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【全程复习方略】2014版高考数学 6.5合情推理与演绎推理课时提升作业理北师大版一、选择题1.(2013·上饶模拟)观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,可以得出的一般结论是( )(A)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n2(B)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(C)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n2w(D)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)22.(2013·宝鸡模拟)观察下列数1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是( )(A)13,39,123 (B)42,41,123(C)24,23,123 (D)28,27,1233.如图是2012年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是( )4.(2013·海口模拟)记S n是等差数列{a n}前n项的和,T n是等比数列{b n}前n项的积,设等差数列{a n}公差d ≠0,若对小于2011的正整数n,都有S n=S2011-n成立,则推导出a1006=0.设等比数列{b n}的公比q≠1,若对于小于23的正整数n,都有T n=T23-n成立,则( )(A)b11=1 (B)b12=1(C)b13=1 (D)b14=15.将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20,…为“梯形数列”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a2 012－5=( )(A)1 009×2 011 (B)1 009×2 010(C)1 009×2 009 (D)1 010×2 0116.已知f1(x)=sinx+cosx,记f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2(x),…,f n(x)=f'n-1(x)(n∈N+且n≥2),则f1()+f2()+…+f2012()= ( )(A)503 (B)1006 (C)0 (D)20127.求的值时，采用了如下的方法：令=x，两边同时平方，得2，由极限的概念，上式可以化为1+x=x2，解得x=负值舍去).类比上述方法，可求得111212++++⋯的值为( )8.对于平面上的点集Ω,如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω,则称Ω为平面上的凸集,给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界):其中为凸集的是( )(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④二、填空题9.(能力挑战题)方程f(x)=x的根称为 f (x)的不动点,若函数f(x)=有唯一不动点,且x1=1000,x n+1=(n∈N*),则x2012= .10.(2013·黄山模拟)给出如下定理:“若Rt△ABC的斜边AB上的高为h,则有=+”,在四面体P -ABC 中,若PA,PB,PC两两垂直,底面ABC上的高为h,类比上述定理,得到的正确结论是.11.(2013·长安模拟)已知i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,i5=i,…由此可猜想i2014= .12.(能力挑战题)已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:在y2=2px两边同时求导,得:2yy'=2p,则y'=,所以过P的切线的斜率:k=.试用上述方法求出双曲线x2-=1在P(,)处的切线方程为.三、解答题13.(2013·潍坊模拟)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f (n)个小正方形.(1)求出f(5).(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求f(n)的关系式.答案解析1.【解析】选B.由已知的三个式子归纳:左边每一个式子均有2n-1项,且第一项为n,则最后一项为3n-2,右边均为2n-1的平方,故得出的一般结论为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.2.【解析】选B.∵3=1×3,2=3-1,6=2×3,5=6-1,15=5×3,…∴从第一个数开始每两个数为一组,每组的第二个都是第一个的3倍,且下一组的第一个数是上一组的第二个数减1,故x=14×3=42,y=42-1=41,z=41×3=123,∴x,y,z分别为42,41,123.3.【解析】选A.观察可知:该五角星对角上的两盏花灯(相连亮的看成一盏)依次按顺时针方向隔一盏闪烁,故下一个呈现出来的图形是A.4.【解析】选B.由等差数列中S n=S2011-n,可导出中间项a1006=0,类比得等比数列中T n=T23-n,可导出中间项b12=1.5.【思路点拨】观察已知的三个图形中点的个数及其规律，从而得到一般结论，再求a2 012，得到表达式后通过化简变形与选项对照得出正确答案.【解析】选A.由给出的三个图形可知，第n个图形中共有2+3+4+…+(n+2)=()()n4n12++个点，因此数列的第2 012项为a2 012=2 016 2 0132⨯，于是a2 012-5=2 016 2 0132⨯-5=1 008×2 013-5=1 009×2 013-2 013-5=1 009×2 011+2 018-2 013-5=1 009×2 011.6.【思路点拨】先观察,归纳出f n(x)的解析式的周期,再代入求解.【解析】选C.由已知可得f1(x)=sinx+cosx,f2(x)=cosx-sinx,f3(x)=-sinx- cosx,f4(x)=sinx-cosx,f5(x)=sinx+cosx,…,因此f1()+f2()+…+f2012() =503[f1()+f2()+f3()+f4()]=503(1-1-1+1)=0.7.【解析】选C.令x=111212++++⋯，由极限的概念，可化为x=1+12x+，得x2+x-3=0，于是1x2=(负值舍去).【方法技巧】解题的关键是从欲求值式子的无限性出发，用变量表示其值，然后建立关于这个变量的方程，通过解方程求得式子的值.8.【思路点拨】根据凸集的定义,结合图形的形状特征即可判定.【解析】选B.根据凸集的定义,结合图形任意连线可得②③为凸集.9.【解析】由=x得ax2+(2a-1)x=0.因为f(x)有唯一不动点,所以2a-1=0,即a=.所以f(x)=.所以x n+1===x n+.所以x2012=x1+×2011=1000+=.答案：10.【解析】由平面类比到空间,在四面体P -ABC中,若PA,PB, PC两两垂直,底面ABC上的高为h,则=++.答案：=++11.【解析】由已知可知,i4n=1,∴i2014=i503×4+2=i2=-1.答案：-1【变式备选】设函数f(x)=(x>0),观察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,故f n(x)= .【解析】根据题意知,分子都是x,分母中的常数项依次是2,4,8,16,…可知f n(x)的分母中常数项为2n,分母中x的系数为2n-1,故f n(x)=.答案：12.【解析】用类比的方法对=x2-1两边同时求导得,yy'=2x,∴y'=,∴y'===2,∴切线方程为y-=2(x-),∴2x-y-=0.答案：2x-y-=013.【解析】(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,∴f(5)=25+4×4=41.(2)由f(2)-f(1)= 4=4×1.f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,…得f(n+1)-f(n)=4n.∴f(2)-f(1)=4×1,f(3)-f(2)=4×2,f(4)-f(3)=4×3,…f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),f(n)-f(n-1)=4·(n-1)∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)] =2n(n-1),∴f(n)=2n2-2n+1.。
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第七章 推理与证明第1课时 合情推理与演绎推理1. (选修12P 35练习题4改编)“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是增函数(结论)”，上面推理错误的原因是______________.答案：大前提错误解析：y ＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错． 2. (选修12P 35练习题3改编)用三段论的形式写出“矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等．” 的演绎推理过程________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：每一个矩形的对角线相等(大前提) 正方形是矩形(小前提) 正方形的对角线相等(结论)3. (选修12P 29练习题3(2) 改编)观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是________.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2解析：等式右边的底数为左边的项数．4. (选修12P 29练习题3(2)改编)观察下列等式： 21＋2＝4；21×2＝4；32＋3＝92；32×3＝92；43＋4＝163；43×4＝163；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n 的等式，这个等式可以表示为______________________．答案：n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)(n∈N *)解析：由归纳推理得n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1＋（n 2＋n ）n ＝（n ＋1）2n ， n ＋1n×(n ＋1)＝（n ＋1）2n ，所以得出结论n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)(n∈N *)． 5. 已知扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝12×底×高，可得扇形的面积公式为________．答案：12rl1. 归纳推理(1) 归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理． (2) 归纳推理的思维过程大致如图实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论(3) 归纳推理的特点① 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．② 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③ 归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2. 类比推理(1) 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理．(2) 类比推理的思维过程观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论3. 演绎推理(1) 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．(2) 主要形式是三段论式推理． (3) 三段论的常用格式为 M — P(M 是P)① S －M(S 是M)② S — P(S 是P)③ 其中，①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般原理，对特殊情况作出的判断．[备课札记]题型1 归纳推理例1 在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1) 求a 1，a 2，a 3；(2) 由(1)猜想数列{a n }的通项公式； (3) 求S n .解：(1) 当n ＝1时，S 1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，即a 21－1＝0，解得a 1＝±1.∵ a 1>0，∴ a 1＝1；当n ＝2时，S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，即a 22＋2a 2－1＝0.∵ a 2>0, ∴ a 2＝2－1.同理可得，a 3＝3－ 2.(2) 由(1)猜想a n ＝n －n －1.(3) S n ＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＝n. 变式训练已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n∈N *)，则a 3＝________，a 1·a 2·a 3·…·a 2007＝________．答案：－123解析：(解法1)分别求出a 2＝－3、a 3＝－12、a 4＝13、a 5＝2，可以发现a 5＝a 1，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2 007＝a 2 005·a 2 006·a 2 007＝a 1·a 2·a 3＝3.(解法2)由a n ＋1＝1＋a n1－a n，联想到两角和的正切公式，设a 1＝2＝tan θ，则有a 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ，a 3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ，a 4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋θ，a 5＝tan(π＋θ)＝a 1，….则a 1·a 2·a 3·a 4＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2 007＝a 2 005·a 2 006·a 2 007＝a 1·a 2·a 3＝3. 题型2 类比推理例2 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．答案：a 38解析：在已知的平面图形中，中心O 到两边的距离相等(如图1)，即OM ＝ON.四边形OPAR是圆内接四边形，Rt △OPN ≌Rt △ORM ，因此S 四边形OPAR ＝S 正方形OMAN ＝14a 2.同样地，类比到空间，如图2.两个棱长均为a 的正方体重叠部分的体积为18a 3.备选变式（教师专享）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 为椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y2b2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M 、N 是双曲线：x 2a 2－y2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．证明如下：设点M 的坐标为(m ，n)，则点N 的坐标为(－m ，－n)，其中m 2a 2－n2b2＝1.又设点P 的坐标为(x ，y)，由k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋n x ＋m ，得k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n2x 2－m2，将y 2＝b 2a 2x 2－b 2，n 2＝b 2a 2m 2－b 2代入得k PM ·k PN ＝b 2a2.题型3 演绎推理例3 设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n∈N *)；②b n ≤M (n∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界” 数列．(1) 若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2) 判断(1)中的数列{S n }是否为“特界” 数列，并说明理由． 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋9n.(2) 由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝（S n ＋2－S n ＋1）－（S n ＋1－S n ）2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1<0，得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }适合条件①，而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814(n∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20.即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列． 备选变式（教师专享）设数列{}a n 满足a 1＝0且11－a n ＋ 1 －11－a n＝ 1.(1) 求{}a n 的通项公式；(2) 设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝k ＝1n b k ，证明：S n <1.(1)解： 由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1的等差数列． 又11－a 1＝1，故11－a n ＝n.所以a n ＝1－1n . (2) 证明： 由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n－1n ＋1，S n＝1111n nkk k b ====-邋1. 观察下列不等式：1＋122＜32；1＋122＋132＜53；1＋122＋132＋142＜74；…；照此规律，第五个不等式是________． 答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1162. 观察下列各式：a ＋b ＝1；a 2＋b 2＝3；a 3＋b 3＝4；a 4＋b 4＝7；a 5＋b 5＝11；…；则a 10＋b 10＝________．答案：123解析：(解法1)由a ＋b ＝1；a 2＋b 2＝3得ab ＝－1代入后三个等式中符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123.(解法2)令a n ＝a n ＋b n，易得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123.3. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案：1∶8解析：考查类比的方法，V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18，所以体积比为1∶8.4. (选修12P 31练习题2改编)在平面几何里可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的13”．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________ .答案：14解析：运用分割法思想，设正四面体的高为h ，底面面积为S ，正四面体SABC 的内切球的半径为R ，球心为O ，连结OS 、OA 、OB 、OC ，将四面体分成四个三棱锥，则V S ABC ＝V O SAC＋V O SAB ＋V O SBC ＋V O ABC ＝13SR ＋13SR ＋13SR ＋13SR ＝43SR ＝13Sh ，所以R ＝14h.5. (2013·镇江期末)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n （n ＋1）×12n ＝________．答案：1－1（n ＋1）·2n1. (2012·江西文)观察下列事实|x|＋|y|＝1的不同整数解(x ，y)的个数为4 , |x|＋|y|＝2的不同整数解(x ，y)的个数为8, |x|＋|y|＝3的不同整数解(x ，y)的个数为12 ….则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x ，y)的个数为________．答案：80解析：由已知条件，得|x|＋|y|＝n(n∈N *)的整数解(x ，y)个数为4n ，故|x|＋|y|＝20的整数解(x ，y)的个数为80.2. 若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列{nT n }为等比数列，公比为________．答案：q解析：T n ＝b n1qn （n －1）2，n T n ＝b 1(q)n －1. 3. 若一个n 面体有m 个面是直角三角形，则称这个n 面体的直度为mn，如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，四面体A 1ABC 的直度为________．答案：1解析：n ＝4，m ＝4，m n ＝44＝1.4. 若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点分别为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a2＋y 0yb2＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线的切点分别为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是________．答案：x 0x a 2－y 0y b2＝1解析：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 0(x 0，y 0)，则过P 1、P 2的切线方程分别是x 1x a2－y 1yb2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1.因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1. 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a2－y 0y b 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0xa2－y 0yb 2＝1.1. 合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新的结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路和方法．2. 合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想．3. 演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论，数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．4. 合情推理仅是符合情理的推理，他得到的结论不一定真，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．请使用课时训练（A）第1课时（见活页）.[备课札记]。
