高中数学导数单元测试试题 (1)

数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个1 12．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在1同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是()C．8D．423．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( )ππ3A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π)3 π 3C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π]14．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()3 3A．m≥2 B．m＞23 3C．m≤2 D．m＜2x2 25．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0＋3 －f x 06．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx＝1，Δx→0则 f ′(x0)等于( )A．1 B．0C．3x＋97．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为()A．x＋y＝0B．x＋25y＝0C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0D．以上皆非8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0 时，f ( x) 是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数13 29．若a>2，则方程3x －ax ＋1＝0 在(0,2) 上恰好有 ()A．0 个根B．1 个根C．2 个根D．3 个根1 10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s＝4t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1 s 末B．0 sC．4 s 末D．0,1,4 s 末x2，x∈[0，1]，2f(x) d x 等于 () 11．设f ( x) ＝则2－x，x∈ 1，2] ，0D．不存在sin x sin x1 sin x2 12．若函数 f(x) ＝x，且 0<x1<x2 <1，设 a＝x1 ，b＝x2 ，则 a，b 的大小关系是 ( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )1 3 213．若 f(x) ＝3x －f ′(1)x ＋x＋5，则 f ′(1) ＝ ________.π π14．已知函数 f(x) 满足 f(x) ＝f( π－x) ，且当 x∈ －2，2 时，f(x) ＝x＋sin x，设a＝f(1) ，b＝f(2) ，c＝f(3) ，则a、b、c 的大小关系是 ________．15．已知函数f(x) 为一次函数，其图像经过点(2,4) ，且1f(x) d x＝3，则函数f(x) 的解析式为________．16．(2010 ·江苏卷) 函数2y＝x(x＞0)的图像在点 2(a k，a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*. 若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分) 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12 分) 已知函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 上单调递增，在区间 [1,2) 上单调递减．(1)求 a 的值；(2)若点 A(x0，f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上，求证：点 A关于直线x＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19．(12 分) 设 x＝－ 2 与 x＝4 是函数 f(x) ＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数 a，b；(2)试判断 x＝－ 2，x＝ 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12 分) 已知 f(x) ＝ax3－6ax2＋b，x∈[ －1,2] 的最大值为 3，最小值为－ 29，求 a，b 的值．21．(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) ＝ax3＋x2＋ bx( 其中常数a，b∈R) ，g( x) ＝f ( x) ＋f′(x) 是奇函数．(1)求 f ( x)的表达式；(2)讨论 g( x)的单调性，并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1－x22．(12 分) 已知函数f ( x) ＝ln( ax＋1) ＋1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若 f ( x)在 x＝1处取得极值，求 a 的值；(2)求 f ( x)的单调区间；(3)若 f ( x)的最小值为1，求 a 的取值范围．参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1，x2，x3且 a＜x1＜x2＜x3＜b，则 f ( x) 在( a，x1) ，( x2，x3) 上递增，在 ( x1，x2) ，( x3，b) 上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)＝2x4－2x3＋3m，所以 f ′(x)＝2x3－6x2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0或 x＝3，经检验知 x＝3是函数的一个最27小值点，所以函数的最小值为 f (3)＝3m－2.不等式 f ( x)＋9≥0恒成27 3立，即 f ( x)≥－9恒成立，所以3m－2≥－9，解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)＝cos2x－cos x－1，∴f′(x)＝－2sin x·cos x＋sin x＝sin x·(1－2cos x)．令 f ′(x)>0，结合选项，选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) ＝3x －ax ＋1，则2f ′(x )＝x －2ax ＝x ( x －2a ) ，当 x ∈(0,2) 时， f ′(x )<0，f ( x ) 在(0,2) 上为减函数，又 f (0) f (2) ＝8 111 3－4a ＋1 ＝ 3 －4a <0，f ( x ) ＝0 在(0,2) 上恰好有一个根，故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析 数形结合，如图．2f(x) d x ＝ 1x 2d x ＋ 2(2 －x) d x0 11 3 11 22＝ 3x＋ 2x －2x11 1＝ 3＋(4 －2－2＋2)5＝ 6，故选 C .12. 答案Af ′(x) ＝x cos x －sin x解析 x 2， 令 g(x) ＝x cos x －sin x ，则g ′(x) ＝－ x sin x ＋cos x －cos x ＝－ x sin x.∵0<x<1，∴ g ′(x)<0 ，即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数，得 g(x)<g(0) ＝0，故 f ′(x)<0 ，函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数，得 a>b ，故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) ＝ x －2f ′(1)x ＋ 1，令 x＝1，得 f ′(1) ＝3.14. 答案 c<a<b解析f(2) ＝ f( π－2) ， f(3) ＝ f( π－ 3) ，因为 f ′(x) ＝ 1＋π ππcos x≥0，故f(x)在－2，2上是增函数，∵2 >π－2>1>π－3>0，∴f( π－2)>f(1)>f( π－3) ，即 c<a<b.2815.答案 f(x) ＝3x＋3解析设函数 f(x) ＝ax＋b(a ≠0) ，因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ，所以有 b＝4－2a.∴1 f(x) d x＝ 1 (ax ＋4－2a) d x0 01 2 1 1＝[ ax ＋(4 －2a)x] | 0＝a＋4－2a＝1.2 22 8 2 8∴a＝3. ∴b＝3. ∴f(x) ＝3x＋3.16. 答案21解析2 2∵y′＝2x，∴过点( a k，a k)处的切线方程为y－a k＝2a k( x1－a k)，又该切线与 x 轴的交点为( a k＋1,0)，所以 a k＋1＝2a k，即数列{ a k}1是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴ a3＝4，a5＝1，∴ a1＋a3 ＋a5＝21.17. 解析抛物线 y ＝x －x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与 x 轴所围图形面积 S ＝ 12) d x ＝x 2 x 3 11 (x －x 2 －3 0＝2－1 13＝6.y ＝x －x 2，又 由此可得抛物线 y ＝x －x 2 与 y ＝kx 两交点的横y ＝kx ，S－ 2 x 3 －坐标 x 3＝ ， 4＝ － ，所以 ＝ 1-k (x － x 2 kx) d x ＝1 k x － 1k －0 x 1 k 2 02313＝6(1 －k) .3又 S ＝ ，所以 (1 －k) 3＝1，∴ k ＝1－ 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 单调递增，在区间 [1,2) 单调递减，∴x ＝1 时，取得极大值，∴ f ′(1) ＝ 0.又 f ′(x) ＝ 4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝ 0? a ＝ 4.(2) 点 A(x0，f(x0)) 关于直线 x ＝1 的对称点 B 的坐标为 (2 －x0， f(x0)) ，f(2 －x0) ＝(2 －x0)4 －4(2 －x0)3 ＋4(2 －x0)2 －1＝ (2 －x0)2[(2 －x0) －2]2 －1＝ x 40－4x30＋ ax20－ 1＝f(x0) ，∴A 关于直线 x ＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19.解析 f ′(x) ＝3x2＋2ax＋b.(1) 由极值点的必要条件可知：12－4a＋b＝0，f ′( － 2) ＝f ′(4) ＝ 0，即48＋8a＋b＝0，解得 a＝－ 3，b＝－ 24.或f ′(x) ＝ 3x2＋2ax＋b＝3(x ＋2)(x －4)＝3x2－6x－24，也可得 a＝－ 3，b＝－ 24.(2) 由 f ′(x) ＝ 3(x ＋2)(x －4) ．当 x＜－ 2 时， f ′(x) ＞ 0，当－ 2＜x＜4 时， f ′(x) ＜ 0. ∴x＝－ 2 是极大值点，而当x＞4 时， f ′(x) ＞ 0，∴x＝4 是极小值点．20.解析 a≠0( 否则 f(x) ＝b 与题设矛盾 ) ，由f ′(x) ＝ 3ax2－12ax＝0 及 x∈[ － 1,2] ，得 x＝0. (1) 当 a＞0 时，列表：x ( －1,0) 0 (0,2)f ′(x) ＋0 －f(x) 增极大值 b 减由上表知， f(x) 在[ － 1,0] 上是增函数，f(x) 在[0,2] 上是减函数．则当 x＝0 时， f(x) 有最大值，从而b＝3.又f( －1) ＝－ 7a＋3，f(2) ＝－ 16a＋3，∵a＞0，∴ f( －1) ＞f(2) ．从而 f(2) ＝－ 16a＋3＝－ 29，得a＝2.(2)当 a＜0 时，用类似的方法可判断当 x＝0 时 f(x) 有最小值．当x＝2 时， f(x) 有最大值．从而 f(0) ＝b＝－ 29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－ 2.综上， a＝ 2，b＝3 或 a＝－ 2，b＝－ 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) ＝ 3ax2＋2x＋b. 因此g( x) ＝f ( x) ＋f′(x)＝ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b.因为函数 g( x)是奇函数，所以g(－x)＝－ g( x)，即对任意实数x，有 a(－ x)3＋(3 a＋1)(－x)2＋( b ＋2)( －x) ＋b＝－ [ ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b] ，从而 3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－1，b＝0，因此f ( x) 的解析式为f ( x) ＝－x3＋x2. 331(2)由(1) 知g( x) ＝－1x3＋2x，所以g′(x) ＝－x2＋2. 3令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x<－2或x> 2时，g′(x)<0，从而 g( x)在区间(－∞，－2]，[ 2，＋∞)上是减函数；当－ 2<x< 2时，g′(x)>0 ，从而g( x) 在[ － 2， 2] 上是增函数．由前面讨论知， g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2 时取得，而g(1)5＝3，g( 2) ＝4 23，g(2)4＝3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) ＝4 2，最小值为3g(2)4＝3.22. 分析解答本题，应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．a 2 ax2＋a－2解析 (1) f′(x) ＝ax＋1－1＋x 2＝ax＋1 1＋x 2，∵f ( x)在 x＝1处取得极值，2∴f ′(1)＝0，即 a·1＋a－2＝0，解得 a＝1.(2) f′(x) ＝ax2＋a－22，ax＋1 1＋x∵x≥0， a>0，∴ ax＋1>0.①当 a≥2时，在区间[0，＋∞)上， f ′(x)>0，∴f( x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当 0<a<2 时，由 f ′(x)>0，解得 x> 2－a a.由 f ′(x)<0，解得 x< 2－a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2－a 2－a a ) ，单调增区间为 ( a，＋∞ ) ．(3) 当a≥2时，由 (2) ①知，f ( x) 的最小值为f (0) ＝1；当 0<a<2，由 (2) ②知，f ( x) 在x＝2－aa 处取得最小值，且2－af ( a )< f (0) ＝1.综上可知，若 f ( x)的最小值为1，则 a 的取值范围是[2，＋∞)．。

一、选择题1．已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（ ）A ．0B ．2C ．2019D ．20202．已知函数2()ln f x a x x =+，0a >，若曲线()y f x =在点(1,1)处的切线是曲线()y f x =的所有切线中斜率最小的，则a =（ ）A ．12B ．1CD ．23．已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．()1,+∞C ．()0,1D ．[)1,+∞4．已知函数()=x e xf x x+，1(ln )a f e =，1()2b f =，1()c f e =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a >>5．记函数()cos2f x x =的导函数为()f x '，则函数()()()g x x f x '=+在[0,]x π∈内的单调递增区间是（ ）A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．设函数()21ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,∞+ D ．()(),10,-∞-+∞7．已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-9．已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)16f =，且()f x 的导函数'()41f x x <-，则不等式2()21f x x x <-+的解集为（ ） A ．{}|33x x -<< B ．{}|3x x >- C ．{}|3x x >D ．{|3x x <-或3x10．已知函数()f x 的导函数()f x ，且满足2()32(2)f x x xf '=+，则(5)f '=（ ） A ．5B ．6C ．7D ．-1211．已知函数2()sin cos f x x x x x =++，则不等式1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<的解集为（ ） A ．(,)e +∞B ．(0,)eC ．1(,)e eD ．1(0,)(1,)e e12．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()1xf x '>，则（ ） A ．()()21ln 2f f -< B ．()()21ln 2f f -> C ．()()211f f -<D ．()()211f f ->二、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，若对任意的正实数，()()()()220,xf x f x g x x f x '+<=，则不等式()(12x g g ->的解集为______ 14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()xf x f x '<，若()10f =，则不等式()0f x x>的解集为________. 15．函数32()22=-f x x x 在区间[1,2]-上的最大值是___________.16．若点()()()112212,,,A x y B x y x x <是函数1,1()ln ,1x e x f x x x ⎧-+=⎨>⎩的图象上任意两点，且函数()f x 分别在点A 和点B 处的切线互相垂直，则12x x 的最小值为______． 17．设（1+ax ）2020＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 2019x 2019+a 2020x 2020,若a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a ,则实数a ＝_______. 18．已知函数()331xf x x e =++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--的值为_______.19．已知函数()f x axlnx =，()x 0,∞∈+，其中a 为实数，()f'x 为()f x 的导函数，若()f'e 2(e 2.71828==⋯是自然对数的底数)，则a 的值为______．20．函数sin x y x e =+在点(0,1)处的切线方程是__________．三、解答题21．已知函数()1ex f x a +=，()ln1xg x a=-，其中0a >. （1）若1a =，在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点O 分别作函数()y f x =与()y g x =的图象的切线1l ，2l ，求1l ，2l 的斜率之积；（2）若()()f x g x ≥在区间()0,∞+上恒成立，求a 的最小值. 22．已知函数()331f x x x =-+.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.（3）求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.23．设函数32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f --的切线方程为123y x =+，求a ，b 的值； （2）若()f x 在3x =处取得极值，求a 的值； （3）若()f x 在(,0)-∞上为增函数，求a 的取值范围.24．已知函数()3ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.25．已知函数()ln f x ax x b =+，()23g x x kx =++，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为1y x =-，a ，b ，R k ∈．（1）若函数()f x 在(),b m 上有最小值，求a ，b 的值及m 的取值范围； （2）当1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，其中 2.718e =⋅⋅⋅，e 为自然对数的底数，若关于x 的不等式()()20f x g x +≥有解，求k 的取值范围．26．已知函数f （x ）＝ax 3+bx +c 在x ＝2处取得极值为c ﹣16. （1）求a 、b 的值；（2）若f （x ）有极大值28，求f （x ）在[﹣3，3]上的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值. 【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++，所以，()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+， ()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+，函数()f x '的定义域为R ，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ++-+'==+， 所以，函数()f x '为偶函数，因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数； （2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.2．D解析：D 【分析】()y f x =的所有切线的斜率即为()2af x x x'=+（0x >）的值域，由题意知当1x =时()f x '取得最小值，由基本不等式可知()2a x f x x '=+≥=，当且仅当2ax x =即22a x =时()f x '取得最小值，可得2a = 【详解】 因为2()ln f x a x x =+，定义域为()0,∞+，所以()2af x x x'=+， 由导数的几何意义可知：当1x =时()f x '取得最小值， 因为0a >，0x >，所以()2a x f x x '=+≥=， 当且仅当2ax x=即22a x =时()f x '取得最小值， 又因为1x =时()f x '取得最小值，所以2212a =⨯=， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由导数的几何意义可得当1x =时()2af x x x'=+取得最小值，再利用基本不等式求()f x '取得最小值时满足2ax x=即22a x =，即可求出a 的值. 3．D解析：D 【分析】根据条件()()12122f x f x x x ->-可变形为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-，构造函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-，利用其为增函数即可求解. 【详解】 根据1212()()2f x f x x x ->-可知112212()2[()]20f x x f x x x x --->-， 令()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>- 由112212()2[()]20f x x f x x x x --->-知()g x 为增函数， 所以()()'200,0ag x x x a x=+-≥>>恒成立， 分离参数得()2a x x ≥-，而当0x >时，()2x x -在1x =时有最大值为1， 故1a ≥. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题由条件()()12122f x f x x x ->-恒成立，转化为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-恒成立是解题的关键，再根据此式知函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-为增函数,考查了推理分析能力，属于中档题. 4．B解析：B 【分析】求出()f x 的导数，根据导数判断出函数的单调性，再根据111ln ,,2e e的大小关系即可判断. 【详解】()=x e xf x x+，0x ≠()()()()2211xx x e x e x e x f x x x+-+-'∴==， 当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，则()f x 单调递减， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增，11012e <<<，112f f e ⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且1112f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 1ln 10e =-<，()11ln 111f f e e ⎛⎫∴=-=-< ⎪⎝⎭，111ln 2f f f e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c b a >>.故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，注意函数的定义域为{}0x x ≠，故单调区间有3个，故在判断1(ln )a f e=的大小的时候应从函数值判断，而不能直接利用单调性.5．C解析：C 【分析】先对函数()f x 求导，再利用辅助角公式化简，然后利用正弦函数图像和性质即可分增区间. 【详解】()cos2f x x =， ()'2sin 2f x x ∴=-，2()2sin 24sin 23g x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，令2222232k x k πππππ-+≤+≤+， 解得71212k x k ππππ-+≤≤-+， ()g x ∴在[]0,π内的递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C . 【点睛】本题主要考查的是正弦复合函数的单调性以及单调区间的求解，以及复合函数的导数的求法，熟练掌握正弦函数图像和性质是解决本题的关键，是中档题.6．B解析：B 【详解】()21ln 2f x x ax bx =--,,,由得，()()()1111ax x f x ax a x x+-=-+-=-', 若,由,得,当时,,此时单调递增；1x > 时,,此时单调递减；所以是的极大值点．若,则由,得或．时的极大值点, ,解得．综上：,的取值范围时．故选B ．【点晴】本题是一道关于函数极值的题目,考虑运用导数求函数的极值．对求导,得,由得,将代入到导函数中,可得()()()1111ax x f x ax a x x+-=-+-=-',接下来分和两种情况,结合函数的单调性,分别求出的极大值点,从而建立的不等式求解即可．7．A解析：A 【分析】利用函数的定义域和函数的值域排除BD ，通过函数的单调性排除C ，推出结果即可. 【详解】令()ln 1g x x x =--，则11()1x g x x x-'=-=， 由()0g x '>得1x >，即函数()g x 在(1,)+∞上单调递增， 由()0g x '<得01x <<，即函数()g x 在(0,1)上单调递减， 所以当1x =时，()()min 10g x g ==， 于是对任意(0,1)(1,)x ∈+∞，有()0g x >，则()0f x >，故排除BD ，因为函数()g x 在()0,1单调递减，则函数()f x 在()0,1递增，故排除C.【点睛】本题考查利用导数对函数图象辨别，属于中档题.8．D解析：D 【分析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线， 当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-， 故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.9．C解析：C 【分析】根据题意，设2()()21g x f x x x =-+-，求导分析可得()0g x '<，即函数()g x 在R 上为减函数，则原不等式可以转化为()()3g x g <，结合函数的单调性分析可得答案．解：根据题意，设2()()21g x f x x x =-+-，其导数()()41g x f x x '='-+， 又由()41f x x '<-，即()410f x x '-+<， 则()0g x '<，即函数()g x 在R 上为减函数，又由f （3）16=，则g （3）f =（3）18310-+-=， ()()22()21()2103f x x x f x x x g x g <-+⇒-+-<⇒<，又由函数()g x 为减函数，则有3x >，则不等式2()21f x x x <-+的解集为{|3}x x >； 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．10．B解析：B 【分析】将()2f '看出常数利用导数的运算法则求出()f x '，令2x =求出()2f '代入()f x '，令5x =求出()5f '即可．【详解】 解：()2()322f x x xf '=+，()()622f x x f '∴=+'， ()(2)1222f f '∴=+'(2)12f '∴=- ()624f x x '∴=- (5)65246f '∴=⨯-=故选B ． 【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，解题的关键是弄清()2f '是常数，属于基础题．11．C解析：C 【分析】先判断出()f x 为R 上的偶函数，再利用当0x >时，()'0f x >得到函数的单调性，从而可解原不等式. 【详解】因为()()()()22()sin cos sin cos f x x x x x x x x x f x -=--+-+-=++=，所以()f x 为R上的偶函数，又1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<等价于(ln )(ln )2(1)0f x f x f +--<即：(ln )(1)f x f <，()'()sin cos sin 22cos f x x x x x x x x =+-+=+，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在()0,∞+为增函数，故(ln )(1)f x f <等价于ln 1x <即1ln 1x -<<即1x e e <<，故不等式的解集为1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,，故选C.【点睛】对于偶函数()f x ，其单调性在两侧是相反的，并且()()()f x fx f x ==-，对于奇函数()g x ，其单调性在两侧是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则f ．12．B解析：B 【解析】分析：根据题意，由()1xf x '>可得()()'1f x lnx x='>，构造函数()()g x f x lnx =-，可得()()()110xf x g x f x x x-=-=''>'，故()g x 单调递增，根据单调性可得结论． 详解：令()(),0g x f x lnx x =->， ∴()()()11xf x g x f x x x=''-'-=， ∵()1xf x '>， ∴()0g x '>，∴函数()g x 在()0,+∞上单调递增， ∴()()21g g >，即()()2211f ln f ln ->-， ∴()()21ln2f f ->． 故选B ．点睛：本题考查对函数单调性的应用，考查学生的变形应用能力，解题的关键是根据题意构造函数()()g x f x lnx =-，通过判断函数的单调性得到函数值间的关系，从而达到求解的目的．二、填空题13．【分析】根据条件可得函数为偶函数且在单调递减从而可得不等式【详解】当时且为偶函数在单调递减解得：故答案为：【点睛】求解的关键在于构造什么样的函数再利用导数研究函数的单调性进而将不等式进行等价转化解析：1322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】根据条件可得函数()g x 为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，从而可得不等式. 【详解】当0x >时，()''(()2())0g x x xf x f x =+<，且()g x 为偶函数，∴()g x 在(0,)+∞单调递减， ∴()(()111122222x x x g g g g--->⇔>⇔<112x ⇔-<， 解得：1322x <<， 故答案为：1322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】求解的关键在于构造什么样的函数，再利用导数研究函数的单调性，进而将不等式进行等价转化.14．【分析】令对其求导由时可知从而在上单调递减由的奇偶性可得是定义域上的偶函数从而可得出在上的单调性再结合可求出的解集【详解】由题意令则因为时则故在上单调递减又是定义在上的奇函数所以所以即是上的偶函数根 解析：()()1,00,1-【分析】 令()()f xg x x=，对其求导，由0x >时，()()xf x f x '<，可知()0g x '<，从而()g x 在()0,∞+上单调递减，由()f x 的奇偶性，可得()g x 是定义域上的偶函数，从而可得出()g x 在(),0-∞上的单调性，再结合()()110g g -==，可求出()0g x >的解集.【详解】 由题意，令()()f x g x x =，则()()()2xf x f x g x x'-'=， 因为0x >时，()()xf x f x '<，则()()()20xf x f x g x x'-'=<，故()g x 在()0,∞+上单调递减，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，即()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据偶函数的对称性，可知()g x 在(),0-∞上单调递增，且()()()11101f g g -===，所以()()1,00,1x ∈-时，()0g x >.故答案为：()()1,00,1-.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的解集，解题关键是求出函数的单调性.本题通过构造函数()()f xg x x=，求导并结合当0x >时，()()xf x f x '<，可求出函数()g x 在()0,∞+上的单调性，再结合函数的奇偶性，可求出()g x 在定义域上的单调性.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．15．8【分析】对函数求导由导数确定单调区间由单调性确定极值再比较极值与函数端点值即可确定函数最值【详解】f′(x)=6x2-4x=2x(3x-2）已知x ∈-12当2≥x>或-1≤x<0时f′(x)>0f解析：8 【分析】对函数求导，由导数确定单调区间，由单调性确定极值，再比较极值与函数端点值，即可确定函数最值. 【详解】f ′(x )=6x 2-4x = 2x (3x -2）， 已知x ∈[-1，2]，当2 ≥ x >23或-1 ≤ x <0时， f ′(x )>0， f （x ）单调递增区间是2[1,0),(,2]3-， 当0<x <23时，f ′(x )<0， f （x ）单调递减区间是2(0,)3，故函数在0x =处取极大值，f （0）=0，又f (2)=8，故 f （x ）的最大值是8. 故答案为：8 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了计算能力，属于基础题目.16．【分析】先判定再根据切线相互垂直可得的关系利用该关系式把转化为一元函数利用导数可求其最小值【详解】当时当时因为故所以即其中又令则当时；当时故故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值解析：1e-【分析】先判定()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，再根据切线相互垂直可得12,x x 的关系，利用该关系式把12x x 转化为一元函数，利用导数可求其最小值.【详解】当1x <时，()0xf x e '=-<，当1x >时，()10f x x'=>， 因为()()121f x f x ''=-，故()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，所以1211x e x -⨯=-即12x x e =，其中11<x . 又1121xx x x e =，令(),1tg t te t =<，则()()1,1tg t t e t '=+<，当1t <-时，()0g t '<；当11t -<<时，()0g t '>， 故()()min 11g t g e=-=-， 故答案为：1e-. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，注意根据导数的性质确定切点的位置，而多元函数的最值问题一般可转化为一元函数的最值问题，后者可利用导数来处理.17．0【分析】结合所求式子与已知的式子特点可以对原函数求导然后利用赋值法求解即可【详解】对已知的式子两边同时求导可得：2020a （1+ax ）2019令x ＝1则：2020a （1+a ）2019＝a1+2a2解析：0 【分析】结合所求式子与已知的式子特点,可以对原函数求导,然后利用赋值法求解即可. 【详解】对已知的式子两边同时求导可得：2020a （1+ax ）2019220191232020232020a a x a x a x =++++,令x ＝1则：2020a （1+a ）2019＝a 1+2a 2+3a 3+…+2020a 2020, 又因为：a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a , 所以（1+a ）2019＝1,所以a ＝0. 故答案为：0. 【点睛】本题考查了二项式定理的系数的性质、赋值法的应用.同时考查了学生的运算能力,属于中档题.18．3【分析】根据解析式可得到解析式可求得；求导后可得到从而代入的值可求得结果【详解】故答案为：【点睛】本题考查根据函数的性质求解函数值的问题涉及到导数的运算关键是能够通过函数解析式得到原函数和导函数的解析：3 【分析】根据()f x 解析式可得到()f x -解析式，可求得()()3f x f x -+=；求导后可得到()()f x f x ''-=，从而代入x 的值可求得结果.【详解】()333311x x x e f x x x e e --=-=-++ ()()3f x f x ∴-+=()()202020203f f ∴+-=()()222223333332121xx x x x x x e e f x x x x e e e e e ---'=+=+=-++++++ ()()f x f x ''∴-= ()()201920190f f ''∴--= ()()()()20202020201920193f f f f ''∴+-+--=故答案为：3 【点睛】本题考查根据函数的性质求解函数值的问题，涉及到导数的运算，关键是能够通过函数解析式得到原函数和导函数的性质.19．1【分析】根据题意求出函数的导数将代入计算可得解可得a 的值即可得答案【详解】根据题意函数则函数若则解可得；故答案为1【点睛】本题考查导数的计算关键是掌握导数的计算公式属于基础题解析：1 【分析】根据题意，求出函数()'f x 的导数，将x e =代入计算可得()'ln 22f e a e a a =+==，解可得a 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，函数()ln f x ax x =，则函数()()()''ln ln 'ln f x a x x ax x a x a =+=+， 若()'2f e =，则()'ln 22f e a e a a =+==， 解可得1a =； 故答案为1． 【点睛】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．20．【解析】分析：求出函数的导数求得切线的斜率由斜截式方程即可得到所求切线的方程详解：的导数为在点（01）处的切线斜率为即有在点（01）处的切线方程为故答案为点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有利用解析：210x y -+=【解析】分析：求出函数sin xy x e =+的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程.详解：sin x y x e =+的导数为'cos x y x e =+， 在点（0,1）处的切线斜率为0cos02k e =+=， 即有在点（0,1）处的切线方程为210x y -+=. 故答案为210x y -+=.点睛：近几年高考对导数的考查几乎年年都有，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，曲线()y f x =在点0x 的导数0'()f x 就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，用导数求切线方程的关键在于求切点坐标和斜率，分清是求在曲线某点处的切线方程，还是求过某点处的曲线切线方程.三、解答题21．（1）1；（2）21e. 【分析】（1）利用导数的运算法则和公式求得1()e x f x +'=，1()g x x'=，得到切线1l ，2l 的斜率∴111ex l k +=，221l k x =，根据两切线都经过原点，求得121,e x x ==，进而求得两直线的斜率之积;（2）问中是典型的无法分离参数的情况，进行转化并构造函数，1()e x F x x +=，转化为()ln 1x F x F a ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，分类讨论，并注意利用导数进一步研究函数()F x 的单调性，当ln 10,x a ->转化为1max ln 1e x x x x a a +⎛⎫≥-⇒≥ ⎪⎝⎭，进而再次造函数令1()ex x x ϕ+=，利用导数研究单调性并求得其最大值，即得a 的最小值. 【详解】解：（1）当1a =时，()1x f x e=＋，()ln 1g x x =-设过原点O 的直线分别切()f x ，()g x 于点()111,P x y ，()222,P x y1()e x f x +'=，1()g x x'=， ∴111e x l k +=，221l k x =且11111122222e e 1e ln 11x x x x x x x x ++⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩ ∴12221e 1el l k k ⋅=⋅=． （2）由1eln 1x xa a+≥-在(0,)+∞上恒成立得∵0a >，∴111eln x x a a a+≥- ln 1eln 1ln 1e (*)xx ax x x x a a a +⎛⎫⎛⎫≥-=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1()e x F x x +=，∴()ln1x F x F a ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭①当ln 10xa-≤时，(*)左边0,>右边0,≤显然成立 ②当ln10,xa->注意到1()(1)e 0x F x x +'=+> ∴()F x 在(0,)+∞上∴1maxln1e x x x x a a +⎛⎫≥-⇒≥ ⎪⎝⎭ 令1()e x x x ϕ+=，11221e e 1()e ex x x x x x x ϕ++++--'==，令()0x ϕ'= 得01x <<时，()0x ϕ'>，()x ϕ↗； 当1x >时，()0x ϕ'<，()x ϕ↘ ∴max 21()(1)x e ϕϕ==，∴21a e ≥．【点睛】本题考查求曲线上某点处的切线的斜率问题和利用导数研究不等式恒成立问题，属中档题，难度一般.关键是要熟练掌握导数的运算法则和求导公式，这是一切导数问题的基础，第（2）问中将不等式整理为为ln 1eln 1ln 1e (*)xx ax x x x a a a +⎛⎫⎛⎫≥-=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1()e x F x x +=，转化为()ln 1x F x F a ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，是难点也是解决问题的关键点，多次构造函数，并利用函数思想进行转化和求解是本题的显著特点，值得好好体会.22．（1）310x y +-=；（2）()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-；（3）最大值为3，最小值为1-. 【分析】（1）对()f x 求导， ()0k f '=，计算()0f 求切点，利用点斜式即可写出切线方程； （2）令()0f x '>可得单调递增区间，令()0f x '<可得单调递减区间； （3）求出()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调性，即可利用单调性求出最值.【详解】()()()233311f x x x x ==+'--，()03k f '==-，因为()01f =，所以切点为()0,1，所以切线方程为()130y x -=--， 即310x y +-=，（2）由()()()2333110f x x x x '=-=+->可得1x >或1x <-，由()()()2333110f x x x x '=-=+-<可得11x -<<，所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞， 单调递减区间为()1,1-，（3）由（2）知()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，[]1,2单调递增，所以31113312228f ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3223213f =-⨯+=， ()3113111f =-⨯+=-，所以()()min 11f x f ==- ，()()max 23f x f == ， 所以函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为1-， 【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数在区间[],a b 上单调递增或递减，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间[],a b 内有极值，则要先求出函数在[],a b 上的极值，再与()f a ，()f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）函数()f x 在区间(),a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.23．（1）0a =，4b =-；（2）3a =；（3）[0,)a ∈+∞.（1）利用导数的几何意义，可得(1)12f '-=，(1)9f -=-，计算整理，即可求得a ，b 的值；（2）令'(3)0f =，即可求得a 的值，检验可得3x =为极值点，即可得答案； （3）令'()0f x =，解得1x a =，21x =，分别求得1a <和1a ≥时，()f x 的单调区间，结合题意，分析推理，即可得答案. 【详解】（1）因为32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，所以2()66(1)6f x x a x a '=-++，由题设可得(1)121212f a '-=+=，(1)959f a b -=-+-=-， 解得0a =，4b =-.（2）因为()f x 在3x =取得极值， 所以(3)12360f a '=-+=，解得3a =.当3a =时，'2()624186(1)(3)f x x x x x =-+=--， 令'()0f x =，解得x=1或3，所以3x =为()f x 的极值点，故3a =满足题意. （3）令()6()(1)0f x x a x '=--=， 得1x a =，21x =. 当1a <时，若(,)(1,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,)a -∞和(1,)+∞上为增函数， 故当01a ≤<时，()f x 在(,0)-∞上为增函数恒成立. 当0a <时，()f x 在(,)a -∞上为增函数，不符合题意， 当1a ≥时，若(,1)(,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞和(,)a +∞上为增函数， 从而()f x 在(,0)-∞上也为增函数，满足题意.综上所述，当[0,)a ∈+∞时，()f x 在(,0)-∞上为增函数. 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间和极值点问题，考查计算求值，分类讨论的能力，属中档题. 24．（1）54a =；（2）单调递减区间是()0,5，单调递增区间是()5,+∞. 【分析】（1）求导，使()12f '=-求解a 的值；（2）将（1）中所求a 的值代入，求解()0f x '>和()0f x '<的区间，从而得出函数()f x 的单调区间.（1）对()f x 求导得()2114a f x x x=--'， 由()f x 在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =， 知()3124f a '=--=-，解得54a =. （2）由（1）知()()53ln 0442x f x x x x =+-->，则()22454x x f x x'--=， 令()0f x '=，解得1x =-或5x =，因为1x =-不在()f x 的定义域()0,∞+内，所以舍去. 当()0,5x ∈时，()0f x '<，故()f x 在()0,5内单调递减； 当()5,x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在()5,+∞内单调递增. 故()f x 的单调递减区间是(0，5)，单调递增区间是()5,+∞. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求解，难度一般.25．（1）1,0,a b =⎧⎨=⎩；1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）2321e e k e -+≥-. 【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a ，b 的方程组，求出a ，b 的值，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值，进而可得m 的取值范围；（2）问题等价于不等式22ln 3x x x k x++≥-在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，设()22ln 3x x x h x x ++=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求导可得函数的最值，进而可得k 的取值范围． 【详解】（1）()()ln 1f x a x '=+，由题意得()()1011f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，解得：10a b =⎧⎨=⎩， 故()ln 1f x x '=+， 当()0f x '>，即1x e>时，()f x 单调递增， 当()0f x '<，即10x e<<时，()f x 单调递减， 因为()f x 在()0,m 上有最小值， 所以m 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）关于x 的不等式()()20f x g x +≥在1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， 即232ln 0x x x kx ++≥+在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， 等价于不等式22ln 3x x x k x++≥-在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， 设()22ln 3x x x h x x ++=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()2223x x h x x+-'∴=-， 当()0h x '>，即11x e<<时，()h x 单调递增， 当()0h x '<，即1x e <<时，()h x 单调递减， 又21321e h e e e -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2e 2e 3e e h ++=-， 所以()()22222211233212420e e e e e e e e h h e e e e e e ---++-+-++⎛⎫-=-==< ⎪⎝⎭， 故()2min 1321e e h x h e e -+⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以2321e e k e-+≥-． 【点睛】本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道中档题.26．（1）1,12a b ==-；（2）最小值为4-，最大值为28.【分析】（1）先对函数()f x 进行求导，根据(2)0f '=，(2)16f c =-，求出a ，b 的值．（2）根据导数可知()f x 在2x =-处取得极大值，即可求出c ，再求出端点处的函数值，即可判断.【详解】（1）因3()f x ax bx c =++ ，故2()3f x ax b '=+，由于()f x 在点2x =处取得极值，故有(2)0(2)16f f c ==-'⎧⎨⎩，即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ，解得112a b =⎧⎨=-⎩； （2）由（1）知 3()12f x x x c =-+，2()312f x x '=-令()0f x '= ，得122,2x x =-=，当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数； 当(2,2)x ∈- 时，()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数， 当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数． 由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-，由题设条件知1628c += ，得12c =，此时(3)921f c -=+=，(3)93f c =-+=，(2)164f c =-=-， 因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-，最大值为28.【点睛】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．。

完整版)导数测试题(含答案)1.已知函数y=f(x)=x^2+1，则在x=2，Δx=0.1时，Δy的值为0.41.2.函数f(x)=2x^2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率为4+4Δx。

3.设f′(x)存在，则曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线与x 轴相交但不垂直。

4.曲线y=-1/x在点(1，-1)处的切线方程为y=x-2.5.在曲线y=x^2上，且在该点处的切线倾斜角为π/4的点为(2,4)。

6.已知函数f(x)=1/x，则f′(-3)=-1/9.7.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(2,∞)。

8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的充要条件。

9.函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有2个。

10.函数f(x)=-x^2+4x+7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是f(3)和f(5)。

11.函数f(x)=x^3-3x^2-9x+k在区间[-4,4]上的最小值为-71.12.速度为零的时刻是0,1,4秒末。

13.已知函数 $y=f(x)=ax^2+2x$，且 $f'(1)=4$，则 $a=3$。

14.已知函数 $y=ax^2+b$ 在点 $(1,3)$ 处的切线斜率为 $2$，则 $b=a+1$。

15.函数 $y=x e^x$ 的最小值为 $-1/e$。

16.有一长为 $16$ m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 $64$ $m^2$。

17.(1) $y'=6x+\cos x$；(2) $y'=\dfrac{1}{(1+x)^2}$；(3)$y'=\dfrac{1}{x}-e^x$。

18.(1) 解方程 $x^2+4=x+10$ 得 $x=3$ 或 $x=-2$，故交点为 $(3,13)$ 或 $(-2,0)$；(2) 在交点 $(3,13)$ 处，抛物线的斜率为 $6$，故该点处的切线方程为 $y=6x-5$。

2021年人教A 版（2019）选择性必修第二册数学第五章 一元函数的导数及其应用单元测试卷（1）一、选择题1. 下列求导运算正确的是( ) A.(sin x )′=−cos x B.(−e x )′=e x C.(ln 1x )′=−1xD.(2x )′=2x2. 过点(−2,1)，且与曲线f (x )=ln x +x 在点(1,f(1))处的切线平行的直线方程为（ ） A.2x +y +3=0 B.2x −y +5=0 C.2x −y −1=0 D.2x +y −2=03. 函数f (x )=12ax 2−(a +2)x +2ln x 单调递增的充分必要条件是( )A.a ≥2B.a =2C.a ≥1D.a >24. 若f(x)=x 2−2x −4ln x ，则f′(x)>0的解集为( ) A.(0, +∞) B.(−1, 0)∪(2, +∞) C.(2, +∞) D.(−1, 0)5. 函数y =x e x在[0, 2]上的最大值是（ ）A.13e B.12e C.1eD.e6. 一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移s 与时间t 的关系是s =13t 3−32t 2−4t ，那么速度为零的时刻是（ ）A.0秒B.1秒末C.4秒末D.1秒末和4秒末7. 若函数f (x )=m ⋅e x −x 2+2x (m <0)在(0,1)上有极值点，则m 的取值范围为（ ） A.(−2,0) B.(−2,−1e )C.(−1e ,0)D.(−1,−1e )8. 已知函数f(x)={2−a 2x,x ≥1,(5−2a)x −16a,x <1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A.(2,52) B.[125,52）C.(2,125]D.(2,73)9. 已知函数f(x)=x +x ln x ，若k ∈Z ，且k(x −1)<f(x)对任意的x >1恒成立，则k 的最大值为（ ） A.5 B.4C.3D.210.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=e −x (x −1)．给出以下命题： ①当x <0时，f(x)=e x (x +1)； ②函数f(x)有三个零点；③若关于x 的方程f(x)=m 有解，则实数m 的取值范围是−1<m <1； ④对∀x 1，x 2∈R ，|f(x 2)−f(x 1)|<2恒成立． 其中，正确命题的个数为( ) A.1个 B.2个C.3个D.4个11. 函数f(x)=x 2+x sin x 的图象大致为( )A. B.C. D.12. 若曲线y =x 3−2x 2+2在点A 处的切线方程为y =4x −6，且点A 在直线mx +ny −1=0（其中m >0，n >0）上，则1m +2n 的最小值为( ) A.4√2 B.3+2√2 C.8√2 D.6+4√2二、填空题13. 设函数f(x)=ax33−bx2+a2x−13在x=1处取得极值0，则a+b=_________.14. 设函数是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________．15. 定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>1−f(x)，f(0)=6，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式e x f(x)>e x+5(其中e为自然对数的底数)的解集为________．16. 已知函数f(x)={|ln x|,0<x≤e，ex,x>e，若0<a<b<c且满足f(a)=f(b)=f(c)，则af(b)+bf(c)+cf(a)的取值范围是________．三、解答题17.(1)已知f(x)=x2+2，请用导数的定义证明：f′(x)=2x.(2)用公式法求下列函数的导数：①y=ln x+cos x；②y=sin2xe x.18. 已知函数y=ax3+bx2，当x=1时，有极大值3．(1)求a，b的值；(2)求函数y的极小值．19. 已知函数f(x)=x2ln x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≥ax−1对任意的x∈(0,+∞)成立，求实数a的取值范围．20. 已知函数f(x)=4x−a ln x−12x2−2，其中a为正实数.(1)若函数y=f(x)在x=1处的切线斜率为2，求a的值；(2)若函数y=f(x)有两个极值点x1，x2，求证：f(x1)+f(x2)<6−ln a.21. 已知函数f (x )=x 2+2x −3，g (x )=k ln x x，且函数f (x )与g (x )的图像在x =1处的切线相同． (1)求k 的值；(2)令F (x )={|f (x )| (x ≤1),g (x ) (x >1),若函数F (x )−m 存在2个零点，求实数m 的取值范围．22. 已知函数f (x )=x sin x +cos x ．(1)判断f (x )在区间(2,3)上的零点个数，并证明你的结论；（参考数据：√2≈1.4，√6≈2.4）(2)若存在x ∈(π4,π2)，使得f (x )>kx 2+cos x 成立，求实数k 的取值范围．参考答案与试题解析2021年人教A版（2019）选择性必修第二册数学第五章一元函数的导数及其应用单元测试卷（1）一、选择题1.【答案】C【考点】导数的运算【解析】利用对数的运算求解即可.【解答】解：A，(sin x)′=cos x，故A错误；B，(−e x)′=−(e x)′=−e x，故B错误；C，(ln1x )′=(−ln x)′=−(ln x)′=−1x，故C正确；D，(2x)′=2x ln2，故D错误.故选C.2.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】暂无【解答】解：f′(x)=1x+1，f′(1)=2，所求直线方程为y−1=2(x+2)，整理为2x−y+5=0.故选B.3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断利用导数研究函数的单调性【解析】先根据导数和函数单调性的关系，求出a的范围，再结合充分必要条件的定义即可判断．【解答】解：由f(x)=12ax2−(a+2)x+2ln x单调递增，可得f′(x)=ax−(a+2)+2x =ax2−(a+2)x+2x≥0，∴ ax 2−(a +2)x +2≥0在x ∈(0,+∞)上恒成立，∴ {a >0,Δ=(a +2)2−8a ≤0,或{a >0,a+22a<0,解得a =2，故函数f (x )=12ax 2−(a +2)x +2ln x 单调递增的充分必要条件是a =2.故选B .4.【答案】 C【考点】导数的加法与减法法则 一元二次不等式的解法【解析】由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式f′(x)>0的解集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项． 【解答】解：由题可得，f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=2x −2−4x ， 令2x −2−4x >0，整理得x 2−x −2>0，解得x >2或x <−1，结合函数的定义域知，f′(x)>0的解集为(2, +∞)． 故选C ． 5. 【答案】 C【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可． 【解答】 解：y′=1−x e x，x ∈[0, 2]，令y′>0，解得：x <1， 令y′<0，解得：x >1，∴ 函数y =xe x 在[0, 1]上单调递增，在[1, 2]上单调递减， ∴ y 最大值=y|x=1=1e . 故选C ． 6.【答案】 C【考点】导数的几何意义位移对时间求导数即是速度，求出位移的导数令其等于零解之． 【解答】解：∵ s =13t 3−32t 2−4t ，∴ v =s′(t)=t 2−3t −4，令v =0得，t 2−3t −4=0，t 1=−1或t 2=4． 故选C ． 7.【答案】 A【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：f ′(x)=m ⋅e x −2x +2(m <0)， 所以f ′(x)在(0,1)上为减函数， 所以{f ′(0)=m +2>0，f ′(1)=me <0,解得−2<m <0. 故选A . 8. 【答案】 B【考点】已知函数的单调性求参数问题 【解析】由题设得函数为增函数，再利用分段函数的单调性得不等式组，进而得解. 【解答】解：由题意得： {5−2a >0，2−a <0，2−a 2≥5−2a −16a ， 解得125≤a <52. 故选B . 9. 【答案】 C【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】本题考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力、推理论证能力.解：由f(x)>k(x−1)，得x+x ln x>k(x−1)对任意的x>1恒成立，即k<x+x ln xx−1恒成立.令ℎ(x)=x ln x+xx−1，得ℎ′(x)=x−ln x−2(x−1)2.令φ(x)=x−ln x−2(x>1)，得φ′(x)=1−1x =x−1x>0，∴函数φ(x)在(1,+∞)上单调递增.∵φ(3)=1−ln3<0，φ(4)=2−2ln2>0，∴方程φ(x)=0在(1,+∞)上存在唯一的实根x0，且满足x0∈(3,4)，∴φ(x0)=0，即x0−ln x0−2=0，即x0−1=ln x0+1.当1<x<x0时，φ(x)<0，则ℎ′(x)<0；当x>x0时，φ(x)>0，则ℎ′(x)>0，∴函数ℎ(x)在(1,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增.∴ℎ(x)min=ℎ(x0)=x0(ln x0+1)x0−1=x0(x0−1)x0−1=x0∈(3,4)，∴k<ℎ(x)min=x0.故整数k的最大值为3.故选C.10.【答案】D【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题函数奇偶性的性质【解析】①设x<0，则−x>0，由函数得性质可得解析式，可判①的真假；①当x<0时，f(x)=e x(x+1)；②作出函数f(x)的图象，由图可判断②的正误；③由②的分析可知，若关于x的方程f(x)=m有解，则实数m的取值范围是−1<m<1，可判断③的正误；④由③知，函数−1<f(x)<1，故有∀x1，x2∈R，|f(x2)−f(x1)|<2恒成立，可判断④．【解答】解：①因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e−x(x−1)，设x<0，则−x>0，所以−f(x)=f(−x)=e x(−x−1)，即f(x)=e x(x+1)，故①正确；②对x<0时的解析式求导数可得，f′(x)=e x(x+2)，令其等于0，解得x=−2，且当x∈(−∞, −2)时，导数小于0，函数单调递减；当x∈(−2, +∞)时，导数大于0，函数单调递增，x=−2处为极小值点，且f(−2)=−e−2>−1，且在x=−1处函数值为0，且当x<−1时函数值为负．又因为奇函数的图象关于原点中心对称，故函数f(x)的图象应如图所示：因为函数的定义域为R，且是奇函数，所以f(0)=0.由图象可知：函数f(x)有3个零点，故②正确；③若关于x的方程f(x)=m有解，则实数m的取值范围是−1<m<1，故③正确；④由于函数−1<f(x)<1，故有∀x1，x2∈R，|f(x2)−f(x1)|<2恒成立，故④正确．故正确的命题为①②③④．故选D．11.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性函数奇偶性的判断函数的图象【解析】根据函数的奇偶性排除B，再根据函数的单调性排除C，D，问题得以解决．【解答】解：∵f(−x)=(−x)2+(−x)sin(−x)=x2+x sin x=f(x)，∴函数f(x)是偶函数，关于y轴对称，故排除B，令g(x)=x+sin x，∴g′(x)=1+cos x≥0恒成立，∴g(x)在R上单调递增，∵g(0)=0，∴f(x)=xg(x)≥0，故排除D，当x>0时，f(x)=xg(x)单调递增，故当x<0时，f(x)=xg(x)单调递减，故排除C．故选A.12.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设A(s,t)，y =x 3−2x 2+2的导数为y ′=3x 2−4x ， 可得切线的斜率为3s 2−4s ， 切线方程为y =4x −6，可得3s 2−4s =4，t =4s −6， 解得s =2，t =2或s =−23，t =−263.由点A 在直线mx +ny −1=0（其中m >0,n >0）， 可得2m +2n =1成立（s =−23,t =−263舍去）， 则1m +2n =(2m +2n)(1m +2n ) =2(3+nm +2m n)≥2 (3+2√n m ⋅2m n)=6+4√2，当且仅当n =√2m 时，取得最小值6+4√2. 故选D .二、填空题 13.【答案】−79【考点】利用导数研究函数的极值 函数在某点取得极值的条件 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：函数f(x)=ax 33−bx 2+a 2x −13，求导得f ′(x)=ax 2−2bx +a 2,因为该函数 在x =1处取得极值0， 故f ′(1)=a −2b +a 2=0,且f(1)=0, 故a =1或a =−23，因为a =1时函数f(x)无极值， 故a =−23，此时b =−19， 故答案为：−79.14.【答案】(−∞, −1)∪(0, 1) 【考点】函数的单调性与导数的关系 【解析】 构造函数g(x)=f(x)x，利用g(x)的导数判断函数g(x)的单调性与奇偶性，画出函数g(x)的大致图象，结合图形求出不等式f(x)>0的解集．【解答】解：设g(x)=f(x)x，则g(x)的导数为：g′(x)=xf′(x)−f(x)x2，∵当x>0时总有xf′(x)<f(x)成立，即当x>0时，g′(x)恒小于0，∴当x>0时，函数g(x)=f(x)x为减函数，又∵g(−x)=f(−x)−x =−f(x)−x=f(x)x=g(x)，∴函数g(x)为定义域上的偶函数.又∵g(−1)=f(−1)−1=0，∴函数g(x)的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式f(x)>0⇔x⋅g(x)>0,⇔{x>0,g(x)>0,或{x<0,g(x)<0,⇔0<x<1或x<−1．∴f(x)>0成立的x的取值范围是(−∞, −1)∪(0, 1)．故答案为：(−∞, −1)∪(0, 1)．15.【答案】(0, +∞)【考点】导数的乘法与除法法则【解析】构造函数g(x)=e x f(x)−e x，(x∈R)，研究g(x)的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g(x)=e x f(x)−e x，(x∈R)，则g′(x)=e x f(x)+e x f′(x)−e x=e x[f(x)+f′(x)−1]，∵f′(x)>1−f(x)，∴f(x)+f′(x)−1>0，∴g′(x)>0，∵e x f(x)>e x+5，∴g(x)>5，又∵g(0)=e0f(0)−e0=6−1=5，∴g(x)>g(0)，∴x>0，∴不等式的解集为(0, +∞).故答案为：(0, +∞)．16.【答案】(e,2e+1 e )【考点】导数求函数的最值分段函数的应用【解析】根据f(x)的函数图象判断a，b，c的范围，利用f(a)=f(b)=f(c)得出a，b，c的关系，得出a+b+c关于a的函数，求出此函数的值域即可．【解答】解：作出f(x)的图象，由0<a<b<c且f(a)=f(b)=f(c)得0<a<1,1<b<e,c>e,∴ab=1,c ln b=e.af(b)+bf(c)+cf(a)=(a+b+c)ln b=(1b+b)ln b+e,令g(b)=(b+1b)ln b+e,(1<b<e),则g′(b)=(1−1b2)ln b+(b+1b)⋅1b,g′(b)=1+ln b+1b2(1−ln b), ∵1<b<e,∴1−ln b>0,ln b>0,∴g′(b)>0,∴g(1)<g(b)<g(e),即e<g(b)<2e+1e.故答案为：(e，2e+1e).三、解答题17.【答案】(1)证明：ΔyΔx=2x+Δx. 当Δx→0时，f′(x)=2x.(2)解：①y′=1x−sin x.②y′=2cos2x⋅e x−sin2x⋅e x(e x)2=2cos2x−sin2xe x.【考点】导数的概念简单复合函数的导数【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：ΔyΔx=2x+Δx. 当Δx→0时，f′(x)=2x.(2)解：①y′=1x−sin x.②y′=2cos2x⋅e x−sin2x⋅e x(e x)2=2cos2x−sin2xe x.18.【答案】解：(1)y′=3ax2+2bx，当x=1时，{3a+2b=0，a+b=3，解得a=−6，b=9.(2)由(1)得：y=−6x3+9x2，∴y′=−18x2+18x.令y′=0，得x=0，或x=1，当x>1或x<0时，y′<0，y单调递减；当0<x<1时，y′>0，y单调递增．∴y min=y(0)=0．【考点】利用导数研究函数的极值【解析】（1）求出y′，由x=1时，函数有极大值3，所以代入y和y′=0中得到两个关于a、b 的方程，求出a、b即可；（2）令y′=0得到x的取值利用x的取值范围讨论导函数的正负决定函数的单调区间，得到函数的极小值即可．【解答】解：(1)y′=3ax2+2bx，当x=1时，{3a+2b=0，a+b=3，解得a=−6，b=9.(2)由(1)得：y=−6x3+9x2，∴y′=−18x2+18x.令y′=0，得x=0，或x=1，当x>1或x<0时，y′<0，y单调递减；当0<x<1时，y′>0，y单调递增．∴y min=y(0)=0．19.【答案】解：(1)∵f(x)=x2ln x，∴f′(x)=2x(ln x+12).令f′(x)=0，则2x(ln x+12)=0，∴x=0（舍）或x=√ee.分析知，当x∈(0,√ee)时，f′(x)<0；当x∈(√ee,+∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)在区间(0,√ee )上单调递减，在区间(√ee,+∞)上单调递增．(2)据题意知，a≤x2ln x+1x对任意的x∈(0,+∞)成立．令g(x)=x 2ln x+1x，则g′(x)=x2ln x+x2−1x2，当x≥1时，g′(x)≥0，当0<x<1时，g′(x)<0，∴函数g(x)在区间(1,+∞)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减，∴g(x)min=g(1)=1，∴a≤1，即所求实数a的取值范围为(−∞,1]．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵f(x)=x2ln x，∴f′(x)=2x(ln x+12).令f′(x)=0，则2x(ln x+12)=0，∴x=0（舍）或x=√ee.分析知，当x∈(0,√ee)时，f′(x)<0；当x∈(√ee,+∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)在区间(0,√ee )上单调递减，在区间(√ee,+∞)上单调递增．(2)据题意知，a≤x2ln x+1x对任意的x∈(0,+∞)成立．令g(x)=x 2ln x+1x，则g′(x)=x2ln x+x2−1x2，当x≥1时，g′(x)≥0，当0<x<1时，g′(x)<0，∴函数g(x)在区间(1,+∞)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减，∴g(x)min=g(1)=1，∴a≤1，即所求实数a的取值范围为(−∞,1]．20.【答案】(1)解：f′(x)=4−ax −x=−x2−4x+ax，f′(1)=3−a=2，所以a的值为1.(2)证明：由(1)知，当0<a<4时，函数y=f(x)有两个极值点x1，x2，且x1+x2=4，x1x2=a.因为f(x1)+f(x2)=4x1−a ln x1−12x12−2+4x2−a ln x2−12x22−2=4(x1+x2)−a ln(x1x2)−12(x12+x22)−4=16−a ln a−12(42−2a)−4=4+a−a ln a.要证f(x1)+f(x2)<6−ln a，只需证a ln a−a−ln a+2>0. 构造函数g(x)=x ln x−x−ln x+2，则g′(x)=1+ln x−1−1x =ln x−1x，g′(x)在(0，4)上单调递增，又g′(1)=−1<0，g′(2)=ln2−12>0，且g′(x)在定义域上不间断，由零点存在定理，可知g′(x)=0在(1，2)上存在唯一实根x0，且ln x0=1x0. 则g(x)在(0，x0)上单调递减，(x0，4)上单调递增，所以g(x)的最小值为g(x0).因为g(x0)=x0ln x0−x0−ln x0+2=1−x0−1x0+2=3−(x0+1x0),当x0∈(1，2)时，x0+1x0∈(2，52)，则g(x0)>0，所以g(x)≥g(x0)>0恒成立. 所以a ln a−a−ln a+2>0，所以f(x1)+f(x2)<6−ln a，得证.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：f′(x)=4−ax −x=−x2−4x+ax，f′(1)=3−a=2，所以a的值为1.(2)证明：由(1)知，当0<a<4时，函数y=f(x)有两个极值点x1，x2，且x1+x2=4，x1x2=a.因为f(x1)+f(x2)=4x1−a ln x1−12x12−2+4x2−a ln x2−12x22−2=4(x1+x2)−a ln(x1x2)−12(x12+x22)−4=16−a ln a−12(42−2a)−4=4+a−a ln a.要证f(x1)+f(x2)<6−ln a，只需证a ln a−a−ln a+2>0. 构造函数g(x)=x ln x−x−ln x+2，则g′(x)=1+ln x−1−1x =ln x−1x，g′(x)在(0，4)上单调递增，又g′(1)=−1<0，g′(2)=ln 2−12>0，且g′(x)在定义域上不间断，由零点存在定理，可知g′(x)=0在(1，2)上存在唯一实根x 0，且ln x 0=1x 0.则g(x)在(0，x 0)上单调递减，(x 0，4)上单调递增， 所以g(x)的最小值为g(x 0).因为g(x 0)=x 0ln x 0−x 0−ln x 0+2 =1−x 0−1x 0+2=3−(x 0+1x 0),当x 0∈(1，2)时，x 0+1x 0∈(2，52)，则g(x 0)>0，所以g(x)≥g(x 0)>0恒成立. 所以a ln a −a −ln a +2>0，所以f(x 1)+f(x 2)<6−ln a ，得证. 21.【答案】解：(1)已知f (x )=x 2+2x −3，f ′(x )=2x +2，则f ′(1)=4. 又f(1)=0，所以f (x )在x =1处的切线方程为y =4x −4. 因为f (x )和g (x )的图像在x =1处的切线相同，g ′(x )=k (1−ln x )x 2，所以g ′(1)=k =4．(2)由(1)可知F (x )={|f (x )| (x ≤1),g (x ) (x >1),即F (x )={|x 2+2x −3| (x ≤1),4ln x x (x >1).画出函数F (x )的图像如图所示：可知函数F (x )−m 若存在2个零点时，m 的取值范围是{m|m =0或m =4}. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 函数的零点与方程根的关系【解析】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力．本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图像的判定，考查学生解决问题的综合能力．【解答】解：(1)已知f (x )=x 2+2x −3，f ′(x )=2x +2，则f ′(1)=4. 又f(1)=0，所以f (x )在x =1处的切线方程为y =4x −4. 因为f (x )和g (x )的图像在x =1处的切线相同，g ′(x )=k (1−ln x )x 2，所以g ′(1)=k =4．(2)由(1)可知F (x )={|f (x )| (x ≤1),g (x ) (x >1),即F (x )={|x 2+2x −3| (x ≤1),4ln x x (x >1).画出函数F (x )的图像如图所示：可知函数F (x )−m 若存在2个零点时，m 的取值范围是{m|m =0或m =4}. 22.【答案】解：(1)f ′(x )=sin x +x cos x −sin x =x cos x ， ∴ x ∈(2,3)时，f ′(x )=x cos x <0， ∴ 函数f (x )在(2,3)上是减函数．又f (2)=2sin 2+cos 2=sin 2+cos 2+sin 2 =√2sin (2+π4)+sin 2>0， ∵ 3sin 3<3sin 11π12=3sin π12=3sin (π3−π4)=3×√6−√24≈0.75，cos 3<cos 11π12=−cos π12=−cos (π3−π4) =−√6+√24≈−0.95，∴ f (3)=3sin 3+cos 3<0，由零点存在性定理，f (x )在区间(2,3)上只有1个零点． (2)由题意等价于x sin x +cos x >kx 2+cos x ， 整理得k <sin x x，令ℎ(x )=sin x x，则ℎ′(x )=x cos x−sin xx 2，令g (x )=x cos x −sin x ，g ′(x )=−x sin x <0， ∴ g (x )在x ∈(π4,π2)上单调递减，∴g(x)<g(π4)=√22×(π4−1)<0，即g(x)=x cos x−sin x<0，∴ℎ′(x)=x cos x−sin xx2<0，即ℎ(x)=sin xx 在(π4,π2)上单调递减，∴ℎ(x)<sinπ4π4=√22π4=2√2π,即k<2√2π．【考点】两角和与差的正弦公式两角和与差的余弦公式利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性导数的乘法与除法法则导数的加法与减法法则函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f′(x)=sin x+x cos x−sin x=x cos x，∴x∈(2,3)时，f′(x)=x cos x<0，∴函数f(x)在(2,3)上是减函数．又f(2)=2sin2+cos2=sin2+cos2+sin2=√2sin(2+π4)+sin2>0，∵3sin3<3sin11π12=3sinπ12=3sin(π3−π4)=3×√6−√24≈0.75，cos3<cos 11π12=−cosπ12=−cos(π3−π4)=−√6+√24≈−0.95，∴f(3)=3sin3+cos3<0，由零点存在性定理，f(x)在区间(2,3)上只有1个零点．(2)由题意等价于x sin x+cos x>kx2+cos x，整理得k<sin xx，令ℎ(x)=sin xx ，则ℎ′(x)=x cos x−sin xx2，令g(x)=x cos x−sin x，g′(x)=−x sin x<0，∴g(x)在x∈(π4,π2)上单调递减，∴g(x)<g(π4)=√22×(π4−1)<0，即g(x)=x cos x−sin x<0，∴ℎ′(x)=x cos x−sin xx2<0，即ℎ(x)=sin xx 在(π4,π2)上单调递减，∴ℎ(x)<sinπ4π4=√22π4=2√2π,即k<2√2π．。

极限与导数的关系单元测试一、选择题1. 下列哪个不是导数的定义？A. 切线斜率B. 函数的瞬时变化率C. 函数的平均变化率D. 函数的增减性2. 若函数f(x)在 x=a 处可导，则 f(x)在 x=a 处关于 x 的极限A. 一定存在B. 有可能存在C. 一定不存在D. 无法确定3. 对于函数 y = x^2，在 x=2 处的导数为A. 2B. 4C. 3D. 14. 若函数 f(x) 在点 x=a 处不可导，则函数 f(x) 在 x=a 处的极限A. 一定存在B. 有可能存在C. 一定不存在D. 无法确定5. 函数 y = sin(x) 在 x=0 处的导数是A. 0B. 1C. -1D. 不存在二、填空题1. 函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1 在 x=2 处的导数为__________。

2. 当 x -> 2 时，函数 f(x) = x^2 + 3x 的极限是__________。

3. 若函数f(x) = √x 在 x=4 处的导数存在，则导数值为__________。

4. 函数 y = e^x 在 x=0 处的导数为__________。

5. 在 x=1 处，若函数 f(x) 的导数不存在，则 f(x) 在 x=1 处的极限__________。

三、简答题1. 什么是函数的导数？导数的几何意义是什么？2. 解释什么是极限？函数在某点可导的充分必要条件是什么？3. 设函数 f(x) = x^3 - 2x + 1，请计算函数 f(x) 在 x=2 处的导数值和在 x=2 处的极限值。

4. 如何求函数 y = sin(x) 在x=π/2 处的导数？5. 请说明什么是函数的连续性和可导性的关系。

四、综合题1. 已知函数 f(x) = x^3 - x^2 + 3x - 1，求函数 f(x) 在 x=1 处的导数和极限。

2. 设函数 f(x) = |x|，当 x<0 时为 -x，当 x>=0 时为 x。

专题01 导数的概念及其几何意义A 组 基础巩固1.在平均变化率的定义中，自变量的增量x ∆是（ ）A ．0x ∆>B ．0x ∆<C ．0x ∆≠D ．0x ∆= 【答案】 C【解析】 x ∆可正可负但不能为零。

2．（2021·全国高二课时练习）汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[][][]011223,,,,,t t t t t t 上的平均速度分别为123,,v v v ，则三者的大小关系为（ ）A ．231v v v =<B ．123v v v <=C ．123v v v <<D ．231v v v <<【答案】C【分析】由平均变化率的几何意义判断．【详解】由题意得，123,,OA AB BC v k v k v k ===，由题图易知OA AB BC k k k <<， ∴123v v v <<，故选：C.3．（2021·全国高二单元测试）已知()y f x =的图象如图所示，则()A f x '与()B f x '的大小关系是（ ）A ．f ′(x A )＞f ′(xB ) B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定【答案】B【分析】根据导数的几何意义，结合图象可得答案.【详解】由导数的几何意义可知，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率， 由图象可知f ′(x A )＜f ′(x B )．故选：B4．（2021·全国高二课时练习）（多选题）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c 与时间t 的关系为()c f t =，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t 变化的关系如下图所示．给出下列四个结论正确的是（ ）A ．在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B ．在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；C ．在23[,]t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D ．在12[,]t t ，23[,]t t 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同． 【答案】ACD 【分析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项. 【详解】对于A ，在1t 时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A 正确；对于B ，甲、乙两人在2t 时刻的切线的斜率不相等，即两人的()2f t '不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B 错误；对于C ，根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是()()3232f t f t t t --，故C 正确；对于D ，在[]12,t t 时间段，甲的平均变化率是()()2121f t f t t t --，在[]23,t t 时间段，甲的平均变化率是()()3232f t f t t t --，显然不相等，故D 正确．故选：ACD 【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是()()f t t f t t+-.5.（2021·全国高二单元测试）一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么s t∆∆为（ ）A ．在t 时刻该物体的瞬时速度B ．当时间为Δt 时物体的瞬时速度C ．从时间t 到t ＋t ∆时物体的平均速度D ．以上说法均错误 【答案】C【分析】根据函数的平均变化率的定义判断． 【详解】根据平均变化率的概念可知， st∆∆表示从时间t 到t ＋t ∆时物体的平均速度． 故选：C ．6.（2021·全国高二单元测试）在曲线y ＝x 2＋1上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则y x∆∆为（ ）A ．Δx ＋12x ∆+B ．Δx －1x∆－2C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1x∆ 【答案】C【分析】根据平均变化率的定义计算．【详解】Δy ＝f (1＋Δx )－f （1）＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝(Δx )2＋2Δx ，∴yx∆∆＝Δx ＋2． 故选：C ．7．（2021·全国高二单元测试）酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8 cm ，上口宽6 cm ，水以20 cm 3/s 的流量倒入杯中，当水深为4 cm 时，水升高的瞬时变化率为________．【答案】80cm /s 9π【分析】利用体积公式计算得到1312803t h π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再求出水深为4cm ，对应的时间为0t 的大小，最后利用导数可求瞬时变化率. 【详解】由题意，设t 时刻水面高为h ，水面圆半径为r , 则38r h =可得 3,8r h = 此时水的体积为2313364r h h ππ⨯⨯⨯= 又由题设条件知，此时的水量为20t故有3320,64t h π= 故有1312803t h π⎛⎫= ⎪⎝⎭23112801280333t h ππ-⎛⎫'=⨯⨯ ⎪⎝⎭当水深为4cm ，对应的时间为0t ，则0320t π=23312801128020333t th πππ-=⎛⎫⨯ ⎪=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝'⎭809π= 所以当水深为4 cm 时，水升高的瞬时变化率为80cm /s 9π故答案为：80cm /s 9π【点睛】注意导数可以用来求瞬时速度、瞬时加速度等，这类问题的关键是要找到两类变量之间的关系.8．（2021·全国高二单元测试）一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的距离s 与时间t 之间的函数关系为218s t =，则2t =时，木块的瞬时速度为________．【答案】12【分析】利用导数的定义可知，函数218s t =在2t =处的导数值即是木块在2t =处的瞬时速度. 【详解】解：2211()118848t t t s t t t t +∆-∆==+∆∆∆. 当2t =，且t ∆趋于0时，s t∆∆趋于12．故答案为：12. 9.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则[(0)]f f = ；0(1)(1)limx f x f x∆→+∆-∆= .【答案】 2，- 2【解析】 由图可知：f(0)=4,f(4)=2; f(x)=-2x+4,带入可得。

高二数学下册（必修三）导数 单元测试卷及答案解析一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）函数f(x)在x =4处的切线方程为y =3x +5，则f(4)+f ′(4)=( )A. 10B. 20C. 30D. 402.（5分）设a 为实数，函数f (x )=x 3+ax 2+(a −2)x 的导函数是f ′(x)，且f ′(x)是偶函数，则曲线y =f (x )在原点处的切线方程为( )A. y =−2xB. y =3xC. y =−3xD. y =−4x3.（5分）若函数f(x)=x 2+lnx 的图像在(a,f(a))处的切线与直线2x +6y −5=0垂直，则a 的值为( )A. 1B. 2或14C. 2D. 1或124.（5分）已知函数f (x )={&ln (x +1),−1<x ⩽14 x 2+14,x >14 ，且关于x 的方程f (x )−kx =0恰有2个实数解，则实数k 的取值范围是( )A. [1,54] B. [54,+∞)C. [4ln 54,1]D. [4ln 54,1]⋃[54,+∞)5.（5分）曲线y =13x 3 在x =1处切线的倾斜角为( )A. 1B. −π4C. π4D.5π46.（5分） 若曲线f(x)=x 4−4x 在点A 处的切线平行于x 轴，则点A 的坐标为( )A. (-1,2)B. (1,-3)C. (1,0)D. (1,5)7.（5分）曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A. e4B. e2C. eD. 2e8.（5分）曲线f(x)=x 2+3x 在点A(1,4)处的切线斜率为( )A. 2B. 5C. 6D. 11二 、多选题（本大题共5小题，共25分） 9.（5分）下列命题中是真命题有()A. 若f′(x0)=0，则x0是函数f(x)的极值点B. 函数y=f(x)的切线与函数可以有两个公共点C. 函数y=f(x)在x=1处的切线方程为2x−y=0，则f′(1)=2D. 若函数f(x)的导数f′(x)<1，且f(1)=2，则不等式f(x)>x+1的解集是(−∞,1)10.（5分）若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数y=f(x)具有“T性质”.则下列函数中具有“T性质”的是()A. y=xe x B. y=cosx+1 C. y=1x3D. y=ln2log2x11.（5分）已知函数f(x)=x+√2x图象上的一条切线与g(x)=x的图象交于点M，与直线x=0交于点N，则下列结论不正确的有()A. 函数f(x)的最小值为2√2B. 函数的值域为(−∞,−2√24]C. |MN|2的最小值为16−8√2D. 函数f(x)图象上任一点的切线倾斜角的所在范围为[0,π4]12.（5分）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a可能的取值()A. 196B. 3 C. 103D. 9213.（5分）设函数f(x)=x−ln|x|x，则下列选项中正确的是()A. f(x)为奇函数B. 函数y=f(x)−1有两个零点C. 函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称D. 过原点与函数f(x)相切的直线有且只有一条三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知倾斜角为45°的直线l与曲线y=lnx−2x+1相切，则直线l的方程是 ______.15.（5分）已知曲线C：y=x3−3x2+2x，直线l过(0,0)与曲线C相切，则直线l的方程是______ ．16.（5分）函数f(x)={1−2x,x⩾012x2+2x,x<0，函数g(x)=k(x−2)，若方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则实数k的取值范围为__________.17.（5分）函数f(x)=√4x+1，则函数f(x)在x=2处切线的斜率为 ______.18.（5分）某物体作直线运动，其位移S与时间t的运动规律为S=t+2√t(t的单位为秒，S的单位为米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为______米/秒．四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知函数f(x)=x3+x−16．(1)求曲线y=f(x)在点(2,−6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．20.（12分）在抛物线C：y=ax2(a>0)上取两点A(m1,n1),B(m2,n2)，且m2−m1=4，过点A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点P(1,−3).(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l交抛物线C于M，N两点，记直线OM，ON(其中O为坐标原点)的斜率分别为k OM,k ON，且k OM.k ON=−2，若ΔOMN的面积为2√3，求直线l的方程.21.（12分）已知函数f(x)=(x+a)lnx，g(x)=x 2e x.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x−y=0平行．(1)求a的值；(2)证明：方程f(x)=g(x)在(1,2)内有且只有一个实根．22.（12分）设f(x)=ae x+1ae x+b(a>0)(I)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y=32x；求a，b的值．(II)求f(x)在[0,+∞)上的最小值．23.（12分）已知曲线y=13x3+43，(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．参考答案与解析1.【答案】B;【解析】解：∵函数f(x)在x=4处的切线方程为y=3x+5，∴f′(4)=3，又f(4)=3×4+5=17，∴f(4)+f′(4)=17+3=20.故选：B.由已知可得f′(4)，在切线方程中取x=4求得f(4)，则答案可求．此题主要考查对数的几何意义及其应用，是基础题．2.【答案】A;【解析】此题主要考查导数的几何意义，函数的奇偶性，直线的点斜式方程，属于基础题.求导函数f′(x)，由f′(x)是偶函数求出a的值，然后根据导数的几何意义求切线方程.解：由f(x)=x3+ax2+(a−2)x，得，f′(x)=3x2+2ax+(a−2)，又∵f′(x)是偶函数，∴2a=0，即a=0，∴f′(x)=3x2−2，∴曲线y=f(x)在原点处的切线斜率为−2，曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=−2x，故选A.3.【答案】D;【解析】解：函数f(x)=x2+lnx的导数为f′(x)=2x+1x，在(a,f(a))处的切线的斜率为2a+1a，由切线与直线2x+6y−5=0垂直，可得−13(2a+1a)=−1，解得a=1或12，故选：D．求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，解方程可得所求值．此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】C;【解析】此题主要考查了方程的根与函数的图象之间的关系应用及学生的作图能力，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．方程f(x)=kx恰有两个不同实数根，等价于y=f(x)与y=kx有2个交点，又k表示直线y= kx的斜率，求出k的取值范围．解：画出函数f(x)图象，可求得函数f(x)=ln(x+1)(−1<x⩽14)图象在点O(0,0)处的切线方程为y=x，过点O(0,0)且与函数f(x)=x2+14(x>14)图象相切的直线方程也为y=x，即得直线y=x为函数f(x)图象的切线，且有两个切点，切点为O(0,0)和A(12,12 )，关于x的方程f(x)−kx=0恰有2个实数解当且仅当直线y=kx函数f(x)图象有两个公共点，由图可知当且仅当k OB⩽k⩽k OA时符合题意，又k OA=1，k OB=ln(14+1)14=4ln54，则求得4ln54⩽k⩽1.故选C.5.【答案】C;【解析】解：∵y =13x 3，∴y ′=x 2，设曲线y =13x 3 在x =1处切线的倾斜角为α，根据导数的几何意义可知，切线的斜率k =y ′|x=1=12=1=tan α， ∴α=π4，即倾斜角为π4． 故选C ．欲求在x =1处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k =y ′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．该题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的性质可求倾斜角，本题属于容易题．6.【答案】B;【解析】解：f(x)=x 4−4x 的导数为f ′(x)=4x 3−4， 设切点为A(m,n)，则n =m 4−4m ， 可得切线的斜率为k =4m 3−4=0， 解得m =1，n =−3.即A(1,−3)． 故选：B ．求得函数的导数，设出切点A(m,n)，代入函数式，求得切线的斜率，令它为0，解得m ，n ，进而得到切点A 的坐标．该题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，设出切点和正确求导是解答该题的关键，属于基础题．7.【答案】B; 【解析】此题主要考查导数的几何意义及三角形面积公式，属于基础题，先求出曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线方程，再其求与坐标轴的交点即可求得三角形面积;解：f ′(x)=e xlnx +e x x，则f ′(1)=e ，f(1)=0，∴曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线方程为y =e(x −1)，令x=0，得y=−e，令y=0，得x=1，∴切线与坐标轴围成的三角形面积为S=12×e×1=e2.故选B.8.【答案】B;【解析】解：函数的导数为f′(x)=2x+3，所以函数在A(1,4)处的切线斜率k=f′(1)=2+3=5．故选：B．求曲线在点处得切线的斜率，就是求曲线在该点处得导数值．该题考查了导数的几何意义．导数的几何意义是指函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y= f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率．它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体．9.【答案】BCD;【解析】此题主要考查极值的概念，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解不等式，属于中档题．由题意结合知识点，逐个选项分析即可.解：选项A，若f′(x0)=0，x0不一定是函数f(x)的极值点，例如函数f(x)=x3，f′(0)=0，但x=0不是极值点，故错误；选项B，函数y=f(x)的切线与函数可以有两个公共点，例如函数f(x)=x3−3x，在x=1处的切线为y=−2与函数还有一个公共点为(−2,−2)，故正确；选项C，因为函数y=f(x)在x=1处的切线方程为2x−y=0，所以f′(1)=2，故正确. 选项D，令g(x)=f(x)−x−1，因为函数f(x)的导数f′(x)<1，则g′(x)=f′(x)−1<0，所以函数g(x)=f(x)−x−1在R上单调递减，又g(1)=f(1)−2=0，由不等式f(x) > x+1得g(x) > 0=g(1)，得x 1，所以不等式f(x) > x+1的解集是(−∞,1)，故正确．故选BCD.10.【答案】AB;【解析】解：由题意，可知若函数y =f(x)具有“T 性质”，则存在两点， 使得函数在这两点处的导数值的乘积为−1， 对于A ，(xe x )′=1−x e x，满足条件；对于B ，(cosx +1)′=−sinx ，满足条件；对于C ，(1x 3)′=−3x 4<0恒成立，负数乘以负数不可能得到−1，不满足条件；对于D ，(ln2log 2x)′=ln2.1xln2=1x >0恒成立，正数乘以正数不可能得到−1，不满足条件． 故选：AB.分别求出四个选项中函数的导函数，看是否满足存在两点，使得函数在这两点处的导数值的乘积为−1即可．此题主要考查导数的几何意义及应用，考查化归与转化思想，关键是熟记基本初等函数的导函数，是中档题．11.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查导数的运算和几何意义以及基本不等式求最值，属于中档题. 由题意和导数的运算结合基本不等式，逐个选项验证正误即可. 解：已知f(x)=x +√2x，当x >0时，f(x)=x +√2x⩾2√24，当x <0时，f(x)=x +√2x⩽−2√24，故选项A 、B 不正确;设直线l 与函数f(x)的图象相切于点(x 0,x 02+√2x 0)，函数f(x)的导函数为f ′(x)=1−√2x 2=x 2−√2x 2，则直线l 的方程为y −x 02+√2x 0=x 02−√2x 02(x −x 0)，即y =x 02−√2x 02x +2√2x 0，直线l 与g(x)=x 的交点为M(2x 0,2x 0)，与x =0的交点为N(0,2√2x 0)， 所以|MN|2=4x 02+(2x 0−2√2x 0)2=8x 02+8x 02−8√2⩾16−8√2，当且仅当x 02=1时取等号，故选项C 正确; f ′(x)=1−√2x 2=x 2−√2x 2⩽1，可知切线斜率可为负值，即倾斜角可以为钝角，故选项D 不正确.故选ABD.12.【答案】AC;【解析】此题主要考查导数的几何意义和二次方程的实根的分布，考查运算能力，属于中档题．求出导数，由题意可得2x2−2x+a=3有两个不相等的正根，由此列出不等式组即可得到a 的取值范围，进而可得a的可能取值．解：f(x)=23x3−x2+ax−1的导数为f′(x)=2x2−2x+a，由题意可得2x2−2x+a=3有两个不相等的正根，则{Δ=28−8a>0a−32>0，解得3<a<72，故选：AC.13.【答案】BCD;【解析】解：函数f(x)=x−ln|x|x的定义域为{ x|x≠0}，f(−x)+f(x)=1−ln|−x|−x +1−ln|x|x=2≠0，所以f(x)不为奇函数，故A错误；由f(x)=1，可得ln|x|x=0，解得x=±1，故y=f(x)−1有两个零点，故B正确；由f(−x)+f(−2x)+f(x)+f(2x)=[f(−x)+f(x)]+[f(−2x)+f(2x)]=2+2=4，则函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称，故C正确；当x>0时，f(x)=1−lnxx ，f′(x)=−1−lnxx2，设过原点与f(x)相切的切点为(m,n)，则切线的方程为y−n=lnm−1m2(x−m)，即y−1+lnmm =lnm−1m2(x−m)，代入(0,0)，可得1+m=2lnm，设g(m)=2lnm−1−m，g′(m)=2m−1，当0<m<2时，g(m)递增，m>2时，g(m)递减，则g(m)的最大值为g(2)=2ln2−3<0，所以x>0时，不存在过原点的切线；当x<0时，f(x)=1−ln(−x)x ，f′(x)=−1−ln(−x)x2，设过原点与f(x)相切的切点为(s,t)(s<0)，则切线的方程为y−t=ln(−s)−1s2(x−s)，即y−1+ln(−s)s =ln(−s)−1s2(x−s)，代入(0,0)，可得1+s=2ln(−s)，设g(s)=2ln(−s)−1−s，g′(m)=2s−1<0，所以g(s)递减，则g(s)只有一个零点，所以x<0时，只存在一条过原点的切线．综上可得存在一条过原点的切线，故D正确．故选：BCD.由函数的奇偶性和零点、对称性、导数的几何意义，可得结论．此题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14.【答案】x−y+ln2−2=0;【解析】由直线的倾斜角求得直线的斜率，求出原函数的导函数，由导函数值为1求解切点坐标，再由直线方程的点斜式得答案．此题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．解：直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan45°=1，由y=lnx−2x +1，得y′=1x+2x2，由y′=1x +2x2=1，解得x=−1(舍去)或x=2.∴切点坐标为(2,ln2)，则直线l的方程为y−ln2=1×(x−2)，即x−y+ln2−2=0.故答案为：x−y+ln2−2=0.15.【答案】y=−x或y=−14x或y=2x;【解析】求出函数的导数，结合直线关系即可得到结论．这道题主要考查函数的切线的求解，根据函数导数的几何意义是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．解：函数的导数为f ′(x)=3x 2−6x +2， 设切点为(a,b)，则k =f ′(a)=3a 2−6a +2，b =a 3−3a 2+2a ， 则切线的方程y −b =(3a 2−6a +2)(x −a)， 即y =(3a 2−6a +2)x −2a 3+9a 2−4a ， ∵直线l 过点(0,0)， ∴−2a 3+9a 2−4a =0， 即2a 3−9a 2+4a =0， 则a(a −4)(2a −1)=0， 解得a =0或a =4或a =12，当a =1时，对应的直线方程为y =−x ， 当a =12时，对应的直线方程为y =−14x ， 当a =0时，对应的直线方程为y =2x ， 故答案为：y =−x 或y =−14x 或y =2x16.【答案】(0,4-2√3) ; 【解析】此题主要考查函数的零点与方程的根之间的关系，函数的导数求解切线方程，考查数形结合以及计算能力，是难题．画f(x)={1−2x ,x ⩾012x 2+2x,x <0，的图象，结合直线g(x)=k(x −2)过定点(2,0)，函数g(x)的图象与f(x)=12x 2+2x ，x <0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．设切点为P(x 0,y 0)，由f ˈ(x)=x +2，x <0，求出切线的斜率，利用函数的图象的交点个数与函数的零点个数，推出k 的范围即可．解：依题意，画出f(x)={1−2x,x⩾012x2+2x,x<0的图象如图：因为直线g(x)=k(x−2)过定点(2,0)，由图象可知，当函数g(x)的图象与f(x)=12x2+2x，x<0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率．设切点为P(x0,y0)，由fˈ(x)=x+2，x<0，则k=f′(x0)=x0+2=12x02+2x0x0-2，解得x0=2+2√3(舍去)或x0=2-2√3，则k=4−2√3，要使方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则函数f(x)，g(x)的图象恰有三个交点，结合图象可的实数k的取值范围为(0,4-2√3)，故答案为(0,4-2√3).17.【答案】23;【解析】解：由f(x)=√4x+1，得f′(x)=2(4x+1)−1 2，所以函数f(x)在x=2处切线的斜率k=f′(2)=23.故答案为：23.对f(x)求导，根据导数的几何意义，得到f(x)在x=2处的切线斜率．此题主要考查了利用导数研究函数的切线方程和导数的几何意义，属基础题．18.【答案】32;【解析】解：S=t+2√t，∴S′=1+√t，∴它在4秒末的瞬时速度为1+√4=32，故答案为：32．物理中的瞬时速度常用导数来求，故求出S的导数，代入4求值．该题考查变化的快慢与变化率，解答本题关键是理解导数的物理意义，由此转化为求导数的问题．19.【答案】解：(1)∵f′(x)=(x3+x−16)′=3x2+1，∴在点(2,−6)处的切线的斜率k=f′(2)=3×22+1=13，∴切线的方程为y=13x−32．(2)设切点为(x0,y0)，则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1，∴直线l的方程为y=(3x02+1)(x−x0)+x03+x0−16．又∵直线l过点(0,0)，∴0=(3x02+1)(−x0)+x03+x0−16，整理，得x03=−8，∴x0=−2，∴y0=(−2)3+(−2)−16=−26，直线l的斜率k=3×(−2)2+1=13，∴直线l的方程为y=13x，切点坐标为(−2,−26)．;【解析】(1)先求出函数的导函数，再求出函数在(2,−6)处的导数即斜率，易求切线方程．(2)设切点为(x0,y0)，则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1，从而求得直线l的方程，有条件直线1过原点可求解切点坐标，进而可得直线1的方程．此题主要考查直线的点斜式方程，属基础题型，较为简单．20.【答案】解：(1)由y=ax2(a>0)得y′=2ax(a>0)，则曲线在点A处的切线斜率为2am1，曲线在点A处的切线方程为y−am12=2am1(x−m1)，曲线在点A处的切线过点P(1,−3)，故am12−2am1−3=0①，同理可得曲线y=ax2(a>0)在点B处的切线方程为y−am22=2am2(x−m2)，∴am12−2am1−3=0②，①−②得m1+m2=2，m2−m1=4，∵m2−m1=4，∴m1=−1,m2=3，将m1=−1代入①，可得a=1，故抛物线方程为x2=y;(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线C的交点为M(x1,x12),N(x2,x22)，联立得{y=kx+bx2=y，得x2−kx−b=0，∴x1+x2=k,x1.x2=−b，∴k OM.k ON=x12x1.x22x2=x1x2=−2，可得b=2，∴直线l经过点(0,2)，∴SΔ=12×|OP|×|x1−x2|=2√3，∴|x1−x2|=2√3，∴k2=4，∴k=±2，经检验k=±2,b=2符合题意，∴直线l的方程为y=2x+2或y=2x−2.;【解析】此题主要考查了直线与抛物线涉及到利用导数求曲线的切线方程、抛物线的几何性质、直线方程的求法等知识，综合性较强.(1)利用导数，可以求出曲线在点A，B处的切线斜率为2am1，2am2，从而求出切线方程，得到关于m1,m2的关系式，可以求出m的值，从而求出切线方程；(2)设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线C的交点为M(x1,x12),N(x2,x22)，联立得{y=kx+bx2=y，得x1+x2=k,x1.x2=−b，求出b=2，根据题意列方程求出k的值，从而求出直线方程.21.【答案】（本题满分为12分）解：（1）f′(x)=lnx+ax+1，由题意知，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则f'（1）=2，所以a+1=2，解得a=1．…（4分）（2）令ˈ(x)=f(x)−g(x)=(x+1)lnx−x 2e x，x∈（1，2），则ˈ(1)=−1e ＜0，ˈ(2)=3ln2−4e2＞0，所以h（1）h（2）＜0，所以函数h（x）在（1，2）内一定有零点，…（8分）可得ˈ′(x)=lnx+x+1x −2x−x2e x(e x)2=lnx+1x+1−−(x−1)2+1e x＞1−1e＞0，∴h（x）在（1，2）上单调递增，所以函数h（x）在（1，2）内有且只有一个零点，即方程f（x）=g（x）在（1，2）内有且只有一个实根．…（12分）;【解析】(1)求得f(x)的导数，可得x=1处切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程即可得到所求值．(2)令ˈ(x)=f(x)−g(x)=(x+1)lnx−x2e x ，x∈(1,2)，由ˈ(1)=−1e<0，ˈ(2)=3ln2−4e2>0，可得函数ˈ(x)在(1,2)内一定有零点，进而证明ˈ′(x)>0，可得ˈ(x)在(1,2)上单调递增，即可得证．此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查函数的零点判定定理，正确求导是解答该题的关键，属于中档题．22.【答案】解：（I ）由题意得，f(x)=ae x +1aex+b ，则f ′(x)=ae x −1ae x，因为在点（2，f （2））的切线方程为y=32x ，所以{(f(2)=3f ′(2)=32)， 即{(ae 2+1ae 2+b =3ae 2−1ae 2=32)，解得{(a =2e 2b =12)…（6分）（Ⅱ）设t=e x （t ≥1），则原函数化为：y =at +1at +b ， 所以y ′=a −1at 2=a 2t 2−1at 2，令y ′=0，解得t=±1a ，（1）当a ≥1时，则y ′＞0在[1，+∞）上成立， 所以函数y =at +1at +b 在[1，+∞）上是增函数， 则当t=1（x=0）时，函数f （x ）取到最小值是a +1a +b ； （2）当0＜a ＜1时，y =at +1at +b ≥2+b ，当且仅当at=1（t=e x =1a ＞1，则x=-lna ）时，取等号， 此时函数f （x ）取到最小值是b+2，综上可得，当a ≥1时，函数f （x ）的最小值是a +1a +b ； 当0＜a ＜1时，函数f （x ）的最小值是b+2．…（12分）; 【解析】(Ⅰ)由求导公式和法则求出f ′(x)，根据导数的几何意义和条件列出方程组，求出a 、b 的值； (Ⅱ)设t =e x (t ⩾1)，代入原函数化简并求出导数，根据临界点和区间对a 进行分类讨论，利用导数与单调性、基本不等式求出函数的最小值．此题主要考查求导公式和法则，导数的几何意义，以及导数与函数单调性、基本不等式求函数的最值问题，属于中档题．23.【答案】解：(1)∵P(2,4)在曲线y =13x 3+43上，且y ′=x 2 ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k =y ′|x=2=4；∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y −4=4(x −2)，即4x −y −4=0．(2)设曲线y =13x 3+43与过点P(2,4)的切线相切于点A(x 0,13x 03+43)，则切线的斜率k=y′|x=x=x02，∴切线方程为y−(13x03+43)=x02(x−x0)，即y=x02.x−23x03+43∵点P(2,4)在切线上，∴4=2x02−23x03+43，即x03−3x02+4=0，∴x03+x02−4x02+4=0，∴(x0+1)(x0−2)2=0解得x0=−1或x0=2故所求的切线方程为4x−y−4=0或x−y+2=0．(3)设切点为(x0,y0)则切线的斜率为k=x02=4，x0=±2.切点为(2,4)，(−2,−43)∴切线方程为y−4=4(x−2)和y+43=4(x+2)即4x−y−4=0和12x−3y+20=0．;【解析】该题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．(1)根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；(2)设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到(1)求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可；(3)设出切点坐标，由切线的斜率为4，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值等于4列出关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，代入曲线方程即可求出相应的纵坐标，根据切点坐标和斜率分别写出切线方程即可．。

高一数学导数试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数为（）。

A. f'(x)=3x^2-6xB. f'(x)=3x^2-6x+2C. f'(x)=3x^2-6x+1D. f'(x)=3x^2-6x-2答案：A2. 函数f(x)=sinx的导数为（）。

A. f'(x)=cosxB. f'(x)=-sinxC. f'(x)=sinxD. f'(x)=-cosx答案：A3. 函数f(x)=e^x的导数为（）。

A. f'(x)=e^xB. f'(x)=e^(-x)C. f'(x)=-e^xD. f'(x)=0答案：A4. 函数f(x)=lnx的导数为（）。

A. f'(x)=1/xB. f'(x)=lnxC. f'(x)=xD. f'(x)=1答案：A5. 函数f(x)=x^2的导数为（）。

A. f'(x)=2xC. f'(x)=2D. f'(x)=x答案：A6. 函数f(x)=1/x的导数为（）。

A. f'(x)=-1/x^2B. f'(x)=1/x^2C. f'(x)=-1/xD. f'(x)=1/x答案：A7. 函数f(x)=x^3的导数为（）。

A. f'(x)=3x^2B. f'(x)=3xC. f'(x)=3答案：A8. 函数f(x)=sinx+cosx的导数为（）。

A. f'(x)=cosx-sinxB. f'(x)=sinx+cosxC. f'(x)=sinx-cosxD. f'(x)=-cosx-cosx答案：A9. 函数f(x)=ln(x+1)的导数为（）。

A. f'(x)=1/(x+1)B. f'(x)=1/xC. f'(x)=ln(x+1)D. f'(x)=x+1答案：A10. 函数f(x)=e^(2x)的导数为（）。

高中导数试题及答案解析一、选择题1. 函数y=x^3-3x^2+2的导数是（）A. y'=3x^2-6xB. y'=x^2-3xC. y'=3x^2-6x+2D. y'=x^3-3x^2答案：A解析：根据导数的运算法则，对于函数y=x^3-3x^2+2，我们分别对每一项求导：y' = (x^3)' - (3x^2)' + (2)'根据幂函数的导数法则，我们有：(x^3)' = 3x^2(3x^2)' = 6x常数项的导数为0，所以：y' = 3x^2 - 6x2. 函数y=sinx的导数是（）A. y'=cosxB. y'=-sinxC. y'=sinxD. y'=-cosx答案：A解析：根据三角函数的导数法则，我们知道：(sinx)' = cosx3. 函数y=e^x的导数是（）A. y'=e^xB. y'=-e^xC. y'=e^(-x)D. y'=0答案：A解析：根据指数函数的导数法则，我们知道：(e^x)' = e^x二、填空题4. 函数y=x^2-4x+3的导数是（）。

答案：y'=2x-4解析：根据导数的运算法则，对于函数y=x^2-4x+3，我们分别对每一项求导：y' = (x^2)' - (4x)' + (3)'根据幂函数的导数法则，我们有：(x^2)' = 2x(4x)' = 4常数项的导数为0，所以：y' = 2x - 45. 函数y=lnx的导数是（）。

答案：y'=1/x解析：根据对数函数的导数法则，我们知道：(lnx)' = 1/x三、解答题6. 求函数y=x^4-2x^3+3x^2-4x+5的导数，并求在x=1处的导数值。

答案：y' = 4x^3 - 6x^2 + 6x - 4当x=1时，y' = 4(1)^3 - 6(1)^2 + 6(1) - 4 = 4 - 6 + 6 - 4 = 0解析：首先，我们对函数y=x^4-2x^3+3x^2-4x+5的每一项求导：y' = (x^4)' - (2x^3)' + (3x^2)' - (4x)' + (5)'根据幂函数的导数法则，我们有：(x^4)' = 4x^3(2x^3)' = 6x^2(3x^2)' = 6x(4x)' = 4常数项的导数为0，所以：y' = 4x^3 - 6x^2 + 6x - 4然后，我们将x=1代入导数表达式中：y' = 4(1)^3 - 6(1)^2 + 6(1) - 4 = 4 - 6 + 6 - 4 = 0 7. 已知函数y=f(x)=x^2-4x+3，求f'(2)的值。

高中数学（文科）选修1-1第三章导数单元测试题一、选择题(本大题共10小题.每题只有一个正确答案,请把正确答案的选项填在括号内) 1.已知f (x )在x =x 0处可导,则0lim x x →[][]0202)()(x x x f x f --等于A.f ′(x 0)B.f (x 0)C.f (x 0)·f ′(x 0)D.2f (x 0)·f ′(x 0)2.物体运动的方程为s =41t 4－3,则t =5的瞬时速度为A.5B.25C.125D.6253. (2006.安徽高考.理7）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=4.对于函数f (x )=x 3－3x 2,给出命题:①f (x )是增函数；②f (x )为减函数,无极值；③f (x )是增函数的区间为(－∞,0)∪(2,+∞),是减函数的区间为(0,2)；④f (0)是极大值,f (2)=－4是极小值.其中正确的命题有 A.1个 B.2个 C.3个D.4个5.若曲线y =x 2－1与y =1－x 3在x =x 0处的切线互相垂直,则x 0等于A.6363B.－6363C.32D.32或06.已知函数f (x )=x 3－3x 2－9x ,x ∈(－2,2),则f (x ) A.极大值为5,极小值为－27 B.极大值为5,极小值为－11 C.极大值为5,无极小值D.极小值为－27,无极大值7. （2006.江西高考.理5）对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ ） A 、f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C. f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1） 8.函数f (x )=x (1－x 2)在［0,1］上的最大值为A.932 B.922C.923 D.839.已知f (x )=xx x cos sin sin +,则f ′(4π)等于A.21 B.221C.21 D.－2110.已知函数f (1)=x 2+2xf ′(1),则f (－1)与f (1)的大小关系是 A.f (－1)=f (1) B.f (－1)<f (1) C.f (－1)>f (1)D.无法确定二、填空题(本大题共4小题.把答案填在题中横线上)11.曲线y =x 3+3x 2+6x －10的切线中,斜率最小的切线方程为__________.12.已知函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1处有极大值,在x =3处有极小值,则a =__________,b =__________.13.函数f (x )=x 3－x 的单调增区间为__________.14. （2006·全国高考I ·理16）设函数())()cos 0f x ϕϕπ=+<<。

高二数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷班级： 姓名： 座号： 成绩：一、选择题（共7个小题,每小题6分）1、一个物体的运动方程为21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是 ( )A ．5米/秒B ．6米/秒C ．7米/秒D ．8米/秒2、函数()3f x x x =+的单调递增区间是 ( )A ．()0,+∞B ．(),1-∞C ．(),-∞+∞D ．()1,+∞3、已知()3232f x ax x =++且()14f '-=,则实数a 的值等于 ( )A ．193B ．163C ．133D ．1034、函数()()22f x x π=的导数是 ( )A ．()4f x x π'=B ．()24f x x π'=C ．()28f x x π'=D ．()16f x x π'=5、“函数()00f x '=”是“可导函数()f x 在点0x x =处取到极值”的 条件。

( )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要6、已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47、设()0sin f x x =,()()10f x f x '=,()()21f x f x '=,,()()1n n f x f x +'=,n ∈N ,则()2005f x = ( )A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -二、填空题（共3个小题,每小题6分）8、曲线31y x x =++在点()1,3处的切线方程是 ．9、已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切,则a = ．10、三次函数()3f x ax x =+在(),-∞+∞内是增函数,则a 的取值范围是 ．三、解答题（共2个小题,每题20分）11、已知函数()32f x x ax bx c =+++,当1x =-时,取得极大值7；当3x =时,取得极小值．试求a 、b 、c 的值及这个极小值．12、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+>.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.高二数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷参考答案1-5 ACDCB 6-7 AC 8. 410x y --= 9. 1410. 0a > 11、解：()32f x x ax bx c =+++,∴()232f x x ax b '=++由题意知,1-和3是方程2320x ax b ++=的两个实数根 ∴2133133a b ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩,解得：39a b =-⎧⎨=-⎩()17f -=∴()()()()3211319157f c c -=--⨯--⨯-+=+=∴2c =∴极小值()32333393225f =-⨯-⨯+=-12、（Ⅰ）()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩（Ⅱ）∵3()3(0)f x x ax b a =-+>,由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,当(x ∈时,()'0f x <,函数()f x 单调递减,当)x ∈+∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,∴此时x =()f x 的极大值点,x =()f x 的极小值点.知识改变命运。

高中数学导数练习题附答案一、解答题 1．已知函数()()2ln 0f x a x ax a =+-> (1)求()f x 的最大值(2)若()0f x ≤恒成立，求a 的值 2．已知函数()()1ln 0f x a x x a x=-+>．(1)当1≥x 时，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当1a =时，()()21g x xf x x =+-，方程()g x m =的根为1x 、2x ，且21x x >，求证：211e x x m ->+．3．已知函数()21si cos n 2f x x x a x x =-++．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围． 4．已知函数()1e x axf x a=-+，0a ≠. (1)当1a =时，①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； ②求证：()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点； (2)若()f x 没有零点，求a 的取值范围. 5．已知函数()()32131.3f x x a x x =-++ (1)若1a =，求函数()f x 的单调区间; (2)证明：函数()2y f x a =-至多有一个零点. 6．已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，(2) 2.f '= (1)求a 的值;(2)求函数()f x 的极小值.7．已知函数()()2231ln 2f x x a a x a a x =-+-+. (1)若1a =，求()f x 在[]1,2上的值域； (2)若20a a -≠，讨论()f x 的单调性. 8．已知函数()1ln xf x x +=.(1)求()f x 在1x =处的切线方程； (2)当e x ≥时，不等式()ekf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； 9．已知函数e ()(1)1xf x b x a=+-+(1)当114a b ==-，时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程； (2)当1a =时，()2f x ≥恒成立，求b 的值．10．已知函数()()e 11xf x b x a=+-+(1)当114a b ==-，时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程； (2)当20e <≤a ，且2x >时，()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣]恒成立，求b 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)22ln 2ln 2a a --+ (2)2a = 【解析】 【分析】（1）求导求解单调性即可求出最值；（2）要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤，求单调性求解即可. (1)因为()()2ln 0f x a x ax a =+->，所以()()20axf x a x-'=>， 由()0f x '>得20x a <<；()0f x '<得2x a>；所以()f x 在20,a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()222ln 2ln 2max f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，即()()22ln 2ln 20a a a a ϕ=--+>.(2)要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤， 因为()2a a aϕ-'=，所以当02a <<，()0a ϕ'<；当2a >时，()0a ϕ'>.所以()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 所以()()20min a ϕϕ==，所以满足条件的a 只有2，即2a =. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； (3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 2．(1)02a <≤ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）分析可知1≥x ，()()01f x f ≤=，分02a <≤、2a >两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，验证()()1f x f ≤对任意的1≥x 是否恒成立，由此可求得实数a 的取值范围；（2）利用导数分析函数()g x 的单调性，可得出12101x x e<<<<，证明出31x x >，证明出当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--，可得出()241e 1x x m >=+-，结合不等式的性质可证得结论成立. (1)解：因为()()1ln 0f x a x x a x =-+>，则()222111a x ax f x x x x -+-'=--=，且()10f =，由题意可知，对任意的1≥x ，()()01f x f ≤=， 设21y x ax =-+-，则24a ∆=-，（ⅰ）当02a <≤时，0∆≤，()0f x '≤恒成立且()f x '不恒为零，()f x 在[)1,+∞上是减函数，又因为()10f =，所以()0f x ≤恒成立；（ⅱ）当2a >时，0∆>，方程210x ax -+-=的根为1x =，2x =又因为121=x x ，所以121x x ．由()0f x '>得1x ≤<()0f x '<，得x所以()f x 在⎡⎢⎢⎣⎭上是增函数，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是减函数， 因为()10f =，所以()0f x ≤不恒成立． 综上所述，02a <≤． (2)证明：当1a =时，()()21ln g x xf x x x x =+-=，()1ln g x x '=+，由()0g x '<，可得10e x <<，由()0g x '>，可得1ex >，所以()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，则()min 11e e g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当01x <<时，()ln 0g x x x =<，所以，12101x x e <<<<，且10em -<<， 当10,ex ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ln 1x <-，所以ln x x x <-，即()g x x <-．设直线y x =-与y m =的交点的横坐标为3x ，则3111ln x m x x x =-=->，下面证明当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--， 设()()()111ln 1ln e 1e 1e 1h x x x x x x x ⎡⎤=--=-+⎢⎥---⎣⎦， 令()()11ln e 1e 1p x x x =-+--，则()()()()22e 1111e 1e 1x p x x x x --'=-=--， 当11ee 1x <<-时，()0p x '<，当11e 1x <<-时，()0p x '>， 所以()p x 在11,e e 1⎛⎫ ⎪-⎝⎭上是减函数，在1,1e 1⎛⎫⎪-⎝⎭上是增函数， 又因为10e p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10p =，所以当11ex <<时，()0p x <，()0h x <，故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()11e 1g x x <--． 设直线()111e y x =--与y m =的交点的横坐标为4x ，则41e 1x m -=-，可得()41e 1x m =+-，如下图所示：则()241e 1x x m >=+-，所以21431e x x x x m ->-=+，得证． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 3．(1)10y +=； (2)[)1,+∞. 【解析】 【分析】（1）将1a =-代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件可以将问题转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解. (1)当1a =-时，()2cos 1sin 2f x x x x x =--+()2cos 10000sin 012f =⨯--+=-，所以切点为0,1，()1sin cos x f x x x '=-++，∴(0)01sin 0cos00f '=-++=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为(0)0k f '==， 所以曲线()y f x =在点0,1处的切线的斜率切线方程为()()100y x --=⨯-，即10y +=.(2)由()21si cos n 2f x x x a x x =-++，得()s 1co i s n f x x a x x '=--+因为函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 设()()1c s os in g x f x x a x x '==--+，则()cos 1sin g x a x x '=--. 因为si (n 0)001cos00g a =--+=， 所以使()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 则至少满足()00g '≤，即10a -≤，解得1a ≥. 下证明当1a ≥时，()0f x '≤恒成立， 因为3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0x ≥， 因为1a ≥，所以()sin 1cos f x x x x '≤--+.记s ()cos n 1i h x x x x =--+，则π()1sin 14cos h x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎝-⎪⎭. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<； 当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>. 所以函数()h x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在π3π,24⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增.因为ππ(),h h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭33001044， 所以()h x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)0h =. 即()()1sin cos 0f x h x x x x '≤=--+≤在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立. 所以a 的取值范围为[)1,+∞. 4．(1)①112y x =-；②证明见解析 (2){}()210,e -⋃【解析】 【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；②令()e 1e x xg x x =+-，利用导数判断出()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ，利用列表法证明出()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点；（2）令()e xh x a ax =+-.对a 分类讨论：①0a <，得到当1a =-时，()f x 无零点；②0a >，()f x 无零点，符合题意. (1)若1a =，则()1e 1x xf x =-+，()2e 1e (e 1)x x x x f x +-=+'.①在0x =处，()()21110211f '+==+，(0)1f =-. 所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为112y x =-.②令()e 1e x xg x x =+-，()e x g x x '=-，在区间(0,)+∞上，()0g x '<，则()g x 在区间(0,)+∞上是减函数.又(1)10,g =>()22e 10,g =-+<，所以()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x . 列表得：0(2)()e e x x ax af x a--=+，令()e x h x a ax =+-，则()e xh x a '=-.①若0a <，则()0h x '>，()h x 在R 上是增函数.因为11e 10a h a a ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1 e > 0h =，所以()h x 恰有一个零点0x . 令0e 0x a +=，得0ln()x a =-.代入0()0h x =，得()ln 0a a a a -+--=， 解得1a =-.所以当1a =-时，()h x 的唯一零点为0，此时()f x 无零点，符合题意. ②若0a >，此时()f x 的定义域为R .当ln x a <时，()0h x '<，()h x 在区间(,ln )a -∞上是减函数； 当ln x a >时，()0h x '>，()h x 在区间(ln ,+)a ∞上是增函数. 所以min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-. 又()010h a =+>，由题意，当2ln 0a a a ->，即20e a <<时，()f x 无零点，符合题意. 综上，a 的取值范围是{}()210,e -⋃.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围.5．(1)()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接求导后判断单调性即可；（2）先变形得到323033x a x x -=++，构造函数，求导后说明单调性即可证明. (1)当1a =时，()()321313f x x x x =-++，2()23f x x x '=--. 令()0f x '=，解得1x =-或3x =，当()(),13,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x '>；当(1,3)x ∈-时，()0f x '<， 故()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减.(2)()321()2333y f x a x a x x =-=-++，由于2330x x ++>，所以()20f x a -=等价于3230.33x a x x -=++设()32333x g x a x x =-++， 则()g x '()()222269033x x x xx ++=++，当且仅当0x =或3x =-时，()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，故()g x 至多有一个零点，从而()2y f x a =-至多有一个零点. 6．(1)1- (2)极小值32【解析】 【分析】（1）求导函数，结合(2)2f '=解方程即可；（2）令()0f x '=进而分析单调性，即可求出极值． (1)由题意可得()1a f x x a x '-=-+，故()12222a f a -'=-+=， 1.a ∴=- (2)由（1）得21()2ln 2f x x x x =+-，所以()()210f x x x x'=+->，令()210f x x x'=+-=，解得1x =，因为 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()y f x =在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时，函数()f x 取得极小值()312f =．7．(1)5,3ln 22⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦；(2)答案见解析. 【解析】 【分析】(1)代入a ＝1，求f (x )导数，根据导数判断f (x )在[1，2]上的单调性即可求其值域；(2)根据a 的范围，分类讨论f (x )导数的正负即可求f (x )的单调性. (1)a ＝1，则()2121ln ,02f x x x x x =--+>，()22121(1)20x x x f x x x x x-+-=-+='=，∴()f x 在()0,∞+单调递增，∴f (x )在[]1,2单调递增，∴()()()51,2,3ln 22f x f f ⎡⎤⎡⎤∈=--+⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 即f (x )在[1，2]上值域为5,3ln 22⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦；(2)()()()()()223232,0x a a x ax a x a a f x x a a x x x x'-++--=-++==>，()10f x x a '=⇒=，22x a =， 200a a a -≠⇒≠且1a ≠，①当1a >时，21a a >>，0x a <<或2x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，2a x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；②当01a <<时，201a a <<<，20x a <<或x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，2a x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；③当0a <时，20a a >>，20x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，2x a >，()0f x '>，()f x 单调递增；综上，当0a <时，f (x )在()20,a 单调递减，在()2,a +∞单调递增；当01a <<时，f (x )在()20,a ，(),a +∞单调递增，在()2,a a 单调递减；当1a >时，f (x )在()0,a ，()2,a +∞单调递增，在()2,a a 单调递减.8．(1)1y = (2)(],4∞- 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解即可； （2）分离变量可得()()()e 1ln x x k g x x++≤=，利用导数可求得()()e 4g x g ≥=，由此可得k 的取值范围. (1)()2211ln ln x xf x x x--'==-，()10f '∴=，又()11f =， ()f x ∴在1x =处的切线方程为1y =；(2)当e x ≥时，由()e k f x x ≥+得：()()()()e 1ln e x x k x f x x++≤+=， 令()()()e 1ln x x g x x++=，则()2eln x xg x x -'=， 令()eln h x x x =-，则()ee1x h x xx-'=-=， ∴当e x ≥时，()0h x '≥，()h x ∴在[)e,+∞上单调递增，()()e e elne 0h x h ∴≥=-=，()0g x '∴≥，()g x ∴在[)e,+∞上单调递增，()()()2e 1ln e e 4eg x g +∴≥==， 4k ∴≤，即实数k 的取值范围为(],4∞-.【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义、利用导数解决函数中的恒成立问题；解决恒成立问题的基本思路是采用分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间关系，即由()a f x ≥得()max a f x ≥；由()a f x ≤得()min a f x ≤.9．(1)25y x =+(2)0b =【解析】【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）由()2f x ≥恒成立构造函数()()2g x f x =-，对b 进行分类讨论，结合()'g x 研究()g x 的最小值，由此求得b 的值.(1) 当114a b ==-，时，()4e 21x f x x =-+，则()4e 2x f x '=-又因为(0)5,(0)2f f '==所以曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程为()520y x -=-， 即25y x =+．(2)当1a =时，令函数()()()2e 11x g x f x b x =-=+--， 则()2f x ≥恒成立等价于()0g x ≥恒成立．又()e 1,x g x b '=+-．当1b ≥时，()e 10,x g x b '=+->，g (x )在R 上单调递增，显然不合题意； 当1b <时，令()e 10,x g x b '=+-<，得ln(1)x b <-．令()e 10x g x b '=+->，得()ln 1x b >-，所以函数g (x )在(,ln(1))b -∞-上单调递减，在(ln(1),)b -+∞上单调递增， 所以当ln(1)x b =-时，函数g (x )取得最小值．又因为()00g =，所以0x =为g (x )的最小值点．所以ln(1)0b -=，解得0b =．10．(1)25y x =+(2)[1,)-+∞【解析】【分析】（1）求出()'f x ，然后算出(0),(0)f f '即可；（2）由条件可得e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立，构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则原不等式等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立，然后可证明2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，然后得()h x 在()1,+∞上单调递增，然后即可求解. (1) 当114a b ==-，时，()4e 21x f x x =-+，则()4e 2x f x '=-又因为(0)5,(0)2f f '==所以曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程为25y x =+.(2)()()ln 1f x b a x ⎡>-⎣恒成立，即e 1ln(1)ln x bx x b x b a a +-+>-+恒成立. 等价于e (ln )1ln(1)xb x a x b x a+->-+-恒成立. 构造函数()ln (1)h x x b x x =+>，则e e ln 1ln(1)x xb x b x a a+>-+-在(2,)x ∈+∞上恒成立等价于e ()x h a(1)h x >-在(2,)x ∈+∞上恒成立. 因为20e <≤a ，所以2e e ,xx a -≥ 令函数2()e 1(2)x H x x x -=-+>，则2()e 1x H x -'=-，显然()H x '是增函数， 则()(2)0,()H x H H x ''>=在()2,+∞上单调递增，所以()()20H x H >=， 故2e 1e 10xx x x a--+≥-+>，从而可得()h x 在()1,+∞上单调递增， 所以当()1,x ∈+∞时，()10bh x x'=+≥恒成立. 所以b x ≥-，所以1b ≥-，即b 的取值范围是[-1，+∞）【点睛】关键点睛：解答本题第二问的关键是将原不等式变形，构造出函数()ln (1)h x x b x x =+>，属于函数的同构类型，解答的关键是观察不等式的特点，变成同一函数在两个变量处的取值.。

高中数学选修2第五章一、单选题1．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V （单位：L ）与直径d （单位：dm ）的关系式为V =πd 36，当d =2dm 时，气球体积的瞬时变化率为（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π42．若点P 是曲线y =lnx ―x 2上任意一点，则点P 到直线l ：x +y ―6=0的距离的最小值为( )A ．22B ．32C ．522D ．9223．函数f (x )=13a x 3+12a x 2―2ax +2a +1的图象经过四个象限的一个充分必要条件是( )A ．―43<a <―13B ．―1<a <―12C ．―2<a <0D ．―65<a <―3164．根据公式sin3α=3sin α―4sin 3α，sin10°的值所在的区间是（ ）A ．(17,16)B ．(16,15)C ．(15,14)D ．(14,13)5．已知函数f (x )=ax +ln a ，g (x )=x +e x ―ln x ，若关于x 的不等式f (x )>g (x )在区间(0，+∞)内有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(e ，e 2]B ．(e ，e 22]C ．(e 2，e 3]D ．(e 22，e 33]6．设函数 f (x )=e xx―t (ln x +x +2x ) 恰有两个极值点，则实数 t 的取值范围是（ ）A ．(―∞，12]B ．(12，+∞)C ．(12，e 3)∪(e3，+∞)D ．(―∞，12]∪(e3，+∞)7．已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数， f (―1)=0 ，当 x <0 时， x f ′(x )+f (x )<0 ，则使得 f (x)>0 成立的 x 的取值范围是（ ） A ．(―∞，―1)∪(0，1)B ．(―1，0)∪(1，+∞)C ．(―∞，―1)∪(―1，0)D ．(0，1)∪(1，+∞)8．函数 f (x )=|x |ex ，方程 [f (x )]2―(m +1)f (x )+1―m =0 有4个不相等实根，则 m 的取值范围是（ ）A ．(e 2―e e 2+e，1)B ．(e 2―e +1e 2+e ，+∞)C ．(e 2―e +1e 2+e ，1)D ．(e 2―e e 2+e，+∞)二、多选题9．对任意的x∈R，函数f(x)=x3＋ax2+7ax不存在极值点的充分不必要条件是（ ）A．0≤a≤21B．1≤a≤20C．a<0D．a=21 10．已知函数f(x)=e xx2―x+1，则下列结论正确的是（ ）A．函数f(x)存在极大值和极小值B．函数f(x)不存在最小值与最大值C．当x∈[0，3]时，函数f(x)最大值为eD．当x∈[12，e]时，函数f(x)最小值为e2311．已知函数f(x)=14x 4+12a x2+ax，则下面说法正确的是（ ）A．存在实数a，使f(x)有最小值且最小值小于0B．对任意实数a，f(x)有最小值且最小值不小于0C．存在正实数a和实数x0，使f(x)在(―∞，x0)上递减，在(x0，+∞)上递增D．对任意负实数a，存在实数x0，使f(x)在(―∞，x0)上递减，在(x0，+∞)上递增12．若f（x）图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对[A，B]称为函数f（x）的“友情点对”（点对[A，B]与[B，A]视为同一个“友情点对”）若f(x)={x3e x,x≥0ax2,x<0恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（ ）A．0B．―12018C．―1eD．―12021三、填空题13．函数f(x)=12x―x3在区间[―3，3]的最小值是 .14．设曲线y=e ax+sine在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= ．15．关于x的方程kx―lnxx =2在区间[1e,e]上有两个实根，则实数k的最小值是 .16．已知函数f(x)=x3―a e x，若函数f(x)有三个极值点x1,x2,x3(x1<x2<x3)，若x3≥3x2，则实数a的取值范围是 .四、解答题17．求下列函数的导数：（1）f(x)=(1+sin x)(1―4x)；（2）f(x)=xx+1―2x.18．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．（1）求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；（2）求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．19．已知函数f (x )=x 3+a x 2+x (a ∈R )（1）若函数f (x )存在两个极值点，求a 的取值范围；（2）若f (x )≥xlnx +x 在(0，+∞)恒成立，求a 的最小值.20．设f n （x ）=x+x 2+…+x n ﹣1，x≥0，n ∈N ，n≥2．（Ⅰ）求f n ′（2）；（Ⅱ）证明：f n （x ）在（0，23）内有且仅有一个零点（记为a n ），且0＜a n ﹣12＜13（23）n ．21．已知函数f （x ）=lnx+a （x 2﹣3x+2），其中a 为参数．（1）当a=0时，求函数f （x ）在x=1处的切线方程； （2）讨论函数f （x ）极值点的个数，并说明理由；（3）若对任意x ∈[1，+∞），f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围．22．设函数 f (x )=1x ―eex ,g (x )=a (x 2―1)―lnx （ a ∈R ， e 为自然对数的底数）.（1）证明：当 x >1 时， f (x )>0 ； （2）讨论 g (x ) 的单调性；（3）若不等式 f (x )<g (x ) 对 x ∈(1,+∞) 恒成立，求实数 a 的取值范围.参考答案1．A2．B解：已知函数y=lnx―x2，可得y′=1x―2x,(x>0)，直线l:x+y―6=0的斜率为-1，令y′=―1,即1x―2x=―1，可得(x―1)(2x+1)=0，因为x>0，可得x=1，则y=―1，即平行于直线l:x+y―6=0且与曲线y=lnx―x2相切的切点坐标为P(1,―1)，由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为d=|1―1―6|2=32.3．D。