3，证明△BME ∽△BNO ，则BM BN =BE BO ，即12r 3=2r ，解得r =23或r =-23(舍去)，根据AP =OA tan ∠P，计算求解即可．【详解】(1)解：如图，连接OA ,OC ，∵AB =BC ，∴AB �=BC �，∴∠AOB =∠COB ，∴OB ⊥AC ，由等边对等角可得∠CAB =∠ACB ，∴∠CAB +∠ABO =90°，∴∠ACB +∠ABO =90°，∵∠PAB =∠ACB ，∴∠PAB +∠ABO =90°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠ABO ，∴∠PAB +∠OAB =90°，即∠OAP =90°，又∵OA 是半径，∴AP 是⊙O 的切线；(2)解：如图2，记OB 与AC 交点为M ，连接OD ，过O 作ON ⊥DB 于N ，∵∠P =30°，∴∠AOP =60°，∴△ABO 是等边三角形，∴AB =OB =OA ，∠ABM =60°，设⊙O 半径为r ，∵AM ⊥BM ，∴BM =AB ⋅cos ∠ABM =12r ，∵OB =OD ，∴△BOD 是等腰三角形，又∵ON ⊥DB ，∴BN =12BD =BE +DE 2=3，∵∠BME =∠BNO =90°，∠EBM =∠OBN ，∴△BME ∽△BNO ，∴BM BN =BE BO ，即12r 3=2r ，解得r =23或r =-23(舍去)，∴AP =OA tan ∠P =r 33=6，∴AP 的长为6．【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦、正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．28.(2023·湖南·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是一条弦，D 是AC的中点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，交⊙O 于点H ，DB 交AC 于点G ．(1)求证：AF =DF ．(2)若AF =52,sin ∠ABD =55，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)根据D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，得到CD =DA =AH ,得到∠ADH =∠DAC 即可得证．(2)根据sin ∠ABD =55=AD AB，设AD =5x ,AB =5x ，运用勾股定理，得到BD =5x 2-5x 2=25x ，结合sin ∠ABD =55=DE BD ，得到DE =2x ，运用勾股定理，得到BE =25x 2-2x 2=4x ，从而得到AE =x ,EF =ED -DF =DE -AF =2x -52，在Rt △AEF 中，利用勾股定理计算x 即可．【详解】(1)∵D 是AC 的中点，∴CD =DA ，∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴DA =AH ，∴CD =DA =AH，∴∠ADH =∠DAC ，∴AF =DF ．(2)∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，。

中考复习专题——圆的相关证明题1．在⊙O 中，AB 为直径，C 为⊙O 上一点．（Ⅰ）如图①，过点C 作⊙O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若P ∠︒=42，求∠CAB 的大小； （Ⅱ）如图②，D 为上一点，且OD 经过AC 的中点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ， 若∠CAB ︒=10，求∠P 的大小．2.已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点P ．（Ⅰ）如图①，连接AC ，BC ，若OB BP =，求A ∠和∠P 的大小；（Ⅱ）如图②，过点P 作⊙O 的切线PD ，切点为D ，连接CD ，BD ，若∠BDC ＝32°，求BDP ∠的大小．图①图②O B COB D CPE AC3.已知点A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，︒=∠120AOB . （Ⅰ）如图①，若AC =BC ，求C ∠和CAO ∠的大小；（Ⅱ）如图②，过点C 作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点D ，若AC =AD ，求CAO ∠的大小.4.已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ．（Ⅰ）如图①，求证：AC 平分DAB ∠；（Ⅱ）如图②，过B 作BF AD ∥交⊙O 于点F ，连接CF ，若45AC =4DC =，求CF 和⊙O 半径的长． ABCDEO图①ABCDEO图②F5.已知，△DBC内接于⊙O，DB＝DC．（Ⅰ）如图①，过点B作射线BE交⊙O于点A，若∠EAD＝75°，求∠BDC的度数．（Ⅱ）如图②，分别过点B、点D作⊙O的切线相交于点E，若∠E=30°，求∠BDC的度数.①②6.已知P A，PB分别与⊙O相切于点A,B，PO交⊙O于点F，且其延长线交⊙O于点C，∠BCP=28°，E为CF上一点，延长BE交⊙O于点D.（Ⅰ）如图1，求∠CDB与∠APB的大小；（Ⅱ）如图2，当BC=CE时，求∠PBE的大小.7.在ABC △中90B ∠=︒D 为AC 上一点，以CD 为直径的⊙O 与AB 相切于点E ，与BC 相交于点F ，连接CE ．（Ⅰ）如图①，若27ACE ∠=︒，求A ∠和ECB ∠的大小； （Ⅱ）如图②，连接EF ，若//EF AC ，求A ∠的大小．8. 已知：在⊙O 中OA BC ⊥垂足为E ，点D 在⊙O 上．（Ⅰ）如图①若50AOB ∠=︒，求ADC ∠和∠CAO 的大小；（Ⅱ）如图②CD ∥AO ，过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线相交于点P ，若26∠=︒ABC 求∠P 的大小．图①图②ABCF OED ABCOED F 图①O EDCBA图②POE DCBA9.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，58ABC ∠=︒. （Ⅰ）如图①若85AEC ∠=︒，求BAD ∠和CDB ∠的大小；（Ⅱ）如图②若CD AB ⊥过点D 作⊙O 的切线DF ，与AB 的延长线相交于点F ，求F ∠的大小．10. 已知AB 是⊙O 的直径，CD 、CB 是⊙O 的弦，且AB CD ∥.（Ⅰ）如图①若25ABC ∠=︒，求BAC ∠和ODC ∠的大小；（Ⅱ）如图②过点C 作⊙O 的切线，与BA 的延长线交于点F 若OD CF ∥求ABC ∠的大小．图①图②EABO DCFE ABO DC图②图①11. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 切⊙O 于点A ，AE 与直径BD 的延长线相交于点E ．（Ⅰ）如图①，若∠C =71°，求∠E 的大小；（Ⅱ）如图②，当AE =AB ，DE =2时，求∠E 的大小和⊙O 的半径．12. 已知DA 、DC 分别与⊙O 相切于点A 点C ，延长DC 交直径AE 的延长线于点P ． （Ⅰ）如图①若DC =PC ，求∠P 的度数；（Ⅱ）如图②在⊙O 上取一点B ，连接AB 、BC 、BE ，当四边形ABCD 是平行四边形时，求∠P 及∠AEB 的大小． OEEDCBAD O C BA图①图②DECAPOB图① 图②ECAPOD13.如图①，AB 是⊙O 的弦，OE ⊥AB ，垂足为P ，交AB 于点E ，且OP =3PE ，AB =74．（Ⅰ）求⊙O 的半径；（Ⅱ）如图②过点E 作⊙O 的切线CD ，连接OB 并延长与该切线交于点D ，延长OA 交CD 于C ，求OC 的长． 图②图①EP A BCODP EOBA参考答案1.解：（Ⅰ）如图，连接OC∵ ⊙O 与PC 相切于点C ∴ OC PC ⊥，即90OCP ∠=︒ ∵ 42P ∠=︒∴ 9048COB P ∠=︒-∠=︒ 在Rt OPC △中，48CAB ACO COP ∠+∠=∠=︒ ∵OA =OC ∴∠CAB =∠ACO ∴ 24CAB ∠=︒（Ⅱ）∵ E 为AC 的中点∴ OD AC ⊥，即90AEO ∠=︒在Rt AOE △中，由10EAO ∠=︒得9080AOE EAO ∠=︒-∠=︒ ∴ 1402ACD AOD ∠=∠=︒∵ ACD ∠是ACP △的一个外角∴ 30P ACD CAP ∠=∠-∠=︒2. 解：（Ⅰ）如图①连接OC ∵PC 是⊙O 的切线∴︒=∠90OCP ∵OB BP =∴OB BC =∵OC OB =∴BOC ∆为等边三角形， ∴∠BOC=60° ∴︒=∠=∠3021BOC A ∠P=90°－∠COB ＝30°（Ⅱ）如图② 连接OC 、OD 设CD 交OP 于点E∵PC ，PD 是⊙O 的切线∴PD PC = ︒=∠=∠90ODP OCP ∵OD OC =∴OP 为CD 的垂直平分线 ∴︒=∠=∠90DEP CEP∵∠BDC ＝32°∴∠OBD ＝90°－∠BDC ＝58° ∵OB OD =∴∠ODB ＝∠OBD ＝58° ∴∠BDP ＝90°－58°＝32°3.解： （Ⅰ）∵︒=∠120AOB ∴∠ACB= 12 ∠AOB=60°如图① 连接OC∵AC =BC ∴∠AOC=∠BOC∵∠AOC+∠BOC +∠AOB=360° ∴∠AOC =12 （360°-120°）=120° ∵OA OC ∴∠CAO=∠ACO=12（180°-120°）=30°O AB PCOAB D CPE（Ⅱ）如图② 连接OC设∠ACD= x ∵ACAD ∴∠ACD =∠ADC= x∴∠CAB=2x ∵∠AOB=120°OAOB ∴∠OAB =∠OBA= 12（180°-120°）=30°∵CD 是⊙O 的切线∴∠OCD=90° ∵OAOC ∴∠OCA =∠OAC∴90°－x=2x －30° 解得x=40° ∴∠CAB=80°∴∠CAO=∠CAB －∠OAB =50°4.（Ⅰ）证明：连接OC ∵CD 为⊙的切线∴OC CD ⊥即90OCM OCD ∠=∠=︒ ∵AD CD ⊥垂足为D ∴90ADC ∠=︒ ∵90ADC OCM ∠=∠=︒∴OC AD ∥ ∴DAC ACO ∠=∠∵OC OA =∴CAO ACO ∠=∠∴DAC CAO ∠=∠∴AC 平分DAB ∠ （Ⅱ）解：连接AF 延长CO 交AF 于G ∵AB 为⊙的直径 ∴=90AFB ∠︒ ∵OC AD BF AD ∥，∥ ∴CO BF ∥∴90AFB AGC ∠=∠=︒ ∴OC AF ⊥由垂径定理可得AC=CF∴45AC CF == ∵90ADC ∠=︒22O O ABC DEOF GABCDEOM∴90ADC DCO AGC ∠=∠=∠=︒ ∴四边形ADCG 是矩形∴8AD CG == 4CD AG == 在Rt AGO 中，得222AG OG AO += 设OC x =则,8OA x OG x ==- 可得方程()22248x x +-=解得5x =． ∴⊙半径的长为545CF =．5.（Ⅰ）解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形∴∠DAB +∠C ＝180° ∵∠EAD +∠DAB ＝180° ∴∠C ＝∠EAD ∵∠EAD ＝75° ∴∠C ＝75° ∵DB ＝DC∴∠DBC ＝∠C ＝75°∴∠BDC ＝180°﹣∠C ﹣∠DBC ＝30°（Ⅱ）解：连结OB OD∵EB ED 与⊙O 相切于点B 点D∴ED OD ⊥⊥，EB OB ∴ ︒=∠︒=∠90ODE 90，OBE∵︒=∠+∠+∠+∠360BOD ODE E OBE ︒=∠30E ∴︒=∠150BOD∴︒=∠=∠7521BOD C ∵DB ＝DC ，∴∠DBC ＝∠C ＝75°，∴∠BDC ＝180°﹣∠C ﹣∠DBC ＝30° O6. （I ）解：连接OB∵P A 、PB 与圆O 相切于点A 点,B∴PO 平分∠APB 且∠PBO ＝90° ∵∠BCP ＝28°∴∠BOP ＝2∠BCP ＝28°×2＝56° ∴∠BPO ＝90°－∠BOP ＝90°－56°＝34° ∴∠APB ＝2∠BPO ＝2×34°＝68°又∠BDC ＝BOC ∠21＝)180(21BOP ∠- ∴∠BDC = 62)56180(21=-∴∠APB =68°∠BDC= 62 （II ）连接OB∵BC ＝CE ∴∠CBE ＝∠CEB∵∠BCP ＝28° ∴∠CBE ＝76228180=-∵OB ＝OC ∴∠OBC ＝∠OCB ＝28° ∴∠EBO ＝∠CBE －∠OBC ＝76°－28°＝48° ∵P A 与圆O 相切于点A∴OB ⊥PB ∴∠PBO ＝90°∴∠PBE ＝90°－ ∠EBO ＝90°－48°＝42°7.解：（Ⅰ）如图连接OE ．∵ AB 与⊙O 相切∴ OE AB ⊥，即90AEO ∠=︒ ∵ 27ACE ∠=︒∴ 254AOE ACE ∠=∠=︒ ∴ 9036A AOE ∠=︒-∠=︒ ∵ OE OC =∴ OEC OCE ∠=∠∵ 90B ∠=︒∴ //OE BC ∴ ECB OEC ∠=∠ ∴ 27ECB ∠=︒ （Ⅱ）如图，连接OE OF∵ //OE BC //EF AC ∴ 四边形OEFC 为平行四边形 ∴ OE CF = ∴ OC OF CF == ∴ 60ACB ∠=︒∴ 9030A ACB ∠=︒-∠=︒ABCOED F ABCF OED8. 解：（Ⅰ）∵OA BC ⊥ ∴AB AC = 90∠=︒AEC∴∠=∠ACB ADC ∵1252∠=∠=︒ACB AOB∴25∠=∠=︒ADC ACB9065∠=︒-∠=︒CAO ACB（Ⅱ）连接BD . 由OA BC ⊥知，90∠=∠=︒AEB BEO∴ 9064∠=︒-∠=︒OAB ABC ∵AO ∥CD ∴90∠=∠=︒BCD BEO ∴BD 是⊙O 的直径又PD 与⊙O 相切∴⊥BD PD . 即90∠=︒BDP∵=OA OB ∴64∠=∠=︒OBA OAB∴642636∠=∠-∠=︒-︒=︒CBD ABO ABC ∴9052∠=︒-∠=︒P CBD9. （Ⅰ）∵∠AEC 是ΔBEC 的一个外角 58ABC ∠=︒85AEC ∠=︒27C AEC ABC ∴∠=∠-∠=︒∵在⊙O 中BAD C ∠=∠27BAD ∴∠=︒ AB 为⊙O 的直径90ADB ∴∠=︒ ∵在⊙O 中58ADC ABC ∠=∠=︒ 又CDB ADB ADC ∠=∠-∠32CDB ∴∠=︒（Ⅱ）连接OD∵CD ⊥AB 90CEB ∴∠=︒．9032E E CB BC =-∴∠=∠︒︒∴264DOB DCB ∠=∠=︒ ∵DF 是⊙O 的切线∴90ODF ∠=︒90906426F DOB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒图②POE DCBA图①O E DCBA10. 解：（Ⅰ）如图连接OC ∵ AB 是⊙O 的直径 ∴ 90ACB ∠=︒∴ 90BAC ABC ∠+∠=︒由25ABC ∠=︒得65BAC ∠=︒又AB CD ∥得25ABC BCD ∠=∠=︒ ∵ OB OC = ∴ 25OCB ABC ∠==∠=︒ 则50OCD OCB BCD ∠=∠+∠=︒ 由OC OD =得50ODC OCD ∠=∠=︒（Ⅱ）如图，连接OC∵CF 切⊙O 于点C ∴OC FC ⊥则90OCF ∠=︒∵ OD CF ∥ ∴ 90DOC OCF ∠=∠=︒ 又OC OD =则45ODC OCD ∠==∠=︒ 由AB CD ∥得45BOD ODC ∠=∠=︒∴135BOC DOC BOD ∠=∠+∠=︒ ∵ OC OB = ∴22.5ABC OCB ∠=∠=︒11. 解：（Ⅰ）连接OA .∵AE 切⊙O 于点A ∴OA ⊥AE ，∴∠OAE =90° ∵∠C =71° ∴∠AOB =2∠C =2×71°=142° 又∵∠AOB +∠AOE =180° ∴∠AOE =38° ∵∠AOE +∠E =90° ∴∠E =90°﹣38°=52° （Ⅱ）连接OA 设∠E = x .∵AB =AE ∴∠ABE =∠E = x ∵OA =OB ∴∠OAB =∠ABO = x ∴∠AOE =∠ABO +∠BAO =2x∵AE 是⊙O 的切线∴OA ⊥AE ，即∠OAE =90°在△OAE 中∠AOE +∠E =90°即2x +x =90°解得30x =︒∴∠E =30° 在Rt △OAE 中OA =21OE∵OA =OD ∴OA =OD =DE∵DE =2∴OA =2即⊙O 的半径为212.解：（Ⅰ）∵DA 、DC 是⊙O 的切线 ∴DA ＝DC OA ⊥DA ∴∠DAO ＝90°∵DC =PC ∴DA ＝DC =PC ∵∠DAP ＝90° ∴sin P=DP AD =21∴∠P=30° （Ⅱ）连接OC 、AC∵DA ，DC 是⊙O 的切线 ∴DA ＝DC∵四边形ABCD 是平行四边形∴□ABCD 是菱形 ∴DA =DC =CB =AB ∠ABC =∠ADC ∵∠AOC =2∠ABC ∴∠AOC =2∠ADC∵DA 、DC 是⊙O 的切线∴OA ⊥AD OC ⊥DC ∴∠DAO ＝∠DCO ＝90°∵∠ADC +∠DCO+∠AOC +∠DAO =360° ∴∠ADC +∠AOC =180°∴3∠ADC ＝180°∴∠ADC ＝60°∴∠P ＝90°－∠ADC ＝30°，∠ABC =60°又AB =BC ∴△ABC 是等边三角形 ∴∠ACB ＝60° ∴∠AEB ＝∠ACB=60°13. 解：（Ⅰ）∵OE ⊥AB∴1272APAB 设PE =x 则OP =3x OA =OE =4x在Rt OAP △中222OA OP AP =+即2216928x x =+ 解得x =2（负舍）∴4x =8 ∴半径OA 为8 （Ⅱ）∵ CD 为⊙O 的切线 ∴OE ⊥CD又∵OE ⊥AB ∴AB //CD ∴34OA OP OCOE∴323OCECAPODB。

圆的有关性质证明题一、圆的有关证明（角的转换）1、如图，△ABC 内接于⊙O ，边AC 、BC 的高BE 、AD 相交于H （E 、D 是垂足），AD 交⊙O 于G 。

（1）求证：HG=2HD2、如图,AB 是⊙O 的直径，弦DC ⊥AB 于点E ，在弧AD 上取一点F ，连结CF 交AB 于点M ，连结DF 并延长交BA 的延长线于点N.（1）求证：∠DFC=∠DOB ；3如图：ΔABC 中，∠ACB=90°，D 为AC 的中点，以BC 为直径作⊙O 交 AB 于E ，交BD 于F ，连接EF 、CF 。

① 求证：∠BFE=∠A4、如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB ＞AC ，∠BAC 的外角平分线交⊙O 于E ，EF ⊥AB ，垂足为F 。

（1）求证：EB=EC5、如图，等腰三角形ABC 内接于⊙O ，AB=BC ，它的外角∠EAC 的平分线交⊙O 于D 点，DB 交AC 于F 。

（1）求证：△DAB ≌△DFCM O F E D CB A N6、如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=900，∠BAC的外角平分线交⊙O于点D，AC、BD交于点E，连接CD。

（1）求证：DO∥AB7、如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，⊙O分别交AB、AC 于D、E两点，E为弧CD的中点。

CD交BE于F.（1）求证：ED=EA；8、如图，AD是R t△ABC斜边BC上的高，AB=AC，过A、D的圆与AB、AC分别交于E、F，弦EF交AD于G。

（1）求证：AF =BE9、如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O分别交AB、BC于D、E，BH⊥AC于H，BH、CD交于点F，E为半圆弧的中点。

（1）求证：AH=FH10、如图，⊙O是△ABC的外接圆，过A作AD⊥BC于D，交⊙O于E，过C作CF⊥AB于F，交AD于H，交⊙O于G，连接BE、BG。

（1）求证：BE=BG。

2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算（含答案解析）类型一基本性质有关的1.(2022·湖南省郴州市)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．【答案】(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，可得BD=CD=12BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．2.(2022·辽宁省盘锦市)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E．(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若AD=4，∠D=60°，求线段AB，BC的长．【答案】(1)连接OC，根据圆周角定理得∠AOC=90°，再根据AD//EC，可得∠OCE=90°，从而证明结论；(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD=90°，又AD=4，60°，即得AB=3BD=23，根据∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=2AB= 6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得AC=22，故CF=AC2−AF2=2，从而BC=BF+CF=6+2．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．3.（2021·山东临沂市·中考真题）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点AB BC CDE．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD ，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF ≌△BCF ，得到DE=BC ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据 BCCD =得到BC=CD ，从而证明菱形．【详解】解：（1）连接BD ，∵ AB BCCD ==，∴∠ADB=∠CBD ，∴AD ∥BC ；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF=∠CBF ，∵ BCCD =，∴BC=CD ，∴BF=DF ，又∠DFE=∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC=CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF ．4.（2021·四川南充市·中考真题）如图，A ，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C ，使BC OB =，连接AC ．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D ，E 分别是AC ，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F ，G ，4OA =，求GF 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先证得△AOB 为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；（2）过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N ，利用勾股定理得出AC=30°的直角三角形的性质得出DN ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长．【详解】（1）证明：∵AB=OA ，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB 为等边三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC 是⊙O 的切线；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC=∵D 、E 分别为AC 、OA 的中点，∴OE//BC ，DC=过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N则四边形OMDN 为矩形∴DN=OM在Rt △CDN 中，∠C=30°，∴DN=12DC=∴OM=3连接OG ，∵OM ⊥GF∴GF=2MG=222OG OM -=()22243-=213【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．5.（2021·安徽中考真题）如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E ．（1）M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求圆O 的半径长；（2）点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF BD ⊥．【答案】（1）35；（2）见解析．【分析】（1）根据M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线可得OM CD ⊥，OM 平分CD ，则有6MC =，利用勾股定理可求得半径的长；（2）连接AC ，延长AF 交BD 于G ，根据CE EF =，AE FC ⊥，可得AF AC =，12∠=∠，利用圆周角定理可得2D ∠=∠，可得1D ∠=∠，利用直角三角形的两锐角互余，可证得90AGB ∠=︒，即有AF BD ⊥．【详解】（1）解：连接OC ，∵M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线∴OM CD ⊥，OM 平分CD ，90OMC ∴∠=︒12CD = 6MC ∴=．在Rt OMC △中．OC ===∴圆O 的半径为（2）证明：连接AC ，延长AF 交BD 于G ．CE EF = ，AE FC⊥AF AC∴=又CE EF= 12∠∠∴= BCBC = 2D∴∠=∠1D∴∠=∠中在Rt BED∠+∠=︒90D B∴∠+∠=︒B190AGB∴∠=︒90∴⊥AF BD【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．∠是 AD所对的圆周角，6.（2021·浙江中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，ACD∠=︒．30ACD∠的度数；（1）求DABAB=，求DF的（2）过点D作DE AB⊥，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若4长．【答案】（1）60︒；（2）23【分析】（1）连结BD ，根据圆周角性质，得B ACD ∠=∠；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含30°角的直角三角形性质，得12AD AB =；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）连结BD ，30ACD ∠=︒30B ACD \Ð=Ð=°AB Q 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，9060DAB B ∴∠=︒-∠=︒（2）90ADB ∠=︒ ，30B ∠=︒，4AB =∴122AD AB ==60DAB ∠=︒ ，DE AB ⊥，且AB 是直径sin 60EF DE AD︒∴===2DF DE =∴=．【点睛】本题考查了圆、含30°角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含30°角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．7.（2021·湖南中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）5CE =．【分析】（1）连接OD ，由点D 是 BC的中点得OD ⊥BC ，由DE//BC 得OD ⊥DE ，由OD 是半径可得DE 是切线；（2）证明△ODE 是等腰直角三角形，可求出OE 的长，从而可求得结论．【详解】解：（1）连接OD 交BC 于点F ，如图，∵点D 是 BC的中点，∴OD ⊥BC ，∵DE//BC∴OD ⊥DE∵OD 是O 的半径∴直线DE 与O 相切；（2）∵AC 是O 的直径，且AB=10,∴∠ABC=90°，152OC OA AB ===∵OD ⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB 45BAC ∠=︒∴45DOE ∠=︒∵90ODE ∠=︒∴45OED ∠=∴5DE OD OC ===由勾股定理得，OE =∴5CE OE OC =-=．【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．8.（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，在Rt AOB 中，90∠=︒ABO ，30OAB ∠=︒，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交BO 的延长线于点C ，过点C 作OA 的平行线，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若2OB =，求弧CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）23π【分析】（1）连接OB ，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得60AOD ∠=︒，再证明AOB AOD △≌△可得90ADO ABO ∠=∠=︒即可；（2）先求出∠COD ，然后再运用弧长公式计算即可．【详解】（1）证明：连接OD∵30OAB ∠=︒，90B ∠=︒∴60AOB ∠=︒又∵//CD AO∴60C AOB ∠=∠=︒∴2120BOD C ∠=∠=︒∴60AOD ∠=︒又∵,OB OD AO AO==∴()AOB AOD SAS ≌∴90ADO ABO ∠=∠=︒又∵点D 在O 上∴AD 是O 的切线；（2）∵120BOD ∠=︒∴60COD ∠=︒∴602223603l ππ=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．9.（2020•齐齐哈尔）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AC=CD =DB ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．【分析】（1）连接OD ，根据已知条件得到∠BOD =13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，=CD =DB ，∵AC∴∠BOD=13×180°＝60°，=DB ，∵CD∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=12AB＝3，∴AD=62−32=33．10.（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC=102−62=8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵12CD•AE=12AC•CE，∴CD=6×810=245．11.（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．【解析】证明：（1）连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB=AB AD==83，∴AD=∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF=EF AF=3，∴EF=3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43．类型二与三角形全等、相似有关的12.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．(1)求证：∠D=∠EBC；(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．【答案】(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．13.（2022·北部湾）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若AE DE=23，AF=10，求⊙O的半径.【答案】（1）证明：连接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线（2）解：连接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，∵AC是⊙O的直径，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，∴CF=2DE，∵AE DE=23，∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13，即⊙O的半径为13.【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODC ，∠B=∠C ，则∠B=∠ODC ，推出OD ∥AB ，由平行线的性质可得∠ODE=∠DEB=90°，即DE ⊥OD ，据此证明；（2）连接CF ，由（1）知OD ⊥DE ，则OD ∥AB ，易得OD 是△ABC 的中位线，根据圆周角定理可得∠CFA=90°，根据垂直的概念可得∠BED=90°，则DE ∥CF ，推出DE 是△FBC的中位线，得CF=2DE ，设AE=2x ，DE=3k ，CF=6k ，则BE=EF=2k+10，AC=BA=4k+10，根据勾股定理可得k 的值，然后求出AC 、OA ，据此可得半径.14.（2021·江苏无锡市·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA Ð=°，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE V V ∽．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；（2）先推出20OCB OBC ∠=∠=︒，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）∵AC 是O 的直径，∴∠ABC=90°，∵PB 切O 于点B ，∴∠OBP=90°，∴90PBA ABO OBC ABO ∠+∠=∠+∠=︒，∴PBA OBC ∠=∠；（2）∵20PBA Ð=°，PBA OBC ∠=∠，∴20OBC ∠=︒，∵OB=OC ，∴20OCB OBC ∠=∠=︒，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA ，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=12∠AOB=20°，∵AC 是O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB ，∵40ACD ∠=︒，∴40ACD AOB ∠=∠=︒，∴OAB CDE V V ∽．【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．15.（2020•衢州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6，连结OC ，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出CE AC=AC AB，求出EC即可解决问题．【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，=CD ，∴AC∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CE AC=AC AB，∴CE6=610，∴CE＝3.6，∵OC=12AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．16.（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D 是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BC AC=tan∠BCE=BE CE=12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC=CD AD=12，∵AD＝8，∴CD＝4．17.（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC=325，根据勾股定理得到CD=AD2−AC2==根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AE AD=AD AC，108=8AC，∴AC=325，∴CD=AD2−AC2==245，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴OD AC=BD BC，∴5325=BD BD+245，∴BD=1207．18.（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC 于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【解析】（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BA=BF BD，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝23．19.（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE=12BC，CE=12CD，在Rt△AOP中，OP=62+82=10，由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DB OP=BC OA=DC AP，即1210=BC6=DC8，∴BC=365，DC=485，∴OE=185，CE=245，在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2==20（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC 是O 的切线：（2）若2,33OA BE OD ==，求DA 的长．【答案】（1）见解析；（2）910【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC 是圆O 的切线；（2）根据已知得到OA=2DA ，证明△DCO ∽△DEB ，得到DO CO DB EB =，可得DA=310EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（1）如图，连接OC ，由题意可知：∠ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC ，OB 是圆O 的半径，∴OC=OB ，∴∠OCB=∠ABC ，又∵∠DCA=∠ABC ，∴∠DCA=∠OCB ，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC ⊥DC ，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB+===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．21.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）π-【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD ，证明△ABD ≌△FBD ，得到BF=BA ，即可证明CD 与圆B 相切；（2）先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD ，再利用S △ABD -S 扇形ABE 求出阴影部分面积．【详解】解：（1）过点B 作BF ⊥CD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ，∴∠ADB=∠CDB ，又BD=BD ，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴BF=BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与圆B 相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD=60°∵BF ⊥CD ，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF=tan30AB ⋅︒=2，∴阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形ABE=(230122360π⨯⨯⨯-=π-．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．22.（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC 于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AE BC=AD DC=23，推出AO OH=AE BH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OA．A∵AB＝AC，=AC ，∴AB∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C ＝4∠ABD ，∵∠DBC+∠C+∠CDB ＝180°，∴10∠ABD ＝180°，∴∠BCD ＝4∠ABD ＝72°．③若DB ＝DC ，则D 与A 重合，这种情形不存在．综上所述，∠C 的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE ∥BC 交BD 的延长线于E ．则AE BC =AD DC =23，∴AO OH =AE BH =43，设OB ＝OA ＝4a ，OH ＝3a ，∵BH 2＝AB 2﹣AH 2＝OB 2﹣OH 2，∴25﹣49a 2＝16a 2﹣9a 2，∴a 2=2556，∴BH =∴BC ＝2BH =23.（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC是O的切线：（2）若2,33OA BEOD==，求DA的长．【答案】（1）见解析；（2）9 10【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线；（2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到DO CODB EB=，可得DA=310EB，即可求出DA的长．【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC，OB是圆O的半径，∴OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA=∠OCB，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC⊥DC，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB +===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．类型三与锐角三角函数有关24.(2022·辽宁省铁岭市)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．(1)求证：BF与⊙O相切；(2)若AP=OP，cosA=45，AP=4，求BF的长．【答案】(1)连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，从而可得∠ABD=90°，进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12AD，然后利用等腰三角形的性质可得∠FEB=∠FBE，从而可得∠FBE=∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA=90°，从而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE= 90°，进而可得∠OBF=90°，即可解答；(2)在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．25.(2022·四川省广安市)如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD ，∠BDC =∠BAD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线．(2)若tan∠BED =23，AC =9，求⊙O 的半径．【答案】（1）连接OD ，由圆周角定理得出∠ADB =90°，证出OD ⊥CD ，由切线的判定可得出结论；(2)证明△BDC∽△DAC ，由相似三角形的性质得出CD AC =BC CD =BD DA =23，由比例线段求出CD 和BC 的长，可求出AB 的长，则可得出答案．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．26.（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）=2BG 【分析】（1）连接OE ，证明OE ⊥EF 即可；（2）由3sin 5F =证得4sin 5G =，运用正弦的概念可得结论．【详解】解：（1）证明：连接OE ，如图，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA ．∵EF=PF ，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF ，∴∠APH=∠EPF ，∴∠AEF=∠APH ．∵CD ⊥AB ，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE ⊥EF ．∵OE 是O 的半径∴EF 是圆的切线，（2）∵CD ⊥AB∴FHG ∆是直角三角形∵3sin 5F =∴35GH FG =设3GH x =，则5FG x=由勾股定理得，4FH x=由（1）得，OEG ∆是直角三角形∴4sin 5OE FH x G OG FG x===∴45OE OG =，即45OE OE BG =+∵8OE =∴8485BG =+解得，2BG =【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．27.（2022·黔东南）（1）请在图中作出△ABC 的外接圆⊙O （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；的中点，过点B的（2）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE切线与AC的延长线交于点D.①求证：BD⊥AD；②若AC=6，tan∠ABC=34，求⊙O的半径.【答案】（1）解：如下图所示（2）解：①如下图所示，连接OC、OB∵BD是⊙O的切线∴OB⊥BD对应的圆周角，∠COE是CE 对应的圆心角∵∠CAE是CE∴∠COE=2∠CAE的中点∵点B是CE∴∠COE=2∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴AD//OB∴BD⊥AD②如下图所示，连接CE对应的圆周角∵∠ABC与∠AEC是AC∴∠ABC=∠AEC∵AE是⊙O的直径∴∠ACE=90°∴tan∠AEC=AC CE=34∴CE=8∵AE2=CE2+AC2∴AE=10∴⊙O的半径为5.【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】（1）∵△ABC的外接圆⊙O的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到△ABC 的外接圆；【分析】（1）利用尺规作图分别作出AC，AB的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，OB的长为半径画圆即可.（2）①连接OC，OB，利用切线的性质可证得OB⊥BD，利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE，由点B是弧CE的中点，可推出∠CAE=∠BOE，利用平行线的判定定理可证得AD∥OB，由此可证得结论；②连接CE，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠AEC，利用直径所对的圆周角是直角，可推出∠ACE=90°；再利用解直角三角形求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长.28.（2022·鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tanA＝12，求△OCD的面积.【答案】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC与⊙O相切（2）解：∵∠ACB=90°，tanA=12，∴BC AC=12，∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC PA=PB PC=BC CA=12，∴PA=8，PB=2，∴AB=6，∴OC=OB=3，∴OP=5，∵BC∥OD，∴△PBC∽△POD，∴PB OP=PC PD，即25=4PD，∴PD=10，∴CD=6，∴S△OCD=12OC⋅CD=9【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，结合∠PCB=∠OAC得PCB=∠OCA，结合∠OCB+∠OCA=90°可得∠PCO=90°，据此证明；（2）根据三角函数的概念可得BC AC=12，易证△PBC∽△PCA，根据相似三角形的性质可得PA、PB，然后求出AB、OP，证明△PBC∽△POD，根据相似三角形的性质可得PD，由PD-PC=CD可得CD，然后根据三角形的面积公式进行计算.29.（2022·毕节）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.（1）求证：BF=BD；（2）若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O直径.【答案】（1）证明：连接OE，如下图所示：∵AC为圆O的切线，∴∠AEO=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴OE∥BC，∴∠F=∠DEO，又∵OD=OE，∴∠ODE=∠DEO，∴∠F=∠ODE，∴BD=BF.（2）解：连接BE，如下图所示：由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，。

圆的相关定理及其几何证明典题探究例1：如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点D.若CD =2AB AC ==，则线段AD 的长是 ；圆O 的半径是 .例2：如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E （E 在A ,O 之间），,垂足为F ．若，，则EF BC ^6AB =5CF CB ?AE =例3：如图已知PA 与圆O 相切于A ，半径OC OP ⊥，AC 交PO 于B ，若1OC =,2OP =，则PA = ，=PB ．例4：如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知30BPA ∠=︒，11BC =，1PB =, 则PA = ,圆O 的半径等于演练方阵A 档（巩固专练）1．如图，已知直线PD 切⊙O 于点D ，直线PO 交⊙O 于点E,F.若21PF PD ==，则⊙O 的半径为 ；EFD ∠= .AB COPPA2. 如图，与切于点，交弦的延长线于点，过点作圆的切线交于点. 若，，则弦的长为_______.3. 如图：圆O 的割线PAB 经过圆心O ，C 是圆上一点，PA ＝AC ＝12AB ，则以下结论不正确．．．的是( )A.CB CP =B. PCAC PABC =C. PC 是圆O 的切线D. BC BABP =4．如图，已知AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PC 切圆O 于点C ，CD OP ⊥于D ．若6CD =，10CP =，则圆O 的半径长为______；BP =______．AP O A DB P B O AP C 90ACB ∠=︒3,4BC CP ==DBD CB PA OCBA5．如图所示，以直角三角形ABC 的直角边AC 为直径作⊙O ，交斜边AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交BC 边于点E .则=BCBE.6．如图，直线AM 与圆相切于点M, ABC 与ADE 是圆的两条割线，且BD ⊥AD ，连接MD 、 EC 。

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第1页（共49页）2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷(扫描二维码可查看试题解析)一．解答题（共17小题）1．（2014•辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC 于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．2．（2014•吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积．3．（2014•天水）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．4．（2013•德州）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．5．（2013•菏泽）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）OC=CP，AB=6，求CD的长．6．（2013•聊城）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．7．（2012•北京）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的长．8．（2012•济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．（2）求证：PC是⊙O的切线．9．（2012•德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．（1）求证：AE•FD=AF•EC；（2）求证：FC=FB；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．10．（2012•黔南州）已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）过点C作CE⊥AB于E．若CE=2，cosD=，求AD的长．11．（2012•广安）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．12．（2012•黄冈）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC 于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）求证：BD2=AB•BE．13．（2011•芜湖）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．14．（2011•凉山州）如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H．（1）求证：AB是半圆O的切线；（2）若AB=3，BC=4，求BE的长．15．（2011•乐山）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的长．16．（2011•广安）如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O 上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：AQ•PQ=OQ•BQ；（3）设∠AOQ=α，若，OQ=15，求AB的长．17．（2012•达州）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P．（1）求证：PC是⊙O的切线．（2）若AF=1，OA=，求PC的长．2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共17小题）1．（2014•辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．∠CAB．∵∠CBF=，∴BE=AB•sin∠1=，=2 ==，cos∠2===，=2．（2014•吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积．3．（2014•天水）如图，点D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）判断直线CD 和⊙O 的位置关系，并说明理由．（2）过点B 作⊙O 的切线BE 交直线CD 于点E ，若AC=2，⊙O 的半径是3，求BE 的长．4．（2013•德州）如图，已知⊙O 的半径为1，DE 是⊙O 的直径，过点D 作⊙O 的切线AD ，C 是AD 的中点，AE 交⊙O 于B 点，四边形BCOE 是平行四边形．（1）求AD 的长；（2）BC 是⊙O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．AD=15．（2013•菏泽）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）OC=CP，AB=6，求CD的长．AC=2，=，==2=6．（2013•聊城）如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 切线，CD 是垂直于AB 的弦，垂足为E ，过点C 作DA 的平行线与AF 相交于点F ，CD=，BE=2．求证：（1）四边形FADC 是菱形；（2）FC 是⊙O 的切线．∴CE=DE=CD=×4=22=4，7．（2012•北京）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E，连接BE ．（1）求证：BE 与⊙O 相切；（2）连接AD 并延长交BE 于点F ，若OB=9，sin∠ABC=，求BF 的长．sin∠ABC=，==∵sin∠ABC=，==2=，=8．（2012•济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．（2）求证：PC是⊙O的切线．CD=BC OD=BC9．（2012•德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．（1）求证：AE•FD=AF•EC；（2）求证：FC=FB；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．==，=，===4，210．（2012•黔南州）已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）过点C作CE⊥AB于E．若CE=2，cosD=，求AD的长．，，=tanD==，的半径为．∴OD===，．11．（2012•广安）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．==，，sin∠BCP===AC=．AP==，AC+CP+AP=5++=2012．（2012•黄冈）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）求证：BD2=AB•BE．==13．（2011•芜湖）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O 上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．14．（2011•凉山州）如图，已知△ABC，以BC 为直径，O 为圆心的半圆交AC 于点F ，点E 为的中点，连接BE 交AC 于点M ，AD 为△ABC 的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H ．（1）求证：AB 是半圆O 的切线；（2）若AB=3，BC=4，求BE 的长．为（为===5得===，（）BE=15．（2011•乐山）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的长．=得到===，∴tan∠OEB==，===，×6=4，x=．的长为16．（2011•广安）如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O 上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：AQ•PQ=OQ•BQ；（3）设∠AOQ=α，若，OQ=15，求AB的长．=，OP=12=，∵OQ=15，cosα= =∴OP=12=36×12=1217．（2012•达州）如图，C 是以AB为直径的⊙O 上一点，过O 作OE⊥AC 于点E ，过点A 作⊙O 的切线交OE 的延长线于点F ，连接CF 并延长交BA 的延长线于点P ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线．（2）若AF=1，OA=，求PC 的长．：∴PC=2×=．。

中考数学考点《圆的切线的证明》专项练习题-附答案学校:班级:姓名:考号:1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC与⊙D相切.2．已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于E，CE=DE，过B作BF∥CD，交AC的延长线于点F，求证：BF是⊙O的切线．3．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，弧AC＝1弧BC，经过点C与⊙O相切的直线CE交BA的延长线2于点D，连接BC，过点D作DF∥BC．求证：DF是⊙O的切线．4．如图，Rt△ABC中∠C=90°，点O是AB边上一点，以OA为半径作⊙O，与边AC交于点D，连接BD，若∠DBC=∠A，求证：BD是⊙O的切线．5．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DG⊥AB，垂足为点F，交⊙O于点G，∠A=35°，⊙O半径为5，求劣弧DG的长．（结果保留π）6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点G在弧BD上，连接AG，交CD于点K，过点G的直线交CD延长线于点E，交AB延长线于点F，且EG=EK．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为13，CH=12，AC∥EF，求OH和FG的长．7．如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B＝∠CAD＝30°.（1）AD是⊙O的切线吗？为什么？（2）若OD⊥AB，BC=5，求⊙O的半径.8．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，且∠A＋∠CDB＝90°，过点A、D作⊙O，使圆心O 在AB上，⊙O与AB交于点E.(1)求证：直线BD与⊙O相切；(2)若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直径．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．10．如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长11．如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积．（结果保留π和根号）12．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为√5，OP=1，求BC的长．13．如图，点B、C、D都在半径为4的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求弦BD的长．14．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．15．如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，D为BC的中点，过点D作DE⊥AC于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=13，BC=10，求CE的长．16．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若AB=6，AD=4 √2，求EF的长．17．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）连接BT，若⊙O半径为1，AT= √3，求BT的长．18．如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求△ABC的面积．19．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC，交⊙O于点D，交AC于点E，连接BD，BD 交AC于点F，延长AC到点P，连接PB．（1）若PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；（2）如果AB=10，BC=6，求CE的长度．答案解析1．证明：过点D作DF⊥AC于F，如图所示：∵AB为⊙D的切线∴∠B=90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD=DF∴AC与⊙D相切．2．【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于E，CE=DE ∴AB⊥CD∵BF∥CD∴BF⊥AB∴BF是⊙O的切线．3．解：连接OC，过点O作OG⊥DF，垂足为G弧BC∵弧AC =12∴∠AOC=13∠AOB=60°∴∠ABC=12∠AOC=30°∵CE切⊙O于点C∴OC⊥CE，即∠DCO=90°∴在ΔDOC中∵DF//CB∴∠ABC=∠GDO=30°∴∠CDO=∠GDO，即DO平分∠CDG∵OC⊥CE,OG⊥DF ∴OC=OG（角平分线性质）∴OG是⊙O的半径∴DF是⊙O的切线（垂径定理）.4．证明：如图，连接OD．∵OA=OD∴∠A=∠ADO．∵∠C=90°∴∠CBD+∠CDB=90°又∵∠CBD=∠A∴∠ADO+∠CDB=90°∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°．∴直线BD与⊙O相切．5．（1）证明：如图1，连接BD、OD∵AB是⊙O直径∴BD ⊥AC∵AB=BC∴AD=DC∵AO=OB∴OD 是△ABC 的中位线∴DO ∥BC∵DE ⊥BC∴DE ⊥OD∵OD 为半径∴DE 是⊙O 切线；（2）解：如图2所示，连接OG ，OD∵DG ⊥AB ，OB 过圆心O∴弧BG=弧BD∵∠A=35°∴∠BOD=2∠A=70°∴∠BOG=∠BOD=70°∴∠GOD=140°∴劣弧DG 的长是140π×5180=359π．6．解：（1）证明：连接OG∵弦CD ⊥AB 于点H∴∠HKA+∠KAH=90°∵EG=EK∴∠EGK=∠EKG∵∠HKA=∠GKE∴∠HAK+∠KGE=90°∵AO=GO∴∠OAG=∠OGA∴∠OGA+∠KGE=90°∴GO⊥EF∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接CO，在Rt△OHC中∵CO=13，CH=12∴HO=5∴AH=8∵AC∥EF∴∠CAH=∠F∴tan∠CAH=tan∠F=128=32在Rt△OGF中，∵GO=13∴FG=13tan∠E =263．7．解：（1）AD是⊙O的切线，理由如下：连接OA∵∠B=30°∴∠O=60°∵OA=OC∴∠OAC=60°∵∠CAD=30°∴∠OAD=90°又∴点A在⊙O 上∴AD是⊙O的切线；（2）∵∠OAC=∠O=60°∴∠OCA=60°∴△AOC是等边三角形∵OD⊥AB∴OD垂直平分AB∴AC=BC=5∴OA=5即⊙O的半径为5．8．(1)证明：连接OD，在△AOD中，OA＝OD∴∠A＝∠ODA又∵∠A＋∠CDB＝90°∴∠ODA＋∠CDB＝90°∴∠BDO＝180°－90°＝90°，即OD⊥BD ∴BD与⊙O相切．(2)解：连接DE，∵AE是⊙O的直径∴∠ADE＝90°∴DE∥BC.又∵D是AC的中点，∴AE＝BE.∴△AED∽△ABC.∴AC∶AB＝AD∶AE.∵AC∶AB＝4∶5令AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x.∵BC＝6，∴AB＝10∴AE＝5，∴⊙O的直径为5.9．（1）连接OA∵DA平分∠BDE∴∠BDA=∠EDA．∵OA=OD∴∠ODA=∠OAD∴∠OAD=∠EDA∴OA∥CE．∵AE⊥DE∴∠AED=90°．∴∠OAE=∠DEA=90°．∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线；（2）∵BD是直径∴∠BCD=∠BAD=90°．∵∠DBC=30°，∠BDC=60°∴∠BDE=120°．∵DA平分∠BDE∴∠BDA=∠EDA=60°．∴∠ABD=∠EAD=30°．∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°∴AD=2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°∴BD=2AD=4DE．∵DE的长是1cm∴BD的长是4cm．10．（1）证明：如图(1)连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2.又∵OA="OD" ，∴∠1=∠3.∴∠2="∠3."∴OD∥AE.∵DE⊥AE∴DE⊥OD.而D在⊙O上∴DE是⊙O的切线.(2)过D作DG⊥AB 于G.∵DE⊥AE ，∠1=∠2.∴DG="DE=3" ，半径OD=5.在Rt△ODG中，根据勾股定理： OG＝＝＝4 ∴AG=AO+OG=5+4=9.∵FB是⊙O的切线， AB是直径∴FB⊥AB.而DG⊥AB∴DG∥FB. △ADG∽△AFB∴∴.∴BF=.11．（1）解：直线CD与⊙O相切∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°又∵OB=OC∴△OBC是正三角形∴∠OCB=60°又∵∠BCD=30°∴∠OCD=60°+30°=90°∴OC ⊥CD又∵OC 是半径∴直线CD 与⊙O 相切．（2）解：由（1）得△OCD 是Rt △，∠COB=60° ∵OC=1∴CD= √3∴S △COD = 12 OC •CD= √32又∵S 扇形OCB = π6∴S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OCB = √32−π6=3√3−π6 ．12．（1）证明：连接OB ，如图∵OP ⊥OA∴∠AOP=90°∴∠A+∠APO=90°∵CP=CB∴∠CBP=∠CPB而∠CPB=∠APO∴∠APO=∠CBP∵OA=OB∴∠A=∠OBA∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90° ∴OB ⊥BC∴BC 是⊙O 的切线；（2）解：设BC=x ，则PC=x在Rt △OBC 中，OB= √5 ，OC=CP+OP=x+1 ∵OB 2+BC 2=OC 2∴（ √5 ）2+x 2=（x+1）2解得x=2即BC 的长为2．13．（1）证明：连接OC，OC交BD于E∵∠CDB=30°∴∠COB=2∠CDB=60°∵∠CDB=∠OBD∴CD∥AB又∵AC∥BD∴四边形ABDC为平行四边形∴∠A=∠D=30°∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC 又∵OC是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线（2）解：由（1）知，OC⊥AC．∵AC∥BD∴OC⊥BD∴BE=DE∵在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=4∴BE=OBcos30°=2 √3∴BD=2BE=4 √314．（1）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上∴∠ACB=90°又∵BC=3，AB=5∴由勾股定理得AC=4（2）解：证明：连接OC∵AC是∠DAB的角平分线∴∠DAC=∠BAC又∵AD⊥DC∴∠ADC=∠ACB=90°∴△ADC∽△ACB∴∠DCA=∠CBA又∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵∠OAC+∠OBC=90°∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°∴DC是⊙O的切线．15．（1）证明：连接OD∵D为BC的中点，O为AB的中点∴OD∥AC；∵DE⊥AC∴DE⊥OD∴DE是圆O的切线（2）解：连接 AD∵AB是直径∴AD⊥BC；∵D为BC的中点∴AD 是BC 的垂直平分线∴AC=AB=13；∵∠C=∠C ，∠DEC=∠ADC=90°∴△CDE ∽△CAD∴EC CD = DC AD ，而AC=AB=13，CD= 12 BC=5 ∴CE= 2513 ．16．（1）证明：连接OD∵AD 平分∠CAB∴∠OAD=∠EAD ．∵OD=OA∴∠ODA=∠OAD ．∴∠ODA=∠EAD ．∴OD ∥AE ．∵∠ODF=∠AEF=90°且D 在⊙O 上 ∴EF 与⊙O 相切．（2）证明：连接BD ，作DG ⊥AB 于G∵AB 是⊙O 的直径∴∠ADB=90°∵AB=6，AD=4 √2∴BD= √AB 2−AD 2 =2∵OD=OB=3设OG=x ，则BG=3﹣x∵OD 2﹣OG 2=BD 2﹣BG 2，即32﹣x 2=22﹣（3﹣x ）2 解得x= 73∴OG= 73∴DG= √OD2−OG2 = 43√2∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB∴DE=DG= 43√2∴AE= √AD2−DE2 = 163∵OD∥AE∴△ODF∽△AEF∴DFEF =ODAE，即EF−EDEF=ODAE∴EF−43√2EF=3163∴EF= 6421√2．17．（1）证明：连接OT，如图1所示：∵OA=OT∴∠OAT=∠OTA又∵AT平分∠BAD∴∠DAT=∠OAT∴∠DAT=∠OTA∴OT∥AC又∵CT⊥AC∴CT⊥OT∴CT为⊙O的切线（2）解：连接BT，如图2所示：∵AB是⊙O直径∴AB=2，∠ATB=90°∴BT= √AB2−AT2 = √22+(√3)2 =1．18．（1）解：连接OC ．∵AC=BC ，AD=CD ，OB=OC∴∠A=∠B=∠1=∠2．∵∠ACO=∠DCO+∠2∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD又∵BD 是直径∴∠BCD=90°∴∠ACO=90°又C 在⊙O 上∴AC 是⊙O 的切线（2）解：由题意可得△DCO 是等腰三角形 ∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1∴∠CDO=∠DOC ，即△DCO 是等边三角形． ∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=2 在直角△BCD 中BC= √BD 2−CD 2 = √42−22 =2 √3 ． 又AC=BC∴AC=2 √3 ．作CE ⊥AB 于点E ．在直角△BEC 中，∠B=30°∴CE= 12 BC= √3∴S △ABC = 12 AB •CE= 12 ×6× √3 =3 √3 ．19．（1）证明：∵PF=PB∴∠PFB=∠PBF又∵∠DFE=∠PFB∴∠DFE=∠PBF∵AB 是圆的直径∴∠ACB=90°，即AC ⊥BC ． 又∵OD ∥BC∴OD ⊥AC ．∴在直角△DEF 中，∠D+∠DFE=90° 又∵OD=OB∴∠D=∠DBO∴∠DBO+∠PBE=90°，即PB ⊥AB ∴PB 是⊙O 的切线；（2）解：∵OD ∥BC ，OA=OB ∴OE= 12 BC= 12 ×6=3．∵OD ⊥AB∴EC=AE ．∵在直角△OAE 中，OA= 12 AB= 12 ×10=5∴AE= √OA 2−OE 2 = √52−32 =4． ∴EC=4。

与圆有关的证明问题（时间：100分钟总分：100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（）A．等腰梯形B．正方形C．菱形D．矩形2．如图1，DE是⊙O的直径，弦AB⊥ED于C，连结AE、BE、AO、BO，则图中全等三角形有（）A．3对B．2对C．1对D．0对（1） (2) (3) (4)3．垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，假命题是（）A．①②⇒③④B．①③⇒②④C．①④⇒②③D．②③⇒①④4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心，•2.3cm 长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB相切；•③以点C 为圆心，2.5cm长为半径的圆与AB相交，则上述结论正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．在⊙O中，C是AB的中点，D是AC上的任意一点（与A、C不重合），则（）A．AC+CB=AD+DB B．AC+CB<AD+DBC．AC+CB>AD+DB D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定6．如图2，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，EF切⊙O于点C，则图中与∠ACB相等的角（不包括∠ACB）共有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图3，在△ABC中，AD是高，AE是直径，AE交BC于G，有下列四个结论：•①AD2=B D·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正确结论的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图4，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，交⊙O 于G ．•下面的结论：①EC=DF ；②AE+BF=AB ；③AE=GF ；④FG ·FB=EC ·ED ．其中正确的有（ ） A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④9．如图5，圆内接△ABC 的外角∠ACH 的平分线与圆交于D 点，DP ⊥AC ，•垂足是P ，DH ⊥BH ，垂足是H ，下列结论：①CH=CP ；②AD BD =；③AP=BH ；④DH 为圆的切线，其中一定成立的是（ ） A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③(5) (6) (7) (8) 10．如图6，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ）A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D ．AD 与2CD 的大小关系可能不确定二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．在⊙O 中，若AB ⊥MN 于C ，AB 为直径，MN•为弦，•试写出一个你认为正确的结论：_________．12．已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为10cm ，6cm ，OO 的长为3cm ，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是_________．13．如图7，C 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，过点C 作⊙O 的切线CD ，D 为切点，连结AD 、OD 、BD ，请你根据图中所给的条件（不再标字母或添辅助线），写出一个你认为正确的结论____________．14．已知⊙O 的直径为10，P 为直线L 上一点，OP=5，那么直线L 与⊙O•的位置关系是_______． 15．在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点O 是△ABC 的外心，现以O 为圆心，•分别以2，2．5，3为半径作⊙O ，则点C 与⊙O 的位置关系分别是________．16．以等腰△ABC 的一腰AB 为直径作圆，交底边BC 于D ，则∠BAD 与∠CAD•的大小关系是∠BAD________∠CAD．17．在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以C为圆心，以23为半径的圆与直线AB•的位置关系是____________．18．如图8所示，A、B、C是⊙O上的三点，当BC平分∠ABO时得结论_________．三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．21．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．，BF和AD交于E，22．如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB AF求证：AE=BE．23．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．24．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．（1）求∠ACM的度数．（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD=AC·BC，说明理由．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．（1）若圆心O与C重合时，⊙O与AB有怎样的位置关系？（2）若点O沿CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切？答案： 一、选择题1．D 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．B 9．D 10．A 二、填空题11．BM=BN 等 12．内含 13．∠ADO=∠BDC 等 14．相交或相切 15．在圆外、•在圆上、在圆内 16．= 17．相交 18．OC ∥AB 等 三、解答题19．证明：过点O 作OE ∥AB 于E ，则AE=BE ．在△OCD 中，OE ⊥CD ，OC=OD ，∴CE=•DE ．•∴AC=BD ．20．证明：∵四边形ABDE 是圆内接四边形，∴∠DEC=∠B ． 又∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠DEC=∠C ，∴DE=CD ． ∴△DEC 为等腰三角形．21．证明：连结BC ，由AB 是直径可知，9030ACB A ∠=︒⎫⎬∠=︒⎭⇒∠ABC=60°．CD 是切线⇒∠BCD=∠A=30°⇒∠D=30°=∠A ⇒AC=CD ． 22．证明：连结AB ，AC ，90909090BC BAC ABC ACB AD BC ADB ABC BAD ⇒∠=︒⇒∠+∠=︒⎫⎬⊥⇒∠=︒⇒∠+∠=︒⎭是直径ACB BADAB AF ACB ABF ⇒∠=∠⎫⎪⎬=⇒∠=∠⎪⎭⇒∠BAD=∠ABF ⇒AE=BE ．23．证明：（1）连结OD ，AO 是直径90ADO AO CO ⇒∠=︒⎫⇒⎬=⎭AD=DC ．（2）连结O 1D ，111O D O A A ADO OA OC A C =⇒∠=∠⎫⎬=⇒∠=∠⎭190C ADO DE CE C CDE ⇒∠=∠⎫⎬⊥⇒∠+∠=︒⎭1119090ADO CDE O DE D O ⇒∠+∠=︒⇒∠=︒⎫⎬⎭在上⇒DE 是切线．24．解：（1）连结BC ，9028AB ACB A ⇒∠=︒⎫⎬∠=︒⎭是直径⇒∠B=62°．MN 是切线⇒∠ACM=∠B=62°．（2）过点B 作BD ⊥MN ，则190BDC ACBMN BCN A ∠=︒=∠⎫⎬⇒∠=∠⎭是切线⇒△ACB ∽△CNB⇒1AC ABCD BC=⇒AB ·CD 1=AC ·BC ． 过点A 作AD 2⊥MN ，则190AD C ACBMN MCA CBA ∠=︒=∠⎫⎬⇒∠=∠⎭是切线⇒△ABC ∽△ACD 2⇒2CD AC AB CB=⇒CD 2·AB=AC ·CB 25．解：（1）过点C 作CH ⊥AB 于H ，由三角形的面积公式得AB ·CH=AC ·BC ，∴CH=AC BC AB =6013，即圆心到直线的距离d=6013． ∵d=6013>3，∴⊙O 与AB 相离．（2）过点O 作OE ⊥AB 于E ，则OE=3．∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A ，∴△AOE ∽△ABC ，∵OA=OE AB BC =31313124⨯= ∴OC=AC-OA=5-134=74． ∴当OC=74时，⊙O 与AB 相切．初中数学初试试讲题目1、如图，已知ABC △⑴ 请你在BC 边上分别取两点D 、E （BC 的中点除外），连结AD 、AE ，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；⑵ 请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB AC AD AE +>+．CB A⑴DE CB A2、在ABC △中，AB AC >，D ，E 分别为AB ，AC 上两点且BD CE =． 求证：DE BC <．3、如图，在等腰ABC △中，AB AC =，ABC α∠=，在四边形BDEC 中，DB DE =，2BDE α∠=，M 为CE 的中点，连接AM ，DM ．⑴ 在图中画出DEM △关于点M 成中心对称的图形； ⑵ 求证：AM DM ⊥；⑶ 当α=___________时，AM DM =．EDCBAMEDCBA4、如图，E 是矩形ABCD 外任意一点，已知18EAF S △，FED CBA。

中考数学复习《圆的证明与计算》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解圆的相关知识的考查是中考数学中的一个重要内容，圆作为一个载体，常与三角形、四边形结合，考查切线的性质及判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、求阴影面积等．解题时要先分析题干中的条件，然后从图象中挖掘隐含条件，最后再解题．类型一切线的判定判定一条直线是圆的切线，首先看圆的半径是否过直线与圆的交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心与切点，构造半径证垂直．例1 (2016·黄石)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得⊥OCA=⊥CAD，即可得到OC⊥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．【自主解答】（1）解：⊥AB是⊥O直径，C在⊥O上，⊥⊥ACB=90°，又⊥BC=3，AB=5，⊥由勾股定理得AC=4；（2）证明：⊥AC是⊥DAB的角平分线，⊥⊥DAC=⊥BAC，又⊥AD⊥DC，⊥⊥ADC=⊥ACB=90°，⊥⊥ADC⊥⊥ACB，⊥⊥DCA=⊥CBA，又⊥OA=OC，⊥⊥OAC=⊥OCA，⊥⊥OAC+⊥OBC=90°，⊥⊥OCA+⊥ACD=⊥OCD=90°，⊥DC是⊥O的切线．变式训练1．(2017·白银) 如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB==，∴B（，2）．（2）连接MC，NC∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．类型二切线的性质已知某条直线是圆的切线，当圆心与切点有线段连接时，直接利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；当圆心与切点没有线段相连时，则作辅助线连接圆心与切点，再利用切线的性质解题．例2 (2016·资阳) 如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD.(1)求证：∠A＝∠BDC；(2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝1时，求MN的长．【分析】(1)连接OD，由切线的性质可得∠CDB＋∠ODB＝90°，由AB是直径，可得∠ADB＝90°，进而可得∠A＋∠ABD＝90°，进而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，再根据勾股定理求得MN的长．【自主解答】(1)如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠BDC＋∠ODB＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠A＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDC.(2)∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM.∵∠A＝∠BDC，∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM.即∠DMN＝∠DNM.∵∠ADB＝90°，DM＝1，∴DN＝DM＝1，∴MN＝变式训练2．(2017·长沙)如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．解：（1）连接OC，∵AB与⊙O相切于点C∴∠ACO=90°，由于=，∴∠AOC=∠BOC，∴∠A=∠B∴OA=OB，（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，∴BC=AB=2，∴sin∠COB==，∴∠COB=60°，∴∠B=30°，∴OC=OB=2，∴扇形OCE的面积为：=，△OCB的面积为：×2×2=2=2﹣π∴S阴影类型三圆与相似的综合圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合，一般结合切线的判定与性质综合考查，求线段长或半径．一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进而构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出所求线段或半径．例3 (2017·兰州) 如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CE=2，求EF的长．【分析】（1）由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【自主解答】解：（1）∵BC是⊙O的直径，∴∠BAF+∠FAC=90°，∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，∴∠D+∠AOD=90°，∴∠OAD=90°，∴AD是⊙O的切线；（2）连接BF，∴∠FAC=∠AOD，∴△ACE∽△OCA，∴，∴，∴AC=AE=，∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴，∴=，∴EF=．变式训练3．(2016·丹东)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证：∠BDC＝∠A；(2)若CE＝4，DE＝2，求AD的长．(1)证明：如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，即∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°. ∴∠BDC＝∠ADO.∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A.(2)解：∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC.∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE.∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴∴CE2＝DE·AE，即16＝2(2＋AD)，∴AD＝6.。

中考数学高频考点《圆的有关计算与证明》专项测试卷-带答案（20道）一、填空题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在O中直径AB与弦CD交于点,2E AC BD=．连接AD过点B的切线与AD的延长线交于点F．若68AFB∠=︒，则DEB∠=°．2．（2023·湖南常德·统考中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作其中收录了计算圆弧长度的“会圆术” 如图．AB是以O为圆心OA为半径的圆弧C是弦AB的中点D在AB上CD AB⊥．“会圆术”给出AB长l的近似值s计算公式：2CDs ABOA=+当2OA=90AOB∠=︒时l s-=．（结果保留一位小数）二 解答题3．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，ABC 内接于O AB 为O 的直径 延长AC 到点G 使得CG CB = 连接GB 过点C 作CD GB ∥ 交AB 于点F 交点O 于点D 过点D 作DE AB ∥．交GB 的延长线于点E ．(1)求证：DE 与O 相切．(2)若4AC = 2BC = 求BE 的长．4．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，等腰三角形OAB 的顶角120AOB ∠=︒O 和底边AB 相切于点C并与两腰OA OB 分别相交于D E 两点 连接CD CE ．(1)求证：四边形ODCE 是菱形(2)若O 的半径为2 求图中阴影部分的面积．5．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O AB 为O 的直径 过点D 作DF BC ⊥ 交BC 的延长线于点F 交BA 的延长线于点E 连接BD ．若180EAD BDF ∠+∠=︒．(1)求证：EF 为O 的切线．(2)若10BE = 2sin 3BDC ∠= 求O 的半径．6．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径 点C D 是O 上AB 异侧的两点DE CB ⊥ 交CB 的延长线于点E 且BD 平分ABE ∠．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若60ABC ∠=︒ 4AB = 求图中阴影部分的面积．7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知ABC 内接于O AB 为O 的直径 N 为AC 的中点 连接ON 交AC 于点H ．(1)如图① 求证2BC OH =(2)如图① 点D 在O 上 连接DB DO DC DC 交OH 于点E 若DB DC = 求证OD AC ∥(3)如图① 在（2）的条件下 点F 在BD 上 过点F 作FG DO ⊥ 交DO 于点G ．DG CH = 过点F 作FR DE ⊥ 垂足为R 连接EF EA 32EF DF =:: 点T 在BC 的延长线上 连接AT 过点T 作TM DC ⊥ 交DC 的延长线于点M 若42FR CM AT ==， 求AB 的长．8．（2023·江苏徐州·统考中考真题）两汉文化看徐州 桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到 玉壁 玉环为我国的传统玉器 通常为正中带圆孔的扇圆型器物 据《尔雅·释器》记载：“肉倍好 谓之璧 肉好若一、调之环．”如图1 “肉”指边（阴影部分） “好”指孔 其比例关系见图示 以考古发现看 这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为(2)利用圆规与无刻度的直尺 解决下列问题（保留作图痕迹 不写作法）．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图 试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？①图3表示一件圆形玉坯 若将其加工成玉璧 且比例关系符合“肉倍好” 请画出内孔．9．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径 点C E ，在O 上 2CAB EAB ∠=∠ 点F 在线段AB 的延长线上 且AFE ABC ∠=∠．(1)求证：EF 与O 相切(2)若41sin 5BF AFE =∠=， 求BC 的长．10．（2023·贵州·统考中考真题）如图，已知O 是等边三角形ABC 的外接圆 连接CO 并延长交AB 于点D 交O 于点E 连接EA EB ．(1)写出图中一个度数为30︒的角：_______ 图中与ACD 全等的三角形是_______(2)求证：AED CEB ∽△△(3)连接OA OB 判断四边形OAEB 的形状 并说明理由．11．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，AB为O的直径E为O上一点点C为EB的中点过点C ⊥交AE的延长线于点D延长DC交AB的延长线于点F．作CD AE(1)求证：CD是O的切线(2)若1DE=2DC=求O的半径长．∠12．（2023·吉林长春·统考中考真题）【感知】如图① 点A B P均在O上90∠=︒，则锐角APBAOB的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图① O是等边三角形ABC的外接圆点P在AC上（点P不与点A=连结BE C重合）连结PA PB PC．求证：PB PA PC=+．小明发现延长PA至点E使AE PC通过证明PBC EBA△△可推得PBE是等边三角形进而得证．≌下面是小明的部分证明过程：=连结BE证明：延长PA至点E使AE PC四边形ABCP是O的内接四边形180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒BCP BAE ∴∠=∠． ABC 是等边三角形．BA BC ∴=(SAS)PBC EBA ∴≌请你补全余下的证明过程．【应用】如图① O 是ABC 的外接圆 90ABC AB BC ∠=︒=， 点P 在O 上 且点P 与点B 在AC 的两侧 连结PA PB PC ．若22PB PA =，则PB PC的值为__________．13．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，ABC 内接于O AB 是O 的直径 BC BD = DE AC ⊥于点E DE 交BF 于点F 交AB 于点G 2BOD F ∠=∠ 连接BD ．(1)求证：BF 是O 的切线(2)判断DGB 的形状 并说明理由(3)当2BD =时 求FG 的长．14．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在ABC 中 AB AC = 以AB 为直径的O 交BC 于点D DE AC ⊥ 垂足为E ．(1)求证：DE 是O 的切线(2)若30C ∠=︒ 23CD = 求BD 的长．15．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径 C 是O 上一点过点C 作CD AB ⊥于点E 交O 于点D 点F 是AB 延长线上一点 连接CF AD 2FCD DAF ∠=∠．(1)求证：CF 是O 切线(2)若10AF2sin 3F = 求CD 的长．16．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径 AC 是弦 D 是AC 上一点 P 是AB 延长线上一点 连接,,AD DC CP ．(1)求证：90ADC BAC ∠-∠=︒ （请用两种证法解答）(2)若ACP ADC ∠=∠ O 的半径为3 4CP = 求AP 的长．17．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具 既经济又环保 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下 筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动 每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r 的O ．如图① OM 始终垂直于水平面 设筒车半径为2米．当0=t 时 某盛水筒恰好位于水面A 处 此时30AOM ∠=︒ 经过95秒后该盛水筒运动到点B 处．（参考数据 2 1.4143 1.732，≈）问题解决：(1)求该盛水筒从A 处逆时针旋转到B 处时 BOM ∠的度数(2)求该盛水筒旋转至B 处时 它到水面的距离．（结果精确到0.1米）18．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形 AB 是直径 C 是BD 的中点 过点C 作CE AD ⊥交AD 的延长线于点E ．(1)求证：CE 是O 的切线(2)若6BC = 8AC = 求,CE DE 的长．19．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，AB 为O 的直径 D E 是O 上的两点 延长AB 至点C 连接CD BDC A ∠=∠．(1)求证：ACD DCB ∽(2)求证：CD 是O 的切线(3)若3tan ,105E AC == 求O 的半径．20．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在单位长度为1的网格中 点O A B 均在格点上 3OA =2AB = 以O 为圆心 OA 为半径画圆 请按下列步骤完成作图 并回答问题：①过点A 作切线AC 且4AC =（点C 在A 的上方）①连接OC 交O 于点D①连接BD 与AC 交于点E ．(1)求证：BD 为O 的切线(2)求AE 的长度．参考答案一、填空题1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在O 中 直径AB 与弦CD 交于点,2E AC BD =．连接AD 过点B 的切线与AD 的延长线交于点F ．若68AFB ∠=︒，则DEB ∠= °．【答案】66【分析】连接BD ，则有90ADB ∠=︒ 然后可得22,68A ABD ∠=︒∠=︒，则44ADE =︒∠ 进而问题可求解．【详解】解：连接BD 如图所示：①AB 是O 的直径 且BF 是O 的切线①90ADB ABF ∠=∠=︒①68AFB ∠=︒①22A ∠=︒①68ABD ∠=︒①2AC BD =①244ADC A ∠=∠=︒①9046CDB ADC ∠=︒-∠=︒①18066DEB CDB ABD ∠=︒-∠-∠=︒故答案为：66．【点睛】本题主要考查切线的性质 圆周角 弧之间的关系 熟练掌握切线的性质 圆周角 弧之间的关系是解题的关键．2．（2023·湖南常德·统考中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作 其中收录了计算圆弧长度的“会圆术” 如图．AB 是以O 为圆心 OA 为半径的圆弧 C 是弦AB 的中点 D 在AB 上CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 长l 的近似值s 计算公式：2CD s AB OA=+ 当2OA = 90AOB ∠=︒时 l s -= ．（结果保留一位小数）【答案】0.1【分析】由已知求得AB 与CD 的值 代入2CD s AB OA=+得弧长的近似值 利用弧长公式可求弧长的值 进而即可得解．【详解】①290OA OB AOB ︒==∠=，①22AB =①C 是弦AB 的中点 D 在AB 上 CD AB ⊥①延长DC 可得O 在DC 上 122OC AB ==①22CD OD OC =-=①(22222322CD s AB OA=+==9022360l ππ⨯⨯== ①30.1l s π-=-≈．故答案为：0.1．【点睛】本题考查扇形的弧长 掌握垂径定理。