逆向归纳法

逆向归纳法求解纳什均衡例题逆向归纳法是一种用于求解纳什均衡的方法。

它从每个参与者的最佳反应开始，逆向地推导出最终的纳什均衡。

以下是一个例题：假设两个企业A和B都在一个市场上销售相同的产品。

他们可以选择设置自己产品的定价，并且根据对方的定价来做出反应。

每个企业的目标是最大化自己的利润。

已知定价范围是0到10之间的实数。

企业A和企业B的利润函数分别为：πA(pA, pB) = (5 - pA - 0.5*pB) * pAπB(pA, pB) = (5 - pA - 0.5*pB) * pB其中，pA和pB分别表示企业A和企业B的定价。

现在我们使用逆向归纳法求解纳什均衡。

步骤1：确定每个参与者的最佳反应首先，我们来确定企业A的最佳反应。

企业A的利润函数是πA(pA, pB) = (5 - pA - 0.5*pB) * pA。

为了最大化自己的利润，企业A需要选择定价pA使得πA(pA, pB) 最大化。

可以通过对πA(pA, pB)求偏导数，令其等于零来确定最佳反应。

∂πA(pA, pB)/∂pA = (5 - pA - 0.5*pB) + (5 - pA - 0.5*pB) - pA = 0 化简可得： 10 - 2pA - pB = 0解上面的方程，可以得到企业A的最佳反应函数：pA = (10 - pB)/2同样地，我们可以确定企业B的最佳反应函数：pB = (10 - pA)/2步骤2：求解纳什均衡纳什均衡是指两个参与者都采取了其最佳反应策略的情况，即两个最佳反应函数同时成立。

将企业A的最佳反应函数代入企业B的最佳反应函数中，得到：pB = (10 - (10 - pB)/2)/2化简可得：4pB = 10 - (10 - pB)/2再次化简可得：8pB = 20 - (10 - pB)继续化简可得：9pB = 10 + pB得到：8pB = 10解方程可得：pB = 10/8 = 1.25将pB = 1.25 代入企业A的最佳反应函数中，得到：pA = (10 - 1.25)/2 = 4.375因此，企业A的最佳反应为 pA = 4.375，企业B的最佳反应为 pB = 1.25。

博弈论基础读书笔记三完全信息动态博弈和逆向归纳法第⼆章完全信息动态博弈先来说明两个概念：1、是指在博弈中，参与⼈同时选择或虽⾮同时选择但后⾏动者并不知道先⾏动者采取了什么具体⾏动。

2、是指在博弈中，参与⼈的⾏动有先后顺序，且后⾏动者能够观察到先⾏动者所选择的⾏动。

这⼀章，我们来讨论关于完全信息（即参与者的收益函数是共同知识的博弈）动态博弈的问题。

在这⾥我们还将博弈分为两种：完美信息博弈：即要选择⾏动的参与者完全知道这⼀步之前所有的博弈过程。

完全但不完美信息博弈：即要选择⾏动的参与者不知道这⼀步之前的博弈过程。

进⾏这章之前先简要的解释⼀些东西：所有的动态博弈的中⼼问题都是可信任性。

下⾯给⼀个经典的⼿雷博弈的例⼦：第⼀，参与者1可以选择⽀付1000美元给参与者2或者是⼀分不给。

第⼆，参与者2观察参与者1的选择，然后决定是否引爆⼀颗⼿雷将两个⼈同炸死。

如果参与者2威胁参与者1如果他不付1000美元就引爆⼿雷，如果参与者1相信这个威胁，则最优选择是⽀付1000美元。

但参与者1却不会对这⼀威胁信以为真，因为它不可置信（参与者2不会蠢到因为1000美元⽽同归于尽，⾄于参与者1考虑参与者2是不是疯⼦的情况在第三章讨论）。

这个例⼦就是典型的完全且完美信息博弈。

在2.1节我们将在后⾯使⽤逆向归纳解，来求解这个问题。

在2.2节我们会丰富前⼀节的博弈模型使之成为完全但不完美博弈，我们会定义这种博弈的⼦博弈精炼解，它是逆向归纳法的延申。

在2.3节研究重复博弈，即多次重复⼀个给定博弈。

这⾥分析问题的中⼼使（可信的）威胁和对以后做出的承诺对当前⾏为的影响。

在2.4节中我们介绍分析⼀般的完全信息动态博弈所需要的⼯具。

不再区别信息是否是完美的。

本节和本章的重点都在语⾔，⼀个完全信息动态博弈可能会有多个纳什均衡，但其中⼀些均衡或许包含了不可置信的威胁和承诺，⼦博弈精炼纳什均衡则是通过了可信检验的均衡。

看到这⾥你可能还是⼀头雾⽔，但是⽆所谓，让我们⼀节⼀节的来讲，看到最后你在回头看前⾯的总结可能会更有利于你对本章的理解。

逆向归纳法名词解释什么是逆向归纳法逆向归纳法是一种逻辑推理方法，通过从特殊到一般的方式进行反向推断，以便得出普遍性的结论。

这种方法是根据已知的一系列特殊情况，通过归纳总结出普遍规律或原则。

逆向归纳法的基本原理逆向归纳法的基本原理是从已知的特殊情况出发，逐步推导出普遍性的结论。

其过程可以分为以下几步：1.收集特殊情况的相关数据和信息。

2.分析和比较这些特殊情况的共同点和特点。

3.基于共同点和特点，提出可能的普遍性结论。

4.验证普遍性结论是否符合已有的特殊情况，并进行推理和推断。

5.如果普遍性结论符合已有的特殊情况，那么可以认为该结论是可靠的。

逆向归纳法的应用范围逆向归纳法在各个领域都有着广泛的应用，包括科学研究、经济分析、社会科学等。

在科学研究中，逆向归纳法可以用于发现规律和解答问题。

在经济分析中，逆向归纳法可以用于预测市场趋势和制定决策。

在社会科学中，逆向归纳法可以用于研究社会现象和解释行为动因。

逆向归纳法的优缺点逆向归纳法作为一种逻辑推理方法，具有以下优点：•可以利用已有的特殊情况进行推理，避免了从零开始的抽象思维。

•能够通过特殊情况推导出普遍规律，为问题解决提供有效思路。

•可以用于处理现实生活中的复杂问题，有助于理清问题的逻辑结构。

然而，逆向归纳法也存在一些缺点：•由于逆向归纳法是通过特殊情况得出普遍性结论，所以结论的准确性依赖于特殊情况的代表性和完整性。

•逆向归纳法的推理过程需要具备一定的归纳和分析能力，对于初学者而言可能存在难度。

•在实际应用中，逆向归纳法有时需要进行多次迭代和验证，耗费时间和精力。

逆向归纳法的例子以下是一个逆向归纳法的例子，以帮助更好理解该方法的应用过程：问题：为什么一些企业的市场份额始终稳定，而另一些企业的市场份额却不断下降？1.收集特殊情况的数据和信息：选择两家具有代表性的企业，一家市场份额稳定，另一家市场份额下降。

2.分析和比较特殊情况的共同点和特点：–稳定市场份额的企业：有稳定的产品品质、广泛的渠道网络、高度的品牌认知度。

逆向归纳均衡
逆向归纳均衡是一种解决复杂问题的方法，它通过从结果反推回原因，逐步逆向推导出问题的解决方案。

这种方法适用于许多领域，如数学、计算机科学、经济学等。

在数学方面，逆向归纳均衡常用于证明定理。

它从已知的结论开始，逆向推导出结论的前提条件，直到最终得到所有的前提条件。

这种方法是一种非常有用的证明技巧，可以帮助证明许多困难的数学问题。

在计算机科学中，逆向归纳均衡用于解决复杂的算法问题。

它通过从算法的输出结果开始，逆向推导出算法的输入条件，并逐步确定算法的执行过程。

这种方法可以帮助计算机科学家更好地理解算法的设计和实现。

在经济学中，逆向归纳均衡通常用于解决博弈理论中的问题。

它通过从博弈的结果开始，逆向推导出每个参与者的策略，并逐步分析每个参与者的最优策略。

这种方法可以帮助经济学家更好地理解博弈论的基本原理和应用。

总之，逆向归纳均衡是一种非常有用的解决问题的方法，它可以帮助人们更好地理解问题的本质和解决方案。

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专栏6：逆向归纳法与人生规划（视频）•曾经创下台湾空前的震撼与模仿热潮的歌手李恕权，是唯一获得格莱美音乐大奖提名的华裔流行歌手，同时也是“Bill board杂志排行榜”上的第一位亚洲歌手。

他在《挑战你的信仰》一书中，详细讲述了自己成功历程中的一个关键情节。

•1976年的冬天，19岁的李恕权在休斯顿太空总署的太空梭实验室里工作，同时也在休斯顿大学主修电脑。

纵然学校、睡眠与工作几乎占据了他大部分时间，但只要稍微有多余的时间，他总是会把所有的精力放在音乐创作上。

•一位名叫凡内芮的朋友在他事业起步时给了他最大的鼓励。

凡内芮在德州的诗词比赛中不知得过多少奖牌。

她的写作总是让他爱不释手，他们合写了许多很好的作品。

逆向归纳法与人生规划-续•一个星期六的早上，凡内芮又热情地邀请李恕权到她家的牧场烤肉。

凡内芮知道李对音乐的执著。

然而，面对那遥远的音乐界及整个美国陌生的唱片市场，他们一点门路都没有。

他们两个人坐在牧场的草地上，不知道下一步该如何走。

突然间，她冒出了一句话：“想想你五年后在做什么。

”•她转过身来说：“嘿！告诉我，你心目中‘最希望’五年后的你在做什么，你那个时候的生活是一个什么样子？”他还来不及回答，她又抢着说：“别急，你先仔细想想，完全想好，确定后再说出来。

”李恕权沉思了几分钟，告诉她说：“第一，五年后，我希望能有一张唱片在市场上，而这张唱片很受欢迎，可以得到许多人的肯定。

第二我住在一个有很多很多音乐的地方，能天天与一些世界一流的乐师一起工作。

”凡内芮说：“你确定了吗？”他十分坚定地回答，而且是拉了一个很长的“Yesssssss！”逆向归纳法与人生规划-续•凡内芮接着说：“好，既然你确定了，我们就从这个目标倒算回来。

如果第五年，你有一张唱片在市场上，那么你的第四年一定是要跟一家唱片公司签上合约。

那么你的第三年一定是要有一个完整的作品，可以拿给很多很多的唱片公司听，对不对？那么你的第二年，一定要有很棒的作品开始录音了。

用“逆向归纳法”教学英语语法在英语语法教学中运用“逆向归纳法”就是通过“发现—归纳—运用”三个步骤来教学英语语法，改变以往“分析讲解规则—巩固运用规则”的以“教”为中心的教学方法。

“逆向归纳法”有以下四大特点：一是反转了语法教学的方向。

惯常的语法教学是以介绍规则为起点，操练运用为终点；而此方法是以实际体验范例为起点，发现规律为中转，总结运用为终点。

二是改变了思维方式的模式。

以往的语法教学是基于演绎的模仿运用，现在是基于归纳的自然运用。

三是转变了情感体验的方式。

变枯燥无味的规则记忆为栩栩如生的意义构建。

四是实现了知识能力的倒转。

从被动接受式的知识传递转化为主动发现式的能力提高。

经过如此的逆向反转，学生习惯了运用观察、分析、联想等发现问题和解决问题的方法，自主归纳出相应的规律，为创造性地使用语言打下了坚实的基础。

一、现象呈现，供学生发现规律现象呈现就是呈现与此语法相关的语言材料。

呈现的形式以书面材料为主，还可夹杂相关的视频、音频等材料，让学生在真实的语境中体验语法的实际应用。

如在教学分词时，放一段“美国总统奥巴马对全美中小学生的讲话”视频，其中有一段话：Young people like Jazmin Perez, from Roma, Texas. Jazmin didn’t speak English when she first started school. Neither of her parents had gone to college. But she worked hard, earned good grades, and got a scholarship to Brown University —is now in graduate school, studying public health, on her way to becoming Dr Jazmin Perez. 画线部分的studying为现在分词，作伴随状语。

数学讲义数学归纳法的其他形式知识定位数学归纳法是处理有关自然数的命题的证明时的一种常用方法。

这也是在以往的自主招生考试或者是竞赛中非常常用的一种方法。

本节课将介绍除了第一数学归纳法与第二数学归纳法之外的几种数学归纳法的特殊形式。

知识梳理1. 反向归纳法：设()P n 是关于自然数n 的命题，若 ① ()P n 对无限多个自然数n 成立； ② 假设(1)P k + 成立可以推出()P k 成立， 那么，()P n 对一切自然数n 成立。

2. 螺旋归纳法:设(),Q()P n n 是两串关于自然数n 的命题，若 ① (1)P 成立；②假设()P k 成立可以推出()Q k 成立；()Q k 成立可以推出(1)P k +成立， 那么，(),Q()P n n 对一切自然数n 成立。

注：在运用螺旋归纳法时，往往要自己补充“伴随命题”Q()n .3. 二重数学归纳法：设(,)P n m 是关于两个独立的自然数,n m 的命题，若① (1,)P m 对一切自然数m 成立，(,1)P n 对一切自然数n 成立； ② 假设(1,)P n m +和 (,1)P n m + 成立可以推出(1,1)P n m ++成立， 那么，(,)P n m 对一切自然数,n m 成立。

例题精讲例1：【试题来源】【题目】数列{}2112,1, 1.n n n n F F F F F F ++=+==满足： 求证：22121.n n n F F F +++=【难度系数】3例2：【试题来源】已知数列{}n a 定义如下：2,2.3(1)1,213n n m m m n m a m =-+=-⎧=⎨⎩①求证：数列的前n 项和n S 为：()()221221431,21431.2m mS m m m S m m m -=-+=++②③【难度系数】3例3：【试题来源】【题目】（均值不等式）设12,,,n a a a 是n 个正数，1211,nn n i n n i A a B a a a n ===∑ ，证明：.n n A B ≥【难度系数】4例4： 【试题来源】【题目】 设函数*[1:,)f →+∞N 满足： （1）(2)2f = ；（2）*,()()(,)f mn f m f m n n ∀∈=N 有 ； （3）当m n < 时，有()()f m f n < .证明：*,().n f n n ∀∈=N 【难度系数】4例5： 【试题来源】【题目】 （琴声不等式）若()f x 在定义域[],a b 内满足：[]()1,,,()()22x y x y a b f f x f y +⎛⎫∀∈≤+ ⎪⎝⎭有： ，则对[]12,,,,,n b x x x a ∈ 有：11().n ni i i i x f x f n n ==⎛⎫ ⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑【难度系数】4例6：【试题来源】【题目】设*,m n ∈N ，证明对任意实数1212,,,,,,,n n x x x y y y ，若1,1,2,,i i x y i n +== ，那么：()()()()12121111 1.mm mmn nx x x y y y -+---≥①【难度系数】4例7：【试题来源】【题目】设非负整数列122006,,,a a a 满足：()1,1,2006,2006.i j i j i j a a a a a i j i j ++≤≤++≤≤+≤求证：存在x ∈ ，使得对任意*12006,n n ≤∈≤N ，都有：[].n a nx =【难度系数】4例8：【试题来源】【题目】设空间中有2(2)n n ≥ 个点，其中任何4点都不共面，它们之间连有21n + 条线段。

逆向归纳法名词解释逆向归纳法是一种思维方法，用于通过观察和分析特定事物的逆向演绎来推断其本质、规律或原理。

它是对归纳法的一种扩展和补充，通过从结果、现象或已知事物反推出其背后的原因或规律，从而增强我们对问题的理解和认识。

1. 逆向归纳法的基本原理逆向归纳法基于以下两个基本原理：1.1 结果分析逆向归纳法首先从已知的结果或现象出发，对其进行仔细观察和分析。

通过考察结果的特点、特征和性质，我们可以尝试找出导致这些结果产生的原因或规律。

1.2 反向推理基于已知结果或现象，逆向归纳法通过反向推理来揭示其背后的原因或规律。

通过设想不同情况下可能导致这些结果的条件，并进行比较和分析，我们可以逐步缩小范围，最终找到导致这些结果产生的关键要素。

2. 逆向归纳法在科学研究中的应用逆向归纳法在科学研究中具有广泛的应用，特别是在物理学、化学、生物学等自然科学领域。

以下是一些典型的应用案例：2.1 物理学中的逆向归纳法在物理学研究中，逆向归纳法常常用于推断物质的性质或行为。

通过观察和分析某种材料在特定条件下的反应结果，科学家可以推断出该材料的组成、结构或电磁性质。

逆向归纳法还可以帮助科学家揭示复杂现象背后的基本原理，如通过观察天体运动的结果，推导出万有引力定律。

2.2 化学中的逆向归纳法化学研究中，逆向归纳法可以帮助科学家推断化合物的结构和性质。

在分析某种化合物产生的反应产物时，科学家可以通过比较不同反应条件下产生的不同产物来推断该化合物可能存在的官能团或键合方式。

逆向归纳法还可以帮助解释某些复杂反应机制，并指导新药物的研发。

2.3 生物学中的逆向归纳法在生物学研究中，逆向归纳法常常用于推断生物体的功能和进化。

通过观察和比较不同物种之间的共同特征和差异，科学家可以推断它们之间的进化关系和共同祖先。

逆向归纳法还可以帮助科学家揭示生物体内部复杂的代谢网络和信号传导通路。

3. 逆向归纳法在问题解决中的应用除了在科学研究中的应用，逆向归纳法也在问题解决过程中发挥着重要作用。

逆向归纳法
逆向归纳法(backward induction)，是求解动态博弈均衡的方法，是博弈论中一个比较古老的概念，是指博弈参与人的行动存在着先后次序，并且后行动的参与人能够观察到前面的行动。

它的提出最早可以追溯到泽梅罗（1913）针对国际象棋有最优策略解的证明，后来人们将其推广到了更广泛的博弈中。

例如，在有限完美信息扩展型博弈中，就是用逆向归纳法（BI）来证明子博弈完美均衡（SPE）的存在以及求解SPE，其基本思路是从动态博弈中的最后一个阶段开始，局中人都遵循效用最大化原则选择行动，然后逐步倒推至前一个阶段，一直到博弈开始局中人的行动选择，其逻辑严密性毋庸置疑。

然而，当从终点往前推到某一决策点时，BI完全忽略了到达该决策点的以往历史行动，而这一历史行动当然会影响处于该决策点的局中人有关其对手将来如何采取行动的信念，例如，一个局中人如果观察到对手在过去没有按照BI进行行动选择，那么他就有理由相信他的对手仍会采取同样的模式进行下去，但是通过这种信念修正以后所做的选择就会与BI矛盾。

为了达到均衡解，为了能按BI进行推理求解，我们需要对局中人的信念或者说知识增加一些限制性条件，也就是说在什么样的前提下，BI是合理的，显然，仅仅要求每个局中人都理性是不够的，所有的局中人都必须知道所有的局中人都是理性的，所有的局中人都必须知道所有局中人都知道所有局中人
都是理性的……等等以至无穷，在这样的认知条件基础下，我们就不会偏离BI，即“在完美信息扩展型博弈中，理性的公共知识蕴含了BI”（Aumann1995）。

数学归纳法原理(六种)：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】一行骨牌，如果都充分地靠近在一起（即留有适当间隔），那么只要推倒第一个，这一行骨牌都会倒塌；竖立的梯子，已知第一级属于可到达的范围，并且任何一级都能到达次一级，那么我们就可以确信能到达梯子的任何一级；一串鞭炮一经点燃，就会炸个不停，直到炸完为止；……，日常生活中这样的事例还多着呢！数学归纳法原理设P(n)是与自然数n有关的命题．若(I)命题P(1)成立；(Ⅱ)对所有的自然数k，若P(k)成立，推得P(k+1)也成立.由（I）、(Ⅱ)可知命题P(n)对一切自然数n成立．我们将在“最小数原理”一章中介绍它的证明，运用数学归纳法原理证题的方法，是中学数学中的一个重要的方法，它是一种递推的方法，它与归纳法有着本质的不同．由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，用归纳法可以帮助我们从具体事例中发现一般规律，但是，仅根据一系列有限的特殊事例得出的一般结论的真假性还不能肯定，这就需要采用数学归纳法证明它的正确性．一个与自然数n有关的命题P(n)，常常可以用数学归纳法予以证明，证明的步骤为：(I)验证当n取第1个值no时，命题P(no)成立，这一步称为初始验证步．(Ⅱ)假设当n=k(k∈N，后≥no)时命题P(k)成立，由此推得命题P(k+1)成立．这一步称为归纳论证步．(Ⅲ)下结论，根据(I)、(Ⅱ)或由数学归纳法原理断定，对任何自然数(n≥no)命题 P(n)成立．这一步称为归纳断言步，为了运用好数学归纳法原理，下面从有关注意事项与技巧及运用递推思想解题等几个方面作点介绍．运用数学归纳法证题时应注意的事项与技巧三个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第三步是递推的过程与结论．三步缺一不可．数学归纳法的其他几种形式还有：第二数学归纳法；跳跃数学归纳法；倒推数学归纳法（反向归纳法）；分段数学归纳法二元有限数学归纳法；双向数学归纳法；跷跷板数学归纳法；同步数学归纳法等。

博弈论之逆向归纳法子博弈完美纳什均衡的求解按照博弈时空顺序，构建博弈树，并尝试找出所有的子博弈，然后判断每个子博弈的最优策略。

由每一个子博弈的最优策略构成的策略组合也构成了原博弈的子博弈完美纳什均衡。

前向展望……博弈阶段比较多怎么办？后向推理逆向归纳法生活必须逆向理解，但生活也必须正向度过。

——索伦.克尔凯郭尔索伦.克尔凯郭尔(1813-1855)逆向归纳法我会给他一个他无法拒绝的提议。

——《教父》逆向归纳法A CB DL R122(1,0)(0,1)E G 1(2,2)(1,0)FH 1(0,3)(1,1)((R,E,H ),(B,C ))逆向归纳法的前提：理性共识逆向归纳法A CB DL R122(1,0)(0,1)E G 1(2,2)(1,0)FH 1(0,3)(1,1)((R,E,F ),(B,C ))1之所以选择R ，因为知道2是理性的，会选C ； 因为1知道2知道：1是理性的，如果让1继续决策，1会选择E 。

1、2分别是理性的，并且也知道对方是理性的，推测才会成立。

逆向归纳法的前提：理性共识逆向归纳法A CBDLR122(1,0)(0,1)E G 1(2,2)(1,0)FH 1(0,3)(1,1)((R,E,F ),(B,C ))如果2不知道1是理性的，那么2很有可能选D ，期待非理性的1接下来选择G 。

这样他就可以获得3个单位收益。

如果2选择了D ，而1是理性的，那么1就会选择H 。

逆向归纳法的前提：理性共识空客与波音的竞争博弈波音有自己的大型飞机波音747，它一统400座级市场多年并获取超高额利润。

其他竞争对手都希望能制造出超大型飞机(600-800座的)，以打破波音的垄断地位(虽然座位级不同于747，但是大大压缩了波音在400级别的市场空间)。

空客与波音的竞争博弈超大型飞机市场只能容纳一种飞机!启动超大型飞机的研发策略是否合理？我们正在建造一个有600到800个座位的飞机，这是有史以来最大、最贵的客机。