2018学年八下数学第一章-三角形的证明含答案

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB=8.1cm，BC=6cm，△BDE的周长为（）cmA.12B.14.1C.16.2D.7.052、如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，FG平分∠EFD交AB 于点G，若∠BEF＝70°，则∠AGF的度数为（）A.35°B.45°C.55°D.65°3、如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（）A.70°B.55°C.50°D.40°4、如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）A.48°B.36°C.30°D.24°5、如图，在等腰△ABC中，∠A=120°，AB=4，则△ABC的面积为（）A. B.4 C. D.6、如图，在ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于（）A.35°B.30°C.25°D.20°7、已知、，，以、、为两角和一边作三角形，则可以作出（）不同的三角形（彼此全等的只能算一种）A.一种B.二种C.三种D.无数种8、在等腰△ABC中，AB=AC=9，BC=6，DE是AC的垂直平分线，交AB、AC于点D、E，则△BDC的周长是（）A.6B.9C.12D.159、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A.BD平分∠ABCB.△BCD的周长等于AB＋BCC.AD=BD=BCD.点D是线段AC的中点10、一个等腰三角形的顶角是120°，底边上的高是1cm，那么它的周长是（）A.（2 ）cmB.2（2 ）cmC. cmD.2cm11、在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A.25°B.25°或40°C.30°或40°D.50°12、如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（）A.20°B.25°C.40°D.50°13、如图，AB为的直径，P为BA延长线上的一点，D在上（不与点A，点B重合），连结PD交于点C，且PC=OB.设，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则 D.若，则14、下列说法不正确的是（）.A.关于某条直线对称的两个三角形一定全等.B.到线段两端点距离相等的点有无数个.C.等腰三角形的中线、高、角平分线三线合一.D.轴对称图形的对称轴是对称点所连线段的垂直平分线.15、在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A.1cm＜AB＜4cmB.5cm＜AB＜10cmC.4cm＜AB＜8cmD.4cm＜AB＜10cm二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是________．17、如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为4，则弦AB的长为________．18、如图，反比例函数y= 的图象上，点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角△ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP，在点A运动过程中，当BP平分∠ABC 时，点A的坐标为________．19、如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交，于点D，E.若，的周长为13，则的周长为________.20、如图，DE是三角形ABC的边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE 平分∠BAC，若∠B=30度，则∠C=________度．21、等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为________22、如图，在中，，平分，已知，，则的面积是________．23、已知的三边长，，，，，都是整数，且，的最大公约数为.点和点分别为的重心和内心，且.则的周长为________.24、如图，菱形ABCD的周长为12cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD的长是________cm．25、如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD=________时，四边形MENF是正方形．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.27、如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的长．28、如图，已知E是∠AOB的平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．求证：OE垂直平分CD．29、如图，在△ABC中，∠A=90 ，BD是角平分线，DE⊥BC于点E,若AD=3，BC=4，求△BDC的面积．30、已知：OB是∠AOC的角平分线，OC是∠AOD的角平分线，∠COD＝40°．分别求∠AOD和∠BOC的度数．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、D4、A5、C6、D7、B8、D9、D10、B11、B12、C13、C14、C15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、29、30、。

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上，若BD=CE，CD=BF，则∠EDF（）A. 90°-∠AB. 90°-∠AC. 180°-∠AD. 180°-2∠A2、若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A.65°或50°B.50°或80°C.50°D.80°3、如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.12cm或15cm4、方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A.12B.15C.12或15D.不能确定5、如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，△AOB是等边三角形，AB＝2，则点A的坐标为( )A.（2，）B.（1，2）C.（1，）D.（，1）6、已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是（）A.18cmB.21cmC.18cm或21cmD.无法确定7、如图，在中，，依据尺规作图的痕迹，计算的度数是（）A.67°29′B.67°9′C.66°29′D.66°9′8、如图，在△ABC中，AB=AC，BC=5cm，作AB的中垂线DE交另一腰AC于E，连接BE，如果△BCE的周长是17cm，则腰长为（）A.12cmB.6cmC.7cmD.5cm9、如图所示，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD=1，则a等于（）A. B. C.1 D.210、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于D 点，则∠DBC的度数是（）A.15°B.20°C.25°D.30°11、如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB外角的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG．其中正确的有（）A.①②④B.①②③C.①②④⑤D.①②③⑤12、如图，平面直角坐标系中，已知定点A（1，0）和B（0，1），若动点C在x轴上运动，则使△ABC为等腰三角形的点C有（）个．A.5B.4C.3D.213、如图，在中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点；同理作直线交于点，若，则的长为（）A.1B.C.3D.14、如图，中，，，点是的中点，过点作交于点，连接．则的度数为( )A.30°B.80°C.90°D.110°15、如图所示，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中A、B为两格点，请在图中再寻找另一格点C，使△ABC成为等腰三角形．则满足条件的C点的个数为（）A.10个B.8个C.6个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，若CD＝1，则BD＝________．17、如图，在△ 中，，点在上，，，，垂足分别为，，且，则的长为________.18、如图，长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，当是等腰三角形时，的长为________.19、如图,△ABC中,∠C=90°,D是BC上一点,∠1=∠2,CB=10,BD=6,则D到AB 的距离为________.20、己知，如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=24°，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写作法，但需保留作图痕迹），直线________ 即为所求．21、如图, 利用四边形的不稳定性改变矩形ABCD的形状，得到A1BCD1,若A 1BCD1的面积是矩形ABCD面积的一半,则∠A1BC的度数是________.22、如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，DE⊥AC于点E，F为BC 上一点，若DF=AD，△ACD与△CDF的面积分别为10和4，则△AED的面积为________。

北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明（含答案）一、选择题1.由线段a,b,c 组成的三角形,不是直角三角形的是( )A.a=3,b=4,c=5B.a=1,b=43,c=53 C.a=9,b=12,c=15 D.a=√3,b=2,c=√5 答案 D D 中,a 2+b 2=7,c 2=5,a 2+b 2≠c 2,故选D.2.下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是( )A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等C.一条边对应相等D.两条直角边对应相等答案 D 当两直角边对应相等时,再由直角相等,根据SAS 可以判定两直角三角形全等.3.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的( )A.三个内角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点答案 B 到三角形三个顶点距离相等的点在三角形三边的垂直平分线上.4.用反证法证明:“三角形中必有一个内角不小于60°”时,应当先假设这个三角形中( )A.有一个内角小于60°B.每一个内角小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角大于60°答案B反证法第一步是提出与结论相反的假设.5.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为()图1-5-1A.√6B.4C.2√3D.5答案B∵AD⊥BC,∠ABC=45°,∴∠BAD=90°-∠ABC=45°=∠ABC,∴BD=AD,又∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADB=∠ADC=90°,∠BEC=90°.∴∠C+∠CAD=90°,∠C+∠CBE=90°,∴∠CAD=∠CBE,∴△ADC≌△BDH.∴BH=AC=4.6.已知等腰直角三角形ABC,斜边AB的长为2,以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则点C的坐标是()A.(0,1)B.(0,-1)C.(0,1)或(0,-1)D.(1,0)或(-1,0)答案C∵OC⊥AB,∠CAB=45°,∴∠ACO=45°.AB=1,∴C(0,1)或(0,-1).∴CO=AO=127.下列命题中的假命题是()A.等腰三角形的顶角一定是锐角B.等腰三角形的底角一定是锐角C.等腰三角形至少有两个角相等D.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合答案A等腰三角形的顶角可以是锐角,也可以是直角或钝角.8.如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,下列结论错误的是()A.∠C=2∠AB.BD=BCC.△ABD是等腰三角形D.点D为线段AC的中点答案D∵A=36°,AB=AC,∴∠C=∠ABC=72°.∴∠C=2×36°=2∠A,A选项正确.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°.∴∠A=∠ABD=36°,∴△ABD是等腰三角形,C选项正确.又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C,∴BD=BC,B选项正确,只有D选项结论错误.9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,BC=10,过A作DE∥BC交∠ABC的平分线BE于点E、交∠ACB的平分线CD于点D,则DE为()A.18B.16C.14D.8答案C在Rt△ABC中,AC=6,BC=10,由勾股定理得AB=8,∵DE∥BC,∴∠D=∠DCB,∠E=∠EBC,∵CD平分∠ACB,BE平分∠ABC,∴∠ACD=∠DCB,∠ABE=∠EBC,∴∠D=∠ACD,∠E=∠ABE,∴AD=AC=6,AE=AB=8,∴DE=6+ 8=14,故选C.10.如图,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS,下面结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是()图1-5-4A.①②B.②③C.①③D.①②③答案A∵PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,∴∠BAP=∠CAP.又∵AQ=PQ,∴∠CAP=∠APQ.∴∠BAP=∠APQ.∴QP∥AR.在Rt△APR和Rt△APS中,{AP=AP,PR=PS,∴Rt△APR≌Rt△APS.∴AS=AR.故①②均正确.由已知条件不能得到△BRP≌△CSP.故选A.二、填空题11.等腰三角形两腰上的中线相等,这个命题的逆命题是,这个逆命题是命题.答案两边上的中线相等的三角形是等腰三角形;真12.等腰三角形的两边长分别是7和3,则它的周长是.答案17解析当7为腰长时,周长为7+7+3=17.当3为腰长时,∵3+3=6<7,∴不能构成三角形,故答案为17.13.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则△ABC是三角形.答案等边解析∵(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b,b=c,c=a,∴a=b=c.∴△ABC 是等边三角形.14.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D.若BD∶DC=2∶1,BC=7.8cm,则D到AB 的距离为cm.答案 2.6解析∵AD平分∠BAC且∠C=90°,∴点D到AB的距离等于CD的长.∵BD∶DC=2∶1,BC=7.8×7.8=2.6 cm.故答案为2.6.cm,∴CD=1315.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线MN交AB于点E,交AC于点D,且AC=16,△BCD的周长等于26,则BC的长为.答案10解析∵MN垂直平分AB,∴AD=BD.∴△BCD的周长=BD+DC+BC=AC+BC.∴16+BC=26.∴BC=10.16.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为.答案1+√3解析∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°.又∵∠A=45°,∠B=30°,∴∠ACD=∠A=45°,BC=2CD=2.∴AD=CD=1,BD=√BC2-CD2=√22-12=√3.∴AB=AD+DB=1+√3.17.如图,D是线段AB、BC的垂直平分线的交点,若∠ABC=60°,则∠ADC=.答案120°解析连接BD并延长.∵D是线段AB、BC的垂直平分线的交点,∴AD=BD=CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1+∠2+∠3+∠4=2∠ABC=120°.又∵∠5=∠1+∠2,∠6=∠3+∠4,∴∠ADC=∠5+∠6=120°.18.如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,若点P 在边AC 上移动,则BP 的最小值是 .答案245解析 过点A 作AE ⊥BC 于点E,因为AB=AC=5,所以BE=CE=12BC=3,所以AE=√AB 2-BE 2=√52-32=4,所以S △ABC =12BC ·AE=12.易知BP 的最小值是S △ABC 12AC =245. 三、解答题19.如图,在Rt △ABC 中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC 折叠,使A 点与BC 的中点D 重合,折痕为MN,求BN 的长.答案 设BN=x,由题意可得DN=AN=9-x.∵D 是BC 的中点,∴BD=3.在Rt △NBD 中,x 2+32=(9-x)2,解得x=4,即BN=4.20.如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 、CE 三等分∠ACB,CD ⊥AB.求证:(1)AB=2BC;(2)CE=AE=BE.证明 (1)∵∠ACB=90°,CD 、CE 三等分∠ACB,∴∠1=∠2=∠3=30°,∴∠1+∠2=60°,∴∠A=30°.在Rt△ACB中,∵∠A=30°,∴AB=2BC.(2)由(1)知∠A=∠1=30°,∴CE=AE.又∵∠B=∠BCE=60°,∴△BCE为等边三角形,∴CE=BE.∴CE=AE=BE.21.如图,在△ABC中,AB=8,AC=4,G为BC的中点,DG⊥BC交∠BAC的平分线AD于D,DE⊥AB 于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.(1)求证:BE=CF;(2)求AE的长.答案(1)证明:连接DB、DC,易知△BDE与△CDF均为直角三角形.∵DG垂直平分BC,∴DB=DC.∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AF,∴DE=DF(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL),∴BE=CF.(2)∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,又∠DAE=∠DAF,AD=AD,∴△ADE≌△ADF.∴AE=AF=AC+CF.由(1)知BE=CF,∴AE=AC+BE=4+BE.∴AE=4+8-AE.∴AE=6.22.如图所示,△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动,它们的速度分别为v P=2 cm/s,v Q=1 cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t s.(1)当t为何值时,△PBQ为等边三角形?(2)当t为何值时,△PBQ为直角三角形?答案由题意可知AP=2t cm,BQ=t cm(0≤t≤3),则BP=AB-AP=(6-2t)cm.(1)若△PBQ为等边三角形,已知∠B=60°,需BP=BQ,即6-2t=t,解得t=2,即当t=2时,△PBQ 为等边三角形.(2)当PQ⊥BQ时,∵∠B=60°,∴∠BPQ=30°,∴BP=2BQ,即6-2t=2t,解得t=1.5;当PQ⊥BP时,同理可得BQ=2BP,即t=2(6-2t),解得t=2.4.综上可知,当t为1.5或2.4时,△PBQ为直角三角形.。

第一章 三角形的证明1 等腰三角形专题1 等腰三角形和等边三角形1. A 已知：如图，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使CE =CD ．求证：BD =DE .2. B 如图，等边三角形ABC 内有一点P ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PD ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，D ，且AH ⊥BC 于H ，试用三角形面积公式证明：PE +PF +PD =AH .3. B 如图所示，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，且BD =AE ，AD 与CE 交于点F ，求证：△ABD ≌△CAEBB4. A △ABC 中，∠B =∠C ，求证：AB =AC5. B 如图，AD 和BC 交于点O ，AB ∥DC ，OA =OB ，试说明△OCD 是等腰三角形.B6. B 如图，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD =3cm ，则CD 等于( )A ．3cmB ．4cmC ．1.5cmD ．2cm7. B 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB 于E ，下述结论错误的是( )A ．BD 平分∠ABCB ．△BCD 的周长等于AB +BCC ．AD =BD =BCD ．点D 是线段AC 的中点8. A 下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③D ．①②③④9. B 如图，等边△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上两点，下列结论：①若AD =AE ，则△ADE 是等边三角形；②若DE ∥BC ，则△ADE 是等边三角形，其中正确的有( )A ．①B ．②C ．①②D ．都不对OBB10. B 如图，D ，E ，F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD =BE =CF ，求证：△DEF 是等边三角形.11. B 如图，D 为等边三角形ABC 内一点，将△BDC 绕着点C 旋转成△AEC ，则△CDE 是怎样的三角形？请说明理由.B1. A 如图，已知BD=CE，AD=AE，求证：∠B=∠C．2. A 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE．3. B 如图所示，△ABC是等腰直角三角板，过A点作AE⊥EF，过B点作BF⊥EF．请证明：∠EAC=∠BCF，EF=AE+BF．4. A 如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．1. B 两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由.2. C 如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（）个.A. 3B. 5C. 8D. 103. B 如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于点D，则DE的长为.4. C 如图，△ABC中，∠ABC=46º，D是BC边上一点，DC=AB，∠DAB=21º，试确定∠CAD的度数.5. C 一个三角形可被剖分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36º，求原三角形最大内角的所有可能值.专题2 重要的30°1. A 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =12∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =12DB ．2. B 如图，在一场足球比赛中，球员A 欲传球给同伴B ，对方球员C 意图抢断传球，已知球速为16m/s ，球员速度为8m/s.当球由A 传出的同时，球员C 选择与AC 垂直的方向出击，恰好在点D 处将球成功抢断，则角α=．(球员反应速度、天气等其他因素均不予考虑)1. A 如图，△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ． 求证：BD =2CD ．CB2. A 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AC=2，求AB的长．1. B 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为，ME的长为.专题3 反证法1. A 求证：一个三角形中至多有一个钝角．2. B 用反证法证明：若a ，b 是正整数，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除．1. C 已知：在同一平面内，直线m ⊥l ，直线n 与l 相交但不垂直，求证：直线m 、n 相交．1. C 设x ，y等腰三角形习题课1. B 已知如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠A =∠C ，求证：AD =CD ．C B2. C 如图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点(M 与A 不重合)MD ⊥BC ，交∠BAC 的平分线于点D ，求证：MD =MA ．3. C 如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB =15°，为了使钢架更加坚固，需要其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ，···，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根．4. B 如图，△ABC 为等边三角形，∠BAD = ∠CBE =∠ACF ．(1)求∠EDF 的度数；(2)求证：△DEF 为等边三角形．BOB5. B 已知，△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，请证明：AB =2BC .6. B 已知△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是各边上的一点.(1)若AD =BE =CF ．试证明△DEF 是等边三角形．(2)若△DEF 是等边三角形，那么AD =BE =CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明原因.7. B 如图，等边△ABC 与等边△DEC 共顶点于C 点．求证：AE =BD ．BB8. C 如图，△ABC 中，∠C =90°，∠B =15°，AB 的垂直平分线与BC 交于点D ，交AB 于E ，DB =8，求AC 的长．9. C 如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB =105°，∠BOC =α．以OC 为边作等边△OCD ，连接AD ．(1)请证明：OB =AD ．(2)△AOD 能否成为等边三角形？如能，请求出α的值；如不能，请说明理由．DBB10. C 等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则该等腰三角形的面积是.2 直角三角形专题1 直角三角形1. A 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？2. B 如图，∠ACB =90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？变式1：若∠ACD=∠B，∠ACB=90°，则CD是△ACB的高吗？为什么？变式2：若∠ACD=∠B，CD⊥AB，则△ACB为________三角形．变式3：如图，若∠C=90°，∠AED=∠B，则△ADE是___________三角形．3. A 判断正误：这样描述勾股定理的逆定理正确吗？如果一个三角形斜边的平方等于直角边的平方和，那么这个三角形为直角三角形．4. A 分别以下列四组数为一个三角形的边长(1)1，2，3；(2)3，4，5；(3)5，12，13；(4)6，8，10．其中能组成直角三角形的有()A．4组B．3组C．2组D．1组5. B 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是()A．CD、EF、GH B．AB、EF、GHC．AB、CF、EF D．GH、AB、CD6. A 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，则下列说法中错误的是( )．A ．如果∠C -∠B =∠A ，那么△ABC 是直角三角形，∠C =90°B ．如果a ：b ：c =3：4：5，则∠B =60°，∠A =30°C ．如果∠A ：∠B ：∠C =5：2：3，那么△ABC 是直角三角形D ．如果c 2-a 2=b 2，那么△ABC 是直角三角形7. B 如图所示，四边形ABCD 中，AB =3cm ，AD =4cm ，BC =13cm ，CD =12cm ，∠A =90°，求四边形ABCD 的面积．1. B 若两个三角形的两边和其中一边上的高对应相等，则这两个三角形第三边所对的角的关系是_______．2. C 【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL ”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】(1)第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．如图1，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E =90°，根据__________，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．B(2)第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．如图2，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．(3)第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．①在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．(不写作法，保留作图痕迹)②∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC ≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若_________，则△ABC≌△DEF．3. C 下列4个判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例.(1)有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；(2)有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；(3)三角形6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等；(4)有一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等.专题2 逆命题和逆定理1. A 指出下列命题的题设和结论，并说出它的逆命题. 等边三角形的每个角都等于60°．2. A 指出下列命题的题设和结论，并说出它的逆命题.如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.3. A 在你学过的定理中，有哪些定理有逆定理？试举出几个例子说明.线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.4. A 在你学过的定理中，有哪些定理有逆定理？试举出几个例子说明. 1.同旁内角互补，两直线平行；2.有两个角相等的三角形是等腰三角形；3.到一个角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上.专题3 斜边、直角边判定定理1. A 已知：如图，△ABC 中，AB =AC ，过点A 作BC 边上的高AD ，求证：△ABD ≌△ACD ．2. A 已知：如图，点E 、F 在线段BD 上，AF ⊥BD ，CE ⊥BD ，AD =CB ，DE =BF ，求证：AF =CE .3. A 已知：如图，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，要使△ABD ≌△ACD ，若根据“HL”判定，还需要加条件___________________，若加条件∠BAD =∠CAD ，则可用________________判定.CA4. A 如图，△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，由点D 分别向AB 、AC 两边引垂线，并与AB 、AC 交于E 、F 两点，且BE =CF ，请判断AD 是否为∠BAC 的角平分线，并证明.3 线段的垂直平分线1. A 如图，点D 是△ABC 内一点，且AB =AC ，DB =CD ，求证：线段AD 在线段BC 的垂直平分线上.B2. B 求证：三角形的三条垂直平分线交于一点.3. A 如图，已知线段AB ，分别以点A 、点B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于点C 和点D ，作直线CD ，在CD 上取两点P 、M ，连接P A 、PB 、MA 、MB ，则下列结论一定正确的是( )A. P A =MAB. MA=PEC. PE =BED. P A =PB4. A 如图所示，A 、B 为2个村庄，现在政府想在河道l 上建一个供水站点C ，请你设计一个方案，使供水站到两村庄的距离相等，不写画法，但要保留作图痕迹 .B1. A 如图，AC=AD，BC=BD，则有()A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB2. A 如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．(1)若∠A=40°，求∠BCD的度数；(2)若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．3. C 小傲做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．(1)小德同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？(2)设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．4. B △ABC 中，边AB 、AC 的垂直平分线交于点P ，求证：点P 也在BC 的垂直平分线上.5. C △ABC 中，D 为BC 中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线于点E ，EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AC 于G ．求证：BF =CG ．6. C 如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )A ．在AC ，BC 两边高线的交点处B ．在AC ，BC 两边中线的交点处C ．在AC ，BC 两边垂直平分线的交点处D ．在∠A ，∠B 两内角平分线的交点处BB1. C 在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E.(1)依题意补全图1；(2)若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；(3)如图2，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB、CE、ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.2. B 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC =90°，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE//AC交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．3. B 已知，如图△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．求证：∠EAF=∠ABD．4. C 已知△ABC内一点M满足∠BMC=100︒，线段BM的中垂线交边AB于点P，线段CM的中垂线交边AC于点Q，∠A=20︒，求证：P、M、Q三点共线．4 角平分线专题1 角平分线的性质和判定1. A 如图，在△ABC 中，D 为△ABC 边BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DE =DF ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是( )A ．AD 平分∠BACB ．ME ＝MFC ．AE ＝AFD ．BD ＝DC2. A 如图，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 交于点D ，且BD =CD ．求证：AD 平分∠BAC ．3. A 如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 中点，且AE 平分∠DAB ．求证：BE 平分∠ABC ．BA4. A 已知：△ABC 中，PB 、PC 分别平分∠ABC 和∠ACB ．求证：AP 平分∠BAC ．5. A 如图所示，BD 平分∠ABC ，AB =BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，M 、N 为垂足.求证：PM =PN .6. A 已知，在四边形ABCD 中对角线AC 平分∠DAB ，且∠DAB =120°，∠B 和∠D 互补.求证：AB +AD =AC ．B1. B (1)如图，△ABC 中，PB 、PC 分别平分∠ABC 、∠ACB ，求证：点P 在∠A 的角平分线上．(2)求证：三角形两外角平分线所在直线的交点，在第三个角内角平分线所在直线上．2. B 如图，已知△ABC 的周长是21，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD =4，△ABC 的面积是多少？BB3. A 如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是()A．P A=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP4. A 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．5. A 如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．(1)求证：∠3=∠B；(2)连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．6. B 如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．1. C 在△ABC中，如图，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等腰三角形ABD和ACE，AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠CAE，CD与BE相交于点O.(1)求证：BE=CD；(2)若设∠BAD=α，∠AOE=β，则用α表示β为，并证明你的结论.专题2 角平分线的模型1. A 如图，在△ABC中，(1)PB、PC分别是△ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2；(2)PB、P A为平分线，证明PC也是平分线；(3)PC、P A为平分线，证明PB也是平分线.2. B △ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，连接AP、CP，若∠BPC=40°，求∠CAP的度数．3. B 如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PB、P A交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC=180°；③若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN=AC；④∠BAC=2∠BPC .其中正确的是( )A.只有①②③B.只有①③④C.只有②③④D.只有①③4. B 已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC. 求证：BC=AB＋CD.5. B 已知：如图，四边形ABCD中，∠B+ ∠D =180°，AC平分∠BAD.求证：BC=CD.6. B 在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于E ，求证：BE =1()2AC AB .7. B 已知，如图1，△ABC 中，AB =AC ，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，过O 点作EF ∥BC 交AB 、AC 于点E 、F .①图中有几个等腰三角形，请说明EF 与BE 、CF 间有怎样的关系？②若AB ≠AC ，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们，另第①问中EF 与BE 、CF 的关系还存在吗？③若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F，如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？8. B 如图，正方形ABCD中，F为BC的中点，E为AB上的一点，且DF平分∠CDE，求证：DE=BC+EB .1. B 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB =60°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于点E，则∠AEB=_______．2. C 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，求证：BD+BC=AD．3. C 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于点E，AE=12BD，求证：BD是∠ABC的平分线．三角形综合习题课1. A 如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是()A．BD=DC，AB=ACB．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CADD．∠B=∠C，BD=DC2. A 如图，已知点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AB =DE ，BC =EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一个条件是( )A ．∠BCA =∠FB ．∠B =∠EC ．BC ∥EFD ．∠A =∠EDF3. A 如图，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 交于点D ，且AD 平分∠BAC ，则下列结论中不正确的是( )A ．△ADF ≌△ADEB ．△BDF ≌△CDEC ．△ABD ≌△ACDD ．BD =AD4. A 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，BE ⊥CE 于点E ．AD ⊥CE 于点D ．求证：△BEC ≌△CDA ．AA1. B 如图，在四边形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点F 是CD 的中点，且AE ⊥BC ，AF ⊥CD .(1)求证：AB =AD ；(2)请你探究∠EAF ，∠BAE ，∠DAF 之间有什么数量关系？并证明你的结论.2. B 两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题，试验与论证：设旋转角∠A 1A 0B 1=α(α<∠A 1A 0A 2)，3θ、4θ、5θ、6θ所表示的角如图所示.(1)用含α的式子表示角的度数：3θ= ，4θ= ，5θ= ，6θ= ；(2)连接A 0H 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想：设正n 边形A 0A 1A 2…A n －1与正n 边形A 0B 1B 2…B n －1重合(其中A 1与B 1重合)，现将正多边形A 0B 1B 2…B n －1绕顶点A 0逆时针旋转α(0°<α<180n︒)； (3)设n θ与上述“3θ、4θ… ”的意义一样，请直接写出n θ的度数； (4)试猜想在正n 边形的情形下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段相应的顶点字母表示出来(不要求证明)；若不存在，请说明理由.3. B 如图△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a，AC=b，求AE，BE的长.4. B C是线段AB的中点，在CE上取两点D、E.(1)若AD = BE，求证：∠ADC=∠E；(2)若∠ADC=∠E，求证：AD = BE.A已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC 于F，求证：AF=EF.已知：如图，在△ABC中，AC≠AB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE 于点F，DF=AC.求证：AE平分∠BAC.5. B 在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.1. C 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，点D 为AB 左侧的一个动点，点E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC ．(1)求证：∠ABD =∠ACD ；(2)求证：AD 平分∠CDE ；(3)若在D 点运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？2. C 如图，已知AB =CD =AE =BC +DE =2，∠ABC =∠AED =90°，求五边形ABCDE 的面积．3. B 如图，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．4. C 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ． 求证：BE CF EF +>．5. C 如图，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．6. B 如图，ABC ∆中，2C B ∠=∠，AD BC ⊥．求证AC BD DC =-．7. C 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为( )A ．aB ．kC ．2k h D ．h8. C 如图，已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ． 求证：AE =BC +CE ．9. C 如图，求出图中∠DCA 的角度.期中期末串讲—三角形的证明1. B 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，若AD，AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有( )A．3个B．4个C．5个D．6个2. A 下列条件中，不能得到等边三角形的是( )A．有两个内角是60°的三角形B．有两边相等且是轴对称图形的三角形C．三边都相等的三角形D．有一个角是60°且是轴对称图形的三角形3. B 如图，在纸片△ABC中，AC=6，∠A=30º，∠C=90º，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，求折痕DE的长．4. B 已知：△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P．求证：点P也落在∠A的平分线上．5. A 平面直角坐标系中，A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)．(1)求出△ABC的面积．(2)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B2C3．(3)写出点A1，B2，C3的坐标．6. B 已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等．如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．7. A 根据下列已知条件, 不能唯一确定△ABC的大小和形状的是( )A．AB=3，BC= 4，AC=5B．AB= 4，BC=3，∠A=30ºC．∠A=60º，∠B= 45º，AB= 4D．∠C=90º，AB=6，AC=58. A 如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD=BC．参考答案第一章三角形的证明1 等腰三角形专题1 等腰三角形和等边三角形1.证明：∵D是等边三角形ABC的AC边上的中点，∴BD平分∠ABC(等腰三角形三线合一)，∴∠CBD=12∠ABC=30°，又∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，又∵∠BCD=∠CDE+∠E=2∠E，∴∠E=30°=∠CBD，∴BD=DE(等角对等边).2.证明：如图，连接P A，PB，PC，则S△ABC= S△P AB+S△PBC+S△P AC，∴S△ABC=S△P AB+S△PBC+S△P AC=12PE×AB+12PD×BC+12PF×AC，又∵AB=BC=AC，∴S△ABC=12(PE+PF+PD)×BC，又∵S△ABC=12AH×BC，∴PE+PF+PD=AH.3.证明：在△ABD和△CAE中，∵,,,DBA EA BD AEBA ACC ⎧⎪==∠=⎨∠⎪⎩∴△ABD ≌△CAE (SAS).4.证明：方法一：如图，作△ABC 中BC 边上的高线，垂足为D ， 在Rt △ADB 和Rt △ADC 中，∵,,,B C ADB AD AD AD C =⎧⎪⎨⎪=∠∠∠=⎩∠∴Rt △ADB ≌Rt △ADC (AAS)∴AB =AC ．方法二：如图，作△ABC 中∠BAC 的角平分线AD ，在△ADB 和△ADC 中，∵,,,AD A BAD CAD B D C ∠∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△ADC (AAS)，∴AB =AC ．方法三：将△ABC 视为△ABC 和△ACB 两个三角形，在△ABC 和△ACB 中，∵,,,BC B C C B CB ∠∠∠=⎧∠==⎪⎨⎪⎩∴△ABC ≌△ACB (ASA)，∴AB =AC ．5.证明：∵OA =OB ，∴∠A =∠B ，又∵AB ∥DC ，∴∠C =∠B ，∠D =∠A ，∴∠C =∠D ，∴OC =OD ，∴△OCD 是等腰三角形.6. A ．7. D ．8. D ．9. C ．10.证明：∵△ABC 是等边三角形，且AD =BE =CF ，∴AF =BD =CE ，在△ADF 、△BED 和△CFE 中，∵,,AD BE CF C AF BD B E A C ==∠∠∠=⎧==⎪=⎪⎨⎩，∴△ADF ≌△BED ≌△CFE (SAS)，∴DF =ED =FE ，∴△DEF 是等边三角形.11.△CDE 是等边三角形证明：∵△AEC 由△BDC 绕着点C 旋转而成， ∴△AEC ≌△BDC ，∴CD =CE ，∴△CDE 是等腰三角形，又∵∠BCD =∠ACE ，∴∠BCD +∠ACD =∠ACE +∠ACD ，即∠ACB =∠ECD ，∴∠ECD =60°，∴△CDE 是等边三角形.1.证明:∵AD =AE∴∠ADE =∠AED∴∠ADB =∠AEC∴△ABD 和△ACE 中，BD =CE ，∠ADB =∠AEC ，AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）∴∠B =∠C2.证明：∵AB=AC, ∠A=60°，∵△ABC为等边三角形，∵BD是中线，∵∵CBD=∵ABD=30°，∵CE=CD，∵∵E=∵CDE=12∵BCD，∵∵BCD=60°，∵∵E=30°，∵∵E=∵CBD，∵DB=DE．3.证明：∵∵EAC+∵ECA=90°，∵BCF+∵ECA=90°，∵∵ECA=∵BCF，∵△AEC和△CFB中，∵EAC=∵FCB，∵AEC=∵CFB=90°，AC=CB，∵△AEC∵△CFB（AAS），∵AE=CF，∵BF=CE，∵EF=AE+BF.4.证明：∵∵ABC为等边三角形，∵∵BAC=∵BCA =∵B =60°，AB=AC，∵CE平分∠ACD，∵∵ACE=∵ECD =60°，∵∵ABD和∵ACE中，AB=AC，∵B =∵ACE =60°，BD=CE，∵∵ABD∵∵ACE（SAS），∵AD=AE，∵BAD=∵CAE，∵∵BAC=∵DAE=60°，∵∵ADE为等边三角形.1.等腰直角三角形.证明：连接MA，∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，∴∠DAB=90°∵△EDA≌△CAB，∴DA=AB，ED=CA.∴△DAB是等腰直角三角形，∴∠MDA=∠MBA=45°又∵M为BD的中点，∴∠DAM=∠MAB=45°，AM⊥BD.∴△DAM与△MAB是等腰直角三角形.∴AM=MD=MB=12 BD.∴∠MDE=∠MAC=105°.∵DE=AC，∠MDE=∠MAC，MD=AM，∴△MDE≌△MAC.∴∠DME=∠AMC，ME=MC，又∵∠DMA=90°，∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°.∴△EMC是等腰直角三角形.2. C.3.1.5.4.67°.5.原三角形最大内角可能是72°，90°，108°，126°，132°.专题2 重要的30°1.证明：∵∠BAD=12∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC=DE(垂直平分线上的点到角两边的距离相等)，∴在△ADE和△BDE中，。

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD=3，DE=5，则线段EC的长为（）A.3B.4C.2D.2.52、在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，∠B的度数为（）A.20°或70°B.30°或60°C.25°或65°D.35°或65°3、下列命题中错误的有（）个（ 1 ）等腰三角形的两个底角相等（2）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（3）对角线相等的四边形为矩形（4）圆的切线垂直于半径（5）平分弦的直径垂直于弦A.1B.2C.3D.44、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（）A.55°B.40°C.35°D.20°5、如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6、如图，在中，，，点E在BC的延长线上，的平分线BD与的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是( )A. B. C. D.AC=AB7、如图，点O是△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D 点，OE∥AC交BC于E点，若BC=20cm，则△ODE的周长为（）A.16cmB.18cmC.20cmD.22cm8、等腰三角形一个为50°，则其余两角度数是（）A.50°，80°B.65°，65°C.50°，80°或65°，65° D.无法确定9、如图，在中，，则的度数为（）A. B. C. D.10、下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A.1个B.2个C.3个D.4个11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=2，MC=6，动点P在AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是（）A.2B.8C.2D.1012、等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是( )A.9cmB.12 cmC.12 cm或15 cmD.15 cm13、如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED=10，则FG的长为( )A. B. C.8 D.914、已知一个等腰三角形的两边长是3cm和7cm，则它的周长为A.13 cmB.17cmC.13cm或17cmD.10cm或13cm15、△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为（）A.50°B.60°C.150°D.50°或130°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知E是正方形ABCD的边AB上一点，点A关于DE的对称点为F，若正方形ABCD的边长为1，且∠BFC＝90°，则AE的长为________17、如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，N是斜边AB上方一点，连接BN，点D是BC的中点，DM垂直平分BN，交AB于点E，连接DN，交AB于点F，当△ANF为直角三角形时，线段AE的长为________．18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且∠ADC=30°，BD=18cm，则AC的长度是________cm.19、如图，于，于，且.若，，则的大小为________度.20、如图，在中，点在上，，点在的延长线上，，连接，则的度数为________ ．21、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．若∠B=30°，CD=1，则BD的长为________．22、如图，等腰△ABC的周长为27cm，底边BC=7cm，AB的垂直平分线DE交AB 于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为________cm ．cm23、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O恰好是AC的中点，则CD的长为________．24、如图， AB的垂直平分线MN交AB于点M，交AC于点D，若∠A=38°，则∠BDM=________度.25、如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有________处。

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，菱形的边的垂直平分线交于点，交于点，连接．当时，则（）A.15°B.30°C.40°D.50°2、如下图，PQ为Rt△MPN斜边上的高，∠M=45°，则图中等腰三角形的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个3、已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它周长是（）A. B. C. D. 或4、如图，△ABC中，AB=AC，BD=CE，CD=BF，若∠A=50°，则∠EDF=（）A.80°B.65°C.50°D.20°5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，连接CE交AD于点H，则图中的等腰三角形有（）A.5个B.4个C.3个D.2个6、已知等腰三角形的一个外角等于100，则它的顶角是（）.A.80°B.20°C.80°或20°D.不能确定7、如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF 的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则=（）A. B. C. D.8、如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（）A.∠1=2∠2B.3∠1﹣∠2=180° C.∠1+3∠2=180° D.2∠1+∠2=180°9、在等腰三角形ABC中，∠A=80°.则∠B的度数不可能为（）A.20°B.40°C.50°D.80°10、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，E在BC的延长线上，连接AE，∠E=2∠CAD，下列结论：①AD⊥BC；②∠E=∠BAC；③CE=2CD；④AE=BE．其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个11、已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为（）A.7B.9C.9或12D.1212、等腰三角形一边长是3cm,另一边长是8cm,则等腰三角形的周长是（）A.14cm或19cmB.19cmC.13cmD.以上都不对13、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD等于（）A.18°B.36°C.54°D.64°14、“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（0，6），动点C在直线y=x上，若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）A.2B.3C.4D.52、如图，在中，垂直平分，与交于点下列结论正确的是（）A. B. C. D.3、如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm．若点P在直线MN上，则PA-PB的最大值为（）A.12cmB.8cmC.6cmD.2cm4、已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是( )A.80°B.20°C.80°或20°D.不能确定5、已知下列命题：①若＞1，则a＞b；②若a+b=0，则|a|=|b|；③等边三角形的三个内角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个6、如图，矩形中，E是的中点，且，当时，等于（）A. B. C. D.7、如图所示,各边相等的五边形ABCDE中,若∠ABC=2∠DBE,则∠ABC等于( )A.60°B.120°C.90°D.45°8、到三角形三个顶点距离相等的点是（）A.三条边的垂直平分线的交点B.三条高线的交点C.三条边的中线的交点D.三条角平分线的交点9、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A.∠A=30º、∠B=60ºB.∠A=50º、∠B=80ºC.AB=AC=2，BC=4 D.AB=3、BC=7，周长为1310、已知等腰三角形的顶角等于30°，则这个等腰三角形的底角等于（）A.120°B.75°C.60°D.30°11、若等腰三角形的两边长分别是5和10，则它的周长是（）A.20B.25C.20或25D.以上都不对12、如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长是（）A. B. C.10 D.813、如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AC，∠A＝50°，则∠B＝（）A.50°B.45°C.30°D.25°14、如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为（）A.18B.12C.6D.415、等腰三角形的底角为30°，腰长为2，则此三角形面积为（）A. B. C.2 D.2二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，菱形的边长为，，将该菱形沿AC方向平移得到四边形，交CD于点E，则点E到AC的距离为________ .17、如图，在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且.若，则阴影部分的面积为________.18、如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝________°．19、如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD 为等腰三角形，则∠ADC的度数为________.20、如图，△ABC的周长为26，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P.若BC=10，则PQ的长是________.21、等腰三角形的一个外角为40°，则底角的大小为________.22、在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限且点的纵坐标为.当是腰长为的等腰三角形时，则点的坐标为________.23、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝25°，DE是边AC的垂直平分线，连结AE，则∠BAE等于________.24、已知AB为⊙O的直径AC、AD为⊙O的弦，若AB=2AC= AD，则∠DBC的度数为________．25、如图，在△ABC中，AB=7cm，AC=4cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为________ cm．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，在中，，点在边上，且，连接，若，求的度数．27、如图，OA、OB是⊙O的半径，OA⊥OB，C为OB延长线上一点，CD切⊙O于点D，E为AD与OC的交点，连接OD．已知CE＝5，求线段CD的长．28、如图所示,测量旗杆AB的高度时,先在地面上选择一点C,使∠ACB=15°.然后朝着旗杆方向前进到点D,测得∠ADB=30°,量得CD=13 m,求旗杆AB的高.29、如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．(Ⅰ)求∠OBC+∠ODC的值；(Ⅱ)如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF：(Ⅲ)如图2：若BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，判断BF与DG的位置关系，并说明理由．30、如图所示，已知点P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB，若PD=5，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、C3、B4、C5、A6、B7、A8、A9、B10、B11、B12、D13、D14、C15、A二、填空题(共10题，共计30分)17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、29、30、。