【百强校】2015-2016学年福建师大附中高一下学期期末数学试卷(带解析)

福建省师大附中2015—2016学年度下学期期末考试高一数学试题（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 角的终边过点，则的值是(******* ) A ． B ． C ． D ．－ 2. sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=(******* )A ．B ．C ．D ．3.设向量=(m ,1)， =(1,2)，且|+|2=||2+||2，则m =(******* )A ．B ．1C ．D ． 4. 下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(******* )A ．y=sin （2x+）B ．y=cos （2x+）C ．y=sin2x+cos2xD ．y=sinx+cosx 5．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， =x+y ，且=3，则(******* ) A ．x=，y= B ．x=，y= C ．x=，y= D ．x=，y=6. 若，则 (******* )A ．B ．C ．D ．7．将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为(******* )A ．y =2sin(2x +π4)B ．y =2sin(2x +π3)C ．y =2sin(2x –π4)D ．y =2sin(2x –π3)8． 函数的部分图像如图所示，则（******） A ． B ． C ． D ．9. ()()001tan181tan 27++的值是(******* )A ．B ．C ．2D ． 10.在中，若，则一定是(******* )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定 11．设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为，且，则(******* )A ．在单调递减B ．在单调递减C ．在单调递增D ．在单调递增12．定义在R 上的偶函数满足，且在[-3，-2]上是减函数，若是 锐角三角形的两个内角，则(******* )A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 共90分二、填空题：（每小题4分，共28分.请把答案填在答卷上） 13. 设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a b ，则x = ******** .14.已知向量()()(),12,4,5,,10OA k OB OC k ===-，且三点共线， 则******** .15.已知，，，则的值为 ******** .16.函数()sin(2)sin()()66f x x x x ππ=++-∈R 的值域为 ******** .17．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为 ******** .18．已知函数5()),6f x x π=+方程在区间上有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ******** .19.已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为的零点， 为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 ******** .三、解答题：（本大题共5题，满分62分）20．（本题满分12分）已知||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求|+|；（3）求在+方向上的投影． 21．（本题满分16分） （1）已知，求的值．(2) 已知3177cos(),,45124x x πππ+=<<求的值． 22.（本题满分为10分）如图所示，某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD 上划出一片三角形地块CMN 建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M ，N 分别在边AB ，AD 上．由于村建规划及保护生态环境的需要，要求△AMN 的周长为2千米，请探究∠MC N是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．23．（本题满分为12分）已知函数f （x ）=2sinωxcosωx+2sin 2ωx ﹣（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的单调增区间；（2）将函数f （x ）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g （x ）的图象，若y=g （x ）在[0，b]（b ＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．24.（本题满分为12分）已知函数x c x b a x f sin cos )(++=的图像经过点及 (1)已知时，恒成立，求实数的取值范围;(2)当取上述范围内的最大整数．．．．值时，若有实数，使得对于恒成立，求的值.福建师大附中2015-2016学年第二学期模块考试卷解答一、选择题：BDCBD ； BDACC ； AC 二、填空题：13. 14. 15. 16. 17． 18． 19.9三、解答题：（本大题共5题，满分62分） 20．（本小题满分12分）解：（1）∵||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3， ∴4||2﹣3||2﹣4•=3， ∴•=﹣，∴cos ＜•＞===﹣；（2）|+|===；（3）在+方向上的投影为===．21．（本小题满分16分） 21．解： （1）由，，∴．原式==，由以上知cosx ﹣sinx≠0， 所以上式== ==.22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (sin cos )(2)sin 1tan cos sin 1cos 1tan 17753sin 2sin 2tan(),,2,cos()1tan 4124344544sin(),tan().4543cos cos[()]44x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x πππππππππππ+++==---+==⋅+<<∴<+<+=-∴+=-+=-=+-由又7282,=-10102575x x =-=-=原式 22. （本小题满分10分）解：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x，AN=y，则BM=1﹣x，DN=1﹣y，在△CBM中，tanα=1﹣x，在△CDN中，tanβ=1﹣y，所以：tan（α+β）===，（5分）△AMN的周长为2千米，所以x+y+=2，化简得xy=2（x+y）﹣2，代入（*）式，可得tan（α+β）====1，由于α+β，所以α+β=，所以∠MCN是定值，且∠MCN=．﹣﹣﹣（10分）23．（本小题满分12分）23.解：（1）由题意得f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣=sin2ωx﹣cos2ωx=2sin（2ωx﹣），由最小正周期为π，得ω=1，所以，由，整理得，所以函数f（x）的单调增区间是．（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y=2sin2x+1的图象，所以g （x）=2sin2x+1，令g（x）=0，得或，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y=g（x）在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π+=．24.（本题满分为12分）(0)1,()11,112()(1)(sin cos ))sin ()4(1)sin (),)43(0,)(,)(,1]2444210())]|()|2)2,[f f a b ac b c afx a x x aa x ax t y at ax x tI a f x a a f x a a a πππππππ==+=+=∴==-∴=-++=-+++==-+∈∴+∈∴∈->∈-+≤-+≤∈-解：由可得设则、当时，此时可得10()110()),1)|()|2)2,(1,4[4(2)8,()8()4()()18()sin ()sin (144II a f x III a f x a a f x a a a a a f x x mf x nf x m n x x πππφφ-==-<∈-+≤-+≥-∈+-+==-++-=+-+-+-=、当时，，此时满足题意、当时，此时可得综上所述，的取值范围是可得则由得）令,8()cos )sin sin cos 148()1sin 0cos 0cos 1sin 011611,,2,1616x X m n m n X X m n X m n n m n m n k k Zπφφφφφφφππ+=+-++=⎧⎪+==⎧⎪⎪+==-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪==⎩∴===+∈得要使上式对任意恒成立，则有解得。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.如果{|1}A x x =>-，那么正确的结论是（ ）．A ．0A ⊆B ．{0}A ∈C ．{0}A ⊆D ．A ∅∈【答案】C考点：元素与集合的关系，集合与集合的关系.2.设f （x ）=3x + 3x －8，用二分法求方程3x + 3x －8=0在x ∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）<0，f （1.5）>0，f （1.25）<0，则方程的根落在区间（ ）．A ．（1.25，1.5）B ．（1，1.25）C ．（1.5，2）D ．不能确定【答案】A【解析】试题分析：根据根的存在性定理，又(1.25)0,(1.5)0f f <>，所以方程的根落在区间(1.25,1.5)上，故选A.考点：应用二分法确定方程的根所属的区间，方程的根的存在性定理.3.若函数()y f x =是函数1x y a a a =≠（>0，且）的反函数，且(2)1f =，则()f x =（ ）． A ．x 2log B ．x 24 C ．x 21log D ．22-x 【答案】A【解析】试题分析：根据反函数的性质，可知点(1,2)在函数1x y a a a =≠（>0，且）的图像上，所以有12a =，解得2a =，根据同底的指对函数互为反函数，所以有2()log f x x =，故选A.考点：反函数的概念，求函数解析式.4.若6.03=a ，2.0log 3=b ，36.0=c ，则（ ）．A ．c b a >>B ． b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】B考点：指数幂和对数值比较大小.5.高为H 、满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象是（ ）．【答案】B【解析】试题分析：根据题意有函数的自变量为水深h ，函数值为鱼缸中水的体积，所以当0h =时体积0v =，所以函数图像过原点，故排除A 、C ，根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快的，故选B.考点：函数图像的选取.6.下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）．A ．3y x =B ．1y x =+C ．21y x =-+D ． 2x y -=【答案】B【解析】试题分析：因为A 项是奇函数，C 、D 项中函数在(0,)+∞上是减函数，只有B 项是正确的，故选B. 考点：函数的奇偶性和单调性.7.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）． A .()f x ()g x 是偶函数 B . |()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D . |()f x ()g x |是奇函数【答案】C考点：函数的奇偶性.8.{1,2,3},{,}A b a b ==,则从A 到B 的映射共有（ ）个.A ．4个B ．6个C ．8个D ． 9 个【答案】C【解析】试题分析：集合A 中有3个元素，集合B 中有2个元素，所以A 中的每个元素在B 中都有2个元素可以选择与其对应，所以一共有328=种不同的对应关系，故选C.考点：映射.9.函数()log |1|a f x x =+（0>a 且1≠a ）.当(1,0)x ∈-时，恒有()0f x >，有（ ）．A ．()f x 在(,0)-∞+上是减函数B ．()f x 在(,1)-∞-上是减函数C ．()f x 在(0,)+∞上是增函数D ． ()f x 在(,1)-∞-上是增函数【答案】D【解析】试题分析：根据题意，当(1,0)x ∈-时，1(0,1)x +∈，而此时log 10a x +>，所以有01a <<，从而能够确定函数在(,1)-∞-上是增函数，在区间(1,)-+∞上是减函数，故选D.考点：函数的单调性.10.已知函数x e a x 0f (x)2x 1x 0⎧+≤=⎨->⎩，若函数)(x f 在R 上有两个不同零点，则a 的取值范围是（ ）．A. ),1[+∞-B.()+∞-,1C.()0,1-D.[)0,1-【答案】D考点：函数的零点，取值范围问题的求解.【易错点睛】该题属于已知函数零点个数求参数的取值范围问题，属于中档题目，在求解的过程中，一定要把握住函数有两个不同零点的条件，而分段函数应该分段来处理，注意当0x >时，根据所给的函数解析式，求得一个零点12，所以等价于0x e a +=有一个非正根，所以等价于函数,(,0]x a e x =-∈-∞的值域，从而求得结果，一定要注意分段函数分段处理和函数的转化问题.11.函数221ln )(x x x f -=的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：在同一个坐标系中，画出函数ln y x =和212y x =的图像，能够发现ln y x =的图形始终落在12y x =的图像的上方，故有()0f x <恒成立，故选B. 考点：函数的图像的选取.【方法点睛】该题属于选择函数图像的问题，属于较易题目，在选择函数图像的过程中，注意把握选择函数图像的方法，注意观察函数的定义域，对称性，函数值的符号，函数图像所过的特殊点以及函数图像的对称性、单调性和周期性，结合在一起，肯定能够将对应的函数图像选出来.12.已知函数|lg|,010,()16,10.2x xf xx x<≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c互不相等，且()()(),f a f b f c==则abc的取值范围是( )A．(1,10)B．(5,6)C．(10,12)D．(20,24)【答案】C考点：数形结合思想.【方法点睛】该题属于函数的典型题，利用数形结合思想，研究一次函数、对数函数的图象，从而利用()()()f a f b f c==，结合函数的图像以及对数的运算性质，得到abc c=，再从图中确定出c的取值范围，求得abc的取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数y=的定义域为.【答案】[1,0)(0,)-+∞考点：函数的定义域.14.已知函数()2log ,0,3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则18f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ． 【答案】127【解析】 试题分析：根据题意有211()log 388f ==-，31(3)327f --==，故答案为127. 考点：分段函数求多层函数值.15.已知偶函数()f x 的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时,()f x 单调递增. 若(2)0f =，则满足不等 式()0f x ≤的x 的取值范围是 .【答案】[2, 2]-【解析】试题分析：根据偶函数的性质，可知函数在(,0]-∞上单调减，结合(2)0f =可知，()0f x ≤等价于2x ≤，从而求得x 的取值范围是[2, 2]-.考点：偶函数的性质，不等式的解集.16.函数f (x )＝e x 2＋2x 的增区间为_______ .【答案】[1,)-+∞【解析】试题分析：222(1)1x x x e e ++-=，根据复合函数的单调性可以确定函数的增区间为函数2(1)1y x =+-的增区间，即[1,)-+∞.考点：复合函数的单调区间.【方法点睛】该题考查的是复合函数的单调区间的求解，属于中档题目，在求解的过程中，注意到复合函数单调性法则，同增异减，因为函数x y e =的是增函数，所以函数22()x x f x e+=的增区间转化为求二次函数2(1)1y x =+-的增区间即可.17.设函数x x f 2)(=，对任意的 x 1、x 2（x 1≠x 2），考虑如下结论：①f (x 1·x 2) = f (x 1) + f (x 2)； ②f (x 1 + x 2) = f (x 1)·f (x 2)； ③f (－x 1) = 1f (x 1) ；④ f (x 1) －1x 1 < 0 (x 1 ≠ 0)； ⑤)2(2)()(2121x x f x f x f +>+ 则上述结论中正确的是 .（只填入正确结论对应的序号）【答案】②③⑤考点：函数的性质.【思路点睛】该题考查的是函数的综合性质，属于较难题目，因为在选的过程中，少一个也不行，这就要求学生对函数的性质掌握的非常熟练，需要明确指数式的运算法则，可以确定②③是正确的，根据自变量的正负确定函数值与1的大小，从而确定④是错误的，结合函数图像的凹凸性，可以快速判断⑤是正确的.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）已知集合}51|{≥-≤=x x x A 或，集合{}22|+≤≤=a x a x B ．（1）若1-=a ，求B A 和B A ；（2）若B B A = ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）}12|{-≤≤-=x x B A ，}51|{≥≤=x x x B A 或 ；（2）2>a 或3-≤a .【解析】考点：集合的运算及性质.19.（本小题满分12分）求值：（1）()04130.753350.064[(2)]169---⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭； （2）设3436x y ==，求21x y+的值. 【答案】（1）2716； （2）1.【解析】 试题分析：第一小题利用乘方运算的性质，化简每个式子，求和即可得结果，第二小题利用3436x y ==，将,x y 用对数式表示，利用对数式的运算性质，将式子转化为以36为底的对数，利用对数的运算性质求得结果.试题解析：（1）原式1430.41(2)2---=-+-+101114168=-++2716=；……6分 （2）由3436x y ==得36log ;36log 43==y x ， ……8分 从而21x y +136log 4log 9log 4log 3log 236log 136log 2363636363643==+=+=+= ……12分考点：指数式的运算性质，利用对数的运算性质求值.20.(本小题满分12分)．已知()f x 为定义在[1,1]- 上的奇函数，当时，函数解析式为11()42x x f x =-. （Ⅰ）求()f x 在[0,1]上的解析式；（Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最值．【答案】（Ⅰ）()24x x f x =-；（Ⅱ）最大与最小值分别为0，2-.考点：利用奇函数的定义求函数的解析式，求函数在给定区间上的最值.21.(本小题满分12分)．如图，有一块矩形空地ABCD ，要在这块空地上开辟一个内接四边形EFGH 为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上. 已知AB =a （a >2），BC =2，且AE =AH =CF =CG ，设AE =x ，绿地EFGH 面积为y .（1）写出y 关于x 的函数解析式，并求出它的定义域；（2）当AE 为何值时，绿地面积y 最大？并求出最大值。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.角α的终边过点(4,3),(0)P k k k -<，则cos α的值是( ) A ．35B ．45C ．35-D ．－45【答案】B 【解析】 试题分析：()()()0553422<-==+-=k k k k k r ，而5454cos =--==k k r x α，故选B. 考点：三角函数的定义2.sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( ) A ．23-B ．23C ．21-D ．21【答案】D 【解析】试题分析：原式等于()2130sin 1020sin 10sin 20cos 10cos 20sin 000000==+=+，故选D. 考点：两角和与差的三角函数3.设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =( )A ． 1-B ．1C ．2-D ．2 【答案】C考点：向量数量积4.下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y=sin （2x+2π） B ．y=cos （2x+2π） C ．y=sin2x+cos2x D ．y=sinx+cosx【答案】B考点：三角函数的性质5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， =x+y，且=3，则( )A ．x=，y=B ．x=，y=C ．x=，y=D ．x=，y=【答案】D 【解析】试题分析：()OP OA OB OP PA BP -=-⇔=33,整理为OP OB OA OP 34+=⇔+=所以43=x ，41=y ，故选D. 考点：平面向量基本定理6.若3cos()45πα-=，则sin 2α=( ) A ．725 B ．725- C ．15- D ．15【答案】B【解析】 试题分析：()53sin cos 224cos =+=⎪⎭⎫⎝⎛-αααπ，两边平方后得:()2518sin cos 2=+αα25182sin 1=+⇔α,解得2572sin -=α，故选B. 考点：三角函数恒等变形 7.将函数y=2sin (2x+6π)的图像向右平移4π个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y=2sin(2x+4π) B ．y=2sin(2x+3π) C ．y=2sin(2x –4π) D ．y=2sin(2x –3π)【答案】D考点：三角函数的变换【易错点睛】本题考查了三角函数的变换，属于基础题型，在三角函数的变换中，容易出错在两个地方，举例，①函数x y 2sin =向左平移6π个单位得到哪个函数，很多同学会写成⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y ，谨记“左+右－”指的是x ，所以应是⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 62sin ππx x y ，②⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，很多同学会写成⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12sin 6221sinππx x y ，谨记，横坐标伸长或缩短到原来的ω1倍，仅仅是x 前面的系数变了，与ϕ无关，所以应是⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y . 8.函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=【答案】A考点：()ϕω+=x A y sin 的图像 9.()()01tan181tan 27++的值是( )A B ．1．2 D ．()002tan18tan 27+【答案】C 【解析】试题分析：根据公式()127tan 18tan 127tan 18tan 2718tan 000000=-+=+，所以000027tan 18tan 127tan 18tan -=+，原式等于227tan 18tan 27tan 18tan 10000=+++，故选C.考点：两角和的正切函数10.在ABC ∆+ABC ∆一定是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定 【答案】C 【解析】-+BABA⋅-+=⋅++222222,化简为0=⋅,即BC BA ⊥,角B 为直角，所以是直角三角形，故选C. 考点：向量数量积11.设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( ) A ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 【答案】A考点：三角函数的图像和性质【方法点睛】本题考查了()ϕω+=x A y sin ⎪⎭⎫⎝⎛<>>200πϕω，，A 的性质，本题考查了两个问题，一是如何求函数解析式，二是如何判断三角函数的性质，A 是振幅，一般根据函数的最值求解，ωπ2=T ,ω一般根据周期求解，ϕ一般根据“五点法”求解，而象本题给出三角函数后，如何判断所给区间是否具有单调性，首先由x 的区间，代入求ϕω+=x u 的区间，然后判断ϕω+=x u 是否落在u y sin =的单调区间内. 12.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[-3，-2]上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则( )A ．()()sin sin f f αβ>B ．()()sin cos f f αβ<C ．()()sin cos f f αβ>D ．()()cos cos f f αβ< 【答案】C考点：函数的性质【思路点睛】本题考查了函数性质与解三角形的综合考察，属于中档题型，本题的难点是如何转化锐角三角形这个条件，即若是锐角三角形，需满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+<<<<22020πβαπβπα，这样βπα->2，这样根据函数的单调性，两边取三角函数，ββπαcos 2sin sin =⎪⎭⎫⎝⎛->，或是⎪⎭⎫⎝⎛-<βπα2cos cos βsin =，这个难点克服后，就容易想到根据函数的性质，转化为求函数()x f 在区间()1,0的单调性.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分28分，将答案填在答题纸上） 13.设向量a =(x ，x+1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x= . 【答案】23- 【解析】试题分析：根据两向量垂直，可得()0211=⨯++⨯x x ，解得32-=x ，故填：32-.考点：向量数量积14.已知向量()()(),12,4,5,,10OA k OB OC k ===-，且,,A B C 三点共线，则k = . 【答案】23-考点：向量共线的充要条件 15.已知,022ππαπβ<<<<，3tan 4α=-，()5cos 13βα-=， 则sin β的值为 . 【答案】6365【解析】试题分析：0-<<-αβπ，又因为()0135cos >=-αβ，所以02<-<-αβπ，()1312sin -=-αβ， 因为43tan -=α，所以53sin =α，54cos -=α，而()[]()()6563131********sin cos cos sin sin sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=-+-=-+=αβααβααβαβ，故填：6563. 考点：三角函数恒等变形16.函数()sin(2)sin()()66f x x x x ππ=++-∈R 的值域为 .【答案】928⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】 试题分析：设t x =-6π，那么()8941sin 2sin sin 21sin 2cos sin 22sin 22+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t t t t t t f π，因为[]1,1sin -∈t ，所以当41sin =t 时，函数取得最大值89，当1sin -=t 时，函数取得最小值-2，所以函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,2，故填：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,2.考点：三角函数的性质17.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为 .【答案】81考点：向量数量积18.已知函数5()),6f x x π=+方程()f x m =在区间[0,]2π上有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围是 .【答案】( 【解析】试题分析：如图，画出函数u y sin 3=的图像，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=611,65652πππx u ，此时()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,3x f ，当2π=x 时，23-=y 根据图像可得若有两个不同的实根，那么⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈23,3m ，故填：⎥⎦⎤⎝⎛23-3-，.考点：三角函数图像的应用【方法点睛】本题考查了三角函数图像的应用，属于基础题型，以复合函数的观点解决函数零点问题，首先设π652+=x u ，并且求出u 的取值范围，然后画出函数u y sin 3=的图像，这问题转化为m y =与三角函数图像交点的问题，通过图像很容易求出没有交点，一个交点，以及两个交点的m 的取值范围问题，切记，最好不要画⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π652sin 3x y 的图像，因为画这个图像对很多同学来说比较浪费时间得不偿失，一定画换元后的图像.19.已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 . 【答案】9考点：三角函数的性质【思路点睛】本题考查了三角函数的性质，属于中档题型，本题的难点是如何将这两个条件结合在一起，ω是与周期有关的量，对称轴与零点间的距离也与周期有关，这样根据图像得到244--4kTT +=⎪⎭⎫⎝⎛ππ,即ωππ24124122⋅+=+=k T k ，第二个条件⎪⎭⎫⎝⎛36518ππ，是单调区间的子集，所以其长度小于等于半个周期，这样就得到了ω的一个范围与形式，最后求最大值，只能通过从最大的逐个代起，找到ω的最大值. 三、解答题 （本大题共5小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 20.（本题满分12分）已知||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求|+|；（3）求在+方向上的投影．【答案】（1）127-；（2）6；（3）126.∴cos ＜•＞===﹣；（2）|+|===；（3）在+方向上的投影为===．考点：向量数量积【方法点睛】本题考查了向量数量积，属于基础题型，所涉及的公式包括（1）θcos b a b a=⋅，（2）ba b a⋅=θcos ，（3）22a a =，以及()2ba b a+=+，（4）0=⋅⇔⊥b a b a，（5）投影公式：向量a在b 方向上的投影为θcos a或是bb a ⋅，对于这类型的向量问题，要谨记公式，并且熟练运用公式避免计算错误.21.（本题满分16分） （1）已知，求的值．(2) 已知3177cos(),,45124x x πππ+=<<求2sin 22sin 1tan x x x +-的值．【答案】（1）41；（2）7528. ∴．原式==，由以上知cosx ﹣sinx≠0，考点：三角函数的恒等变形求值 22.（本题满分为10分）如图所示，某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD 上划出一片三角形地块CMN 建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M ，N 分别在边AB ，AD 上．由于村建规划及保护生态环境的需要，要求△AMN 的周长为2千米，请探究∠MCN 是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【答案】∠MCN 是定值，且∠MCN=4π． 【解析】试题分析：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x ，AN=y ，则BM=1﹣x ，DN=1﹣y ，若MCN ∠为定值，那么βα+为定值，即()βα+tan 为定值，根据所设条件，得到()βα+tan ()xyy x y x -++-=2，因为AMN ∆的周长等于222=+++y x y x ，将此式进行化简为()y x y x +-=+222，两边平方得到()22-+=y x xy ，代入正切公式得到定值.试题解析：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x ，AN=y ，则BM=1﹣x ，DN=1﹣y ，在△CBM 中，tan α=1﹣x ，在△CDN 中，tan β=1﹣y ，所以：tan （α+β）=()()()xyy x y x y x y x -++-=----+-=-+211111tan tan 1tan tan βαβα，（5分） △AMN 的周长为2千米，所以222=+++y x y x ，化简得()22-+=y x xy ，代入（*）式，可得tan （α+β）=()()()[]()()1222222=+-+-=-+-++-=-++-y x y x y x y x y x xy y x y x ， 由于α+β(0,)2π∈，所以α+β=4π，所以∠MCN 是定值，且∠MCN=4π．﹣﹣﹣（10分）考点：三角函数的实际应用 23.（本题满分为12分）已知函数f （x ）=2sin ωxcos ωx+23sin 2ωx ﹣3（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的单调增区间； （2）将函数f （x ）的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g （x ）的图象，若y=g（x ）在[0，b]（b ＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．【答案】（1）Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ；（2）1259π.试题解析：（1）由题意得f （x ）=2sin ωxcos ωx+23sin 2ωx ﹣3=sin2ωx ﹣3cos2ωx=2sin （2ωx ﹣3π），由最小正周期为π，得ω=1，所以()⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 2πx x f ， 由Z k k x k ∈+≤-≤-,223222πππππ，整理得k k x k ,12512ππππ+≤≤-Z ∈， 所以函数f （x ）的单调增区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ．【方法点睛】本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数图像的问题，属于基础题型，重点说说对于（1）所考查到的三角恒等变换的问题，比较常见，所使用的公式包括ααα2sin 21cos sin =，22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=，降幂后采用辅助角公式化简，()ϕ++=+x b a x b x a sin cos sin 22，其中ab=ϕtan ，这样函数就可以化简为()ϕω+=x A y sin .24.（本题满分为12分）已知函数x c x b a x f sin cos )(++=的图像经过点)1,0(A 及)1,2(πB(1)已知)2,0(π∈x 时，2|)(|≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)当a 取上述范围内的最大整数．．．．值时，若有实数φ,,n m ，使得1)()(=-+φx nf x mf 对于 R x ∈恒成立，求φ,,n m 的值.【答案】（1）[]234,2-+；（2）161=m ，161=n ，Z k k ∈+=,2ππφ. 【解析】试题分析：（1）首先根据条件可得a c b -==1，将函数转化为()()a x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=4sin 12π，根据条件可得⎪⎭⎫⎝⎛+4sin πx 的范围，最终讨论a -1的取值范围后，得到函数的值域，根据条件()2≤x f 得到a 的取值范围；（2）由（1）的结论可得8=a ，代入()()1=-+ϕx nf x mf ，要使上式对R x ∈∀恒成立，则需满足()⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0sin 0cos 18φφn n m n m ，得到参数的取值范围.试题解析：由12,1)0(=⎪⎭⎫⎝⎛=πf f ，可得，1,1=+=+c a b a ， 所以a c b -==1，所以()()a x a a x x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++-=4sin 12)cos )(sin 1(π，（1）设t x =⎪⎭⎫⎝⎛+4sin π，()a t a y +-=12， 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+πππ43,44x ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,22t ，(2)可得8=a ，则()⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 278πx x f 由()()1=-+φx nf x mf ，可得()14sin 274sin 278=⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+φππx x m n m ，令X x =+4π得，考点：1.三角函数的性质；2.恒成立问题.。

绝密★启用前【百强校】2015-2016学年福建师大附中高二下期末数学（理）试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：154分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、若,则（ ）A ．B ．C ．D ．2、如图，电路中共有个电阻与一个电灯，若灯不亮，则因电阻断路的可能性的种数为（ ）A ．B ．C ．D ．3、若多项式，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．4、将位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．5、对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．6、的展开式中含项的系数为（ ）A ．B ．C ．D ．7、的展开式中和的系数相等，则（ ）A ．B ．C ．D ．8、从中不放回地依次取个数，事件表示“第次取到的是奇数”，事件表示“第次取到的是奇数”，则（ ）A ．B ．C ．D ．9、学校要选派名爱好摄影的同学中的名参加校外摄影小组的期培训（每期只派名），由于时间上的冲突，甲、乙两位同学都不能参加第期培训，则不同的选派方式有（ ）A ．种B ．种C ．种 D ．种10、在4次的独立重复试验中，事件在一次试验中发生的概率为，则事件恰有1次发生的概率是（）A． B． C． D．11、直线的参数方程可以是（）A．（为参数）B．（为参数）C．（为参数）D．（为参数）12、已知随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．○…第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知（，且），通过变式可以得到：；若将赋给，又可得到；由已知也可得到：.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：.14、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），直线的方程为．已知点为曲线上任意一点，则点到直线的距离的最大值是 .15、设的展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为 .16、已知随机变量的分布列如下表，且，则的值为 .三、解答题（题型注释）17、为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件做为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值．（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）；①； ②； ③．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备的性能等级．（Ⅱ）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.（ⅰ）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望；（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数的数学期望．18、已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和数学期望.19、已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点,且,求直线的倾斜角的值．20、已知（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）设为正实数，且，求证：21、近年空气质量逐步恶化，出现雾霾天气的现象增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，某医院随机地对入院的50人进行了问卷调查，得到如下的列联表. 已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为 （Ⅰ）请将列联表补充完整； （Ⅱ）是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由.附：．（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行胃病检查，求至少有1位患有胃病的概率.22、某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：（Ⅰ）求关于的线性回归方程；（Ⅱ）据此估计广告费支出为10万元时，所得的销售额.（参考数据：，参考公式：回归直线方程，其中）参考答案1、A2、D3、A4、B5、C6、A7、B8、D9、D10、C11、C12、B13、14、15、16、17、（I）丙；（ⅰ）；（ⅱ）18、（Ⅰ）；（Ⅱ）19、（Ⅰ）；（Ⅱ）或20、（Ⅰ）；（Ⅱ）证明详见解析．21、（Ⅰ）列联表见解析；；（Ⅱ）有%的把握认为患心肺疾病与性别有关；（Ⅲ）分布列见解析，22、（I）；（II）【解析】1、试题分析：对两边求导，可得，取，得.考点：导数的应用.【思路点睛】本体主要考查利用导数以及赋值法解决二项式问题，本题在解答过程中要注意，切不可用二项式定理的公式解决；首先注意到要求的结果，根据，对两边求导数，即可得到要求的形式，然后再利用赋值法即可求出结果.2、试题分析：每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线，支线中至少有一个电阻断路情况都有种；支线中至少有一个电阻断路的情况有种，每条支线至少有一个电阻断路，灯就不亮，因此灯不亮的情况共有种情况.考点：分布计算原理.【思路点睛】每个电阻都有断路与通路两种情况，图中从上到下有3条支线，分别记为a、b、c，支线a、b中，至少有一个电阻断路的情况有3种，c中至少有一个电阻断路的情况有23-1=7种，再根据分步计数原理求得结果．3、试题分析：∵，在的展开式中，含的项为，∴．故选C．考点：二项式定理.4、试题分析：先将个人分成三组,或,分组方法有中,再将三组全排列有种,故总的方法数有种.又将位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，共有种，所以满足题意的概率为.考点：1.1排列组合；2.古典概型.【方法点晴】平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以其中为均分的组数,这是为了避免重复计数.非平均分组问题无分配对象，只要按比例分完，再用乘法计数原理来计算.非平均分组有分配对象，要把组数当作元素个数再做排列.分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列.5、试题分析：令，当时，，当时，当时，，所以，所以要使得不等式对任意实数恒成立；只要即可，∴或,故选C.考点：一元二次不等式的应用．6、试题分析：∵，故展开式中含项的系数为．考点：二项式定理的应用．7、试题分析：二项式展开式的通项为∴展开式中和的系数分别是∴，解得.故选B．考点：二项式定理.8、试题分析：由题意，，∴，故选D．考点：条件概率与独立事件．9、试题分析：派学生参加第1期培训的方法有种，派学生参加其余2期培训的方法有种，由分步计数原理可得不同的选派方式有种，故选D．考点：排列、组合及简单计数问题．10、试题分析：独立重复试验的性质可知，事件恰有1次发生的概率是.考点：独立重复试验.11、试题分析：根据题意，由于直线，则可知斜率为2，那么通过，消去参数t，可知选项A中，x，选项B，,选项D, ,可知范围不成立，故可知答案为C.考点：直线的参数方程．12、试题分析：随机变量ξ服从正态分布，∴曲线关于对称，∴，故选：B．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．13、试题分析：由，得，，所以.考点：1、二项式定理；2、合情与演绎推理．【知识点睛】归纳推理和类比推理是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论是正确的．14、试题分析：由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离为，其中，所以当时，点到直线的距离的最大值是.考点：参数方程.【思路点睛】由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离为，然后再根据三角恒等变换，化简可得其中，再根据三角函数的性质，即可求出结果.15、试题分析：由二项式系数的性质，可得，解可得，；的展开式为，令，可得，则展开式中常数项为15．考点：二项式定理.16、试题分析：由表格得到，．考点：离散型随机变量的期望与方差．17、试题分析：（I）利用条件，可得设备的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（II）易已知样本中次品共件，可轨迹设备生产零件的次品率为，（ⅰ）由题意可知，于是；（ⅱ）确定的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数的数学期望．试题解析：解：（Ⅰ），，，因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知，于是；（ⅱ）由题意可知的分布列为故．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．18、试题分析：（1）求古典概型概率，先确定两次检测基本事件个数：，再确定第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的基本事件个数，从而得所求事件概率为（2）先确定随机变量：最少两次（两次皆为次品），最多四次（前三次两次正品，一次次品），三次情况较多，可利用补集求其概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求期望试题解析：解:（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，（Ⅱ）的可能取值为200,300,400（或）故的分布列为考点：1.古典概型概率；2.分布列和数学期望.【方法点睛】（1）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.19、试题分析：（Ⅰ）两边同时成以，再根据，即可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线参数方程代入圆的直角坐标方程中，利用直线参数方程的几何意义求出弦长等于解出即可.试题解析：解：（Ⅰ）由，得.（Ⅱ）将代入圆的方程得，化简得设两点对应的参数分别为，则，∴，∴，，或考点：考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、直线参数的几何意义.【方法点睛】1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配，再利用互化公式转化．常见互化公式有等．2．参数方程化普通方程，关键是消参，常见消参方式有：代入法，两式相加、减，两式相乘除，方程两边同时平方等．3．若直线与曲线相交于，直线的斜率为，联立直线与曲线的方程，消去，再利用韦达定理将及的值整体代入弦长公式中即可达到目的，此思路体现了“设而不求”的思想．20、试题分析：本题主要考查绝对值不等式的解法、均值不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；第二问，由，所以，平方得（*），利用均值不等式得、、，相加得：，代入（*）中得到结论．试题解析：（Ⅰ）不等式等价于不等式组或，或，解不等式组，得或或，所以不等式的解集为．（Ⅱ）证明：∵，∴，∵为正实数，∴由均值不等式，得（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），∴（当且仅当时取等号），∴，∴（当且仅当时取等号）．考点：绝对值不等式的解法、均值不等式．21、试题分析：（Ⅰ）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病的概率为，可得患心肺疾病的人数，即可得到列联表；（Ⅱ）利用公式求得，与临界值比较，即可得到结论．（Ⅲ）在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，记选出患胃病的女性人数为，则服从超几何分布，即可得到的分布列、数学期望以及方差．试题解析：解：（Ⅰ）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病生的概率为，可得患心肺疾病的为30人，故可得,列联表补充如下（Ⅱ）因为的观测值≈8.333，又P（）=0.005=0.5%，所以，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．（Ⅲ）从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行胃病检查，至少有1位患有胃病的概率考点：独立性检验的应用．22、试题分析：（I）根据公式求回归方程，要求出的值，代入公式即可；（II）令代入回归直线方程即可求得销售额的值.试题解析：解：（Ⅰ），又已知，于是可得：因此，所求回归直线方程为：（Ⅱ）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，（万元）即这种产品的销售收入大约为82.5万元.考点：回归直线方程.。

绝密★启用前【百强校】2015-2016学年福建师大附中高二下期末文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：149分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、方程有且仅有两个不同的实数解，则以下结论正确的为 A ． B ．C ．D ．2、若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．3、函数（且）的图象可能为4、已知直线是的切线，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．5、将函数的图象向右平移个单位后得到函数，则函数A ．在区间上单调递减B ．在区间上单调递增C ．在区间上单调递减D ．在区间上单调递增6、在参数方程（,t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为，则线段BC 的中点M 对应的参数值是A ．B ．C ．D ．7、函数的部分图像如图所示，则A ．B ．C ．D ．8、函数的定义域是A ．B ．C ．D ．A． B． C． D．10、参数方程（t为参数）表示什么曲线A．一条直线 B．一个半圆 C．一条射线 D．一个圆11、若，则下列结论不正确的是A． B． C． D．12、A． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是 ．14、若＝ ．15、在极坐标系中，经过点且与极轴垂直的直线的极坐标方程为 ．16、设，角的终边经过点，则=__________．三、解答题（题型注释）17、已知函数，其中，为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．18、设函数（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）记函数的值域为，若，求的取值范围．19、某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．20、已知．（Ⅰ）求的最小值及此时的取值集合；（Ⅱ）将的图象向左平移个单位后所得图象关于原点对称，求的最小值．21、平面直角坐标系中，曲线．直线经过点，且倾斜角为．为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程；（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值．22、已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值．参考答案1、B2、A3、D4、C5、D6、B7、A8、C9、B10、C11、C12、D13、14、15、16、17、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）18、（Ⅰ）；（Ⅱ）19、（Ⅰ）；（Ⅱ）20、（Ⅰ）；（Ⅱ）21、（Ⅰ），（为参数）；（Ⅱ）或22、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】1、试题分析：依题意可知（不能等于0）令，然后分别做出两个函数的图象．因为原方程有且只有两个解，所以与仅有两个交点，而且第二个交点是和相切的点，即点为切点，因为，所以切线的斜率．而且点在切线上．于是将点代入切线方程可得：．故选B．考点：1．正弦函数的图象；2．数形结合．【思路点睛】本题是中档题，考查数形结合的思想，函数图象的交点，就是方程的根，注意：的图象只有轴右半部分和轴上半部分，且原点处没有值（因为不等于）；的图象是过原点的一条直线．由题意构造函数，然后分别做出两个函数的图象，利用图象和导数求出切点的坐标以及斜率，即可得到选项．2、试题分析：∵，∴，由不等式有实数解，知，解得．考点：绝对值不等式．【思路点睛】本题考查绝对值不等式、有关绝对值不等式恒成立的问题．利用大于的最小值，求出实数的取值范围是关键．根据绝对值不等式，求出的最小值等于，从而有大于的最小值，列出不等关系解出实数的取值范围即得．3、试题分析：,且定义域关于原点对称，所以函数为奇函数，又当时，所以图像可能是D．考点：1．函数奇偶性；2．函数图像．4、试题分析：设切点坐标为，∵曲线，∴，∴①，又∵切点在切线上，∴②，由①②，解得，∴实数的值为．故选C．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．5、试题分析：把函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：．即．当函数递增时，由，得．取，得．∴所得图象对应的函数在区间上单调递增．故选：D．考点：函数的图象变换．6、试题分析：，对于中点有同理∴线段的中点对应的参数值是，故选B．考点：1．圆的参数方程；2．中点坐标公式．【思路点睛】本题考查圆的参数方程和中点的坐标公式，本题解题的关键是已知圆上的点，写出点对应的参数式，根据两个点在圆上，可以写出两个点对应的坐标，根据中点的坐标公式，表示出中点的坐标，得到要求的中点对应的参数值．7、试题分析：由图象可知，，所以，当时，，故选A．考点：函数的图象．8、试题分析：因为，所以选C．考点：1．函数的定义域；2．正切函数的性质．9、试题分析：因为是第二象限角，且，所以．考点：两角和的正切公式．10、试题分析：，其中它表示端点为的一条射线．考点：直线的参数方程．11、试题分析：，所以，故选项C不正确．考点：不等式的性质．12、试题分析：．考点：任意角的三角函数值．13、试题分析：解：．令，∵函数有两个极值点，则在区间上有两个实数根．，当时，，则函数在区间单调递增，因此在区间上不可能有两个实数根，应舍去．当时，令，解得．令，解得，此时函数单调递增；令，解得，此时函数单调递减．∴当时，函数取得极大值．当趋近于与趋近于时，，要使在区间上有两个实数根，则，解得．∴实数的取值范围是．考点：利用导数研究函数的极值．【思路点睛】．令，由于函数有两个极值点在区间上有两个实数根．．当时，直接验证；当时，利用导数研究函数的单调性可得：当时，函数取得极大值，故要使有两个不同解，只需要，解得即可．14、试题分析：因为，所以，又．考点：三角恒等变换．【思路点睛】因为，所以，又，由此代入数据，即可求出结果．15、试题分析：点的直角坐标为，故过此点且垂直于极轴的直线方程的直角坐标方程为，化为极坐标方程为．考点：简单曲线的极坐标方程．16、试题分析：．考点：任意角的三角函数．17、试题分析：（Ⅰ），令，当，，单增，，，单减；（Ⅱ）令，即恒成立，而，利用导数的性质和零点存在定理，即可求出结果．试题解析：（Ⅰ），令，当，，单增，，，单减；（Ⅱ）令，即恒成立，而，令，∵，在上单调递增，，当时，，在上单调递增，，符合题意；当时，在上单调递减，，与题意不合；当时，为一个单调递增的函数，而，，由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，当时，，从而在上单调递减，从而，与题意不合，综上所述：的取值范围为．考点：1．导数在函数单调性中的应用；2．函数的零点存在定理．18、试题分析：（Ⅰ）由于，故，分，和两种情况讨论，即可求出结果；（Ⅱ）分和两种情况，就可以求出结果．试题解析：解：（Ⅰ）由于，故当时，由，得，解得；当时，，得，解得综上，不等式的解集为（Ⅱ）当时，，的值域当，得，解得，又，故当时，，的值域当，得，解得，又，故综上，的取值范围为．考点：绝对值不等式．19、试题分析：（Ⅰ）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；（Ⅱ）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“”的规律．然后利用和第（Ⅰ）问类似的思路进行证明．试题解析：解：（Ⅰ）．（Ⅱ）=．左边[来源:学_科_网]考点：1．数学归纳法；2．归纳推理．【方法点睛】归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．20、试题分析：（Ⅰ），由三角函数的性质即可求出最值；（Ⅱ）图象向右平移个单位后所得图象对应的角析式为其为奇函数，那么图象关于原点对称，故：，，由此即可求出结果．试题解析：（Ⅰ）∴的最小值为-2，此时，，∴的取值集合为：（Ⅱ）图象向右平移个单位后所得图象对应的角析式为其为奇函数，那么图象关于原点对称，故：，∴，所以正数的最小值为．考点：1．三角恒等变换；2．三角函数的性质．【方法点睛】三角函数的一般性质研究：1．周期性：根据公式可求得；2．单调性：令，解出不等式，即可求出函数的单调递增区间；令，解出不等式，即可求出函数的单调递减区间；3．令或，即可求出函数取最大或最小值时的取值集合．21、试题分析：（Ⅰ）曲线．展开为：，把代入可得曲线的极坐标方程．直线的参数方程为：，（为参数）．（Ⅱ）设两点对应的参数分别为．把直线的参数方程圆的方程可得：，利用，可得，解得即可得出．试题解析：（Ⅰ）曲线．展开为：，可得，即曲线的极坐标方程为．直线的参数方程为：，（为参数）．（Ⅱ）设两点对应的参数分别为．把直线的参数方程代入，可得：．，解得或．考点：简单曲线的极坐标方程．22、试题分析：（Ⅰ）①，，化简整理即可求出结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，又，，可得，由此即可求出结果．试题解析：（Ⅰ）①，，即，（Ⅱ）由（1）得，又，，②．考点：1．同角的基本关系；2．诱导公式．。

绝密★启用前【百强校】2015-2016学年福建省师大附中高一上学期期末数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：163分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知点 ，是圆内一点，直线是以点为中点的弦所在直 线，直线的方程是，那么（ ）A ．且与圆相离B ．且与圆相交C ．与重合且与圆相离D ．且n 与圆相交【答案】A试卷第2页，共17页【解析】试题分析：直线是以点为中点的弦所在直线，所以，所以的斜率为，所以，圆心到直线的距离为，因为在圆内，所以，所以，所以直线与圆相离，故选A ．考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及应用，属于中档试题，对于直线和圆的位置关系分为相交、相离、相切三种情形，常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断，本题解答中利用直线是以点为中点的弦所在直线可求得其斜率，进而根据直线的方程可判断出两直线平行，表示出点到直线的距离，根据点在园内判断出和的关系，进而判断长圆心到直线的距离大于半径，判断长二者的关系是相离．2、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】 C 【解析】试题分析：由几何体的三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体的一个半球和一个半圆柱，所以其表面积为，又因为该几何体的表面积为，即，解得．考点：几何体的三视图；体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用和几何体的体积的计算与应用，属于中档试题，同时着重考查了学生的空间想象能力和运算能力，求解三视图问题时，要牢记三是的规则“长对正，高平齐、宽相等”，得到原结合体的形状，再根据几何体的体积公式求解几何体的体积，本题的解答中通过给定的三视图可得该几何体为一个半球和半个圆锥拼接的几何体，通过计算半球的体积和半个圆柱的体积，从而得到给几何体的体积． 3、已知点，点P 在圆，则使的点P 的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 试题分析：设，要使，只需到中点的距离为，而圆上的所有点到中点距离范围为，即，所以使的点的个数只有一个，就是中点与圆心连线与圆的交点．考点：点与圆的位置关系． 4、如图，在长方体中，，，则与平面所试卷第4页，共17页成角的正弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 试题分析：连接交于点，连接，因为长方体中，，所以平面，所以为与平面所成角，因为，，所以，故选D ．考点：直线与平面所成角的求解． 5、已知实数满足的最小值为（ ） A ．5B ．8C ．13D ．18【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，表示点到原点的距离，所以的最小值表示圆上一点到原点距离的最小值，又圆心到原点的距离为 ，所以的最小值为，故选B ．考点：圆的标准方程及圆的最值． 6、圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1关于直线对称的圆的方程为（ ）A ．B ．C ．（x+2）2+（y+4）2="1"D ．【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，圆心坐标为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以对称圆方程为．考点：点关于直线的对称点；圆的标准方程．7、若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的 体积是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，此问题是球内接长方体，所以可得长方体的对角线长等于球的直径，即，所以，所以求得体积为试卷第6页，共17页．考点：球的组合及球的体积的计算． 8、正方体中，的中点为，的中点为，异面直线与所成的角是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 试题分析：取的中点为，连接，则直线与所成角就是直线与所成的角，由题意得得，所以异面直线与所成的角是，故选B ．考点：异面直线所成的角． 9、已知若则m ＝（ ）A ．m="0"B ．m=1C ．m=0或m="1"D ．m=0或m=【答案】C 【解析】 试题分析：由，得，解得或，故选C ．考点：两直线垂直的应用．10、已知α，β是平面，m ，n 是直线．下列命题中不正确的是（ ） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ∥α，α∩β= n ，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D ．若m ⊥α，mβ，则α⊥β【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，A 中，若，则有直线与平面垂直的判定定理得，所以是正确的；B 中，若，则与平行或异面，所以是不正确的；C 中，若，则由平面与平面平行的判定定理得，所以是正确的；D 中，，则由平面与平面垂直的判定定理得，所以是正确的．考点：空间中线面位置的判定． 11、在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，根据空间直角坐标系，可得点关于轴对称的点的坐标是，故选D ．考点：空间直角坐标系． 12、已知直线方程，则这条直线的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，直线的斜率为，即，解得，故选C ．考点：直线的倾斜角．试卷第8页，共17页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是①；②；③；④；⑤；⑥其中正确答案的序号是 ．（写出所有正确答案的序号）【答案】④或⑥ 【解析】试题分析：由题意得，两直线之间的距离为，若直线被两平行线与所截得的线段的长为，所以直线与直线的夹角为，所以直线的倾斜角可以是或．考点：两平行线之间的距离；直线的夹角．【方法点晴】本题主要考查了两条平行线之间的距离公式的应用及两直线的位置关系的应用，属于中档试题，解答的关键是根据两平行线之间的距离和被截得的线段的长，确定两条直线的位置关系（夹角的大小），本题的解答中，根据平行线之间的距离和被截得的线段长为，确定直线与两平行线的夹角为，从而得到直线的倾斜角． 14、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于 ．【答案】【解析】试题分析：由题意得，不妨设棱长为，如图，在底面内的射影为的中心，故，由勾股定理得，过作平面，则为与底面所成角，且，作于中点，所以，所以，所以与底面所成角的正弦值为．考点：直线与平面所成的角． 15、若直线与曲线恰有一个公共点，则k 的取值范围是 ．【答案】【解析】 试题分析：曲线表示一个半圆，如图所示，当直线过点时，直线与半圆只有一个交点，此时；当直线过点时，直线与半圆有两个交点，此时；当直线与半圆相切时，只有一个公共点，，因此当或时，直线与曲线恰有一个公共点．考点：直线与圆的方程的应用．试卷第10页，共17页16、点P （4，－2）与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是 ．【答案】【解析】试题分析：设圆上任意一点为，中点为，则，所以，代入得，化简，所以轨迹方程为．考点：轨迹方程的求解．【方法点晴】本题主要考查了与圆有关的轨迹方程的求解，属于基础题，着重考查了代入法求解轨迹方程，其中确定坐标之间的关系是解答此类问题的关键．本题解答中通过设圆上任意一点为，表示中点为，确定出与中点坐标之间的关系，再代入圆的方程，化简即可得到动点的轨迹方程．17、在正方体中，二面角的正切值为 ．【答案】【解析】试题分析：设正方体的棱长为，则，取的中点，连接，则就是二面角的平面角，因为，所以．考点：二面角的求解． 18、不论为何值，直线恒过的一个定点是__________．【答案】【解析】试题分析：由题意得，直线，可化为，解方程组，解得，所以直线恒经过点．考点：直线方程．三、解答题（题型注释）19、在平面直角坐标系中，已知圆和圆．（1）求过点的圆的切线方程；（2）设P 为坐标平面上的点，且满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长是直线被圆截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）或；（2）或．【解析】试题分析：（1）设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，试卷第12页，共17页求解的值，从而确定切线的方程；（2）设出直线的方程，确定的方程，利用截得的弦长之间的关系转为圆心到两条直线的距离的关系，利用点到直线的距离求解列出方程，根据方程无穷多个解，确定的值，从而得到点的坐标．试题解析：（1）若切线的斜率存在，可设切线的方程为，则圆心到切线的距离，解得所以切线的方程为：;若切线的斜率不存在，则切线方程为，符合题意．综上所述，过点的圆的切线方程为或．（2）设点满足条件，不妨设直线的方程为：，即，则直线的方程为：，即．因为圆的半径是圆的半径的2倍，及直线被圆截得的弦长是直线被圆截得的弦长的2倍，所以圆的圆心到直线的距离是圆的圆心到直线的距离的2倍，即整理得 从而或，即或， 因为的取值有无穷多个，所以或，解得或，这样点只可能是点或点．经检验点和点满足题目条件．考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式和方程问题的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系求解圆的切线方程及利用点到直线的距离公式和方程解问题的综合应用，属于难度较大的试题，并着重考查了转化的思想方法和计算能力．本题的解答中设出直线的方程，根据垂直关系，确定的方程，利用截得的弦长之间的关系转为圆心到两条直线的距离的关系，利用点到直线的距离求解列出方程，根据方程无穷多个解，是解答一个难点，平时应重视圆的转化思想在求解圆的方程中的应用． 20、如图，三棱柱中，，，．（1）证明：； （2）若，，求三棱柱的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】试题分析：（1）取的中点O 连接、、，由得，由是等边三角形得，故平面，于是；（2）根据等边三角形性质求出，，由勾股定理逆定理得出，求出，于是三棱柱的体积，故可求得三棱锥的体积.试题解析：(1)取的中点O,连接、、,因为，所以,由于,,故为等边三角形,所以. 因为,所以平面.又平面,故.(2)由题设知：与都是边长为2的等边三角形，∵是边长为2的等边三角形，所以，试卷第14页，共17页又 ，则，故又∵且，所以平面，为棱柱的高， 又的面积，故三棱柱的体积，所以三棱锥的体积为1.21、一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱圈最高点距水面，拱圈内水面宽，船只在水面以上部分高，船顶部宽，故通行无阻，如下图所示．（1）建立适当平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程； （2）近日水位暴涨了，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到，）【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）建立平面直角坐标系，确定三点的坐标，根据，求解圆心坐标，从而得到圆的方程；（2）代入，可得米，可判断桥拱宽为的地方距离正常水位时水面的宽度，通过比较可判断船是否通过．试题分析：（1）解：在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x 轴，过拱圈最高点且与水面垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A ，B ，D 三点的坐标分别为（-16，0），（16，0），（0，8）．又圆心C 在y 轴上，故可设C （0，b ）． 因为|CD|=|CB|，所以，解得．所以圆拱所在圆的方程为：=400（2）当x=4时，求得y≈7．6，即桥拱宽为8m 的地方距正常水位时的水面约7．60m ， 距涨水后的水面约5．6m ，因为船高6．5m ，顶宽8m ，所以船身至少降低6．5-5．6=0．9（m ）以上，船才能顺利通过桥洞． 考点：圆的方程及其应用． 22、如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设、分别为、的中点．（1）求证：//平面；（2）求证：面平面；（3）求二面角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）利用线面平行的判定定理：连接，直线证明，利用中位线定理即可得证；（2）利用面面垂直的判定定理：只需证明面，进而转化为证明，可证为等腰直角三角形，可得；由面面的性质及正方形的性质可证面，得；（3）设的中点为，连接，则，由此可知平面，则是二面角的平面角，通过解可得所求二面角的正切值．试题解析：（1）证明：为平行四边形，连结，为中点， 为中点∴在中，//，且平面，平面∴（2）证明：面面，平面面又为正方形，且平面试卷第16页，共17页平面，∴，又是等腰直角三角形，又，且、面面又面，面面（3）解：设的中点为，连结，，则，由（2）知面面 ，是二面角的平面角在中，故所求二面角的正切值为考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；二面角的求解． 23、如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，．（1）求平行四边形的顶点D 的坐标；（2）在ACD 中，求CD 边上的高线所在直线方程；（3）求的面积．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）设的中点为，则由为的中点求得，设点坐标为，由已知得为线段中点，求的坐标；（2）求得直线的斜率，可得边上的高线所在的直线的斜率为，从而在中，求得边上的高线所在直线的方程；（3）求得，用两点式求得直线的方程，利用点到直线的距离公式，求得点到直线的距离，可得的面积．试题解析：（1）设点D 坐标为（x ，y ），由已知得M 为线段BD 中点，有[ 解得所以D （3，8）（2）所以CD 边上的高线所在直线的斜率为故CD 边上的高线所在直线的方程为，即为（3）由C ，D 两点得直线CD 的方程为：考点：待定系数法求直线方程；点到直线的距离公式．。

福建师大附中2012—2013学年度下学期期末考试高一数学试题（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.若0sin 02sin <>αα且，则α是（ *** ）A. 第二象限角B. 第三象限角C. 第一或第三象限角D. 第二或第三象限角2.︒︒︒︒+75sin 15cos 75cos 15sin 等于（ *** ）A. 0B.21C. 23D. 13.如图，已知3,AB a AC b BD DC a b ===，　， 用、　表示AD ，则AD 等于（***）A ．34a b +B ． 3144a b +C ．1144a b +D ． 1344a b +4.若a =(2,1)，b =(3,4)，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ *** ）A ．52B.2C.5D.105.已知角α的终边过与单位圆交于点43(,)55P -，则sin()tan()2sin()cos(3)πααπαππα--⋅+-等于何值（ *** ）A ．45 B ．54 C ．53 D ．53- 6．tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒+的值为（ **** ）A ．1 B．3CDA CD7．设1e 和2e 为不共线的向量，若21e ﹣32e 与k 1e +62e （k ∈R ）共线，则k 的值为( *** )A ．k=4B ．k=-4C ．k=-9D ． k=98．在ABC ∆+ABC ∆一定是（**** ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定9.同时具有性质“（1）最小正周期是π；（2）图像关于直线3π=x 对称；（3）在]3,6[ππ-上是增函数”的一个函数是（****） A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x y C ．)62sin(π-=x y D ．)62cos(π-=x y10．如右图，ABCD 是由三个边长为1的正方形拼成的矩形，且EAB α∠=，CAB β∠=， 则αβ+的值为 ( **** ) A ．34π B ．2π C ．3π D ． 4π 11.已知,OA OB是两个单位向量，且OA OB ⋅=0．若点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°， 则(,),OC mOA nOB m n R =+∈ 则mn等于（ **** ）A ．13 B C D ．312.若对任意实数a ，函数215sin()36k y x ππ+=-()k N ∈在区间[],3a a +上的值54出现不少于４次且不多于８次，则k 的值为（ **** ）A ．2B ．4C ．3或4D ．2或3第Ⅱ卷 共90分二、填空题：（每小题4分，共20分。

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福建师大附中2017-2018学年下学期期末考试高一数学试卷时间： 120分钟 满分： 150分第Ⅰ卷（选择题,共60分)一、选择题：每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1.已知平面向量a b 与的夹角为π，2||=，1||=，则=+|2|2。

设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若436=S S ，则=69S S3。

在等比数列{}n a 中， 315,a a 是方程2680x x -+=的根,则1179a a a 的值为4。

已知2tan =α，则α2cos 的值为5。

在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若cB 2cos =,则ABC ∆一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 0,01413><S S ，则当n S 取得最小值时,n 的值为 A ．5B ．6C ．7D ．87.在ABC ∆中,内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知o C c b 60,20,10===，则此三角形的解的情况是 A ．无解B ．一解C ．两解D ．无法确定8.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,611-==+n n S a a ，则=11S A ．)13(510-B ．1035⨯C ．13510+⨯D ．3312-9.一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°方向，与灯塔S 相距20 n mile ,随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min 后,又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为 A ．)63(20+ n mile/h B ．)62(20+n mile/h C ．)26(20-n mile/hD ．)36(20- n mile/h10。

一、选择题：（本题共11小题，每小题5分，共55分。

其中1—6为单选题，7—11为多选题。

多选题漏选得2分）1．如图所示，小船沿直线MN过河，船头始终垂直于河岸．若水流速度减小，为保持航线MN不变，下列措施与结论正确的是A．增大船速，过河时间不变B．增大船速，过河时间缩短C．减小船速，过河时间不变D．减小船速，过河时间变长D【答案】【名师点睛】解决本题的关键将小船渡河的运动可分解为沿河岸方向和垂直河岸方向两个分运动，通过分运动的时间去判断渡河的时间。

2．如图所示，在河岸上通过轮轴（轮套在有一定大小的轴上，轮与轴绕共同的中心轴一起转动）用细绳拉船，轮与轴的半径比R∶r=2∶1。

轮上细绳的速度恒为4 m/s，当轴上细绳拉船的部分与水平方向成60°角时，船的速度是A ．2m/sB ．4 m/sC ．8m/sD ．16 m/s【答案】B【解析】 试题分析：大轮和小轮的角速度相同，则根据v r ω=可知12v v R r=，解得v 2=2m/s ；对船vcos600=v 2，解得v=4m/s ，故选B ．考点：圆周运动；速度的分解【名师点睛】解题时关键是知道同一轴上的角速度实现相同的；将船的速度分解为沿绳子方向的速度和垂直绳子方向的速度.3．火星的质量是地球质量的n 倍，火星半径是地球半径的m 倍，则火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的 A ．m n 倍 B ．nm 倍 C ．2m n 倍 D ．n m 2倍 【答案】C考点：万有引力定律的应用【名师点睛】求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再进行之比；根据万有引力等于重力结合万有引力定律表示出重力加速度；4．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，有一质量为1kg 的小物体恰好能与圆盘始终保持相对静止。

物体与盘面间的动摩擦因数为0.6 (设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为14°， (取重力加速度g =10m/s 2，sin14°=0.24，cos14°=0.97)。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.角α的终边过点(4,3),(0)P k k k -<，则cos α的值是( ) A ．35B ．45C ．35-D ．－45【答案】B 【解析】 试题分析：()()()0553422<-==+-=k k k k k r ，而5454cos =--==k k r x α，故选B. 考点：三角函数的定义2.sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( ) A ．23-B ．23C ．21-D ．21【答案】D 【解析】试题分析：原式等于()2130sin 1020sin 10sin 20cos 10cos 20sin 0000000==+=+，故选D. 考点：两角和与差的三角函数3.设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =( )A ． 1-B ．1C ．2-D ．2 【答案】C考点：向量数量积4.下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y=sin （2x+2π） B ．y=cos （2x+2π） C ．y=sin2x+cos2x D ．y=sinx+cosx【答案】B考点：三角函数的性质5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， =x+y，且=3，则( )A ．x=，y=B ．x=，y=C ．x=，y=D ．x=，y=【答案】D 【解析】试题分析：()OP OA OB OP PA BP -=-⇔=33,整理为OP OB OA OP 34+=⇔+=所以43=x ，41=y ，故选D. 考点：平面向量基本定理6.若3cos()45πα-=，则sin 2α=( ) A ．725 B ．725- C ．15- D ．15【答案】B 【解析】 试题分析：()53sin cos 224cos =+=⎪⎭⎫⎝⎛-αααπ，两边平方后得:()2518sin cos 2=+αα25182sin 1=+⇔α,解得2572sin -=α，故选B. 考点：三角函数恒等变形7.将函数y=2sin (2x+6π)的图像向右平移4π个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y=2sin(2x+4π) B ．y=2sin(2x+3π) C ．y=2sin(2x –4π) D ．y=2sin(2x –3π)【答案】D考点：三角函数的变换【易错点睛】本题考查了三角函数的变换，属于基础题型，在三角函数的变换中，容易出错在两个地方，举例，①函数x y 2sin =向左平移6π个单位得到哪个函数，很多同学会写成⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y ，谨记“左+右－”指的是x ，所以应是⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 62sin ππx x y ，②⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，很多同学会写成⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12sin 6221sinππx x y ，谨记，横坐标伸长或缩短到原来的ω1倍，仅仅是x 前面的系数变了，与ϕ无关，所以应是⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y . 8.函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=【答案】A考点：()ϕω+=x A y sin 的图像 9.()()01tan181tan 27++的值是( )A B ．1．2 D ．()002tan18tan 27+ 【答案】C 【解析】试题分析：根据公式()127tan 18tan 127tan 18tan 2718tan 000000=-+=+，所以000027tan 18tan 127tan 18tan -=+，原式等于227tan 18tan 27tan 18tan 10000=+++，故选C.考点：两角和的正切函数10.在ABC ∆+ABC ∆一定是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定 【答案】C 【解析】-+BC BA BC BABC BA BC BA⋅-+=⋅++222222,化简为0=⋅BC BA ,即BC BA ⊥,角B 为直角，所以是直角三角形，故选C. 考点：向量数量积11.设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( ) A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 【答案】A考点：三角函数的图像和性质【方法点睛】本题考查了()ϕω+=x A y sin ⎪⎭⎫⎝⎛<>>200πϕω，，A 的性质，本题考查了两个问题，一是如何求函数解析式，二是如何判断三角函数的性质，A 是振幅，一般根据函数的最值求解，ωπ2=T ,ω一般根据周期求解，ϕ一般根据“五点法”求解，而象本题给出三角函数后，如何判断所给区间是否具有单调性，首先由x 的区间，代入求ϕω+=x u 的区间，然后判断ϕω+=x u 是否落在u y sin =的单调区间内.12.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[-3，-2]上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则( )A ．()()sin sin f f αβ>B ．()()sin cos f f αβ<C ．()()sin cos f f αβ>D ．()()cos cos f f αβ< 【答案】C考点：函数的性质【思路点睛】本题考查了函数性质与解三角形的综合考察，属于中档题型，本题的难点是如何转化锐角三角形这个条件，即若是锐角三角形，需满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+<<<<22020πβαπβπα，这样βπα->2，这样根据函数的单调性，两边取三角函数，ββπαcos 2sin sin =⎪⎭⎫⎝⎛->，或是⎪⎭⎫⎝⎛-<βπα2cos cos βsin =，这个难点克服后，就容易想到根据函数的性质，转化为求函数()x f 在区间()1,0的单调性.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分28分，将答案填在答题纸上） 13.设向量a =(x ，x+1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x= . 【答案】23- 【解析】试题分析：根据两向量垂直，可得()0211=⨯++⨯x x ，解得32-=x ，故填：32-. 考点：向量数量积14.已知向量()()(),12,4,5,,10OA k OB OC k ===-，且,,A B C 三点共线，则k = .【答案】23-考点：向量共线的充要条件 15.已知,022ππαπβ<<<<，3tan 4α=-，()5cos 13βα-=， 则sin β的值为 . 【答案】6365【解析】试题分析：0-<<-αβπ，又因为()0135cos >=-αβ，所以02<-<-αβπ，()1312sin -=-αβ，因为43tan -=α，所以53sin =α，54cos -=α，而()[]()()6563131********sin cos cos sin sin sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=-+-=-+=αβααβααβαβ，故填：6563. 考点：三角函数恒等变形16.函数()sin(2)sin()()66f x x x x ππ=++-∈R 的值域为 .【答案】928⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】 试题分析：设t x =-6π，那么()8941sin 2sin sin 21sin 2cos sin 22sin 22+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t t t t t t f π，因为[]1,1sin -∈t ，所以当41sin =t 时，函数取得最大值89，当1sin -=t 时，函数取得最小值-2，所以函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,2，故填：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,2. 考点：三角函数的性质17.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为 .【答案】81考点：向量数量积18.已知函数5()),6f x x π=+方程()f x m =在区间[0,]2π上有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围是 .【答案】(【解析】试题分析：如图，画出函数uy sin3=的图像，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=611,65652πππxu，此时()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,3xf，当2π=x时，23-=y根据图像可得若有两个不同的实根，那么⎥⎦⎤⎝⎛-∈23,3m，故填：⎥⎦⎤⎝⎛23-3-，.考点：三角函数图像的应用【方法点睛】本题考查了三角函数图像的应用，属于基础题型，以复合函数的观点解决函数零点问题，首先设π652+=xu，并且求出u的取值范围，然后画出函数uy sin3=的图像，这问题转化为my=与三角函数图像交点的问题，通过图像很容易求出没有交点，一个交点，以及两个交点的m的取值范围问题，切记，最好不要画⎪⎭⎫⎝⎛+=π652sin3xy的图像，因为画这个图像对很多同学来说比较浪费时间得不偿失，一定画换元后的图像.19.已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x，ωϕωϕ=>≤=-为()f x的零点，π4x=为()y f x=图像的对称轴，且()f x在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 .【答案】9考点：三角函数的性质【思路点睛】本题考查了三角函数的性质，属于中档题型，本题的难点是如何将这两个条件结合在一起，ω是与周期有关的量，对称轴与零点间的距离也与周期有关，这样根据图像得到244--4kT T +=⎪⎭⎫⎝⎛ππ,即ωππ24124122⋅+=+=k T k ，第二个条件⎪⎭⎫⎝⎛36518ππ，是单调区间的子集，所以其长度小于等于半个周期，这样就得到了ω的一个范围与形式，最后求最大值，只能通过从最大的逐个代起，找到ω的最大值. 三、解答题 （本大题共5小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 20.（本题满分12分）已知||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求|+|；（3）求在+方向上的投影．【答案】（1）127-；（2）6；（3）126.∴cos ＜•＞===﹣；（2）|+|===；（3）在+方向上的投影为===．考点：向量数量积【方法点睛】本题考查了向量数量积，属于基础题型，所涉及的公式包括（1）θcos b a b a=⋅，（2）ba b a⋅=θcos ，（3）22a a =，以及()2ba b a +=+，（4）0=⋅⇔⊥b a b a ，（5）投影公式：向量a在b 方向上的投影为θcos a 或是bb a ⋅，对于这类型的向量问题，要谨记公式，并且熟练运用公式避免计算错误.21.（本题满分16分） （1）已知，求的值．(2) 已知3177cos(),,45124x x πππ+=<<求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．【答案】（1）41；（2）7528.∴．原式==，由以上知cosx﹣sinx≠0，考点：三角函数的恒等变形求值22.（本题满分为10分）如图所示，某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD上划出一片三角形地块CMN建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M，N分别在边AB，AD上．由于村建规划及保护生态环境的需要，要求△AMN的周长为2千米，请探究∠MCN是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【答案】∠MCN 是定值，且∠MCN=4π． 【解析】试题分析：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x ，AN=y ，则BM=1﹣x ，DN=1﹣y ，若MCN ∠为定值，那么βα+为定值，即()βα+tan 为定值，根据所设条件，得到()βα+tan ()xyy x y x -++-=2，因为AMN ∆的周长等于222=+++y x y x ，将此式进行化简为()y x y x +-=+222，两边平方得到()22-+=y x xy ，代入正切公式得到定值.试题解析：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x ，AN=y ，则BM=1﹣x ，DN=1﹣y ，在△CBM 中，tan α=1﹣x ，在△CDN 中，tan β=1﹣y ，所以：tan （α+β）=()()()xyy x y x y x y x -++-=----+-=-+211111tan tan 1tan tan βαβα，（5分） △AMN 的周长为2千米，所以222=+++y x y x ，化简得()22-+=y x xy ，代入（*）式，可得tan （α+β）=()()()[]()()1222222=+-+-=-+-++-=-++-y x y x y x y x y x xy y x y x ， 由于α+β(0,)2π∈，所以α+β=4π，所以∠MCN 是定值，且∠MCN=4π．﹣﹣﹣（10分）考点：三角函数的实际应用 23.（本题满分为12分）已知函数f （x ）=2sin ωxcos ωx+23sin 2ωx ﹣3（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的单调增区间； （2）将函数f （x ）的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g （x ）的图象，若y=g（x ）在[0，b]（b ＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．【答案】（1）Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ；（2）1259π.试题解析：（1）由题意得f （x ）=2sin ωxcos ωx+23sin 2ωx ﹣3=sin2ωx ﹣3cos2ωx=2sin （2ωx ﹣3π），由最小正周期为π，得ω=1，所以()⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 2πx x f ， 由Z k k x k ∈+≤-≤-,223222πππππ，整理得k k x k ,12512ππππ+≤≤-Z ∈，[KS5UKS5U] 所以函数f （x ）的单调增区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ．【方法点睛】本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数图像的问题，属于基础题型，重点说说对于（1）所考查到的三角恒等变换的问题，比较常见，所使用的公式包括ααα2sin 21cos sin =，22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=，降幂后采用辅助角公式化简，()ϕ++=+x b a x b x a sin cos sin 22，其中ab=ϕtan ，这样函数就可以化简为()ϕω+=x A y sin .24.（本题满分为12分）已知函数x c x b a x f sin cos )(++=的图像经过点)1,0(A 及)1,2(πB(1)已知)2,0(π∈x 时，2|)(|≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)当a 取上述范围内的最大整数．．．．值时，若有实数φ,,n m ，使得1)()(=-+φx nf x mf 对于 R x ∈恒成立，求φ,,n m 的值.【答案】（1）[]234,2-+；（2）161=m ，161=n ，Z k k ∈+=,2ππφ. 【解析】试题分析：（1）首先根据条件可得a c b -==1，将函数转化为()()a x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=4sin 12π，根据条件可得⎪⎭⎫⎝⎛+4sin πx 的范围，最终讨论a -1的取值范围后，得到函数的值域，根据条件()2≤x f 得到a 的取值范围；（2）由（1）的结论可得8=a ，代入()()1=-+ϕx nf x mf ，要使上式对R x ∈∀恒成立，则需满足()⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0sin 0cos 18φφn n m n m ，得到参数的取值范围.试题解析：由12,1)0(=⎪⎭⎫⎝⎛=πf f ，可得，1,1=+=+c a b a ， 所以a c b -==1，所以()()a x a a x x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++-=4sin 12)cos )(sin 1(π，（1）设t x =⎪⎭⎫⎝⎛+4sin π，()a t a y +-=12， 因为⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+πππ43,44x ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,22t ，(2)可得8=a ，则()⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 278πx x f 由()()1=-+φx nf x mf ，可得()14sin 274sin 278=⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+φππx x m n m ，令X x =+4π得，考点：1.三角函数的性质；2.恒成立问题.。

2015-2016学年福建省福州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）终边落在第二象限的角组成的集合为（）A．{α|kπ＜α＜+kπ，k∈Z}B．{α|+kπ＜α＜π+kπ，k∈Z}C．{α|2kπ＜α＜+2kπ，k∈Z}D．{α|+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z}2．（5分）+﹣=（）A．B．C．D．3．（5分）已知α是第四象限的角，若cosα=，则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．（5分）sin63°cos33°﹣sin27°sin33°=（）A．0 B．C．D．15．（5分）点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（）A．，B．，C．，D．，6．（5分）点（tan3，cos3）落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（5分）角α的终边与单位圆交于点（，﹣），则cos（α﹣）=（）A．B．﹣ C．D．﹣8．（5分）已知函数f（x）=sin2（x+φ），则（）A．当φ=﹣时，f（x）为奇函数B．当φ=0时，f（x）为偶函数C．当φ=时，f（x）为奇函数D．当φ=π时，f（x）为偶函数9．（5分）若向量=（4，3），=（﹣1，﹣2），则在方向上的投影为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2D．2A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位11．（5分）如图，点P是半径为1的半圆弧上一点，若AP长度为x，则直线AP与半圆弧所围成的面积S关于x的函数图象为（）A．B．C．D．12．（5分）将函数f（x）=3cos（x）与g（x）=x﹣1的所有交点从左往右依次记为A1，A2，A3，…，A n，若O为坐标原点，则|++…+|=（）A．0 B．1 C．3 D．5二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.13．（4分）已知钝角α满足sinα=，则α=．14．（4分）如图所示，在正方形ABCD中，点E为边AB的中点，线段AC与DE 交于点P，则tan∠APD=15．（4分）将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到g（x）的图象，则g（x）=．﹣3λ）（λ∈R），则=．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知四点A（﹣3，1）、B（﹣1，﹣2）、C（2，0）、D（3m2，m+4）．（Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）若∥，求实数m的值．18．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）．（Ⅰ）用“五点法”作出f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；（Ⅱ）写出f（x）的对称中心以及单调递增区间；（Ⅲ）求f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合．19．（12分）已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x+4sin cos cosx．（Ⅰ）求f（x）的周期；（Ⅱ）若f（）=，求f（α+）的值．20．（12分）在△ABC中，AB=2，AC=，∠BAC=60°，设D为△ABC所在平面内一点，=2．（Ⅰ）求线段AD的长；（Ⅱ）求∠DAB的大小．21．（13分）如图，点P为等腰直角△ABC内部（不含边界）一点，AB=BC=AP=1，过点P作PQ∥AB，交AC于点Q．记∠PAB=θ，△APQ面积为S（θ）．（2）求S（θ）的最大值，并求出相应的θ值．22．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）部分图象如图所示，点P为f（x）与x轴的交点，点A，B分别为f（x）图象的最低点与最高点，•=||2．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若x∈[﹣1，1]，求f（x）的取值范围．2015-2016学年福建省福州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）终边落在第二象限的角组成的集合为（）A．{α|kπ＜α＜+kπ，k∈Z}B．{α|+kπ＜α＜π+kπ，k∈Z}C．{α|2kπ＜α＜+2kπ，k∈Z}D．{α|+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z}【解答】解：∵终边落在y轴正半轴的角的集合为{α|α=，k∈Z}，终边落在x轴负半轴的角的集合为{α|α=π+2kπ，k∈Z}，∴终边落在第二象限的角组成的集合可表示为{α|+2kπ＜α＜π+2kπ，k∈Z}．故选：D．2．（5分）+﹣=（）A．B．C．D．【解答】解：故选：D．3．（5分）已知α是第四象限的角，若cosα=，则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵α是第四象限的角，若cosα=，∴sinα=﹣=﹣，则tanα==﹣，故选：D．A．0 B．C．D．1【解答】解：sin63°cos33°﹣sin27°sin33°=sin63°cos33°﹣cos63°sin33°=sin（63°﹣33°）=sin30°=，故选：B．5．（5分）点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（）A．，B．，C．，D．，【解答】解：由图形可知：与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量，故选：B．6．（5分）点（tan3，cos3）落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：因为＜3＜π，所以3在第二象限，所以tan3＜0，cos3＜0，故点（tan3，cos3）落在第三象限；故选：C．7．（5分）角α的终边与单位圆交于点（，﹣），则cos（α﹣）=（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：由已知sinα=，又cos（α﹣）=sinα=；故选：B．8．（5分）已知函数f（x）=sin2（x+φ），则（）C．当φ=时，f（x）为奇函数D．当φ=π时，f（x）为偶函数【解答】解：A、f（x）=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，则f（x）是偶函数，A不符合条件；B、f（x）=sin2（x﹣0）=sin2x，则f（x）是奇函数，B不符合条件；C、f（x）=sin2（x﹣）=sin（2x﹣π）=﹣sin2x，则f（x）是奇函数，C符合条件；D、f（x）=sin2（x﹣π）=sin（2x﹣2π）=sin2x，则f（x）是奇函数，D不符合条件；故选：C．9．（5分）若向量=（4，3），=（﹣1，﹣2），则在方向上的投影为（）A．﹣2 B．2 C．﹣2D．2【解答】解：∵向量=（4，3），=（﹣1，﹣2），∴=4×（﹣1）+3×（﹣2）=﹣10，||==5∴在方向上的投影为==﹣2，故选：A．10．（5分）为得到y=cosx的图象，只需将y=sin（x+）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：将y=sin（x+）的图象向左平移个单位可得y=sin（x++）=cosx的图象，故选：C．11．（5分）如图，点P是半径为1的半圆弧上一点，若AP长度为x，则直线AP与半圆弧所围成的面积S关于x的函数图象为（）A．B．C．D．【解答】解：∵弧AP长度为x，半径为1，∴弧AP所对的圆心角为x，∴直线AP与半圆弧所围成的面积S关于x的函数S=﹣，∴S′=﹣cosx＞0，∴S在[0，π]上单调递增，S′在[0，π]上单调递增，故选：A．12．（5分）将函数f（x）=3cos（x）与g（x）=x﹣1的所有交点从左往右依次记为A1，A2，A3，…，A n，若O为坐标原点，则|++…+|=（）A．0 B．1 C．3 D．5【解答】解：函数f（x）=3cos（x）与g（x）=x﹣1的所有交点从左往右依次记为A1、A2、A3、A4和A5，且A1和A5，A2和A4，都关于点A3对称，如图所示；则++++=5=（5，0），所以|++++|=5．故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分.、共16分.13．（4分）已知钝角α满足sinα=，则α=．【解答】解：∵钝角α满足sinα=，∴α=．故答案为：．14．（4分）如图所示，在正方形ABCD中，点E为边AB的中点，线段AC与DE 交于点P，则tan∠APD=﹣3【解答】解：设正方形的边长为1，ABCD为正方形，有AB∥CD，则∠BAC=∠ACD，又∠APE与∠CPD为对顶角，则两角相等，那么△APE∽△CPD，∵E为AB中点，则，DE=，AC=，则DP==，AP=，由余弦定理得：cos∠APD=，sin=．∴tan∠APD=．故答案为：﹣3．15．（4分）将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到g（x）的图象，则g（x）=sin（4x﹣）．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象上所有点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数图象的解析式为：g（x）=sin（4x﹣）．故答案为：sin（4x﹣）．16．（4分）在△ABC中，D为BC中点，直线AB上的点M满足：3=2λ+（3﹣3λ）（λ∈R），则=1．【解答】解：设=x，∵D为BC中点∴=（+），3=2λ+（3﹣3λ），可以化为3x=λ（+）+（3﹣3λ），化简为（3x﹣λ）=（3﹣2λ），∵只有当3x﹣λ=3﹣2λ=0时，（3x﹣λ）=（3﹣2λ）才成立∴λ=，x=，∴=，即M为AB中点=1，故答案为：1．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知四点A（﹣3，1）、B（﹣1，﹣2）、C（2，0）、D（3m2，m+4）．（Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）若∥，求实数m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（﹣3，1）、B（﹣1，﹣2）、C（2，0），∴=（2，﹣3），=（3，2），∴•=2×3﹣3×2=0，∴⊥；（Ⅱ）∵A（﹣3，1）、D（3m2，m+4），∴=（3m2+3，m+3），∵∥，∴2（3m2+3）=3（m+3），解得m=﹣或m=1．18．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）．（Ⅰ）用“五点法”作出f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；（Ⅱ）写出f（x）的对称中心以及单调递增区间；（Ⅲ）求f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合．【解答】解：（1）列表：描点、连线如图所示：（2）解：令2x+=kπ，k∈Z，解得：x=kπ﹣，k∈Z，则函数y=sin（2x+）的图象的对称中心的坐标是（kπ﹣，0）k∈Z．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，从而可求得f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（3）由2x+=2kπ+即x=kπ+，k∈Z时，函数f（x）取得最大值1，此时x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．19．（12分）已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x+4sin cos cosx．（Ⅰ）求f（x）的周期；（Ⅱ）若f（）=，求f（α+）的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=，∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（）==，∴，则，∴=±，则f（α+）====．20．（12分）在△ABC中，AB=2，AC=，∠BAC=60°，设D为△ABC所在平面内一点，=2．（Ⅰ）求线段AD的长；（Ⅱ）求∠DAB的大小．【解答】解：（Ⅰ）由题意画出图象：在△ABC中，AB=2，AC=，∠BAC=60°，则由余弦定理得，BC2=AB2+AC2﹣2•AB•AC•cos∠BAC=4+﹣=，所以BC=，由余弦定理得，cos∠ACB===，由∠ACB+∠ACD=π得，cos∠ACD=﹣cos∠ACB=，在△ACD中，由=2得CD=BC=，由余弦定理得，AD2=CD2+AC2﹣2•CD•AC•cos∠ACD==1，则AD=1；（Ⅱ）由（I）得，BD=BC+CD=+=，在△ABD中，由余弦定理得，cos∠BAD===，∵0＜∠BAD＜π，∴∠BAD=．21．（13分）如图，点P为等腰直角△ABC内部（不含边界）一点，AB=BC=AP=1，过点P作PQ∥AB，交AC于点Q．记∠PAB=θ，△APQ面积为S（θ）．（1）求S（θ）关于θ的函数；（2）求S（θ）的最大值，并求出相应的θ值．【解答】解：（1）在△APQ中，由正弦定理可得，∴PQ=sin（45°﹣θ），∴S（θ）=•sin（45°﹣θ）•1•sinθ=sin（45°﹣θ）•sinθ（0°＜θ＜45°），（2）S（θ）=sin（45°﹣θ）•sinθ=（cosθ﹣sinθ）•sinθ=sin2θ﹣•=sin（2θ+45°）﹣，∴2θ+45°=90°，即θ=22.5°时，S（θ）的最大值为﹣．22．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）部分图象如图所示，点P为f（x）与x轴的交点，点A，B分别为f（x）图象的最低点与最高点，•=||2．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若x∈[﹣1，1]，求f（x）的取值范围．【解答】解：（1）设函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期是T，P（a，0），则A（a+，﹣1），B（a+，1），∴=（，﹣1），=（，1），∵•=||2，∴，解得T=4，由T=得，ω=；（2）由（1）得，f（x）=sin（x+φ），∵x∈[﹣1，1]，∴，又0＜φ＜π，则，∴sin（x+φ）∈（﹣1，1），即f（x）的取值范围是（﹣1，1）．。

福建师大附中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题试卷说明：福建师大附中2015-2016学年高（上）期末数学试卷一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．（5分）下列条件中，能使α∥β的条件是（）A．平面α内有无数条直线平行于平面βB．平面α与平面β同平行于一条直线C．平面α内有两条直线平行于平面βD．平面α内有两条相交直线平行于平面β考点：平面与平面之间的位置关系．.专题：规律型．分析：直接利用平面与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的定义，判断选项即可．解答：解：对于A，如果直线都是平行线，平面α不平行于平面β，所以A不正确；对于B，平面α与平面β同平行于一条直线，这条直线平行与两个平面的交线，两个平面也不平行，B不正确；对于C，平面α内有两条直线平行于平面β，不满足直线与平面平行的判定定理，所以C不正确；对于D，平面α内有两条相交直线平行于平面β，这是两个平面平行的判定定理，所以正确．故选D．点评：本题考查平面与平面平行的判定定理与定义的应用，基本知识的考查．2．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角与在 y 轴上的截距分别是（）A．135°，1B．45°，?1C．45°，1D．135°，?1考点：直线的截距式方程；直线的倾斜角．.专题：计算题．分析：先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角；在直线方程中，令x=0，能得到它在 y 轴上的截距．解答：解：∵直线x+y+1=0的斜率为?1，所以它的倾斜角为135°，在x+y+1=0中，由x=0，得y=?1，∴x+y+1=0在 y 轴上的截距为?1．故选D．点评：本题考查直线的倾斜角的求法和求直线的截距，解题时要注意公式的合理运用．3．（5分）三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）A．1条B．2条C．3条D．1条或2条考点：平面的基本性质及推论．.分析：画出把空间分成7部分时的三个平面，如图产，可知它们的交线情况，从而解决问题．解答：解：根据题意，三个平面把空间分成7部分，此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线．故选C．点评：本题主要考查了平面的基本性质及推论、确定平面的条件及空间想象的能力，属于基础题．4．（5分）已知直线l1：ax?y+a=0，l2：（2a?3）x+ay?a=0互相平行，则a的值是（）A．1B．?3C．1或?3D．0考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．.专题：计算题；直线与圆．分析：利用两条直线平行，斜率相等，建立等式即可求a的值．解答：解：因为直线l1：ax?y+a=0，的斜率存在，斜率为a，要使两条直线平行，必有l2：（2a?3）x+ay?a=0的斜率为a，即=a，解得 a=?3或a=1，当a=1时，已知直线l1：ax?y+a=0，l2：（2a?3）x+ay?a=0，两直线重合，当a=?3时，已知直线l1：?3x+y?3=0与直线l2：?3x?y=1，两直线平行，则实数a的值为?3．故选B．点评：本题考查两条直线平行的判定，是基础题．本题先用斜率相等求出参数的值，再代入验证，是解本题的常用方法5．（5分）（2009?浙江）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l?βB．若l∥α，α∥β，则l?βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．.分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．解答：解：若l ⊥α，α⊥β，则l?β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l?β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a ∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．6．（5分）已知点M（a，b）在直线3x+4y=15上，则的最小值为（）A．2B．3C．D．5考点：基本不等式．.专题：计算题．分析：由题意可得，3a+4b=15，而a2+b2==，根据二次函数的性质可求解答：解：由题意可得，3a+4b=15∵a2+b2==根据二次函数的性质可得，当b=时有最小值9则的最小值为3故选B点评：本题主要考查了最值的求解，解题的关键是根据已知关系把所求的式子转化为二次函数的最值求解7．（5分）一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为（）A．2B．C．2D．4考点：平面图形的直观图．.专题：计算题；作图题．分析：根据斜二测画法的规则将图形还原，平面图是一个直角梯形，面积易求．解答：解：如图，有斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍，如直观图，OA'的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的2×=2倍，故其面积是梯形OA′B′C′的面积2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4．故应选D．点评：本题考查斜二测画法作图规则，属于规则逆用的题型．8．（5分）若P（2，?1）为圆（x?1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A．x?y?3=0B．2x+y?3=0C．x+y?1=0D．2x?y?5=0考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．.专题：计算题．分析：由圆心为O（1，0），由点P为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．解答：解：已知圆心为O（1，0）根据题意：Kop=kABkOP=?1kAB=1∴直线AB的方程是x?y?3=0故选A点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直．9．（5分）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A．B．56πC．14πD．16π考点：球的体积和表面积．.专题：计算题．分析：根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而根据球的表面积公式求出球的表面积．解答：解：因为长方体相邻的三个面的面积分别是2，3，6，∴长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，2，1，又因为长方体的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是圆的直径，因为长方体的体对角线的长是：球的半径是：这个球的表面积：4 =14π故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握常用几何体的结构特征，以及球的内接多面体的有关知识，球的表面积公式，而解决此题的关键是知道球的直径与长方体的体对角线，考查计算能力，空间想象能力，此题属于基础题．10．（5分）（2009?宁夏）已知圆C1：（x+1）2+（y?1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x?y?1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x+2）2+（y?2）2=1B．（x?2）2+（y+2）2=1C．（x+2）2+（y+2）2=1D．（x?2）2+（y?2）2=1考点：关于点、直线对称的圆的方程．.专题：计算题．分析：求出圆C1：（x+1）2+（y?1）2=1的圆心坐标，关于直线x?y?1=0对称的圆心坐标求出，即可得到圆C2的方程．解答：解：圆C1：（x+1）2+（y?1）2=1的圆心坐标（?1，1），关于直线x?y?1=0对称的圆心坐标为（2，?2）所求的圆C2的方程为：（x?2）2+（y+2）2=1故选B点评：本题是基础题，考查点关于直线对称的圆的方程的求法，考查计算能力，注意对称点的坐标的求法是本题的关键．11．（5分）M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交考点：直线与圆的位置关系．.专题：计算题．分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为M为圆内一点，所以M到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据求出的不等式即可得到d大于半径r，得到直线与圆的位置关系是相离．解答：解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=a，由M为圆内一点得到：＜a，则圆心到已知直线的距离d=＞=a=r，所以直线与圆的位置关系为：相离．故选C点评：此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．12．（5分）如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF ∥平面ABCD C．三棱锥A?BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等考点：棱柱的结构特征．.专题：计算题．分析：A．AC⊥BE，可由线面垂直证两线垂直；B．EF∥平面ABCD，可由线面平行的定义证线面平行；C．三棱锥A?BEF 的体积为定值，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；D．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF 的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确．福建师大附中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题。

试卷第1页，共9页绝密★启用前【百强校】2015-2016学年福建师大附中高一下学期期末语文试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：98分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、下列有关文学常识的表述，不正确的一项是（ ）A ．“出为河间相”中的“出”，指的是京官外调。

如白居易《琵琶行》中有“予出官二年” 。

B ．“五经”：这五部经典著作的全名依次为《诗经》《书经（即《尚书》）》《论语》《易经（即《周易》）》《乐经》。

C ．“兼” “领”均表示兼任官职，“行” “守”均表示代理官职，“署” “权”则表示暂代官职。

D ．乞骸骨，乞求自己的尸骨能回到故乡安葬，指古代官吏因年老请求退职，回老家安度晚年。

这是古代官员请求退休的萎婉说法。

2、下列有关文学常识的表述，不正确的一项是（ ）A ．元杂剧一般是一本四折演一个完整的故事，扮演的角色有末、旦、净、丑等，男主角称正末，女主角称正旦，剧本由唱、科、白三部分构成。

B ．关汉卿，号已斋叟，元代杂剧的代表作家，与郑光祖、白朴、马致远一同被称为“元曲四大家”，居“元曲四大家”之首。

试卷第2页，共9页C ．曹禺，原名万家宝，著名剧作家。

代表作《雷雨》《日出》《原野》《北京人》等剧本。

D ．莎士比亚，文艺复兴时期英国杰出的戏剧家。

作品中《李尔王》《哈姆莱特》《罗密欧与朱丽叶》《麦克白》被称为“四大悲剧”。

3、《雷雨》中的这句台词，哪项分析最准确地体现了鲁侍萍的心情（ ） 鲁侍萍：“你是萍，……凭———凭什么打我的儿子？” A ．满腔仇恨，愤恨不平 B ．满腹辛酸，欲说不能 C ．骨肉相离，难舍难分 D ．痛苦不堪，追悔莫及4、下列各句中加横线的词语意思与现代汉语基本相同的一项是（ ） A ．举孝廉不行 B ．言甚详明 C ．皆为陛下所成就 D ．衡下车治威严，整法度5、下列各句中加横线词的意义和用法完全相同的一项是（ ） A ．①少以父任，兄弟并为郎②恐前语发，以状语武 B ．①乃徙武北海上无人处②使牧羝，羝乳乃得归 C ．①不如因而厚遇之②因宾客至蔺相如门谢罪 D ．①虽生，何面目以归汉②虽蒙斧钺汤镬，诚甘乐之6、下列各句中加横线词属于名词作状语的一项是（ ） A ．羝乳乃得归 B ．大将军邓骘奇其才 C ．故令人持璧归，间至赵矣 D ．惠等哭，舆归营7、下列依次填入横线处的词语，恰当的一组是（ ）①借助于美国人的 扶植，日本在上世纪六七十年代就已跃居为世界第二大经济强国。

第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．=︒-)600sin(( )A. B ．12- C ．12D. 【答案】D 【解析】试题分析：sin(600)sin(720120)sin120-︒=-︒+︒=︒=. 考点：任意角的三角函数值. 2．若110a b<<，则下列结论不正确的是( ) A. 22a b < B ．2ab b < C ．a b a b +>+ D. 0a b +< 【答案】C考点：不等式的性质.3．参数方程11x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数)表示什么曲线( )A. 一条直线 B ．一个半圆 C ．一条射线 D. 一个圆 【答案】C【解析】试题分析：12301x x y y ⎧=+⎪⇔+-=⎨=-⎪⎩，其中1,x ≥它表示端点为()11，的一条射线．考点：直线的参数方程．4．已知α是第二象限角，且3sin 5α=，则tan 2α的值为( ) A.45 B ．247- C ．83- D.237- 【答案】B 【解析】试题分析：因为α是第二象限角，且3sin 5α=，所以2332tan 242tan tan 2741tan 716αααα-=-⇒===--. 考点：两角和的正切公式.5．函数)1lg(tan )(+=x x f 的定义域是( ) A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,2242ππππ B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<≤-Z k k x k x ,2242ππππ C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,24ππππ D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<≤-Z k k x k x ,24ππππ【答案】C考点：1.函数的定义域；2.正切函数的性质.6．函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则()A. )62sin(2π-=x y B ．)32sin(2π-=x yC ．)62sin(2π+=x y D. )32sin(2π+=x y【答案】A【解析】试题分析：由图象可知，22,2236A T πππωω⎛⎫===⨯+⇒= ⎪⎝⎭，所以2sin(2)y x ϕ=+，当3x π=时，222sin()2223326y k k ππππϕϕπϕπ=+=⇒+=+⇒=-+，故选A. 考点：函数=sin()y A x ωϕ+的图象. 7. 在参数方程cos sin x a t y b t θθ=+⎧⎨=+⎩(0θπ≤≤,t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为12t t 、，则线段BC 的中点M 对应的参数值是( )A.221t t - B ．221t t + C ．221t t - D.221t t + 【答案】B考点：1.圆的参数方程；2.中点坐标公式．【思路点睛】本题考查圆的参数方程和中点的坐标公式，本题解题的关键是已知圆上的点，写出点对应的参数式，根据B C ，两个点在圆上，可以写出两个点对应的坐标，根据中点的坐标公式，表示出中点的坐标，得到要求的中点对应的参数值． 8．将函数)32sin(3)(π+=x x f 的图象向右平移2π个单位后得到函数)(x g ，则函数)(x g ( )A. 在区间]37,6[ππ-上单调递减 B ．在区间]37,6[ππ-上单调递增 C. 在区间]127,12[ππ上单调递减 D. 在区间]127,12[ππ上单调递增 【答案】D 【解析】试题分析：把函数(3sin 2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：[3sin 22()]3y x ππ=-+．即23sin 2()3y x π=-．当函数递增时，由2222232k x k πππππ-+≤-≤+，得71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，．取0k =，得71212x ππ≤≤．∴所得图象对应的函数在区间]127,12[ππ上单调递增．故选：D ．考点：函数()sin y A x ωϕ=+ 的图象变换．9．已知直线y kx =与曲线ln y x =相切，则k 的值为( ) A.e B ．e - C ．1e D. 1e- 【答案】C考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 10．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭(x ππ-≤≤且0x ≠)的图象可能为( )【答案】D 【解析】 试题分析：()()1cos f x x x f x x ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭,且定义域关于原点对称，所以函数()f x 为奇函数，又当0x +→时，110,cos 0cos 0,x x x x x x ⎛⎫-<>∴-< ⎪⎝⎭所以图像可能是D. 考点：1.函数奇偶性；2.函数图像.11．若关于x 的不等式2124x x a a +--<-有实数解，则实数a 的取值范围为( ) A ．),3()1,(+∞-∞ B ．(1,3) C ．),1()3,(+∞---∞ D ．(3,1)-- 【答案】A考点：绝对值不等式．【思路点睛】本题考查绝对值不等式、有关绝对值不等式恒成立的问题．利用24a a -大于12x x +--的最小值，求出实数a 的取值范围是关键．根据绝对值不等式，求出12x x +--的最小值等于3-，从而有24a a -大于12x x +--的最小值3-，列出不等关系解出实数a 的取值范围即得． 12．方程)0(|sin |>=k k xx 有且仅有两个不同的实数解)(,ϕθϕθ>，则以下结论正确的为( ) A. θϕϕcos sin = B ．θϕϕcos sin -= C ．θθϕsin cos = D. ϕθθsin sin -= 【答案】B 【解析】试题分析：依题意可知0x >（x 不能等于0）令12sin y x y kx ==，，然后分别做出两个函数的图象．因为原方程有且只有两个解，所以2y 与1y 仅有两个交点，而且第二个交点是1y 和2y 相切的点，即点()sin θθ，为切点，因为()sin cos θθ-'=-，所以切线的斜率cos k θ=-．而且点()sin ϕϕ，在切线2cos y kx x θ==-上．于是将点()sin ϕϕ，代入切线方程2cos y x θ=可得：sin cos ϕϕθ=-．故选B ． 考点：1. 正弦函数的图象；2. 数形结合．【思路点睛】本题是中档题，考查数形结合的思想，函数图象的交点，就是方程的根，注意：1y 的图象只有x 轴右半部分和y 轴上半部分，且原点处没有值（因为x 不等于0）；2y 的图象是过原点的一条直线．由题意构造函数12sin y x y kx ==，，然后分别做出两个函数的图象，利用图象和导数求出切点的坐标以及斜率，即可得到选项．第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．设0<a ，角α的终边经过点(3,4)P a a -，则αsin =__________ ． 【答案】45- 【解析】试题分析：44sin 55a a α===--. 考点：任意角的三角函数.14．在极坐标系中，经过点)3,4(π且与极轴垂直的直线的极坐标方程为．【答案】2cos =θρ考点：简单曲线的极坐标方程． 15．若530,0,sin ,cos(),sin 22135ππαββαβα<<-<<=--=且则＝ ． 【答案】3365【解析】试题分析：因为530,0,0,sin ,cos()22135ππαβαβπβαβ<<-<<∴<-<=--=，所以 12cos ,13β=4sin()5αβ-=，又[]sin ()sin()cos cos()sin ααββαββαββ=-+=-+- 4123153351351365⎛⎫=⨯+⨯-=⎪⎝⎭. 考点：三角恒等变换. 【思路点睛】因为530,0,0,sin ,cos()22135ππαβαβπβαβ<<-<<∴<-<=--=，所以 12cos ,13β=4sin()5αβ-=，又[]sin ()sin()cos cos()sin ααββαββαββ=-+=-+-，由此代入数据，即可求出结果.16．已知函数)(ln )(ax x x x f -=有两个极值点,则实数a 的取值范围是 . 【答案】)21,0(考点：利用导数研究函数的极值． 【思路点睛】()()()2ln 0ln 12f x x x axx f x x ax =->'=+-，．令()ln 12g x x ax =+-，由于函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点()0g x ⇔=在区间(0)+∞，上有两个实数根．()12axg x x-'=．当0a ≤时，直接验证；当0a >时，利用导数研究函数()g x 的单调性可得：当12x a=时，函数()g x 取得极大值，故要使()g x 有两个不同解，只需要11ln (02)2g a a=>，解得即可． 三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知1sin cos 5αα+=-． (Ⅰ)求ααcos sin ⋅的值； (Ⅱ)若2παπ<<，求()11sin cos απα+-的值. 【答案】(Ⅰ)1225-；(Ⅱ)3512【解析】考点：1.同角的基本关系；2.诱导公式.18．平面直角坐标系xOy 中，曲线1)1(:22=+-y x C ．直线l 经过点)0,(m P ，且倾斜角为6π． O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(Ⅰ)写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，且1=⋅PB PA ，求实数m 的值．【答案】(Ⅰ) 12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）；(Ⅱ) 1m =或1【解析】试题分析：(Ⅰ)曲线1)1(:22=+-y x C ．展开为：222x y x +=，把222cos x y x ρρθ=+=⎧⎨⎩代入可得曲线C 的极坐标方程．直线l的参数方程为：12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）． (Ⅱ)设A B ，两点对应的参数分别为12t t ，．把直线l的参数方程圆的方程可得：2220t t m m ++-=，，利用•1PA PB =，可得22|1|m m -=，解得m 即可得出．考点：简单曲线的极坐标方程．19．已知(cos 2,3sin 2),(cos 2,cos 2),()21a x x b x x f x a b ==-=⋅-设． (Ⅰ)求()f x 的最小值及此时x 的取值集合；(Ⅱ)将()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位后所得图象关于原点对称，求m 的最小值.【答案】(Ⅰ) ,26k x x k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；(Ⅱ) 24π【解析】试题分析：(Ⅰ)()21f x a b =⋅-22cos 22cos 21x x x =-⋅- 2cos 43x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由三角函数的性质即可求出最值；(Ⅱ)()f x 图象向右平移m 个单位后所得图象对应的角析式为)344cos(2)3)(4cos(2ππ++=++=m x m x y 其为奇函数，那么图象关于原点对称，故：234πππ+=+k m ，k ∈Z ，由此即可求出结果.试题解析：(Ⅰ)()21f x a b =⋅-22cos 22cos 21x x x =-⋅-cos 442cos 43x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的性质.【方法点睛】三角函数()sin y A x k ωϕ=++的一般性质研究：1.周期性：根据公式2T πω=可求得；2.单调性：令22,22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈，解出不等式，即可求出函数的单调递增区间；令322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈，解出不等式，即可求出函数的单调递减区间；3.令 2,2x k k Z πωϕπ+=+∈或2,2x k k Z πωϕπ+=-+∈，即可求出函数取最大或最小值时的x 取值集合.20．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.22sin 45cos 75+sin 45cos75,+ 22sin 36cos 66+sin 36cos66,+ 22sin 15cos 45+sin15cos45,+ 22sin (15)cos 15+sin(15)cos15,-+- 22sin (45)cos (15)+sin(45)cos(15),-+---(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【答案】(Ⅰ) 34；(Ⅱ)34【解析】考点：1.数学归纳法；2.归纳推理．【方法点睛】归纳推理一般是先根据个别情况所体现出来的某些相同的规律，然后从这些已知的相同性质规律推出一个明确的一般性规律或性质．此题是一个三角函数式，所以重点抓住角之间的关系，式子的结构特点进行归纳，得出一般性结论．21．设函数(),f x x a a R =-∈(Ⅰ)若1a =，解不等式1()(1)2f x x ≥+； (Ⅱ)记函数()()2g x f x x =--的值域为A ，若[1,3]A ⊆-，求a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)1(,][3,)3-∞+∞；(Ⅱ) [1]3， 【解析】试题分析：(Ⅰ)由于1a =，故1,1()1,1x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩，分1x <，和1x ≥两种情况讨论，即可求出结果； (Ⅱ)分2a <和2a ≥两种情况，就可以求出结果.试题解析：解：(Ⅰ)由于1a =，故1,1()1,1x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩当1x <时，由1()(1)2f x x ≥+，得11(1)2x x -≥+，解得13x ≤；考点：绝对值不等式.22．已知函数()sin x f x e x =，其中x R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)当[0,]2x π∈时，()f x kx ≥，求实数k 的取值范围.【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ) (,1]-∞【解析】试题分析：(Ⅰ)'()(sin cos )x f x e x x =+，令sin cos )4y x x x π=+=+，当 3(2,2)44x k k ππππ∈-+，'()0f x >，()f x 单增，37(2,2)44x k k ππππ∈++，'()0f x <，()f x 单减； (Ⅱ)令()()sin x g x f x kx e x kx =-=-，即()0g x ≥恒成立，而'()(sin cos )x g x e x x k =+-，利用导数的性质和零点存在定理，即可求出结果.试题解析：(Ⅰ)'()sin cos (sin cos )x x x f x e x e x e x x =+=+，令sin cos )4y x x x π=+=+，考点：1.导数在函数单调性中的应用；2.函数的零点存在定理.。

绝密★启用前【百强校】2015-2016福建师大附中高一下期中考数学（实验班）试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：149分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2、记，，，，则四个数的大小关 系是（ ）A ．B ．C ．D ．3、在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续天每天新增感染人数不超过人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ） ①平均数；②标准差；③平均数且标准差；④平均数且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1.A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤4、函数落在区间的所有零点之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55、函数的部分图像如图所示，则函数的解析式可以是（ ）A ．B ．C ．D ．或6、已知函数（其中,）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）A ．向右平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位7、已知地铁每10min 一班，在车站停1min ，则乘客到达站台立即上车的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．8、已知与之间的一组数据：0 1 2 3 3 5.5 7 已求得关于与的线性回归方程为，则的值为（ ）A ．1B ．0.85C ．0.7D ．0.59、执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为（）ArrayA．7 B．15 C．31 D．6310、在四个函数，，,中，以为周期，在上单调递增的偶函数是（）A． B． C． D．11、与最接近的数是（）A． B． C． D．12、已知，则的值是（）A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、函数()的值域为 .14、已知函数（）是区间上的增函数，则的取值范围是 .15、《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长等于米的弧田．按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为．16、函数的定义域为 .17、已知角的终边上一点的坐标为,则角的最小正值为 .18、在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，已知所取的2瓶全在保质期内的概率为，则至少取到1瓶已过保质期的概率为 .三、解答题（题型注释）19、已知函数的图像两相邻对称轴之间的距离是，若将的图像先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得函数为奇函数.（1）求的解析式；（2）求的对称轴及单调区间；（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.20、甲、乙两人约定在中午时到下午时之间到某站乘公共汽车, 又知这段时间内有班公共汽车.设到站时间分别为，，，.如果他们约定：见车就乘；最多等一辆.试分别求出在两种情况下两人同乘一辆车的概率.假设甲乙两人到达车站的时间是相互独立的，且每人在中午点到点的任意时刻到达车站是等可能的.21、如图，半径为的水轮绕着圆心逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动圈，水轮圆心距离水面，如果当水轮上点从离开水面的时刻（）开始计算时间．（1）试建立适当的平面直角坐标系，求点距离水面的高度（）与时间（）满足的函数关系；22、某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为）作为样本（样本容量为）进行统计，按照 [50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量和频率分布直方图中的的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均分； （3）在选取的样本中，从竞赛成绩在分以上（含分）的学生中随机抽取名学生，求所抽取的名 学生中至少有一人得分在内的概率．23、已知，为第二象限角．（1）求的值；（2）求的值．参考答案1、D2、C3、D4、C5、C6、D7、A8、D9、B10、D11、B12、A13、14、15、16、17、18、19、(1)；(2)增区间为，减区间为；(3).20、.21、(1)；(2).22、(1)，；(2)；(3).23、(1)；(2).【解析】1、试题分析：因,故,所以由题设可得恒成立,即恒成立,注意到,所以可得,即,所以应选D.考点：正弦函数图象和性质的综合运用.【易错点晴】本题以两个含参数的函数的解析式为背景,考查的是等式成立的前提下参数的取值范围的探求问题.解答时充分借助题设中的条件,先求函数的值域为,再求函数中的值域为然后借助建立了不等式,再运用分离参数的方法建立不等式组,借助求出的取值范围.整个解答过程充满了化归转化的思想和数形结合的数学思想.2、试题分析：因,故由对数函数的单调性可知,而.故应选C.考点：对数函数、三角函数的性质及运用.3、试题分析：依据题设中提供的信息可以推算平均数步大于,极差不大于,众数等于.应选D.考点：平均数方差标准差等概念及运用.4、试题分析：因既是函数的对称中心也是函数的对称中图象有四个交点(横坐标依次为),其横坐标关于对称,即,,即,则所有的横坐标之和为.故应选C.考点：函数的图象和性质及运用.【易错点晴】函数的图象是函数的定义域和值域在平面直角坐标系中具体体现,是数形结合的平台和桥梁.本题考查的是函数图象在确定函数的图象交点中运用问题.解答时充分利用题设中所提供的有效信息进行分析和判断,其目的是检测运用所学知识分析问题和解决问题的能力及运用数形结合的思想解答问题思维意识.解答本题的关键是能认识到两个函数都中心对称图形而且具有相同的对称中心,进而运用对称性求出了所有交点的横坐标之和.5、试题分析：由图象像可知,解之得.应选C.考点：三角函数的图象和性质.6、试题分析：由题设,则,将代入可得,所以,则,而,所以应选D.【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先借助对称轴之间的距离为确定,再借助对称中心是建立方程求出来.最后求出,再化为,由于将即,要想得到,只要将函数的图象向左平移个单位即可.考点：三角函数的图象和性质及运用.7、试题分析：由题意,故由几何概型的计算公式可得概率.应选A.考点：几何概型的计算公式及运用.8、试题分析：因,故将其代入,可得.应选D.考点：线性回归方程及运用.9、试题分析：因由算法流程图可以看出当输出当时,算法程序中,故.应选B.考点：算法流程图的识读和理解.10、试题分析：因,都不是周期函数,是周期为的函数,故都不能选,而函数是周期为的偶函数,所以应选D.考点：函数的基本性质及综合运用.11、试题分析：因,故应选B. 考点：诱导公式及运用.12、试题分析：由已知可得,故.应选A.考点：同角三角函数的关系及运用.13、试题分析：由函数可得,即,令,则,所以,解之得.故其值域为.应填.考点：正弦函数的性质及三角变换的有关知识的综合运用．【易错点晴】本题考查的是三角函数的有关知识及综合运用.解答时先依据题设条件借助辅助角的引入将其转化为,然后在借助三角函数中余弦函数的值域为建立不等式,通过解不等式求出函数的值域为.体现数学中的转化与化归的数学思想和方法,整个解答过程充满了化归与转化的数学思想的交替使用.14、试题分析：由题设因且,则,结合正弦函数的图象可知或,解之得或.故应填.考点：正弦函数的图象和性质及运用．【易错点晴】本题考查的是三角函数中正弦函数的图象和性质等有关知识及综合运用.本题是一道与单调性有关的逆向型的问题,具有一定的难度.解答时先依据题设条件求出,然后再借助函数在区间上单调递增这一条件,建立不等式求解.这里务必要借助正弦函数的图象,分类建立不等式组和辅,通过解这两个不等式组求出了参数的取值范围是.15、试题分析：由题设可知扇形半径,故扇形的面积为;弧田的面积为.由于圆心到弦的距离为,因此矢长也为,则由弧田经验公式可得.所以,故应填.考点：弧长及扇形面积的计算公式及运用．16、试题分析：由题设可得,即,解之得知点.故应填.考点：三角函数的图象和性质及运用．17、试题分析：由正切函数的定义,又由题设可知点在第四象限,所以.故应填.考点：三角函数的定义及运用．18、试题分析：由对立事件的概率公式可得.故应填.考点：对立事件的概率公式与古典概型的计算公式及的运用．19、试题分析：(1)借助题设条件待定求解；(2)借助题设条件运用正弦函数的图象求解；(3)依据题设条件将不等式中的参数分离出来求解.试题解析：（1）， (1)又为奇函数，且，则，…………………3分故；……………………4分（2）对称轴：，………………………6分增区间为，减区间为；……………………8分（3）由于，故………………………10分恒成立，整理可得，…………………12分由，得：，故，即取值范围是. ………………………14分考点：正弦函数的图象和性质及图象的变换等有关知识的综合运用．【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先借助题设条件求出函数解析表达式中的参数,这是解答本题的关键和突破口,只有求出参数的值,才能再去解决题设中提供的其它几个问题.求解时先利用两个对称轴之间的距离是,确定函数的最小正周期,进而求出;再运用题设条件可得,由是奇函数,并借助奇函数的定义可得,即,所以求得.20、试题分析：借助题设条件运用古典概型和几何概型的计算公式分别求解.试题解析：设分别表示甲、乙两人在分钟内到达车站的时刻，则样本空间………………………2分记事件表示“见车就乘，两人同乘一辆车”，则：，；…………………7分记事件表示“最多等一辆，且两人同乘一辆车”，则：………………………12分考点：古典概型和几何概型的计算公式等有关知识的综合运用．21、试题分析：(1)借助题设条件运用三角函数的定义求解；(2)借助题设条件运用实际意义建立方程求解.试题解析：（1）建立如图所示的直角坐标系.由于水轮绕着圆心O做匀速圆周运动，可设点P到水面的距离y(m)与时间t(s)满足函数关系水轮每分钟旋转4圈，. . 水轮半径为4 m，.………………4分.当时，... …………………6分（2）由于最高点距离水面的距离为6，... .. (10)分考点：三角函数的图象和性质在实际问题中的综合运用．22、试题分析：(1)借助题设条件运用频率分布直方图求解；(2)借助题设条件运用频率分布直方图中提供的数据信息求解；(3)运用列举法和古典概型计算公式求解.试题解析：（1）由题意可知，样本容量n==50，……………………2分，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；……………………4分（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，平均分为，则[0.016+0.03]×10+（m﹣70）×0.040 =0.5，解得， (6)分=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6， (8)分（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．……………………10分其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率. ……………………12分考点：频率分布直方图、频率与频数的关系及古典概型的计算公式等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题以学校中的数学竞赛的数学成绩的抽样统计的频率分布直方图为背景,设置了三个较为平常的数学问题.解答时一定要充分利用题设中提供的频率分布直方图所提供的数据信息,结合题设条件进行求解.第一问中求的是频率分布直方图中的未知数的值,运用该频率分布直方图时一定要注意该图的纵坐标是频率与组距的比值,这一点解题很容易被忽视.第二问中求的是中位数和平均数,求解时先依据中位数这个概念建立了方程求解,再运用平均数公式进行求解；第三问是运用简单枚举法一一列举出基本事件的所有可能和符合条件的事件的可能,最后运用古典概型的计算公式求出其概率的值.这是一道非常平常的考查基础知识和基本方法的基础题.23、试题分析：(1)借助题设条件运用诱导公式求解；(2)借助题设条件运用同角三角函数的关系求解.试题解析：由，为第二象限角，解得……………………2分（1）原式=，故原式==…………………7分（2）原式=……………………12分考点：同角三角函数的关系和诱导公式．。