小升初数学拓展与提高——立体几何
内容提要
板块一、基本立体图形认知
板块二、立体染色及最短线路问题
板块三、套模法、切片法及立体旋转问题 基础知识点
立体图形 表面积
体积
6
62
⨯a ＝个面的面积和
3
2
a
a a =⨯=⨯高底面积
)(26bc ac ab ++＝个面的面积和
abc
c ab =⨯=⨯高底面积
rh
r ππ＝侧面积两个底面积222
++
h
r h r 2
2
ππ高底面积=⨯=⨯
rl
r π＝π侧面积底面积++2
h r h r 223
1
313
1
ππ高底面积=⨯=⨯
r
24r π使劲记住：
33
4
r π使劲记住：
例1.右图是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管(不考虑吸管粗细)放在玻璃杯内。当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米。则这个玻璃杯的容积为________立方厘米。(取π=3 .14) （提示：直角三角形中“勾6、股8、弦10）
C
B
A
例 2.铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如下图所示。问：该油罐车的容积是多少立方米？(π=3.14)
例3.图中是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形。问这个直三棱柱的体积是多少？
绿
黄
例4.下图是半个圆柱的表面展开图，由两个半圆和两个长方形组成，总面积是a ，圆柱底面半径是r 。用a ，r 和圆周率π所表示的这个半圆柱的高的式子是__________________________，体积的式子是__________________________________。
例 5.如下图给出了一个立体图形的正视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米。立体图形的体积( )立方厘米。
A. 2π
B. 2.5π
C. 3π
D. 3.5π
例 6.如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米。这卷铜版纸的总长是多少米？(π=3.14)
例7.输液100毫升，每分钟输2.5毫升。如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？
【阶段总结1】1. 柱体的体积：底面积×高；锥体的体积：
1
3
×底面积×高。
2. 根据展开图、三视图还原原立体图形的能力，立体图形、展开图对照分析能力。
3. 简易立体图形的画法。
例8.右图是456
⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？例8．拓展：一个长方体体积462立方厘米，在它的表面涂上一层油漆，然后把它切成棱长1厘米的正方体若干，长宽高为整数，这时三面都有油漆的正方体有86个，有二面油漆的正方体______个．
例9.将16个相同的小正方体拼成一个体积为16立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，则3个面涂漆的小正方体最多有_________个，最少有________个。
例10.如图两只小蚂蚁都在一个棱长为10的正方体A点处，现在它们要爬向C点，其中一只小蚂蚁去探路，寻找一条沿正方体表面爬行的最短路线，并留下脚印，以便第二只小蚂蚁沿这条最短路线也爬到C点，同学们，你们能不能帮第一只小蚂蚁找到最短路线呢，这两只小蚂蚁所走的最短路线的乘积是多少呢？（提示：勾股定理）
C
A
例11.如图一只小蚂蚁都在一个如图所示的长方体A点处，现在它要沿长方体表面爬向C点，同学们，你们能不能帮这只小蚂蚁找到最短路线呢，最短路线的长度是多少？
【阶段总结2】
1. 立体染色问题，例8的那个表格还记得吗？
2. 立体最短线路问题，例10、例11
例12.用棱长为1的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如图所示，那么粘成这个立体最多需要______块小立方体，该立方体的表面积为______。
提示图：
例13.如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O 。E 、F 分别是AD 与
BC 的中点，
图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)
O
A
B
C
D
例14.如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O 。图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？
B
A O
【阶段总结3】
1. 求镂空图形表面积：组合体法、透视法等等。 求镂空图形体积：切片法，组合体法。
2. 理解圆柱体、圆锥体、圆台分别是由什么图形旋转得到的。 测 试 题
1. 一个长方体如果长增加3cm ，体积就增加345cm ，如果宽增加5cm ，体积就增加390cm ，如果高增加4cm ，体积就增加348cm ，求原长方体的表面积。
2. 甲、乙两个圆柱形水桶容积一样大，甲桶底圆半径与乙桶底圆半径比为3:2，乙桶比甲桶高1.5
米，则乙桶的高度为 。
3. 如图，工地上堆放了180块砖，这个砖堆有两面靠墙。如果要把这个砖堆的表面涂满白色，那么，被涂上白色的砖共有 块。
4. 从三个方向看一个立方体如下图，求H 、X 、Y 对面分别是什么字母？
X
H Y
W
E
X
Y
H
A
