华东师范大学2008年高等代数考研试 答案

华东师范大学

2008年攻读硕士学位研究生入学试题

考试科目代码及名称：高等代数

以下，Z 为整数集，Q 为有理数域，R 实数域E 表示单位矩阵，A '表示A 的转置。 第一部分 选择题、是非题、填空题：（15*4=60分）

1．设321,,ααα是非齐次线性方程组B AX =的三个解，则下列向量中，（ ）仍是B AX =的解。 （A ）21αα- （B ）3212ααα+- （C ）

3212

1

23ααα-+ （D ）321ααα+- 2．设A 是一个n 阶方阵，则线性空间()

,,,,32A A A E L W =的维数W dim 等于（ ） （A ） A 的特征多项式的次数 （B ） A 的最小多项式的次数

（C ）A 的初等因子的个数 （D ）A 的秩

3．每个2007阶实矩阵至少有一个实特征值。 （ ） 4．设A 是由数域K 上n 维线性空间V 的一个线性变换，则)0(1-⊕=A AV V 。 （ ）

5．设A 是一个三阶实对称矩阵，1，-1是A 的两个特征值，其中-1是A 的一个二重特征值。已知()'

1,1,1是A 的属于特征值1的特征向量。则 是A 的属于特征值-1的正交特征向量。

6．设()()()()()()a a ,1,4,1,1,,2,0,1,7,1,1,1,1,2,3,1,1321321-==-=--=-=-=βββααα如果向量组

{}321,,ααα与向量组{}321,,βββ等价，则=a 。

7．对任意实矩阵A ，齐次线性方程组0=AX 与齐次线性方程组0='AX A 的解都相同。

（ ）

8．对于多项式()x f ，下列论断正确的是 ． (A) 如果对任意的Q a ∈，都有()Q a f ∈，则()x f 的系数都是有理数； (B) 如果对任意的R a ∈，都有()R a f ∈，则()x f 的系数都是实数； (C) 如果对任意的Z a ∈，都有()Z a f ∈，则()x f 的系数都是整数； (D) 如果对任意的0>a ，都有()0>a f ，则()x f 的系数都是正数。

9 正交变换的属于不同的特征值的特征向量正交。 （ ） 10．如果()23

+-=ax x x f 有有理根，则=a 。

11．a x =为多项式()x f 的k 重根的充分必要条件是a x =为()x f '的1-k 重根。 （ ）

12．设A 是的)(n m n m ≤⨯矩阵，B 是m 维列向量，则下列命题正确的是（ ） (A) 当0=AX 有非零解时，则B AX =也有解； (B) 当B AX =有解时，则0=AX 必有无穷多解； (C) 当0=AX 有唯一时，则B AX =也有唯一解； (D) 当B AX

=无解时，则0=AX 仅有零解。

13．已知矩阵A 的特征多项式()223-+=x x x f ，则E A 2+的逆矩阵是 。

14．实二次型()31212

32221321232,,x x x x x x x x x x f +-+-=的正、负惯性指数分别是 。

15．已知A 是n 阶方阵，如果02=n

A

，则0=n A 。 （ ）

第二部分 计算题、证明题 （共6题，共90分） 16．（20分）设A 是由数域K 上一个n m ⨯矩阵，B 是一个m 维非零列向量。

令 {}tB A K t K

W n

=∈∈=

αα使存在,

（1）证明：W 关于n

K 的运算构成n

K 的一个子空间；

（2）设线性方程组B AX =的增广矩阵的秩为r ，证明W 的维数1dim +-=r n W ； （3）对于非齐次线性方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=+++=-++-=++-3

7342321324321

43214321x x x x x x x x x x x x 求W 的一个基。

17．（10分）试求矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-----=528638315A 的若当典范形（Jordan canonical form ）.

18．（20分）设矩阵 ⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=211121112A

（1）证明A 为正定矩阵；

（2）试求正定矩阵B ，使A B =2

。

19．（10分）设()x φ是有理数域上的一个不可约多项式，s x x x x ,,,,321 是()x φ在复数域上的根，()x f 是任一个有理系数多项式，使()x f 不能被()x φ整除。证明：存在有理系数多项式()x h ，使

()()s i x h x f i i

,,2,1,1

==。

20．（20分）易知，当b a ,是不全为零的有理数时，成立等式.2212

1

a

b b a a b b a =+

（1）证明：当c b a ,,为不全为零的有理数时，有

.222242

1

4

21

33

33a

c b b

a

c

c b a a

c b

a

c b c b a =++

（2）应用上述公式，将根式

3

34

22311

--分母有理化；

（3）请将（1）中的公式推广到一般的情形。 21．（10分）设A ，B 是两个特征值都是正数的n 阶实矩阵，

证明： 如果2

2B A =，则.B A =