2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷
第一试
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1.已知实数a,b,c 满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b c
a b
++的值为（ ）. A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知实数a,b,c 满足a+b+c=1，
1110135
a b c ++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2
的值为（ ）. A.125 B.120 C.100 D.81
3.若正整数a,b,c 满足a ≤b ≤c 且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（ ）. A.4 B.3 C.2 D.1
4.已知正整数a,b,c 满足a 2
-6b-3c+9=0，-6a+b 2
+c=0，则a 2
+b 2
+c 2
的值为（ ）. A.424 B.430 C.441 D.460
5.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（ ）. A.
1023 B.103
3
C.32
D.33 6.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（ ）.
A.56
B.58
C.60
D.62
二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）
7.3
11a a ++=a 的值为________.
8.已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________.
9.设a,b 是两个互质的正整数，且3
8ab p a b
=+为质数.则p 的值为________.
10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.
第二试
一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.
二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.
三、（本题满分25分）已知a,b,c 5
5
a b
b c
+
+
为有理数，求
222
a b c
a b c
++
++
的最小值.
2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案
第一试
一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）
1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则3
2
b c
a b
+
+
的值为（）.
A.2
B.1
C.0
D.-1
答案：B
对应讲次：
所属知识点：方程
思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.
解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以3
1
2
b c
a b
+
=
+
.
2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，
111
135
a b c
++=
+++
，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.
A.125
B.120
C.100
D.81答案：C
对应讲次：
所属知识点：方程
思路：可以想到换元法.
解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，111
x y z
++=，
∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.
则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.
3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：B
对应讲次：
所属知识点：数论
思路：先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c，即ab≤6，显然a=1或2.
若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组.
若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=5
2
，不是整数舍去，共1个好数组.
共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).
4. 已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.
A.424
B.430
C.441
D.460
答案：C
对应讲次：
所属知识点：方程
思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.
解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)2≤75，即1≤b≤6.
当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；
当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程.
因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.
5. 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.
A.102
3
B.
103
3
C.32
D.33
答案：A
对应讲次：
所属知识点：平面几何
思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.
解析：作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，
