2.6弧长与扇形面积

24.4弧长和扇形面积(第1课时)【学习目标】了解扇形的概念，理解 n?°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．【学习重点】n°的圆心角所对的弧长 L= n R，扇形面积S扇= n R2及其它们的应用．180360【学习过程】（教师寄语：勤动脑，多动手，体验收获！）自主探究（教师寄语：学会独立思考，自主学习是最重要的！）一、任务一：探究弧长公式1、圆的周长公式是什么？什么叫弧长？2、圆的周长可以看作 ______度的圆心角所对的弧．1°的圆心角所对的弧长是 _______； 2°的圆心角所对的弧长是 _______；4°的圆心角所对的弧长是 _______；n°的圆心角所对的弧长是 _______。

任务二：探究扇形面积公式3、圆的面积公式是什么？什么叫扇形？4、圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积；设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形 =_______； 2°的圆心角所对的扇形面积 S 扇形=_______； 5°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______；n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形 =_______。

5、比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长表示扇形的面积？二、合作学习（教师寄语：学会与别人合作是一种能力！）例 1、（教材 121 页例 1）例 2：如图，已知扇形 AOB的半径为 10，∠ AOB=60°，求AB的长（ ?结果精确到 0．1）和扇形 AOB的面积结果精确到 0．1）三、课时小结（教师寄语：及时总结能使人不断进步！）四、自我测评（教师寄语：细心思考，必定成功！）1、已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）．A ． 3B ． 4C ． 5D ． 62、如图所示，把边长为 2 的正方形 ABCD的一边放在定直线L 上，按顺时针方向绕点 D 旋转到如图的位置，则点 B 运动到点 B′所经过的路线长度为（）A．1B．C．2D．2B C(A')B'AlD C'A BCO（第 2 题图）（第 3 题图）（第 4 题图）（第 6 题图）3、如图所示， OA=30B，则AD的长是BC的长的 _____倍．4、如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中AOB 为120，OC 长为8cm， CA 长为12cm，则阴影部分的面积为。

弧长扇形面积与弦长的计算弧长（arc length）与扇形面积（sector area）是圆形几何中的重要概念。

弧长指的是圆的一部分弧的长度，而扇形面积是由这一弧和与之相交的两条半径所围成的图形的面积。

在数学中，我们可以通过一些公式和方法来计算弧长、扇形面积以及它们与弦长（chord length）之间的关系。

一、弧长的计算在计算弧长时，我们需要知道圆的半径和所对应的圆心角（central angle）。

根据圆的性质，我们可以得出以下公式来计算弧长。

1. 当圆心角使用弧度制时：弧长 = 半径 ×圆心角弧长的单位与半径的单位相同，例如，如果半径使用米（m）作为单位，则弧长也使用米（m）作为单位。

2. 当圆心角使用度数制时：弧长 = (半径 ×圆心角× π) / 180这里的π是一个常数，近似取3.14159。

例如，假设圆的半径为5m，对应的圆心角为60度，则根据上述公式计算得到弧长为(5 × 60 × 3.14159) / 180 ≈ 5.24m。

二、扇形面积的计算扇形面积是由圆心、弧和两条半径所围成的区域。

计算扇形面积时，我们需要知道圆的半径和所对应的圆心角。

扇形面积的计算公式如下：扇形面积 = (半径的平方 ×圆心角) / 2其中，半径的平方表示半径的平方值。

与弧长计算中的圆心角一样，如果圆心角使用度数制，则计算扇形面积时需要将圆心角转换为弧度制。

例如，假设圆的半径为4cm，对应的圆心角为45度，则根据上述公式计算得到扇形面积为(4^2 × 45 × 3.14159) / (2 × 180) ≈ 5.65cm²。

三、弦长与弧长、扇形面积的关系弦是圆内连接两个任意点的线段，它与圆的弧和扇形面积有一定的关系。

1. 弧长与弦长的关系当弧长和弦长的夹角（内切角）相同时，弦长越长，对应的弧长也越长。

2. 扇形面积与弦的关系当扇形面积和弦的夹角（内切角）相同时，弦越长，对应的扇形面积也越大。

《弧长及扇形的面积》弧长及扇形的面积：1. 圆周长公式：圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)2. 弧长公式：弧长180Rn l π=（R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数） 【理解】弧长公式180Rn l π=，其中R 为圆的半径，n 为圆弧所对的圆心角的度数，不带单位．由于整个圆周可看作360°的弧，而360°的圆心角所对的弧长为圆周长C=2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是×2πR ，即，可得半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长180Rn l π=．3. 扇形定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4. 弓形定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5. 圆的面积公式：圆的面积2R S π= (R 表示圆的半径) 6. 扇形的面积公式：扇形的面积3602R n S π=扇形(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) 【理解】圆心角是1°的扇形的面积等于圆面积的，所以圆心角是n°的扇形面积是3602R n S π=扇形．要注意扇形面积公式与弧长公式的区别与联系（扇形面积公式中半径R 带平方，分母为360；而 弧长公式中半径R 不带平方，分母是180）．【总结】扇形面积公式S 扇=ιR ，与三角形的面积公式有些类似．只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看作底，R 看作高就比较容易记了．7. 圆锥的有关概念：（1）圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形，另一条直角边旋转而 成的面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面。

（2）圆锥的侧面展开图与侧面积计算：圆锥的侧面展开图是一个扇形。

这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点。

如果设圆锥底面半径为r ，侧面母线长(扇形半径)是l ， 底面圆周长(扇形弧长)为c ， 那么它的侧面积是：rl rl cl S ππ=⋅==22121侧 )(2l r r r rl S S S +=+=+=πππ底面侧表3601180R π360121【例1】一圆弧的圆心角为300°，它所对的弧长等于半径为6cm的圆的周长，求该圆弧所在圆的半径．【例2】如图，在半径为3的⊙O和半径为1的⊙O′中，它们外切于B，⊙AOB=40°．AO⊙CO′，求曲线ABC的长．【例3】如图，正三角形ABC内接于⊙O，边长为4cm，求图中阴影部分的面积．【例4】如图，等腰直角三角形ABC的斜边AB=4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D、E，求图中阴影部分的面积．【例5】如图，已知⊙O的直径BD=6，AE与⊙O相切于E点，过B点作BC⊙AE，垂足为C，连接BE、DE．（1）求证：⊙1=⊙2；（2）若BC=4.5，求图中阴影部分的面积（结果可保留π与根号）．随堂练习：1、扇形的弧长为20πcm ，面积为240πcm 2，则扇形的半径为 cm 。

2.6 弧长公式、扇形面积 导学案【学习目标】1、利用圆的周长与面积公式探索弧长和扇形面积的计算公式，并掌握其计算公式；2、能利用弧长和扇形面积计算公式来计算未知的半径、圆心角、弧长、扇形面积。

【学习过程】一、课前抽测1、圆的周长计算公式是 ；面积计算公式是 。

二、知识归纳1、半径为r 的圆中，︒n 的圆心角所对的弧长l 计算公式是：=弧长l ；2、扇形的定义： 。

3、半径为r ，圆心角为︒n 的扇形面积S 的计算公式是：=扇形S ；4、半径为r ，弧长为l 的扇形面积S 的计算公式是：=扇形S 。

三、课堂探究探究一：弧长公式的探究与应用例1、 已知⊙O 的半径为30cm ，求40゜的圆心角所对的弧长（结果保留π）例2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠ABC=90゜，∠BAC=30゜，AB=3，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转至△A ’B ’C ’的位置，且A 、C 、B ’三点在同一条直线上，则点A 经过的路线的长度是（ ）。

A 、4B 、23C 、3π32 D 、 3π4 探究二：扇形的面积公式的探究与应用例3、已知扇形的半径为15cm ，圆心角为120゜，求扇形OAB 的面积？例4、如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 切小圆于P ，两圆的半径分别为6、3，则图中阴影部分的面积为多少？四、课堂检测1、填空（1）在半径为24cm 的圆中，60°的圆心角所对的弧长l = cm 。

（2）75°的圆心角所对的弧长是π5.2cm ，则此弧所在圆的半径为 cm 。

（3）若扇形的圆心角n 为50°，半径为r =1cm ，则这个扇形的面积，=扇形S cm 2。

（4）若扇形的圆心角n 为60°，面积为π32cm 2，则这个扇形的半径r = cm 。

（5）若扇形的半径r =3，π3=扇形S ，则这个扇形的圆心角n 的度数为 。

2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB=30゜，CD=32，则阴影部分的面积为 。

扇形关于弧度面积和弧长公式
一、扇形的弧长公式。

1. 定义。

- 在圆中，圆心角所对的弧长与半径和圆心角的大小有关。

2. 公式推导（以弧度制为基础）
- 设圆的半径为r，圆心角为α（弧度制）。

- 整个圆的周长C = 2π r，整个圆的圆心角是2π弧度。

- 那么对于圆心角为α弧度的扇形，弧长l与整个圆周长的比例等于圆心角α与2π的比例。

- 即(l)/(2π r)=(α)/(2π)，所以弧长l = rα。

二、扇形的面积公式。

1. 方法一：与弧长的关系推导。

- 由弧长公式l = rα。

- 我们可以把扇形看作是一个三角形的变形（把弧长l看作底，半径r看作高）。

- 根据三角形面积公式S=(1)/(2)×底×高，对于扇形，其面积S=(1)/(2)lr，又因为l = rα，所以S=(1)/(2)r× rα=(1)/(2)r^2α。

2. 方法二：与圆面积的比例关系推导。

- 圆的面积S_圆=π r^2，其圆心角为2π弧度。

- 设扇形圆心角为α弧度，扇形面积S与圆面积S_圆的比例等于扇形圆心角α与2π的比例。

- 即(S)/(π r^2)=(α)/(2π)，所以S=(1)/(2)r^2α。

弧长与面积的关系公式(一)弧长与面积的关系公式1. 弧长公式•弧长公式：L=2πr弧长公式用于计算圆的弧长，其中L表示弧长，r表示圆的半径。

圆的弧长是圆周上两点之间的距离。

以半径为3的圆为例，利用弧长公式可以计算出圆的弧长为：L=2π×3=6π2. 扇形面积公式•扇形面积公式：S=12r2θ扇形面积公式用于计算圆的扇形面积，其中S表示面积，r表示圆的半径，θ表示扇形的夹角（单位为弧度）。

以半径为4、扇形夹角为π3的扇形为例，利用扇形面积公式可以计算出扇形的面积为：S=12×42×π3=4π33. 圆心角与弧长的关系•圆心角与弧长的关系公式：θ=Lr圆心角与弧长的关系公式用于计算圆心角，其中θ表示圆心角，L 表示弧长，r表示圆的半径。

以弧长为8、半径为2的圆为例，利用圆心角与弧长的关系公式可以计算出圆心角为：θ=82=4这意味着弧长为8的圆弧所对应的圆心角为4弧度。

4. 扇形面积与圆心角的关系•扇形面积与圆心角的关系公式：S=12r2θ扇形面积与圆心角的关系公式用于计算扇形的面积，其中S表示面积，r表示圆的半径，θ表示圆心角（单位为弧度）。

以半径为5、圆心角为π4的扇形为例，利用扇形面积与圆心角的关系公式可以计算出扇形的面积为：S=12×52×π4=25π8以上是弧长与面积的关系公式的列举和举例说明。

弧长公式、扇形面积公式、圆心角与弧长的关系公式以及扇形面积与圆心角的关系公式都是非常重要的数学公式，在解决与圆相关的问题时会经常用到。

《弧长与扇形面积》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课时作业设计的目标旨在帮助学生：1. 熟练掌握弧长与扇形面积的计算公式，并能在实际情景中运用。

2. 提升空间几何概念的理解和思维能力。

3. 培养学生对数学问题独立分析和解决问题的能力。

二、作业内容本课时的作业内容将围绕以下三个方面展开：1. 基础知识巩固：要求学生回顾弧长和扇形面积的公式，并完成一组简单的计算题，包括已知半径和圆心角求弧长和扇形面积等。

2. 实际应用题：设计一些实际情景题，如计算扇形图案的面积、计算扇形窗户的弧长等，旨在让学生将所学知识应用到实际问题中。

3. 拓展延伸题：设计一些涉及多个知识点综合运用的题目，如结合弧长和扇形面积计算复杂图形的周长和面积等，以培养学生的综合运用能力。

三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭或代做。

2. 对于计算题，学生需详细写出计算步骤和结果，并确保答案的准确性。

3. 对于实际应用题和拓展延伸题，学生需理解题意并按照所学的知识点进行作答。

如有困难或疑惑之处，需记录下来，等待课堂上向老师请教。

4. 书写要规范，格式要清晰，以便老师批阅时能准确了解学生的答题情况。

四、作业评价作业的评价将从以下几个方面进行：1. 准确性：检查学生计算结果是否正确。

2. 解题过程：评估学生的解题思路是否清晰，步骤是否完整。

3. 理解能力：根据学生对题目意思的理解和答题情况进行评判。

4. 规范性：考察学生的书写规范和格式整齐程度。

评价将分为优、良、中、差四个等级，以激励学生不断提高自己的学习能力。

五、作业反馈1. 老师批阅后，将学生的作业情况及时反馈给学生，让学生了解自己的学习情况。

2. 对于出现错误的地方，老师需详细指出错误原因并给出正确答案及解题思路。

3. 对于表现优秀的学生，老师需给予表扬和鼓励，激发其学习积极性。

4. 根据学生的作业情况，老师需调整教学计划，针对学生普遍存在的问题进行重点讲解和练习。

通过上述的作业设计，旨在帮助学生更好地掌握弧长与扇形面积的知识点，提高他们的数学思维能力。

弧长与扇形面积弧长和扇形面积是圆的重要性质，在数学和几何学中被广泛应用。

它们不仅在日常生活中有实际应用，而且在科学和工程领域也发挥着重要作用。

本文将以一种简明易懂的方式介绍弧长和扇形面积，包括定义、公式以及应用。

首先，让我们从弧长开始讨论。

弧长是圆周任意一部分的长度，它对应于圆周上的弧。

设圆的半径为r，弧长为s，圆心角为Θ（单位为弧度），则弧长与半径和圆心角的关系可以用下列公式表示：s = rΘ在这个公式中，半径和圆心角分别是s的直接因素。

因此，当半径或圆心角发生变化时，弧长也会相应地发生变化。

接下来，我们来讨论扇形面积。

扇形是圆的一部分，它由圆心和两个半径围成，形如一个尖锐的楔形或扇形。

设圆的半径为r，圆心角为Θ，扇形面积为A，则扇形面积与半径和圆心角的关系可以用下列公式表示：A = (1/2) r²Θ在这个公式中，半径和圆心角同样是A的直接因素。

因此，当半径或圆心角发生变化时，扇形面积也会相应地发生变化。

弧长和扇形面积的应用非常广泛。

在生活中，我们经常要根据轮胎的直径和车速来计算车轮的速度，这个速度实际上就是车轮的弧长。

此外，在建筑和测绘中，测量圆周和圆心角可以用来确定建筑物或地区的面积，而测量扇形的圆心角可以用来计算地表覆盖的广度。

在科学和工程领域，弧长和扇形面积的应用更为丰富。

在物理学中，我们可以用弧长和半径来计算弧的速度，这在动力学中非常有用。

同时，扇形面积可以用来计算物体的表面积和体积，并应用于物体的热力学和流体力学模型中。

总结一下，弧长和扇形面积是圆的重要特性，可以通过简单的公式计算。

它们是数学、几何学以及科学和工程学中的重要工具。

通过应用这些概念，我们可以解决各种实际问题，从而更好地理解和利用圆的性质。