电磁场4.

第六章 真空中的静电场

6-1 在边长为a 的正方形四个顶点上各有相等的同号点电荷－q ．试求：在正方形的中心处应放置多大电荷的异号点电荷q 0，才能使每一电荷都受力为零？

（答案：()

4/221q +）

6-2 电荷为＋q 和－2q 的两个点电荷分别置于x ＝1 m 和x ＝－1 m 处．一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？

（答案：()

223+）

6-3 半径为R 、电荷线密度为λ1的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l 、电荷线密度为λ2的均匀带电直线段，

该线段的一端处于圆环中心处，如图所示．求该直线段受到

的电场力．

（答案：()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-2/12202

11

1R l R R ελλ2）

6-4 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细

直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度．

（答案：

()

d L d q

+π04ε，方向沿杆的延长线方向）

6-5 一个细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q ，沿其下半部分均匀

分布有电荷－Q ，如图所示．试求圆心O 处的电场强

度．

（答案：j R

Q

2

02

επ-）

L

6-6 半径为R 的带电细圆环，其电荷线密度为λ=λ0sin φ，式中λ0为一常数，φ 为半径R 与x 轴所成的

夹角，如图所示．试求环心O 处的电场强度．

（答案：i R 004ελ

-）

6-7 在真空中一长为l ＝10 cm 的细杆上均匀分布

着电荷，其电荷线密度λ＝ 1.0×10-5 C/m ．在杆的延长

线上，距杆的一端距离d ＝

10 cm 的一点上，有一点电荷q 0＝ 2.0×10-5 C ，如图所示．试求该点电荷所受的

电场力．(真空介电常量ε0＝8.85×10-12 C 2·N -1·m -2 )

（答案：0.90 N ，方向向左）

6-8 两根相同的均匀带电细棒，长为l ，电荷

线密度为λ，沿同一条直线放置．两细棒间最近距离也为l ，如图所示．假设棒上的电荷是不能自由移动的，试求两棒间的静电相互作用力．

（答案：3

4

ln 402ελπ）

6-9 一“无限长”圆柱面，其电荷面密度为： λ = σ0cos φ ，式中φ 为半径R 与x 轴所夹的角， 试求圆柱轴线上一点的场强．

（答案：i

02εσ-）

6-10 “无限长”均匀带电的半圆柱面，半径为R ，设半圆柱面沿轴线OO'单位长度上的电荷为 λ，试求轴线上一点的电场强度．

（答案：

R

02ελ

π）

6-11 一环形薄片由细绳悬吊着，环的外半径为R ，内半径为R /2，并有电荷Q 均匀分布在环面上．细绳长3R ，也有电荷Q 均匀分布在绳上，如图所示,试求圆环中心O 处的电场强度(圆环中心在细绳延长线上)．

（答案：2

016R

Q

επ，方向竖直向下）

解：先计算细绳上的电荷在O 点产生的场强．选细绳顶端作坐标原点O ，x 轴向下为正．在x 处取一电荷元

d q = λd x = Q d x /(3R )

它在环心处的场强为 ()

20144d d x R q

E -π=ε ()2

0412d x R R x

Q -π=ε 2分 整个细绳上的电荷在环心处的场强

()2

03020116412R Q

x R dx R Q E R εεπ=-π=⎰ 2分

圆环上的电荷分布对环心对称，它在环心处的场强

E 2=0 2分 由此，合场强 i R Q

i E E 2

0116επ=

= 2分 方向竖直向下．

6-12 图中所示， A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，A 面上电荷面密度σA ＝－17.7×10-8 C·m -2

，B 面的电荷面密度σB ＝35.4 ×10-8 C·m -2．试计算两平面之间和两平面外的电场强度．(真空介电常量ε0＝8.85×10-12 C 2·N -1·m -2 )

（答案：3×104 N/C ；1×104 N/C ） 6-13 电荷线密度为λ的“无限长”均匀带电细

线，弯成图示形状．若半圆弧AB 的半径为R ，试求圆心O 点的场强．

（答案：0）

6-14 一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心O 处的电场强度．

（答案：

4εσ）

R 3x x σA σB

A B

∞ ∞

6-15 如图所示，在x －y 平面内有与y 轴平行、位于x ＝a / 2和x ＝-a / 2处的两条“无限长”平行的均匀带电细线，电荷线密度分别为＋λ 和－λ．求z 轴上任一点的电场强度．

（答案：()

i z a a 2

2042+π-

ελ

）

6-16 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E

垂直于地面向

下，大小约为100 N/C ；在离地面1.5 km 高的地方，E

也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C ．

(1) 假设地面上各处E

都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；

(2) 假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度．(已知：真空介电常量0ε＝8.85×10-12 C 2·N -1·m -2)

（答案： 4.43×10-13 C/m 3；－8.9×10-10 C/m 3）

6-17 图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知

空间的场强分布为： E x ＝bx ， E y ＝0， E z ＝0．

高斯面边长a ＝0.1 m ，常量b ＝1000 N/(C·m)．试求

该闭合面中包含的净电荷．(真空介电常数 ε 0＝8.85×10-12 C 2·N -1·m -2 ) （答案：8.85×10-12

C ）

6-18一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为 ρ =Ar (r ≤R ) ，ρ =0 (r ＞R )，A 为一常量．试求球体内外的场强分布．

（答案：()024/εAr ；()2044/r AR ε，方向沿径向，A >0时向外, A <0时向里；）

6-19 一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为

4

πR qr =ρ (r ≤R ) (q 为一正的常量)

ρ = 0 (r >R )

试求：(1) 带电球体的总电荷；(2) 球内、外各点的电场强度；(3) 球内、外各点的电势．

（答案：4AR π；()024/εAr ，()2044/r AR ε；电势略）

x