第六章 相位差的测量
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激光原理与技术--第六章 激光在精密测量中的应用
当AB sinθ 为半波长的偶数倍时----- 出现暗纹。 当AB sinθ 为
半波长的奇数倍时----- 出现明纹。
21
我们把k =士1的两个暗点之 间的角距离作为中央明纹的 角宽度．中央明纹的半角宽度
Δθ0≈λ∕a
◆暗纹中心位置公式:
◆明纹中心位置公式:
明纹 暗纹
◆光强分布公式:
单缝衍射测量仪器示意图
4
6.1.2 激光干涉测长系统的组成
除了迈克尔孙干涉仪以外，激光干涉测长系统还包括激光光源、可移 动平台、光电显微镜、光电计数器、显示记录装置
7.干涉条纹计数时，通过移相获得两路相差π/2的干涉条纹的光强信号， 该信号经放大，整形，倒向及微分等处理,可以获得四个相位依次相差π/2 的脉冲信号（图6-5）。
图6-2 反射器
3
6.1.2 激光干涉测长系统的组成
5.激光干涉仪的典型光路布局有使用角锥棱镜反射器的光路布局，如图6-3示。
图6-3 典型光路布局
6. 移相器也是干涉仪测量系统的重要组成部分。常用的移相方法有机械移相（图6-4）， 翼形板移相，金属膜移相和偏振法移相。
图6-4 机械法移相原理图
13
基本原理
The Michelson interferometer is shown in Figure 1. The basic optical path of laser interferometer length measurement is a Michelson interferometer, and this makes use of interference fringes ,which are the traces of points owing the same path difference, to reflect the information of measured object. It uses the partially reflecting element P to divide the light from laser source into two mutually coherent beams which are reflected by M1 and M2 .The output intensity of an interferometer is a periodic function of the length difference between the measuring path and the reference path of the interferometer. Typical length measurements with a laser interferometer are performed by moving one reflector of the interferometer along a guideway and counting the periodic interferometer signal, e.g. the interference fringes. These results are unambiguous as long as the length difference between two consecutive measurements is within λ/2. Interpolation of the fringes can lead to a resolution of the length measurement below 1nm. The bright fringes occur when the path difference is kλ and the dark fringes when it is (k+1/2)λ,where k is any integer.
半波长的奇数倍时----- 出现明纹。
21
我们把k =士1的两个暗点之 间的角距离作为中央明纹的 角宽度．中央明纹的半角宽度
Δθ0≈λ∕a
◆暗纹中心位置公式:
◆明纹中心位置公式:
明纹 暗纹
◆光强分布公式:
单缝衍射测量仪器示意图
4
6.1.2 激光干涉测长系统的组成
除了迈克尔孙干涉仪以外，激光干涉测长系统还包括激光光源、可移 动平台、光电显微镜、光电计数器、显示记录装置
7.干涉条纹计数时，通过移相获得两路相差π/2的干涉条纹的光强信号， 该信号经放大，整形，倒向及微分等处理,可以获得四个相位依次相差π/2 的脉冲信号（图6-5）。
图6-2 反射器
3
6.1.2 激光干涉测长系统的组成
5.激光干涉仪的典型光路布局有使用角锥棱镜反射器的光路布局，如图6-3示。
图6-3 典型光路布局
6. 移相器也是干涉仪测量系统的重要组成部分。常用的移相方法有机械移相（图6-4）， 翼形板移相，金属膜移相和偏振法移相。
图6-4 机械法移相原理图
13
基本原理
The Michelson interferometer is shown in Figure 1. The basic optical path of laser interferometer length measurement is a Michelson interferometer, and this makes use of interference fringes ,which are the traces of points owing the same path difference, to reflect the information of measured object. It uses the partially reflecting element P to divide the light from laser source into two mutually coherent beams which are reflected by M1 and M2 .The output intensity of an interferometer is a periodic function of the length difference between the measuring path and the reference path of the interferometer. Typical length measurements with a laser interferometer are performed by moving one reflector of the interferometer along a guideway and counting the periodic interferometer signal, e.g. the interference fringes. These results are unambiguous as long as the length difference between two consecutive measurements is within λ/2. Interpolation of the fringes can lead to a resolution of the length measurement below 1nm. The bright fringes occur when the path difference is kλ and the dark fringes when it is (k+1/2)λ,where k is any integer.
第六章 相量法(3)
7.复功率
为了用相量 和I来计算功率，引入“复 U 功率”
I
+ 定义：
U _
负 载
I * 单位 VA S U
S UI(Ψu Ψi ) UIφ Sφ UIcosφ jUIsinφ P jQ
复功率也可表示为：
S UI * ZI I * ZI 2 (R jX)I 2 RI 2 jXI 2
空载 cos =0.2~0.3 满载 cos =0.7~0.85
设备容量 S (额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。 一般用户： 异步电机
日光灯
cos =0.45~0.6
(2) 当输出相同的有功功率时，线路上电流大，
I=P/(Ucos)，线路压降损耗大。
+ u i Z
1 2
I
P UI cosφ UIG
Q UI sinφ UI B
2 2 S P 2 Q 2 U IG I B IU
S
P
Q
Z
R
X
U
UR
UX
I
IG
IB
相似三角形
无功的物理意义: 反映电源和负载之间交换能量的速率。
例
QL I 2 X L I 2L ω 1 L( 2 I )2 2 1 LI 2 2π fW 2π W ω max max T 2 m
40 L 0.127 H 100
方法二
PI R
2
P 30 R 2 2 30Ω I 1
又
U 50 | Z | 50Ω I 1
| Z | R 2 (L)2
电子测量技术基础_(张永瑞_著)_西安电子科技大学出版社 课后答案
第一章緒论1．8答：分辨率=V mVμ11999920=1．9答：偏移的数4.250120=格 1．10答：①理论值：V U 5.253030300=⨯+=②R V =130K Ω，V U 2.25120//3030120//300=⨯+= R V =10M Ω，V U 5510//303010//30770≈⨯+=第二章测量误差和处理2．1答：真值：一个物理量在一定条件下所呈现的客瞧大小或真实数值。
实际值：在实际测量中，不可能都直截了当与国家基准相比立，一般是逐级比立传递到日常工作仪器，而用日常工作仪器测量的值称实际值。
标称值：测量器具上标定的数值。
示值：由测量器具指示的被测量量值。
测量误差：测量值与被测量真值之差。
修正值：测量误差的反号值。
2．2答：等精度测量：在维持测量条件不变的情况下对同一被测量进行一次又一次测量过程称为等精度测量。
非等精度测量：在对同一被测量进行一次又一次测量过程中，不是所有的测量条件都维持不变，这种测量称为非等精度测量。
2．3答：尽对误差和相对误差。
2．4讲明系统误差、随机误差和粗大误差的特点？答：〔1〕系统误差：在一次又一次等精度测量同一量值时，误差的尽对值和符号维持不变，或当条件改变时按某种规律变化的误差。
产生的缘故有仪器设计原理和制作的缺陷；测量时环境的碍事；近似方法和近似公式的碍事；测量人员的读数估量偏差等。
〔2〕随机误差的特点：①小误差出现的机率比大误差多；②正负相等的误差出现的机率相等；③在一定的条件下，其随机误差的尽对值可不能超过一定界限；④随机误差可用平均值加以消除；⑤随机误差服从正态分布。
〔3〕粗大误差：在一定条件下，测的值明显的偏离实际值所形成的误差称为粗大误差。
2．5答：对C 1来讲，%2%100200040±=⨯±，因此C 1电容误差小。
2．6答：dB U U i1.20lg 2001-=⇒mV U 8.9801= dB U U i 9.19lg 2002-=⇒mV U2.10102=2．7答：V V 18.060.542.5-=-=∆，%32.342.518.0-=-=kγ，%21.360.518.0-=-=A γ2．8答：Ω→=⨯+→⨯-=K R 6.124.11%51212%512122．9答：%4.2485011005.2=⨯⨯=γ，合格。
第六章 相量法(1)
设 u(t)=Umcos(ω t+ψ u), i(t)=Imcos(ω t+ψ i) 则 相位差 : = (ω t+ψ u)- (ω t+ψ i)= ψ u-ψ i 等于初相位之差 规定: 规定: | | ≤π (180°). °.
>0, u超前 角,或i 落后u 角(u 比i先到达最大值); 超前i 先到达最大值) 超前 先到达最大值 u, i u i O
Im A2
图解法
(1)加减运算 (1)加减运算——采用代数形式 采用代数形式 加减运算 若 则
A1=a1+jb1, A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 0 Re
乘除运算——采用极坐标形式 (2) 乘除运算 采用极坐标形式 若 则:
A1=|A1| θ 1 ,A2=|A2| θ 2
ψu ψi 先到达最大值. <0, i 超前 u 角,或u 滞后 i 角,i 比 u 先到达最大值. ,
ωt
特殊相位关系: 特殊相位关系:
=±π (±180o ) ,反相: 反相: ±π ±
u, i u u i 0 u, i u i 0 iω t
= 0, 同相: 同相:
u, i
0 = π/2: π/2
i , Im , I
5.正弦量的相量表示 5.正弦量的相量表示 问题的提出: ① 问题的提出:
电路方程是微分方程: 电路方程是微分方程: +i R C L
u
_
d uC duC LC + RC + uC = u(t ) dt dt
2
两个正弦量的相加: 方程运算. 两个正弦量的相加:如KCL,KVL方程运算. , 方程运算
>0, u超前 角,或i 落后u 角(u 比i先到达最大值); 超前i 先到达最大值) 超前 先到达最大值 u, i u i O
Im A2
图解法
(1)加减运算 (1)加减运算——采用代数形式 采用代数形式 加减运算 若 则
A1=a1+jb1, A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 0 Re
乘除运算——采用极坐标形式 (2) 乘除运算 采用极坐标形式 若 则:
A1=|A1| θ 1 ,A2=|A2| θ 2
ψu ψi 先到达最大值. <0, i 超前 u 角,或u 滞后 i 角,i 比 u 先到达最大值. ,
ωt
特殊相位关系: 特殊相位关系:
=±π (±180o ) ,反相: 反相: ±π ±
u, i u u i 0 u, i u i 0 iω t
= 0, 同相: 同相:
u, i
0 = π/2: π/2
i , Im , I
5.正弦量的相量表示 5.正弦量的相量表示 问题的提出: ① 问题的提出:
电路方程是微分方程: 电路方程是微分方程: +i R C L
u
_
d uC duC LC + RC + uC = u(t ) dt dt
2
两个正弦量的相加: 方程运算. 两个正弦量的相加:如KCL,KVL方程运算. , 方程运算
相位差测量
第3章 信号发生器
可变相移器的改进: 前一页的RC相移器(图6.5-2)—最大调节度为0°~90° 改进一:下图(a):变压器式相移器--最大调节度为0°~180° ----但缺点:变压器体积大,能耗也大. 改进二:下图(b): RC+V(晶体管)相移器 特点:∵晶体管c极与 e极电压相移180°∴将RC接到ce极间
1。差接式相位检波器 2。平衡式相位检波器
第3章 信号发生器
1。差接式相位检波器（电路）
电路特点：元件参数严格对称：R1＝R2;C1=C2; 测量条件：U1>>U2>1V; （信号1幅度>>信号2幅度）
R1C1、R2C2、R3C3 >>T（时间常数>> 被测信号周期）
u 工作原理：AB两点电压： AE = u1+u2(为两信号矢量相加) EB两点电压：uEB = u1-u2(为两信号矢量相减) F点电压： uF = －u2＋U2mcos φ 经滤波除去u2后uF0 = U2mcos φ
经滤波除去第二项高频成份后 i=4a2U1mU2mcosφ ----只剩下与相差有关的项。 （与输入频率的项已不存在）
第3章 信号发生器
6. 5 零示法测量相位差
零示法又称比较法。 方法：通过精密移相器的相移值与被测相移值作比较来确 定被测信号间的相位差。
测量时:调节可变相移器进行移相, 当 平衡时:u1的相位= u2的相位; 指示器指示=0; 则: u1 u2的相位差=可变相移器的相移值.
第3章 信号发生器
一。直接比较法
如图所示为一双踪示波器测量信号时屏幕显示的图像。已知两被测正弦波信号的频 率相同。示波器 置于1V档， 置于1s 档。求：⑴两正弦波信号的幅度频率。⑵ 两信号的相位差。
相位测量原理及方法
相位测量的具体方法包括使用相位计，它通过测量两个信号通过零点的时间间 隔来确定它们之间的相位差。这种方法适用于测量相控雷达、无线电导航系统等 应用中的相位差。相位计的工作原理是通过测量正比于两被测信号相位差的相邻 过零点之间的时间间隔，度量此时间间隔的大小即为两信号的相位差。 此外，相位测量还涉及到相位法测距，这是一种通过测量含有测距信号的调制波 在测线上往返传播所产生的相位移来间接测定电磁波在测线上往返传播的时间， 进而求得距离值的方法。这种方法通常采用多测尺组合测距技术，通过测量相位 差来计算距离。
相位测量原理及方法 2024.09.03
相位测量原理及方法
相位测量的原理是通过测量两个同频率信号之间的相位差来确定它们之间的 时间延迟或相位变化。
相位测量通常涉及对正弦信号的分析，因为正弦信号的相位代表了其在时间轴 上的位置。相位测量的基本原理基于这样一个事实：当一个正弦信号经过不同的 时间或通过不同的网络时，其相位可以发生变化。这种变化可以通过测量输入信 号与输出信号之间的相位差来量化。相位测量在多个领域中都有应用，包括但不 限于相控雷达、无线电导航系统、自动控制系统的测距和定位，以及电力系统中 相电压的相位差测量等。
综上所述，相位测量的原理主要涉及对同频率信号之间相位差的测量，通过测 量输入与输出信号的相位差或通过测量调制波的相位移来计算距离或
相位测量原理及方法 2024.09.03
相位测量原理及方法
相位测量的原理是通过测量两个同频率信号之间的相位差来确定它们之间的 时间延迟或相位变化。
相位测量通常涉及对正弦信号的分析，因为正弦信号的相位代表了其在时间轴 上的位置。相位测量的基本原理基于这样一个事实：当一个正弦信号经过不同的 时间或通过不同的网络时，其相位可以发生变化。这种变化可以通过测量输入信 号与输出信号之间的相位差来量化。相位测量在多个领域中都有应用，包括但不 限于相控雷达、无线电导航系统、自动控制系统的测距和定位，以及电力系统中 相电压的相位差测量等。
综上所述，相位测量的原理主要涉及对同频率信号之间相位差的测量，通过测 量输入与输出信号的相位差或通过测量调制波的相位移来计算距离或
电子测量技术复习资料
电⼦测量技术复习资料第⼀章绪论1.测量：测量就是利⽤试验⼿段，借助各种测量仪器量具，获得未知量量值的过程。
2.电⼦测量：电⼦测量泛指以电⼦技术为基本⼿段的⼀种测量技术。
3.智能仪器：⼈们习惯把内含微型计算机和GPIB接⼝的仪器称为智能仪器。
4.虚拟仪器：通常是指以计算机为核⼼的，由强⼤的测试应⽤软件⽀持的具有虚拟仪器⾯板，⾜够的仪器硬件及通信功能的测量信息处理系统。
5.电⼦测量的特点：1测量频率范围宽，低⾄10-6Hz以下，⾼⾄1012Hz以上。
2仪器量程范围宽。
3测量准确度⾼低相差悬殊。
4测量速度快。
5可以进⾏遥测。
6显⽰⽅式清晰直观。
7宜于实现测试智能化和测试⾃动化。
8易于实现仪器⼩型化。
9影响因素众多，误差处理复杂。
6.电⼦测量的⽅法：按测量⼿段分类：1直接测量：直接从测量仪表的读书获取被测量量值的⽅法。
2间接测量：它是利⽤直接测量量与被测量量之间的函数关系，间接得到被测量量值得⽅法。
3组合测量：当某测量参数需⽤多个未知参数表⽰时，可通过改变测量条件进⾏多次测量，根据测量量与未知参数之间的函数关系列出⽅程组并求解，进⽽得到未知量，这种测量⽅法叫组合测量。
按测量⽅式分类：1偏差式测量法：⽤仪器仪表指针的位移表⽰被测量量⼤⼩的测量⽅法。
2零⽰式测量法：⼜称平衡式测量法，测量时⽤被测量与标准量相⽐较，⽤指零仪表指⽰被测量与标准量相等，从⽽测得被测量。
3微差式测量法：偏差式测量法与零⽰式测量法相结合。
按被测量性质分类：1时域测量：主要测量被测量随时间的变化规律。
2频域测量：主要⽬的是获取待测量与频率之间的关系。
3数据域测量：主要是⽤逻辑分析仪等设备对数字量，或逻辑电路的逻辑状态进⾏测量7．智能仪器的特点：1是操作⾃动化2具有对外接⼝功能8．智能仪器的组成：主要与⼀般计算机的区别：多⼀个专⽤的外围设备-----测试电路。
9．计量与测量的区别：计量是利⽤技术和法制⼿段实现单位统⼀和量值准确可靠地测量。
第6章-相位差测量
第6章 相位差测量
第6章 相位差测量
6.1 概 述
6.2 用示波器测量相位差
第6章 相位差测量
6.1 概
述
振幅、频率和相位是描述正弦交流电的三个“要 素”。以电压为例，其函数关系为
u Um sin(t 0 )
（6.1-1）
为角频率； 0 为初相位。 式中：Um为电压的振幅；
第6章 相位差测量
常数，并等于两正弦量的初相之差。在实际工作中， 经常需要研究诸如放大器、滤波器、各种器件等的频
率特性，即输出输入信号间幅度比随频率的变化关系
(幅频特性)和输出输入信号间相位差随频率的变化关系 (相频特性).尤其在图像信号传输与处理、多元信号的 相干接收等学科领域，研究网络(或系统)的相频特性显 得更为重要。
(6.2-4)
第6章 相位差测量
式中 KY、K X 为比例常数。设 u1、u2 分别为
u1 U m1 sin(t ) u2 U m 2 sin t
将式(6．2—5)代入式(6．2—4)得
(6.2-5)
y KY U m1 sin(t ) Ym sin(t ) Ym sin t cos Ym cost sin ( a ) (6.2-6) x K X U m 2 sin t X m sin t ( b)
相位差 。
第6章 相位差测量
6.4 为什么“瞬时”式数字相位差计只适用于测量 固定频率的相位差?如何扩展测量的频率范围? 6.5 用示波器测量两同频正弦信号的相位差，示 波器上呈现椭圆的长轴A为100m，短轴B为4cm，试计 算两信号的相位差 。
tB t A T 360 360 tC t A T
第6章 相位差测量
6.1 概 述
6.2 用示波器测量相位差
第6章 相位差测量
6.1 概
述
振幅、频率和相位是描述正弦交流电的三个“要 素”。以电压为例，其函数关系为
u Um sin(t 0 )
（6.1-1）
为角频率； 0 为初相位。 式中：Um为电压的振幅；
第6章 相位差测量
常数，并等于两正弦量的初相之差。在实际工作中， 经常需要研究诸如放大器、滤波器、各种器件等的频
率特性，即输出输入信号间幅度比随频率的变化关系
(幅频特性)和输出输入信号间相位差随频率的变化关系 (相频特性).尤其在图像信号传输与处理、多元信号的 相干接收等学科领域，研究网络(或系统)的相频特性显 得更为重要。
(6.2-4)
第6章 相位差测量
式中 KY、K X 为比例常数。设 u1、u2 分别为
u1 U m1 sin(t ) u2 U m 2 sin t
将式(6．2—5)代入式(6．2—4)得
(6.2-5)
y KY U m1 sin(t ) Ym sin(t ) Ym sin t cos Ym cost sin ( a ) (6.2-6) x K X U m 2 sin t X m sin t ( b)
相位差 。
第6章 相位差测量
6.4 为什么“瞬时”式数字相位差计只适用于测量 固定频率的相位差?如何扩展测量的频率范围? 6.5 用示波器测量两同频正弦信号的相位差，示 波器上呈现椭圆的长轴A为100m，短轴B为4cm，试计 算两信号的相位差 。
tB t A T 360 360 tC t A T
相位差测量
本电路必须解 决的问题： 用低频相位差 计所测得的值 就是被测高频 信号的相位差！
混频二极管伏安特性：i a0 a1u a2u2
混频器I : u u1 uL U1m sint ULm sin( Lt )
本章无作业！
第六章 相位差测量
• 相位差测量是测量网络相频特性中必不可少 的部分。用什么方法进行相位差测量呢？
所谓相频特性即输入、输出信号间相位差随频率的变化关 系，这往往是由于经过某网络器件而形成的，因此又称为 该网络器件的相频特性。
• 相位差的定义：
u1 Um1 sin1t 1 u2 Um2 sin2t 2 1t 1 2t 2 1 2 t 1 2
相位检u2波器移可法相变器优测点相是位零电差示器路可简以单用，在可低以频_直领读域。： + +
_
缺点是由于需用到变压器耦合，测量u频01 率范围也u不02能太低
（低频时，变压器的体积将会相当大）。
指示电表刻度是非线性的，计数误差也较大。
超前 0~180o
0~－180o
§6.6 测量范围的扩展
• 前面所提的几种测量相位差的方法，在被测信号频率较高的情况 下将无法使用。需用外差法扩展相位差测量频率范围。
x0
arcsin
x0 Xm
y0
上式有不便的地方……
• 当相位差接近 (2n-1)×900 时，X0 靠近Xm ,Y0 靠近 Ym ，难以读准，再加上此时X0 、Y0 对相位差很不敏感， 测量误差将增大，实际中采用读长、短轴的方法计算
相位差：
2arctg B
A
B为椭圆的短轴 A为椭圆的长轴
360o 10b f T 360o 10b
混频二极管伏安特性：i a0 a1u a2u2
混频器I : u u1 uL U1m sint ULm sin( Lt )
本章无作业！
第六章 相位差测量
• 相位差测量是测量网络相频特性中必不可少 的部分。用什么方法进行相位差测量呢？
所谓相频特性即输入、输出信号间相位差随频率的变化关 系，这往往是由于经过某网络器件而形成的，因此又称为 该网络器件的相频特性。
• 相位差的定义：
u1 Um1 sin1t 1 u2 Um2 sin2t 2 1t 1 2t 2 1 2 t 1 2
相位检u2波器移可法相变器优测点相是位零电差示器路可简以单用，在可低以频_直领读域。： + +
_
缺点是由于需用到变压器耦合，测量u频01 率范围也u不02能太低
（低频时，变压器的体积将会相当大）。
指示电表刻度是非线性的，计数误差也较大。
超前 0~180o
0~－180o
§6.6 测量范围的扩展
• 前面所提的几种测量相位差的方法，在被测信号频率较高的情况 下将无法使用。需用外差法扩展相位差测量频率范围。
x0
arcsin
x0 Xm
y0
上式有不便的地方……
• 当相位差接近 (2n-1)×900 时，X0 靠近Xm ,Y0 靠近 Ym ，难以读准，再加上此时X0 、Y0 对相位差很不敏感， 测量误差将增大，实际中采用读长、短轴的方法计算
相位差：
2arctg B
A
B为椭圆的短轴 A为椭圆的长轴
360o 10b f T 360o 10b
第6章 相位差测量
2
(6.4-10)
向如图中所标时，加在四个二极管正极和负极间的电
第6章 相位差测量
第6章 相位差测量
6.1 概 述
6.2 用示波器测量相位差 6.3 相位差转换为时间间隔进行测量 6.4 相位差转换为电压进行测量 6.5 零示法测量相位差
6.6 测量范围的扩展
习 题 六
第6章 相位差测量
6.1 概
述
振幅、频率和相位是描述正弦交流电的三个“要 素”。以电压为例，其函数关系为
uF u2 (t ) U1m U 2 m cos U1m u2 (t ) U 2m cos
第6章 相位差测量
流分量-u2(t)，得直流输出电压 U0 U2m cos 二、平衡式相位检波电路
R3和C3组成一低通滤波器，滤除角频率为。的交 (6.4-9)
由4个性能完全一致的二极管D1一D4接成“四边形”，待 测两信号通过变压器对称地加在“四边形”的对角线上，输出
1 2
(6.1-4)
由此可见：两个频率相同的正弦量间的相位差是
常数，并等于两正弦量的初相之差。在实际工作中，
经常需要研究诸如放大器、滤波器、各种器件等的频 率特性，即输出输入信号间幅度比随频率的变化关系
(幅频特性)和输出输入信号间相位差随频率的变化关系
(相频特性).尤其在图像信号传输与处理、多元信号的 相干接收等学科领域，研究网络(或系统)的相频特性显 得更为重要。
第6章 相位差测量
式中Ym、Xm分别为光点沿垂直及水平方向的最大
位移。由式(6．2—6)(b)得sin t x / X m ，代入式(a)得
Ym 2 y ( x cos X m x 2 sin ) Xm
第六章 相位差的测量
d 标频 脉冲 控制 电路
uh
0 n个
t
图6.3-2
数字式相位差计原理波形图
t
18
第六章 相位差测量
二、 数字式相位差计
上面的原理理论上可行，但具体实现很复杂，操作也 不方便。因为它需要两个时间闸门形成电路，两个计数
显示电路，同时，再读得n和N后还要经 360 o
换算为相位差 ，不能直读。
，就不必测
量待测信号周期T 的数值，从而可节省一个闸门形成电路，一
个计数显示电路。
这种相位差计可以测量两个信号的“瞬时”相位差，测量迅 速，读数直观清晰。
尖脉冲
a
u 2( t )
n1
脉冲 形成
c
闸门信号ΔT
双稳 触发 器
g
时间 闸门
h
计数 显示
u1( t )
n2 b
脉冲 形成
d 标频 脉冲 控制 电路
9
第六章 相位差测量
二、 椭圆法（李沙育图形法）
一般情况下，示波器的Y、X两个通道可看作为线性系
统，所以荧光屏上光点的位移量正比于输入信号的瞬时值。
将u1(t)加于Y通道，u2(t)加于X通道，则光点沿垂直及 水平的瞬时位移量y(t)和x(t)分别为
（6.2-3）
式中K ,Y y ty)为比例常数。 K y u1(t ) x(
的测量误差。 设椭圆的长轴为A，短轴为B，可以证明相位差
φ =2arctg（B/A）
算出相位差。
(6.2-8)
在示波器的荧光屏上测量出椭圆长轴A和短轴B，由上式就可
13
第六章 相位差测量
需要指出： Y、X通道的相频特性一般不会完全一 样，会引起附加相位差（又称系统的固有相位差）。 为消除系统固有误差的影响，通常需校正两个通道 的相位差。
第6章相位差测量
本章重点讨论把相位差转换为时间间隔的测量方法。
第6章 相位差测量
6.2 用示波器测量相位差
应用示波器测量两个同频正弦电压之间的相位差的方法 很多， 本节仅介绍具有实用意义的直接比较法和椭圆法。
6.2.1
直接比较法
u1(t)=Um1 sin(ωt+φ) u2(t)=Um2 sinωt (6.2-1)
用单踪示波器测量相位差比用双踪示波器时误差还要大。
第6章 相位差测量
6.2.2
椭圆法
李沙育图形法可以测量信号频率（5.6节）。 若频率相同的两个正弦量信号分别接到示波器的X通道 与Y通道， 则一般情况下示波器荧光屏上显示的李沙育图形 为椭圆， 而椭圆的形状和两信号的相位差有关， 基于此点测 量相位差的方法称为椭圆法。
率的变化关系(幅频特性)和输出、 输入信号间的相位差随频
率的变化关系(相频特性)。
第6章 相位差测量
测量相位差的方法主要有：
1 用示波器测量；
2 把相位差转换为时间间隔， 先测量出时间间隔， 再换算 为相位差； 3 把相位差转换为电压， 先测量出电压， 再换算为相位差； 4 与标准移相器进行比较的比较法(零示法)等。
第6章 相位差测量
6.3.1
模拟式直读相位计*
图6.3-1 模拟式相位计原理波形图
(a)图模拟式直读相位计的原理框图， (b)图是相应各 点的波形图。
第6章 相位差测量
I0 360 Im
(6.3-2)
Im是管子的导通电流，一般是固定的； I0是管子的平均 电流。 用一电流表串联接入测出其平均值I0， 即可求得φ。
第6章 相位差测量
用单踪示波器测量两正弦量的相位差时应采用外同步， 通常把u1(或u2)接到外同步输入端， 使两次测量(分别显示u1和 u2波形)都用u1(或u2)同步。 因单踪示波器测量两正弦量相位差时分别显示u1、 u2波形，
第6章相位差测量
u2 (t) U2m cos
滤波后的直流电压：
请思考：相位差刻度如何标定? U0 U 2m cos
第6章 相位差测量
二、相位差—电压转换式数字相位计
1.原理框图: 相位差 时间间隔 电压 数字式显示φ
?Φ
双稳 电路
1LSB＝?
第6章 相位差测量
2.原理波形图
Φ
1LSB＝ Ug／360
T
U0 Ug T
± 7 × 10-9 / 闸门
9位/秒
7ns～7000s
20ns～7000s
0～360 °（精度 0.05 度）
0～1 × 1012
第6章 相位差测量
习题六
p.191 6.2 6.3 6.5
2
缺点：相移调节范围小，不同相移输出电压幅度不同
第6章 相位差测量
②一种改进的RC移相器
R Rc
uo与ui之间的相位差 00～－1800
第6章 相位差测量
SP3386型高精度通用计数器/相位计
频率范围
动态范围 测量精度 测频分辨率 测周范围 测时范围 相位测量 计数测量
通道 1 和通道 2
0.14mHz～150MHz
调节
电压表 或电流表 或示波器
抵消被测信号间的相位差
第6章 相位差测量
2.移相器 ①RC移相器 相位差00～－900
相位差00～900
(a)低通滤波器：如图(a)
输出电压与输入电压的相位差为 arctan[1/(RC)]
(b)高通滤波器：如图(b)
输出电压与输入电压的相位差为
arctan[1/(RC)]
u2 (t) U2m sin（t－）
U2m sin (t－T）
05第六章相量法1
或
F1 F2
arg(F1 ) arg(F2 )
§ 6 - 2 正弦量 基本概念
按物理量是否随时间改变，可分为恒定量，变动量。 ①大小和方向都不随时间而改变，用大写字母表示U, I 。 i(t) U i(t0) t0 t
O
t
O
② 随时间变化的量,每个时刻值称为瞬时值 u(t), i(t)
③ 大小、方向随时间做周期变化的电流(电压)称为周期电流(电压) i T O
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
F= F1 +F1 F1
若
则
F1=a1+jb1
F2=a2+jb2
O
+1
F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
+j
加减法运算可以用平行四边行 法在复平面上用向量的相加和 相减求得。
F2
F1 O - F2
F= F1 - F2
+1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
u, i u
u 领先 i p/2。（ 不说 u 落后 i 3p/2）； i 落后 u p/2。（不说 i 领先 u 3p/2）。
i O
wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。 下面所讨论的相位差都是同频率正弦量之间的相位差。
例.
i1=20cos(314 t + 30 ) A
1. 有效值(effective value)定义
电流有效值I 定义为：
1 I T
def
T
0
i 2 (t )dt
相位差的测量
y
Ym
B
（6.2-6）
A
y0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 0 Xm
0
x
图6.2－2 椭圆法测量相位差
11
第六章
相位差测量
二、 椭圆法（李沙育图形法） （6.2-7） 解算得相位差 arcsin y0 / Ym arcsin x0 / X m 这种方法有缺点： 1、当 (2n 1)90。 (n为整数)时，X0靠近Xm ，而Y0靠近 Ym，难以把它们读准。 2、这时的X0和Y0的值对φ的变化很不敏感，测量误差就会增大。 应用椭圆的长短轴之比关系计算φ 可以减小这种情况所引起
二、 椭圆法（李沙育图形法）
2 y (t ) (Ym / X m )( x(t ) cos X m x(t ) 2 sin )
上式是一个广义的椭圆方程，其椭圆图形如下图。令
求出椭圆与垂直、水平轴的交点，分别为: y(t ) 0, x(t ) 0
x0 X m sin y0 Ym sin
φ≈3600(tB-tA)/(tC-tA)=3600(ΔT/T )
(6.2-1)
式中：T为两同频正弦波的周期，ΔT 为两正弦波过零点 的间隔。 u t u t
1
2
T
A
t
A
B
tB
T
tC
tD
C
D
t
6
第六章 相位差测量
一、 直接比较法 若显示器水平扫描线性度好，可将线段AB写为线段 AB≈K( tB－tA )， 线段 AC≈K(tC－tA )， 其中K为比例常数，则式(6.2-2)改写为 φ≈3600（AB/AC）
2
第六章 相位差测量
Ym
B
（6.2-6）
A
y0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 0 Xm
0
x
图6.2－2 椭圆法测量相位差
11
第六章
相位差测量
二、 椭圆法（李沙育图形法） （6.2-7） 解算得相位差 arcsin y0 / Ym arcsin x0 / X m 这种方法有缺点： 1、当 (2n 1)90。 (n为整数)时，X0靠近Xm ，而Y0靠近 Ym，难以把它们读准。 2、这时的X0和Y0的值对φ的变化很不敏感，测量误差就会增大。 应用椭圆的长短轴之比关系计算φ 可以减小这种情况所引起
二、 椭圆法（李沙育图形法）
2 y (t ) (Ym / X m )( x(t ) cos X m x(t ) 2 sin )
上式是一个广义的椭圆方程，其椭圆图形如下图。令
求出椭圆与垂直、水平轴的交点，分别为: y(t ) 0, x(t ) 0
x0 X m sin y0 Ym sin
φ≈3600(tB-tA)/(tC-tA)=3600(ΔT/T )
(6.2-1)
式中：T为两同频正弦波的周期，ΔT 为两正弦波过零点 的间隔。 u t u t
1
2
T
A
t
A
B
tB
T
tC
tD
C
D
t
6
第六章 相位差测量
一、 直接比较法 若显示器水平扫描线性度好，可将线段AB写为线段 AB≈K( tB－tA )， 线段 AC≈K(tC－tA )， 其中K为比例常数，则式(6.2-2)改写为 φ≈3600（AB/AC）
2
第六章 相位差测量
第六章相位差测量(修改版)
i0 i1 i2 i3 i4
滤波：I0 K cos
如何求出U0与Φ 的关系？
§6.5 零示法测量相位差（常用在微波领域）
零不示易法于u1 一进般行不精用密在校高正、。低而频常范用围在内微_，波因领为域在。此范围内移相+器
相位检u2波器移可法相变器优测点相是位零电差示器路可简以单用，在可低以频_直领读域。： + +
上图中u1、u2为两个同频单具有一定相位差的正弦信号； uc、ud分别为u1u2经各自的脉冲形成电路输出的尖脉冲 信号，两路尖脉冲信号都出现于正弦波电压从负到正过零 点的瞬时；ue为uc尖脉冲信号经触发电路形成宽度等于待 测两信号周期T的闸门信号，用它来控制时间闸门；uf为 标准频率脉冲（晶振输出经整形形成的窄脉冲，频率为fc） 在闸门时间控制信号ue控制下通过闸门加于计数器计数脉 冲，设计数值为N；ug为用uc、ud去触发一个双稳态多谐 振振荡器形成的反映u1u2过零点时间差宽度△T的另一闸 门信号；设计数值为n。由图6.3-2可知：
设u1u2分别为625sinsin2211tuutuumm??????将625代入624tsinxtsinukxsintcosycostsinytsinytsinukymmxmmmmy21????????????????????????????????????可以得出上式是一个光影的椭圆方程其托椭圆图形如右???????????sincos22xxxxyymmm0000????????????????????????????????????????????ymxmxxarcsinyyarcsin??可以算出相位差
2.实用的两种示波器测量相位差方法：直接比较法和椭圆法。 了解其具体内容和应用。
3.相位差转换为时间间隔进行测量，其基本思想是将被测信 号过零时时间差和周期进行测量
第6章 相位差测量
图6.2—5 校正系统固有相位差
6.3 相位差转换为时间间隔进行测量
一、模拟直读相位计
I0 =
∆T
T
°
Im
I0 ϕ = 360 ⋅ Im
模拟直读相位计原理框图与各点波形
二、数字式相位差计
fc
N = T
°
ϕ = 360 ⋅
∆T
T
n = ∆T
= 360
°
n N
为测量方便, 为测量方便 取
N = f cT = 360 ⋅10 f ⋅ T
Hale Waihona Puke i = a0 + a1u + a2u 2
式中 a0 , a1 , a2 为常数。对于混频器I，混频器二极 管上的电压
u = u1 + uL = U1m sin ωt + U Lm sin(ω Lt − θ )
混频器I中电流
i1 = a0 + a1[U1m sin ωt + U Lm (ω Lt − θ )] + a2 [U1m sin ωt + U Lm sin(ω Lt − θ )]2
6.2 用示波器测量相位差
一、直接比较法 设电压
u1 (t ) = U m1 sin(ωt + ϕ ) u2 (t ) = U m 2 sin ωt
比较法测量相位差
∆T tB − t A ° 0 AB ϕ = 360 × = 360 × ≈ 360 tC − t A T AC
°
二、椭圆法
它们的瞬时相位差
θ = (ω1t + ϕ1 ) − (ω 2t + ϕ 2 )
= (ω1 − ω 2 )t + (ϕ1 − ϕ 2 )
第六章相位差测量(修改版)
零示法一般不用在高、低频范围内，因为在此范围内移相器 u1 _ + 不易于进行精密校正。而常用在微波领域。 零示器 相位检波器法测相位差可以用在低频领域： 可变 _ u2 _ 优点是电路简单，可以直读。 + + 移相器 u01 u02 缺点是由于需用到变压器耦合，测量频率范围也不能太低 （低频时，变压器的体积将会相当大）。 指示电表刻度是非线性的，计数误差也较大。
它是测量长时间内相位差的平均值，不能测出“瞬时”相位 差，且由于电流本身误差及读数误差都较大，所以这种相位 差计测量误差也比较大，约为±（1~3）%。这些又都是模 拟直读相位计的缺点。
模拟式直读相位计各点波形图
1 .1
△T
s in( x)
A s in( x 0 .5)
B
C
D
T
1 .1
0 x
△T
二、椭圆法
椭圆法定义：
若频率相同的两个正弦量信号分别接入示波器的X通道 和Y通达，一般情况下示波器荧光屏上显示的李沙育图 形为椭圆，而椭圆的形状和两个信号的相位差有关，基 于此点用来测量相位差的方法称为椭圆法。 一般情况下u1加于Y通道，u2加于X通道。则光点沿垂 直和水平的瞬时位移量y和x分别为
第六 章 相 位 差 测 量
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 小结 习题 概述 用示波器测量相位差 相位差转换为时间间隔进行测量 相位差转换为电压进行测量 零示法测量相位差 测量范围的扩展
6.1 概述
• 振幅、频率和相位是描述正弦交流电的三个“要素”。 以电压为例，其函数关系为：
u U m sint 0 0 为初相位。 为角频率； 式中 U m 为电压振幅；
设定为A 组
§6.4
它是测量长时间内相位差的平均值，不能测出“瞬时”相位 差，且由于电流本身误差及读数误差都较大，所以这种相位 差计测量误差也比较大，约为±（1~3）%。这些又都是模 拟直读相位计的缺点。
模拟式直读相位计各点波形图
1 .1
△T
s in( x)
A s in( x 0 .5)
B
C
D
T
1 .1
0 x
△T
二、椭圆法
椭圆法定义：
若频率相同的两个正弦量信号分别接入示波器的X通道 和Y通达，一般情况下示波器荧光屏上显示的李沙育图 形为椭圆，而椭圆的形状和两个信号的相位差有关，基 于此点用来测量相位差的方法称为椭圆法。 一般情况下u1加于Y通道，u2加于X通道。则光点沿垂 直和水平的瞬时位移量y和x分别为
第六 章 相 位 差 测 量
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 小结 习题 概述 用示波器测量相位差 相位差转换为时间间隔进行测量 相位差转换为电压进行测量 零示法测量相位差 测量范围的扩展
6.1 概述
• 振幅、频率和相位是描述正弦交流电的三个“要素”。 以电压为例，其函数关系为：
u U m sint 0 0 为初相位。 为角频率； 式中 U m 为电压振幅；
设定为A 组
§6.4
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（a）
uA
······
φ=360o ΔT/T
uB
uC
ｎ
uD
······ ｎ
Tm
ｔ 则 A=(Tmfc/360o)×φ
ｔ
=aφ
ｔ
a=Tmfc/360o
ｔ 若取Tm和fc , 使 a =10g
uE
···
(g为整数) , 则
ｔ
Ａ组
图6.3—4(b) 平均值相位计原理框图
φ=A*10g
25
(6.3－9）
第六章 相位差测量
在应用直接比较法测量相位差时尽量使用双跟踪示波器， 两个正弦量波形同时显示在荧光屏上，可方便观测两波形过零 点时间及周期，并得到较准确的结果。
9
第六章 相位差测量
二、 椭圆法（李沙育图形法）
一般情况下，示波器的Y、X两个通道可看作为线性系
统，所以荧光屏上光点的位移量正比于输入信号的瞬时值。 将u1(t)加于Y通道，u2(t)加于X通道，则光点沿垂直及
例如，若被测频率为1MHz，要求测量误差为±1°时，即取 fc 360 o 10b f 中b=1，则 fc 360101MHz=3600MHz 目前还做不到对如此高的频率信号进行整形和计数。
23
第六章 相位差测量
二、 数字式相位差计 再如，若某计数器最高计数频率为100MHz，要
求测量误差为±1°，其能测量的待测信号频率应小 于300KHz，如果提高测量精确度，要求测量误差为 ±0.1°，则该计数器能测量的最高待测信号频率仅 为30KHz。
T
N
换算为相位差 ，不能直读。
19
第六章 相位差测量
二、 数字式相位差计
为使电路简单、测量操作方便，一般取 fc 360o 10b f （6.3—5)
式中b为整数。将上式代入
fc
N T
n △T
得
N fcT 360 o 10b f T 360 o 10b （6.3—6）
再将上式代入式 360o T 360o n
当两个角频率为ω1、ω2的交流信号分别为
u1(t)=Umsin(ω1t+φ1） u2(t)=Umsin(ω2t+φ2） （6.1-2） 则，它们的瞬时相位差θ(t)＝ (ω1t+φ1）- (ω2t+φ2）
＝ （ω1-ω2)t＋(φ1-φ2) （6.1-3）
2
第六章 相位差测量
6.1 相位测量概述 显然，两个角频率不相等的正弦电压（或电流）之间的瞬时 相位差是时间t 的函数，随时间的改变而改变。
4
第六章 相位差测量
6. 2 示波相位差测量 示波相位差测量就是应用示波器测量两
个同频正弦电压之间的相位差。 示波器测量相位差的方法很多,本节仅介
绍更具有实用意义的直接比较法和椭圆法。
5
第六章 相位差测量
一、 直接比较法 设同频率的两电压信号为
u1(t) Um1 sin(t ) u2 (t) Um2 sin t
值正比于相位差φ。而平均电流为： I0 Im (T / T ) （6.3-1）
由φ≈3600（AB/AC）式，得： 3600 (I0 Im )
（6.3-2）
优点：电路简单，操作方便。 缺点：读数是测量时间内相位差的平均值，不能测出 “瞬时”相位差，误差比较大，约为±1-3% 。
17
第六章 相位差测量
当两个正弦电压的角频率ω1=ω2=ω时
则有： θ(t)＝ φ1－φ2
(6.1-4)
由此可见：两个频率相同的正弦量间的相位差是常数，并 等于两正弦量的初相之差。
应用：研究诸如放大器、滤波器、各种器件等的频率特性。
1、输入输出信号间幅度比随频率的变化关系（幅频特性）
2、输出输入信号间相位差随频率的变化关系（相频特性）
量待测信号周期T 的数值，从而可节省一个闸门形成电路，一 个计数显示电路。 这种相位差计可以测量两个信号的“瞬时”相位差，测量迅 速，读数直观清晰。
a
u2(t) n1
u1(t ) n2 b
尖脉冲
脉冲 形成
脉冲 形成
c 闸门信号ΔT
双稳 触发
器
g
时间 闸门
h
计数 显示
d
标频
控制
脉冲
电路
图6.3－3 电子计数式相位差计框图
A
x0 Xm x 0
图6.2－2 椭圆法测量相位差
12
第六章 相位差测量
二、 椭圆法（李沙育图形法）
解算得相位差 arcsiny0 /Ym arcsinx0 / Xm （6.2-7）
这种方法有缺点：
1、当 (2n 1)90。 (n为整数)时，X0靠近Xm ，而Y0靠近
Ym，难以把它们读准。 2、这时的X0和Y0的值对φ的变化很不敏感，测量误差就会增大。
T
N
得 n 10b
（6.3—7）
由上式可看出，数值 n 就代表相位差，b的变化只
是小数点位置不同。 它可经译码显示电路以数字显示出来，并自动
指示小数点位置，测量者可直接读出相位值。
20
第六章 相位差测量
二、 数字式相位差计 只要使晶振标准频率满足 fc 360 o 10b f ，就不必测
u1 t
u2 t
T
360 0 (tB tA ) /(tC tA ) 360 0 (T / T )
A tA
原理：
B
tB T
将信号周期T和信号过零点的时间差ΔT变换
为电压和脉冲宽度，并测量出T和ΔT，根据
φ≈3600（AB/AC），可得到相位差φ
重点介绍： 模拟直读式相位计
数字式相位计
tC
24
第六章 相位差测量
二、 数字式相位差计
平加均值相位计的工作原理: 在“瞬时”相位计的基础上，增
了一个计数门而构成的。它比电子计数式相位差计多一个时
间闸△Ｔ门Ⅱ和闸门脉冲发生器。
设计数值为A
A
时间闸 门1
C
时间闸 门2
E
计数器
B
D
由UD , UE 可知 A=nK
标频 脉冲
闸门脉冲 发生器
因为 K=Tm/T , n=fc·ΔT,
应用椭圆的长短轴之比关系计算φ 可以减小这种情况所引起
的测量误差。
设椭圆的长轴为A，短轴为B，可以证明相位差
φ =2arctg（B/A）
(6.2-8)
在示波器的荧光屏上测量出椭圆长轴A和短轴B，由上式就可
算出相位差。
13
第六章 相位差测量
需要指出： Y、X通道的相频特性一般不会完全一 样，会引起附加相位差（又称系统的固有相位差）。
x(t) Kxum2 sint Xm sint
(6.2-4)
式中 Ym , X m 分别为光点沿垂直及水平方向的最大位移。由上
式第二式得 sin t x(t) / X m ，并代入第一式得:
y(t) (Ym / Xm)(x(t)cos
X
2 m
x(t
)2
sin
)
（6.2-5）
11
第六章 相位差测量
式计算出相位差φ
u1 t
T
u2 t
A
B
tA
tB
T
tC
tD
C
Dt
8
第六章 相位差测量
一、 直接比较法 在示波器上用直接比较法测量两同频正弦量的相位差，其
测量误差主要来源于：
1. 示波器水平扫描的非线性,即扫描用的锯齿电 压呈非线性。
2. 双踪示波器两垂直通道一致性差而引入了附加 的相位差。
3.人眼读数误差，这项误差是三项误差中最大的。 直接比较法的测量精度不高，一般为(20～50)。
21
第六章 相位差测量
二、 数字式相位差计
误差:与计数器测周期或测时间间隔时相同 即：
标准频率误差 触发误差 量化误差
fe fc
Un / 2Um
1 n
22
第六章 相位差测量
二、 数字式相位差计 计数式相位计只能用于测量低频率信号相位差，而且要
求测量的精度越高，能测量的频率就越低。 因为要求测量精确度越高所使用的 fc 应越高。
u1 脉冲 C
形成
uA 双稳 Q
+E
i
Uc
t t
u2 脉冲
态触 发器 Q
Ud
TtUeT源自形成 Dti
I0Im
a
I0
Im
t
b
图6.3-1 模拟直读相位计原理框图与各点波形
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第六章 相位差测量
一、模拟直读式相位计
这样的过程反复进行。双稳态电路 Q 输出电压及电流i 都是
矩形脉冲，脉冲宽度为ΔT，重复周期为T，因此它们的平均
二、 椭圆法（李沙育图形法）
y(t) (Ym / Xm )(x(t) cos
X
2 m
x(t)2
sin
)
上式是一个广义的椭圆方程，其椭圆图形如下图。令
求出椭圆与垂直、水平轴的交点，分别为: y(t) 0, x(t) 0
x0 X m sin y0 Ym sin
y
（6.2-6）
Ym
B
y0
二、 数字式相位差计
原理：应用电子计数器来测量周期T和两同频正弦
波过零点时间差△T，根据式φ≈3600（AB/AC）换算
为相位差。
fc
N T
n △T
（6.3-3）
u1
T
0
u2
0
uc
0
ud
0
ue 0
uf
0
ug
0
uh
0
△T
T n个
φ≈3600(tB-tA)/(tC-tA)=3600(ΔT/T )