八年级数学上册 第一章 第4节线段 角的轴对称性测试题(无答重点

两点，EC=4,ABC∆的周长为的垂直平分线分别交AC，AD，的对称点，线段MN分⊥，延长AE，BE，BE AE8.如图，D是ABC∆的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，垂足为E，EF 与AB的延长线交于点F，点O在AD上，AO COBC EF.=，//求证：（1）AB AC= ;（2）点O是ABC∆三边垂直平分线的交点.【知识点4】最值问题1.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10 B．15 C．20 D．303.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC 上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是．4.如图，在△ABC 中，∠C=90°,AB=4，∠A 的平分线交BC 于点D ，若点P 、Q 分别是AC 和AD 上的动点，则CQ+PQ 的最小值是 ．5.如图，已知等边△ABC ，点D 为AC 的中点，BD=4，点E 为BC 的中点，点P 为BD 上一动点，则PE+PC 的最小值为角平分线的性质知识点1 角平分线的性质1. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，有下列结论:①CD ED =;②AC BE AB +=;③BDE BAC ∠=∠; ④DA 平分CDE ∠.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 若△ABC 的周长为41 cm ，边BC ＝17 cm ．AB<AC ，角平分线AD 将△ABC 的面积分成3：5的两部分，则AB ＝______cm ．3.如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上一动点，若3PA =，则PQ 的最小值为( )A.32B. 2C. 3D.不能确定的平分线BE，CD，平分BAC=;∠;③AP PC2.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图:一把直尺的一边与射线OB重合，另一把直尺的一边与射线OA重合并且与第一把直尺交于点P，小明说:“射线OP就是BOA∠的平分线.”他这样做的依据是( )A.角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上B.角平分线上的点到角两边的距离相等C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D.以上均不正确3.如图，已知点P到,,AE AD BC的距离相等，下列说法:①点P在BAC∠的平分线上;②点P 在CBE∠，BCD∠，CBE∠的平分∠的平分线上;④点P是BAC∠的平分线上;③点P在BCD线的交点.其中所有正确的序号是( )A.①②③④B.①②③C.④D.②③4.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．55.如图，已知射线OC上的任意一点到AOBD E F分别在边∠的两边的距离相等，点,,OC OA OB上，如果想要证明OE OF,,=，只需要添加以下四个条件中的某一个即可，请写出所有可能条件的序号 .①ODE ODF⊥.∠=∠;②OED OFD∠=∠; ③ED FD=;④EF OC6.如图，已知CE AB=.⊥，垂足分别为点,E F，BF交CE于点D，BD CD⊥，BF AC（1）求证：点D在BAC∠的平分线上;（2）若将条件“BD CD∠的平分线上”互换，成立吗?试说明=”与结论“点D在BAC理由.知识点3 角平分线的性质在生活中的应用1.如图，△ABC中，∠C＝90°，(1)在BC上找一点D，使点D到AB的距离等于DC的长度；(2)连接AD，画一个三角形与△ABC关于直线AD对称．3. 如图，直线123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到4. 三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有( )A.一处B.二处C.三处D.四处3.如图，两条公路OA 和OB 相交于点O ，在AOB ∠的内部有两个工厂C ，D ，现要在AOB ∠内部修建一个货站P ，使货站P 到两条公路的距离相等，且到两个工厂C ，D 的距离也相等，用尺规作出货站尸的位置.(要求:保留作图痕迹，不写作法)4.如图，三家公司A 、B 、C 准备共建一个污水处理站M ，使得该站到B 、C 两公司的距离相等，且使A 公司到污水处理站M 的管线最短，试确定污水处理站M 的位置．5.已知直线l及其两侧两点A、B，如图．(1)在直线l上求一点P，使PA＝PB：(2)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．。

某某省洪泽县某某中学八年级数学上册《1.4 线段、角的轴对称性》练习题（1）苏科版知识与基础1、在下列图形中，不是轴对称图形的是（）A、一条线段B、两条相交直线C、有公共端点的两条相等的线段D、有公共端点的两条不相等的线段2、有下列图形：（1）两个点；（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线。

其中轴对称图形共有（）A、3个B、4个C、5个D、6个3、如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，若∠1＝20º，则∠3＝______º；若PD＝1cm，则PE＝_________cm.4、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点E，交AB于点D，△ACE的周长为11cm，AB＝4cm，则△ABC的周长为__________cm.5、如图，在△ABC中，∠C＝90°,BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝15cm，且CD：AD＝2：3，则点D到AB的距离为__________cm. l2 l1A D COP2P1BPAB6、如图，直线交于点O，点P关于l1、l2的对称点分别为P、P。

（1）若l1、l2相交所成的锐角∠AOB＝60°，则∠P1OP2＝_________；（2）若OP＝3，P1P2＝5，则△P1OP2的周长为_________。

7、如图，在△ABC中，AD是边BC的垂直平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

（1）AD是∠BAC的角平分线吗？为什么？（2）写出图中所有的相等线段，并说明理由。

AEFB D CD应用与拓展8、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直平分，交点为O，写出图中所有相等的线段和相等的角，AO C并说明理由。

B9、“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置。

学案1.4 线段、角的轴对称性知识与基础1、在下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A 、一条线段B 、两条相交直线C 、有公共端点的两条相等的线段D 、有公共端点的两条不相等的线段2、有下列图形：（1）两个点；（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线。

其中轴对称图形共有（ ）A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个3、如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，若∠1＝20º，则∠3＝______º；若PD ＝1cm ，则PE ＝_________cm. A AD C DPO E B B E C4、如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线DE 交BC 于点E ，交AB 于点D ，△ACE 的周长为11cm ，AB ＝4cm ，则△ABC 的周长为__________cm.5、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°,BD 平分∠ABC CD ：AD ＝2：3，则点D 到AB 的距离为A D CPA B6、如图，直线交于点O ，点P 关于l 1、l 2的对称点分别为P 、P 。

（1）若l 1、l 2相交所成的锐角∠AOB ＝60°，则∠P 1OP 2＝_________；（2）若OP ＝3，P 1P 2＝5，则△P 1OP 2的周长为_________。

7、如图，在△ABC 中，AD 是边BC 的垂直平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。

（1）AD 是∠BAC 的角平分线吗？为什么？（2）写出图中所有的相等线段，并说明理由。

应用与拓展8、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 互相垂直平分，交点为O ，写出图中所有相等的线段和相等的角，A O C并说明理由。

B9、“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l 1、l 2和两个城镇A 、B （如1 2 3图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置。

2.4 线段、角的轴对称性（1）一、选择题1．下列命题正确的有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN 是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AC=AD，BC=BD，则（）A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CDC．CD平分∠ACB D．以上结论都不正确3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm二、填空题4．在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是______°．5．已知：如图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADC=______．6．在△ABC中，AB=AC=6cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，且△BCE的周长为10cm，则BC=______ cm．7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，AB的垂直平分线与AC相交于E点，连结BE，若∠CBE：∠EBA=1：4，则∠A=______度，∠ABC=______度．8．底边AB=a的等腰三角形有______个，符合条件的顶点C在线段AB的______上．三、解答题9．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D点，垂足为E，且∠1=2∠2，求∠A的度数．10．已知：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于P．求证：PA=PB=PC．11．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，△ABC的周长为18厘米，△ABE的周长为10厘米，求BD的长．12．如图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线．（1）若BC=13，求△AEG的周长．（2）若∠BAC=126°，求∠EAG的度数．参考答案一、A 解析：①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确；②错误；这是对线段垂直平分线的误解；③有无数条，错误；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；如图.⑤错误，这是对线段垂直平分线的误解.故选A．2．B 解析：AC=AD，BC=BD.根据线段垂直平分线的性质可得：AB垂直平分CD.故选B．3．D 解析：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD.∵AC=5cm，BC=4cm，∴△DBC的周长是：BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=5+4=9（cm）．故选D．二、4．15解析：∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ABC=∠C=（180°﹣50°）÷2=65°.∵DE为AB 的中垂线，∴AD=BD.∴∠ABD=∠A=50°，∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=15°．5．120° 解析：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠C=∠B==30°，∵AC的垂直平分线交BC于D，∴AD=CD，∴∠DAC=∠C=30°，∴∠ADC=180°﹣∠DAC﹣∠C=120°．6．4解析：∵AB=AC=6cm，DE垂直且平分AB，∴BE=AE．∵△BCE的周长为10cm，BE+CE=AC=AB=6，∴BC=10﹣6=4（cm）．7．40 50解析：如图.∵DE是线段AB的垂直平分线，∴∠A=∠EBA．∵∠CBE：∠EBA=1：4，∴可设∠CBE=x，则∠A=∠EBA=4x，∵∠C=90°，∴∠CBE+∠A+∠EBA=90°，即9x=90°，解得x=10°，∴∠A=4x=40°，∠ABC=5x=50°．8．无数垂直平分线解析：如图，作线段AB的垂直平分线，在该垂直平分线上任取两点M、N，则有MA=MB、NA=NB，即△MAB、△NAB均为等腰三角形，∴底边AB=a的等腰三角形有无数个，符合条件的顶点C在线段AB的垂直平分线上．三、9．解：∵AB的垂直平分线交AC于D点，∴DB=DA，∠2=∠A（设为α），∴∠BDC=∠2+∠A=2α；∵∠C=90°，∠1=2∠2，∴∠1+∠BDC=90°，即4α=90°，∴α=22.5°，即∠A=22.5°．10．证明：∵点P是边AB，BC的垂直平分线的交点，∴PA=PB，PB=PC，∴PA=PB=PC．11．解：∵C△ABC=18cm，∴AB+AC+BC=18cm． 2分∵DE垂直平分BC，∴EB=EC，BD=BC 4分∵C△ABE=10cm，∴AB+AE+EB=AB+AC=10cm． 5分∴BC=C△ABC﹣C△ABE=8cm． 7分∴BD=BC=4cm． 8分12．解：（1）∵DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，BC=13，∴BE=AE，CG=AG，∴△AEG的周长=AE+AG+EG=BE+CG+EG=BC=13；（2）在△ABC中，∠BAC=120°，∴∠B+∠C=180°﹣120°=60°，∵DE是AB的垂直平分线，∴EB=EA，∴∠1=∠B，同理可得∠2=∠C，又∵∠1+∠2+∠B+∠C+∠EAG=180°，∴2（∠B+∠C）+∠EAG=180°，∴∠EAG=60°．2.4 线段、角的轴对称性（2）一、选择题1．到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点 D．三条垂直平分线的交点2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，有下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC的中点．其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题3．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于E，与BC交于D，∠C=15°，∠BAD=60°，则△ABC是______三角形．4．如图，∠ABC=70°，∠A=50°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBC=______°．5．如图，在△ABC中，AB=AC=17，BC=16，DE垂直平分AC，则△ABD的周长是______．6．如图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=______度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=______度，∠BOC=______度．7．在△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，若∠BAD﹣∠DAC=22.5°，则∠B 的度数是______．三、解答题8．（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC；（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的______；当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的______；当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的______；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个．9．如图，已知AE=CE，BD⊥AC．求证：AB+CD=AD+BC．10．如图，△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且∠OBC=∠OCB，求证：AO⊥BC．11．已知：如图∠ABC=∠ACB，AD平分∠BAC，点P在直线AD上，求证：PB=PC．参考答案1．D；2．B；3．直角；4．20；5．33；6．=；=；=；50；50；80；100；7．37.5°或67.5°；8．内部；斜边的中点；外部；9．10．11．。

数学八（上）1.4《线段、角的轴对称性》习题
1.在等腰三角形中，顶角的顶点一定在底边的垂直平分线上吗？请说明理由。

答案：1.顶角的顶点一定在底边的垂直平分线上。

因为等腰三角形的两腰相等，根据到线段两端距离相等的点在线段的
垂直平分线上，所以顶点一定在底边的垂直平分线上。

2.（1）利用网格线画出图中四边形ABCD的任意联邦的垂直平分线，设它们相交
于点O；
（2）观察点O是否在另两边的垂直平分线上；
（3）如果将图中的四边形的顶点D向左移动8格，还能观察到与上面相同的结论吗？
答案：（1）略；（2）在；（3）不能
3.如图，在△ABC中，BC=7，AB 的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E、AC的
垂直平分线分别交于AC、BC于点F、G，求△AEG的周长。

答案：3.因为点E在AB的垂直平分线上，所以EA=EB.同理 GA=GC。

△AEC的周长=AE+EG+AG=BE+EG+GC=BC=7
4.（1）利用网络线画出图中四边形ABCD的任意两个内角的平分线，设它们相交
于点O；
（2）观察点O是否在另两个内角的平分线上。

答案：（1）略
（2）在
5.如图，已知△ABC。

（1）用直尺和圆规分别作∠A和∠B平分线，设它们相交于点O；
（2）点O在∠C的平分线上吗？试说明理由。

（第5题答案）
答案：5.（1）略
（2）在。

过点O分别作OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,垂足分别为D、E、F。

因为点O在∠CAB的角平分线上，OD⊥AC,OF⊥AB,
所以OD=OF.同理 OE=OF.因此OD=OE。

所以点O在∠C的平分线上。

八年级数学上第二章轴对称图形2．4 线段、角的轴对称性1．线段是轴对称图形，它的对称轴是____________；角是轴对称图形，它的对称轴是_____．2．角平分线上的任意一点到这个角的两边的________相等；线段垂直平分线上的点到________的距离相等；线段的垂直平分线可以看作是到_______的所有点的集合；角平分线可以看作是到_______的所有点的集合．3．射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，且PM=2cm，则PN=_________cm．4．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．(1)若BE=10 cm，则EC=_______cm；(2)若AB+AC=8 cm，则△ACE的周长是_______．5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．(1)若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是________；(2)若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是________．6．已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三个顶点的距离相等．7．如图，P是∠BAC的平分线AD上的一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB 的距离是( ) A．3 B．4 C．5 D．68．如图是一个台球桌面，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时必须保证∠1为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°9．已知∠AOB 和C 、D 两点，求作点P ，使PC=PD ，且P 到∠AOB 的两边OA 、OB 的距离相等．10．如图，有一个三角形纸片ABC ，AB=10 cm ，BC=7 cm ，AC=6 cm ，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则△AED 的周长___．11．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，要求使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置．并加以证明。

八年级数学(上)第一章轴对称图形第6课时线段、角的轴对称性(二)1．___________是角的对称轴，到一个角的两边距离相等的点有_________个．2．如图，射线OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N．当PM=2 cm时，PN=________cm．理由是_____________________________________．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．(1)若BC=9，BD=5，则点D到AB的距离为__________．(2)若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC=__________．4．如图，在△ABC中，O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥BC，OF ⊥AC，D、E、F是垂足．(1)对于等式：①OD=OE；②OE=OF；③OF=OD，根据“角平分线上的点到角的两边距离相等”，可以得到等式__________和_________，进而可以得到等式_________；(2)因为OF=OD，所以点O在∠________的平分线上，理由是________________________________________________．5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，∠B=40°，∠BAD=30°，则∠C 的度数为( ) A．70°B．80°C．100°D．110°6．如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时必须保证∠1的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．75°7．如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形，∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点标出点P，使点P落在∠AOB的平分线上．8．如图，在Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DF⊥AC于点F，且DE=DC．试比较BE和FC的大小关系并说明理由．9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的平分线相交于点O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF ⊥AB，垂足分别为D、E、F．(1)OD与OF相等吗?为什么?(2)OE与OF相等吗?为什么?(3)OD与OE相等吗?为什么?(4)OC平分∠ACB吗?为什么?10．如图，AC平分∠EAB，DC=BC，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AB，垂足为F．(1)写出图中相等的线段(已知的相等线段除外)．(2)选择你所写的一组相等线段，说明它们相等的理由．11．某地有三条公路，两两相交形成如图所示的形状，小张的父亲准备在公路旁修一座加油站，要使加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在何处?12．如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中点，EF⊥AB于点F．问AD、BC与AB之间有何关系?为什么?参考答案1．角平分线无数2．2 角平分线上的点到角的两边距离相等3．(1)4 (2)154．(1)①②③(2)A 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上5．B6．C7．略8．BE=FC ∵∠B=90°，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴BD=DF，∠B=∠DFC=90°．又∵DE=DC，∴△BED≌△FCD．∴BE=FC9．(1)相等，角平分线上的点到角的两边距离相等(2)相等，角平分线上的点到角的两边距离相等(3)相等，等量代换(4)OC平分∠ACB，角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上10．(1)DE=BF，AE=AF，CE=CF (2)略11．有四处，应建在构成的三角形内、外角平分线的交点处12．AD+BC=AB连接BE．∵AE平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB，∴DE=EF．则△AD E ≌△AFE．∴AD=AF．又可证△BE F≌△BEC．∴BC=BF．∴AD+BC=AF+BF=AB。

线段、角的轴对称性一．选择题（共10小题）1．（2022•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC 的长为（）A．2+B．+C．2+D．3 2．（2022•梧州）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（）A．12 B．13 C．14 D．15 3．（2022•张家界）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（）A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2022•湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD 平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24 B．30 C．36 D．42 5．（2022•南充）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）A．8 B．11 C．16 D．17 6．（2018•梧州）如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是（）A．2 B．3 C．4 D．6 7．（2018•大庆）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝（）A．30°B．35°C．45°D．60°8．（2018•黄冈）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（）A．50°B．70°C．75°D．80°9．（2022•宜春二模）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（）A．12 B．15 C．16 D．18 10．（2022•苏州模拟）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连结CF和DE，若∠A＝70°．∠DCF＝50°，BC＝8，则DE的长（）A．4 B．C．D．二．填空题（共6小题）11．（2022•永州）已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE 交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝．12．（2018•毕节市）如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是．13．（2018•南充）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝度．14．（2018•德州）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为．15．（2017•常州）如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是．16．（2022•滨州二模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点连接CF．若∠A＝60°，∠ABD ＝24°，则∠ACF的度数为．三．解答题（共4小题）17．（2022•滨州一模）如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，求∠C的度数．18．（2022•淮阴区一模）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．19．（2018•石景山区二模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°，CD＝BC，DE是AB边的垂直平分线，连接CE．（1）求证：∠DEC＝∠BEC；（2）若AB＝8，BC＝，求CE的长．20．（2022春•滨州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．（1）如图（1），若∠A＝40°，则∠NMB＝度；（2）如图（2），若∠A＝70°，则∠NMB＝度；（3）如图（3），若∠A＝120，则∠NMB＝度；（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．答案与解析一．选择题（共10小题）1．（2022•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC 的长为（）A．2+B．+C．2+D．3【分析】过点D作DF⊥AC于F如图所示，根据角平分线的性质得到DE＝DF＝1，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过点D作DF⊥AC于F如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF＝1，在Rt△BED中，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，在Rt△CDF中，∠C＝45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD＝DF＝，∴BC＝BD+CD＝2，故选：A．【点评】本题考查了角平分线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．2．（2022•梧州）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，进而得出答案．【解答】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵AC＝8，BC＝5，∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．故选：B．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．3．（2022•张家界）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】过点D作DE⊥AB于E，求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AC＝8，DC＝AD，∴CD＝8×＝2，∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝CD＝2，即点D到AB的距离为2．故选：C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．4．（2022•湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD 平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24 B．30 C．36 D．42【分析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH＝CD＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•DH+BC•CD＝×6×4+×9×4＝30，故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．5．（2022•南充）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）A．8 B．11 C．16 D．17【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，然后利用等线段代换即可得到△ACE的周长＝AC+BC，再把BC＝6，AC＝5代入计算即可．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝5+6＝11．故选：B．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．6．（2018•梧州）如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得．【解答】解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF＝6，故选：D．【点评】本题主要考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．7．（2018•大庆）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝（）A．30°B．35°C．45°D．60°【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB＝∠DAB，计算即可．【解答】解：作MN⊥AD于N，∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN＝MC，∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB＝∠DAB＝35°，故选：B．【点评】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．8．（2018•黄冈）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（）A．50°B．70°C．75°D．80°【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝25°，∵∠B＝60°，∠C＝25°，∴∠BAC＝95°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．9．（2022•宜春二模）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC角平分线的交点，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（）A．12 B．15 C．16 D．18【分析】由角平分线的性质可得，点O到AB，BC，AC的距离相等，则△AOB、△BOC、△AOC面积的比实际为AB，BC，AC三边的比．【解答】解：∵点O是三条角平分线的交点，∴点O到AB，AC的距离相等，∴△AOB、△AOC面积的比＝AB：AC＝8：6＝4：3．∵△ABO的面积为20，∴△ACO的面积为15．故选：B．【点评】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．10．（2022•苏州模拟）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连结CF和DE，若∠A＝70°．∠DCF＝50°，BC＝8，则DE的长（）A．4 B．C．D．【分析】利用角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，利用线段垂直平分线的性质得到FB＝FC，BE＝CE，则∠FBC＝∠FCB，设∠FCB ＝x，则∠ABC＝2x，利用三角形内角和得到2x+x+50°+70°＝180°，解得x＝20°，接着计算出∠BDC＝90°，然后根据斜边上的中线性质得到DE的长．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵BC的中垂线交BC于点E，∴FB＝FC，BE＝CE，∴∠FBC＝∠FCB，设∠FCB＝x，则∠ABC＝2x，∵∠ABC+∠ACB+∠A＝90°，∴2x+x+50°+70°＝180°，解得x＝20°，∴∠DCB＝70°，∠DBC＝20°，∴∠BDC＝90°，而DE为斜边BC的中线，∴DE＝BC＝×8＝4．故选：A．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．二．填空题（共6小题）11．（2022•永州）已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D 为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE 交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝ 4 ．【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM＝DE＝2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM＝30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解．【解答】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．∵OC是∠AOB的平分线，∴DM＝DE＝2．在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，∴DF＝2DM＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键．12．（2018•毕节市）如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是16 ．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，从而得到△BCE的周长＝AC+BC，然后代入数据计算即可求解．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵AC＝10，BC＝6，∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝10+6＝16．故答案为：16【点评】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，证明出三角形的周长等于AC与BC的和是解题的关键．13．（2018•南充）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝24 度．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，得到∠EAC ＝∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∴∠FAC＝∠EAC+19°，∵AF平分∠BAC，∴∠FAB＝∠EAC+19°，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，解得，∠C＝24°，故答案为：24．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．14．（2018•德州）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为 3 ．【分析】过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF＝CM，进而可得答案．【解答】解：过C作CF⊥AO，∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM＝CF，∵OC＝5，OM＝4，∴CM＝3，∴CF＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．15．（2017•常州）如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是15 ．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝15，故答案为：15．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16．（2022•滨州二模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点连接CF．若∠A＝60°，∠ABD ＝24°，则∠ACF的度数为48°．【分析】先利用角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD＝24°，再根据三角形内角和计算出∠ACB＝72°，接着根据线段垂直平分线的性质得FB＝FC，则∠FCB＝∠FBC＝24°，然后计算∠ACB﹣∠FCB即可．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝24°，∴∠ABC＝48°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝180°﹣48°﹣60°＝72°，∵EF垂直平分BC，∴FB＝FC，∴∠FCB＝∠FBC＝24°，∴∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB＝72°﹣24°＝48°．故答案为48°．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．三．解答题（共4小题）17．（2022•滨州一模）如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，求∠C的度数．【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：连接BD，∵E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∴AD＝BD，∴∠DBA＝∠A，∵∠A＝66°，∴∠DBA＝66°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝24°∵AD＝BC，∴BD＝BC，∴∠C＝∠BDC，∴∠C＝＝78°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．18．（2022•淮阴区一模）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC 及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝＝70°，∵MN的垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．故答案为：30°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．19．（2018•石景山区二模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°，CD＝BC，DE是AB边的垂直平分线，连接CE．（1）求证：∠DEC＝∠BEC；（2）若AB＝8，BC＝，求CE的长．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DE⊥AB，AE＝EB ＝4，得到DE＝AE＝EB，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）过点C作CH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质得到CH＝EH，设EH＝x，则BH＝4﹣x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵DE是AB边的垂直平分线，∴DE⊥AB，AE＝EB＝4，∵∠A＝45°，∴DE＝AE＝EB，又∵DC＝CB，CE＝CE，∴△EDC≌△EBC（SSS）．∴∠DEC＝∠BEC＝45°；（2）解：过点C作CH⊥AB于点H，∵∠BEC＝45°，∴CH＝EH，设EH＝x，则BH＝4﹣x，在Rt△CHB中，CH2+BH2＝BC2，即x2+（4﹣x）2＝10，解之，x1＝3，x2＝1（不合题意，舍），即EH＝3．∴CE＝EH＝3．【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．20．（2022春•滨州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．（1）如图（1），若∠A＝40°，则∠NMB＝20 度；（2）如图（2），若∠A＝70°，则∠NMB＝35 度；（3）如图（3），若∠A＝120，则∠NMB＝60 度；（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．【分析】（1）利用等腰三角形的性质求出∠B，再利用三角形内角和定理解决问题即可．（2）（3）（4）方法类似．【解答】解：（1）如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝20°，故答案为20．（2）如图2中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣70°）＝55°，∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝35°，故答案为35．（3）如图3中，如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣120°）＝30°，∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝60°，故答案为60．（3）结论：∠NMB＝∠A．理由：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）∵MN⊥AB，∴∠MNB＝90°，∴∠NMB＝90°﹣（90°﹣∠A）＝∠A．【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。

一、单选题1.到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形（）的交点A. 三边中垂线B. 三条中线C. 三条高 D. 三条内角平分线2.有一块三角形的草坪△ABC，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在( )A. △ABC三条角平分线的交点B. △ABC三边的垂直平分线的交点C. △ABC三条中线的交点D. △ABC三条高所在直线的交点3.下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A. 1个B. 2个C. 3个 D. 4个4.如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8cm，AB=10cm，则△EBC 的周长为（）A. 16cmB. 28cmC. 26cmD. 18cm5.如图,点D在△ABC的BC边上,且BC=BD+AD,则点D在线段( )的垂直平分线上.A. ABB. ACC. BCD. 不确定6.如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处 D. 四处7.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO 等于（）A. 1︰1︰1B. 1︰2︰3C. 2︰3︰4 D. 3︰4︰58.如图，己知△ABC中，∠ABC=50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分別交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（）A. 100°B. 105°C. 115°D. 无法确定9.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=6，DE=3，则△BCE的面积等于（）A. 10B. 9C. 8D. 610.如图，∠A=80°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（）A. 40°B. 30°C. 20°D. 10°二、填空题11.已知点O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为6cm，则OA+OB+OC=________.12.如图，在ΔABC中，分别以点A和B为圆心，大于1AB的长为半径画弧，2两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD。