高三复习推理与证明基础测试

高三数学不等式、推理与证明测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )A．若a>b，则ac2>bc2 B．若ac>bc，则a>bC．若a3>b3且ab<0，则1a>1b D．若a2>b2且ab>0，则1a<1b解析 C 当c＝0时，可知选项A不正确；当c<0时，可知B不正确；由a3>b3且ab<0知a>0且b<0，所以1a>1b成立；当a<0且b<0时，可知D不正确．2．若集合A＝{x||x－2|≤3，x∈R}，B＝{y|y＝1－x2，x∈R}，则A∩B＝( ) A．[0,1] B．[0，＋∞)C．[－1,1] D．∅解析 C 由|x－2|≤3，得－1≤x≤5，即A＝{x|－1≤x≤5}；B＝{y|y≤1}．故A∩B＝[－1,1]．3．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为( )A．1 B．1＋2C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23解析 D 当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.4．已知x，y，z∈R＋，且xyz(x＋y＋z)＝1，则(x＋y)(y＋z)的最小值是( )A．1 B．2C．3 D．4解析 B ∵(x＋y)(y＋z)＝xy＋y2＋xz＋yz＝y(x＋y＋z)＋xz＝y×1xyz＋xz＝1xz＋xz≥21xz•xz＝2，当且仅当xz＝1，y(x＋y＋z)＝1时，取“＝”，∴(x＋y)(y＋z)min＝2.5．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.a＋b22－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0解析 D 因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.6．对于平面α和共面的直线m、n，下列命题为真命题的是( )A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊂α，n∥α，则m∥n D．若m、n与α所成的角相等，则m∥n解析 C 对于平面α和共面的直线m，n，真命题是“若m⊂α，n∥α，则m∥n”．7．若不等式2x2＋2kx＋k4x2＋6x＋3<1对于一切实数都成立，则k的取值范围是( ) A. (－∞，＋∞) B. (1,3)C. (－∞，3)D. (－∞，1)∪(3，＋∞)解析 B ∵4x2＋6x＋3＝4x2＋32x＋3＝4x＋342＋34≥34，∴不等式等价于2x2＋2kx＋k<4x2＋6x＋3，即2x2＋(6－2k)x＋3－k>0对任意的x 恒成立，∴Δ＝(6－2k)2－8(3－k)<0，∴1<k<3.8．设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)满足f(m)<0，则f(m＋1)的符号是( )A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0解析 C ∵f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a>0，∴由f(m)<0，得－1<m<0，∴m＋1>0，∴f(m＋1)>f(0)>0.9．已知a>0，b>0，则1a＋1b＋2ab的最小值是( )A．2 B．22C．4 D．5解析 C ∵a>0，b>0，∴1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab≥4，当且仅当a＝b＝1时取等号，∴1a＋1b＋2abmin＝4.10．使不等式log2x(5x－1)>0成立的一个必要不充分条件是( )A．x>12 B.15<x<25或x>12C.15<x<1 D．0<x<12或x>12解析 D log2x(5x－1)>0⇔5x－1>0，2x>1，5x－1>1或5x－1>0，0<2x<1，5x－1<1⇔x>15，x>12，x>25或x>15，0<x<12，x<25，∴x>12或15<x<25. 由x>12或15<x<25成立，可得x>12 或0<x<12成立，反之不成立，故选D.11．假设f(x)＝x2－4x＋3，若实数x、y满足条件f(y)≤f(x)≤0，则点(x，y)所构成的区域的面积等于( )A. 1B. 2C. 3D. 4解析 B 由f(y)≤f(x)≤0可得f y≤f x，f x≤0，即1≤x≤3，x－y x ＋y－4≥0，画出其表示的平面区域如图所示，可得面积S＝2×12×2×1＝2，故选B.12．设x，y 满足约束条件3x－y－6≤0，x－y＋2≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113 D．4解析 A 作出可行域(四边形OBAC围成的区域，包括边界)如图，作出直线l：ax ＋by ＝0，当直线l经过点A时，z＝ax＋by取得最大值．解x－y＋2＝0，3x－y－6＝0，得点A(4,6)，∴4a＋6b＝12，即a3＋b2＝1，∴2a＋3b＝2a＋3ba3＋b2＝23＋32＋ab＋ba≥23＋32＋2＝256，当且仅当a ＝b时取等号．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知等差数列{an}中，有a11＋a12＋…＋a2010＝a1＋a2＋…＋a3030，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：___ _____.解析由等比数列的性质可知，b1b30＝b2b29＝...＝b11b20，∴10b11b12 (20)30b1b2…b30 .【答案】10b11b12…b20＝30b1b2…b3014．已知实数x，y满足约束条件x－y＋4≥0，x＋y≥0，x≤3，则z＝4x2－y的最小值为________．解析作出不等式组所表示的可行域(图略)，z＝4x2－y＝22x•2y＝22x＋y，令ω＝2x＋y，可求得ω＝2x＋y的最小值是－2，所以z＝4x2－y的最小值为2－2＝14.【答案】1415．某公司租地建仓库，每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，这项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km处．解析设仓库建在离车站d km处，由已知y1＝2＝k110，得k1＝20，∴y1＝20d. 由y2＝8＝10k2，得k2＝45，∴y2＝45d. ∴y1＋y2＝20d＋4d5≥220d•4d5＝8，当且仅当20d＝4d5，即d＝5时，费用之和最小．【答案】 516．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足________．解析由余弦定理cos A＝b2＋c2－a22bc<0，所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.【答案】a2>b2＋c2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知表中的对数值有且只有两个是错误的.x 1.5 3 5 6lg x 3a－b＋c 2a－b a＋c 1＋a－b－cx 7 8 9 14 27lg x 2(a＋c) 3(1－a－c) 2(2a－b) 1－a＋2b 3(2a－b)(1)假设上表中lg 3＝2a－b与lg 5＝a＋c都是正确的，试判断lg 6＝1＋a－b－c是否正确？给出判断过程；(2)试将两个错误的对象值均指出来并加以改正(不要求证明)．解析(1)由lg 5＝a＋c得lg 2＝1－a－c，∴lg 6＝lg 2＋lg 3＝1－a－c＋2a－b＝1＋a－b－c，满足表中数值，即lg 6在假设下是正确的．(2)lg 1.5与lg 7是错误的，正确值应为lg 1.5＝lg32＝lg 3－lg 2＝2a－b－1＋a＋c＝3a－b＋c－1.lg 7＝lg 14－lg 2＝1－a＋2b－1＋a＋c＝2b＋c.18．(12分)已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a、b的值．解析(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0即a2－6a－3<0，解得3－23<a<3＋23.∴不等式解集为{a|3－23<a<3＋23}．(2)f(x)>b的解集为(－1,3)，即方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，∴2＝a6－a3，－3＝－6－b3，解得a＝3±3，b＝－3.19．(12分)(2011•南京模拟)已知数列{an}满足a 1＝0，a2＝1，当n∈N*时，an＋2＝an＋1＋an.求证：数列{an}的第4m＋1(m∈N*)项能被3整除．解析(1)当m＝1时，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a 1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除．命题成立．(2)假设当m＝k时，a4k＋1能被3整除，则当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.显然，3a4k＋2能被3整除，又由假设知a4k＋1能被3整除，∴3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除．即当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1也能被3整除．命题也成立．由(1)和(2)知，对于任意n∈N*，数列{an}中的第4m＋1(m∈N*)项能被3整除．20．(12分)设二次函数f(x)＝x2＋ax＋a，方程 f(x)－x＝0的两根x1和x2满足0<x1<x2<1.(1)求实数a的取值范围；(2)试比较f(0)f(1)－f(0)与116的大小，并说明理由．解析(1)令g(x)＝f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋a，由题意可得Δ>0，0<1－a2<1，g1>0，g0>0⇔a<3－22或a>3＋22，－1<a<1，a>0 ⇔0<a<3－22，故实数a的取值范围是(0,3－22)．(2)f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝2a2，令h(a)＝2a2，∵当a>0时，h(a)单调递增，∴当0<a<3－22时，0<h(a)<h(3－22)＝2(3－22)2＝2(17－122)＝2×117＋122<116，即f(0)f(1)－f(0)<116.21．(12分)已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(an，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn•bn＋2<b2n＋1.解析(1)由已知得an＋1＝an＋1，则an＋1－an＝1，又a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．故an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知，an＝n，从而bn＋1－bn＝2n.当n≥2时，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.又b1＝1也适合上式，所以bn＝2n－1，bn•bn＋2－b2n＋1＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1)－(22n＋2－2•2n＋1＋1 )＝－2n<0.所以bn•bn＋2<b2n＋1.22．(12分)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？解析设该儿童分别预定x，y个单位的午餐和晚餐，共需z元，则z＝2.5x＋4y.可行域为12x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54，x≥0，y≥0，即3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x＋5y≥27，x≥0，y≥0，作出可行域如图阴影部分所示，所以当x＝4，y＝3时，花费最少，zmin＝22元．因此，分别预定4个单位午餐和3个单位晚餐，就满足要求了．。

2023届高考复习数学专项（复数及推理与证明）好题练习1.若复数：：：满足(l�i)z=3+i<其中i是虚数单位），则()A.二的实部是2B.=的虚部是2iC.乞=1-2i2.已知复数z=3-4i, 则下列命题中正确的为（）A.l z l= 5B.z=3+4iC. z的虚部为-4iD.z在复平而上对应点在第四象限3.下面四个命题中的真命题为（）1A.若复数z满足-ER,则zERB.若复数z满足/ER,则zERC.若复数Z1,Z2满足z亿2ER,则z1=D.若复数zE R,则豆ER Z2D.lzl=✓S4.已知复数二满足i2k+1z=2+i,-(kE z), 则z在复平面内对应的点可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.设z是复数，则下列命题中的真命题是()A.若z2�o.则z是实数B.若z2<o,则z是虚数C.若z是虚数，则z2�oo.若z是纯虚数，则z2<o6.已知Z1与Z-2是共枙虚数，以下四个命题一定正确的是（）2 2A. Z l <i z2B. zi z2=z Z2C.z1+z2E Rz+l.7设复数z满足——=i,则下列说法错误的是（）A.z为纯虚数B.z的虚部为一-i2C.在复平而内，z对应的点位千第二象限D.z=-—ZtD .• —ERZ28.某大学进行自主招生测试，盂要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（ ）A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 9．在0,0a b >>的条件下，下列四个结论正确的是（ ） A ．22a b aba b+≥+B ．2a b +≤C ．22a b a b b a+≤+D ．设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2 10．如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快参考答案1.若复数：：：满足(l�i)z=3+i<其中i是虚数单位），则()D.lzl=✓S A. 二的实部是2 B.=的虚部是2i C.乞=1-2i【参考答案】CD3 +i(3 +i)(l +i) 2 + 4i—= = = 1+2i,【答宋解析】z=l—1 2 2即二的实部是1,虚部是2'故A错误，B铅误，又亏=1—2i,121 =✓1三了-= Js'故C,D均正确故选CD2. 已知复数z=3-4i, 则下列命题中正确的为（）A.l z l= 5B.z=3+4iC. z的虚部为-4iD. z在复平面上对应点在第四象限【参考答案】ABD【答案解析】:;=3-4i, 则仁l=F五二正=5.故A正确；�=3+4i, 故B正确；二的虚部为4,故C铅误；二在复平面上对应点的坐标为(3,-4), 在第四象限，故D正确．:．命题中正确的个数为3.故选ABD.3.下而四个命题中的真命题为（）1A. 若复数z满足-E R,则zE RB.若复数z满足/E R,则zE RC. 若复数Z1,Z2满足z亿2R,则z=22D.若复数zE R,则�E R【参考答案】AD1【答案解析】若复数二满足-E R,则二E R,故命题A为真命题；复数z ＝i 满足z 2＝﹣1∈R ，则z ∉R ，故命题B 为假命题； 若复数z 1＝i ，z 2＝2i 满足z 1z 2∈R ，但z 1≠，故命题C 为假命题；若复数z ∈R ，则＝z ∈R ，故命题D 为真命题． 故选：AD ．4.已知复数z 满足212k i z i +=+，()k z ∈，则z 在复平面内对应的点可能位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【参考答案】BD【答案解析】212k i z i +=+ ，212k iz i ++∴=15i i i === ，37i i i ===-当k 为奇数时 ()2122212k i ii i z i i i i i++++∴====-+--⨯ 在复平面上对应的点为()1,2-位于第二象限； 当k 为偶数时 ()2122212k i ii i z i i i i i++++∴====-⨯ 在复平面上对应的点为()1,2-位于第四象限；故复数z 在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限. 故选BD5．设z 是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2＜0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2＜0 【参考答案】ABD【答案解析】设z ＝a +bi ，a ，b ∈R ，z 2＝a 2﹣b 2+2abi ， 对于A ，z 2≥0，则b ＝0，所以z 是实数，真命题；对于B ，z 2＜0，则a ＝0，且b ≠0，⇒z 是虚数；所以B 为真命题； 对于C ，z 是虚数，则b ≠0，所以z 2≥0是假命题．对于D ，z 是纯虚数，则a ＝0，b ≠0，所以z 2＜0是真命题；故选ABD．6．已知z1与z2是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是（ ）A．z12＜|z2|2B．z1z2＝|z1z2| C．z1+z2∈R D．∈R【参考答案】BC【答案解析】解：z1与z2是共轭虚数，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi（a，b∈R）．z12＜|z2|2；＝a2﹣b2+2abi，复数不能比较大小，因此A不正确；z1z2＝|z1z2|＝a2+b2，B正确；z1+z2＝2a∈R，C正确；＝＝＝+i不一定是实数，因此D不一定正确．故选：BC．7.设复数z满足，则下列说法错误的是（ ）A．z为纯虚数B．z的虚部为C．在复平面内，z对应的点位于第二象限D．|z|＝【参考答案】ABC【答案解析】∵z+1＝zi，设z＝a+bi，则（a+1）+bi＝﹣b+ai，∴，解得．∴z＝．∴|z|＝，复数z的虚部为，8．某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（）A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前 【参考答案】AC【答案解析】根据图示，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前, 他的阅读表达成绩排名靠后.故选AC.9．在0,0a b >>的条件下，下列四个结论正确的是（ ）A ．22a b aba b+≥+ B ．2a b +≤C ．22a b a b b a +≤+D ．设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2 【参考答案】ABD 【答案解析】选项A:222()4()22022()2()220,0a b ab a b ab a b a b ab a b aba b a b a b a b a b a b++--++-==∴-≥∴≥+++>+>+ ,故本选项是正确的；选项B:因为0,0a b >>,22222222()()02244a b a b a b ab a b ++++--=-=≥,所以2a b +≤,因此本选项是正确的； 选项C:222233222()()()()()a b a b ab a b a b a b a b a b b a a b b a ab ab ab +---+-+-+-+===-,因为0,0a b >>,所以22222()()()0a b b a b a a b a b a b b a ab b a+-+-+=-≤⇒+≥+,因此本选项是不正确的；选项D:根据本选项特征,用反证法来解答.假设三个数111,,a b c b c a+++至少有一个不小于2不成立,则三个数111,,a b c b c a+++都小于2,所以这三个数的和小于6,而111111()(()6a b c a b cb c a a b c+++++=+++++≥++=（当且仅当1a b c===时取等号）,显然与这三个数的和小于6矛盾,故假设不成立,即三个数111,,a b cb c a+++至少有一个不小于2,故本选项是正确的.故选：ABD10．如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（）A．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快【参考答案】ABD【答案解析】对于选项A，从图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A正确；对于选项B，从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B正确；对于选项C，从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份，故C错误；对于选项D，从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D正确.故选ABD.。

高三数学必修同步训练题推理与证明总复习题
大家把实际知识温习好的同时，也应该要多做题，从题中找到自己的缺乏，及时学懂，下面是查字典数学网小编为大家整理的14年高三数学必修同步训练题，希望对大家有协助。

7.假定a1
解析：作差可得
(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)(b1-b2)，∵a1
答案：a1b1+a2b2a1b2+a2b1
8.x，y，z均为正数，那么
xyz+yzx+zxy________1x+1y+1z.(填，)
解析：由于x，y，z均为正数，所以xyz+yzx=1zxy+yx2z，同理可得yzx+zxy2x，zxy+xyz2y，当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边区分相加，并除以2，得xyz+yzx+zxy1x+1y+1z.
答案：
9.如下图的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，那么这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(ab)的不等式表示为________.
解析：图(1)所示广告牌的面积为12(a2+b2)，图(2)所示广告牌的面积为ab，显然不等式表示为12(a2+b2)b).
答案：12(a2+b2)b)。

4．设m ，n ，t 都是正数，则m ＋4n ，n ＋4t ，t ＋4m 三个数( )A ．都大于4B ．都小于4C ．至少有一个大于4D ．至少有一个不小于4答案：D解析：依题意，令m ＝n ＝t ＝2，则三个数为4,4,4，排除A ，B ，C 选项，故选D.5．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55答案：D 解析：由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55.故选D.6．某参观团根据下列约束条件从A ，B ，C ，D ，E 五个镇选择参观地点：①若去A 镇，也必须去B 镇；②D ，E 两镇至少去一镇；③B ，C 两镇只去一镇；④C ，D 两镇都去或者都不去；⑤若去E 镇，则A ，D 两镇也必须去．则该参观团至多去了( )A ．B ，D 两镇 B ．A ，B 两镇C ．C ，D 两镇 D ．A ，C 两镇答案：C解析：若去A 镇，根据①可知一定去B 镇，根据③可知不去C 镇，根据④可知不去D 镇，根据②可知去E 镇，与⑤矛盾，故不能去A 镇；若不去A 镇，根据⑤可知也不去E 镇，再根据②知去D 镇，再根据④知去C 镇，再根据③可知不去B 镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C ，D 两镇．故选C.7．36的所有约数之和可以按以下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为1＋3＋32＋2＋2×3＋2×32＋22＋22×3＋22×32＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91.参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为()A．435 B．465C．478 D．496答案：B解析：类比得到36的所有正约数之和的方法知，200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465.8．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数组成，从第二行起，每一行中的数均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是()2 017 2 016 2 015 2 014……65432 14 033 4 031 4 029…………11975 38 0648 060 (2016128)16 124 (362820)…………………………A．2 017×22 016B．2 018×22 015C．2 017×22 015D．2 018×22 016答案：B解析：由题意知第1行的最后一个数为2×2－1，第2行的最后一个数为3×20，第3行的最后一个数为4×21，……第n行的最后一个数为(n＋1)×2n－2，表中最后一行仅有一个数，则这个数是2 018×22 015.①2＋4＝6；②8＋10＋12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；……按照这样的规律，则2 018所在等式的序号为()A.18B.19C.164D.127答案：D解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故V 1V 2＝127.二、填空题13．有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m 月n 日，张老师把m 告诉了甲，把n 告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．答案：8月4日解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日，8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．14．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是________．答案：3 972解析：由题意可设第1组的数为1，第2组的数为2,4，第3组的数为5,7,9，……所以第1组有1个数，第2组有2个数……根据等差数列的前n项和公式，可知前n 组共有n (n ＋1)2个数．由于2 016＝63(63＋1)2<2 018<64(64＋1)2＝2 080，因此，第2 018个数是第64组的第2个数．由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9……第n 组最后一个数是n 2，因此，第63组最后一个数为632,632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972.15．如图所示，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，且SA ，SB ，SC 和底面ABC 所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC ，△SAC ，△SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．答案：S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3 解析：类比三角形中的正弦定理，在四面体S －ABC 中，我们猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立． 16．如图，第n 个图形是由正(n ＋2)边形“扩展”而来的，n ∈N *，则在第n 个图形中共有________个顶点．(用n 表示)答案：(n ＋2)(n ＋3) 解析：第n 个图形是在第(n ＋2)边形的基础上每条边加上n ＋2个顶点，因此顶点个数为(n ＋2)＋(n ＋2)(n ＋2)＝(n ＋2)(n ＋3)．。

一、选择题1．数学归纳法证明*1111(1,)n 1n 2n 2n n N n +++>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（ ）A ．122k +B ．121k + C ．11+2122++k k D ．112k 12k 2++－ 2．正四面体ABCD 的棱AD 与平面α所成角为θ，其中02πθ<<，点D 在平面α内，则当四面体ABCD 转动时（ ）A ．存在某个位置使得BC α，也存在某个位置使得BC α⊥B ．存在某个位置使得BC α，但不存在某个位置使得BC α⊥ C ．不存在某个位置使得BC α，但存在某个位置使得BC α⊥D ．既不存在某个位置使得BC α，也不存在某个位置使得BC α⊥ 3．用反证法证明某命题时，对其结论“a ，b 都是正实数”的假设应为（ ） A ．a ，b 都是负实数B ．a ，b 都不是正实数C ．a ，b 中至少有一个不是正实数D ．a ，b 中至多有一个不是正实数4．给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．45．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则411a a +的值为A ．528B ．1032C ．1040D ．20646．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．圆有6条弦，两两相交，这6条弦将圆最多分割成( )个部分 A ．16 B ．21 C ．22 D ．238．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是( )A ．*B D ，*A D B ．*B D ，*AC C ．*B C ，*AD D ．*C D ，*A D10．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（ ）A ．类比推理B ．三段论推理C ．归纳推理D ．传递性推理 11．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（ ）19211⨯+=1293111⨯+= 123941111⨯+= 12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=…A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．111111312．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变二、填空题13．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=14．在圆中：半径为r 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22r .类比到球中：半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________． 15．某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：1 2 3 4 5 得分甲 4 乙 3 丙2则甲同学答错的题目的题号是__________．16．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖 块.17．在探究实系数一元二次方程的根与系数的关系时，可按下述方法进行： 设实系数一元二次方程22100a x a x a ++=……①在复数集C 内的根为1x ，2x ，则方程①可变形为()()2120a x x x x --=， 展开得()222122120a x a x x x a x x -++=.……②比较①②可以得到：11220122a x x a a x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩类比上述方法，设实系数一元n 次方程11100nn n n a x a xa x a --++++=（2n ≥且*N n ∈）在复数集C 内的根为1x ，2x ，…，n x ，则这n 个根的积1ni i x ==∏ __________．18．观察下列等式： （1）24sin sin 033ππ+= （2）2468sin sin sin sin 05555ππππ+++= （3）2468sinsin sin sin 7777ππππ+++1012sin sin 077ππ++= …… …… …… …… …… ……由以上规律推测，第n 个等式为：__________．19．小明在做一道数学题目时发现：若复数111cos i?sin ?,z αα=+222 cos i?sin ,z αα=+，333cos i?sin z αα=+(其中123,,R ααα∈), 则121212cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++，232323cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++ ，根据上面的结论，可以提出猜想: z 1·z 2·z 3=__________________． 20．观察下列各式：0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=______________.三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N 都有2132n n S n a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记*4()n n b a n N =+∈*1)nn N b ++<∈ 22．已知数列{}n a 满足11a =,1(5)5n n n a a a ++=. （1）计算234,,a a a 的值,猜想数列{}n a 的通项公式; （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 23．已知数列1111,,,,,112123123n+++++++，其前n 项和为n S ；（1）计算1234,,,S S S S ；（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.24．（1）当1x >时，求2()1x f x x =-的最小值.（2）用数学归纳法证明：11111222n n n +++≥++*()n N ∈. 25．在数列{}n a 中，111,21nn n a a a a +==+，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）计算234,,a a a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 26．已知()()()()20121111nnn x a a x a x a x +=+-+-++-（2,*n n N ≥∈），（1）当5n =时，求12345a a a a a ++++的值； （2）设2233,2n n n n a b T b b b -==+++，试用数学归纳法证明：当2n ≥时，()()113n n n n T +-=。

一、选择题1．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人2．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有2415a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于3b ，5b ，2b ，6b 的一个不等关系正确的是（ ） A ．3526b b b b > B ．5623b b b b > C ．3526b b b b +<+D ．5623b b b b +<+3．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 4．将正整数1,2,3,4,,,n 按第k 组含1k +个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,,那么2019所在的组数为（ ） A ．62B ．63C ．64D ．655．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问考试成绩，老师说：你们4人中有2位优秀，2位良好，我给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看完后甲对大家说：我不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道4人的成绩 C ．丁可以知道自己的成绩 D ．丁可以知道4人的成绩6．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3， 6，10记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ） A ．1225B ．1275C ．2017D ．20187．定义两个运算：1212a b a lgb ⊗=+，132a b lga b -⊕=+．若925M =⊗，1227N =，则(M N += ) A ．6B ．7C ．8D ．98．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2． 表1 田径综合赛项目及积分规则 项目积分规则100米跑 以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分跳高以1.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.02米扣2分掷实心球 以11.5米得60分为标准，每多0.1米加5分，每少0.1米扣5分 姓名 100米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲 13.3 1.24 11.8乙 12.61.3 11.4 丙 12.91.2611.7丁13.11.2211.6A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了10．已知222233+=，333388+=，44441515+=，⋅⋅⋅，若66n nm m+=（m 、n 均为正实数），根据以上等式，可推测m 、n 的值，则m n +等于（ ）A ．40B ．41C ．42D ．4311．英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook ，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（ ）()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n --=-+-++-+-()()2462cos 112!4!6!2!nnx x x x x n -=-+-++-+其中*x R n N ∈∈，，!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯，例如：1!12!23!6===，，．试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01） A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ．0.9612．现有A B C D 、、、四位同学被问到是否去过甲，乙，丙三个教师办公室时，A 说：我去过的教师办公室比B 多，但没去过乙办公室；B 说：我没去过丙办公室；C 说：我和A B 、去过同一个教师办公室；D 说：我去过丙办公室，我还和B 去过同一个办公室.由此可判断B 去过的教师办公室为（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．不能确定 二、填空题13．设1250,,,a a a 是从1-，0，1这三个整数中取值的数列，若12509a a a +++=，且()()()2221250111107a a a ++++++=，则1250,,,a a a 中数字0的个数为________ .14．若ABC 的三边之长分别为a 、b 、c ，内切圆半径为r ，则ABC 的面积为()2r a b c ++.根据类比思想可得：若四面体A BCD -的三个侧面与底面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球的半径为r ，则四面体的体积为__________.15．设,a b 是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >. 其中能推出：“,a b 中至少有一个大于1”的条件是____________． 16．观察下列等式：11234934567254567891049=++=++++=++++++=照此规律，则第五个等式应为________________.17．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为____ 18．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市.丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________19．某大学进行自主招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示:得出下面四个结论:①甲同学的逻辑排名比乙同学的逻辑排名更靠前②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 ③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 ④甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 则所有正确结论的序号是_________.20．刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式12122+++⋅⋅⋅是一个确定值x (数式中的省略号表示按此规律无限重复)，该数式的值可以用如下方法求得：令原式x =，则12x x+=，即2210x x --=，解得12x =正数得21x =.666+++⋅⋅⋅=_____________.三、解答题21．已知正三角形ABC 的边长是a ，若O 是ABC △内任意一点，那么O 到三角形三边的距离之和是定值32a .这是平面几何中一个命题，其证明常采用“面积法”.如图，设O 到三边的距离分别是OD 、OE 、OF ，则111222S a OD a OE a OF =⋅+⋅+⋅=11()22a OD OE OF a h ⋅++=⋅,h 为正三角形ABC 的高32a ，即32OD OE OF a ++=.运用类比法猜想，对于空间正四面体，存在什么类似结论，并用“体积法”证明.22．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①22sin 30cos 60sin30cos60︒+︒+︒︒； ②22sin 15cos 45sin15cos 45︒+︒+︒︒； ③22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒︒； ④22sin (18)cos 12sin(18)cos12-︒+︒+-︒︒； ⑤22sin (25)cos 5sin(25)cos5-︒+︒+-︒︒.（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 23．某同学在一次研究性学习中，发现以下五个式子的值都等于同一个常数. （1）22sin 10sin 70sin10sin 70︒+︒-︒︒ （2）22sin 20sin 80sin 20sin80︒+︒-︒︒ （3）22sin 30sin 90sin30sin90︒+︒-︒︒（4）()()22sin13sin 47sin 13sin 47-︒+︒--︒︒ （5）()()()()22sin 78sin 18sin 78sin 18-︒+-︒--︒-︒（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明该结论. 24．下面（A ），（B ），（C ），（D ）为四个平面图形：（1）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将下表补充完整；（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为,,E F G ，试猜想,,E F G 之间的数量关系（不要求证明）.25．已知()33xf x =+,分别求()()01f f +,()()12f f -+,()()23f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论. 26．设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：用,,A B C 分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 也最多只有1个，得C 的最多只有1个，因此人数最多只有3人，显然(),(),()AC BB CA 满足条件，故选B ．考点：合情推理的应用．2．C解析：C 【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式及性质逐一计算判断即可. 【详解】在等比数列{}n b 中，0n b >，公比1q ≠，0q ∴>，即01q <<或1q >， 在A 中，3526b b b b =，故A 错误；在B 中，29561b b b q =，23231b b b q =，故当01q <<时，5623b b b b <，当1q >时5623b b b b >，故B 错误；在C 中，()3351b b b q q q+=+，()42611b b b q q +=+，而()()()()()()243332111110q q q q q q q q q +-+=---=-++>，得431qq q +>+，故3526b b b b +<+，故C 正确；在D 中，()45611b b b q q +=+，()2311b b b q q +=+，故当01q <<时，5623b b b b +<+，当1q >时5623b b b b +>+，故D 错误.故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题.3．D解析：D 【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案. 【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 （另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）. 故选：D . 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.4．B解析：B 【分析】观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +，然后再验证求解. 【详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2， 第二组最后一个数是5=2+3， 第三组最后一个数是9=2+3+4，……， 依此，第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +. 当62n =时，()320152n n +=，所以2019所在的组数为63. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案. 【详解】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩，乙、丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩，若为两良，甲也会知道自己的成绩）；乙看到了丙的成绩，知道自己的成绩； 丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，【点睛】该题是一道逻辑推理的题目，掌握此类题目的推理方法是解题的关键.6．A解析：A 【分析】通过寻找规律以及数列求和，可得n a ，然后计算21k b -，可得结果. 【详解】根据题意可知：12...n n a =+++ 则()12n a n n +=由14254556,,22b b a a ⨯⨯==== 394109101011,22b b a a ⨯⨯==== …可得()215512k k k b --=所以()19510510112252b ⨯⨯⨯-==故选：A 【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，本题难点在于找到21k b -，属难题，7．B解析：B 【分析】根据定义的新运算，求出M 、N 的值，相加即可得答案． 【详解】根据题意，121925925352M lg lg =⊗=+=+， 13112()232727N lg -===+，则(35)(23)1337M N lg lg +=+++=++=。

数学练习一、选择题（本大题共8小题，每小题5分）1．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则71009的末两位数字为（ ） A ．49B ．43C ．07D ．012．已知Rt △ABC 中，∠A ＝90°，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其内切圆半径为r ，由S △ABC =12bc ，又S △ABC =12ar +12br +12cr ，可得r =bca+b+c ．类比上述方法可得：三棱锥P ﹣ABC 中，若∠BAC ＝90°，PA ⊥平面ABC ，设△ABC 的面积为S 1，△PAB 的面积为S 2，△PAC 的面积为S 3，△PBC 的面积为S 4，则该三棱锥内切球的半径是（ ） A ．√S 1S 2S 3S1+S 2+S 3+S 4B ．√2S 1S 2S 3S 1+S 2+S 3+S 4C ．√3S 1S 2S 3S1+S 2+S 3+S 4D ．2√S 1S 2S 3S1+S 2+S 3+S 43．2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为57.8%．如图为2019年居民消费价格月度涨跌幅度：（同比=本期数−去年同期数去年同期数×100%，环比=本期数−上期数上期数×100%）下列结论中不正确的是（ ）班级__________ 姓名__________ 小组__________ 使用时间__________ __________…………○……………………○……………………○……………………○…………A．2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长B．2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些C．2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上D．2019年3月份的居民消费价格全年最低4．余弦函数是偶函数，f（x）＝cos（2x2﹣3）是余弦函数，因此f（x）＝cos（2x2﹣3）是偶函数，以上推理（）A．结论不正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确5．关于综合法和分析法的说法错误的是（）A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法6．设a，b，c大于0，则3个数ab ，bc，ca的值（）A．至多有一个不大于1 B．都大于1C．至少有一个不大于1 D．都小于17．历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林•梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2p﹣1（p 是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22﹣1＝3，23﹣1＝7，25﹣1＝31，27﹣1＝127，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数．已知第10个梅森数为289﹣1，则第10个梅森数的位数为（参考数据：lg2≈0.301）（）A．25 B．29 C．27 D．288．在用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时的正确反设应为（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数C．a，b，c都是偶数D．a，b，c中至少有两个偶数二、多项选择题（共4小题，，每小题5分）9．将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）．已知a11＝2，a13＝a61+1，记这n2个数的和为S．下列结论正确的有（）A．m＝3 B．a67=17×37C．a ij=(3i−1)×3j−1D．S=1n(3n+1)(3n−1)410．2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性．今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，如图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（）A．这五年，2015年出口额最少B．这五年，出口总额比进口总额多C．这五年，出口增速前四年逐年下降D．这五年，2019年进口增速最快11．“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想“，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1．已知正整数m经过6次运算后得到1，则m的值为（）A．10 B．32 C．64 D．9612．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中错误的是（）A．消耗1升汽油乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油三、填空题（本大题共5小题，每小题4分）13．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则7288用算筹式可表示为．14．已知三棱锥A﹣BCD的棱长均为6，其内有n个小球，球O1与三棱锥A﹣BCD的四个面都相切，球O2与三棱锥A﹣BCD的三个面和球O1都相切，如此类推，…，球O n与三棱锥A﹣BCD的三个面和球O n﹣1都相切（n≥2，且n∈N*），则球O1的体积等于，球O n的表面积等于．15．某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测：甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上；丙说：丁被选上；丁说：丙被选上．若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是．16．用反证法证明“设a3+b3＝2，求证a+b≤2”时，第一步的假设是．四、解答题（本大题共5小题）17．观察以下各等式：sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34sin220°+cos250°+sin20°cos50°=34sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．18．甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7．记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码（Ⅰ）求甲、乙二人都破译密码的概率；（Ⅱ）求恰有一人破译密码的概率；（Ⅲ）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”所以随机事件“密码被破译”可以表示为A+B所以P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.8+0.7＝1.5请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程．19．已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1=2a n2+a n（n∈N+）．（Ⅰ）求a2，a3，a4的值，猜想数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）运用（Ⅰ）中的猜想，写出用三段论证明数列{1a n}是等差数列时的大前提、小前提和结论．20．对于集合A＝{a1，a2，…，a n}，B＝{b1，b2，…，b m}，n∈N*，m∈N*．A+B＝{x+y|x ∈A，y∈B}．集合A中的元素个数记为|A|．规定：若集合A满足|A+A|=n(n+1)2，则称集合A具有性质T．（Ⅰ）已知集合A＝{1，3，5，7}，B={13，23，43，83}，写出|A+A|，|B+B|的值；（Ⅱ）已知集合A＝{a1，a2，…，a n}，{a n}为等比数列，a n＞0，且公比为2，证明：A具有3性质T；（Ⅲ）已知A，B均有性质T，且n＝m，求|A+B|的最小值．21．已知n∈N*，n≥2，给定n×n个整点（x，y），其中1≤x，y≤n，x，y∈N*．（Ⅰ）当n＝2时，从上面的2×2个整点中任取两个不同的整点（x1，y1），（x2，y2），求x+x2的所有可能值；1（Ⅱ）从上面n×n个整点中任取m个不同的整点，m≥5n−1．2（i）证明：存在互不相同的四个整点（x1，y1），（x1′，y1′），（x2，y2），（x2′，y2′），满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；（ii）证明：存在互不相同的四个整点（x1，y1），（x1′，y1），（x2，y2），（x2′，y2），满足x1+x1′＝x2+x2′，y1≠y2．答题卡一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）（请将答案填写在各试题的答题区内） 1 2 3 4 5 6 7 8二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（请将答案填写在各试题的答题区内） 9 10 11 12三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）（请在各试题的答题区内作答） 13. 14. 15. 16.四．解答题（共5小题）（请在各试题的答题区内作答） 17.答：__________姓名__________ 小组__________ 使用时间___________________……○…………密…………○…………封…………○…………线…………○…………18.答：19.答：20.答：21.答：13．． 14． √6π；6π4n−1 15丁． 16．假设a +b ＞2．17．观察以下各式：∵sin 230°+cos 260°+sin30°cos60°=34，sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°=34， ∴sin 230°+cos 2（30°+30°）+sin30°cos （30°+30°）=34，sin 220°+cos 2（20°+30°）+sin20°cos （20°+30°）=34，于是根据各式的共同特点，则具有一般规律的等式可得出sin 2α+cos 2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=34．证明：左边=sin 2α+cos 2(α+300)+sinαcos(α+300)=1−cos2α2+1+cos(600+2α)2+sin(300+2α)−sin3002=1+cos(600+2α)−cos2α2+12[sin(300+2α)−12] =1+−2sin(300+2α)sin3002+12[sin(300+2α)−12]=34−12sin(300+2α)+12sin(300+2α)=34=右边．18．（Ⅰ）甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7． 记事件A ：甲破译密码，事件B ：乙破译密码， 则P （A ）＝0.8，P （B ）＝0.7，甲、乙二人都破译密码的概率为P （AB ）＝P （A ）P （B ）＝0.8×0.7＝0.56． （Ⅱ）恰有一人破译密码的概率为：P （AB +AB ）＝P （A ）P （B ）+P （A ）P （B ）＝0.8×0.3+0.2×0.7＝0.38．（Ⅲ）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程中，∵A 和B 不是互斥事件，∴P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）， 小明求解时没有减掉甲、乙同时破译的概率， 正确解法为：P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）＝0.8+0.7﹣0.8×0.7＝0.94．19．（Ⅰ）∵数列{a n }中，a 1＝1，a n +1=2an 2+a n，a 2=23，a 3=12，a 4=25 猜想：a n =2n+1；（Ⅱ）∵通项公式为a n 的数列{a n }，若a n +1﹣a n ＝d ，d 是常数， 则{a n }是等差数列，…大前提 又∵1an+1−1a n =12，为常数；…小前提∴数列{1a n}是等差数列．…结论20．（I ）A +A ＝{2，4，6，8，10，12，14}，则|A +A |＝7；B +B ＝{23，1，53，3，43，2，103，83，4，163}，则|B +B |＝10．…．（4分）（II ）要证A 具有性质T ，只需证明，若n 1＜n 2≤n 3＜n 4，则a n 1+a n 4≠a n 2+a n 3． 假设上式结论不成立，即若n 1＜n 2≤n 3＜n 4，则a n 1+a n 4=a n 2+a n 3．即q n 1+q n 4=q n 2+q n 3，即q n 4−n 1=q n 2−n 1+q n 3−n 1−1，(23)n 4−n 1=(23)n 2−n 1+(23)n 3−n 1−1，2n 4−n 1=2n 2−n 1×3n 4−n 2+2n 3−n 1×3n 4−n 3−3n 4−n 1．因为上式的右边为3的倍数，而上式的左边为2的倍数，所以上式不成立． 故假设不成立，原命题成立．…．（III ）由题意，集合A 具有性质T ，等价于任意两个元素之和均不相同． 如，对于任意的a ＜b ≤c ＜d ，有a +d ≠b +c ，等价于d ﹣c ≠b ﹣a ，即任意两个不同元素之差的绝对值均不相同．令A*＝{x﹣y|x∈A，y∈A，x＞y}，所以A具有性质T⇔|A+A|=n(n+1)2⇔|A∗|=n(n−1)2．因为集合A，B均有性质T，且n＝m，所以|A+B|＝n2﹣|A*∩B*|≥n2−n(n−1)2=n(n+1)2，当且仅当A＝B时等号成立．所以|A+B|的最小值为n(n+1)2．…．（14分）21．（Ⅰ）当n＝2时，4个整点分别为（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），所以x1+x2的所有可能值为2，3，4；（Ⅱ）（i）假设不存在互不相同的四个整点（x1，y1），（x1′，y1′），（x2，y2），（x2′，y2′），满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；即在直线y＝i（1≤i≤n，i∈N+）中至多有一条直线上取多余1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为n﹣1+n＝2n﹣1，而2n﹣1＜52n﹣1，与已知m≥52−1矛盾，故存在互不相同的四个整点（x1，y1），（x1′，y1′），（x2，y2），（x2′，y2′），满足y1＝y1′，y2＝y2′，y1≠y2；（ii）设直线y＝i（1≤i≤n，i∈N+）有a i个选定的点，若a i≥2，设y＝i上的这a i个选定的点的横坐标为x1，x2，…，x n，且满足x1＜x2＜…＜x n，由x1+x2＜x1+x3＜x2+x3＜x2+x4＜x3+x4＜x ai−1+x ai，则x1，x2，…，x n，中任意不同两项之和的不同的值恰有2n﹣3个，而∑n i=1(2a i−3)=2m﹣3n≥5n﹣2﹣3n≥2n﹣3，可知存在互不相同的四个整点（x1，y1），（x1′，y1），（x2，y2），（x2′，y2），满足x1+x1′＝x2+x2′，y1≠y2．。

新数学《推理与证明》复习知识点一、选择题1．学校艺术节对同一类的A 、B 、C 、D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖”丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（ ）A ．C 作品B ．D 作品C ．B 作品D ．A 作品【答案】C【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A ，B ，C ，D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．详解：若A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：C.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.2．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28B ．76C ．123D ．199【答案】C【解析】【分析】【详解】由题观察可发现， 347,4711,71118+=+=+=，111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=,故选C.考点：观察和归纳推理能力.3．观察下图：12343456745678910L L则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017B ．1009C ．1010D ．1011 【答案】B【解析】【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数且这21n -个数成公差为1的等差数列所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n =故选：B【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D【解析】【分析】 通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=--()()4141sin cos k f x k x x x -=---()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯-所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x +=故选：D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.5．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．A ．2nB ．22n n -+C ．2(1)(2)(3)n n n n ----D ．325104n n n -+- 【答案】B【解析】【分析】分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可.【详解】由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-.累加可得()()()21222224 (2222)2n n n n f n n -+-=++++-=-++=. 故选：B【点睛】本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.6．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）A ．147B ．294C ．882D ．1764【答案】A【解析】【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值.【详解】依题意列表如下： 上列乘6上列乘5 上列乘2 1 630 60 123 15 30 132 10 20 1432 152 15 1565 6 12 161 5 10 所以6603020151210147S =+++++=.【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.7．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（）A．小钱B．小李C．小孙D．小赵【答案】A【解析】由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.8．某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a，b，c，d，当游泳池内装满水时，同时打开其中两个出水口，放完水所需时间如下表：则a，b，c，d四个出水口放水速度最快的是（）A．d B．b C．c D．a【答案】A【解析】【分析】利用所给数据，计算出每个出水口分别的放水时间，比较大小即可.【详解】由题易解得a，b，c，d放水时间分别为70，100，90，50，所以d出水速度最快.故选：A.【点睛】本题考查了方程的思想，属于基础题.9．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币.【详解】第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平. 故选：B.【点睛】本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.10．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i 行，第j 列的数记为ij a ，例如329a =，4215a =，5423a =，若2019ij a =，则i j -=（ ）A ．71B ．72C ．20D ．19【答案】D【解析】【分析】 先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，即可得解.【详解】 奇数2019为第1010个奇数，由题意按照蛇形排列，从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数， 则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数，故2019位于第45行，从右往左第20列，则45i =，26j =，故19i j -=.【点睛】本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ）A ．k 3+1B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++ 【答案】B【解析】 分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

不等式、推理与证明训练题一、选择题：1．若直线bya x +＝1与图122=+y x 有公共点，则 (A)122≤+b a (B) 122≥+b a (C)11122≤+ba(D)11122≥+b a 2．若122+x ≤()142x -，则函数2x y =的值域是（ ）A ．1[,2)8B ．1[,2]8C ．1(,]8-∞ D ．[2,)+∞3．已知函数2,0()2,x x f x x x +⎧=⎨-+>≤⎩，则不等式2()f x x ≥的解集是 （A ）[1,1]- （B ）[2,2]- （C ）[2,1]- （D ）[1,2]- 4．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( )A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值43 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值5．如果221x y +=,则34x y -的最大值是 ( )A ．3B ．51C ．4D ．5 6．在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为（ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 7．设集合等于则B A x x B x x A ,31|,21|⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛2131， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，3131 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，21318．下列表述正确的是（ ）。

①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

A ．①②③；B ．②③④；C ．②④⑤；D ．①③⑤。

9．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图 的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中 有白色地面砖( )块.A.4n+2B.3n+2C.4n+1D.3n+110．关于x 的不等式22155(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集是 ( )A ．12x >B ．12x < C ．2x > D ．2x <11．已知函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点, 若01c <<,则a 的取值范围是 ( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．[)2,3D ．[]1,312．若方程05)2(2=++++m x m x 只有正根，则m 的取值范围是（ ）．A ．4-≤m 或4≥mB ． 45-≤<-mC ．45-≤≤-mD ． 25-<<-m 13．不等式112x x ->+的解集是 ． 14．不等式22lg lg x x <的解集是 ( )A ．1(,1)100 B ．(100,)+∞ C ．1(,1)100(100,)+∞ D ．(0,1)(100,)+∞ 15．若不等式2log 0a x x -<在1(0,)2内恒成立,则a 的取值范围是 ( )A ．1116a ≤<B ．1116a <<C ．1016a <≤D ．1016a << 16．若不等式201x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 17．不等式组131y x y x ≥-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩的区域面积是( )A ．12 B ．32C ．52D ．1 18．可行域（如图）为四边形ABCD 的内部（包括边界），其中 A （2，1），B （4，1），C （3，3），D （0，3），目标函数y ax z +=取最大值的最优解是无穷多个时，实数a 的值为（ ） A. 0 B. 2C. 1或2D. 0或2二、填空题：19．设函数23()lg()4f x x x =--，则()f x 的单调递减区间是 。

高考数学一轮单元复习测试：推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2011项a 2011满足( )A ．0<a 2011<110B ．110≤a 2011<1C ．1≤a 2011≤10D ．a 2011>10 【答案】A2．已知向量)3,5(-=→x a , ),2(x b =→,且→→⊥b a , 则由x 的值构成的集合是( ) A ．{2,3} B ． {-1, 6}C ． {2}D ． {6}【答案】C3． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2n n S n a =*()n ∈N ，可归纳猜想出n S 的表达式为 ( ）A ．21n n +B ．311n n -+C ．212n n ++D ．22n n +【答案】A4．下列表述正确的是（ ） ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

A ．①②③；B ．②③④；C ．②④⑤；D ．①③⑤。

【答案】D5．如果两个向量a 、b 共线，一定存在λ∈R 使a =λb .因为0与任何向量共线，因此对于任何向量a ,一定有λ∈R 使a =λ0.对以上三段论，下面说法正确的是A ．推理完全正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．推理形式不正确 【答案】B6．实数a 、b 、c 不全为0的条件是（ ）A ．a 、b 、c 均不为0；B ．a 、b 、c 中至少有一个为0；C ．a 、b 、c 至多有一个为0；D ．a 、b 、c 至少有一个不为0。