“零诊”适应性测试数学卷1

四川省金堂中学校高2021届“零诊”适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}41,2,3,402xA B xx ⎧⎫-==>⎨⎬-⎩⎭，，则A B = （ ） A ．{}3 B ． {}2 C ．{}2,3 D ． {}1,2,32．复数113i-的虚部是 （ ） A ．310-B ．110-C ．110 D ．3103．在直角坐标系xOy 中，曲线13cos :1sin x t C y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），其中[0,)απ∈，则曲线1C 过定点 （ ） A ． (1,3)B ．(3,1)C ． (3,0)D ．(0,1)4．等差数列{}n a 的n 前项和为n S ，且36=9a a +，621S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1-B ．2C ． 1D ．2-5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度0()x C 单位：的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,3,20)i i x y i =⋅⋅⋅得到下面的散点图：由此散点图，在100C 至400C 之间，下面四个回归方程类型最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ）A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．xy a be =+D ．ln y a b x =+6．过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 （ ） A ．55B ．255C ．355 D ． 4557．已知向量a ，b 满足=5a ，=6b ，6a b ⋅=-，则cos ,>=a a b <+ （ ） A ．3135-B ．1935-C ．1735 D ．19358．在ABC ∆中，若()(sin sin )(sin sin )a b A B c c B +-=+，则A ∠= （ ） A ．23π B ．3π C ．56π D ．6π 9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0,0k a ==，则输出的k 的值等于（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 510．已知双曲线C ：22221(0,0)a b a bx y -=>>的左，右焦点分别为12F F ，，离心率为5，P 是C 上的一点，且12F P F P ⊥，若12PF F ∆的面积为4，则a = （ ）A ． 1B ． 2C ．4D ．811．已知5458<，45138<，设5813log 3log 5log 8a b b ===，，，则 （ ） A. a b c << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<12．已知函数()f x 对x R ∀∈均满足()()f x f x -=，(2)()f x f x -=，且当01x ≤≤时，()2=f x x ，如果函数()()()g x f x x m =-+有两个零点，则实数m 的值为 （ ）A ．2()k k Z ∈B ． 122()4k k k Z +∈或 C ． 0 D ．122()4k k k Z -∈或 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

成都石室中学2022-2023年度下期高2024届零诊模拟数学试题（理科）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.若复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，则||z =（）A.2B.C.D.3【答案】C 【解析】【分析】设复数(,)z x yi x y R =+∈，利用相等，求得1,1x y ==-，进而可求复数的模.【详解】设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22233z z x yi x yi x yi i +=++-=+=-，则1,1x y ==-，所以1z i =-，所以z =，故选：C.【点睛】本题考查了复数相等的概念和复数模的求解，着重考查了学生的推理与运算能力.2.在某校高中篮球联赛中，某班甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）A.甲得分的极差是18B.乙得分的中位数是16.5C.甲得分更稳定D.甲的单场平均得分比乙低【答案】B【分析】根据图一中甲的得分情况可判断ABC 的正误，结合图二可判断图一丢失的数据，计算两者的均值后可判断D 的正误.【详解】对于甲，其得分的极差大于或等于28919-=，故A 错误；从折线图看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分数有3个，故其得分不稳定，故C 错误；乙的数据由小到大依次为：9,14,15,16,17,18,19,20乙得分的中位数为161716.52+=，故B 正确.乙得分的平均数为914151819171620168+++++++=，从折线图上，茎叶图中甲的得分中丢失的数据为一个为15，另一个可设为m ，其中1015m <<，故其平均数为912131520262812313316888m m ++++++++=>>，故D 错误.故选：B.3.某老师为了了解数学学习成绩得分y （单位：分）与每天数学学习时间x （单位：分钟）是否存在线性关系，搜集了100组数据100100115600,11200i i i i x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑，并据此求得y 关于x 的线性回归方程为 56y bx =+ .若一位同学每天数学学习时间约80分钟，则可估计这位同学数学成绩为（）A.106 B.122C.136D.140【答案】C 【解析】【分析】利用回归方程经过样本中心可求b ，故可估计这位同学每天数学学习时间约80分钟后的数学成绩.【详解】由题设可得56001120056,112100100x y ====，故1125656b =⨯+ ，故1b = ，故 56y x =+，故当80x =时，8056136y =+=，故选：C.4.利用随机模拟方法可估计无理数π的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand 表示产生区间(0,1)上的随机数,P 是s 与n 的比值，执行此程序框图，输出结果P 的值趋近于A.πB.4π C.2π D.22π【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图可知由几何概型计算出x ，y 任取（0，1）上的数时落在221x y +<内的频率，结合随机模拟实验的频率约为概率，即可得到答案．【详解】解:根据程序框图可知P 为频率，它趋近于在边长为1的正方形中随机取一点落在扇形内的的概率21414πππ⨯⨯=故选B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，根据已知中的程序框图分析出程序的功能，并将问题转化为几何概型问题是解答本题的关键，属于基础题.5.已知命题p ：1k <，命题q ：直线10kx y -+=与抛物线24y x =有两个公共点，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】k【详解】由10kx y -+=和24y x =可得()214kx x +=，整理得到：()222410k x k x +-+=，因为直线与抛物线有两个不同的交点，故()22Δ2440k k k ≠⎧⎪⎨=-->⎪⎩，故1,0k k <≠，故命题q 成立能推出命题p 成立；反之，若1k <，取0k =，此时()222410k x k x +-+=仅有一个实数根14x =，故此时直线与抛物线仅有一个不同的交点，故命题p 成立不能推出命题q 成立，故p 是q 的必要不充分条件，故选：B .6.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道中的一位选手得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是A.甲 B.乙C.丙D.丁【答案】D 【解析】【详解】若甲对,则乙也对,所以甲错;若甲错乙对,则丙也对,所以乙错,即3道的选手得第一名,此时只有丁对,因此选D.7.已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【详解】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f xg x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B.考点：1、函数图象；2、对数函数的性质.8.某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为A. B. C.4 D.【答案】B 【解析】【详解】解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥-P ABC ，其中面积最大的面为：122PBC S =⨯= .本题选择B 选项.三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．9.若过点()1,2的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线290x y +-=的距离为() A.655B.C.455D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得圆在第一象限，根据几何关系可设圆的方程为222()()x a y a a -+-=，a >0，代入()1,2即可求出a ，根据点到直线距离公式即可求出答案．【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为(),a a ，则半径为a ，0a >．故圆的方程为222()()x a y a a -+-=，再把点(2,1）代入，222(2)(1)a a a -+-=，解得5a =或1，故要求的圆的方程为22(5)(5)25x y -+-=或22(1)(1)1x y -+-=．故所求圆的圆心为()5,5或()1,1；故圆心到直线290x y +-=的距离655d ==或655d ==；故选：A ．10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 的渐近线上，120⋅=PF PF ，60MPN ︒∠=，则双曲线的C 的渐近线方程为（）A.2y x =± B.32y x =±C.y =D.233y x =±【答案】D由题可得12PF F △是直角三角形，则可得121||2OP F F c ==.又在OPN 中，由余弦定理可求得||PN b =，根据勾股定理可知PN ON ⊥，则在Rt PMN 中，利用||tan ||MN MPN PN ∠=可得3b a =，即渐近线方程为3y x =±.【详解】连接OP ，则由120PF PF ⋅=可知12PF PF ⊥，则在12Rt PF F 中，121||2OP F F c ==，在OPN 中，tan b PON a ∠=，则cos aPON c∠=，又||ON a =，则由余弦定理得：222||||||2||||cos PN OP ON OP ON PON =+-⋅⋅∠，解得||PN b =，由222||||||OP ON PN +=知PN ON ⊥，即PN MN ⊥，所以在Rt PMN 中，||tan ||MN MPN PN ∠=，即2ab =233b a =，所以所求渐近线方程为：233y x =±.故选D .【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，利用余弦定理解三角形，属于中档题.11.若函数321()4(0)3f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x 和2x ，则12()()f x f x +取值范围为（）A.16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.⎛-∞ ⎝C.16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.⎛-∞ ⎝【答案】C【分析】求出函数的导数，根据原函数有两个极值点可求2a >，再根据零点的性质可得()3222448x a x a =--、()3211448x a x a =--，据此可用a 表示12()()f x f x +，利用导数可求其范围.【详解】2()24f x x ax '=-+，因为()f x 存在两个极值点1x 和2x ，故1x 和2x 为2240x ax -+=的两个不同的根，故24160a ∆=->且211240x ax -+=，222240x ax -+=，122x x a +=，故2a <-（舍）或2a >且21124x ax =-，所以()()322111111242244448x ax x a ax x a x a =-=--=--，同理()3222448x a x a =--，故()()()()2121212121()()44162843f x f x a x x a a a x x x x ⎡⎤+=-+--+-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212441622883a a a a a a a ⎡⎤=---⨯-+⎣⎦3338448833a a a a a =-+=-+，设()348,23a s a a a =-+>，故()2480s a a '=-+<，故()s a 在()2,+∞上为减函数，故()()321621633s a s <=-=，故12()()f x f x +的取值范围为：16,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选：C.12.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N P 分别为棱111,,AB CC C D 的中点，动点Q ∈平面MNP ，2DQ AB ==，则下列说法错误的是（）A.1B MBC -的外接球面积为9πB.直线//PQ 平面11A BCC.正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D.点Q 的轨迹长度为3π【答案】D 【解析】【分析】可证明正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形，故可判断C 的正误，利用面面平行的判定定理可判断B 的正误，利用补体法可求1B MBC -的外接球的直径后可判断A 的正误，利用向量的方法可求D到平面MNP 的距离，从而可求点Q 的轨迹长度，故可判断D 的正误.【详解】如图，设111,,A D A A BC 的中点分别为,,S R T ，连接,,,,PS SR RM MT TN .由正方体的性质可得11//A C RN ，而SP 为三角形111A D C 的中位线，故11//SP A C ，故//SP RN ，故,,,S P R N 四点共面，同理，,,,S P T N 也四点共面，故,,,,S P R N T 五点共面，同理,,,R N T M 也四点共面，故,,,,,S P R N T M 六点共面.正方体被平面MNP 截得的截面为六边形，SP PN NT TM MT RS SP =======，因为平面MNP I 平面11B BCC NT =，平面MNP I 平面1A DDA SR =，而平面11//B BCC 平面1A DDA ，故//NT SR ，而NT 为三角形1BCC 的中位线，故1//NT BC ，故1//SR BC ，但PSR ∠与11AC B ∠方向相反，故PSR ∠与11AC B ∠互补，而11A C B △为等边三角形，故1160A C B ∠=︒，故120PSR ∠=︒，同理120SRM RMT MTN TNP NPS ∠=∠=∠=∠=∠=︒，故正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形，故C 正确.由11//A C RN ，RN ⊄平面11A B C ，11AC ⊂平面11A B C ，故//RN 平面11A B C ，同理故//RS 平面11A B C ，而,,RN RS R RN RS =⊂ 平面MNP ，故平面11//A B C 平面MNP ，而PQ ⊂平面MNP ，故//PQ 平面11A B C ，故B 正确.对于A ，将三棱锥1B MBC -补成如图所示的长方体11MBCG HB C P -，其中,H G 分别为11A B 、DC 的中点，则其外接球的直径即为11MBCG HB C P -3=，故三棱锥1B MBC -的外接球的表面积为2π39π⨯=，故A 正确.建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2D M N P ，故()()2,1,1,2,0,2MN MP =-=-，设平面MNP 的法向量为(),,m x y z = ，则00m MN m MP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，故20220x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则1,1z y ==，故()1,1,1m = ，而()0,1,2DP =，故D 到平面MNP的距离为DP md m⋅== 而2DQ =，故点Q 的轨迹为平面MNP 与球面的截面（圆），1=，故圆的周长为2π12π⨯=，故D 错误.【点睛】思路点睛：空间几何题外接球的半径的求法，可先根据几何性质确定球心的位置，然后把球的半径放置在可解的图形中求解，也可以通过补体转化为规则几何体的外接球的半径，而与球的截面的计算问题，则需计算球心到截面的距离.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设命题2:0,p x x a x ∀>+>，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是__________.【答案】a <【解析】【分析】根据原命题为真结合基本不等式可求参数的取值范围.【详解】因为p ⌝是假命题，故p 为真命题，因为0x >，故2x x+≥x =时，等号成立，故a <.故答案为：a <.14.在同一平面直角坐标系xOy 中，曲线22:1C x y +=所对应的图形经过伸缩变换2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到图形C '.点P 在曲线C '上，则点P到直线:60l y +-=的距离的最小值为____________.【答案】6152【解析】【分析】通过2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，然后代入到曲线C 的方程即可得到曲线C '的方程，再设()2cos P θθ利用点到直线的距离公式、辅助角公式及三角函数的性质计算可得.【详解】由2x x y =⎧⎪⎨=''⎪⎩得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入到221x y +=中得22()()143x y ''+=．即22143x y +=为曲线C '的直角坐标方程，设()2cos P θθ，则点P到直线60l y +-=的距离d ==其中（25sin 5ϕ=，5cos 5ϕ=），所以当sin()1θϕ+=时min d =，即点P 到直线l 的距离最小值为6152-.故答案为：615215.已知函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭，其导函数是()f x '.有()()cos sin 0f x x f x x '+<，则关于x 的不等式π()2cos 3f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为_________.【答案】ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】构造函数()()cos f x F x x =，利用导数说明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】依题意令()()cos f x F x x =，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则2()cos ()sin ()cos f x x f x x F x x'+'=，因为当ππ22x -<<时，()()cos sin 0f x x f x x '+<，所以当2,ππ2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0F x '<，∴()F x 在ππ,22⎛⎫ ⎪⎝⎭-上单调递减，则π()2cos 3f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭ 等价于π()3πcos cos 3f f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭>，即π()3F x F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴π3ππ22x x ⎧<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得ππ23x -<<，所以所求不等式的解集为ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：ππ,23⎛⎫- ⎪⎝⎭16.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，经过抛物线上一点P ，作斜率为34的直线交C 的准线于点Q ，R 为准线上异于Q 的一点，当PQR PQF ∠∠=时，PF =______．【答案】259##729【解析】【分析】根据题设条件确定P 在第一象限内，且PF QF ⊥，设2(,)4m P m 且0m >，结合0FP FQ ⋅= 得到关于m 的方程并求值，又214m PR PF ==+即可得结果.【详解】不妨令R 为过P 点垂直于准线的垂足，又PQR PQF ∠∠=，即QF 为FQR ∠角平分线，Q 是斜率为34的直线与抛物线准线的交点，则P 在第一象限内，而PR QR ⊥，且||||PR PF =，根据角平分线性质知：PF QF ⊥，如上图示，令2(,)4m P m 且0m >，则直线PQ 为23()44m y m x -=-，令=1x -，则21631216Q m m y --=，由222231*********(1,)(2,)20416216m m m m m m m FP FQ m ----⋅=-⋅-=-+= ，整理可得322381232(4)(38)0m m m m m -+-=+-=，则83m =，故225149m PR PF ==+=.故答案为：259三、解答题（本题共6道小题，22题10分，其余各题12分，共70分）17.已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-？若存在，求出求a 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）1y =-（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；（2）假设存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，利用导数可得11e a -<<-，再利用导数求出函数()f x 在区间()1,e 上的最大值，结合已知最大值列式，解得2e a =-，不满足11ea -<<-，从而可得结论.【小问1详解】当1a =-时，()ln f x x x =-+，0x >，(1)1f =-，1()1f x x'=-+，()01f '=，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10y +=，即1y =-.【小问2详解】假设存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，因为()ln f x ax x =+，0x >，1()f x a x '=+，若0a ≥，则()0f x '>在区间()1,e 上恒成立，()f x 在区间()1,e 上单调递增，此时()f x 在区间()1,e 上无最大值；故a<0，令()0f x '>，得10x a<<-，令()0f x '<，得1x a >-，则函数()f x 在1(0,a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减，因为函数()f x 在开区间()1,e 上有最大值为3-，所以11e a <-<，即11e a -<<-，所以函数()f x 在1(1,a -上单调递增，在1(,e)a -上单调递减，所以max 1()f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭11(ln a a a ⎛⎫⋅-+- ⎪⎝⎭11ln a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭3=-，得2e a =-，又11ea -<<-，所以2e a =-不成立，故不存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-.18.今年是中国共青团建团100周年，我校组织了1000名高中同学进行团的知识竞赛.成绩分成6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.若图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400.（1）求出直方图中a ，b ，c 的值；（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）在区间[]80,100内的学生中通过分层抽样抽取了5人，现从5人中再随机抽取两人进行现场知识答辩，求抽取两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内的事件概率.【答案】（1）0.01,0.015,0.02a b c ===,（2）平均数为70.5，中位数为71.7.（3）35【解析】【分析】（1）根据频率之和为1、,,a b c 成等差数列以及成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400可得关于,,a b c 的方程，求出其解即可.（2）利用组中值可求均值，利用公式可求中位数.3）根据频率之比可得抽取人数之比，再用列举法求出基本事件的总数和随机事件中的基本事件的个数，故可求对应的概率.【小问1详解】因为,,a b c 为等差数列，故2b a c =+，又()220.03101a b c +++⨯=，故220.07a b c ++=，因为成绩落在[)[)40,5070,80 内的人数为400，故()4000.03101000a +⨯=，故0.01a =，故0.015,0.02b c ==.【小问2详解】由频率分布直方图可得平均数为：450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，前3组的频率之和为0.10.150.20.45++=，前4组的频率之和为0.10.150.20.30.75+++=，故中位数在区间[)70,80中，设该数为x ，则700.50.451100.36x --==，故57071.73x =+≈.【小问3详解】区间[)80,90、[]90,100上的频率之比为0.15:0.13:2=，故5人中在分数在[)80,90内的人数为3人，记为,,a b c ，分数在[]90,100内的人数为2人，记为,A B ，从5人中随机抽取两人进行现场知识答辩，共有10种取法：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a A b A a B b B c A c B ，{}{}{}{},,,,,,,a b a c c b A B .设C 为“两人中恰好有1人得分在区间[]90,100内”，则C 中的基本事件为：{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,a A b A a B b B c A c B ，共6个，故()63105P A ==.19.如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是以,AB CD 为底边的等腰梯形，且124,60,AB AD DAB AD D D ︒==∠=⊥.（I ）求证：平面11D DBB ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若112D D D B ==，求直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）217.【解析】【分析】（Ⅰ）要证明平面11D DBB ⊥平面ABCD ，只需证明AD ⊥平面11D DBB 即可；（Ⅱ）取BD 的中点O ，易得1D O ⊥面ABCD ，以O 为原点，分别以1,,OB OC OD 为,,x y z 的非负半轴建立空间直角坐标系，计算平面1B BC 的法向量为n 与AB ，再利用公式||sin |cos ,|||||n AB n AB n AB θ⋅=<>=⋅ 计算即可.【详解】（Ⅰ）ABD △中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，由余弦定理得222cos603BD AB AD AB AD =+-⋅= ，则222AD BD AB +=，即AD BD ⊥，而11,AD D D BD D D D ⊥⋂=，故AD ⊥平面11D DBB ，又AD ⊂面ABCD ，所以平面11D DBB ⊥平面ABCD .（Ⅱ）取BD 的中点O ，由于11D D D B =，所以1D O BD =，由（Ⅰ）可知平面11D DBB ⊥面ABCD ，故1D O ⊥面ABCD .由等腰梯形知识可得DC CB =，则CO BD ⊥，2211431D O DD DO =-=-，以O 为原点，分别以1,,OB OC OD 为,,x y z 的非负半轴建立空间直角坐标系，则1(3,2,0),(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,0,1)A B C D D ---，则11(23,2,0),(3,0,1),(3,1,0)AB BB DD BC ====-设平面1B BC 的法向量为(,,)n x y z =，则1110000z n BB n BC y ⎧+=⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩，令1x =，则y z ==n = ，所以，||sin |cos ,|7||||n AB n AB n AB θ⋅=<>===⋅ ，即直线AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值为217.【点晴】本题考查面面垂直的证明、向量法求线面角，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.20.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.以点F 、E 所在的直线为x 轴，线段EF 中点为原点建立平面直角坐标系.（1）求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22195x y +=（2）存在，()3,0T ，109-【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义对照折纸的方法求出,,a b c ；（2）设直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理再结合斜率的两点公式求解即可.【小问1详解】如图以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系，设(),P x y 为椭圆上一点，由题意可知，64PF PE PA PE AE EF +=+==>=，所以P 点轨迹是以F ，E 为焦点，长轴长26a =的椭圆，所以2c =，3a =，则2225b a c =-=，所以椭圆方程为22195x y +=；【小问2详解】由已知：直线l 过()1,0Q ，设l 的方程为1x my =+，由题意m 必定是存在的联立两个方程得221951x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()225910400m y my ++-=，()22Δ100160590m m =++>得R m ∈，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1221059m y y m -+=+，1224059y y m -=+（*）所以()()1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t ⋅=⋅=--+-+-()()()1222121211y y m y y m t y y t =+-++-，将（*）代入上式，可得()()222405991TM TN k k t m t -⋅=-+-，要使TM TN k k ⋅为定值，则有290t -=，29t =，又∵0t >∴3t =，此时109TM TN k k ⋅=-，∴存在点()3,0T ，使得直线TM 与TN 斜率之积为定值109-.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.设函数()()2cos 102x f x x x =-+≥.（1）求()f x 的最值；（2）令()sin g x x =，()g x 的图象上有一点列()*11,1,2,...,,22i i i A g i n n ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，若直线1i i A A +的斜率为()1,2,...,1i k i n =-，证明：1217 (6)n k k k n -+++>-.【答案】（1）()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.（2）见解析【解析】【分析】（1）求出原函数的二阶导数后可判断二阶导数非负，故可判断导数非负，据此可求原函数的最值.（2）根据（1）可得3sin (0)6x x x x ≥-≥，结合二倍角的正弦可证：2271162i i k +>-⨯，结合等比数列的求和公式可证题设中的不等式.【小问1详解】()sin f x x x '=-+，设()sin s x x x =-+，()10()()故()()00s x s >=，所以()0f x ¢>，故()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()f x 在[)0,∞+上的最小值为()00f =，()f x 在[)0,∞+上无最大值.【小问2详解】先证明一个不等式：3sin (0)6x x x x ≥-≥，证明：设()3sin ,06x u x x x x =-+≥，则()2cos 1()02x u x x f x '=-+=≥（不恒为零），故()u x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00u x u ≥=即3sin (0)6x x x x ≥-≥恒成立.当*N i ∈时，11111111222sin sin 112222i i i i i i i i g g k ++++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==- ⎪⎝⎭-11111111111122sin cos sin 2sin 2cos 122222i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫=-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（1）可得()2cos 102x x x ≥->，故12311cos 1022i i ++≥->，故111112311112sin 2cos 12sin 2112222i i i i i i ++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-≥-- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112213322111112sin121222622i i i i i i i +++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-≥-- ⎪ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222224422117111711111622626262i i i i i +++++⎛⎫⎛⎫=--=-⨯+⨯>-⨯ ⎪⎪⨯⎝⎭⎝⎭,故1214627111...16222n n k k k n -⎛⎫+++>--+++ ⎪⎝⎭ 41111771112411166123414n n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=--⨯=--⨯ ⎪⎝⎭-771797172184726n n n n =--+⨯>->-.【点睛】思路点睛：导数背景下数列不等式的证明，需根据题设中函数的特征构成对应的函数不等式，从而得到相应的数列不等式，再结合不等式的性质结合数列的求和公式、求和方法等去证明目标不等式.22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为()11x m y k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数).若直线12,l l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C .（1）求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点,A B 是曲线C 两动点，60AOB ∠=︒，求AOB 面积的最大值.【答案】（1）22(1)1(0)x y x +-=≠（2）334【解析】【分析】（1）首先将直线方程化为普通方程，再联立消去k ，即可得到曲线C 的普通方程；（2）由cos x ρθ=、sin y ρθ=得到曲线C 的极坐标方程，设()1,A ρθ，2,3πB ρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，（π2θ≠），即可表示OA 、OB ，则1sin 2AOB S OA OB AOB =⋅∠△，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】直线1l 的参数方程为()11x m y k m =-⎧⎨=-⎩(m 为参数)，则直线1l 的普通方程为y kx =-，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(n 为参数)，则直线2l 的普通方程为2x y k -=，依题意0k ≠，由2y kx x y k =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去k 得2(2)y y x -=-，整理得22(1)1(0)x y x +-=≠，所以曲线C 的普通方程为22(1)1(0)x y x +-=≠.2因为曲线C 的普通方程为22(1)1(0)x y x +-=≠，cos x ρθ= ，sin y ρθ=，∴曲线C 的极坐标方程为()()22cos sin 11ρθρθ+-=（π2θ≠），故曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=（π2θ≠）．设()1,A ρθ，2,3πB ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（π2θ≠），则12sin OA ρθ==，2π2sin 3OB ρθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，1sin 2AOB S OA OB AOB ∴=⋅∠ 1ππ2sin 2sin sin 233θθ⎛⎫=⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭πsin3θθ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin33θθθ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭23sin cos 22θθθ=+1cos 23sin 2222θθ-=+⨯12cos 22224θθ⎫=-+⎪⎪⎝⎭π2264θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当πsin 216θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，AOB S 有最大值334．。

一、单选题1. 函数（且）的大致图象是（ ）A． B．C． D．2. ”（且）”是”且”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知为定义在上的奇函数，且，当时，，求（ ）A ．8B ．6C ．2D ．04.正四面体的棱长为，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为（ ）A．B．C．D．5. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是A．B．C．D．6. 已知是数列的前项和，，，，数列是公差为1的等差数列，则（ ）A ．366B ．367C ．368D ．3697. 已知i 是虚数单位，若复数z 满足，则（ ）A ．1B．C ．2D．8. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．9.已知函数对任意，都有，将曲线向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线的一条对称轴方程为（ ）A．B．C．D．四川省南充市2024届高三高考适应性考试（零诊）文科数学试题二、多选题三、填空题10.已知双曲线的焦距为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点.设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A．B．C．D．11. 某社会实践小组需要对一个实心圆锥形工件进行加工，该工件底面半径为，高为，加工方法为挖掉一个与该圆锥形工件同底面共圆心的内接圆柱，若要求加工后工件的质量最轻，则圆柱的半径应设计为（ ）A．B．C．D．12. 已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ）A．B．C．D．13. 设函数（），已知在有且仅有3个零点，下列结论正确的是（ ）A ．在上存在，，满足B ．在有且仅有1个最小值点C ．在单调递增D ．的取值范围是14.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，如图，四棱锥为一个阳马，其中平面，，，，均为垂足，则（）A．四棱锥的外接球直径为B．三棱锥的外接球体积大于三棱锥的外接球体积C．七点在同一个球面上D ．平面平面15. 对于任意实数，函数满足：当时，.下列关于函数的叙述正确的是（ ）A．B．是奇函数C．D ．，使得16. 若点在双曲线（，）的一条斜率为正的渐近线的右侧，为半焦距，则（ ）A．B．C．D．17. 已知向量，，若，则___.18.，则向量的夹角为___________四、填空题五、解答题六、解答题七、解答题19. 已知抛物线Γ：的焦点为，点K 在Γ上且在第一象限，直线FK 与Γ的准线交于点M ，过点M 且与x 轴平行的直线与Γ交于点H，若，则___________.20. 某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为______________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率______________．21.已知的展开式中第三项的二项式系数为15，则__________，该展开式中常数项为__________.22.已知函数（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值23. 已知函数.(1)求f （x ）的最小正周期和在的单调递增区间；(2)已知，先化简后计算求值：24. 民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献．已知某主要从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人，决定对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取40周岁以上（含40周岁）的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示．“编织巧手”非“编织巧手”总计年龄40岁19年龄40岁10总计40(1)请完成答题卡上的列联表，并判断能否有的把握认为是否是“编织巧手”与年龄有关；(2)为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率．参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82825. 已知数列的首项，且满足，.(1)求证：数列是等比数列；(2)记，求数列的前项和.26.已知圆，点P为椭圆上一点，A ，B 分别是椭圆C 的左右顶点.八、解答题九、解答题（1）若过P 点的直线与圆O 切于点Q （Q 位于第一象限），求使得面积最大值时的直线PQ 的方程；（2）若直线AP ，BP 与y 轴的交点分别为E ，F ，以EF 为直径的圆与圆O 交于点M ，求证：直线PM 平行于x 轴.27. 某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益，先准备制定一个奖励方案：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%．（1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励函数模型的基本要求，并分析是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该团队采用模型函数作为奖励函数模型，试确定最小的正整数的值．28. 如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，EA FC ，且EA =FC =AB =4，△EBD ､△FBD 都是正三角形.（1）证明：CF ⊥平面ABCD ；（2）若，求ME 与平面BDF 所成角的正弦值.。

重庆缙云教育联盟2024年高考第零次诊断性检测数学试卷（答案在最后）考生须知：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设x ∈R ，则“3x >”是“()20x x ->”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.如果复数()221i z m m m =+---是纯虚数，R,i m ∈是虚数单位，则（）A.1m ≠且2m ≠-B.1m =C.2m =- D.1m =或2m =-3.某校在开展“深化五育并举、强大核心素养”活动中，选派了5名学生到、、A B C 三个劳动实践点去劳动，每个劳动实践点至少1人，每名学生只能去一个劳动实践点，不同的选派方法种数有（）A.25B.60C.90D.1504.设函数()()2lg 1f x x =+，则使得()()211f x f x ->+成立的x 的取值范围为（）A.()0,2 B.()0,2 C.(),2-∞ D.()(),02,-∞+∞ 5.已知椭圆2214x y +=，直线:2l y x m =+，若椭圆上存在关于直线l 对称的两点，则实数m 的取值范围是（）A.()1,1- B.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭C.(D.,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6.已知a =3log 2b =，sin(cos1.1)c =，则（）A.b<c<aB.a c b <<C.c<a<bD.c b a<<7.若)sin s ()2in x x x f x =-，且()()123f x f x =-，则12x x -的最小值为（）A.πB.π2C.2πD.π48.17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程210x x --=改写成11x x=+①，将x 再代入等式右边得到1111x x=++，继续利用①式将x 再代入等式右边得到111111x x=+++……反复进行，取1x =时，由此得到数列1，111+，11111++，1111111+++，L ，记作{}n a ，则当n 足够大时，n a 逼近实数152+．数列{}n a 的前2024项中，满足0.005n a -<的n a 的个数为（参考数据：15 1.6182+≈）A.1007B.1009C.2014D.2018二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（）A.AM 与11D B所成角的余弦值为10B.过三点A 、M 、1D 的截面面积为112C.四面体11A C BD 的内切球的表面积为π3D.E 是1CC 边的中点，F 是AB 边的中点，过E 、M 、F 三点的截面是六边形．10.已知直线:280l x y -+=和三点(2,0)A ，(2,4)B --，(2,5)C ，过点C 的直线1l 与x 轴、y 轴的正半轴交于M ，N 两点．下列结论正确的是（）A.P 在直线l 上，则PA PB +的最小值为B.直线l 上一点(12,10)P 使PB PA -最大C.当||||CM CN ⋅u u u u r u u u r最小时1l 的方程是70x y +-=D.当||||OM ON ⋅u u u u r u u u r最小时1l 的方程是5150x y +-=11.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,∞+上单调递减的是（）A.24y x =-+ B.1y x -=C.13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.y =12.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为21s ，平均数为1x ;去掉的两个数据的方差为22s ，平均数为2x ﹔原样本数据的方差为2s ，平均数为x ，若x =2x ，则下列说法正确的是（）A.x 1x =B.222121514s s s =+C.剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数D.剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量21,e e 的夹角为60，向量1223a e e =-+ ，1242b e e =- ，则向量a ，b 夹角的余弦值为______.14.已知球的两个平行截面的面积分别为49π，100π且两个截面之间的距离是9，则球的表面积为_________．15.已知ABC 的三个内角A 、B 、C 所对应的边分别是a 、b 、c ，其中A 、C 、B 成等差数列，a =sin()cos C A B -=，则ABC 的面积为________．16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[e]3-=-，[2.1]2=，定义函数()[]f x x x =-，则函数()f x 的值域为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin 2sin b A a B =．（1）求A ；（2）若,4a c ==，求ABC 的面积．18.已知数列{}n a 是等差数列，5,21,10,2,n n n a n k k b a n k k **⎧+=-∈=⎨-+=∈⎩N N，记n T 为数列{}n b 的前n 项和，且3424T T ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()96n m T T n m ==<，求n ，m .19.为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了如下频率分布表（不完整）：学生与最近食堂间的距离()m d (]0,200(]200,400(]400,600(]600,800()800,+∞合计在食堂就餐0.150.100.000.50点外卖0.200.000.50合计0.200.150.00 1.00并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为370m （同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.（1）补全频率分布表，并根据小概率值0.0001α=的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过400m 时，认为较近，否则认为较远）：（2）已知该校李明同学的附近有两家学生食堂甲和乙，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.（i ）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂就餐.此时，记他选择去甲食堂就餐为事件A ，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件D ，且D 、A 均为随机事件，证明：()()P D A P D A >：（ii ）为迎接为期7天的校庆，甲食堂推出了如下两种优惠活动方案，顾客可任选其一.①传统型优惠方案：校庆期间，顾客任意一天中午去甲食堂就餐均可获得a 元优惠；②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾客去甲食堂就餐的若干天（不必连续）中午，第一天中午不优惠（即“饥饿”一天），第二天中午获得2b 元优惠，以后每天中午均获得b 元优惠（其中a ，b 为已知数且0b a >>）.校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均为p （01p <<），且是否去甲食堂就餐相互独立.又知李明是一名“激进型”消费者，如果两种方案获得的优惠期望不一样，他倾向于选择能获得优惠期望更大的方案，如果两种方案获得的优惠期望一样，他倾向于选择获得的优惠更分散的方案.请你据此帮他作出选择，并说明理由.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.100.0100.001x α2.7066.63510.82820.已知点()4,0E -，()1,0F -，动点P 满足2PEPF=，设动点P 的轨迹为曲线C ，过曲线C 与x 轴的负半轴的交点D 作两条直线分别交曲线C 于点,A B （异于D ），且直线AD ，BD 的斜率之积为13-.（1）求曲线C 的方程；（2）证明：直线AB 过定点.21.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC 、90ADC ∠= 、112BC CD AD ===、PA PD =，E 、F 分别为AD 、PC 的中点，PE CD ⊥．（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若PC 与AB 所成角为45 ，求二面角F BE A --的余弦值．22.已知函数()2e xf x x =-．（1）求()f x 的最值；（2）若方程()2e e xxf x a a =-有两个不同的解，求实数a 的取值范围．重庆缙云教育联盟2024年高考第零次诊断性检测数学试卷考生须知：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设x ∈R ，则“3x >”是“()20x x ->”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式()20x x ->可得2x >或0x <，根据x 取值的范围大小即可知“3x >”是“()20x x ->”的充分不必要条件.【详解】由不等式()20x x ->可得2x >或0x <；易知{}|3x x >是{|2x x >或}0x <的真子集，所以“3x >”是“()20x x ->”的充分不必要条件.故选：A2.如果复数()221i z m m m =+---是纯虚数，R,i m ∈是虚数单位，则（）A.1m ≠且2m ≠-B.1m =C.2m =-D.1m =或2m =-【答案】C 【解析】【分析】根据题意复数z 为纯虚数，即得22010m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，从而求解.【详解】由复数()221i z m m m =+---是纯虚数，得22010m m m ⎧+-=⎨-≠⎩解得:2m =-.故选:C .3.某校在开展“深化五育并举、强大核心素养”活动中，选派了5名学生到、、A B C 三个劳动实践点去劳动，每个劳动实践点至少1人，每名学生只能去一个劳动实践点，不同的选派方法种数有（）A.25B.60C.90D.150【答案】D 【解析】【分析】按照先分组，再分配的方法，即可求解.【详解】将5名学生分成3组，3，1，1或是2，2，13，1，1的分组有35C 10=种方法，2，2，1的分组有225322C C 15A =种方法，所以分组方法共有101525+=种，再分配到3个劳动点，则有3325A 150=种方法.故选：D4.设函数()()2lg 1f x x =+，则使得()()211f x f x ->+成立的x 的取值范围为（）A.()0,2 B.()0,2 C.(),2-∞ D.()(),02,-∞+∞ 【答案】D 【解析】【分析】易得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，可将不等式化为22211x x ->+，解不等式即可.【详解】因为()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，因为()()211f x f x ->+，所以22211x x ->+，即2241412x x x x +->++，所以2360x x ->，所以0x <或2x >故选：D.5.已知椭圆2214x y +=，直线:2l y x m =+，若椭圆上存在关于直线l 对称的两点，则实数m 的取值范围是（）A.()1,1- B.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭C.(D.3232,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】设椭圆上两点()()1122,,,A x y B x y 关于直线:2l y x m =+对称，则可设直线AB 方程为12y x t =-+，将其与椭圆方程联立，令0∆>，可算出t 的范围，又线段AB 的中点()00,M xy 也在直线:2l y x m =+上，结合韦达定理可以算出,m t 的关系式，从而得解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点()00,Mxy ，若此椭圆上存在不同的两点,A B 关于直线:2l y x m =+对称，所以直线AB 的方程可以设为12y x t =-+，联立221412x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，化为222220x tx t -+-=，()2244220t t ∆=-->，解得22,t t <<<而122x x t +=，所以000111,222x t y x t t t t ==-+=-+=，即,2t M t ⎛⎫⎪⎝⎭，代入直线:2l y x m =+可得22tt m =+，所以3222m t -<=-<，即实数m 的取值范围是3232,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D.6.已知a =3log 2b =，sin(cos1.1)c =，则（）A.b<c<aB.a c b <<C.c<a<bD.c b a<<【答案】D 【解析】【分析】根据正弦函数和余弦函数单调性得到1sin(cos1.1)sin 2c <=，再构造函数()sin x x x f -=，得到其单调性，得到11sin(cos1.1)sin22c <=<，构造函数()()e 1x g x x =-+，求导得到其单调性，得到132e3->，结合对数函数单调性得到312log 2,23⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，比较出大小.【详解】因为π1.13>，而cos y x =在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，故π1cos1.1cos32<=，又sin y x =在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，故1sin(cos1.1)sin2c <=，令()sin x x x f -=，则()cos 10x x f '=->在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，故()sin x x x f -=在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，()()00f x f >=，故102f ⎛⎫>⎪⎝⎭，即11sin 22>，故11sin(cos1.1)sin 22c <=<，又13e a -==，令()()e 1x g x x =-+，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，故()1003g g ⎛⎫->= ⎪⎝⎭，故132e 3->，因为3223<，所以()()11323323<，即2323<，因为3log y x =在()0,∞+上单调递增，故32log 23<，又331log 2log 2>=，故312log 2,23⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故c b a <<故选：D【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.7.若)sin s ()2in x x x f x =-，且()()123f x f x =-，则12x x -的最小值为（）A.πB.π2C.2πD.π4【答案】B 【解析】【分析】化简()f x 解析式，得函数最大最小值与周期，利用()()123f x f x =-条件转化为与最值的关系，再由最值与周期的关系可得.【详解】)si o (n )2s sin xx xf x =-222sin x x =-2cos 21x x =+-2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()f x 的周期为πT =，且令sin 26t x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则[]1,1t ∈-，则()()21f x g t t ==-，由()g t 的值域为[]3,1-，故max min ()1,()3f x f x ==-，则123()13()1f x f x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，故()()1239f x f x -≤≤，由()()123f x f x =-知，12()1()3f x f x =⎧⎨=-⎩，或21()1()3f x f x =⎧⎨=-⎩.即12(),()f x f x 为函数的最大与最小值，或最小与最大值，当12,x x 对应()f x 图象上相邻两最值点时，12x x -的值最小，故12minπ22T x x -==.故选：B.8.17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程210x x --=改写成11x x=+①，将x 再代入等式右边得到1111x x=++，继续利用①式将x 再代入等式右边得到111111x x=+++……反复进行，取1x =时，由此得到数列1，111+，11111++，1111111+++，L ，记作{}n a ，则当n 足够大时，n a 逼近实数152+．数列{}n a 的前2024项中，满足0.005n a -<的n a 的个数为（参考数据：15 1.6182+≈）A.1007 B.1009C.2014D.2018【答案】D 【解析】【分析】作差讨论112n a ++-的符号与n a的关系，结合112a +<可得2112n a -+<，212n a +>，然后讨论奇数项和偶数项的单调性，再验证前8项哪些满足题意，结合单调性即可解答.【详解】由题，111n n a a +=+，0n a >且前8项为1，2，32，53，85，138，2113，3421，111112122n n n na a a +++-=+-=，所以当152n a +<时，11502n a ++->；当12n a +>时，1102n a ++-<．又1112a +=<，所以2112n a -+<，212n a +>.因为2111221111111n n n n n n n n na a a a a a a a a ++⎛⎫⎛+--- ⎪⎝⎭⎝⎭-=+-=+-=-++，其中102n a ->，所以21210n n a a +-->，2220n n a a +-<所以13512a a a +<<<<，24612a a a >>>> ，所以135a a a ->->>⋅⋅⋅，246a a a >->>⋅⋅⋅，又因为570.005,0.005a a ><，680.005,0.005a a >-<所以不满足0.005n a <的分别为1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，202462018-=.故选：D ．【点睛】本题难点在于作差讨论1152n a ++-的符号与n a 的关系，从而得到2112n a -+<，2152n a +>，这对学生的思维能力有很高的要求，不易想到，但结合本题目标分析，似乎又是理所当然.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（）A.AM 与11D B 所成角的余弦值为1010B.过三点A 、M 、1D 的截面面积为112C.四面体11A C BD 的内切球的表面积为π3D.E 是1CC 边的中点，F 是AB 边的中点，过E 、M 、F 三点的截面是六边形．【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解；对于B ，作出过三点A 、M 、1D 的截面，即可求其面积；对于C ，利用等体积法求出内切球的半径，即可求解；对于D ，利用几何作图，作出过E 、M 、F 三点的截面，即可判断.【详解】对于A ，以1A 为坐标原点，以11111,,A D A B A A 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，11(0,0,2),(1,2,2),(0,2,0),(2,0,0)A M B D ，则()()11120220,,,,,B A D M ==-,则111111cos ,10||||D B D B AM D B AM AM ⋅〈〉==，AM 与11D B 所成角的范围为π(0,]2，故AM 与11D B所成角的余弦值为10，A 正确；对于B ，设N 为1CC 的中点，连接MN ，则11MN BC AD ∥∥，且111122MN BC AD ==，则梯形1AMND 即为过三点A 、M 、1D的截面，11MN AD AM D N ====2=，故梯形面积为为19222S =⨯=，B 错误；对于C ，如图，四面体11A C BD 的体积等于正方体体积减去四个角上的直三棱锥的体积，即33118242323V =-⨯⨯⨯=，该四面体的棱长为，其表面积为1π4sin 23S =⨯⨯=设四面体内球球半径为r ，则18,333r r ⨯=∴=，故四面体11A C BD 的内切球的表面积为24π4π3r =，C 错误；对于D ，如图，延长ME 和11B C 的延长线交于J ，则MCE △≌1JC E ，则1JC MC =，设H 为11A D 的中点，则11JC D H =，连接HJ ，则1JC G ≌1HD G ，则11C G D G =，故G 为11D C 的中点，故11HG A C AC FM ∥∥∥，同理延长,MF DA 交于L ，连接LH ，交1AA 于K ，K 即为1AA 的中点，则K ，E 在,FM HG 确定的平面内，则六边形FMEGHK 即过E 、M 、F 三点的截面，是六边形，D 正确，故选：AD【点睛】难点点睛：本题综合考查了空间几何中的线线角、截面、以及内切球问题，难度较大，解答时要发挥空间想象能力，明确空间的位置关系，结合空间向量以及等体积法和几何作图解决问题.10.已知直线:280l x y -+=和三点(2,0)A ，(2,4)B --，(2,5)C ，过点C 的直线1l 与x 轴、y 轴的正半轴交于M ，N 两点．下列结论正确的是（）A.P 在直线l 上，则PA PB +的最小值为B.直线l 上一点(12,10)P 使PB PA -最大C.当||||CM CN ⋅u u u u r u u u r最小时1l 的方程是70x y +-=D.当||||OM ON ⋅u u u u r u u u r最小时1l 的方程是5150x y +-=【答案】BC 【解析】【分析】对于A ：求出点B 关于直线l 的对称点(),B m n '，然后通过PA PB PA PB AB ''+=+≥求最小值；对于B ：通过PB PA AB -≤，当,,A B P 三点共线时取最大值来求解；对于C ：设()1:25,0l y k x k =-+<，求出,M N 坐标，表示出||||CM CN ⋅u u u u r u u u r，利用基本不等式求最小值；对于D ：表示出||||OM ON ⋅u u u u r u u u r，利用基本不等式求最小值.【详解】对于A ：设点B 关于直线l 的对称点为(),B m n '，则411222428022n m m n +⎧⨯=-⎪⎪+⎨-+-+⎪-⨯+=⎪⎩，解得3836,55B ⎛⎫'-⎪⎝⎭12PA PB PA PB AB ''∴+=+≥=，当,,A B P '三点共线时取最小值.A错误；对于B ：PB PA AB -≤，当,,A B P 三点共线时取最大值，又()4:24AB l y x =-，即20x y --=，联立20280x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得12,10x y ==，即直线l 上一点(12,10)P 使PB PA -最大，B正确；对于C ：设()1:25,0l y k x k =-+<，当0x =时，25y k =-+，当0y =时，52x k=-+，即()52,0,0,25M N k k ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，||||CM CN ⋅=u u u u r u u ur 20=，当且仅当221kk =，即1k =-时等号成立，此时()1:25l y x =--+，即70x y +-=，C 正确；对于D ：()()5252252042040||||k k k k OM O N ⋅=⎛⎫-+-+=++-≥+= ⎪-⎝⎭u u u u r u u u r ，当且仅当()254k k=--，即52k =-时等号成立，此时()15:252l y x =--+，即52200x y +-=，D 错误.故选：BC.11.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,∞+上单调递减的是（）A.24y x =-+ B.1y x -=C .13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.y =【答案】AC 【解析】【分析】根据基本初等函数的奇偶性及单调性判断即可得解.【详解】函数24y x =-+是偶函数，又在区间()0,∞+上单调递减，故A 符合；函数1y x -=为奇函数，故B 不符合；函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是偶函数，又在区间()0,∞+上13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，故C 符合；函数y =[0,)+∞，不关于原点对称，既不是奇函数，也不是偶函数，故D 不符合．故选：AC ．12.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为21s ，平均数为1x ;去掉的两个数据的方差为22s ，平均数为2x ﹔原样本数据的方差为2s ，平均数为x ，若x =2x ，则下列说法正确的是（）A.x 1x =B.222121514s s s =+C.剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数D.剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 选项，求出剩下的28个样本数据的和、去掉的两个数据和、原样本数据和，列出方程即可；对于B 选项，写出21s 和22s 的表达式即可；对于C 选项，根据中位数定义判断即可；对于D 选项，根据分位数定义判断即可.【详解】A.剩下的28个样本数据的和为128x ，去掉的两个数据和为22x ，原样本数据和为30x ，所以1228230x x x +=，因为x =2x ，所以x 1x =，故A 选项正确；B.设1232930x x x x x <<<<< ，2222121312911[()()()]28s x x x x x x =-+-++- ，因为12x x x ==，所以2222113011[(()]2s x x x x =-+-，所以()()()()()222222221211213129130128230s s x x xx xx xx xx s ⎡⎤+=-+-+-++-+-=⎢⎥⎣⎦，所以222121514s s s =+，故B 选项正确；C.剩下28个数据的中位数等于原样本数据的中位数，故C 选项错误；D.去掉2个数据，则剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数，故D 正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量21,e e 的夹角为60，向量1223a e e =-+ ，1242b e e =- ，则向量a ，b 夹角的余弦值为______.【答案】7-##【解析】【分析】以1e ，2e为基底展开计算即可求解【详解】由题意，得()()22221211222341297ae e e e e e =-+=-⋅+=ru r u u r u r u r u u r u u r ，()()2222121122421616412b e e e e e e =-=-⋅+=r u r u u r u r u r u u r u u r .而()()2212121122234281666a b e e e e e e e e ⋅=-+⋅-=-+⋅-=- ，所以cos ,7a b a b a b⋅===-⋅r rr r r r .故答案为：7-14.已知球的两个平行截面的面积分别为49π，100π且两个截面之间的距离是9，则球的表面积为_________．【答案】2500π【解析】【分析】先根据截面面积得到两个圆截面的半径，由于球的对称性，考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的同侧和异侧两种情况，加以分类讨论.【详解】由球的截面为圆，设两个平行的截面圆的半径分别为1r ，2r ，球的半径为R ，因为21π49πr ⋅=，所以17r =，又22π400πr ⋅=，所以220r =，当两截面在球心的同侧时，9=，解得2625R =，球的表面积为24π2500πR =；当两截面在球心的同侧时，9=，无解；综上，所求球的表面积为2500π.故答案为：2500π.15.已知ABC 的三个内角A 、B 、C 所对应的边分别是a 、b 、c ，其中A 、C 、B 成等差数列，a =sin()cos C A B -=，则ABC 的面积为________．【答案】3+3+【解析】【分析】由题意首先得出π3C =，结合诱导公式、两角和差的正弦公式算出π4A =，进一步可以算出sin B ，结合a =c ，最终根据三角形面积公式即可求解.【详解】因为A 、C 、B 成等差数列，所以3πA C B C ++==，即π3C =，又()sin()cos cos C A B C A -==-+，所以11cos sin sin cos 2222A A A A -=-，解得sin cos A A =，则tan 1A =，因为()0,πA ∈，即π4A =，所以()ππ212326sin sin sin 4322224B AC ⎛⎫=+=+=⨯+⨯ ⎪⎝⎭，又a =所以由正弦定理有sin sin c a C A=22=，解得c =，所以ABC的面积为11sin 3224ABC S ac B ==⨯= .故答案为：316.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[e]3-=-，[2.1]2=，定义函数()[]f x x x =-，则函数()f x 的值域为______.【答案】[0,1)【解析】【分析】根据高斯函数的定义，可得函数()[]f x x x =-的图象，即可的解.【详解】由高斯函数的定义可得：当01x ≤<时，[]0x =，则[]x x x -=，当12x ≤<时，[]1x =，则[]1x x x -=-，当23x ≤<时，[]2x =，则[]2x x x -=-，当34x ≤<时，[]3x =，则[]3x x x -=-，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，由图象知()f x 的值域为[0,1).故答案为：[0,1)四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin 2sin b A a B =．（1）求A ；（2）若,4a c ==，求ABC 的面积．【答案】（1）π3A =；（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合二倍角的正弦公式求解即得.（2）由（1）的结论，利用余弦定理求出b ，再利用三角形面积公式计算即得.【小问1详解】在ABC 中，由正弦定理、二倍角的正弦公式及sin 2sin b A a B =，得2sin sin cos sin sin A B A A B =．又sin sin 0A B >，因此1cos 2A =，而()0,πA ∈，所以π3A =．【小问2详解】由（1）知π3A =，由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-．而,4a c ==，则223164b b b =+-，0b >，解得2b =，所以ABC的面积1sin 2S bc A ==18.已知数列{}n a 是等差数列，5,21,10,2,n n n a n k k b a n k k **⎧+=-∈=⎨-+=∈⎩N N，记n T 为数列{}n b 的前n 项和，且3424T T ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()96n m T T n m ==<，求n ，m .【答案】（1）32n a n =-（2）11n =，16m =【解析】【分析】设数列{}n a 的通项公式为：()11n a a n d +-=,根据n a 与n b 的关系及3424T T ==（1）求解出1a 和d ,即可得{}n a 的通项公式；（2）分奇偶对n 和m 进行讨论，再根据96n m T T ==求解n ,m .【小问1详解】设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d +-=.()()()31231231510520T b b b a a a a d =++=++-+++=++，由324T =，故14a d +=.因为34T T =，所以441103100b a a d =-+=--+=解得3d =，11a =，故32n a n =-.【小问2详解】当2n k =，*k ∈N 时，2k n=()2122121512n k k k T T b b b b k d k -==++++=-= ,所以6n T n =.当21n k =-，*k ∈N 时，21k n =+，()21122122121261812n k k k k T T b b b T b k k k --==+++=-=--=- ，所以93n T n =-由已知n m T T =，故n ，m 不能同时为奇数或偶数，所以n ，m 为奇数与偶数.当n 为奇数，m 为偶数时，则96n m T T ==，所以93696n m -==，11n =，16m =；当n 为偶数，m 为奇数时，则96n m T T ==，所以93696m n -==，16n =，11m =.因为n m <，所以11n =，16m =.19.为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了如下频率分布表（不完整）：学生与最近食堂间的距离()m d (]0,200(]200,400(]400,600(]600,800()800,+∞合计在食堂就餐0.150.100.000.50点外卖0.200.000.50合计0.200.150.00 1.00并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为370m （同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.（1）补全频率分布表，并根据小概率值0.0001α=的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过400m 时，认为较近，否则认为较远）：（2）已知该校李明同学的附近有两家学生食堂甲和乙，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.（i ）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂就餐.此时，记他选择去甲食堂就餐为事件A ，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件D ，且D 、A 均为随机事件，证明：()()P D A P D A >：（ii ）为迎接为期7天的校庆，甲食堂推出了如下两种优惠活动方案，顾客可任选其一.①传统型优惠方案：校庆期间，顾客任意一天中午去甲食堂就餐均可获得a 元优惠；②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾客去甲食堂就餐的若干天（不必连续）中午，第一天中午不优惠（即“饥饿”一天），第二天中午获得2b 元优惠，以后每天中午均获得b 元优惠（其中a ，b 为已知数且0b a >>）.校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均为p （01p <<），且是否去甲食堂就餐相互独立.又知李明是一名“激进型”消费者，如果两种方案获得的优惠期望不一样，他倾向于选择能获得优惠期望更大的方案，如果两种方案获得的优惠期望一样，他倾向于选择获得的优惠更分散的方案.请你据此帮他作出选择，并说明理由.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.100.0100.001x α2.7066.63510.828【答案】（1）频率分布表见解析，根据小概率值0.0001α=的独立性检验，可以认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（2）（i ）证明见解析；（ii ）当00p p <<时，选择传统型优惠方案；当01p p ≤<时，选择“饥饿型”优惠方案，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意补全频率分布表，然后计算2χ，与临界值表对比即可；（2）（i ）证法一：根据题意得到()()||P A D P A D >，()()||P A D P A D >，然后结合条件概率公式得到()()()P AD P A P D >，最后利用作差法和条件概率公式证明即可；证法二：根据题意得到()()||P A D P A D >，()()||P A D P A D >，然后结合条件概率公式得到()()P AD P AD >，()()P AD P AD >，最后利用作差法和条件概率公式证明即可；（ii ）根据题意得到两种方案的优惠期望，然后分()()E X E Y >、()()E X E Y =和()()E X E Y <三种情况考虑即可.【小问1详解】（1）设(200400],d ∈组的频率为t ，则(400600]d ∈，组的频率为10.200.150.65t t ---=-，估计学生与最近食堂间的平均距离()1000.203005000.657000.15450200370d t t t =⨯++-+⨯=-=，解得0.40t =，故可补全频率分布表如下：学生与最近食堂间的距离()d m (]0,200(]200,400(]400,600(]600,800()800,+∞合计在食堂就餐0.150.200.100.050.000.50点外卖0.050.200.150.100.000.50合计0.200.400.250.150.001.00据此结合样本容量为2000可列出22⨯列联表如下：学生距最近食堂较近学生距最近食较堂远合计在食堂就餐7003001000点外卖5005001000合计12008002000零假设0H ：学生中午的用餐情况与学生距最近食堂的远近无关.注意到()220.001200070050030050050010.8281000100012008006x x ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯.据小概率值0.001α=的独立性检验，推断0H 不成立，即可以认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关.【小问2详解】（i ）证法一：由题意得()()||P A D P A D >，()()||P A D P A D >，结合()()()()1P A D P A D P A D P A D +=+=，(|)0.5(|)P A D P A D >>.结合条件概率公式知()()()()()()()1P P AD P A P AD P D P D A D P D ->=-，即()()()P AD P A P D >.()()()()()()||P AD P AD P D A P D A P A P A -=-()()()()()()()()()()()()[1]0[1][1]P AD P A P D P AD P A P AD P A P D P A P A P A P A ⎡⎤----⎣⎦==>--，即()()||P D A P D A >成立.证法二：由题意得()()||P A D P A D >，()()||P A D P A D >，所以()()()()()()P ADP AD P AD PAD P D P D >⇔>，同理()()P AD P AD >，于是()()()()P AD P A P AD P AD D >，故()()()()()()||P AD P AD P D A P D A P A P A -=-()()()()()()()()[]P AD P AD P AD P P AD P AD P A P A AD ⎡⎤+-+⎣⎦=()()()()()()0P AD P AD P AD P ADP A P A -=>，即()()||P D A P D A >成立.（ⅱ）设李明在校庆期间去食堂甲就餐的次数为ξ，若选择传统型优惠方案获得的优惠为X 元，若选择“饥饿型”优惠方案获得的优惠为Y 元，则()7,B p ξ~，X a ξ=，对07k ≤≤，有(0)(1),0()0,1(),27P P k P Y kb k P k k ξξξ=+==⎧⎪===⎨⎪=≤≤⎩，故()()()7E X E a aE pa ξξ===，()()()()()7772201k k k E Y kbP Y kb b kP k b kP k P ξξξ===⎡⎤======-=⎢⎥⎣⎦∑∑∑6[()(1)]7[1(1)]b E P pb p ξξ=-==--，令()()E X E Y =，结合a b <得1p =-，记为0p .若01p p <<，则6()()7{[(1)]}0E Y E X p b q p a -=--->，()()E Y E X >，此时李明应选择“饥饿型”优惠方案；若00p p <<，则6()()7{[(1)]}0E Y E X p b q p a -=---<，()()E Y E X <，此时李明应选择传统型优惠方案.若0p p =，则()611ap b-=-，()()E X E Y =.注意到()()()()2271D X D a a D pa p ξξ===-，()()()()()()722222k D Y Y E E k Yb P Y kb E X =⎡⎤⎡⎤=-==-⎣⎦⎣⎦∑()()()77222222222049149k k b k P k p a b k P k P p a ξξξ==⎡⎤==-==-=-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()22222222{149]()(1)}9[4b E P p a b E D P p a ξξξξξ⎡⎤=-=-=+-=-⎣⎦()()()66222222497171497{6117}b p p p p p p a p b p p pa ⎡⎤⎡⎤=+----=+---⎣⎦⎣⎦.因此2622()()7{[61(1)]7(1)}D Y D X p b p p pa p a -=+-----(){}()()227661760p pb ab p a p b a p b a a =+-+=-⋅++>⎡⎤⎣⎦，即()()D Y D X >.此时李明选择获得的优惠更分散的方案，即获得的优惠方差更大的方案，即“饥饿型”优惠方案.综上所述，当00p p <<时，李明应选择传统型优惠方案；当01p p ≤<时，李明应选择“饥饿型”优惠方案.20.已知点()4,0E -，()1,0F -，动点P 满足2PE PF=，设动点P 的轨迹为曲线C ，过曲线C 与x 轴的负半轴的交点D 作两条直线分别交曲线C 于点,A B （异于D ），且直线AD ，BD 的斜率之积为13-.（1）求曲线C 的方程；（2）证明：直线AB 过定点.【答案】（1）224x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据2PE PF=设点代入即可得到曲线C 的方程；（2）先考虑斜率存在的情况，设直线联立，得到AB 方程，进而得到AB 过定点，再考虑斜率不存在的情况，也得到AB 过该定点即可.【小问1详解】设(),P x y ，由2PE PF=，得2PE PF ==，两边平方并化简，得曲线C 的方程为224x y +=.【小问2详解】由（1）得()2,0D -，设直线AD 、BD 的斜率分别为1k ，()212k k k >，如图所示，当AB 不垂直于x 轴时，设()1:2AD y k x =+，联立()22142x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，整理得()222211114440k x k x k +++-=，解得2x =-（舍）或2121221k x k -+=+，当2121221k x k -+=+时，21112211224211k k y k k k ⎛⎫-+=+= ⎪++⎝⎭，所以2112211224,11k k A k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理得2222222224,11k k B k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，所以AB 的斜率()()()()()()122222122112222222121221221244414111222221121111ABk k k k k k k k k k k k k k k k k -+-+++==---+--+-++()()()()1221122121124414k k k k k k k k k k k k ---==+-+，因为1213k k =-，代入可得()1243AB k k k =-+，故AB 的方程为()2112211214224131k k y x k k k k ⎛⎫--=-- ⎪+++⎝⎭，即()()()()()()()2211112222121121211218148412443133131k k k k k y x x k k k k k k k k k k k -++=-++=-++++++++，()()()()1212124441,333x x k k k k k k =-+=--+++故AB 过定点()1,0；当AB x ⊥轴时，设()00,A x y ，则()00,B x y -，所以0012001223y y k k x x -=⋅=-++，即()220032y x =+，又因为2222000044x y y x +=⇒=-，代入可得20020x x +-=，解得01x =或02x =-（舍），所以((,1,A B（或((1,,1,A B ），所以AB 的方程为1x =，过点()1,0.综上，直线AB 过定点()1,0T 21.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC 、90ADC ∠= 、112BC CD AD ===、PA PD =，E 、F 分别为AD 、PC 的中点，PE CD ⊥．（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若PC 与AB 所成角为45 ，求二面角F BE A --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3-【解析】【分析】（1）根据PA PD =，E 为AD 的中点，得到PE AD ⊥，再由PE CD ⊥，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；（2）以E 为原点，以EA 为x 轴，EB 为y 轴，以EP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得平面EBF 的一个法向量为()m x y z =，， ，再由平面ABE 的一个法向量为(001)，，= n ，由cos ,||||m n m n m n ⋅<>=⋅求解.【小问1详解】证明：∵PA PD =，E 是AD 的中点，∴PE AD ⊥，又PE CD ⊥，AD CD D = ，AD 、CD ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，∵PE ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ；【小问2详解】解：∵//AD BC 、90ADC ∠= 、112BC CD AD ===，∴AE BE ⊥，以E 为坐标原点，EA 、EB 、EP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，连接EC ，∵//AE BC 、AE BC =，∴四边形AECB 为平行四边形，∴//AB CE ，∴PCE ∠是异面直线PC 与AB 所成的角，则45PCE ∠=o ，∴PE CE ==()000E ，，、(00P 、(0)10B ，，、()110C -，，，∴11222F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，设平面BEF 的法向量为()m x y z =，， ，又(0,1,0)EB = 、112(,,)222EF =- ，∴0110222m EB y m EF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令1z =，则x =、0y =，∴m =r，又平面ABE 的法向量(001)，，= n ，。

雅安市高2022级高三“零诊”考试数学试题（答案在最后）本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，请务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在试题卷和答题卡上.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}2,1,0,1,2,3M =--，{}210N x x =->，则M N = （）A.{}2,3 B.{}1,2,3 C.{}0,1,2,3 D.{}2,1,0,1,2,3--2.若i 是虚数单位，复数21ii-=+A.1322i + B.1322i - C.3322i + D.3322i -3.命题“x ∀∈R ，4222x x x ≥--”的否定是（）A.x ∀∉R ，4222x x x <--B.x ∃∉R ，4222x x x ≥--C.x ∃∈R ，4222x x x <-- D.x ∀∈R ，4222x x x <--4.函数()e e sin π4x xf x x -+=⋅在区间[]3,3-上的图象大致为（）A. B.C. D.5.已知,a b ∈R ，则“a b >”是“1a b >+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知单位向量a ，b满足0a b ⋅= ，则cos ,24a b a b ++=r r r r （）A.B.255C.55D.10107.若1sin()6αβ-=，且tan 2tan αβ=，则sin()αβ+=（）A.32B.22C.23D.128.下列不等式成立的是（）A.23343344⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.24log 5log 12< C.75log 35>D.3.93.9>二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()1πtan 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为4πB.()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称C.将()f x 的图象向左平移π4个单位，所得图象的解析式为13πtan 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.4π7π510f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10.已知函数()f x 的定义域为R ，若(31)f x +为偶函数，(2)2f x +-为奇函数，且(1)0f =，则（）A.()f x 为周期函数B.()f x 的图象关于点(2,1)对称C.(3)f -，(2)f -，(1)f -成等差数列D.(1)(2)(3)(9)16f f f f +++⋅⋅⋅+=11.已知各项都是正数的数列{}()*n a n ∈N 的前n 项和为n S ，且22n n na S a =+，则下列结论中正确的是（）A.{}n a 是单调递增数列B.212n n n S S S +++<C.11221112n n S S S S +-+++>L D.21ln 324n n S n S -≤-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()4,2a =- ，()2,b x = ．若()//2a a b -，则x =______．13.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知13410a a a =+=-，则n S 的最小值为________．14.定义：已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()f x '是可导函数且其导函数记为()f x ''，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()(){}3221x f x f K ''=⎡⎤+⎣⎦'．据此，曲线2e x y =（其中x ∈R ）的曲率K 的最大值为________．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin 2cos sin ab ac C c b A c A -=-．（1）求A 的大小；（2）若ABC V 的外接圆半径为4，且3cos cos 8B C =-，求ABC V 的面积．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2321423n S S S S n n n++++=+L ，其中*n ∈N ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足14n n n a a b +⋅⋅=，证明：115nkk b =<∑．17.已知函数()1e xax f x +=，其中a ∈R ，（1）当0a <时，求()f x 的单调区间；（2）当1a =时，过点()1,m -可以作3条直线与曲线()y f x =相切，求m 的取值范围．18.已知数列{}n a 满足12332a a -=，11348n n a a -=+（*n ∈N ，且2n ≥）．（1）证明：数列1{}2n a -是等比数列；（2）求数列{}n n a ⋅的前n 项和n H ；（3）令283n n n a b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：114n n n T n -+<<．19.已知函数2()(ln )1f x ax a x x =+--．（1）若()f x 有2个相异极值点，求a 的取值范围；（2）若()1f x ≥，求a 的值；（3）设m 为正整数，若*n ∀∈N ，21231333(1)(1)(1)(1)4444n n m -++++<L ，求m 的最小值．雅安市高2022级高三“零诊”考试数学试题本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，请务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在试题卷和答题卡上.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【答案】BD 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1-【13题答案】【答案】30-【14题答案】四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）π3（2）【16题答案】【答案】（1）41n a n =+，*n ∈N （2）证明见详解【17题答案】【答案】（1）单调递增区间为1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（2）40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【18题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）2341(1)(91844n n n n n H ++=-⨯+；（3）证明见解析.【答案】（1）3a <--或30a <<；（2）0a =；（3）3.。

一、单选题二、多选题三、填空题1. 已知，设，，则有（ ）A．B．C．D．2. 已知向量的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ）A．B．C．D． 3. 的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（ ）A．B．C．D．4. 若函数是增函数．则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．5. 复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6.已知集合，集合，则A B =（ ）A．B．C．7. 已知复数z 在复平面上对应的点为，为虚数单位，则下列正确的是（ ）A．B．C．D．是实数8. 在平面直角坐标系中，由直线上任一点向椭圆作切线，切点分别为、，点在轴的上方，则（ ）A．当点的坐标为时，B ．当点的坐标为时，直线的斜率为C ．存在点，使得为钝角D ．存在点，使得9. 设，若关于x 的不等式在上恒成立，则的最小值是________________．10.如图，正四棱台的上､下底面边长分别为2，分别为的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为___________.11. 把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有__________种．四川省成都市2022届高三理科数学零诊考试试题(1)四川省成都市2022届高三理科数学零诊考试试题(1)四、解答题12.函数的定义域是______．13.在平面直角坐标系中，已知定点，，半径为的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且在轴右侧，圆被轴截得的弦长为．(1)求圆的方程；(2)当变化时，是否存在定直线与动圆相切？如果存在求出定直线的方程；如果不存在，请说明理由．14. 如图所示，直角梯形PABC 中，，，D 为PC 上一点，且，将PAD 沿AD 折起到SAD位置．(1)若，M 为SD 的中点，求证：平面AMB ⊥平面SAD ；(2)若，求平面SAD 与平面SBC 夹角的余弦值．15. 如图，已知，､分别为边､上的点，且，与交于，设存在和使.（1）求和的值；（2）用表示.16. 已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB =2，AB 1⊥BC 1，O ，O 1分别是棱AC ，A 1C 1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值.。

山西2024年中考适应性模拟测试（一）数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。

写在本试卷上无效。

4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。

写在本试卷上无效。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

1．计算：()163⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭的结果是()A.18- B.2C.18D.2-2．下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B. C. D.3．下列各式计算正确的是()A.248a a a ⋅= B.336a a a += C.()23639a a -=- D.222(12)4ab a b -=4．如图，该几何体的左视图是()A. B. C. D.5．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-，著名的“断臂维纳斯”便是如此.若小明的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为108cm ，则小明的身高约为()A.155cmB.165cmC.175cmD.185cm6．不等式组2022x x +>⎧⎨≤⎩的解为()A.21x -<≤B.21x -<<C.21x -≤≤ D.21x -≤<7．小明学习了物理中的欧姆定律发现：电阻两端的电压=电流强度×电流通过的电阻.已知某滑动变阻器两端电压恒定，当变阻器的电阻调节为10Ω时，测得通过该变阻器的电流为24A ，则通过该滑动变阻器的电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）之间的函数关系图象大致是()A. B. C. D.8．如图，正六边形螺帽的边长是2cm ，这个扳手的开口a 的值应是()B.cmC.3cm D.1cm9．如图，随机闭合开关1S 、2S 、3S 中的两个，则能让灯泡⊗发光的概率是()A.12B.13C.23D.1410．如图是二次函数()20y ax bx c a =++≠的一部分，对称轴是直线2x =-，关于下列结论：①0ab <；②240b ac ->；③<0a b c -+；④40b a -=；⑤方程20ax bx +=的两个根为10x =，24x =-.其中正确的结论有()A.①③④B.②③⑤C.①②⑤D.②④⑤二、填空题：本题共5小题，共15分。

一、单选题二、多选题1. 在0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的两位整数中任取一个，则取到的整数十位上数字比个位上数字大的概率是（ ）A．B．C．D．2. 已知复数满足（为虚数单位），则对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.设，则的大小关系是（ ）A．B．C．D．4. 已知函数的图象如下，那么的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．55.已知点是双曲线的左焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（ ）A ．8B ．5C ．3D ．26.设，，则（ ）A．B．C．D．7. 已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足A．B．C．D．8. 已知集合，集合，则（ ）A．B．C．D．9. 设是公比为正数等比数列的前项和，若，，则（ ）A．B．C ．为常数D ．为等比数列10.如图，在长方体中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（）A ．直线平面四川省南充市2024届高三高考适应性考试（零诊）文科数学试题四川省南充市2024届高三高考适应性考试（零诊）文科数学试题三、填空题四、解答题B ．三棱锥的体积为C．三棱锥的外接球的表面积为D ．直线与平面所成角的正弦值的最大值为11. 已知函数，且在上单调.则下列结论正确的是（ ）A．B．C ．在区间上有2个零点D ．若，且，则12. 如图，在边长为3的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（）A ．与所成角的余弦值为B．过三点的正方体的截面面积为C．在线段上运动，则三棱锥的体积不变D．为正方体表面上的一个动点，分别为的三等分点，则的最小值为13. 如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15°，山脚A 处的俯角为45°，已知，求山的高度___________..14. 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意为：今有直角三角形，勾（短直角边）长5步，股（长直角边）长12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长为多少？在如图所示中，求得正方形的边长后，可求得__________．15. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是________．16.据统计，某物流公司每天的业务中，从甲地到乙地的可配送的货物量的频率分布直方图，如图所示，将频率视为概率，回答以下问题.(1)求该物流公司每天从甲地到乙地平均可配送的货物量；(2)该物流公司拟购置货车专门运营从甲地到乙地的货物，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40 件货物，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利1000 元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200 元．为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应该购置几辆货车？17. 已知函数，.(1)判断函数的零点个数；(2)比较，，的大小，并说明理由.18. 将数列从首项开始从左到右依次排列，得到数组，，，…，，然后执行以下操作：将移到右侧，然后剔除，再将移到右侧，然后剔除，继续以上操作，即将最左边的数移到最右边，然后剔除新数组最左边的数，直到剩下最后一个数．若令此操作为，则，且确定的值可确定的值，如，，．(1)证明：；(2)证明：；(3)若，证明：．19. 已知，数列满足，数列满足；又知数列中，，且对任意正整数，，．（1）求数列和数列的通项公式；（2）将数列中的第项，第项，第项，，第项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和．20. 某校篮球社组织一场篮球赛，参赛队伍为甲､乙两队，比赛实行三局两胜制，已知甲队赢得每一局比赛的概率为p（）.(1)若最终甲队获胜的概率为，求乙队赢得每一局比赛的概率.(2)在（1）成立的情况下，在每一局比赛中，赢的队伍得2分，输的队伍得1分.用X表示比赛结束时两支球队的得分总和，求随机变量x的分布列和期望.21. 已知椭圆E：的离心率为，短轴长为4．(1)求椭圆E的方程；(2)设直线与椭圆E交于C，D两点，在y轴上是否存在定点Q，使得对任意实数k，直线QC，QD的斜率乘积为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．。

贵阳市2024年高三年级适应性考试（一）数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名､准考证号用钢笔填写在答题卡相应位置上.2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.请保持答题卡平整，不能折叠考试结束后，监考老师将试题卷､答题卡一并收回.第I 卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}1,3,5,6,2,3,5,8A B ==，则A B = （）A.{}1,2,3,5,6,8 B.{}3,5 C.{}1,3 D.{}2,8【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义，即可求解.【详解】由集合{}{}1,3,5,6,2,3,5,8A B ==，得{}3,5A B = .故选：B2.已知z 是复数，若()1i 2z +=，则z =（）A.1i -B.1i+ C.2iD.22i-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算公式，即可化解求值.【详解】由()1i 2z +=可知，()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-.故选：A3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知281514,27a a a +==，则12S =（）A.150 B.140C.130D.120【答案】D 【解析】【分析】由条件求出等差数列的首项和公差，再代入前n 项和公式，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1117141427a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，解得：11,2a d =-=，所以1211211121202S a d ⨯=+=.故选：D4.向量()6,2a =在向量()2,1b =- 上的投影向量为（）A.()2,1- B.11,2⎛⎫-⎪⎝⎭C.()4,2- D.()3,1【答案】C 【解析】【分析】代入投影向量公式，即可求解.【详解】向量a 在向量b 上的投影向量为()()26222,14,25a b b b⋅⨯-⋅=⋅-=- .故选：C5.已知圆22:(1)(2)9C x y -+-=，直线():10,R l m x y y x m +++-=∈，则下列说法正确的是（）A.直线l 过定点()1,1--B.直线l 与圆C 一定相交C.若直线l 平分圆C 的周长，则4m =-D.直线l 被圆C【答案】B 【解析】【分析】根据方程的形式，联立方程10x y y x ++=⎧⎨-=⎩，即可求定点，判断A ，再根据定点与圆的关系，判断直线与圆的位置关系，判断B ，根据直线平分圆的周长，可得直线与圆的关系，判断C ，当定点为弦的中点时，此时弦长最短，结合弦长公式，即可求解.【详解】A.联立100x y y x ++=⎧⎨-=⎩，得12x y ==-，不管m 为何值，直线恒过点11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故A 错误；B.221134(1)(2)9224--+--=<，所以点11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭在圆内，即直线l 与圆一定相交，故B 正确；C.若直线l 平分圆C 的周长，在直线l 过圆心()1,2，()121210m +++-=，得14m =-，故C 错误；D .当定点11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭为弦的中点时，此时弦长最短，此时圆心到弦所在直线的距离342d ==，则弦长==，故D 错误.故选：B6.2023年8月至10月贵州榕江举办了“超级星期六”全国美食足球友谊赛.已知第一赛季的第一个周六（8月26日）共报名了贵州贵阳烤肉队等3支省内和辽宁东港草莓队等3支省外美食足球代表队.根据赛程安排，在8月26日举行三场比赛，每支球队都要参赛，且省内代表队不能安排在同一场，则比赛的安排方式有（）A.6种B.9种C.18种D.36种【答案】D 【解析】【分析】首先理解题意，再结合组合数公式，即可求解.【详解】由题意可知，每支省内的足球队都要和省外一支球队比赛一场，则有11113322C C C C 36=种方法.故选：D 7.将函数()sin f x x =的图像先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的1(0)ωω>倍，得到函数()g x 的图像.若函数()g x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.10,6⎛⎤ ⎥⎝⎦B.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.(]0,1【答案】B 【解析】【分析】首先求函数()g x 的解析式，再根据π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，代入函数的解析式，结合正弦导函数的图像和性质，即可求解.【详解】由三角函数的图像变换规律可知，()πsin 3g x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，ππππ,3233x ωω⎛⎫-∈-⋅-- ⎪⎝⎭，因为函数()g x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以πππ232ω-⋅-≥-，且0ω>，得103ω<≤.故选：B8.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()e xf x '+也是偶函数，若()()21f a f a >-，则实数a 的取值范围是（）A.(),1-∞ B.()1,+∞ C.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()()f x f x -='-'，再由函数()e xf x '+也是偶函数，变形求得函数()f x '的解析式，并求得函数()f x 的单调区间，即可求解不等式.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()()f x f x -=，所以()()f x f x '--='，则()()f x f x -='-'，又因为函数()e xf x '+也是偶函数，所以()()ee xx f x f x -''-+=+，得()()1e e 2xx f x --'=，因为e x y -=为减函数，e x y =为增函数，所以()()1e e 2xx f x --'=为减函数，令()0f x '=，得0x =，所以0x >时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递减，根据偶函数的性质可知，函数()f x 在(),0∞-上单调递增，所以()()21f a f a >-，即()()21fa f a >-，即21a a <-，得1a >或13a <，所以不等式的解集为()1,1,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据()()f x f x -=，得到()()f x f x =-'-'，从而求得函数()f x '的解析式.二､多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设样本数据1,3,5,6,9,11,m 的平均数为x ，中位数为0x ，方差为2s ，则（）A.若6x =，则7m =B.若2024m =，则06x =C.若7m =，则211s =D.若12m =，则样本数据的80%分位数为11【答案】ABD 【解析】【分析】根据样本的平均数，中位数，方差和百分位数公式，即可求解.【详解】A.135691167mx ++++++==，7m =，故A 正确；B.2024m =，根据中位数的定义可知，06x =，故B 正确；C.7m =时，1356911767x ++++++==，则()()()()()()()222222221163656669611676107s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦，故C 错误；D.12m =，数据1,3,5,6,9,11,12，70.8 5.6⨯=，样本数据的80%分位数为第6个数据，即为11，故D 正确.故选：ABD10.已知0,0a b >>，且2a b +=，则（）A.22a b+≥ B.112a b+≥C.22log log 1a b +≤D.222a b +≥【答案】ABCD 【解析】【分析】首先结合选项变形，再根据基本不等式，即可判断选项.【详解】A.224a b +≥=>1a b ==时，等号成立，故A 正确；B.2112222a b a b ab ab a b ++==≥=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，当1a b ==时，等号成立，故B 正确；C.22222log log log log 012a b a b ab +⎛⎫+=≤=< ⎪⎝⎭，故C 正确；D.()22222424222a b a b a b ab ab +⎛⎫+=+-=-≥-⨯= ⎪⎝⎭，当1a b ==时等号成立，故D 正确.故选：ABCD11.在三棱锥-P ABC 中，PC ⊥平面,3ABC PC AB ==，平面ABC 内动点D 的轨迹是集合{|2}M D DA DB ==.已知,i C D M ∈且i D 在棱AB 所在直线上，1,2i =，则（）A.动点D 的轨迹是圆B.平面1PCD ⊥平面2PCD C.三棱锥-P ABC 体积的最大值为3D.三棱锥12P D D C -外接球的半径不是定值【答案】ABC 【解析】【分析】首先底面建坐标系，利用轨迹法求得点D 的轨迹，点C 也在轨迹圆上，再根据几何关系，以及体积公式，外接球的半径问题，利用数形结合，即可求解.【详解】A.因为3AB =，所以在平面ABC 内，以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，设3,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，3,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，(),D x y ，由2DA DB ==，化简为22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即点D 的轨迹为圆，故A 正确；B.根据以上证明可知，点1D 和2D 在圆22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与x 轴的两个交点，如上图，由条件可知，点C在圆上，则1290D CD ∠=，而PC ⊥平面ABC ，12,D C D C ⊂平面ABC ,所以11,PC D C PC D C ⊥⊥，所以12D CD ∠是二面角12D PC D --的平面角，则平面1PCD ⊥平面2PCD ，故B 正确；C.当点C 到AB 的距离为2时，此时ABC 的面积最大，此时最大面积是13232⨯⨯=,则三棱锥-P ABC 体积的最大值为13333⨯⨯=，故C 正确；D .由以上证明可知，1290D CD ∠=，且124D D =，如图，取12D D 的中点M ，作OM ⊥平面12CD D ，且32OM =，所以52R OC ===，所以三棱锥12P D D C -外接球的半径是定值52，故D 错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，并在底面建立坐标系，求点D 的轨迹，后面的选项就会迎刃而解.第II 卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知tan 2α=，则1sin 2α=__________．【答案】54##1.25【解析】【分析】先利用二倍角公式和同角三角函数基本关系的平方关系构造齐次分式，再分子分母同时除以2cos α转化为正切的运算.【详解】因为tan 2α=，所以2221sin cos tan 15sin22sin cos 2tan 4ααααααα++===.故答案为：54.13.已知一个圆台的上､下底面半径分别为1和3，高为若圆台内有一个球，则该球体积的最大值为__________.（球的厚度可忽略不计）【答案】【解析】【分析】首先假设球与下底面和侧面相切，根据几何关系和计算，能证明求与上底面也相切，由此可以求得球的半径，即可求得球的体积的最大值.【详解】当球与下底面和侧面相切，如图，圆台及其内切球的轴截面如图所示，由题意可知，设,A D 分别梯形的上下底的中点，连结AD ，如图，作//BE AD ，交DC 于点E ，点F 为侧面的切点，则BE AD =，则1AB =，3DC =，2EC DC AB =-=则4BC ==，因为3FC DC ==，所以431BF BC FC =-=-=，且1AB =,所以球与上底面也相切，故内切球的半径为2BER ==，此时为圆台内的最大的球，内切球的体积3344ππ33V R ==⋅=.故答案为：14.设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点，B 为椭圆C 的上顶点，直线1BF 与椭圆C的另一个交点为A .若220AF BF =⋅，则椭圆C 的离心率为__________.【答案】55【解析】【分析】依据题意求出A 点坐标，利用所给条件构造齐次方程求解离心率即可.【详解】由题意得2(,0)F c ，(0,)B b ，1(,0)F c -，则2(,)BF c b =- ，直线1BF 的斜率为bc ，即b y x b c =+，联立方程组22221x y a b+=，b y x b c =+，可得2222222()20b c a b x a b cx ++=，而222222222220A a b c a cx b c a b c a+=-=-++，故2222A a c x c a =-+，代入直线中得322A b y c a =-+，故2322222(,)a c b A c a c a --++,可得22223222(,)a c b c c a c a AF =+++ ，由题意得220AF BF =⋅ ，可得2322222()()0a c b c c b c a c a ⋅++-⋅=++，化简得22442230a c c b c a+-=+，即224430a c c b +-=，化简得22450a c a -=，同除4a 得2510e -=，且0e >，解得55e =.故答案为：55四､解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.15.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin cos a C A =.（1）求角A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）π3A =（2【解析】【分析】（1）由正弦定理，将边化为角，根据三角函数值，即可求解；（2）根据（1）的结果，写出余弦定理，再结合基本不等式和三角形的面积公式，即可求解.【小问1详解】由正弦定理，得sin sin cos A C C A =，又()0,π,sin 0C C ∈≠，所以sin A A =，即tan A =.又()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==，所以224b c bc +-=.由基本不等式知222b c bc +≥，于是224244bc b c bc bc =+-≥-⇒≤.当且仅当2b c ==时等号成立.所以ABC 的面积1sin 4244S bc A ==≤=，当且仅当2b c ==时，面积S 16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，22PA AD AB ===.（1）证明：平面PCD ⊥平面PAD ；（2）求平面PBC 与平面PCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判断定理，转化为证明CD ⊥平面PAD ，即可证明；（2）以点A 为原点建立空间直角坐标系，分别求平面PBC 与平面PCD 的法向量，代入二面角的向量公式，即可求解.【小问1详解】证明：因为PA ⊥底面,ABCD CD ⊂底面ABCD ，所以PA CD ⊥.因为底面ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥.又PA AD A ⋂=，且,PA AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD .又因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD .【小问2详解】以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,2,0,0,0,2A B C D P .所以()()()1,2,2,0,2,0,1,0,0PC BC CD =-==- .设平面PBC 的法向量为()111,,n x y z =，则00n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，则111122020x y z y +-=⎧⎨=⎩取12x =，得()2,0,1n = .设平面PCD 的法向量为()222,,m x y z =，则00m PC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，则22222200x y z x +-=⎧⎨-=⎩取21y =，得()0,1,1m = .设平面PBC 与平面PCD 的夹角为θ，则||10cos |cos ,|||||10n m n m n m θ⋅=<>== 所以平面PBC 与平面PCD 的夹角的余弦值为1010.17.猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲､乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为23，乙同学猜对每个灯谜的概率为12.假设甲､乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：（1）甲､乙任选1个独立竞猜，求甲､乙恰有一人猜对的概率；（2）活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在A 箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是23；没有都猜对则在B 箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是14，求甲同学抽中新春大礼包的概率；（3）甲､乙各任选2个独立竞猜，设甲､乙猜对灯谜的个数之和为X ，求X 的分布列与数学期望.【答案】（1）12（2）47108（3）分布列见解析，73【解析】【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）根据全概率概率公式计算可得；（3）依题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，4，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】设A =“甲猜对一个灯谜”，B =“乙猜对一个灯谜”，则()()21,.32P A P B ==因为甲､乙恰有一人猜对的事件为AB AB +，所以()()()P AB AB P AB P AB +=+()()()()P A P B P A P B =+2111132322=⨯+⨯=，所以，甲､乙恰有一人猜对的概率为12.【小问2详解】设C =“甲猜对两道题”，D =“甲中奖”，则()()()()()||P D P C P D C P C P D C=+22222113334⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦85472736108=+=，所以，甲同学抽中新春大礼包的概率47108.【小问3详解】由（1）知()23P A =，()12P B =.易知甲､乙猜对灯谜的个数之和X 的可能取值为0，1，2，3，4.则()2211103236P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2211222111111111C C 3322239186P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2222112221112111132C C 3232332236P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22112221111213C C 3322233P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222114329P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为X01234P 1361613361319因此，X 的数学期望()11131184701234.3663639363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==18.已知双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，虚轴长为2，点()4,1A --在C 上.（1）求双曲线C 的方程；（2）过原点O 的直线与C 交于,S T 两点，已知直线AS 和直线AT 的斜率存在，证明：直线AS 和直线AT 的斜率之积为定值；（3）过点()0,1的直线交双曲线C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与x 轴的交点分别为,M N ，求证：MN 的中点为定点.【答案】（1）2218x y -=（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据虚轴长和点坐标联立方程组可得28a =，1b =，可求得双曲线C 的方程为2218x y -=；（2）设出,S T 两点坐标，写出斜率表达式，联立双曲线方程化简计算可得证明；（3）设直线PQ 的方程为1y kx =+，求出直线,AP AQ 与x 轴的交点分别为,M N 的坐标，联立直线和双曲线方程利用韦达定理化简即可得出证明.【小问1详解】因为虚轴长22b =，所以1b =.又因为点()4,1A --在双曲线上，所以221611a b-=，解得28a =.故双曲线C 的方程为2218x y -=.【小问2详解】证明：如下图所示：设()000,,4S x y x ≠-，则()00,T x y --所以200020001114416AS AT y y y k k x x x +-+-⋅=⋅=+-+-因为()00,S x y 在双曲线C 上，所以220018x y -=，可得2200128x y -=-；于是20202200211816168AS ATx y k k x x --⋅===--，所以直线AS 和直线AT 的斜率之积为定值，定值是18.【小问3详解】证明：设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为1y kx =+，如下图所示：联立22118y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 整理可得()221816160k x kx ---=①则()()222Δ(16)41816642560,k k k =---⨯-=->所以()()()1212122211218y y kx kx k x x k +=+++=++=-②()()()2121212121111y y kx kx k x x k x x =++=+++=③直线AP 的方程为()111414y y x x +=+-+，令0y =，得点M 的横坐标为11441M x x y +=-+；同理可得点N 的横坐标为22441N x x y +=-+；所以121244811M N x x x x y y +++=+-++()()()122112121248811x y x y x x y y y y ++++++=-++()()()122112121212114881x kx x kx x x y y y y y y ++++++++=-+++()()121212121222488.1kx x x x y y y y y y +++++=-+++将①②③式代入上式，并化简得到()()2288188484,2218M N k x x k +-+=-=-=-+-所以MN 的中点的横坐标为22M N x x x +==-，故MN 的中点是定点()2,0-.19.英国数学家泰勒发现了如下公式：2312!3!!xn x x x x n =++++++e 其中!1234,e n n =⨯⨯⨯⨯⨯ 为自然对数的底数，e 2.71828= .以上公式称为泰勒公式.设()()e e e e ,22x x x xf xg x ---+==，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.（1）证明：e 1x x ≥+；（2）设()0,x ∈+∞，证明：()()f x g x x<；（3）设()()212x F x g x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若0x =是()F x 的极小值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）(],1-∞【解析】【分析】（1）首先设()e 1x h x x =--，利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值问题；（2）首先由泰勒公式，由e x 和e x -，再求得()f x 和()g x 的解析式，即可证明；（3）分1a ≤和1a >两种情况讨论，求出()F x 在0x =附近的单调区间，即可求解.【小问1详解】设()e 1x h x x =--，则()e 1xh x '=-.当0x >时，()0h x '>：当0x <时，()0h x '<，所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增.因此，()()00h x h ≥=，即e 1x x ≥+.【小问2详解】由泰勒公式知2345e 12!3!4!5!!nxx x x x x x n =++++++++ ，①于是2345e 1(1)2!3!4!5!!n x n x x x x x x n -=-+-+-++-+ ，②由①②得()()3521e e ,23!5!21!x x n x x x f x x n ---==+++++- ()()2422e e 1,22!4!22!x x n x x x g x n --+==+++++- 所以()()242213!5!21!n f x x x x x n -=+++++-()242212!4!22!n x x x n -<+++++- ().g x =即()()f x g x x<.【小问3详解】()()22e e 11222x x x x F x g x a a -⎛⎫⎛⎫+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()e e 2x x F x ax --=-'，设()e e 2x x G x ax --=-，()e e .2x x G x a -+'=-由基本不等式知，e e 1122x x -+≥⨯=，当且仅当0x =时等号成立.所以当1a ≤时，()10G x a '≥-≥，所以()F x '在R 上单调递增.又因为()F x '是奇函数，且()00F '=，所以当0x >时，()0F x '>；当0x <时，()0F x '<.所以()F x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增.因此，0x =是()F x 的极小值点.下面证明：当1a >时，0x =不是()F x 的极小值点.当1a >时，()ln ln e e 1111ln 0222a a G a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫'=-=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()G x '是R 上的偶函数，且()G x '在()0,∞+上单调递增,所以当()ln ,ln x a a ∈-时，()0G x '<.因此，()F x '在()ln ,ln a a -上单调递减.又因为()F x '是奇函数，且()00F '=，所以当ln 0a x -<<时，()0F x '>；当0ln x a <<时，()0F x '<.所以()F x 在()ln ,0a -上单调递增，在()0,ln a 上单调递减.因此，0x =是()F x 的极大值点，不是()F x 的极小值点.综上，实数a 的取值范围是(],1-∞.【点睛】关键点点睛：第三问是本题的难点，关键是分1a ≤和1a >两种情况，利用导数判断0x =附近的单调性.20。