第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
§ 4.1柱面
1、已知柱面的准线为：
⎩
⎨
⎧=+-+=-+++-0225
)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程
⎩⎨
⎧=+-+=-+++-0
225
)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2
2
2
=-+++--z y y z 即：02
3
5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩
⎨⎧==c z y
x 的直线方程为：
⎪⎩⎪
⎨⎧=-=-=⇒
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=z z t y y t
x x z
z t y y t
x x 0
00000 而0M 在准线上，所以
⎩⎨
⎧=+--+=-++-+--0
2225
)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232
22=--+--++z y x xy z y x
此即为要求的柱面方程。
2
而0M 在准线上，所以：
⎩⎨
⎧+=-++=-)
2(2)2(2
2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******
22=--+++z x xz z y x
此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过
又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{
}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=-=⇒
⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=t z z t y y t
x x t
z z t y y t
x x 1
11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：
013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x
此即为所求的圆柱面的方程。
4、已知柱面的准线为{})(),(),()(u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X S ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
S v u Y x +=)(
与
⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。
证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则，
S v M M ='
即
1、求顶点在原点，准线为01,0122
=+-=+-z y z x 的锥面方程。
解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：
z
Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：
0)()(222=-+--y z y z z x
即：02
22=-+z y x
此为所要求的锥面方程。
2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12
22=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：
2
2
1133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使
⎪⎩⎪
⎨⎧++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(30
00 将它们代入准线方程，并消去t 得：
044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x
此为要求的锥面方程。 4、求
对锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与顶点O 的母线为：
z
Z y Y x X == 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去t 得：
0=++zx yz xy
此即为要求的圆锥面的方程。
5、求顶点为)4,2,1(，轴与平面022=++z y x 垂直，且经过点)1,2,3(的圆锥面的方程。 解：轴线的方程为：
1
42221-=
-=-z y x 过点)1,2,3(且垂直于轴的平面为：
0)1()2(2)3(2=-+-+-z y x
即： 01122=-++z y x 该平面与轴的交点为)9
37,920,911(
，它与)1,2,3(的距离为： 3
116)1937()2920()3911(222=-+-+-=d
∴要求圆锥面的准线为：
的径矢为{}0000,,z y x =γ，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
