最优化算法实验5-模式搜索法

五种最优化方法1. 最优化方法概述1.1最优化问题的分类1）无约束和有约束条件；2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）；3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）；4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。

1.2最优化问题的一般形式（有约束条件）：式中f(X)称为目标函数(或求它的极小，或求它的极大)，si(X)称为不等式约束，hj(X)称为等式约束。

化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。

2.牛顿法2.1简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法；3）是一种函数逼近法。

2.2 原理和步骤3. 最速下降法（梯度法）3.1最速下降法简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法；3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向；3.2 最速下降法算法原理和步骤4. 模式搜索法(步长加速法)4.1 简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。

3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。

轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。

4.2模式搜索法步骤5.评价函数法5.1 简介评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。

在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x))s.t. g(x)<=0传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。

常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。

选取其中一种线性加权求合法介绍。

5.2 线性加权求合法6. 遗传算法智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。

基于Matlab的共轭梯度算法指导老师：姓名：学号：班级：日期：基于Matlab的共轭梯度算法一、实验目的及要求(1)熟悉使用共轭梯度法求解无约束非线性规划问题的原理；(2)在掌握原理的基础上熟练运用此方法解决问题(3)学会利用计算机语言编写程序来辅助解决数学问题；(4)解决问题的同时分析问题，力求达到理论与实践的统一；(5)编写规范的实验报告.实验内容二、实验原理1.基本思想：把共轭性与最速下降方法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共轭方向，并沿这组方向进行搜索，求出目标函数的极小点。

根据共轭方向的基本性质，这种方法具有二次终止性。

在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。

其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。

2.程序流图：三、实验代码通过查阅相关资料，编写一个基于Matlab的共轭梯度算法，具体代码如下：function f=grad_2d(x0,t)%用共轭梯度法求已知函数f(x1,x2)=x1^2+2*x2^2-4*x1-2*x1*x2的极值点%已知初始点坐标：x0%已知收敛精度：t%求得已知函数的极值：fx=x0;syms xi yi a; %定义自变量，步长为符号变量f=xi^2+2*yi^2-4*yi-2*xi*yi; %创建符号表达式ffx=diff(f,xi); %求表达式f对xi的一阶求导fy=diff(f,yi); %求表达式f对yi的一阶求导fx=subs(fx,{xi,yi},x0); %代入初始点坐标计算对xi的一阶求导实值fy=subs(fy,{xi,yi},x0); %代入初始点坐标计算对yi的一阶求导实值fi=[fx,fy]; %初始点梯度向量count=0; %搜索次数初始为0while double(sqrt(fx^2+fy^2))>t %搜索精度不满足已知条件s=-fi; %第一次搜索的方向为负梯度方向if count<=0s=-fi;elses=s1;endx=x+a*s; %进行一次搜索后的点坐标f=subs(f,{xi,yi},x); %构造一元搜索的一元函数φ(a)f1=diff(f); %对函数φ(a)进行求导f1=solve(f1); %得到最佳步长aif f1~=0ai=double(f1); %强制转换数据类型为双精度数值elsebreak %若a=0，则直接跳出循环，此点即为极值点endx=subs(x,a,ai); %得到一次搜索后的点坐标值f=xi^2+2*yi^2-4*xi-2*xi*yi;fxi=diff(f,xi);fyi=diff(f,yi);fxi=subs(fxi,{xi,yi},x);fyi=subs(fyi,{xi,yi},x);fii=[fxi,fyi]; %下一点梯度向量d=(fxi^2+fyi^2)/(fx^2+fy^2);s1=-fii+d*s; %下一点搜索的方向向量count=count+1; %搜索次数加1fx=fxi;fy=fyi; %搜索后终点坐标变为下一次搜索的始点坐标endx,f=subs(f,{xi,yi},x),count %输出极值点，极小值以及搜索次数end四、实验结果在命令窗口输入：f=grad_2d([1,1],0.0000001)输出结果如下：x =4.0000 2.0000f =-8.0000count = 75f =-8.0000当在命令窗口输入如下命令时：f=grad_2d([2,1],0.0000001)x =4.0000 2.0000f =-8.0000count =22f =-8.0000当在命令窗口输入如下命令时：f=grad_2d([2,1],0.001)x = 3.9996 1.9999f =-8.0000count =12f =-8.0000由以上结果可知：（1.）初始点不同搜索次数不同（2.）无论初始点为多少，精度相同时最终结果极值点都是（4.0000,2.0000）（3.）当初始点相同时，若精度不一样搜索次数和最终结果会有差异但大致相同。

五种最优化方法 Prepared on 22 November 2020五种最优化方法1. 最优化方法概述最优化问题的分类1）无约束和有约束条件；2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）；3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）；4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。

最优化问题的一般形式（有约束条件）：式中f(X)称为目标函数(或求它的极小，或求它的极大)，si(X)称为不等式约束，hj(X)称为等式约束。

化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。

2.牛顿法简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法；3）是一种函数逼近法。

原理和步骤3. 最速下降法（梯度法）最速下降法简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法；3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向；最速下降法算法原理和步骤4. 模式搜索法(步长加速法)简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。

3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。

轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。

模式搜索法步骤5.评价函数法简介评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。

在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)). g(x)<=0传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。

常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。

选取其中一种线性加权求合法介绍。

线性加权求合法6. 遗传算法智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。

最优化方法实验报告（1）最优化方法实验报告Numerical Linear Algebra And Its Applications学生所在学院：理学院学生所在班级：计算数学10-1学生姓名：甘纯指导教师：单锐教务处2013年5月实验一实验名称：熟悉matlab基本功能实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩：一、实验目的：在本次实验中，通过亲临使用MATLAB，对该软件做一全面了解并掌握重点内容。

二、实验内容：1. 全面了解MATLAB系统2. 实验常用工具的具体操作和功能实验二实验名称：一维搜索方法的MATLAB实现实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩：一、实验目的：通过上机利用Matlab数学软件进行一维搜索，并学会对具体问题进行分析。

并且熟悉Matlab软件的实用方法，并且做到学习与使用并存，增加学习的实际动手性，不再让学习局限于书本和纸上，而是利用计算机学习来增加我们的学习兴趣。

二、实验背景：(一）0.618法（黄金分割法），它是一种基于区间收缩的极小点搜索算法，当用进退法确定搜索区间后，我们只知道极小点包含于搜索区间内，但是具体哪个点，无法得知。

1、算法原理黄金分割法的思想很直接，既然极小点包含于搜索区间内，那么可以不断的缩小搜索区间，就可以使搜索区间的端点逼近到极小点。

2、算法步骤用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下：（1）选定初始区间11[,]a b 及精度0ε>，计算试探点：11110.382*()a b a λ=+-11110.618*()a b a μ=+-。

（2）若k k b a ε-<，则停止计算。

否则当()()k k f f λμ>时转步骤（3）。

当()()k k f f λμ≤转步骤（4）。

（3）置11111110.382*()k kk k k k k k k k a b b a b a λλμμ+++++++=??=??=??=+-?转步骤（5）（4）置11111110.382*()k k k k k k k k k k a a b a b a μμλλ+++++++=??=??=??=+-?转步骤（5）（5）令1k k =+，转步骤（2）。

五种最优化方法范文最优化是一个数学领域，在解决实际问题时，通过寻找最优解的方法，使得目标函数的值最小或最大化。

在最优化问题中，有许多不同的方法可以用来求解。

以下是五种常见的最优化方法。

1.梯度下降法梯度下降法是一种基于梯度信息的迭代算法，用于求解最小化目标函数的最优解。

其基本思想是从初始点开始，根据负梯度方向进行迭代求解，直到达到预定的停止条件或收敛到最优解。

梯度下降法的优点是简单易实现，适用于大规模问题。

缺点是容易陷入局部最优或鞍点，并且收敛速度可能较慢。

2.牛顿法牛顿法是一种基于二阶导数信息的迭代算法，用于求解非线性最优化问题。

其基本思想是通过二阶泰勒展开近似目标函数，以牛顿法的更新方程进行迭代求解。

与梯度下降法相比，牛顿法收敛速度更快。

但牛顿法的缺点是需要计算目标函数的二阶导数矩阵，计算代价较大，并且需要满足一定的收敛条件。

3.拟牛顿法拟牛顿法是一种通过拟合目标函数的局部特征来逼近牛顿法的方法。

常用的拟牛顿法有DFP（Davidon-Fletcher-Powell）方法和BFGS （Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）方法。

拟牛顿法利用目标函数的一阶导数信息来近似目标函数的二阶导数矩阵，从而避免了计算二阶导数的复杂性，且收敛速度比梯度下降法更快。

拟牛顿法的缺点是需要存储和更新一个Hessian矩阵的逆或近似逆。

4.线性规划线性规划是一种最优化问题的形式，其中目标函数和约束条件都是线性的。

线性规划问题可以通过线性规划算法求解，如单纯形法、内点法等。

线性规划问题具有良好的理论基础和高效的求解方法。

线性规划在工业、供应链管理、运输问题等方面有广泛的应用。

5.整数规划整数规划是一种最优化问题的形式，其中决策变量只能取整数值。

整数规划问题可以通过整数规划算法求解，如分支定界法、割平面法等。

整数规划在许多实际情况下具有重要的应用，例如在生产计划、线路设计、货物装载等问题中。

一维搜索:1精确一维搜索精确一维搜索可以分为三类：区间收缩法、函数逼近法（插值法）、以及求根法。

区间收缩法：用某种分割技术缩小最优解所在的区间(称为搜索区间)。

包括：黄金分割法、成功失败法、斐波那契法、对分搜索法以及三点等间隔搜索法等。

优化算法通常具有局部性质，通常的迭代需要在单峰区间进行操作以保证算法收敛。

确定初始区间的方法：进退法①已知搜索起点和初始步长；②然后从起点开始以初始步长向前试探，如果函数值变大，则改变步长方向；③如果函数值下降，则维持原来的试探方向，并将步长加倍。

1.1黄金分割法：黄金分割法是一种区间收缩方法(或分割方法)，其基本思想是通过取试探点和进行函数值比较，使包含极小点的搜索区间不断缩短以逼近极小值点。

具有对称性以及保持缩减比原则。

优点：不要求函数可微，除过第一次外，每次迭代只需计算一个函数值，计算量小，程序简单；缺点：收敛速度慢；函数逼近法（插值法）：用比较简单函数的极小值点近似代替原函数的极小值点。

从几何上看是用比较简单的曲线近似代替原的曲线，用简单曲线的极小值点代替原曲线的极小点。

1.2牛顿法：将目标函数二阶泰勒展开，略去高阶项后近似的替代目标函数，然后用二次函数的极小点作为目标函数的近似极小点。

牛顿法的优点是收敛速度快，缺点是需要计算二阶导数，要求初始点选的好，否则可能不收敛。

1.2抛物线法：抛物线法的基本思想就是用二次函数抛物线来近似的代替目标函数，并以它的极小点作为目标函数的近似极小点。

在一定条件下，抛物线法是超线性收敛的。

1.3三次插值法：三次插值法是用两点处的函数值和导数值来构造差值多项式，以该曲线的极小点来逼近目标函数的极小点。

一般来说，三次插值法比抛物线法的收敛速度要快。

精确一维搜索的方法选择：1如目标函数能求二阶导数：用Newton法，收敛快。

2如目标函数能求一阶导数：1如果导数容易求出，考虑用三次插值法，收敛较快；2对分法、收敛速度慢，但可靠；3只需计算函数值的方法：1二次插值法, 收敛快，但对函数单峰依赖较强；2黄金分割法收敛速度较慢，但实用性强，可靠；4减少总体计算时间：非精确一维搜索方法更加有效。

[DFS][搜索剪枝]在很多情况下，我们已经找到了一组比较好的解。

但是计算机仍然会义无返顾地去搜索比它更“劣”的其他解，搜索到后也只能回溯。

为了避免出现这种情况，我们需要灵活地去定制回溯搜索的边界。

*例题 计算机网络连接1要将n(n<=30)台计算机连成网络，连接方法：去除首尾两台计算机与一台计算机相连以外，其他计算机只与两台计算机相连。

连接的长度则为计算机连接的电缆的长度。

求：一种连接方式，使需要电缆的长度最短。

分析 这个题目用回溯搜索来解决。

但是，由于回溯搜索的搜索量比较大，达到了n!，是不可能搜索完n=30的情况的，所以，我们考虑对它进行优化：假如目前搜索到了一组解，电缆总长度为kx ，那么，如果说以后搜索到的连接方法（不一定是最终连接方法）的连接长度>=kx ，那么这个方案的总长度一定不小于kx ，那么，就不必要搜索下去了，直接换下一个结点继续搜索。

路径A1-A2-…An 与路径An-An-1-…A1这两条路径是一个“正反”的关系，本质上是相同的，于是我们可以规定起点始的下标总是小于终点的下标假如路径的A-B-C-D 的长度<A-C-B-D 的长度，那么包含A-C-B-D 路径的路径的长度一定不是最短。

有了上述的优化，题目就可以得到很快的解决了。

在深度优先搜索的过程当中，往往有很多走不通的“死路”。

假如我们把这些“死路”排除在外，不是可以节省很多的时间吗？打一个比方，前面有一个路径，别人已经提示：“这是死路，肯定不通”，而你的程序仍然很“执着”地要继续朝这个方向走，走到头来才发现，别人的提示是正确的。

这样，浪费了很多的时间。

针对这种情况，我们可以把“死路”给标记一下不走，就可以得到更高的搜索效率。

*例题 皇后问题2分析 取n=4为例采用一般的回溯，就是每一行的每个格子放与不放都搜索一下： X XXX -> X然后回溯一次，换下一个点继续搜索。

这个算法的效率，是!),(n n n p =实际上，在放置了(1,1)这个皇后，再把皇后放置在(2,1)就是毫无意义的：前面一个皇后一定能攻击到它。