函数单调性奇偶性经典例题

函数的性质的运用

1．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数

y f x =()图象上的是（ ）

A.(())a f a ，-

B.(())--a f a ，

C.(())---a f a ，

D.(())a f a ，-

2. 已知函数)(1

22

2)(R x a a x f x x ∈+-+⋅=

是奇函数，则a 的值为（ ）

A ．1-

B ．2-

C ．1

D ．2 3．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1

1)()(-=

+x x g x f ，则f （x ）

的解析式为_______．

4．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有 实根之和为________．

5.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数；

(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立， 数k 的取值围．

6.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2

1

x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；

（2）判断f(x ）的单调性；

（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.

7.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数；

（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2

-m-2)＜3.

8.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y

x

f -=

（1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）； （2）设f （2）=1，解不等式2)3

1

(

)(≤--x f x f 。

9.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同 的实数根，则这6个实根的和为（ ）

0 B ．9 C ．12 D ．18

10.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 123

2

x x <<，

则实数m 的取值围

11.已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =， 则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

12.已知函数()f x 满足：4x ≥，则()f x ＝1()2

x

；当4x <时()f x ＝(1)f x +，则

2(2log 3)f +＝

A

124 B 1

12

C 18

D 38

13.已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (

2

1

)=－1,当且仅当0

xy

y

x ++1),试证明： (1)f (x )为奇函数；

(2)f (x )在(－1，1)上单调递减.

14.函数f (x )=

1

1112

2+++-++x x x x 的图象( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称

D.关于直线x =1对称

15.函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是_________.

16.若函数f (x )=ax 3

+bx 2

+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0

则b 的取值围是_________. 17.已知函数f (x )=a x +

1

2

+-x x (a >1). (1)证明：函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f (x )=0没有负数根.

18.求证函数f (x )=2

23

)1(-x x 在区间(1，+∞)上是减函数.

19设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足： (i)f (x 1－x 2)=

)

()(1

)()(1221x f x f x f x f -+⋅；

(ii)存在正常数a 使f (a )=1.求证： (1)f (x )是奇函数.

(2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a .

20.已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且

f (－21)=0,当x >－2

1

时，f (x )>0.

(1)求证：f (x )是单调递增函数；

(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.

21.已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2

－3)<0, 设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5}, 求函数g (x )=－3x 2

+3x －4(x ∈B )的最大值.

22.设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x ,则f (7.5)等于( ) A.0.5

B.－0.5

C.1.5

D.－1.5

23.已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2

)<0,则a 的取值 围是( ) A.(22，3) B.(3，10) C.(22，4)

D.(－2，3)

24.若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________. 25.如果函数f (x )在R 上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f (x +2)=－f (x ), 试比较f (

31),f (3

2

),f (1)的大小关系_________.