常见分布的期望和方差)
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常见分布的期望和方差
概率与数理统计重点摘要
X — 4
1、 正态分布的计算: F(x) = p(x 兰x)=e ( ------ )。
c
2、 随机变量函数的概率密度:X 是服从某种分布的随机变量, 求丫 = f(X)的概率密度:f Y (y)= f x (x)[h(y)]|h'(y)|。(参见P66〜
_ x y
3、分布函数F(x,y)=f f f(u,v)dudv 具有以下基本性质:
0 对于任意的(x i , y i ), (x 2, y 2), X i<:x 2,y i r 2 4、一个重要的分布函数: F(x,y)=l&+arcta n 与Q+arcta n')的概率密度为:f (x, y)=丄 F (x, y) = 2 2 2 兀亠 2 2 2 3 c x c y 兀(x + 4)(y +9) 5、二维随机变量的边缘分布: f x (x) = J*f(x, y)dy 边缘概率密度: t f Y (y) = Lcf(x,y)dx x -be F X (x^F(x^^ f J f f (u,y)dy]du 边缘分布函数: '4; 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。 ⑴、 是变量x , y 的非降函数; ⑵、 ⑶、 F(x,y)关于x 右连续,关于y 右连续; ⑷、 y F Y(y)=F(P,y) = UJf(x,v)dx]dv 随机变量的独立性:若 F(x, y) =F x (x)F Y (y)则称随机变量X ,Y 相互独立。简称X 与Y 独立。 两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布,即 Z=aX+b Y L N(a 已卄巴^务;+b 2cr 2 )o 13、k 阶原点矩:vk=E(X k ),k 阶中心矩:4k =E[(X-E(X))k ] o 16、独立同分布序列的中心极限定理: 6、 7、 两个独立随机变量之和的概率密度: f z (z) = J f x (x)f Y (z-x)dx= J f Y (y)f x (z-y)dy 其中Z = X + Y J-oC 9、 期 望的性质: (3)、EX Y )EX( )EY() ;(4)、若 X ,Y 相互独立,则 E(XY) = E(X)E(Y) o 10、方差: D(X ) =E(X 2 )-(E(X))2 o 若 X , Y 不相关,贝y D(X + Y) = D(X) + D(Y),否贝U D(X + Y) = D(X)+D(Y) + 2Cov(X,Y), D(X -Y) = D(X) +D(Y) -2Cov(X,Y) 11、协方差:Cov(X,Y) =E[(X -E(X))(Y-E(Y))],若 X , Y 独立,则 Cov(X,Y) = 0,此时称:X 与 Y 不相关。 12 、相关系数:卩"|(栄器箫DY), P xY 兰 1,当且仅当X 与Y 存在线性关系时P XY r 1 当 b>o ; 二1,且 P X Y =L 1,当 b<0;o 14、切比雪夫不等式:P 彳X-E(X)|>s 0(X2,或P {j x —E(X)| O 贝努利大数定律: I m I lim P j -- p < T 0 15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律:因 c 2 22 , 所以 lim P i-Z X j - 4 <名\=1。 —0 I n i¥ (1)、当n 充分大时,独立同分布的随机变量之和 n 乙=送X i 的分布近似于正态分布 N(n 巴e 2) o i=1 20、关于正态总值均值及方差的假设检验,参见 P243 和 P248。 _ 1 n _ 1 n n U 1 n n cT ' 仃 ⑵、对于 X 1,X 2,...X n 的平均值 X =丄送 X i ,有 E(X ^-Z E(X i)=L =卩,D(X)=4S D(X i^-n ^ n y n i 吕 n n y n 分布的随机变量的 均值当n 充分大时,近似服从正态分布 N(4竺)。 n ⑶、由上可知:lim p{a cZ n 兰 b }=e (b)—①(a)= P 牯 c 乙 17、棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理: 设m 是n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数,p 是事件A 发生的概率,则对任意x , n imP {器兰 x j®x),其中 q 4p 。 19、正态总体参数的区间估计: =上,即独立同 n (1)、当n 充分大时, m 近似服从正态分布, N(np Tipq)。 (2)、当n 充分大时, -近似服从正态分布, n N(p,凹)。 n 18、参数的矩估计和似然估计: (参见P200)