浙江师范大学《复变函数》（期末考试）试卷
（2004-2005学年第一学期）
考试类别： 考试 使用学生： 初阳学院数学专业02级 考试时间：150分钟 出卷时间2004年12月25日 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理.
一、（18%）填空题 1、在01z <<内，函数
1
(2)(1)
z z z -+的罗朗展式是 ① .
2
、解析分支
1z
-在1z =处的留数是 ② . 3、 问是否存在解析函数()f z 使111
()()2122f f n n n
==
- ？ ③ （只需回答是或否）.
4、若解析函数()f z 的实部是(cos sin )x e x y y y -，则f()z = ④ .
5、已知分式线性函数()f z 把上半平面变为单位圆，则()f z = ⑤ .
6、
2
1|2|2
d (1)(2)
z z z
z z -=
--⎰
的值是 ⑥ . 二、（24%）计算题
1、若以上半虚轴为割线，确定Ln z 的一个解析分支ln z .并且分别求出ln w z =在上半虚轴的左沿和右沿，当z i =时的值.
2、计算积分0
d I (1)x
x x
α
+∞
=
+⎰
，（α为常数，且01α<<）. 三、（36%）解答题
1、求2Ln 1
z z -的解析分支和孤立奇点，并讨论这些奇点的类型.
2、在z 平面的上半平面上，从原点起，沿虚轴作一条长为3的割线，试作一个单叶解析函数，把在上述半平面去掉割线而得到的开区域保形映射成w 平面的上半平面（不包括实轴）.
3、试作一个解析函数，它把上半平面Im 0z
>保形双射成w 平面的半带域
Re 22w π
π
-
<<
，Im 0w > .
四、（22%）证明题
1、若1231z z z ===，1230z z z ++=，则122313z z z z z z -=-=- .
2、若在1z <内，()f z 解析，并且1
()1f z z
≤
-， 则()(0)(1)!n f e n <+ .
浙江师范大学《复变函数》试题答案与评分参考
05.1.17
一、填空题（每空格3分，共18分）
① 101
(1)112362n n n n z z ∞
+=⎛⎫--+- ⎪⎝⎭
∑ ②1± ③否
④e i z
z c + ⑤ i 000
e ()(Im 0)z z z z z θ->- ⑥ 2πi -
二、（24%）计算题
1、若以上半虚轴为割线，确定Ln z 的一个解析分支ln z .并且分别求出ln w z =在上半虚轴的左沿和右沿，当z i =时的值.
解 Ln ln ||iarg 2πi z z z k =++ 3ππarg ,22z k -⎛⎫
<<∈
⎪⎝⎭¢ （6分） 令ln ln ||iarg 2πi z z z k =++ 3
ππ2z ⎛⎫-< ⎪⎝⎭ （8分）
则在上半虚轴的右沿，当i z =时，πln i i 2w ==
在上半虚轴的左沿，当i z =时，3
ln i πi 2
w ==- （12分）
2、计算积分0
d I (1)x
x x
α
+∞
=
+⎰
，（α为常数，且01α<<）. 解因01α<<，故1
()(1)F z z z α
=
+为多值函数，
取正实轴为割线且单值解析分支()i arg 11()0arg 2π1||e z
f z z z z αα=<<+（4分）
（如图）设01r ε<<<<+∞，则
2πd ()d (1e )()d ()d (1)r
r
r
r
c c c c c c x
f z z f z z f z z x x ε
ε
εαα
ε
+-+
-
-+Γ+Γ+ΓΓ=+++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰ 由2π|()d |(1)c f z z ε
αε
εε≤
-⎰知0lim ()d 0c f z z ε
ε→=⎰ （8分） 由i 12π
i i 0
ie d 2π|()d |||(1e )e 1r
c r r f z z r r r θα
θααθθ-=≤
+⋅-⎰⎰
知lim ()d 0r
r c f z z →+∞=⎰
故πi 2πi 0
d 2πi
e π
(1)1e sin πx x x αααα
-+∞
-==+-⎰
（12分）
三、（36%）解答题
1、求2Ln 1
z z -的解析分支和孤立奇点，并讨论这些奇点的类型.
解因0和+∞是支点，故0和+∞不是孤立奇点. 因此，孤立奇点为1-和1，
故可取上半虚轴作割线，因此，解析分支()22ln 1
ln ||i(2π+arg )11
z z k z z z =+--
k ∈¢，3πarg 22
z π
-<< （6分）
（1） 当0k =时，1z =是可去奇点 （2） 当0k ≠时，1z =是一阶极点
（3） 1z =-是一阶极点 （12分）
2、在z 平面的上半平面上，从原点起，沿虚轴作一条长为3的割线，试作一个单叶解析函数，把在上述半平面去掉割线而得到的开区域保形映射成w 平面的上半平面（不包括实轴）.
解 （1）若区域D 表示在z 平面的上半平面，从原点起沿虚轴去掉一条长为3的割线，则29z ω=+将区域D 变为()ω平面除去正实轴的开区域1D （6分）
（2）w =1D 变为w 平面的上半平面Im 0w >
因此w = （12分）
3、试作一个解析函数，它把上半平面Im 0z
>保形双射成w 平面的半带域
Re 2
2
w π
π
-
<<
，Im 0w > .
解 由多角形映射公式知
1z
w c c -=+⎰
由π(1)2w --=知1π2
c =- 因1
1
1arcsin πt --==⎰
，故由π(1)2w =
知ππ
π22
c -= 所以1c = （6分）
因此
π
arcsin 2
z
w z -==⎰
于是arcsin w z =即为所求. （12分）
