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习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
概率论与数理统计习题集答案【篇一：《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._】出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故?1??5,6,7,??；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：?2??2,3,4,?11,12?；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以?3??0,1,2,?(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ?4??i,j??i?j?5?;(5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则?5???0,0?,?0,1?,?1,0?,?1,1??；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于t1, 最高气温不高于t2); 解：用x表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ?6??x,y?1?x?y?t2?； ???；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：?7?x0?x?2?；(8) 在长为l的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：?8??x,y?x?0,y?0,x?y?l?；1.2(1) a 与b 都发生, 但c 不发生; ab；(2) a 发生, 且b 与c 至少有一个发生;a(b?c)；(3) a,b,c 中至少有一个发生; a?b?c；??(4) a,b,c 中恰有一个发生;a?b?；(5) a,b,c 中至少有两个发生; ab?ac?bc；(6) a,b,c 中至多有一个发生;??；(7) a;b;c 中至多有两个发生;abc(8) a,b,c 中恰有两个发生.bc?ac?ab ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
《概率论》第一章 练 习 一、填空题：（1）设A 、B 为随机事件，P （A ）＝0.7，P （A －B ）＝0.3，则P （A B ）＝ 。
（2）设A 、B 为随机事件，P （A ）＝0.92，P （B ）＝0.93，P （B/A ）＝0.85，则P （A/B ）=_ _，P （A B ）=_ __。
见课本习题—20题（3）设事件A 、B 相互独立，已知P （A ）＝0.5，P （A B ）＝0.8，则P(A B )= , P （A B ）＝ 。
（4）袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今两人依次随机地从中各取一球，则第二个人取得黄球的概率是 。
（5）设两个独立事件A 、B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则P （A ）＝ 。
（6）一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率是80/81，则该射手的命中率为 。
(7) 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地取出4球，其中“恰好2个黑球，2个白球”的概率为： 、(8) 事件A 、B 、C 中至少有两个不发生，可用运算符号表示为： ；而运算符号C B A -+)(则表示事件 。
(9) A 、B 为相互独立的事件，P （A ）=0.4，P （AB ）=0.12，则 P （B ）= ；P （A B ）= 。
(10) 设A 、B 为互不相容事件，P （B ）=0.4，P （A+B ）=0.75，则 P （A ）= ；P （AB ）= 。
（11）设A 、B 为互不相容事件，P （A ）=0.35，P （A+B ）=0.80，则 P （B ）= ；P （A ）-P （AB ）= 。
（12）A 、B 为相互独立的事件，P （A ）=0.4，P （AB ）=0.12，则B）= 。
P（B）= ；P（A（13）某人射击时，中靶的概率为3/4，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（14）设每次试验成功的概率为：P（0<P<1），则3次重复试验中至少失败1次的概率为（15）甲、乙两个人独立地对同一目标各射击一次，其中命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是二、计算题：1、现有编号为1，2，3的3个盒子，1号盒中有3个红球，2个黄球；2号盒中有2个红球，3个黄球；3号盒中有1个红球，4个黄球。
第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
第一章 事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。
（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。
（6）实测某种型号灯泡的寿命。
解 （1）},100,,1,0{n i n i==Ω其中n 为班级人数。
（2）}18,,4,3{ =Ω。
（3）},11,10{ =Ω。
（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。
（5）=Ω{(x,y)| 0<x<1,0<y<1}。
（6）=Ω{ t | t ≥ 0}。
2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
（2）A 与B 都发生，而C 不发生。
（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。
（4）A ，B ，C 都发生。
（5）A ，B ，C 都不发生。
（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。
（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。
（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。
解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃ 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。
（1）B B A B A = （2）AB B A =（3）AB B A B =⊂则若, （4）若 A B B A ⊂⊂则,（5）C B A C B A = （6） 若Φ=AB 且A C ⊂， 则Φ=BC 解 : (1) 成立，因为B A B B B A B B A ==))((。
第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=22.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)（概率课后习题答案详解）董永俊（概率课后习题答案详解）30122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；- 2 -(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=22.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)（概率课后习题答案详解）董永俊（概率课后习题答案详解）30122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；- 2 -(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314k k lim→∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--= 2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
又设发生故障的设备数为X ，则)01.0,180(~B X。
依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即99.0)(≥≤m X P ，也即01.0)1(≤+≥m X P因为n =180较大，p =0.01较小，所以X 近似服从参数为8.101.0180=⨯=λ的泊松分布。
查泊松分布表，得，当m +1=7时上式成立，得m =6。
故应至少配备6名设备维修人员。
2.10解：一个元件使用1500小时失效的概率为3110001000)15001000(15001000150010002=-==≤≤⎰xdx x X P 设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y ，则)31,5(~B Y 。
所求的概率为329.0380)32()31()2(53225==⨯==C Y P2.11解：(1)2ln )2()2(==<F XP101)0()3()30(=-=-=<<F F X P25.1ln 2ln 5.2ln )2()5.2()5.22(=-=-=≤<F F X P(2)⎩⎨⎧<≤='=-其它01)()(1ex x x F x f2.12解：(1)由1)(=+∞F 及)0()(lim 0F x F x =→，得⎩⎨⎧=+=01b a a ，故a =1,b =-1.(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<≥='=-00)()(22x x xex F x f x(3))4ln ()16ln ()16ln 4ln (F F X P -=<<25.041)1()1(24ln 216ln ==---=--ee2.13（1）假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：1122340.80.8{0.81}12(1)(683)0.0272|P X x x dx x x x <≤=-=-+=⎰（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：1122340.90.9{0.91}12(1)(683)0.0037|P X x x dx x x x <≤=-=-+=⎰2.14解:要使方程03222=+++K Kx x 有实根则使0)32(4)2(2≥+-=∆K K解得K 的取值范围为],4[]1,[+∞--∞ ,又随机变量K~U(-2,4)则有实根的概率为31)2(4]34)2(1[=---+---=p2.15解：X~P(λ)= P(1200) (1)1111001002002002001{100}1200|x P X e dx e e ---≤===-⎰（2）11320020023003001{300}200|x P X e dx e e --∞-∞≥===⎰ （3）1113300300200200221001001{100300}200|x P X e dx e e e ----≤≤===-⎰ 113222{100,100300}{100}{100300}(1)()P X X P X P X e e e ---≤≤≤=≤≤≤=--2.16解：设每人每次打电话的时间为X ，X ~E (0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为5105.0105.05.0)10(-+∞-+∞-=-==>⎰e edx eX P x x又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y ，则),282(~5-e B Y 。
因为n =282较大，p 较小，所以Y 近似服从参数为9.12825≈⨯=-e λ的泊松分布。
所求的概率为)1()0(1)2(=-=-=≥Y P Y P Y P56625.09.219.119.19.19.1=-=--=---e e e2.17解：(1))42.0(1)42.0()12110105()105(Φ-=-Φ=-Φ=≤XP3372.06628.01=-=(2))12110100()12110120()120100(-Φ--Φ=≤≤XP5934.017967.021)83.0(2)83.0()83.0(=-⨯=-Φ=-Φ-Φ=2.18解：设车门的最低高度应为a 厘米，X~N(170,62){}1{}0.01170{}()0.996P X a P X a a P X a ≥=-≤≤-≤=Φ≥1702.336a -= 184a ≈厘米2.19解：X 的可能取值为1,2,3。
因为6.0106)1(3524====C C X P ；1.01011)3(35====C X P ；所以X 的分布律为3.01.06.01)2(=--==X PX 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=31329.0216.010)(x x x x x F2.20(1)22{0}{}0.22{}{0}{}0.30.40.73{4}{}0.12P Y P X P Y P X P X P Y P X πππππ=======+==+===== Y0 2π 42π i q0.20.70.1(2){1}{0}{}0.30.40.73{1}{}{}0.20.10.322P Y P X P X P Y P X P X πππ=-==+==+====+==+= Y-1 1 i q0.70.32.21（1）当11x -≤<时，(){1}0.3F x P X ==-=当12x ≤<时，(){1}{1}0.3{1}0.8F x P X P X P X ==-+==+=={1}0.80.30.5P X ==-=当2x ≥时，(){1}{1}{2}0.8{2}1F x P X P X P X P X ==-+=+==+=={2}10.80.2P X ==-=X -1 1 2 P 0.30.50.2（2）{1}{1}{1}0.30.50.8P Y P X P X ===-+==+= {2}{2}0.2P Y P X ====Y1 2 i q0.80.22.22~(0,1)X N ∴22()x X f x -=（1）设F Y (y)，()Y f y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数，则21221(){}{21}{}2y xYyF y P Y y P X y P X dx+--∞+=≤=-≤=≤=⎰对()YF y求关于y的导数，得221()(1)2821()()2yyYyf y++--+'==(,)y∈-∞∞（2）设F Y(y)，()Yf y分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则当0y≤时，(){}{}{}0XYF y P Y y P e y P-=≤=≤=∅=当0y>时，有22ln (){}{}{ln}{ln}xXYF y P Y y P e y P X y P X y dx∞---=≤=≤=-≤=≥-=⎰对()YF y求关于y的导数，得22(ln)(ln)22(ln)()y yYyf y---⎧'-=⎪=⎨⎪⎩y>0y0≤（3）设F Y(y)，()Yf y分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则当y0≤时，2(){}{}{}0YF y P Y y P X y P=≤=≤=∅=当y>0时，222(){}{}{x YF y P Y y P X y P X dx-=≤=≤=≤≤=对()YF y求关于y的导数，得2(ln)2()yYf y-⎧''==⎩y>0y0≤2.23∵πX U(0,)∴1()Xf xπ⎧⎪=⎨⎪⎩0xπ<<其它（1）2ln yπ<<∞当时2(){}{2ln}{ln}{}0YF y P Y y P X y P X y P=≤=≤=≤=∅=2lnyπ-∞<≤当时2221 (){}{2ln}{ln}{}{yeyYF y P Y y P X y P X y P X e P X dxπ=≤=≤=≤=≤=≤=⎰对()YF y求关于y的导数，得到2211()()2y yYe ef yππ⎧'=⎪=⎨⎪⎩2ln2lnyyππ-∞<≤<<∞（2）≥≤当y1或 y-1时，(){}{cos}{}0YF y P Y y P X y P=≤=≤=∅=11y-<<当时,arccos1(){}{cos}{arccos}Y yF y P Y y P X y P X y dxππ=≤=≤=≥=⎰对()YF y求关于y的导数，得到1(arccos )()0Y y f y π⎧'-=⎪=⎨⎪⎩11y -<<其它（3）≥≤当y 1或 y 0时(){}{sin }{}0Y F y P Y y P X y P =≤=≤=∅=01y <<当时，arcsin 0arcsin (){}{sin }{0arcsin }{arcsin }11Y yyF y P Y y P X y P X y P y X dx dxππππππ-=≤=≤=≤≤+-≤≤=+⎰⎰对()Y F y 求关于y 的导数，得到11arcsin (arcsin )()0Y y y f y πππ⎧''--=⎪=⎨⎪⎩01y <<其它第三章 随机向量3.1 P{1<X ≤2,3<Y ≤5}=F(2,5)+F(1,3)--F(1,5)—F(2,3)= 31283.23.4（1）a=9（2）512（3）111120000111{(,)}(6)[(6)]992|yy P X Y D dy x y dx y x x dy --∈=--=--⎰⎰⎰ 1123200111111188(65)(35)9229629327|y y dy y y y =-+=-+=⨯=⎰ 3.5解：（1）(2)222000(,)22(|)(|)(1)(1)y xy xu v v u v y u xy x F x y e dudv e dv e du e e e e -+------===--=--⎰⎰⎰⎰（2）(2)2200223230000()222(|)2212(1)(22)(|)|1333xx x y x v x y xxxx x x x P Y X e dxdy e dx e dy e e dxee dx e e dx e e ∞∞∞-+----∞∞-----∞-∞≤===-=-=-=-+=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3.6解：222222222222001()(1)(1)a x y a rP x y a d dr x y r πθππ+≤+≤==+++⎰⎰⎰⎰2222222211111(1)21(1)2(1)11|aa a d d r r r a a πθπππ=+=-⨯⨯=-=++++⎰⎰3.7参见课本后面P227的答案 3.83111200033()(,)2232|X y xf x f x y dy xy dy x ====⎰⎰ 22222220331()(,)3222|y f y f x y dx xy dx y x y ====⎰⎰,()20,X x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 02x ≤≤其它23()0Y y f y ⎧=⎨⎩01y ≤≤其它3.9解：X 的边缘概率密度函数()X f x 为： ①当10x x ><或时，(,)0f x y =，()0X f x =1122220111() 4.8(2) 4.8[2] 4.8[12]2221001() 4.8(2) 2.4(2) 2.4(2)||Y y y xxX f y y x dx y x x y y y y y y f x y x dy y x x x =-=-=-+><≤≤=-=-=-⎰⎰或②当01x ≤≤时，2200() 4.8(2) 2.4(2) 2.4(2)|x xX f x y x dy y x x x =-=-=-⎰Y 的边缘概率密度函数()Y f y 为： ① 当10y y ><或时，(,)0f x y =，()0Y f y =② 当01y ≤≤时，1122111() 4.8(2) 4.8[2] 4.8[12]222|Y y y f y y x dx y x x y y y =-=-=-+⎰ 22.4(34)y y y =-+3.10 （1）参见课本后面P227的答案 （2）26()0xx X dyf x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰01x ≤≤其它6=0x x ⎧⎨⎩（1-） 01x ≤≤其它()0yY dx f y ⎧⎪=⎨⎪⎩ 01y ≤≤其它6=0y ⎧⎪⎨⎪⎩） 01y ≤≤其它 3.11参见课本后面P228的答案 3.12参见课本后面P228的答案 3.13（1）220()()30X xyx dy f x ⎧+⎪=⎨⎪⎩⎰ 01x ≤≤其它22230x x⎧+⎪=⎨⎪⎩01x ≤≤其它 120()()30Y xy x dx f y ⎧+⎪=⎨⎪⎩⎰ 02y ≤≤其它1=360y ⎧+⎪⎨⎪⎩02y ≤≤其它对于02y ≤≤时，()0Y f y >，所以2|3(,)1(|)()360X Y Y xyx f x y yf x y f y ⎧+⎪⎪==⎨+⎪⎪⎩01x ≤≤其它26+220x x yy ⎧⎪+⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩01x ≤≤其它对于01x ≤≤时，()0X f x >所以22|3(,)2(|)2()30Y X X xy x f x y xf y x x f x ⎧+⎪⎪==⎨+⎪⎪⎩02y ≤≤其它3620x y x +⎧⎪+⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩02y ≤≤其它111222|001133111722{|}(|)1222540622Y X y y P Y X f y dy dy dy ⨯+⨯+<=====⨯+⎰⎰⎰ 3.14由表格可知 P{X=1;Y=2}=0.25≠P{X=1}P{Y=2}=0.3225 故}{}P{};P{y Y x X y Y x X i i i i P ====≠ 所以X 与Y 不独立 3.15由独立的条件}{}P{};P{y Y x X y Y x X i i i i P =====则}2{}2P{X }2;2P{X =====Y P Y }3{}2P{X }3;2P{X =====Y P Y1}P{X ==∑i可以列出方程a ab a =+++)91)(31( b b a b =+++)31)(181( 13131=+++b a 0,0≥≥b a解得91,92==b a3.16 解（1）在3.8中()20X x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩02x ≤≤其它23()0Y y f y ⎧=⎨⎩01y ≤≤其它当02x ≤≤，01y ≤≤时，()()X Y f x f y 23(,)2x y f x y== 当2x >或0x <时，当1y >或0y <时，()()X Y f x f y 0(,)f x y ==所以， X 与Y 之间相互独立。
