经济应用数学——微积分 部分习题解答（参考）
习题一（P37）
1．设函数112)(-+=
x x x f 求：f(0) ， f(-1) ， f(a
1
) ，f(a+1) 解：分析：即求当x 为0，-1，a
1
，（a+1）时的函数值。
f(0) =
10102-+⋅= -1 ; f(-1) = 1)1(1)1(2--+-⨯= 2
1
f(a 1) = a a
a
a -+=+⨯121_11
1
2 ; f(a+1) =
a a a 321)1(1)1(2+=-+++⨯
3.下列各组函数是否表示相同的函数？为什么？
（1）y= lg 2x 与 y= 2lgx (2)y = 1 与 y = sin 2x + cos 2x
(3) y= 1
1
2--x x 与 y = x+1 (4) y = -x x 与y = -x 2
解：分析：相同函数的条件是D 与f 相同。（定义域与对应规则） （1）不同，ΘD 不同 （2）相同 Θ定义域与对应法则相同 （3）不同，ΘD 不同
（4）不同 Θ对应法则不同（当x= -1，对应y 不同）
4．求下列函数的定义域：
（1） y=
x x 1+ (2) y=
211
2
x x -+- (3) y= lg 211
++-x x
(4) y= lg lg(x+1) (5) y= arcsin 21-x (6) y= tan(2x+1) (2x+1≠ππ
k +2
)
解：求定义域应记住：①分母≠0 ②a a ≥0
③x
a log x ﹥0 ④三角函数的限制。
(1) y=
x
x 1
+ 解D: x ≠0 [或(-),0()0,+∞⋃∞)
（2）y=
211
2
x x -+- (4)lg lg (x+1) 解:⎩⎨⎧≠≥-10
12
x x D:-1≤x ﹤1 解:⎪⎩
⎪
⎨⎧++010)1lg(φφx x D:(0,+∞)
(3) y= lg
211++-x x (5) y= arcsin
2
1
-x 解:⎩
⎨⎧>->+011
02x
x D:[-2,1) 解:121
≤-x D:[-1,3]
(6) y = tan(2x+1) 解:2x+1≠ππk +2
D: x ≠
4
2
2-+
x k π
5．判断下列函数的奇偶性。
（1） f(x) = 233x
x -+ (3)f(x) = lg (x+21x +
解:f(-x) = 2
33x
x +-=f(x) 解:f(-x) = lg(-x+2)(1x -+
∴ f(x)是偶函数。 =lg
)1()
1)(1(2
22x x x x x x ++++++-
=lg
2
11
x x ++=lg(x+12)1-+x
= -lg(x+21x +) = -f(x)
∴ f(x)是奇函数。
(4) f(x) =xe x - 解: f(-x)= -x e x ≠f(x) [也≠-f(x)]
∴ f(x)是非奇非偶函数。
(5) f(x) = log x x
-+113
解:f(-x)=log x
x
+-113 分析：判断奇偶函数
= log 3（1
)11--+x x （1）f(-x)=f(x), f(x)是偶函数
= -log x
x
-+113 (2) f(-x)= -f(x), f(x)是奇函数
= -f(x) 否则非奇非偶。
∴ f(x)是奇函数。
（6）设f(x) =⎪⎩
⎪
⎨⎧-+x x x 222 1111>≤<--≤x x x
求 f(0)， f(-1)， f (1) ，f(-2) ，f(2)，并作出函数图像。
解：分析：求分段函数的函数值D 先确定x 0的所属的区间从向确定其解析式尔后代之，②作图需分段作图。
Θ0∈ -1∴f(-1) = (-1)+2 =1 , f(1) = 12 =1
∴ f(-2) = (-2)+2 =0 , f(2) = 2-2 =0
7．设f(x) =
x x +1 x
x 1
)(=ϕ 求 f[)](x ϕ ,)]([x f ϕ 解：分析：视f[)](x ϕ中的)(x ϕ为中间变量代替f(x)中的变量x 而成。
f[)](x ϕ=x x
x x x +=+
=
+1111)
()(1ϕϕ; )]([x f ϕ=x x x x x f +=+=111)(1
10．求下列函数的反函数
（3） y = 2x 3+1 (4) y = 1-lg (x+2) 解: x 3 =
2
1
-y 解: lg(x+2)=1-y x = 32
1
-y x+2 = 10y -1 即 y = 3
2
2
-x x = 10y -1-2 即 y = 10x -1-2
14．下列变量中哪些是无穷小，哪些是无穷大（在指定的变化过程） 分析：在指定变化过程中，变量→0是无穷小。变量→∞ 是无穷大。 （1）x 2+2x (x →0) (2)
x
x 1
2+ (x →0) 解: 当x →0， x 2+2x →0 解: 当x →0，2x+1→1， x →0 ∴是无穷小。 ∴是无穷大。 (当x →0， x 2无穷小， x 是无穷小)
(3) (-1)
n
n 21
1
+ (n →∞) (4) n n )1(1-+ (n →∞)
