2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题26解题规范与评分细则教学案理含解析

解题规范与评分细则1．若函数f(x)＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．解析：f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上递增， 又f (0)＝1，∴ f (x )在(0，＋∞)上无零点．②当a >0时，由f ′(x )>0解得x >a 3， 由f ′(x )<0解得0<x <a 3， ∴ f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上递增． 又f (x )只有一个零点，∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋1＝0， ∴ a ＝3.此时f (x )＝2x 3－3x 2＋1，f ′(x )＝6x (x －1)，当x ∈[－1,1]时，f (x )在[－1,0]上递增，在[0,1]上递减．又f (1)＝0，f (－1)＝－4，∴ f (x )max ＋f (x )min ＝f (0)＋f (－1)＝1－4＝－3.答案：－32．设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．解析：(1)解：因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1.此时f (1)＝3e≠0.所以a 的值为1.(2)解：由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 3．已知函数f (x )＝ax 2＋x －1e x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，－1)处的切线方程；(2)证明：当a ≥1时，f (x )＋e≥0.解析：(1)解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1. 所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)解：设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－34. 所以|AB |＝ x 2－x 2＋y 2－y 2 ＝x 2－x 2 ＝x 1＋x 2－4x 1x 2]＝ 12－3m 22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6.(3)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得x 21＋3y 21＝3，x 22＋3y 22＝3.直线PA 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)．。

专题02 函数的图象与性质【2019年高考考纲解读】(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要题型；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)幂函数是A级要求，不是热点题型，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质。

【重点、难点剖析】1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T ＝ka(k∈Z)的绝对值．3．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象和性质，分0<a<1和a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0和α<0两种情况．5．函数图象的应用函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用. 【题型示例】题型一、函数的性质及其应用【例1】 (2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 故选C.【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3x y =是增函数， 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A.【举一反三】【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-2【举一反三】(1)(2015·重庆卷)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3,1] B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋3，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－1或3C ．1D ．－3或1 (1)答案：D解析：要使函数有意义，只需x 2＋2x －3>0，即(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)． (2)答案：D解析：f (1)＝lg 1＝0，所以f (a )＝0.当a >0时，则lg a ＝0，a ＝1；当a ≤0时，则a ＋3＝0，a ＝－3.所以a ＝－3或1.【变式探究】 (1)(2014·江西)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．【命题意图】(1)本题主要考查函数的定义域求法以及不等式的解法．通过定义域的求法考查考生的运算求解能力及转化意识．(2)本题主要考查分段函数和不等式恒成立问题，可结合函数图象进行分析求解． 【答案】(1)C (2)(－∞，2]【解析】(1)将求函数的定义域问题转化为解不等式问题． 要使f (x )＝ln(x 2－x )有意义，只需x 2－x ＞0， 解得x ＞1或x ＜0.∴函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)． (2)结合图形，由f (f (a ))≤2可得f (a )≥－2，解得a ≤ 2. 【方法技巧】1．已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的真数x ＞0；(4)零次幂的底数不为零；(5)正切函数y ＝tan x 中，x ≠k π＋π2(k ∈Z )．如果f (x )是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的自变量的集合．根据函数求定义域时：(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．2．函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同．函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域． 题型二、函数的图象及其应用【例2】(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )答案 B【方法技巧】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法． (2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值． 【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】函数f(x)=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除A 、B选项；当[]0,2x ∈时，()=4e xf x x '-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(2)x x ,∈时，()f x 为增函数．故选D 。

导数及其应用【年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：()导数的几何意义是考查热点，要求是级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；()导数的运算是导数应用的基础，要求是级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式及复合函数的导数运算，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；()利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.()导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是级；【重点、难点剖析】．导数的几何意义()函数＝()在＝处的导数′()就是曲线＝()在点(，())处的切线的斜率，即＝′()．()曲线＝()在点(，())处的切线方程为－()＝′()(－)．．基本初等函数的导数公式和运算法则()基本初等函数的导数公式()导数的四则运算①[()±()]′＝′()±′()；②[()()]′＝′()()＋()′()；③′＝(()≠)．．函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数＝＋ .【感悟提升】()求曲线的切线要注意“过点的切线”与“在点处的切线”的差异，过点的切线中，点不一定是切点，点也不一定在已知曲线上，而在点处的切线，必以点为切点．()利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．【变式探究】(·全国Ⅱ)曲线＝(＋)在点()处的切线方程为．答案－＝解析∵＝(＋)，∴′＝.令＝，得′＝，由切线的几何意义得切线斜率为，又切线过点()，∴切线方程为＝，即－＝.【高考新课标理数】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.。

2019年重庆高考数学大纲1.平面向量考试内容：向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面向量的数量积.平面两点间的距离.平移.考试要求：(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.(2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.(6)掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用.掌握平移公式.2.集合、简易逻辑考试内容：集合.子集.补集.交集.并集.逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件.考试要求：(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.了解空集和全集的意义.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.(2)理解逻辑联结词"或"、"且"、"非"的含义.理解四种命题及其相互关系.掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.3.函数考试内容：映射.函数.函数的单调性、奇偶性.反函数.互为反函数的函数图像间的关系.指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数.函数的应用.考试要求：(1)了解映射的概念，理解函数的概念.(2)了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数.(4)理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质.掌握指数函数的概念、图象和性质.(5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质.(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.4.不等式考试内容：不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式.考试要求：(1)理解不等式的性质及其证明.(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.(4)掌握简单不等式的解法.(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│.5.三角函数（第一个大题所在）考试内容：角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式：sin2α+ cos2α=1，sinα/cosα=tanα，tanαcotα=1.正弦、余弦的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角.正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.考试要求：(1)了解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.(2)理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义.(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.(4)能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用"五点法"画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义.(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示.(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.6.数列考试内容：数列.等差数列及其通项公式.等差数列前n项和公式.等比数列及其通项公式.等比数列前n项和公式.考试要求：(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.(2)理解等差数列的概念.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。

解题规范与评分细则解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力．解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．“答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型，分析解题的一般思路，规划解题的程序和格式，拟定解题的最佳方案，实现答题效率的最优化；评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，重视解题步骤的书写，规范解题过程，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也可以按步得分，踩点得分，一分也要抢．题型一三角函数及解三角形例1、[2018·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC.【命题意图】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数基本关系式、诱导公式，意在考查考生分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力．【评分细则】1．先求出A点坐标，得2分．2．求出直线AM的方程，得2分．3．当l与x轴垂直时求证，得2分．4．先用k表示k MA＋k MB的值，得2分．5．联立l与C的方程，求出x1＋x2，x1x2，再求k MA＋k MB＝0，得3分．6．利用倾斜角互补，得证，得1分． 【名师点拨】【方法技巧】破解此类解析几何题的关键：一是“图形”引路，一般需画出大致图形，把已知条件翻译到图形中，利用直线方程的点斜式或两点式，即可快速表示出直线方程；二是“转化”桥梁，即会把要证的两角相等，根据图形的特征，转化为斜率之间的关系，再把直线与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系，以及斜率公式即可证得结论．【变式探究】[2017·全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(－1，32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2，可得A ，B 的坐标分别为t ，4－t 22，t ，－4－t 22. 则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t＝－1，得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2 ＝2kx 1x 2＋m －x 1＋x 2x 1x 2. 由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0. 解得k ＝－m ＋12.当且仅当m ＞－1时，Δ＞0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)， 所以l 过定点(2，－1).【评分细则】1．利用椭圆的性质排除P 1,1分．2．由已知列出关于a 2，b 2的方程，求出椭圆方程，4分．3．当k 不存在时，求t ，判断与题不符，2分．4．将直线x 1方程，代入椭圆，得方程，用韦达定理表示，2分．5．求出k 与m 的关系式，3分．6．求出定点，1分．题型六 导数与应用例6、[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f x －f xx 1－x 2<a －2.【解析】(1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋a x ＝－x 2－ax ＋1x 2. ①若a ≤2，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减.②若a ＞2，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调 递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增． (2)证明：由(1)知，f (x )存在两个极值点当且仅当a ＞2.由于f (x )的两个极值点x 1，x 2满足x 2－ax ＋1＝0， 所以x 1x 2＝1，不妨设x 1＜x 2，则x 2＞1.由于f x －f xx 1－x 2＝－1x 1x 2－1＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋ a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a －2ln x 21x 2－x 2， 所以f x －f xx 1－x 2＜a －2等价于1x 2－x 2＋2ln x 2＜0. 设函数g (x )＝1x－x ＋2ln x ，由(1)知，g (x )在(0，＋∞)上单调递减． 又g (1)＝0，从而当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0. 所以1x 2－x 2＋2ln x 2＜0，即f x －f x x 1－x 2＜a －2.【命题意图】本题主要考查导数及其应用、函数的单调性、函数的极值点与不等式的证明等，考查考生的推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．【解题思路】(1)求f (x )的定义域，对函数f (x )求导，对参数a 进行分类讨论，即可判断f (x )的单调性；(2)结合(1)，求出f (x )存在两个极值点x 1，x 2时a 的取值范围，以及x 1，x 2的关系式，并将f x 1－f x 2x 1－x 2进行转化，利用分析法，构造函数，判断所构造函数的单调性，即可证得结果．【评分细则】1．先求定义域，再求f ′(x )，得2分．2．讨论当a ≤2时f (x )的单调性，得1分．3．讨论当a >2时f (x )的单调性，再总结，得3分．4．先表示f x 1－f x 2x 1－x 2的值，得3分． 5．构造函数g (x )＝1x －x ＋2ln x ，再利用(1)中结论，得2分．6．得结论，得1分．【名师点拨】【方法技巧】判断可导函数的单调性的关键：首先，确定函数的定义域；其次，求导数f ′(x )；最后，对参数进行分类讨论，由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间，由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间．注意：如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“，”或“和”字隔开．有关不等式的证明问题可利用分析法与综合法相结合去解决．【变式探究】[2017·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x－x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．(2)(i)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点.(ii)若a ＞0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a＋ln a . ①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点；②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a＋ln a ＞0， 即f (－ln a )＞0，故f (x )没有零点；③当a ∈(0,1)时，1－1a＋ln a ＜0，即f (－ln a )＜0. 又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2＞－2e －2＋2＞0，故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0＞ln 3a－1， 则f (n 0)＝e 0n (a e 0n ＋a －2)－n 0＞e 0n －n 0＞20n －n 0＞0.由于ln 3a－1＞－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0,1).【评分细则】1．求出定义域、导数，2分．2．讨论a≤0,1分．3．讨论a>0时，利用f′(x)>0，f′(x)<0求单调区间，2分．4．利用(1)得a≤0时零点个数，1分5．当a＝1时，零点个数为1，不符合题意，1分．6．当a>1时，零点个数为0，不符合题意，1分．7．当0<a<1时，零点个数为2，符合题意，4分．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

专题02函数的图象与性质【2019年咼考考纲解读】(1) 函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要题型；(2) 指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3) 幕函数是A级要求，不是热点题型，但要了解幕函数的概念以及简单幕函数的性质。

【重点、难点剖析】1 •函数及其图象(1) 定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必须“定义域优先”.(2) 对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.2 •函数的性质(1) 单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质•证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论•复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2) 奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质•偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3) 周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质•若函数满足f(a+ x) = f(x)( a不等于0)，则其周期T= ka(k € Z)的绝对值.3 •求函数最值(值域)常用的方法(1) 单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2) 图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3) 基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4) 导数法：适合于可求导数的函数.4 •指数函数、对数函数和幕函数的图象和性质(1) 指数函数y = a x(a>0且a* 1)与对数函数y= log a x( a>0且a^l)的图象和性质，分0<a<1和a>1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质；(2) 幕函数y = x"的图象和性质，分幕指数 a >0和a <0两种情况.5.函数图象的应用它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化. 在函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式,解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用•【题型示例】题型一、函数的性质及其应用【例1】(2018年江苏卷)函数 3 =辰㈠的定义域为 ________________ .【答案】［2 , +8)【解析】要使函数有意义，则解得，即函数的定义域为1Y I V【变式探究】【2017北京，文5】已知函数f(X)=3 -(-)，贝y f(x)3(A)是偶函数，且在R上是增函数(B)是奇函数，且在R上是增函数(C)是偶函数，且在R上是减函数(D)是奇函数，且在R上是增函数【答案】B【解析】/(-XI=3--''1/ ；-y = -/(XI f所汉该的数是奇函数，并且尸萨是増函数，i 是艇I数，根据増函数-减迪数二増幽b可知该函数罡増的数，故选B.I 3 !【举一反三】【2016年高考四川文数】已知函数f (x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0 v x v 1, x 5时，f(x) =4X，则f ( ) ■ f(1)= .2【答案】-2【解析】因为函数f (x)是定义在R上的周期为2的奇函数，所以f (-1)—f (1), f (-1) = f(-1 2) = f(1)，所以—f(1)= f(1)，即f(1) = 0,15 1 1 1 1 5f( ) = f( 2) = f( ) =-f ( ) =-42 =-2，所以f( ) f(1) = —2. 2 2 2 2 22【举一反三】(1)(2015 •重庆卷)函数f(x) = log 2(x + 2x —3)的定义域是()A. [ —3,1]B. ( —3,1)C. ( —f— 3］U ［1 , +s)D. ( —g,— 3) U (1 , +f)Ig x, x>0,(2)已知函数f(x)= < 若f(a) + f (1) = 0,则实数a的值为()X + 3, x< 0.A.—3B.—1 或3C. 1 D . —3 或1(1) 答案：D解析：要使函数有意义，只需x2+ 2x —3>0，即(x + 3)( x—1)>0，解得x<—3或x>1.故函数的定义域为(—g, —3) U (1 ,+g).(2) 答案：D解析：f ⑴=|g 1 = 0，所以f (a) = 0.当a>0 时，贝U lg a= 0, a= 1；当a<0 时，贝U a+ 3 = 0, a=—3.所以a= —3或1.【方法技巧】1•已知函数解析式，求解函数定义域的主要依据有：(1)分式中分母不为零；(2)偶次方根下的被开方数大于或等于零；(3)对数函数y = log a x(a> 0, 1)的真数x> 0；⑷ 零次幕的底数不为零；(5)正切函数ny = tan x中，x丰k n+g(k€ Z).如果f (x)是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的自变量的集合.根据函数求定义域时：(1)若已知函数f(x)的定义域为［a, b］，其复合函数f (g(x))的定义域由不等式a w g(x) w b 求出；(2)若已知函数f (g( x))的定义域为［a, b］，则f (x)的定义域为g(x)在x € ［a, b］时的值域.2•函数的值域是由函数的对应关系和函数的定义域所唯一确定的，具有相同对应关系的函数如果定义域不同，函数的值域也可能不相同•函数的值域是在函数的定义域上求出的，求解函数的值域时一定要与函数的定义域联系起来，从函数的对应关系和定义域的整体上处理函数的值域.题型2、函数的图象及其应用【例2】(2018年全国III卷)函数厂-J十/ + 2的图像大致为【答案】D【解析】当尺=0时，丫 =2,排除A,B.sin2 x【解析】由题意知，函数 y为奇函数，故排除 B ；当x 二n 时，y =0，故排除D 当x = 1 1 一 cosx时，yV,故排除A 故选C.¥ = _ 十血=_2X (2X 2 _ [)1 761，当"（0存）时，1 2 |D.【变式探究】【2017课标1,文8】函数sin2 x y =的部分图像大致为1 -cosxA. AB. BC. CD. D,排除C ,故正确答案选1 -cos2sin x【举一反三】【2017课标3,文7】函数y =1 * x 厂的部分图像大致为（）x【解析】当X =1时, f 1 =11 sin1 = 2 sin 1 2，故排除A,C；当「时，y—；1 x ,故排除B,满足条件的只有D,故选D.【变式探【2016高考新课标1卷】函数y=2x2-e X在〔-2,2 1 的图像大致为【答案】D【解析】函数f(x)=2x 2-e lX在［-2,2］上是偶函数，其图像关于y轴对称，因为Af (x) = 4x - e x有一零点，设为x°, f(2) =8-e2,0 ：：：8-e2<1,所以排除A、B选项；当x >0,2 1 时,当(0,x0)时，f (x)为减函数，当(x0,2)时，f (x)为增函数•故选Do【感悟提升】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手,结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类 试题的基本方法.（2）研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷 的作用.3x【举一反三】（1）（2015 •四川卷）函数丫=^^的图象大致是（）3 — 1⑴答寨：C解析：由已知：T —1去0=毎0,排除山 又TXO 时，r-l<O r：•严寿土X ）,故排除巧討「屮 气一廿T 巧吟 一耳］咛又丫 =———F ——当3-^ln 3<0时，x>-—>0, j/ <0,所臥D 不符合.故选Q J =1 in □⑵答案：Bf x i f x i 一 0 一 , 解析： = 表示（x i , f （x i ））与原点连线的斜率；x i x i — 0在区间［a, b ］上可找到n （n 》2）个不同的数x i,X 2,…，X n,使得fX i X if x i f X 2x iX 2f X n X n表示(X i , f (X i )) , (X 2, f (X 2))（X n , f （X n ））与原点连线的斜率相等,⑵ 函数y = f （x ）的图象如图所示, C. {3,4,5}( ),（X n, f（X n））在曲线图象上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点个而(X i, f(X i)) , (X2, f(X2)),数有几种情况.如图所示，数形结合可得，有2,3,4三种情况，故选 B.(1) 确定定义域；(2) 与解析式结合研究单调性、奇偶性； (3) 观察特殊值.2 •关于函数图象应用的解题思路主要有以下两点 (1) 方程f (x ) = g (x )解的个数可以转化为函数y = f (x )与y = g (x )交点的个数；(2) 不等式f (x ) > g ( x )( f (x ) v g (x ))解集为函数y = f (x )位于y = g (x )图象上方(下方)的那部分点的横 坐标的取值范围.题型三、函数性质的综合应用 例3、(2018年全国卷H)若I, 在|i ：. ： |是减函数，贝U 的最大值是兀 兀3兀A. —B.C.D.424【答案】CL兀7T【解析】因为mA ；-所以由 "I-.T \:T 二.".；/得44托3血 兀 3兀Jl JFE 可，因此[-嗣u [-打5 52 丁兰厂g S ，从而邛勺最大值为4【变式探究】【2017天津，文6】已知奇函数f (x)在R 上是增函数.若【答案】C7T■ I 2k?r<x< 4a = -f (log一 5(A) a :: b :: c ( B )b :: a :: c ( C )c ::: b :: a ( D ) c C 的大小关系为:::a■■■■ b 【解析】由题意：a = f Tog 2 —=f log 2 5，且:log 25 log 24.1 2,1 ：： 20.8 ： 2f Iog 2 5 f log 24.1 f 20.8 ,1关于判断函数图象的解题思路据此：log25 log2 4.1 20.8，结合函数的单调性有:即a b c, c :: b - a，本题选择C选项.x _ 3x x V a②若f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是【答案】2 , (-：：，-1)・ 【解析】如图，作出与直线？一力的图象，它们的交点是皿7 2)：。

不等式【2019年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，线性规划是A 级要求．(2)基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题. 【重点、难点剖析】 1．不等式的解法(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次清楚地求解． 2．基本不等式(1)基本不等式a 2＋b 2≥2ab 取等号的条件是当且仅当a ＝b . (2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．②a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b(a ＞0，b ＞0)． ③a ＋1a≥2(a ＞0，当a ＝1时等号成立)．④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立)． (3)最值问题：设x ，y 都为正数，则有①若x ＋y ＝s (和为定值)，则x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；②若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 3．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题若不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )min >A ； 若不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )max <B ； (2)能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立，则等价于在区间D 上f (x )max >A ； 若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立，则等价于在区间D 上f (x )min <B ；(3)恰成立问题若不等式f (x )>A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )>A 的解集为D ； 若不等式f (x )<B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )<B 的解集为D .4．使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的目的．在使用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，尽量避免二次使用基本不等式．5．平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－ab x ＋z b ，可知z b是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值. 【题型示例】题型一、不等式的解法及应用【例1】（2018年全国I 卷理数）已知集合，则A. B.C. D.【答案】B 【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故选B.【变式探究】【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件，则y x z 2+=的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．【变式探究】【2016高考新课标1卷】若,则( ) （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ） （D ）【答案】C【解析】用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，，选项B 错误，，选项C 正确，，选项D 错误，故选C ．【感悟提升】(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论． 【举一反三】(2015·江苏，7)不等式2x 2－x ＜4的解集为________． 【解析】∵2x 2－x ＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2. 【答案】{x |－1＜x ＜2}【变式探究】若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列结论正确的是( ) A ．ac 2<bc 2B ．1a <1bC ．b a >a bD ．a 2>ab >b 2【解析】∵c 为实数，∴取c ＝0，得ac 2＝0，bc 2＝0，此时ac 2＝bc 2，故选项A 不正确；1a －1b ＝b －a ab，∵a <b <0，∴b －a >0，ab >0，∴b －a ab >0，即1a >1b ，故选项B 不正确；∵a <b <0，∴取a ＝－2，b ＝－1，则b a ＝－1－2＝12，ab＝2，此时b a <ab，故选项C 不正确；∵a <b <0，∴a 2－ab ＝a (a －b )>0，∴a 2>ab ，又∵ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，故选项D 正确，故选D ． 【答案】D【方法技巧】解不等式的四种策略(1)解一元二次不等式的策略：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)解简单的分式不等式的策略：将不等式一边化为0，再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解． (3)解含指数、对数不等式的策略：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． (4)解含参数不等式的策略：根据题意确定参数分类的标准，依次讨论求解．【变式探究】 (1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12成立，则a 的取值范围是________．(2)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1，或x >12，则f (10x )> 0的解集为______． 【答案】(1)[－52，＋∞) (2){x |x <－lg 2}【规律方法】解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解． 题型二、线性规划问题【例2】（2018年全国I 卷理数）若，满足约束条件，则的最大值为_____________．【答案】6【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B 时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.【举一反三】（2018年全国Ⅱ卷理数）若满足约束条件则的最大值为__________．【答案】9【解析】作可行域，则直线过点A(5,4)时取最大值9.【变式探究】(2018·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45【解析】由变量x ，y 满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．作出初始直线l 0：3x ＋5y ＝0，平移直线l 0，当直线经过点A (2,3)时，z 取最大值，即z max ＝3×2＋5×3＝21，故选C ． 【答案】C【变式探究】【2017北京，理4】若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，， 则x + 2y 的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 【答案】D【解析】如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C 时，目标函数取得最大值，故选D.【变式探究】【2016年高考北京理数】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A.0B.3C.4D.5 【答案】C【解析】作出如图可行域，则当y x z +=2经过点P 时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4，故选C.【感悟提升】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得． 【举一反三】已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b ＝( )A ．94B ．32 C ．1 D ．34【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ， 平移初始直线y ＝－2x ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋z 的纵截距最小，此时z 最小，为3， 即2x ＋y ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝32，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，又点A 也在直线y ＝－x ＋b 上，即32＝－34＋b ，∴b ＝94.故选A ．【答案】A【变式探究】(1)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2(2)(2014·浙江)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．【命题意图】(1)本题主要考查线性规划问题的求解，意在考查考生的数形结合能力与运算求解能力． (2)本题主要考查线性规则、不等式恒成立问题，考查考生的数形结合与运算求解能力．【答案】(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32【解析】(1)作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点B (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.(2)作出题中线性规划条件满足的可行域如图中阴影部分所示，令z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z .作直线l 0：y＝－ax ，平移l 0，最优解可在A (1,0)，B (2,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32处取得． 故由1≤z ≤4恒成立，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，1≤a ＋32≤4，解得1≤a ≤32.【感悟提升】1．线性规划问题的三种题型(1)求最值，常见形如截距式z ＝ax ＋by ，斜率式z ＝x －b x －a，距离式z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (2)求区域面积．(3)由最优解或可行域确定参数的值或取值范围． 2．解答线性规划问题的步骤及应注意的问题(1)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决． (2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z ＝Ax ＋By 中的B 的符号，一定要注意B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形分析． 题型三、基本不等式及其应用例3、【2017山东，理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ） （B ）（C ） （D ）【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以，所以选B.【变式探究】【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件则目标函数25z x y =+的最小值为（ ） （A ）4- （B ）6（C ）10（D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B.【感悟提升】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 【举一反三】(1)已知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为{x |a <x <b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．4 2B ．8C ．9D ．12(2)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．【命题意图】(1)本题主要考查解分式不等式、均值不等式等基础知识，对学生的转化思想、运算能力有一定要求．(2)本题主要考查空间几何体的表面积、基本不等式等基础知识，意在考查考生处理实际问题的能力、空间想象能力和运算求解能力． 【答案】(1)C (2)160 【解析】(1)易知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1，则2m ＋n ＝1，2m ＋1n＝(2m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9当且仅当m ＝n ＝13时取等号，所以2m ＋1n 的最小值为9. 设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4x m ，依题意，得y ＝20×4＋10·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ×4x ＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号，所以该容器的最低总造价为160元． 【感悟提升】(1)一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件．(3)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．【举一反三】下列结论中正确的是( )A ．lg x ＋1lg x的最小值为2 B ．x ＋1x 的最小值为2 C ．sin 2x ＋4sin 2x的最小值为4 D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值【答案】B题型四 与线性规划有关的综合性问题例4．【2017山东，理4】已知x,y 满足，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6【答案】C【解析】由画出可行域及直线20x y +=如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线与x -3=的交点(3,4)-时，2z x y =+最大为，选C.【变式探究】【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 【答案】216000二元一次不等式组①等价于②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将变形,得,平行直线73y x =-,当直线经过点M时,z 取得最大值. 解方程组,得M 的坐标(60,100).所以当60x =,100y =时,. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元.【举一反三】已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2法二 把2a ＋b ＝25看作平面直角坐标系aOb 中的直线，则a 2＋b 2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a 2＋b 2的最小值是坐标原点到直线2a ＋b ＝25距离的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫|－25|52＝4. 【答案】B【变式探究】在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13.【答案】C【举一反三】设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53。