2019高一数学必修二知识点总结：直线和平面的位置关系语文

高中数学必修《点直线平面之间的位置关系》知识点高中数学必修的《点直线平面之间的位置关系》是一个重要的几何知识点，主要涉及直线与平面、点与直线、点与平面之间的位置关系。

这个知识点对于理解几何图形的形状和性质具有重要作用，也为后续的三角函数、向量等知识打下基础。

下面将详细介绍该知识点的内容。

一、直线与平面的位置关系1.平面方程：平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为不能同时为0的实数，A、B、C为平面的法向量，D为常数项。

2.直线与平面的位置关系：(1)直线与平面相交：直线与平面相交可以有一个交点，也可以有无穷多个交点。

(2)直线含于平面：如果直线的所有点都在平面上，则直线被称为含于平面。

(3)直线与平面平行：如果直线与平面的交点集为空集，则直线与平面平行。

(4)直线与平面垂直：如果直线与平面的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。

二、点与直线的位置关系1.点与直线的距离：点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)。

2.点到线段的距离：点P到线段AB的距离：(1)如果P在AB的延长线上，则距离为AP或BP的长度。

(2)如果P在线段AB的两边，则距离为点P到线段AB所在直线的距离。

(3)如果P在线段AB上，则距离为0。

三、点与平面的位置关系1.点在平面上：点P(x0,y0,z0)在平面Ax+By+Cz+D=0上的充要条件是Ax0+By0+Cz0+D=0。

2.点到平面的距离：点P到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式为d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)。

3.点关于平面的对称点：点P(x0,y0,z0)关于平面Ax+By+Cz+D=0的对称点的坐标为：(x',y',z')=(x0-2*Ax0/（A^2+B^2+C^2）,y0-2*By0/（A^2+B^2+C^2）,z0-2*Cz0/（A^2+B^2+C^2）)。

第二章 点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系一、平面1、平面及其表示2、平面的基本性质 ①公理1：②公理2：不共线的三点确定一个平面③公理3：A lB l l A B ααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭P l P l P ααββ∈⎫⇒⋂=∈⎬∈⎭则二、点与面、直线位置关系1、点与平面有2种位置关系2、点与直线有2种位置关系三、空间中直线与直线之间的位置关系1、异面直线2、直线与直线的位置关系⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪⎩相交共面平行异面3、公理4和定理 公理4：12A B αα∈⎧⎨∉⎩、、12A lB l∈⎧⎨∉⎩、、131223l l l l l l ⎫⇒⎬⎭定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

4、求异面直线所成角的步骤： ①作：作平行线得到相交直线；②证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角； ③构造三角形求出该角。

提示：1、作平行线常见方法有：直接平移，中位线，平行四边形。

2、异面直线所的角的范围是 。

四、空间中直线与平面之间的位置关系位置关系公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示图形表示五、空间中平面与平面之间的位置关系位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点有一条公共直线符号表示αβa αβ=(000,90⎤⎦a α直线与平面平行a α直线与平面相交a 直线在平面内a α⊂a αa Aα=图形表示直线、平面平行的判定及其性质一、线面平行1、判定：（线线平行，则线面平行）2、性质：（线面平行，则线线平行）二、面面平行1、判定：（线面平行，则面面平行）b a b b a ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭aa ab b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭a b a b P a b βββααα⊂⎫⎪⊂⎪⎪⋂=⇒⎬⎪⎪⎪⎭2、性质1：（面面平行，则线面平行） 性质2：m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭（面面平行，则线面平行）说明（1）判定直线与平面平行的方法：①利用定义：证明直线与平面无公共点。

数学必修二直线与平面位置关系知识点
在数学必修二中，直线与平面的位置关系是一项重要的知识点。

下面是一些常见的直
线与平面的位置关系：
1. 直线与平面相交：当一条直线与一个平面有一个公共点时，我们称这条直线与平面
相交。

2. 直线在平面上：当一条直线的所有点都在一个平面上时，我们称这条直线在平面上。

3. 直线与平面平行：当一条直线与一个平面的所有点都不相交时，我们称这条直线与
平面平行。

4. 直线垂直于平面：当一条直线与一个平面的每一条与其有公共点的直线都垂直时，
我们称这条直线垂直于平面。

此外，还有一些特殊情况需要注意：
1. 平面平行于坐标轴：当一个平面与某一个坐标轴平行时，在该坐标轴上方的所有点
的坐标都相同，可以利用这个特点来求解一些几何问题。

2. 平面与平面相交：当两个平面相交时，它们的交线是一条直线。

可以根据平面的方
程来求解平面与平面的交线。

3. 平面与平面平行：当两个平面平行时，它们的法向量相互平行。

可以根据平面的法
向量来判断平面与平面的位置关系。

掌握这些直线与平面的位置关系知识点，可以帮助我们解决更复杂的几何问题，如求解直线与平面的交点、确定直线与平面的位置关系等。

高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点第二章点、直线、平面之间的位置关系一、平面及其表示平面是指在三维空间中的一个无限大的平面，可以用点和直线来表示。

平面的基本性质可以通过三条公理来描述：①公理1：如果一个点A在直线l上，另一个点B也在直线l上，且A在平面α上，那么B也在平面α上。

②公理2：如果三个不共线的点A、B、C确定一个平面α，那么这三个点必在平面α上。

③公理3：如果一个点P在平面α上，又在平面β上，那么P一定在它们的交线l上。

二、点与面、直线位置关系1、点与平面有两种位置关系：①点A在平面α上；②点B不在平面α上。

2、点与直线有两种位置关系：①点A在直线l上；②点B不在直线l上。

三、空间中直线与直线之间的位置关系1、异面直线是指不在同一平面内的两条直线。

2、直线与直线的位置关系包括相交、共面和平行三种情况。

3、公理4和定理：如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

四、空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系可以分为三种情况：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。

五、空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面的位置关系可以分为平行和相交两种情况。

其中，平行的两个平面没有公共点，而相交的两个平面有一条公共直线。

直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定方法有三种：利用定义、利用判定定理、利用面面平行的性质。

其中，面面平行的性质可以推导出直线与平面平行的性质。

证明面面平行的常用方法有以下几种：①利用面面平行的定义，一般与反证法结合使用；②利用判定定理；③证明两个平面垂直于同一个平面；④证明两个平面同时平行于第三个平面。

直线与平面垂直的判定方法如下：若直线l与平面α所成角α∈(0,90)，则PO⊥α，AO为___在平面α上的投影，故∠α为直线l与平面α所成角。

二面角α-l-β的平面角为∠___，其中BO⊥l，___。

线面垂直的判定方法如下：___⊥α，___α，且a∩b=A，则___⊥α。

空间点、直线、平面的位置关系（1）平面① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC.③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉.点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l. 直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α. （2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内.（即直线在平面内，或者平面经过直线） 应用：检验桌面是否平 判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ （3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论：一直线和直线外一点确定一平面. 两相交直线确定一平面. 两平行直线确定一平面.公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a. 符号语言：,P A B A B l P l ∈⇒=∈公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法.②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点. （教科书习题2.1 B 组3题）③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据. （教科书习题2.1 B 组2题）（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 （6）空间直线与直线之间的位置关系① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线②异面直线性质：既不平行，又不相交.③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线④异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义（反证法）②异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关.(3)求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求角.C、利用三角形来求角.（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补.（8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：a⊂α a∩α＝A a∥α（9）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点.α∥β相交——有一条公共直线.α∩β＝b5、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.线线平行⇒线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.线面平行⇒线线平行（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行），以下书上没有：（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行. （线线平行→面面平行），（3）垂直于同一条直线的两个平面平行， 两个平面平行的性质定理（1）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行.（面面平行→线线平行）以下书上没有：（2）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.（面面平行→线面平行） 7、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直. ②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直. ③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直. （2）垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. ②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面. 9、空间角问题（1）直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角：规定为 0.②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角. ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O ，分别作与两条异面直线a ，b 平行的直线b a '',，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角.（2）直线和平面所成的角90.①平面的平行线与平面所成的角：规定为 0. ②平面的垂线与平面所成的角：规定为③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”.在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线.（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内．．．棱的两条射线，这两条．．分别作垂直于射线所成的角叫二面角的平面角.③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角.垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角.1、线线、线面、面面平行关系的转化：线线∥线面∥面面∥公理4 (a//b,b//ca//c)线面平行判定αβαγβγ//,//==⇒⎫⎬⎭a ba b面面平行判定1a ba ba//,//⊄⊂⇒⎫⎬⎭ααα面面平行性质a ba b Aa b⊂⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪ααββαβ,//,////线面平行性质aaba b////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪⎭⎪面面平行性质1αβαβ////aa⊂⇒⎫⎬⎭面面平行性质αγβγαβ//////⎫⎬⎭⇒A bα aβabα2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：线线⊥线面⊥面面⊥三垂线定理、逆定理PA AO POaa OA a POa PO a AO⊥⊂⊥⇒⊥⊥⇒⊥ααα,为在内射影则线面垂直判定1面面垂直判定a ba b Ol a l bl,,⊂=⊥⊥⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪ααaa⊥⊂⇒⊥⎫⎬⎭αβαβ线面垂直定义lal a⊥⊂⇒⊥⎫⎬⎭αα面面垂直性质，推论2αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪ba a ba,αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪aa面面垂直定义αβαβαβ=--⇒⊥⎫⎬⎭l l，且二面角成直二面角3. 平行与垂直关系的转化：一、选择题：1. 已知βα,为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是（）线线∥线面⊥面面∥线面垂直判定2面面平行判定2线面垂直性质2面面平行性质3a bab//⊥⇒⊥⎫⎬⎭ααaba b⊥⊥⇒⎫⎬⎭αα//aa⊥⊥⇒⎫⎬⎭αβαβ//αβαβ//aa⊥⊥⎫⎬⎭aA. βββ⊂⇒∈∈∈∈a B a B A a A ,,,B. MN N N M M =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,C. A A A =⇒∈∈βαβα ,D. 重合、不共线、、，且、、、、βαβα⇒∈∈M B A M B A M B A ,2. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知棱长为a ，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°3. 设P 是异面直线a 、b 外的一点，则过P 点且与a 、b 都平行的平面（ ）A. 有且只有一个B. 恰有两个C. 没有或只有一个D. 有无数个4. 若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是（ ）A. 三个平面共线B. 有两个平面平行且都与第三个平面相交C. 三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交D. 三个平面两两相交二、填空题：5. 用符号语言表示下列语句：（1）点A 在平面α内，但在平面β外 ；（2）直线a 经过平面α外一点M ；（3）直线a 在平面α内，又在平面β内，即平面α和β相交于直线a 。

高中数学必修2知识点总结第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；D CBAα LA ·α C ·B·A · α P· αLβ 共面直线=>a ∥c2⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

［知识能否忆起］、平面的基本性质 名称图示文子表示 付号表示公理1如果一条直线上的两 点在一个平面内，那么 这条直线在此平面内 A € l , B € l ，且 A €a,B € 0? 1? a公理2过不在一条直线上的 三点，有且只有一个平面\公理3如果两个不重合的平 面有一个公共点，那么 它们有且只有一条过该点的公共直线P € a ，且 P € 3? aCl 3 =l ，且 P € l二、空间直线的位置关系 1. 位置关系的分类相交直线：同一平面内, ｛共面直线|平行直线：同一平面内,•异面直线：不同在任何一个平面内, 2. 平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3. 等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4. 异面直线所成的角(或夹角)(1) 定义：设a, b 是两条异面直线，经过空间中任一点 0作直线a '// a, b '// b ，把a ' 与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角.I U I空间点、直线、平面间的位置关系基础知iR 襄打牟11 C H U Z H I $ H I Y A 0 A L A 0强取基 固本源 得募础分I 事覆程廈有且只有一个公共点;没有公共点；没有公共点(2)范围:三、直线与平面的位置关系/亠护¥方位置大糸图示付号表示公共点个数直线1在平面a内1? a无数个直线l与平面a相交八/l Cl a= A一个直线l与平面a平行Z / 1 〃a0个四、平面与平面的位置关系/亠护¥方位置大糸图示付号表示公共点个数两个平面平行\Aall 30个7两个平面相交aC 3= l无数个(这些公共点均在交线1上)1•三个公理的作用(1) 公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内.(2) 公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件.(3) 公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线.2. 异面直线的有关问题(1) 判定方法：①反证法；②利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图.(2) 所成的角的求法：平移法.師吾点］学技法］得拔高分| 拿握狸度i**-平面的基本性质及应用■典题导入［例1］（2012湘潭模拟）如图所示，在正方体ABCD —A i B i C i D i中，E为AB的中点，F 为A i A的中点，求证：CE , D i F, DA三线共点.［自主解答］•EF 綊qCD i,•••直线D i F和CE必相交.设D i F n CE = P,••P Pi F 且D i F?平面AA i D i D,••P € 平面AA i D i D.又P €EC且CE?平面ABCD ,••P € 平面ABCD ,即P是平面ABCD与平面AA i D i D的公共点.而平面ABCD n平面AA i D i D = AD.••P 3D.•CE、D i F、DA三线共点.本例条件不变试证明E , C, D i, F四点共面.证明：••E, F分别是AB和AA i的中点，i•'EF 綊2A i B.又A i D i 綊B i C i 綊BC. •四边形A i D i CB为平行四边形. ••A i B CD i，从而EF CD i.•'EF与CD i确定一个平面. ••E, C i, F, D四点共面.占由题悟法i. 证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上.2•证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余线（或点）均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合.3以题试法1. （1）（2012江•西模拟）在空间中，下列命题正确的是（）A .对边相等的四边形一定是平面图形B .四边相等的四边形- -定是平面图形C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形D .有一组对角相等的四边形一定是平面图形⑵对于四面体ABCD，下列命题正确的是 __________ （写出所有正确命题的编号）.①相对棱AB与CD所在直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△ BCD三条高线的交点；③若分别作△ ABC和厶ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.解析：（1）由“两平行直线确定一个平面”知C正确.（2）由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；由顶点A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时,其垂足是厶BCD的三条高线的交点，故②错误；当DA = DB , CA= CB时，这两条高线共面，故③错误；设AB , BC, CD , DA的中点依次为E, F, M , N,易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故④正确.答案：（1）C （2）①④异面直线的判定由典题导入[例2] （2012金华模拟）在图中，G, N , M, H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH , MN是异面直线的图形有___________ .（填上所有正确答案的序号）①②③④［自主解答］图①中，直线GH /MN ;图②中，G , H , N三点共面，但M?面GHN ,因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG, GM /HN，因此GH与MN共面；图④中，G , M , N共面，但H?面GMN ,因此GH与MN异面.所以图②④中GH与MN异面.［答案］②④石由题悟法1•异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面. 此法在异面直线的判定中经常用到.2.客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.&以题试法2. 已知m, n, I为不同的直线，a, B为不同的平面，有下面四个命题：①m, n为异面直线，过空间任一点P, —定能作一条直线I与m, n都相交.②m, n为异面直线，过空间任一点P, —定存在一个与直线m, n都平行的平面.③a丄B, aA 3= I, m? a, n? 3, m, n与I都斜交，则m与n—定不垂直；④m, n是a内两相交直线，则a与3相交的充要条件是m, n至少有一条与3相交.则四个结论中正确的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选B①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；②错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论；③正确，否则，若m丄n,在直线m上取一点作直线a丄I，由a丄3得a丄n.从而有n丄a,贝U n丄I :④正确.LI 典题导入［例3］ （2012大纲全国卷）已知正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，E , F 分别为BB i , CC i 的 中点，那么异面直线 AE 与D 1F 所成角的余弦值为 ___________ .［自主解答］连接DF ，则AE/DF , •••D 1FD 即为异面直线 AE 与D 1F 所成的角. 设正方体棱长为a ,则 D 1D = a , DF = ~25a , D 1F = ~25a ,… 3 ［答案］5-由题悟法求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下： （1） 一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角; ⑵二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；（3）三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角, 如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.初以题试法3. （2012唐山模拟）四棱锥P — ABCD 的所有侧棱长都为.5,底面ABCD 是边长为2的 正方形，则CD 与PA 所成角的余弦值为（）D.；解析：选B 如图所示，因为四边形ABCD 为正方形，故CD // AB ,则CD 与PA 所成的角即为 AB 与FA 所成的角/ PAB ，在△ FAB 内，FB = FA = ■.5, AB = 2,利用余弦定理可知:PA 2+ AB 2- PB 2_ 5+ 4— 5 _近 2X FA X AB 2X 2八 55［小题能否全取］A. 2 *5 5B.cos / FAB =1.（教材习题改编）已知a, b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（）A .异面B.相交C.不可能平行D.不可能相交解析：选C 由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b // c,贝U a// b.与a, b是异面直线相矛盾.2. （2012东北三校联考）下列命题正确的个数为（）①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选C ①④错误，②③正确.3. 已知空间中有三条线段AB, BC和CD，且/ ABC =Z BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（）A. AB / CDB. AB与CD异面C. AB与CD相交D. AB / CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：选D 若三条线段共面，如果AB, BC, CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线.4. （教材习题改编）如图所示，在正方体ABCD —A i B i C i D i中，E,F分别是AB , AD的中点，则异面直线B i C与EF所成的角的大小为解析：连接B i D i, D i C,则B i D i/EF,故ZDi B i C 为所求，又B i D i= B i C= D i C,••』i B i C= 60 °答案：60°5. （教材习题改编）平行六面体ABCD —A i B i C i D i中既与AB共面又与CC i共面的棱的条数为________ .解析：如图，与AB和CC i都相交的棱有BC;与AB相交且与CC i平行的棱有AA i,BB i；与AB平行且与CC i相交的棱有CD , C1D1,故符合条件的棱共有5条.答案：5基础MliR靈扫年J I C H U Z H D S H I YAOIRALAO［知识能否忆起］一、直线与平面平行1. 判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平—面内的一条直线平行, 则直线与此平面平行—a?a、b? a b //a」^ ? a / a2.性质定理文字语言图形语言付号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a/ a '卜？ a // baCl 6= b j二、平面与平面平行直线、平面平行的判定及性质1.判定定理判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行a? a 、 b? aa Ab = P » ? a// a / 3 b / 3' 32.两平面平行的性质定理文字语言图形语言付号语言性质定理如果两个平行平面同时 和第三个平面相交，那 么它们的交线平行a// 3、aA Y a * ? a // b 3A Y b J7，心/IX1.平行问题的转化关系:2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化， 即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反， 但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3•辅助线（面）是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有 关平行性质的应用.由典题导入[例1] （2011福建高考）如图，正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，AB = 2, 点E 为AD 的中点，点F 在CD 上•若EF //平面ABQ ,则线段EF 的长 度等于 _______________ .线//线判定判定 ------------- 判定 -------------- 性质 |线/面—质勺面/面性质［自主解答］ 因为直线 EF //平面AB i C , EF?平面ABCD ，且平面 AB i C Q 平面ABCD = AC ,所以EF /AC.又因为点E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得 EF1=2AC.又因为在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，AB = 2,所以AC = 2 2•所以EF = 2.［答案］,2本例条件变为“ E 是AD 中点，F , G , H , N 分别是AA i , A i D i , DD i 与D i C i 的中点,解：如图,••G N //平面AA i C i C , EG //平面 AA i C i C , 又 GN n EG = G ,•••平面EGN //平面AA i C i C.•••当M 在线段EG 上运动时，恒有 MN //平面AA i C i C.呂由题悟法解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：(i)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽 视.⑵结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断. (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.&以题试法i . (i)(20i2浙江高三调研)已知直线I //平面a, P € a,那么过点P 且平行于直线I 的直 线() A •只有一条，不在平面 a 内 B .有无数条，不一定在平面 a 内C .只有一条，且在平面 a 内D .有无数条，一定在平面a 内解析：选C 由直线I 与点P 可确定一个平面 3,且平面a, B 有公共点，因此它们有若M 在四边形EFGH 及其内部运动”，则M 满足什么条件时，有 MN //平面A i C i CA.一条公共直线,设该公共直线为m ,因为I // a,所以I // m ,故过点P且平行于直线I的直线只有一条，且在平面a内.(2)(2012潍坊模拟)已知m, n, l i, I2表示直线，a, B表示平面.若m? a, n? a, l i? B, 12? B IE 12= M,贝U all B的一个充分条件是()A. m l B且l i l a B • m // B且n// BC. m l B 且n l I2 D . m l l i 且n l I2解析：选D 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知al B-直线与平面平行的判定与性质[例2] (2012辽宁高考)如图，直三棱柱ABC —A' B ' C', / BAC= 90° AB= AC =羽，AA' = 1,点M , N 分别为A' B 和B' C'的中点.(1) 证明：MN l 平面A' ACC ';1(2) 求三棱锥A' —MNC的体积.(锥体体积公式V = §Sh,其中S为底面面积，h为高)［自主解答］(1)证明：法一：连接AB'、AC '，因为点M , N 分别是A' B和B' C'的中点，所以点M为AB'的中点.又因为点N为B ' C'的中点,所以MN /AC'又MN?平面A' ACCAC' ?平面A' ACC',因此MN l平面A' ACC'.法二：取A' B '的中点P.连接MP.而点M, N分别为AB '与B ' C'的中点，所以MP/AA ' , PN/A ' C '.所以MP l 平面A ' ACC ' , PN l 平面A ' ACC ' •又MP n PN= P,因此平面MPN l平面A ' ACC ' •而MN?平面MPN ,因此MN //平面A ' ACC(2)法一：连接 BN ，由题意得 A ' N IB ' C '，平面 A B ' C 'Q 平面 B ' BCC '=B 'C '，所以A ' N 丄平面NBC. 又 A ' N = 1B ' C ' = 1 ,吕由题悟法利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过 已知直线作一平面找其交线.畐以题试法2. (2012淄博模拟)如图，在棱长为2的正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，E , F 分别是BD , BB 1的中点.(1) 求证：EF //平面 A 1B 1CD ; (2) 求证：EF 丄 AD 1.解：(1)在正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，连接B 1D , 在平面BB 1D 内，E , F 分别为BD , BB 1的中点, ••EF BD.又•••B 1D?平面 A 1B 1CD. EF?平面 A 1B 1CD , ••EF //平面A 1B 1CD.⑵'-ABCD — A 1B 1C 1D 1 是正方体,•'AD 1 ^A 1 D , AD 1 JA 1B 1. 又 A 1D n A 1B 1 = A 1, ••AD 1 丄平面 A 1B 1D.故 V A ' - MNC = V N -A ' MC = 2V N -A ' BC = gV A '—NBC = 16.法二：V A ' -MNC = V A-NBC —V M — NBC =1V A '— NBC =••AD1I B1D.又由(1)知,EF B1D , /-EF_LAD1.平面与平面平行的判定与性质i典题导入［例3］如图，已知ABCD —A i B i C i D i是棱长为3的正方体，点E 在AA i 上，点 F 在CC i 上，G 在BB i 上，且AE = FC i = B i G= 1, H 是B i C i的中点.⑴求证：E, B, F , D i四点共面；⑵求证：平面A i GH //平面BED i F.5［自主解答］(i)在正方形AA i B i B中，'•AE = B i G= i,••BG = A i E= 2,••BG 綊A i E.•四边形A i GBE是平行四边形.•■AiG /BE.又C i F 綊B i G,•四边形C i FGB i是平行四边形.••FG 綊C i B i 綊D i A i.•四边形A i GFD i是平行四边形.• A i G 綊D i F.•D i F 綊EB.故E, B, F, D i四点共面.3⑵--H是B i C i的中点，• B i H = 2厂B i G 2又B i G= i, /B1H= 3.又EC = f,且/FCB = /GB i H = 90 ° BC 3•••△i HG s/CBF.•••启i GH = ZCFB = ZFBG.••HG /FB.••GH ?面FBED i, FB?面FBED i ,「GH //面BED i F.由⑴知A i G/BE, A i G?面FBED i, BE?面FBED i,AG //面BED i F.且HG A A i G = G ,•平面A i GH //平面BED i F.占由题悟法常用的判断面面平行的方法(1) 利用面面平行的判定定理；(2) 面面平行的传递性(all 3,训Y all Y；⑶利用线面垂直的性质(I丄a, I丄3? a// 3 .血以题试法3. (20i2北京东城二模)如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN 所在的平面互相垂直，MB // NC , MN丄MB.(1) 求证：平面AMB //平面DNC ;(2) 若MC丄CB，求证：BC丄AC.证明：(i)因为MB /NIC , MB?平面DNC , NC?平面DNC ,所以MB //平面DNC.又因为四边形AMND为矩形，所以MA /DN.又MA?平面DNC, DN?平面DNC.所以MA //平面DNC.又MA A MB = M，且MA, MB?平面AMB ,所以平面AMB //平面DNC.(2)因为四边形AMND是矩形，所以AM丄/IN.因为平面AMND丄平面MBCN，且平面AMND A平面MBCN = MN ,所以AM丄平面MBCN.因为BC?平面MBCN ,所以AM JBC.因为MC _LBC, MC A AM = M , 所以BC丄平面AMC.因为AC? 平面AMC，所以BC JAC.[ 小题能否全取]1．（教材习题改编）下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是（）A •一个平面内的一条直线平行于另一个平面B .一个平面内的两条直线平行于另一个平面C. 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D •一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：选D 由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确.2. 已知直线a, b,平面a,则以下三个命题:①若a// b, b? a,贝U a// a;②若 a / b, a // a,贝U b // a;③若a/ a, b// a,贝U all b.其中真命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选A 对于命题①，若a// b, b? a ,贝U应有a// a或a? a,所以①不正确;对于命题②，若a// b , a// a ,则应有b// a或b? a,因此②也不正确;对于命题③，若a//a, b // a,则应有a // b或a与b相交或a与b异面，因此③也不正确.3. （教材习题改编）若一直线上有相异三个点A , B , C到平面a的距离相等，那么直线I与平面a的位置关系是（）A . I // a B. I 丄aC. I与a相交且不垂直D. I // a或I? a解析：选D 由于I上有三个相异点到平面a的距离相等，贝U I与a可以平行，I? a时也成立.4. ___________________________________________________________ 平面a//平面3, a? a, b? 3,则直线a, b的位置关系是______________________________________________ 解析：由a//3可知，a, b的位置关系是平行或异面.答案：平行或异面5. （2012衡阳质检）在正方体ABCD —A1B1C1D1中，E是DD 1的中点，则BD i与平面ACE 的位置关系为_________解析：如图.连接AC, BD交于O点，连接OE,因为OE /BD1,而OE?平面ACE,BD1?平面ACE，所以BD1 /平面ACE.答案：平行基础知MW1 I C M U Z H I S H I Y A 0［知识能否忆起］一、直线与平面垂直1. 直线和平面垂直的定义直线I与平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线I与平面a互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言付号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直1心k a, b? a] a A b = O.r ? I 丄a1丄aI丄b 」推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面ab7 a / b、\? b丄aa丄a_直线、平面垂直的判定与性质3.直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言付号语言性质定理垂直于冋一个平面的两条直线平行a匚—b7a丄ab丄a€ a// b、平面与平面垂直1.平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言付号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直□a 丄3l丄aa j2.平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言付号语言性质定理a_L 3 、》？ 1丄a ad 3= a1丄a」两个平面垂直，则一个平面内垂直于父线的直线垂直于另一个平面L71•在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件. 同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即:线血垂百线线垂直、一…厂：面面垂直-------- 性质---------------2•在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理.3•几个常用的结论：(1) 过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(2) 过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直.垂直关系的基本问题高频考点3EIB美GAOP1N K.AOI>IAN YAOLI典题导入［例1］（2012襄州模拟）若m, n为两条不重合的直线，a, B为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m，n都平行于平面a,则m，n—定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面a,贝U m, n—定是平行直线；③已知a, B互相垂直，m, n互相垂直，若m丄a,则n丄④m,n在平面a内的射影互相垂直，则m,n互相垂直.其中的假命题的序号是________________ .［自主解答］①显然错误，因为平面a//平面平面a内的所有直线都平行所以3内的两条相交直线可同时平行于a；②正确；如图1所示，若aCl 3= I,且n/,当m丄a时，mln,但n//3,所以③错误；如图2显然当m' Jn'时，m不垂直于n,所以④错误.［答案］①③④-由题悟法解决此类问题常用的方法有：①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；②否定命题时只需举一个反例. ③寻找恰当的特殊模型（如构造长方体）进行筛选.初以题试法1. （2012长春模拟）设a, b是两条不同的直线，a, 3是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a丄b, a丄a, b? a,贝U b // a；②若a // a, a丄3贝U a丄3；③若a丄3, a丄3,贝U a// a或a? a；④若a丄b ,a丄a, b丄3,贝U a丄3-其中正确命题的个数为()A. 1B.2C. 3D.4解析：选D对于①,由b不在平面a内知，直线b或者平行于平面a,或者与平面相交，若直线b与平面a相交，则直线b与直线a不可能垂直，这与已知"a丄b”相矛盾, 因此①正确.对于②，由 a // a知，在平面a内必存在直线a1 // a,又a丄3,所以有a j丄3, 所以a丄3,②正确.对于③，若直线a与平面a相交于点A,过点A作平面a 3的交线的垂线m,则m丄3,又a丄3,则有a / m,这与"直线a、m有公共点A”相矛盾，因此③正确.对于④，过空间一点O分别向平面a、3引垂线a1、b1 ,则有a // a1 , b / B ,又a丄b , 所以a1丄b1 ,所以a丄3,因此④正确•综上所述，其中正确命题的个数为 4.直线与平面垂直的判定与性质LI典题导入［例2］(2012广东高考)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，AB 丄平面PAD , AB // CD, PD = AD , E 是PB 的中点，F 是DC1上的点且DF = 2AB, PH PAD中AD边上的高.(1)证明：PH丄平面ABCD ;⑵若PH = 1 , AD = 2, FC = 1,求三棱锥E—BCF的体积;(3)证EF丄平面［自主解答］(1)证明：因为AB丄平面FAD, PH?平面FAD ,所以PH JAB.因为PH为APAD中AD边上的高，所以PH 1AD.因为PH?平面ABCD , AB A AD = A, AB,AD?平面ABCD , 所以PH丄平面ABCD.连接EG.⑵如图，连接BH，取BH的中点G,因为E是PB的中点，所以EG PH ,1 1且EG = -PH = 2.因为PH丄平面ABCD , 所以EG丄平面ABCD.因为AB丄平面PAD , AD?平面PAD,所以AB丄\D.所以底面ABCD为直角梯形.所以V E-BCF = 3S Z SCF EG =1• FC AD EG =鲁.(3) 证明：取PA中点M，连接MD , ME.1 因为E是PB的中点，所以ME綊T^AB.1又因为DF綊^AB,所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF /MID.因为PD = AD，所以MD _LPA.因为AB丄平面PAD，所以MD 1AB.因为PA A AB = A,所以MD丄平面FAB，所以EF丄平面FAB.呂由题悟法证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理.⑵利用判定定理的推论(a// b, a丄a? b丄汰⑶利用面面平行的性质(a丄a, a// 3? a± 3).(4) 利用面面垂直的性质.当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.EJ以题试法2. (2012启东模拟)如图所示，已知PA丄矩形ABCD所在平面, M , N分别是AB, PC的中点.(1) 求证：MN丄CD ;(2) 若/ PDA = 45°求证：MN丄平面PCD.证明：(1)连接AC, AN, BN,••PA丄平面ABCD , /PA1AC,1在Rt△AC 中，N 为PC 中点，••• AN = ^PC.••PA丄平面ABCD，/PAJBC,又BC _1AB,PA A AB= A,••BC 丄平面PAB./BC1PB.从而在RtAPBC中，BN为斜边PC上的中线，1「BN = ?PC.••AN = BN. •△BN为等腰三角形，又M为AB的中点，• MN _LAB,又TAB CD , AMN JCD.⑵连接PM , MC ,Vz PDA = 45 °PAAAD, A AP = AD.• •四边形ABCD 为矩形，• AD = BC,「AP = BC./?又为AB的中点，••• AM = BM.而/PAM = ZCBM = 90°• △AM 也/CBM .•'PM = CM.又N为PC的中点，• MN JPC.由⑴知，MN _LCD , PC A CD = C，/MN 丄平面PCD.面面垂直的判定与性质［例3］ (2012江苏高考)如图，在直三棱柱ABC —A i B i C i中，"B!=A i C i, D, E分别是棱BC, CC i上的点(点D不同于点C),且AD丄DE , F为B iC i的中点.求证：⑴平面ADE丄平面BCC i B i；(2)直线A i F //平面ADE.ti ［自主解答］(i)因为ABC —A i B i C i是直三棱柱，所以CC i丄平面ABC,又AD?平面ABC，所以CC i L AD.又因为AD IDE , CC i, DE?平面BCC i B i,CC i A DE = E,所以AD丄平面BCC i B i.又AD?平面ADE ,所以平面ADE丄平面BCC i B i.⑵因为A i B i= A i C i, F为B i C i的中点，所以A i F _LBi C i.因为CC i丄平面A i B i C i，且A i F?平面A i B i C i,所以CC il A i F.又因为CC i, B i C i?平面BCC i B i, CC i A B i C i= C i,所以A i F丄平面BCC i B i.由⑴知AD 丄平面BCC i B i ，所以A i F/AD. 又AD?平面ADE , A i F?平面ADE , 所以A i F //平面ADE.呂由题悟法1. 判定面面垂直的方法： （i ）面面垂直的定义.⑵面面垂直的判定定理（a 丄B, a? a a 丄2. 在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直. 转化方法：在一个平面内作交线的垂线， 转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.$以题试法3. （20i2泸州一模）如图，在四棱锥P — ABCD 中，底面ABCD 为 菱形，/ BAD = 60° Q 为AD 的中点.⑴若PA = PD ，求证：平面 PQB 丄平面PAD ;⑵若点M 在线段PC 上，且PM = tPC （t>0），试确定实数t 的值, 使得FA //平面MQB.解：（1）因为FA = PD , Q 为AD 的中点，所以 PQ 丄AD. 连接BD ，因为四边形 ABCD 为菱形，/ BAD = 60° 所以AB = BD. 所以BQ 丄\D.因为BQ?平面PQB , PQ?平面PQB , BQ A PQ = Q , 所以AD 丄平面PQB.因为AD?平面PAD ，所以平面 PQB 丄平面PAD.证明如下:连接AC ,设AC n BQ = O ,连接 OM •在△AOQ 与△COB 中， 因为 AD BC ,所以/OQA=ZOBC,ZOAQ = ZOCB. 所以…。

高中数学必修2知识点总结第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示<1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长<如图）b5E2RGbCAP <2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

p1EanqFDPw 3 三个公理：<1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A∈LB∈L => L αA∈α B∈α公理1作用：判断直线是否在平面内<2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A∈α、B∈α、C∈α。

D CBA αLA· α C ·B·A· α公理2作用：确定一个平面的依据。

<3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L ，且P∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a∥b c∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；DXDiTa9E3d ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， >；P· α Lβ 共面直=>a ∥c③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

第二章点、直线、平面之间的地址关系空间点、直线、平面之间的地址关系一、平面1、平面及其表示2、平面的基本性质①公义 1：A lB llAB②公义 2：不共线的三点确定一个平面③公义 3：Pl 则P lP二、点与面、直线地址关系1、A1、点与平面有 2 种地址关系2、B1、A l2、点与直线有 2 种地址关系2、 B l三、空间中直线与直线之间的地址关系1、异面直线2、直线与直线的地址关系订交共面平行异面3、公义 4 和定理公义 4：l1 Pl3l1 Pl 2l 2 Pl3定理：空间中若是两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

4、求异面直线所成角的步骤：① 作：作平行线获取订交直线；② 证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角；③ 构造三角形求出该角。

提示： 1、作平行线常有方法有：直接平移，中位线，平行四边形。

2、异面直线所的角的范围是00 ,900。

四、空间中直线与平面之间的地址关系地址关系直线 a在平面内直线 a与平面订交直线 a与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a a I Aa P图形表示五、空间中平面与平面之间的地址关系地址关系两个平面平行两个平面订交公共点没有公共点有一条公共直线符号表示P I a图形表示直线、平面平行的判断及其性质一、线面平行1、判断：ba b Pb Pa（线线平行，则线面平行）2、性质：a PaPa b b（线面平行，则线线平行）二、面面平行1、判断：aba b P Pa Pb P（线面平行，则面面平行）2、性质 1：PI a a PbI b（面面平行，则线面平行）性质 2：Pm Pm（面面平行，则线面平行）说明（ 1）判断直线与平面平行的方法：① 利用定义：证明直线与平面无公共点。

② 利用判判定理：从直线与直线平行等到直线与平面平行。

③ 利用面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

（2）证明面面平行的常用方法①利用面面平行的定义：此法一般与反证法结合。

直线与平面的位置关系知识点总结直线与平面之间的位置关系是几何学中重要的内容之一，涉及到直线与平面的相交、平行以及垂直等相关概念与性质。

本文将对这些知识点进行总结，以帮助读者更好地理解并应用于实际问题。

一、直线与平面的相交关系1. 直线与平面相交的基本条件是直线不在平面内，即直线与平面不能共面。

2. 直线与平面相交有三种情况：a. 直线与平面相交于一点，此时直线称为平面的切线，而平面称为直线的切平面。

b. 直线与平面相交于一条直线，此时直线与平面互相交于一个点，该直线称为平面的截线，平面也称为直线的截面。

c. 直线与平面相交于无穷多个点，此时称为直线与平面的交。

3. 根据欧氏几何的公理，一条直线与平面交于一点后，该直线在平面上的每一点都与该平面有且只有一个交点。

二、直线与平面的平行关系1. 直线与平面平行的基本条件是直线与平面不相交，即两者没有任何公共点。

2. 直线与平面平行有以下情况：a. 直线与平面在空间中没有交点，此时称直线与平面平行。

b. 直线在平面上，但不在平面内，此时称直线与平面平行。

3. 欧氏几何的公理表明，两条直线分别与同一个平面平行，则这两条直线之间平行。

三、直线与平面的垂直关系1. 直线与平面垂直的基本条件是直线上的任意一条线段与平面上的任意一条线段互相垂直。

2. 直线与平面垂直有以下情况：a. 直线与平面相交，并且直线上的每一条线段都与平面上的每一条线段垂直，则称直线与平面垂直。

b. 直线在平面内，但不在平面上。

此时，直线与平面射线是互相垂直的。

3. 欧氏几何的公理表明，直线与平面垂直，则平面上的任意一条线段与直线上的任意一条线段皆垂直。

四、其他相关知识点1. 平面同时和一条直线的两个点重合，则称该直线在平面上。

2. 平面同时和一条直线的一个点重合，则称该直线在平面内。

3. 平面绕着一条直线旋转，可以得到一组平行于原平面的平面，这个过程叫做平面的旋转。

总结：直线与平面的位置关系包括相交、平行和垂直等几种情况。