27.2.3 利用三边判定三角形相似定理 同步练习

27.2.1相似三角形的判定（1）1、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件， 使ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的条件即可).2、如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）A AC AE AB AD = B FB EA CF CE =C BD AD BC DE = D CBCF AB EF =3、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ）A 1对B 2对C 3对D 4对4、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）① ② ③ ④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④.5、如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC ，②ΔBCD ，③ΔBDE ，④ΔBFG ，⑤ΔFGH ，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）(A)②③④ (B)③④⑤ (C)④⑤⑥ (D)②③⑥6、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A 1B 1C 1，使ΔA 1B 1C 1与格点三角形AB C 相似(相似比不为1).7、如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长.8、一个钢筋三角架三边长分别为20cm ，50cm ，60cm ，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，写出所有不同的截法？答案1、D E ∥BC2、C3、C4、C5、B6、略7、AD=516cm 8、两种截法（1）新截三角形的三边分别是10cm,25cm,30c m （2）新截三角形的三边分别是12cm,30cm,36cm。

27.2.1 相似三角形的判定第2课时 三边成比例的两个三角形相似1、已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两数的比例中项，第三个数是 (只需写出一个即可).2、在△ABC 中，AB=8，AC=6，点D 在AC 上，且AD=2，若要在AB 上找一点E ，使△ADE 与原三角形相似，那么AE= 。

3、如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB ，那么可添加的条件是4、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件，使ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的条件即可).5、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中正确的是 (把你认为正确的说法的序号都填上).6、如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为 或时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与ΔAOB 相似(至少写出两个满足条件的点的坐标).7、下列命题中正确的是 （ ）①三边对应成比例的两个三角形相似②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似④一个角对应相等的两个等腰三角形相似A 、①③B 、①④C 、①②④D 、①③④8、如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）A AC AE AB AD = B FB EA CF CE =C BD AD BC DE = D CBCF AB EF =9、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（）A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC. BE=CD，AB=ACD. AD∶AC=AE∶AB10、在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有（）A ΔADE∽ΔAEFB ΔECF∽ΔAEFC ΔADE∽ΔECFD ΔAEF∽ΔABF11、如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（）A 1对B 2对C 3对D 4对12、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）①②③④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④.13、如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC，②ΔBCD，③ΔBDE，④ΔBFG，⑤ΔFGH，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（）(A)②③④(B)③④⑤(C)④⑤⑥(D)②③⑥14、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A 1B 1C 1，使ΔA 1B 1C 1与格点三角形ABC 相似(相似比不为1).15、如图，ΔABC 中，BC=a .(1)若AD 1=31AB ，AE 1=31AC ，则D 1E 1= ； (2)若D 1D 2=31D 1B ，E 1E 2=31E 1C ，则D 2E 2= ； (3)若D 2D 3=31D 2B ，E 2E 3=31E 2C ，则D 3E 3= ； ……(4)若D n -1D n =31D n -1B ，E n -1E n =31E n -1C ，则D n E n = .16、如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长.17、已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ， Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似？为什么？。

27.2相似三角形同步练习一．选择题1．如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是（）A．150°B．147°C．135°D．120°2．两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，那么这两个三角形的面积的比是（）A．2：3B．4：9C．16：36D．16：93．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠F B．且∠B＝∠DC．D．且∠A＝∠D4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED 的是（）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．5：7B．10：4C．25：4D．25：496．已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是（）A．若△AEF与△ABC相似，则EF∥BCB．若AE×BE＝AF×FC，则△AEF与△ABC相似C．若，则△AEF与△ABC相似D．若AF•BE＝AE•FC，则△AEF与△ABC相似7．如图，在△ABC，D是BC上一点，BD：CD＝1：2，E是AD上一点，DE：AE＝1：2，连接CE，CE的延长线交AB于F，则AF：AB为（）A．1：2B．2：3C．4：3D．4：78．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则△DEF与四边形EFCO的面积比为（）A．1：4B．1：5C．1：6D．1：79．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝3，BC＝4，DC＝6，若在边DC上有点P，使△P AD 与△PBC相似，则这样的点P有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于F，连接DF，若BF＝，BC ＝3，则DF＝（）A．4B．3C．2D．二．填空题11．已知△ABC∽△A′B′C′，且AB＝3cm，A′B′＝5cm，则相似比为．12．如图，△ABC中，CA＝CB，点E在BC边上，点D在AC边上，连接AE、DE，若AB ＝AE，2∠AEB+∠ADE＝180°，BE＝8，CD＝，则CE＝．13．如图，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥CD，AE＝2EC，则AF：FD：DB＝．14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值是．15．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别是AB、CD边上的动点，EF⊥AC，则AF+CE的最小值为．三．解答题16．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF•DF＝CF•BF．求证：△CAB∽△DAE．18．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC∽△DCA，∴∠BAC＝∠D＝117°，∠DAC＝∠B＝33°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝150°，故选：A．2．解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，∴它们的相似比为4：3，∴它们的面积比为16：9．故选：D．3．解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠F，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；B、＝且∠B＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；故选：B．4．解：∵∠A＝∠A，∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．∵＝，∴＝∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故①②③可以判断三角形相似，故选：B．5．解：设DE＝5k，EC＝2k，则CD＝7k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝7k，DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝＝，故选：D．6．解：选项A错误，∵△AEF与△ABC相似，可能是∠AEF＝∠C，推不出EF∥BC．选项B错误，由AE×BE＝AF×FC，推不出△AEF与△ABC相似．选项C错误，由，推不出△AEF与△ABC相似．选项D正确．理由：∵AF•BE＝AE•FC，∴＝，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．故选：D．7．解：过D作DH∥AB交CF于H，如图，∵DH∥BF，∴＝，∵BD：CD＝1：2，∴CD：BC＝2：3，∴BF＝DH，∵DH∥AF，∴＝＝2，∴AF＝2DH，∴AF：BF＝2DH：DH＝4：3，∴AF：AB＝4：7．故选：D．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AB∥CD，∵E为OD的中点，∴DE＝EO＝DO，∴BO＝2EO，BE＝3DE，∵DF∥AB，∴△DFE∽△BAE，∴＝（）2＝，设S△DEF＝x，则S△BEA＝9x，∵BO＝2OE，∴S△AOB＝6x＝S△DOC，∴四边形EFCO的面积＝5x，∴△DEF与四边形EFCO的面积比＝1：5，故选：B．9．解：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠P AD＝∠PBC＝90°．设DP的长为x，则CP长为6﹣x．若AB边上存在P点，使△P AD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则DP：CP＝AD：BC，即x：（6﹣x）＝3：4，解得：x＝②若△APD∽△BPC，则DP：PC＝AD：BC，即x：4＝3：（6﹣x），整理得：x2﹣6x+12＝0，∵△＜0，这种情形不存在，∴满足条件的点P的个数是1个，故选：A．10．解：如图，连接BD，∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE＝90°，∴△AEF∽△BEA，∴＝，∵AE＝ED，∴＝，又∵∠FED＝∠DEB，∴△FED∽△DEB，∴∠EFD＝∠EDB，∵∠EFD+∠DFC＝90°，∠EDB+∠ODC＝90°，∴∠DFC＝∠ODC，∵在矩形ABCD中，OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠DFC＝∠OCD，∴DF＝DC，在Rt△BCF中，FC＝＝＝2，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴AF＝FC＝，∴AB＝＝＝3，∴DF＝3，故选：B．二．填空题11．解：由题意得，＝，∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为＝，故答案为：．12．解：如图，过点A作AM⊥BE于E，过点D作DN⊥EC于N，∵CA＝CB，AB＝AE，∴∠B＝∠CAB，∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠CAB＝∠AEB，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，∴∠C＝∠BAE，∴2∠AEB+∠C＝180°，又∵2∠AEB+∠ADE＝180°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠ADE＝∠C+∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC＝，∵AB＝AE，AM⊥BE，DE＝CC，DN⊥EC，∴BM＝ME＝BE＝4，EN＝NC＝EC，AM∥DN，∴△CDN∽△CAM，∴，∴，∴EC＝12，EC＝﹣5（不合题意舍去），故答案为：12．13．解：∵EF∥CD，AE＝2EC，∴＝＝2，∵DE∥BC，∴＝＝2，设DF＝m，则AF＝2m，AD＝3m，DB＝m，∴AF：DF：DB＝2m：m：m＝4：2：3．故答案为：4：2：3．14．解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴＝（）2＝，∴＝，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝，故答案为：．15．解：如图所示：设DF＝x，则FC＝4﹣x；过点C作CG∥EF，且CG＝EF，连接FG，当点A、F、G三点共线时，AF+FG的最值小；∵CG∥EF，且CG＝EF，∴四边形CEFG是平行四边形；∴EC∥FG，EC＝FG，又∵点A、F、G三点共线，∴AF∥EC，又∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥DC，∠D＝90°，∴四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，又∵EF⊥AC，AF＝CF＝4﹣x，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2+DF2＝AF2，又∵AD＝2，DF＝x，则FC＝4﹣x，∴22+x2＝（4﹣x）2，解得：x＝，∴AF＝，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，∴AC＝，∴AO＝，又∵OF∥CG，∴△AOF∽△ACG，∴＝，∴AG＝5，又∵AG＝AF+FG，FG＝EC，∴AF+EC＝5，故答案为5．三．解答题16．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS）；（2）∵△ABP≌△ADP，∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠E，∴∠E＝∠ABP，又∵∠FPB＝∠EPB，∴△EPB∽△BPF，∴，∴PB2＝PE•PF，∴PD2＝PE•PF．17．证明：∵EF•DF＝CF•BF．∴，∵∠EFC＝∠BFD，∴△EFC∽△BFD，∴∠CEF＝∠B，∴∠B＝∠AED，∵∠CAB＝∠DAE，∴△CAB∽△DAE．18．（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG，又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵，BC＝3，∴，∴BC＝．。

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE =1：2，那么下列等式一定成立的是 A ．BC ：DE =1：2B ．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 【答案】D2．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，且AB =1，CD =3，那么EF 的长是A ．13B ．23 C ．34D ．45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF DF AB DB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +=1，∴EF =34．故选C ．3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC=A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=23AB=23CD，∵AB∥CD，∴EFFC=BEDC=23，故选B．4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且32AEDE=，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长为A．10cm B．5cmC．6cm D．9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，∴DE∥BC，且AD=BC，∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴BC BF ED DF=，∵32AEDE=，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，52BC BFED DF==，∵BF=15cm，∴DF=25BF═6cm．故选C．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为A．9：1 B．1：9C．3：1 D．1：3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选B．6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为A．63°B．72°C．73°D．83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=A．32B．1C．12D．23【答案】C【解析】∵E为AB中点，∴AE=12AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB，∴12AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．两个三角形相似，相似比是12，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________．【答案】36【解析】∵两个三角形相似，相似比是12，∴两个三角形的面积比是14，∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36．9．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．【答案】65或310．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________．【答案】3≤AP<4【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0<AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP<4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4．故答案为：3≤AP<4．11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________．【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）【解析】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ．求证：111ABC A B C S S △△=k 2；证明：作AD ⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应， ∴∠B =∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ，△A 1B 1C 1的高线， ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11ABA B =k ， ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2．13．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线，已知AC =9cm ，CB =12cm ，DE =3cm ．（1）求CM 和EN 的长； （2）你发现CMEN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB =22AC CB +=22912+=15，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM =12AB=7.5， ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE DF AC AB =，即319315DF==， ∴DF =5，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴EN =12DF =2.5； （2）∵7.532.51CM EN ==，相似比为9331AC DE ==，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB ．（1）求∠APB 的大小．（2）说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系．15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD =CD ，则∠ACB =__________°． （2）如图2，在△ABC 中，AC =2，BC 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知得AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x3–1，∵△BCD∽△BAC，∴CD BDAC BC=32，∴CD 312-×62．故答案为：96．。

《27.2.3相似三角形的周长与面积》教案【教学目标】： (一)知识与技能1、理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。

2、探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。

(二)过程与方法经历探索相似三角形性质“相似三角形周长的比等于相似比” 、“面积比等于相似比的平方”的过程。

(三)情感态度与价值观在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决实际问题策略的多样性。

【教学重点】：理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

教学难点：探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

【教学过程】： 新课引入：1．回顾相似三角形的概念及判定方法。

2．复习相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质。

提出问题：如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？两个相似多边形呢？（学生小组讨论）∆ABC ∽∆A 1B 1C 1，相似比为k ⇒111111AB BC CAk A B B C C A === ⇒AB=kA 1B 1,BC=kB 1C 1,CA=kC 1A 1⇒111111111111111111AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A ++++==++++ 进而得到结论：相似三角形周长的比等于相似比延伸问题： 探究：（1） 如图27．2-11（1），∆ABC ∽∆A 1B 1C 1，相似比为k 1 ，它们的面积比是多少？图27．2-11分析：如图27．2-11（1），分别作出∆ABC 和∆A 1B 1C 1的高AD 和A 1D 1。

∠ADB=∠A 1D 1B 1=900又∠B=∠B 1⇒∆ABD ∽∆A 1B 1D 1⇒11111AD ABk A D A B == ⇒111ABC A B C S S=111111*********1221122BC AD K B C K A D B C A D B C A D ==k 12进而得到结论：相似三角形面积比等于相似比的平方（2）如图27．2-11（2），四边形ABCD 相似于四边形A 1B 1C 1D 1，相似比为k 2，它们的面积比是多少？分析：111ABC A B C SS=111ACD A C D S S= k 22⇒1111ABCD A B C D S S =四边形四边形111111ABC ACD A B C A C D ++S SS S= k 22⇒相似多边形面积比等于相似比的平方 应用新知：例6：如图27．2-12，在∆ABC 和∆DEF 中，AB=2DE ，AC=2DF，∠A=∠D ，∆ABC 的周长是24，面积是48，求 ∆DEF 的周长和面积。

人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 27.2.1 相似三角形的判定 同步练习一、单选题（共9题；共18分）1.如图，在中， ，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不．相似的是（ ）A. B. C. D.2.下列各组长度的线段（单位： ）中，成比例线段的是（ ）A. 1，2，3，4B. 1，2，3，5C. 2，3，4，5D. 2，3，4，6 3.已知四条线段a,b,c,d 是成比例线段，即＝，下列说法错误的是（ ）A. ad=bcB. ＝C. ＝D. ＝4.下列判断中，错误的有（ ） A. 三边对应成比例的两个三角形相似B. 两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似D. 有一个角是100°的两个等腰三角形相似5.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ：BD=5：3，CF=6，则DE 的长为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12 6.下列条件中，不能判断△ABC 与△DEF 相似的是（ ） A. ∠A =∠D ， ∠B =∠F B. 且∠B =∠D C.D.且∠A =∠D7.如图所示，在▱ABCD.BE 交AC ，CD 于G ，F ，交AD 的延长线于E ，则图中的相似三角形有（ ）A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对8.如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（）A. ∠ADC＝∠ACBB.C. ∠ACD＝∠BD. AC2＝AD•AB9.如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC 的值是（）A. 3：2B. 4：3C. 6：5D. 8：5二、填空题（共4题；共4分）10.如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥B C．如果，AC＝10，那么EC ＝________．11.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝________时，△CPQ与△CBA相似．12.的边长分别为的边长分别，则与________（选填“一定”“不一定” “一定不”）相似13.如图所示，在△ABC中，已知BD＝2DC，AM＝3MD，过M作直线交AB，AC于P，Q两点．则＝________．三、解答题（共4题；共20分）14.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2=BC·BE.证明：△BCD∽△BDE.15.如图，直线，直线相交于点，且分别与直线相交于点和点，已知，，，，求的长度．16.已知：如图，中，点分别在边上，且与交于点与交于点．求证：点是线段的中点．17.如图，把一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的边BC上，并且使一条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q，请写出一对相似三角形，并加以证明（图中不添加字幕和线段）四、综合题（共1题；共7分）18.如图1，在正方形ABCD中，E是边BC上的点，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，过点C作CG∥EF交BA（或其延长线）于点G，连接DF，FG.（1）FG与CE的数量关系是________，位置关系是________.（2）如图2，若点E是CB延长线上的点，其它条件不变.①（1）中的结论是否仍然成立？请作出判断，并给予证明；②DE，DF分别交BG于点M，N，若BC＝2BE，求.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】解：A.∵, ,∴∽;B.∵, ,∴∽;D.∵在同一个圆上，∴,又∵,∴, ,∴∽;故剪下的三角形与原三角形不相似的是C.故答案为：C.【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断，即可求解.2.【答案】D【解析】【解答】解：A.1：2≠3：4，故四条线段不成比例，不合题意；B. 1：2≠3：5，故四条线段不成比例，不合题意；C.2：3≠4：5，故四条线段不成比例，不合题意；D. 2：3=4：6，故四条线段成比例，符合题意；故答案为：D．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．3.【答案】C【解析】【解答】解：∵四条线段a，b，c，d是成比例线段，即＝，∴A．利用内项之积等于外项之积，ad=bc，不符合题意，B．利用内项之积等于外项之积，a（b+d）=b（a+c），ab+ad=ab+bc，即ad=bc，不符合题意，C．∵= ，∴＝，符合题意，D．∵＝，∴＝，不符合题意．故答案为：C．【分析】根据比例的性质分别将原式变形，然后判断即可.4.【答案】B【解析】【解答】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；C、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；故答案为：B．【分析】三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等、两角分别相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.5.【答案】C【解析】【解答】解：DE∥BC，EF∥AB四边形BFED是平行四边形DE∥BC AD：BD=5：3又EF∥AB又CF=6即DE=10故答案为：C【分析】根据DE∥BC，EF∥AB，判断出，在根据DE∥BC，EF∥AB，便可以找到分的线段成比例。

第4课时利用三边证相似知|识|目|标1 •通过动手操作、思考、归纳，理解相似三角形的判定定理 三角形相似. 2•归纳相似三角形的判定方法，会选择合适的方法证明两个三角形相似.目标一 利用三边对应成比例证三角形相似例 1 教材例 8 针对训练已知 AB= 3.5 , BC= 2.5 , CA= 4, A' B'= 24.5 , B' C'= 17.5 ,C A'= 28,试说明：△ ABCo ^ A B C .【归纳总结】 利用三边成比例判定两个三角形相似的步骤(1)排序：将三角形三边的长按照从小到大 (或从大到小的顺序排列);(2) 计算：计算大边与大边的比，中边与中边长的比，小边与小边的比;标突破氐有的放矢3,并能运用其证明两个(3) 判断：观察三边对应的比值是否相等，若相等，则对应的两个三角形相似，若不相等，则对应的两个三角形不相似.目标二 会选择合适的方法证明两个三角形相似例2教材补充例题如图 3- 4 — 12所示，在△ ABC 中, P 为AB 上一点，则下列四个条件： ①/ ACP=Z B;②/ APC=/ ACB ③ AC = AP- AB ④ AB- CP= AP- CB 其中能判定△ APC 和△ ACB 相似的条件有 _____________ .(填序号)【归纳总结】 证明两个三角形相似的常规思路有平行截线 ---- 用预备定理另一对等角 有一对等角，找j等角的邻边对应成比例，夹角相等有两边对应成比例，找第三边也成比例证明两个三角形相似的常规思路.有一对直角 一锐角相等、总结反思\ __________________________________ 小结感悟厂小结知识点相似三角形的判定定理 3 ___________________ 的两个三角形相似. 几何语言：在△ ABC 与厶DEF 中，AB BC AC直角三角形，找£#丄」宀亠t 厂两边对应成比例⑩角相等等腰三角形，找* 一对底角相等虑和腰对应成比例'Dh EF=DF，•••△ ABC^A DEF.［点拨］相似三角形的判定定理中，预备定理（平行截相似）与判定定理1（两角定相似）运用最广，其次是判定定理2（两边成比例，夹角相等判定相似 ），相比之下，判定定理3（三 边成比例判定相似）用得较少•在找三角形相似的条件时，优先考虑角相等或平行关系，其 次考虑边成比例.广反思' ------ ------- >要做两个三角形的框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4, 5, 6，另一个三角形框架的一边长为2,欲使这两个三角形相似，求另一个三角形框架的另两边长.详解详析【目标突破】例2①②③■备选题型相似三角形的多解问题边角的讨论来求解.常见类型：（1）对应边不确定；（2）对应角不确定；（3）图形的位置不确定.例一个铝质三角形框架三条边长分别为 24 cm 30 cm 36 cm 要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长分别为27 cm, 45 cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从解：因为 AB= 3.5 , BC = 2.5 , CA= 4, A B'= 24.5 , B' C'= 17.5 , C' A'=28,所以AB A' B'3.5 _ 1 BC245 = 7, B' C'= - CA =—=-所以—AB17.5 7, C A 287，所以 A B'BC B'C'CAC' A，所以△ ABC^A A B' C' 方法技巧：相似三角形的多解问题经常出现,这类问题的特征是几何图形不确定,通过另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，截法有()A. 0种B. 1种 C 2种 D. 3种合题意，舍去.假设以45 cm 为一边，把27 cm 截成两段，设这两段长分别为x cm y cn (x<y)，则可24 30 36得—=—=45(注：45 只能是最大边长)，解得 x = 30, y = 37.5 , x + y = 30 + 37.5 = 67.5>27 , 不合题意，舍去.综上可知，截法只有一种. 【总结反思】［小结］知识点 三边成比例［反思］解：题中没有指明边长为 2的边与原三角形的哪条边对应，所以应分类讨论:5(1)若边长为2的边与边长为4的边对应，则另两边长分别为 。

27.2.3 相似三角形的周长与面积
1. （2013重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3:4，则△ABC与△DEF的面积
比为（）
A．4:3 B．3:4 C．16:9 D．9:16
2. 若△ABC∽△DEF，它们的面积比为4:1，则△ABC与△DEF的相似比为（）
A．2:1 B．1:2 C．4:1 D．1:4
3. 已知△ABC的三条边长分别为2 cm，5 cm，6 cm，现要利用长度为30 cm
和60 cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以
其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余
料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这
个三角形木架的三边长度分别为（）
A．10 cm，25 cm，30 cm
B．10 cm，30 cm，36 cm或10 cm，12 cm，30 cm
C．10 cm，30 cm，36 cm
D．10 cm，25 cm，30 cm或12 cm，30 cm，36 cm
4. 已知AB//CD，AC与BD交于点O，AO:AD=2:5，若△AOB的周长为12 cm，则△COD的周长是______ .
5. 三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图所示，其中三角尺所在平面与墙面平行）．现测
得OA＝20 cm，OA′＝50 cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是．
参考答案
1．D
2．A
3．D
4．18 cm
5．2:5。

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1 / 41《利用三边判定三角形相似定理》A卷一、单项选择题(共2题,共30分）1。

下列条件，能使△ABC和△A1B1C1,相似的是( ）A.AB=2.5,BC=2，AC=3；AlBl= 3，B1C1=4， A1C1 =6B。

AB=2，BC=3,AC=4;A1B1=3,B1C1=6,A1C1=C.AB=10，BC=AC=8 ；A1B1=，B1C1=AlCl=D.AB=1,BC=，AC=3,A1B1=，B1C1=2，A1C1=2。

如图，有四个4×4的正方形网格（每个网格中的小正方形边长都是1），每个网格中均有一个“格点三角形”（三角形的顶点都在小正方形的顶点上)，则图中“格点三角形”是相似三角形的是( )2 / 42A.①③B.①②C。

②③ D。

②④二、填空题（共2题，共28分)1.如图，已知,∠BAD= 20°，∠DAE= 60°,则∠DAC的度数为_______.2。

△ABC 的三边长分别为，，3，△的两边长分别为1和，当△的第三条边的长为________时，△ABC 与△相似。

三、解答题（共3题，共42分)1.如图，四边形ABEG,HFCD都是正方形.请你在图中找出一对相似比不等于1的相似三角形,并说明理由.3 / 432。

27.2.3 利用三边判定三角形相似定理基础训练知识点1 用三边对应成比例判定两三角形相似1.若△ABC和△A'B'C'满足下列条件,其中使△ABC与△A'B'C'相似的是( )A.AB=2 cm,BC=2 cm,AC=3 cm;A'B'=6 cm,B'C'=4 cm,A'C'=6 cmB.AB=2 cm,BC=3 cm,AC=4 cm;A'B'=3 cm,B'C'=6 cm,A'C'= cmC.AB=10 cm,BC=AC=8 cm;A'B'= cm,B'C'=A'C'= cmD.AB=1 cm,BC= cm,AC=3 cm;A'B'= cm,B'C'=2 cm,A'C'= cm2.如图,有四个4×4的正方形网格(每个网格中的小正方形边长都是1),每个网格中均有一个“格点三角形”(三角形顶点在小正方形的顶点上),是相似三角形的是( )A.①③B.①②C.②③D.②④3.下列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与图中△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )4.如图所示,在正方形网格上有6个三角形:①△ABC;②△BCD;③△BDE;④△BFG;⑤△FGH;⑥△EFK.②~⑥中与①相似的是( )A.②③④B.③④⑤C.④⑤⑥D.②③⑥知识点2 三边对应成比例定理的应用5.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm,△DEF的一边长为4 cm,若这两个三角形相似,则△DEF的另两边长可能分别是( )A.2 cm,3 cmB.4 cm,5 cmC.5 cm,6 cmD.6 cm,7 cm6.如图所示,若A,B,C,P,Q,甲,乙,丙,丁都是方格纸中的格点,为使△PQR∽△ABC,则点R应是甲,乙,丙,丁四点中的( )A.甲B.乙C.丙D.丁7.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4,5,6,另一个三角形框架的一边长为2,则它的另外两边长分别为( )A.2.5,3B.,C.1.6,2.4D.2.5,3或,或1.6,2.48.如图,点A,B,C,D,E,F分别是小正方形的顶点,在△ABC与△DEF中,下列结论成立的是( )A.∠BAC=∠EDFB.∠DFE=∠ACBC.∠ACB=∠EDFD.这两个三角形中没有相等的角9.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形三边长分别是3,4及x,那么x的值( )A.只有1个B.可以有2个C.可以有3个D.有无数个10.在方格纸中,每个小方格的顶点称为格点,以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形,如图所示的5×5的方格纸中,要作格点△ABC 与△OAB相似(相似比不能为1),则点C的坐标是 .提升训练考查角度1 利用全等证三边的比相等判定两三角形相似11.如图,D,E,F分别是等边三角形ABC三边上的点,AE=BF=CD.求证:△ABC∽△DEF.考查角度2 利用相似证三边的比相等判定两三角形相似12.如图,O为△ABC内一点,点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,求证:△DEF∽△ABC.考查角度3 利用网格求各边长判定相似三角形13.如图,网格图中每个方格都是边长为1的正方形,若A,B,C,D,E,F 都是格点,试说明△ABC∽△DEF.考查角度4 利用相似三角形的性质解决实际应用问题(分类讨论思想) 14.一个钢筋三脚架边长分别是20 cm,50 cm,60 cm,现在要做一个与其相似的钢筋三脚架,而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另两边,有几种不同的截法?15.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,P1,P2,P3,P4,P5是△DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题:(1)证明△ABC为直角三角形;(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;(3)画一个三角形,使它的三个顶点为P1,P2,P3,P4,P5中的3个格点并且与△ABC相似并予以证明.探究培优拔尖角度1 利用相似三角形的判定解坐标系中有关相似的问题16.如图,在平面直角坐标系中,A(1,0),B(3,0),C(0,3),D(2,-1),P(2,2).(1)△ABC与△ADP相似吗?说明理由;(2)在图中标出点D关于y轴的对称点D',连接AD',CD',判断△ACD'的形状,并说明理由;(3)求∠OCA+∠OCD的度数.拔尖角度2 利用相似三角形解与二次函数综合问题17.如图所示,已知抛物线与x轴交于A(-1,0),E(3,0),与y轴交于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)设(1)中抛物线顶点为D,△AOB与△DBE是否相似?若相似,请给予说明;若不相似,请说明理由.参考答案1.【答案】B　2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】D9.【答案】B　解：当直角边长为6,8,且另一个与它相似的直角三角形中3,4也为直角边时,x的值为5;当8,4为对应边的长且为两直角三角形的斜边长时,x的值为,故x的值可以为5或.10.错解1:(4,4);错解2:(5,2)诊断:解此题的关键是找出C点位置,有的同学往往会因考虑不周而漏掉其中一种情况.正解:(4,4)或(5,2)11.证明:∵△ABC是等边三角形,AE=BF=CD,∴BE=CF=AD,∠A=∠B=∠C.∴△ADE≌△BEF≌△CFD.∴EF=FD=ED,即△DEF是等边三角形.又∵△ABC是等边三角形,∴△ABC∽△DEF.12.证明:由三角形的中位线定理得,===,∴△DEF∽△ABC.13.解:因为AC=,BC=,AB=4,DF=2,EF=2,DE=8,所以=, =,=,所以==,所以△ABC∽△DEF.解：利用勾股定理先求出两个三角形各边的长,然后求出对应边的比,再判断是否相似.14.解:由题意,易知应从长为50 cm的钢筋上截下两段,设一段长为x cm,另一段长为y cm,则:①==,∴x=12,y=36,x+y=48<50,符合题意;②==,∴x=10,y=25,x+y=35<50,符合题意;③==,∴x=75,y=90,x+y=165>50,不合题意.综上所述,共有两种不同的截法.15.(1)证明:根据勾股定理,得AB=2,AC=,BC=5,显然有AB2+AC2=BC2,根据勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形.(2)解:△ABC和△DEF相似.理由如下:根据勾股定理,得AB=2,AC=,BC=5,DE=4,DF=2,EF=2.∴===,∴△ABC∽△DEF.(3)解:如图,连接P2P5,P2P4,P4P5,则△P2P4P5符合要求.证明:∵P2P5=,P2P4=,P4P5=2,AB=2,AC=,BC=5,∴===,∴△ABC∽△P4P5P2.16.解:(1)△ABC∽△ADP.理由:∵AD=,AB=2,AP=,AC=,PD=3,BC=3,∴===.∴△ABC∽△ADP.(2)如图所示.△ACD'是等腰直角三角形.理由:∵AD'=,AC=,D'C=2,∴AD'=AC,AD'2+AC2=()2+()2=20=D'C2,∴△ACD'是等腰直角三角形.(3)∵点D与点D'关于y轴对称,∴∠OCD=∠OCD',∴∠OCA+∠OCD=∠OCA+∠OCD'=∠ACD'=45°.17.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.把A,B,E三点的坐标分别代入,得解得∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.(2)相似.由(1)可求出点D坐标为(1,4),易求出OA=1,OB=3,AB=,BD=,BE=3,DE=2,∴===,∴△AOB∽△DBE.。