北师大版高一数学必修1教案-指数的运算性质(1)

指数的运算性质一．教学目标1．知识与技能：（1）掌握根式与分数指数幂互化；（2）能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值.2．过程与方法：通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.3．情感、态度、价值观（1）培养学生观察、分析问题的能力；（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.二．重点、难点：1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.2．难点：有理指数幂性质的灵活应用.三．学法与教具：1．学法：讲授法、讨论法.2．教具：投影仪四．教学设想：1．复习分数指数幂的概念与其性质2．例题讲解例1．（P60，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b-÷-（2）31884 () m n-（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的.整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.解：（1）原式=211115326236 [2(6)(3)]a b+-+-⨯-÷-=04ab =4a（2）原式=318884()() m n-=23m n-例2．（P61例5）计算下列各式（1）（22(a ＞0）分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.解：（1）原式= 111324(25125)25-÷ = 231322(55)5-÷ = 2131322255--- = 1655-5（2）原式=125222362132a a a a a --===⋅小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.课堂练习：化简：（1）2932-（2（3）归纳小结：1． 熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.。

指数的运算性质1一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.二．重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解三．学法 1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 提问：1．习初中时的整数指数幂，运算性质？什么叫实数？有理数，无理数统称实数.2．观察以下式子，并总结出规律：a ＞0①1025a a === ②842a a === ③1234a a ===1025a a === 小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：*(0,,1)mna a n N n =>∈> 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即：*1(0,,)mn mn a a m n N a -=>∈规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)nm m m ma a a a a =⋅⋅⋅⋅> 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质， (0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈3．例题（1）．（例2）求值解：① 2223323338(2)224⨯==== ② 1112()21222125(5)555--⨯--==== ③ 5151(5)1()(2)2322----⨯-=== ④334()344162227()()()81338-⨯--=== （2）．（P 60，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）解：117333222a a a a a +=⋅== 分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算. 课堂练习： 第 1，2，3，4题补充练习：1. 计算：122121(2)()248n n n ++-⋅的结果 2. 若13107310333,384,[()]n a a a a a -==⋅求的值 小结：1．分数指数是根式的另一种写法.2．无理数指数幂表示一个确定的实数.3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.。

2．2 指数运算的性质导入新课思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数．并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数．对无理数指数幂，也是这样扩充而来．思路2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数运算的性质．推进新课新知探究提出问题①我们知道2＝1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…是2的什么近似值？④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如作出判断并合理地解释吗？⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：问题①从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于2的方向．问题②对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联． 问题③上述方法实际上是无限接近，最后是逼近． 问题④对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释．问题⑤在③④的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般．讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，这些数都小于2，称2的不足近似值，而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，这些数都大于2，称2的过剩近似值．②第一个表：从大于2的方向逼近2时，51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于第二个表：从小于2的方向逼近2时，51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于52的方向接近52，可以说从两个方向无限地接近即逼近51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示是一个实数，即51.4＜51.41＜51.414＜51.414 2＜51.414 21＜…＜51.414 22＜51.414 3＜51.415＜51.42＜51.5.充分表明⎝ ⎛⎭⎪⎫123，3π等都是实数．③逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识．④根据②③我们可以推断 ⑤无理数指数幂的意义：一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数． 也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数．我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂．提出问题为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？ 你能给出实数指数幂的运算法则吗？ 活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳． 对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明．对问题(2)结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通．对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了．讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若a ＝－1，那么a α是＋1还是－1就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂a α是一个确定的实数，就不会再造成混乱．(2)因为无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂．类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则：①a r ·a s ＝a r ＋s(a ＞0，r ，s 都是无理数)．②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s 都是无理数)．③(a ·b )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r 是无理数)．(3)指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂． 实数指数幂的运算性质：对任意的实数r ，s ，均有下面的运算性质： ①a r ·a s ＝a r ＋s(a ＞0，r ，s ∈R )．②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈R )．③(a ·b )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈R )． 应用示例思路1例1 在实数范围内，对比(ab )n＝a n b n和⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝anbn (其中a ＞0，b ＞0，b ≠0)，说明后者可以归入前者．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝(ab －1)n ＝a n b －n ＝a n b n ，因此，性质⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝a nbn 可以归入性质(ab )n ＝a n b n.例2 化简(式中字母均为正实数)：(1)3x 2(2x －2yz )；(2)(1ax y )α(4y －α)．活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)(2)由里向外，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律．解：(1)3x 2(2x －2yz )＝(3×2)x 2－2yz ＝6yz ；(2)(1a x y )α(4y －α)＝14ax ·α·y α·y －α＝4xyα－α＝4x .点评：注意运算性质的应用．例3 已知10α＝3,10β＝4，求10α＋β，10α－β，10－2α，510β.活动：学生思考，观察题目的特点，从整体上看，应利用运算性质，然后再求值，要有预见性，教师引导学生考虑问题的思路，必要时给予提示．解：10α＋β＝10α×10β＝3×4＝12；10α－β＝10α10β＝34；10－2α＝(10α)－2＝3－2＝19；510β＝(10β)15＝154.点评：运用整体思想和运算法则是解决本题的关键，要深刻理解这种做法．思路2 例1 计算：(1)614＋3338＋40.062 5＋(5π)0－2－1； (2)23125＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋13343－⎝ ⎛⎭⎪⎫12713-；(3)(11342x y--)(21323x y )；(4)(1122x y -)÷(1144x y -)．活动：学生观察、思考，根式化成分数指数，利用幂的运算性质解题，另外要注意整体的意识，教师有针对性地提示引导，对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行，对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行，对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行，对(4)要利用平方差公式先因式分解，并对学生作及时的评价．解：(1)614＋3338＋40.062 5＋(5π)0－2－1 ＝1123252748⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋(0.062 5)14＋1－12 ＝112312344531(0.5)222⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝52＋32＋0.5＋12＝5. (2)23125＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋13343－13127-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(53)233(5)＋(2－1)－2＋133(7)－133(3)--＝2335⨯＋2－2×(－1)＋1337⨯－313()3-⨯-＝25＋4＋7－3＝33.(3)(11342x y --)(21323x y )＝(－2×3)(12113342x x yy -⋅)＝12111333342466xyx y -++-⋅=-＝－64x33y .(4)(1122x y -)÷(1144x y -)＝[(14x )2－(14y )2]÷(1144x y -)＝(1144x y +)(1144x y -)÷(1144x y -)＝1144x y +.点评：在指数运算中，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式． 例2 化简下列各式： (1)222233x y xy----++－222233x y xy-----+；(2)(a 3＋a －3)(a 3－a －3)÷[(a 4＋a －4＋1)(a －a －1)]．活动：学生观察式子的特点，特别是指数的特点，教师引导学生考虑题目的思路，这两题要注意分解因式，特别是立方和和立方差公式的应用，对有困难的学生及时提示：对(1)考查x 2与23x 的关系可知x 2＝(23x )3，立方关系就出来了，公式便可运用，对(2)先利用平方差，再利用幂的乘方转化为立方差，再分解因式，组织学生讨论交流．解：(1)原式＝2233332233()()x y xy----++－2233332233()()x y xy------＝(23x -)2－2233xy --＋(23y -)2－[(23x-)2＋(23x-)(23y -)＋(23y-)2]＝424424333333()()xxy yxxy y-------+---＝232()xy --=-(2)原式＝[(a 3)2－(a －3)2]÷[(a 4＋a －4＋1)(a －a －1)]＝a 23－a －23a 4＋a －4＋a －a －1＝a 2－a －2a 4＋a －4＋a 4＋a －4＋a －a －1＝a 2－a －12a －a－1＝a ＋a －1. 点评：注意立方和、立方差公式在分数指数幂当中的应用，因为二项和、差公式，平方差公式一般在使用中一目了然，而对立方和、立方差公式却一般不易观察到，32a ＝(12a )3还容易看出，对其中夹杂的数字m 可以化为m ·1122a a -＝m ，需认真对待，要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力．知能训练1．化简：(1＋1322-)(1＋1162-)(1＋182-)(1＋142-)(1＋122-)的结果是( )．A ．12(1－1322-)－1B ．(1－1322-)－1C ．1－1322- D ．12(1－1322-)解析：根据本题的特点，注意到它的整体性，特别是指数的规律性，我们可以进行适当的变形．因为(1＋1322-)(1－1322-)＝1－1162-，所以原式的分子、分母同乘(1－1322-)，依次类推，所以1122132(12)(12)12----+-＝11321212----＝11321(12)2---. 答案：A2．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋2310227-⎛⎫ ⎪⎝⎭－3π0＋9－0.5＋490.5×2－4. 解：原式＝12259⎛⎫ ⎪⎝⎭＋100＋232764⎛⎫ ⎪⎝⎭－3＋1214916⨯＝53＋100＋916－3＋13＋716＝100. 3．计算a ＋2a －1＋a －2a －1(a ≥1)．解：原式＝a －1＋2＋a －1－2＝a －1＋1＋|a －1－1|(a ≥1)． 本题可以继续向下做，去掉绝对值，作为思考留作课下练习．4．设a ＞0，x ＝12(11n n a a --)，则(x ＋1＋x 2)n的值为__________．解析：1＋x 2＝1＋14(11n n a a --)2＝14(11n n a a -+)2.这样先算出1＋x 2，再算出1＋x 2，将x ＝12(11n n a a --)代入1＋x 2，得1＋x 2＝1＋14(11n n a a --)2＝14(11n n a a -+)2.所以(x ＋1＋x 2)n ＝111()2nn n a a -⎡-⎢⎢⎣＝111111()()22nn n nn a a a a --⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦＝a .答案：a 拓展提升参照我们说明无理数指数幂的意义的过程，请你说明无理数指数幂 活动：教师引导学生回顾无理数指数幂义的过程，利用计算器计算出3的近似值，取它的过剩近似值和不足近似值，根据这些近似值计算值，利用逼近思想，“逼出”学生合作交流，在投影仪上展示自己的探究结果．解：3＝1.732 050 80…，取它的过剩近似值和不足近似值如下表．340 351 678同样把用2作底数，3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数： 21．8,21.74,21.733,21.732 1，…，不难看出3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多，即3的近似值精确度越高，以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为即21.7＜21.73＜21.731＜21.731 9＜…＜23＜…＜21.732 1＜21.733＜21.74＜21.8.也就是说23＝3.321 997 …也可以这样解释：当3的过剩近似值从大于3的方向逼近3时，当3的不足近似值从小于3的方向逼近3时，所以就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.731 9，…和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，按上述规律变化的结果，即 课堂小结(1)无理数指数幂的意义．一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数． (2)实数指数幂的运算性质：对任意的实数r ，s ，均有下面的运算性质： ①a r ·a s ＝a r ＋s(a ＞0，r ，s ∈R )．②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈R )．③(a ·b )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈R )． (3)逼近的思想，体会无限接近的含义．作业习题3—2 A 组6,8.设计感想无理数指数是指数概念的又一次扩充，教学中要让学生通过多媒体的演示，理解无理数指数幂的意义，教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索，自己得出结论，加深对概念的理解，本堂课内容较为抽象，又不能进行推理，只能通过多媒体的教学手段，让学生体会，特别是逼近的思想、类比的思想，多做练习，提高学生理解问题、分析问题的能力．备课资料[备用习题]1．以下各式中成立且结果为最简根式的是( )．A.a ·5a 3a ·10a 7＝10a 4B.3xy 2xy 2＝y 3x 2C.a 2b b 3aa b 3＝8a 7b 15 D ．(35－125)3＝5＋125125－235·125 答案：B2．对于a ＞0，r ，s ∈Q ，以下运算中正确的是( )．A ．a r ·a s ＝a rsB ．(a r )s ＝a rsC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b r ＝a r ·b s D ．a r b s ＝(ab )r ＋s答案：B 3．式子x －2x －1＝x －2x －1成立的充要条件是( )． A.x －2x －1≥0B ．x ≠1C ．x ＜1D ．x ≥2解析：方法一：要使式子x －2x －1＝x －2x －1成立，需x －1＞0，x －2≥0，即x ≥2.若x ≥2，则式子x －2x －1＝x －2x －1成立． 从而x ≥2是式子x －2x －1＝x －2x －1成立的充要条件．故选D. 方法二： 对A ，式子x －2x －1≥0连式子成立也保证不了，尤其x －2≤0，x －1＜0时式子不成立． 对B ，x －1＜0时式子不成立． 对C ，x ＜1时x －1无意义． 对D ，正确． 答案：D 4．化简b －b －(1＜b ＜2)．解：b －b －＝b －12＝b －1(1＜b ＜2)．5．计算32＋5＋32－ 5.解：令x ＝32＋5＋32－5，两边立方，得x 3＝2＋5＋2－5＋332＋5·32－5·(32＋5＋32－5)，即x 3＝4－3x ，x 3－3x ＋4＝0.∴(x －1)(x 2＋x ＋4)＝0.∵x 2＋x ＋4＝(x ＋12)2＋154＞0，∴x －1＝0，即x ＝1.∴32＋5＋32－5＝1.。

《指数运算的性质》本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图像研究指数函数的性质)等．【知识与能力目标】在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念及运算．能够利用分数指数幂的运算性质进行运算化简．【过程与方法目标】让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和拓展．【情感态度价值观目标】使学生感受数学推理的合理与严谨，体会充满在整个数学中的组织化，系统化的精神．◆ 教材分析◆ 教学目标【教学重点】分数指数幂的扩展．【教学难点】相应的运算性质也要判断能否延用和拓展．教学课件、图表、清单。

导入新课指数源于整数乘法的简便运算.17世纪初，荷兰工程师司蒂文,最早使用分数指数记号，以后又有人将其扩展到负指数，直到18世纪，英国数学家牛顿(Newton)开始用an 表示任意实数指数幂．现代工程技术的计算不再仅仅是乘法计算，它还需要进行乘方、开方运算，科学技术中的许多变化和规律都与指数的运算密切相关，因此指数幂问题成为科学家研究的热点．那么，指数的概念是如何一步步扩充的呢？【设计意图】设置案例，引出新课题，引起学生的兴趣和思考。

新课讲授1.分数指数幂给定正实数a ，对于任意给定m 的整数m ，n ，存在唯一的正实数b ，使得 ，我们把b 叫作a 的 次幂 ，记作．它就是分数指数幂． 2． 一般地，当a >0，α为任意实数值时，实数指数幂都有意义＝a 0＝1(a)如果存在实数a(a 作根叫作把运算【设计意图】使学生掌握分数指数幂指数幂的运算性质、运算法则的相关知识，为后面学习做铺垫。

3．n次方根的性质（1）正数的偶次方根有两个，它们是互为相反数；（2）负数没有偶次方根；（3）0的n次方根是0；（4）任何一个数都有奇次方根，且只有一个；4.中x的取值范围是________．[答案]{}5. 下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式：(1)(2) (a≥0)解析（1）==（2）=(=[规律总结]分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法．将分数指数幂写成根式的形式，用熟悉的知识去理解新概念是关键．【设计意图】通过案例理解知识点，增强对知识的理解。

第三章 指数运算与指数函数 第２节 指数幂的运算性质３．２．１指数幂的运算性质指数幂的指数由整数扩充到了实数，其指数运算的运算性质照样适用。

本节内容是实数指数幂的运算性质及利用性质进行综合运算，使学生能够熟练、准确地进行指数式、根式等的相互转化，能够熟练地利用性质进行数式的化简、求值等综合运算。

（１）知识目标：实数指数幂的运算性质及利用性质进行综合运算，使学生能够熟练、准确地进行指数式、根式等的相互转化，能够熟练地利用性质进行数式的化简、求值等综合运算。

（２）核心素养目标：通过实数指数幂的综合运算，提高学生数学运算的核心素养。

（１） 实数指数幂的运算性质；（２） 根式、指数式等的化简、求值以及综合运算。

多媒体课件一、复习引入a n =a ∙a ∙a ∙⋯∙a ⏟ n 个a, a 0=1(a ≠0), a −n =1a n .a m n =√a m n(a >0), a −mn =1a mn=√a mn>0).在初中，学习了整数指数幂的运算性质a m ∙a n =a m+n , (a m )n =a mn , (a ∙b )n =a n ∙b n .二、新知识类似的，当指数是实数时，指数运算性质如下： a,b 为正实数，α,β为实数a α∙a β=a α+β, (a α)β=a αβ, (a ∙b )α=a α∙b α.例１.计算：（１）(2−3)13×(√2)−2； （２）8−23×(√4)3； （３）(19)12+4−12−1−13.解：（１） (2−3)13×(√2)−2=2−3×13×212×(−2)=2−1×2−1=2−2=14；（２） 8−23×(√4)3=(23)−23×23=2−2+3=2； （３） (19)12+4−12−1−13=3−2×12+22×(−12)−1=3−1+2−1−1=−16.例２.计算：（１）[(√2)−12]−2； （２）(2−1)(√2)2； （３）(2√2)−√2； （４）[(√2)√2]√2.解：（１） [(√2)−12]−2=(√2)−12×(−2)=√2；（２） (2−1)(√2)2=(2−1)2=2−2=14； （３） (2√2)−√2=2√2×(−√2)=2−2=14； （４） [(√2)√2]√2=(√2)√2×√2=(√2)2=2.例３.化简（式中的字母均为正实数）：（１）a ∙a−2∙a 12；（２）(a 16)−1∙(a −2)−13；（３）3x √2∙(2x −√2yz)； （４）(x α−1y)α∙(4y −α). 解：（１） a ∙a −2∙a 12=a 1−2+12=a −12；（２） (a 16)−1∙(a−2)−13=a−16+(−2)×(−13)=a 12；（３） 3x √2∙(2x −√2yz)=6x √2−√2yz =6yz ； （４） (x α−1y)α∙(4y−α)=4(x 1α)α∙y α−α=4x .例４.已知10α=3,10β=4，求10α+β,10α−β,10−2α,10β3.解：10α+β=10α×10β=3×4=12；10α−β=10α×10−β=3×14=34； 10−2α=(10α)−2=3−2=19；10β3=(10β)13=413.例５.已知实数α,a,b ，且a >0,b >0，求证：(ab)α=a αb α.证明：根据指数幂的定义和运算性质，(ab )α=(ab −1)α=a α∙(b −1)α=a α∙b −α=a αb α.思考讨论（综合练习）（１）计算下列各式（式中的字母为正数）：１ 7√33−3√243−6√193+√3√334； ２ m+m −1+2m 12+m−12.（２）若x 12+x−12=3，求x 32+x−32−3x +x −2的值.提示：（１） １7√33−3√243−6√193+√3√334=7∙313−3∙313∙813−6∙(3−2)13+314∙(313)14=7∙313−6∙313−2∙3∙3−23+314+112 =7∙313−6∙313−2∙313+313=0.２m+m −1+2m 12+m−12=(m 12)2+(m−12)2+2∙m 12m −12m 12+m −12=(m 12+m−12)2m 12+m −12=m 12+m −12．·（２） 由x 12+x −12=3两边平方，得x +x −1=7，再平方x 2+x −2=47，又x 32+x −32−3=(x 12)3+(x −12)3−3=(x 12+x −12)(x +x −1−1)−3=15 所以x 32+x−32−3x 2+x −2−2=1547−2=13.三、课堂练习教材P79，练习１、２． 四、课后作业教材P79，习题３—２：A 组第１～6题，B 组第１、２题.在指数幂的运算中，一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指数运算性质进行运算，另外在运算过程中注意运算顺序。

《指数函数的图象和性质(1)》教学设计1．理解指数函数的概念、图象和性质．2．在探究式的学习中，体会研究函数的基本方法．重点：指数函数的概念和性质．难点：用指数函数的性质比较不同底数、不同指数的指数幂的大小．一、新课导入情境1．陶渊明曾说过：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏．”这句话告诉我们什么道理呢?假定现在获取的知识量是1，学习的知识按照每天1%的速度增长，那么，若干天后会怎样?两年后、三年后会怎样?怎么计算?答案：一天后是1.01，两天后是1.012，三天后是1.013，一年后是1.01365．我们用变量x 表示天数，那么你获取的知识量y 与天数工之间的关系可以用一个什么样的式子来表示呢?答案：y =1.01x (x ∈N +)．假设知识的减少量也按照每天1%计算，将“辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏”翻译成数学的式子，得到什么?答案：y =0.99x (x ∈N +)．计算一下，一个月你减少了多少?一年后你还剩下多少?答案：一个月30天减少了y =1−0．9930，一年365天后还剩下1−0．99365．情境2．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”你能用一个函数来描述它吗?答案：y =(12)x(x ∈N +)．二、新知探究问题1：上述三个函数有何共同特征?答案：以上三个函数都可以写成y =a x 的形式．问题2：根据上面的特征，你能抽象、概括出这类函数的表达式吗?答案：一般地，我们把形如y =a x (a >0，且a ≠1)的函数叫作指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ．◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程问题3：请同学们想一想，为何规定a >0，且a ≠1?答案：若a <0则有些函数在实数范围内没有意义，比如，当a =−2，x =12此时函数为y =(−2)12无意义；当a =1时，函数值永远都等于1，研究这样的固定不变量没有价值．问题4：如何讨论一个函数的性质，用什么方法?从什么角度?答案：华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，我们需要结合函数图象，利用数形结合法研究函数的性质．问题5：指数函数的图象是怎样的?有怎样的性质呢?首先让我们研究一下底数大于1的情形． 学生活动：探究1．请同学们自己按照列表、描点、连线的步骤，借用所给的部分数据，先分别画出函数y =2x ，y =3x 的图象，再把两个图象画在同一平面直角坐标系中进行比较．（给出部分数据，便于学生进行描点．投影学生所作的图象，增强学生学习的信心．） 实例分析：先分析一个具体的指数函数y =2x ． 列表、描点、连线，画出函数y =2x 的图象 x ⋯ -3 -2 -1 0 1 2 3 ⋯ y =2x⋯1814121248⋯从图象可以看出：函数y =2x 的图象位于x 轴的上方；从最左侧贴近x 轴的位置逐渐上升，过点(0，1)，继续上升，函数值越来越大，图象越来越陡，直至无穷．由此得到函数y =2x 的性质：函数y =2x 在R 上是增函数，且值域是(0，+∞)．再分析函数y =3x 列表、描点﹑连线，画出函数y =3x 的图象． x ⋯ -2 -1 0 1 2 ⋯ y =3x ⋯1913139⋯从图象可以看出：函数y=3x的图象也是位于x轴的上方；从最左侧贴近x轴的位置逐渐上升，过点(0，1)，继续上升，函数值越来越大，图象越来越陡，直至无穷．由此得到函数y=3x的性质：函数y=3在R上是增函数，且值域是(0，+oo)．由此可见函数y=2x与y=3x的性质是完全一样的．在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x 与y=3x的图象，可以看出：在y轴左侧，函数y=3x的图象在函数y=2x的图象下方；在y轴右侧，函数y=3x的图象在函数y=2x的图象上方．探究2．当a>1时，指数函数的图象从左向右是怎样的趋势呢?是上升的还是下降的呢?用几何画板动态演示，观察随着a的变化图象的变化趋势．得出结论：当底数a>1时，指数函数的图象从左向右看是上升的，而且底数越大，图象在y轴右侧的部分就越靠近y轴．对于函数y=a x和y=b x(a>b>1)：当x<0时，0<a x<b x<1；当x=0时，a x=b x=1；当x>0时，a x>b x>1．探究3．你能根据函数图象写出指数函数的性质吗?小组进行讨论．学生观察图象得出性质如下表：（左、右无限延伸）R三、应用举例例1指出下列函数中，哪些是指数函数?（1）y=4∙3x；（2）y=πx；（3）y=(−3)x；（4）y=x3；（5）y=−3x；（6）y=3−x；（7）y=2x+2；（8）y=2x+1．答案：(2)(6)是指数函数，其余均不满足y=a x(a>0，且a≠1)这种形式．设计意图：熟练掌握指数函数的解析式，理解指数函数的概念．例2比较下列各题中两个值的大小；（1）50.8，50.7；（2）7−0.15，7−0.1；（3）1.70.3，3.1−0.1.答案：(1)因为函数y=5x在R上是增函数，且0.8>0.7，所以50.8>50.7；(2)因为函数y=7x在R上是增函数，且−0.15<−0.1，所以7−0.15<7−0.1；(3)因为函数y=1.7x在R上是增函数，且0.3>0，所以1.70.3>1.70=1；因为函数y=3.1x在R上是增函数，且−0.1<0，所以3.1−0.1<1.70=1；因此，1.70.3>3.1−0.1．设计意图：通过比较幂值的大小，进一步理解指数函数的单调性．例3(1)求使不等式4x>32成立的实数x的集合；(2)已知方程9x−1=243，求实数x的值．解：(1)因为4x=22x，32=25，所以原不等式可化为22x>25．，因为函数y=2x在R上是增函数，所以2x>5，即x>52，+∞)．因此，使不等式4x>32成立的实数x的集合是(52（2）因为9x−1=(32)x−1=32x−2，243=35，所以原方程可化为32x−2=35．．因为y=3x在R上是增函数，所以2x−2=5，即x=72四、课堂练习1．某种细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂为4个⋯⋯一直分裂下去，请写出得到的细胞个数y与分裂次数之间的函数关系式．2．若函数y=(a2−4a+5)∙a x是指数函数，求实数a．3．比较下列各题中两个数的大小：（1）3−2.1，3−2.7；（2）21.6，20.6.参考答案：1.解：分裂个数y=2x，x为分裂次数．2.解：因为函数y=(a2−4a+5)∙a x是指数函数，则a>0且a≠1，且a2−4a+5=1，解得a=2．3．解：(1)因为函数y=3x在R上是增函数，且-2.1>-2.7，所以3−2.1>3−2.7；(2)因为函数y=2x在R上是增函数，且1.6>0.6，所以21.6>20.6．五、课堂小结1．指数函数的概念：一般地，我们把形如y=a x(a>0，且a≠1)的函数叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R．（左、右无限延伸）R 教材第89页习题3-3A 组第1题．。

指数函数教学目标(一)教学知识点1.对数的概念.2.对数式与指数式的互化.(二)能力训练要求1.理解对数概念.2.能够进行对数式与指数式的互化.3.培养学生应用数学的意识.(三)德育渗透目标1.认识事物之间的相互联系与相互转化.2.用联系的观点看问题.3.了解对数在生产、生活实际中的应用.教学重点对数的定义.教学难点对数概念的理解.教学方法启发式启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于对数定义的理解，为下一节学习对数的运算性质打好基础.教具准备投影片三X第一X：复习举例(记作Ａ)第二X：导入举例(记作 B)第三X：本节例题(记作 C)教学过程Ⅰ.复习回顾［师］上一单元，我们一起学习了指数与指数函数的有关知识，也就明确了如下问题：(打出投影片Ａ))由３２＝９可得到(1)9是3的平方〔2〕3是9的平方根［师］其中(1)式中9、3、2依次叫什么名称?［生］(1)式中，9叫幂值，3叫幂的底数，2叫幂的指数.［师］(2)式中的9、3、2依次叫什么名称?［生］(2)式中，9叫被开方数，3叫根式值，2叫根指数.［师］从上述过程不难看出，9与3、2有一定关系，即9=32,3与2、9之间也有一定的关系，即3=9,其中根指数为2时省略不写.那么，我们自然提出一个问题：2与3、9之间是何关系，2能否用3、9表示呢?这就将牵涉到我们这一节将学习的对数问题.Ⅱ.讲授新课［师］我们来看下面的问题.(打出投影片Ｂ)(说明：由于对数概念是本节重点，所以在导入新课上有所侧重.)假设1995年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是1995年时的2倍?假设经过x年国民生产总值为1995年时的2倍，根据题意有：a(1+8%)x=2a即1.08x=2［师］上述问题是底数和幂的值，求指数的问题，也就是我们这节将要学习的对数问题.1.对数的定义一般地，当a＞0且a≠1时假设a b=N,那么b叫以a为底N的对数.记作：log a N=b其中a叫对数的底数，N叫真数.［师］从上述定义我们应明确对数的底数a＞0且a≠1，N＞0，真数N＞０，也就是说，负数和零没有对数.2.常用对数N 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数log10简记作lg N5简记作lg5例如：log10log3.5简记作lg3.5.103.自然对数［师］在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数log e N简记作ln N例如：log e 3简记作ln3 log e 10简记作ln10［师］由对数的定义，可以看出指数与对数的密切关系.接下来，我们就学习指数式与对数式的互化.4.例题讲解［例1］将以下指数式写成对数式(1)54=625 (2)2-6=641(3)3a =27 (4)(31)m =5.73解：(1)log 5625=4(2)log 2641=-6(3)log 327=a (4)31log 5.73=m［例2］将以下对数式写成指数式 (1)21log 16=-4(2)log 2128=7 (3)lg0.01=-2 (4)ln10=2.303解：(1)(21)-4=16(2)27=128 (3)10-2=0.01 (4)e 2.303=10评述：例1、例2目的在于让学生熟悉对数的定义.［师］为使大家进一步熟悉对数式与指数式的互化，我们来做课堂练习. Ⅲ.课堂练习1.把以下指数式写成对数式 (1)２３＝８ 〔２〕２５＝３２〔３〕２－１＝21〔４〕312731=-解：(1)ｌｏｇ２８＝３ (2)ｌｏｇ２３２＝５(3)ｌｏｇ２21＝－１ (4)ｌｏｇ２７31＝－312.把以下对数式写成指数式 (1)ｌｏｇ3９＝２ 〔２〕ｌｏg ５１２５＝３〔３〕ｌｏg ２41＝－２ 〔４〕ｌｏｇ３811＝－４解：(1)3２＝９ (2)５３＝１２５(3)２－２＝41(4)３－４＝8113.求以下各式的值(1)ｌｏｇ５２５〔２〕ｌｏｇ２16 1〔３〕ｌｇ１００〔４〕ｌｇ０.０１〔５〕ｌｇ１００００〔６〕ｌｇ０.０００１解：(1)ｌｏｇ５２５＝ｌｏｇ５５２＝２(2)ｌｏｇ２161＝－４(3)∵１０２＝１００∴ｌｇ１００＝２(4)∵１０－２＝０.０１∴ｌｇ０.０１＝－２(5)∵１０４＝１００００∴ｌｇ１００００＝４(6)∵１０－４＝０.０００１∴ｌｇ０.０００１＝－４4.求以下各式的值(1)ｌｏｇ１５１５〔２〕ｌｏｇ０.４１〔３〕ｌｏｇ９８１〔４〕ｌｏｇ２.５６.２５〔５〕ｌｏｇ７３４３〔６〕ｌｏｇ３２４３解：(1)∵１５１＝１５∴ｌｏｇ１５１５＝１(2)∵０.４０＝１∴ｌｏｇ０.４１＝０(3)∵９２＝８１∴ｌｏｇ９８１＝２(4)∵２.５２＝６.２５∴ｌｏｇ２.５６.２５＝２(5)∵７３＝３４３∴ｌｏｇ７３４３＝３(6)∵３５＝２４３∴ｌｏｇ２４３＝５３Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，大家要能在理解对数概念的基础上，掌握对数式与指数式的互化.Ⅴ.课后作业1.把以下各题的指数式写成对数式(1)４ｘ＝１６〔２〕３ｘ＝１〔３〕４ｘ＝２〔４〕２ｘ＝０.５〔５〕３ｘ＝８１〔６〕１０ｘ＝２５1〔７〕５ｘ＝６〔８〕４ｘ＝61解：(1)ｘ＝ｌｏｇ４１６ (2)ｘ＝ｌｏｇ3(3)ｘ＝ｌｏg４２ (4)ｘ＝ｌｏｇ２０.５(5)ｘ＝ｌｏｇ３８１ (6)ｘ＝ｌｏｇ251(7)ｘ＝ｌｏｇ56 (8)ｘ＝ｌｏｇ462.把以下各题的对数式写成指数式(1)ｘ＝ｌｏｇ527 (2)ｘ＝ｌｏｇ８71(3)ｘ＝ｌｏｇ43 (4)ｘ＝ｌｏｇ73(5)ｘ＝ｌｇ5 (6)ｘ＝ｌｇ０.３解：(1)5ｘ＝２７ (2)８ｘ＝７1(3)4ｘ＝3 (4)7ｘ＝3(5)10ｘ＝5 (6)10ｘ＝０.３2.预习提纲：(1)对数的运算性质有哪些?(2)如何证明对数的运算性质?。