高中数学新教材人教B版必修第二册训练：4.1.2 第2课时 指数函数的性质与图像的应用

4．2.2 对数运算法则【课程标准】理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一对数的运算性质若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)log a(MN)＝____________，＝____________，(2)log a MN(3)log a M n＝____________(n∈R).状元随笔对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．知识点二对数换底公式log a b＝____________(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0).特别地：log a b·log b a＝________(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．状元随笔对数换底公式常见的两种变形＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与(1)log a b·log b a＝1，即1log a b原对数值互为倒数 .log N M，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所(2)log N n M m＝mn得的对数值等于原来对数值的m n 倍．基础自测 1．下列等式成立的是( )A ．log 2(8－4)＝log 28－log 24B ．log 28log 24＝log 284C ．log 28＝3log 22D ．log 2(8＋4)＝log 28＋log 242.log 49log 43的值为( ) A ．12 B ．2 C ．32 D ．923．2log 510＋log 50.25＝( )A ．0B ．1C ．2D ．44．已知ln2＝a ，ln3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为________.课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 用已知对数表示其他对数[经典例题]例1 用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：(1)lg (xyz )； (2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z ； (4)lg √xy 2z .方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；(3)注意一些派生公式的使用．跟踪训练1 如果lg2＝m ，lg3＝n ，则lg 12lg 15等于( )A ．2m+n 1+m+nB ．m+2n 1+m+nC ．2m+n 1−m+nD ．m+2n 1−m+n题型2 对数运算性质的应用[经典例题]逆用对数的运算法则合并求值．例2 (1)计算lg2＋lg5＋2log 510－log 520的值为( )A ．21B ．20C ．2D ．1(2)求值：log 2√748＋log 212－12log 242.方法归纳(1)对于同底的对数的化简，常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).(2)对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg2＋lg5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练2 (1)计算：lg 52＋2lg2－(12)−1＝________．利用对数运算性质化简求值．(2)求下列各式的值．①log 53＋log 513；②(lg5)2＋lg2·lg50；③lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.题型3 对数换底公式的应用[经典例题]例3 (1)已知2x ＝3y ＝a ，1x ＋1y ＝2，则a 的值为( )A ．36B ．6C ．2√6D ．√6(2)计算：log 89·log 2732.(3)已知log 189＝a ，18b＝5，用a ，b 表示log 3645.状元随笔(1)利用换底公式化简．(2)利用对数运算性质化简求值．方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a为底．(2)换底公式的派生公式：log a b＝log a c·log c b；log a n b m＝mnlog a b.跟踪训练3 (1)式子log916·log881的值为( )A．18 B．118C．83D．38(2)已知log62＝p，log65＝q，则lg5＝________；(用p，q表示)(3)①已知log147＝a，14b＝5，用a，b表示log3528；②设3x＝4y＝36，求2x ＋1y的值．状元随笔(1)方法一对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．方法二先求出a、b，再利用换底公式化简求值．(2)利用换底公式化简求值．4．2.2 对数运算法则新知初探·自主学习知识点一(1)log a M＋log a N(2)log a M－log a N(3)n log a M知识点二log c blog c a 1[基础自测]1．解析：由对数的运算性质易知C 正确．答案：C2．解析：原式＝log 39＝2.答案：B3．解析：原式＝log 5102＋log 50.25＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2.答案：C4．解析：log 32＝ln 2ln 3＝a b .答案：a b课堂探究·素养提升 例1 【解析】 (1)lg (xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z .(2)lgxy 2z ＝lg (xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z . (3)lg3√z ＝lg (xy 3)－lg √z ＝lg x ＋3lg y －12lg z . (4)lg √x y 2z ＝lg √x －lg (y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z . 跟踪训练1 解析：因为lg2＝m ，lg3＝n ，所以lg 12lg 15＝2lg 2+lg 3lg 3+lg 5＝2m+n n+1−lg 2＝2m+n n+1−m .答案：C例2 【解析】 (1)lg2＋lg5＋2log 510－log 520＝1＋log 510020＝1＋1＝2. (2)原式＝12(log 27－log 248)＋log 23＋2log 22－12(log 22＋log 23＋log 27)＝12log 27－12log 23－12log 216＋12log 23＋2－12log 27－12＝－12.【答案】 (1)C (2)见解析跟踪训练2 解析：(1)lg 52＋2lg2－(12)−1＝lg5－lg2＋2lg2－2＝(lg5＋lg2)－2＝1－2＝－1.(2)①log 53＋log 513＝log 5(3×13)＝log 51＝0.②(lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.③原式＝lg25＋lg 823＋lg 102·lg (10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(lg10－lg2)(lg10＋lg2)＋(lg2)2 ＝lg100＋(lg10)2－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3. 答案：(1)－1 (2)见解析例3 【解析】 (1)因为2x ＝3y ＝a ， 所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，所以1x +1y ＝1log 2a +1log 3a＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2， 所以a 2＝6，解得a ＝±√6.又a ＞0，所以a ＝√6.(2)log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg32lg 27＝lg 32lg 23·lg 25lg 33＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109.(3)方法一 因为log 189＝a ，所以9＝18a.又5＝18b ，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18(18×2)＝11+log 182＝11+log 18189＝11+1−log 189＝12−a ，所以原式＝a+b 2−a.方法二 ∵18b ＝5，∴log 185＝b .∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(4×9)＝log 185+log 1892log 182+log 189＝a+b 2log 18189+log 189＝a+b 2−2log 189+log 189＝a+b 2−a .【答案】 (1)D (2)(3)见解析跟踪训练3 解析：(1)原式＝log 3224log 2334＝2log 32·43log 23＝83.(2)lg5＝log 65log 610＝q log 62+log 65＝q p+q .(3)①∵log 147＝a ，14b＝5，∴b ＝log 145.∴log 3528＝log1428log 1435＝log 141427log 14(5×7)＝log 14142−log 147log 145+log 147＝2−a a+b . ②∵3x ＝36，4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， ∴1x ＝1log 336＝1log 3636log 363＝log 363， 1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364， ∴2x +1y ＝2log 363＋log 364＝log 36(9×4)＝1. 答案：(1)C (2)q p+q (3)见解析。

人教B版（2019）高中数学必修第二册课程目录与教学计划表教材课本目录是一本书的纲领，是教与学的路线图。

不管是做教学计划、实施教学活动，还是做学习计划、复习安排、工作总结，都离不开目录。

目录是一本书的知识框架，要做到心中有书、胸有成竹，就从目录开始吧！课程目录教学计划、进度、课时安排第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1 实数指数幂及其运算4.1.2 指数函数的性质与图像本节综合与测试4.2对数与对数函数4.2.1对数运算4.2.2对数运算法则4.2.3对数函数的性质与图像本节综合与测试4.3指数函数与对数函数的关系4.4幂函数4.5增长速度的比较4.6函数的应用(二)4.7数学建模活动:生长规律的描述本章综合与测试第五章统计与概率5.1统计5.1.1 数据的收集5.1.2 数据的数字特征5.1.3 数据的直观表示5.1.4用样本估计总体本节综合与测试5.2数学探究活动:由编号样本估计总数及其模拟5.3概率5.3.1样本空间与事件5.3.2事件之间的关系与运算5.3.3古典概型5.3.4频率与概率5.3.5随机事件的独立性本节综合与测试5.4统计与概率的应用本章综合与测试第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.1 向量的概念6.1.2向量的加法6.1.3向量的减法6.1.4 数乘向量6.1.5向量的线性运算本节综合与测试6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.1 向量基本定理6.2.2 直线上向量的坐标及其运算6.2.3平面向量的坐标及其运算本节综合与测试6.3平面向量线性运算的应用本章综合与测试本册综合。

新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：第4章 指数函数、对数函数与幂函数(教师独具)类型1 指数、对数的运算问题解决这类问题首先要熟练掌握指数式和对数式的积、商、幂、方根的运算法则，熟练掌握各种变形．如N 1b＝a ，a b ＝N ，log a N ＝b (其中N >0，a >0，a ≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算．【例1】 (1)若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．52D ．12(2)已知2a ＝5b ＝c ，1a ＋1b＝1，则c ＝________.(1)A (2)10 [(1)由x log 23＝1得x ＝log 32，所以3x＋9x＝3log 32＋(3log 32)2＝2＋4＝6.(2)由2a ＝5b ＝c ，得a ＝log 2c ，b ＝log 5c ，1a ＋1b ＝1log 2c ＋1log 5c＝log c 2＋log c 5＝log c 10＝1，所以c ＝10.][跟进训练]1．求值：(1)⎝⎛⎭⎫21412－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎫338－23＋(1.5)－2； (2)log 2512·log 45－log 133－log 24＋5log 52.[解] (1)原式＝⎝⎛⎭⎫9412－1－⎝⎛⎭⎫278－23＋⎝⎛⎭⎫32－2 ＝32－1－⎝⎛⎭⎫32－2＋⎝⎛⎭⎫232＝32－1－49＋49＝12.(2)原式＝－12log 52·12log 25＋log 33－2log 22＋2＝－14＋1－2＋2＝34.类型2 函数图像与性质的应用指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的函数，它们的图像和性质是考查的重点，应熟练掌握图像的画法及形状，熟记性质，特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时，对图像和性质的影响．【例2】 当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(1,2] D ．⎝⎛⎭⎫0，12 C [设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图像在f 2(x )＝log a x 的下方即可，当0<a <1时，显然不成立．当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图像在f 2(x )＝log a x 的下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2.∴log a 2≥1，∴1<a ≤2，故选C ．] [跟进训练]2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x.(1)画出函数f (x )的图像；(2)根据图像写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域． [解] (1)先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图像，利用偶函数的图像关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图像．(2)函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．类型3 数的大小比较问题比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较．【例3】 (1)已知a ＝log 20.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．b ＞c ＞aD ．c ＞b ＞a (2)设a ＝log 132，b ＝log 123，c ＝⎝⎛⎭⎫130.3，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c (1)C (2)D [(1)∵a ＝log 20.3＜log 21＝0，b ＝20.3＞20＝1,0＜c ＝0.30.2＜0.30＝1，∴b ＞c ＞a .故选C ．(2)∵a ＝log 132＜0，b ＝log 123＜0，log 132＞log 133，log 133＞log 123，c ＝⎝⎛⎭⎫130.3＞0.∴b ＜a ＜c .故选D ．][跟进训练]3．已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )A ．x ＞y ＞zB ．z ＞y ＞xC ．y ＞x ＞zD ．z ＞x ＞yC [依题意，得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7.又0＜a ＜1，5＜6＜7，因此有log a 5＞log a 6＞log a 7，即y ＞x ＞z .]类型4 分类讨论思想所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论．在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图像和性质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现．【例4】 已知函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈N )为偶函数，且f (3)<f (5)． (1)求m 的值，并确定f (x )的解析式；(2)若g (x )＝log a [f (x )－ax ](a >0，且a ≠1)在[2,3]上为增函数，求实数a 的取值范围． [思路探究] (1)结合f (3)<f (5)，与函数f (x )的奇偶性，分类讨论确定m 的值及f (x )的解析式．(2)由g (x )为增函数，结合a 讨论，求出a 的取值范围． [解] (1)由f (3)<f (5)，得3－2m 2＋m ＋3<5－2m 2＋m ＋3， ∴⎝⎛⎭⎫35－2m 2＋m ＋3<1＝⎝⎛⎭⎫350. ∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x为减函数，∴－2m 2＋m ＋3>0，解得－1<m <32.∵m ∈N ，∴m ＝0或1．当m ＝0时，f (x )＝x －2m 2＋m ＋3＝x 3为奇函数，不合题意； 当m ＝1时，f (x )＝x －2m 2＋m ＋3＝x 2为偶函数． 综上，m ＝1，此时f (x )＝x 2.(2)由(1)知，当x ∈[2,3]时，g (x )＝log a (x 2－ax )．①当0<a <1时，y ＝log a u 在其定义域内单调递减，要使g (x )在[2,3]上单调递增，则需u (x )＝x 2－ax 在[2,3]上单调递减，且u (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥3，u (3)＝32－3a >0，无解； ②当a >1时，y ＝log a u 在其定义域内单调递增，要使g (x )在[2,3]上单调递增，则需u (x )＝x 2－ax 在[2,3]上单调递增，且u (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，u (2)＝22－2a >0，解得a <2. ∴实数a 的取值范围为(1,2)． [跟进训练]4．设a >0且a ≠1，若P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，试比较P ，Q 的大小． [解] 当0<a <1时，有a 3<a 2，即a 3＋1<a 2＋1． 又当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q ； 当a >1时，有a 3>a 2，即a 3＋1>a 2＋1． 又当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即P >Q . 综上可得P >Q .类型5 函数与方程思想【例5】 若函数f (x )＝10|lg x |－a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a >1 C ．a ≤1D ．a ≥1B [若函数f (x )＝10|lg x |－a 有两个零点，则10|lg x |－a ＝0有两个实数根，即10|lg x |＝a 有两个实数根，转化为函数y ＝10|lg x |与y ＝a 图像有两个不同的交点，为此只要画出y ＝10|lg x |的图像即可． 当x ≥1时，lg x ≥0，y ＝10|lg x |＝10lg x ＝x ； 当0<x <1时，lg x <0，y ＝10|lg x |＝10－lg x＝1x， 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1．这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出，如图．依题意，得a >1．][跟进训练]5．若关于x 的方程|x －2|(x ＋1)－m ＝0至少有两个实数根，则实数m 的取值范围是________．⎣⎡⎦⎤0，94 [若关于x 的方程|x －2|(x ＋1)－m ＝0至少有两个实数根，则|x －2|(x ＋1)＝m 至少有两个实数根，即函数y ＝|x －2|(x ＋1)与y ＝m 的图像至少有两个交点．当x ≥2时，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝⎝⎛⎭⎫x －122－94， 当x <2时，即x －2<0时， y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出，如图．依题意，得0≤m ≤94.](教师独具)1．(2020·全国卷Ⅰ)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A ．116B ．19C ．18D ．16B [法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则有4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19，故选B ．法二：因为a log 34＝2，所以－a log 34＝－2，所以log 34－a ＝－2，所以4－a ＝3－2＝132＝19，故选B ．]2．(2020·全国卷Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e－0.23(t －53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln19≈3)( )A ．60B ．63C ．66D ．69C [由题意可知，当I (t *)＝0.95K 时，K 1＋e－0.23(t *－53)＝0.95K ，即10.95＝1＋e －0.23(t *－53)，e －0.23(t *－53)＝119，e 0.23(t *－53)＝19，∴0.23(t *－53)＝ln 19≈3，∴t *≈66.故选C ．] 3．(2020·全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bA [ ∵23＜32，∴2＜323，∴log 32＜log 3323＝23，∴a ＜c .∵33＞52，∴3＞523，∴log 53＞log 5523＝23，∴b ＞c ，∴a ＜c ＜b ，故选A ．]4．(2020·天津高考)设a ＝30.7，b ＝⎝⎛⎭⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bD [由题知c ＝log 0.70.8<1，b ＝⎝⎛⎭⎫13－0.8＝30.8，易知函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以b ＝30.8>30.7＝a >1，所以c <a <b ，故选D ．]5．(2020·全国卷Ⅱ)若2x －2y ＜3－x －3－y ，则( ) A ．ln(y －x ＋1)＞0 B ．ln(y －x ＋1)＜0 C ．ln|x －y |＞0D ．ln|x －y |＜0A [由2x －2y <3－x －3－y ，得2x －3－x <2y －3－y ，即2x －⎝⎛⎭⎫13x <2y －⎝⎛⎭⎫13y.设f (x )＝2x －⎝⎛⎭⎫13x ，则f (x )<f (y )．因为函数y ＝2x在R 上为增函数，y ＝－⎝⎛⎭⎫13x 在R 上为增函数，所以f (x )＝2x －⎝⎛⎭⎫13x在R 上为增函数，则由f (x )<f (y )，得x <y ，所以y －x >0，所以y －x ＋1>1，所以ln(y －x ＋1)>0，故选A ．]6．(2020·北京高考)函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的定义域是________．(0，＋∞) [函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的自变量满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，x ＞0，∴x ＞0，即定义域为(0，＋∞)．]。

课时分层作业(十一) 全概率公式、贝叶斯公式(建议用时：40分钟)一、选择题1．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8.则甲正点到达目的地的概率为( )A ．0.72B ．0.96C ．0.86D ．0.84C [设事件A 表示甲正点到达目的地，事件B 表示甲乘火车到达目的地，事件C 表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P (B )＝0.4，P (C )＝0.6，P (A |B )＝0.8，P (A |C )＝0.9.由全概率公式得P (A )＝P (B )P (A |B )＋P (C )P (A |C )＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86.故选C.]2．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子．用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( )A ．0.8B ．0.832 5C ．0.532 5D ．0.482 5D [设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A 1，A 2，A 3，A 4，则它们构成样本空间的一个划分．设B ＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则：P (B )＝∑4i ＝1P (A i )P (B |A i ) ＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.故选D.]3．设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产12，乙、丙两厂各生产14，而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%，现从中任取一件，则取到次品的概率为( )A ．0.025B ．0.08C ．0.07D ．0.125A [设A 1，A 2，A 3分别表示甲、乙、丙工厂的产品，B 表示次品，则P (A 1)＝0.5，P (A 2)＝P (A 3)＝0.25，P (B |A 1)＝0.02，P (B |A 2)＝0.02，P (B |A 3)＝0.04，∴P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025.故选A.]4．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为13，而乱猜正确的概率为23.在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是( )A.13B.23C.34D.14B [设A ＝“考生答对”，B ＝“考生知道正确答案”，由全概率公式：P (A )＝P (B )P (A |B )＋P (B －)P (A |B －)＝13×1＋23×14＝12.又由贝叶斯公式：P (B |A )＝P (B )P (A |B )P (A )＝1312＝23.故选B.] 5．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )A.29B.38C.112D.58B [用A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用B k 表示丢失的一箱为k ，k ＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得P (A )＝∑3k ＝1P (B k )P (A |B k )＝12·C 24C 29＋15·C 25C 29＋310·C 25C 29＝836. P (B 1|A )＝P (B 1)P (A |B 1)P (A )＝12·C 24C 29P (A )＝336÷836＝38.故选B.] 二、填空题6．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P (A |C )＝0.95，P (A －|C －)＝0.95，现在对自然人群进行普查， 设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 即P (C )＝0.005, 则P (C |A )＝______.(精确到0.001)0.087 [由题设，有P (C －)＝1－P (C )＝0.995，P (A |C －)＝1－P (A －|C －)＝0.05，由贝叶斯公式，得P (C |A )＝P (A |C )P (C )P (A |C )P (C )＋P (A |C －)P (C －)≈0.087.]7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为________．5285 915 [设A ＝“第二次取出的均为新球”，B i ＝“第一次取出的3个球恰有i 个新球”(i ＝0,1,2,3)．由全概率公式P (A )＝P (B 0)P (A |B 0)＋P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3)＝C 36C 315·C 39C 315＋C 19C 26C 315·C 38C 315＋C 29C 16C 315·C 37C 315＋C 39C 315·C 36C 315 ＝5285 915.]8．电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为25，传送“–”时失真的概率为13，则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为________．34[设A＝收到“·”，B＝发出“·”，由贝叶斯公式P(B|A)＝P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)＋P(B－)P(A|B－)＝58×3558×35＋38×13＝34.]三、解答题9．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：(1)从乙盒取出2个红球的概率；(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．[解](1)设A1＝从甲盒取出2个红球；A2＝从甲盒取出2个白球；A3＝从甲盒取出1个白球1个红球；B＝从乙盒取出2个红球．则A1，A2，A3两两互斥，且A1＋A2＋A3＝Ω，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝C22C25×C23C27＋C23C25×C27＋C13C12C25×C22C27＝370.(2)P(A1|B)＝P(A1B)P(B)＝P(A1)P(B|A1)∑3i＝1P(A i)P(B|A i)＝170370＝13.10．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．[解]设A表示枪已校正，B表示射击中靶．则P(A)＝35，P(A－)＝25，P(B|A)＝0.9，P(B－|A)＝0.1，P(B|A－)＝0.4，P(B－|A－)＝0.6.(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A－)P(B|A－)＝35×0.9＋25×0.4＝0.7.(2)P(A－|B－)＝P(A－)P(B－|A－)P(A－)P(B－|A－)＋P(A)P(B－|A)＝25×0.625×0.6＋35×0.1＝0.8.11．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，则在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率为________．(精确到0.001)0.998[设A＝任取一产品，经检查是合格品，B＝任取一产品确是合格品，则A＝BA＋B－AP(A)＝P(B)P(A|B)＋P(B－)P(A|B－)＝0.96×0.98＋0.04×0.05＝0.942 8，故所求概率为P(B|A)＝P(B)P(A|B)P(A)＝0.96×0.980.942 8≈0.998.]12．8支步枪中有5支已校准过，3支未校准．一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8; 用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3.现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为________．4049[设B1＝{使用的枪校准过}, B2＝{使用的枪未校准}, A＝{射击时中靶}，则P(B1)＝58，P(B2)＝38，P(A|B1)＝0.8，P(A|B2)＝0.3.由贝叶斯公式，得P(B1|A)＝P(A|B1)P(B1)P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＝4049.所以，所用的枪是校准过的概率为4049.]13．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%. 根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下， 其价格上涨的概率为40%, 则该支股票将上涨的概率为________． 64% [记A 为事件“利率下调”，那么A －即为 “利率不变”， 记B 为事件“股票价格上涨”. 依题设知P (A )＝60%，P (A －)＝40%，P (B |A )＝80%，P (B |A －)＝40%，于是P (B )＝P (AB )＋P (A －B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)＝60%×80%＋40%×40%＝64%.]14．(一题两空)某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为110，114，118.现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．(1)则取得的一个产品是次品的概率为________．(2)若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是________．(精确到0.001)(1)0.083 (2)0.287 [(1)设A ＝{取得一个产品是次品}，B 1＝{取得一箱是甲厂的}，B 2＝{取得一箱是乙厂的}，B 3＝{取得一箱是丙厂的}．三个厂的次品率分别为110，114，118，∴P (A |B 1)＝110，P (A |B 2)＝114，P (A |B 3)＝118.12箱产品中，甲占612，乙占412，丙占212，由全概率公式得P (A )＝∑3k ＝1P (A |B k )P (B k )＝612×110＋412×114＋212×118≈0.083. (2)依题意，已知A 发生，要求P (B 2|A )，此时用贝叶斯公式：P (B 2|A )＝P (B 2)P (A |B 2)P (A )≈412×1140.083≈0.287.]15．某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？[解] 设A i ＝“第i 次接通电话”，i ＝ 1,2,3，B ＝“拨号不超过3次接通电话”，则事件B 的表达式为B ＝A 1∪A －1A 2∪A －1A －2A 3.利用概率的加法公式和乘法公式P (B )＝P (A 1)＋P (A －1A 2)＋P (A －1A －2A 3)＝P (A 1)＋P (A －1)P (A 2|A －1)＋P (A －1)P (A －2|A －1)P (A 3|A －1A －2)＝110＋910×19＋910×89×18＝310.若已知最后一位数字是奇数，则P (B )＝P (A 1)＋P (A －1A 2)＋P (A －1A －2A 3)＝P (A 1)＋P (A －1)P (A 2|A －1)＋P (A －1)P (A －2|A －1)P (A 3|A －1A －2)＝15＋45×14＋45×34×13＝35.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。