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烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点(1,3)P -，则它的极坐标是（ ）A ．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,3π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．42,3π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】 由22,tan yx y xρθ=+=计算即可。
【详解】在相应的极坐标系下821(3)2ρ=+-=，由于点P 位于第四象限，且极角满足tan 3yxθ==-，所以3πθ=-.故选C. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。
2．在一次调查中，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则（ ）A ．两个分类变量关系较强B ．两个分类变量关系较弱C ．两个分类变量无关系 ^D ．两个分类变量关系难以判断 【答案】A 【解析】分析：利用等高条形图中两个分类变量所占比重进行推理即可.详解：从等高条形图中可以看出2，在1x 中1y 的比重明显大于2x 中1y 的比重，所以两个分类变量的关系较强. 故选A点睛：等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确的给出所得结论的可靠程度，考查识图用图的能力.3．4(2)x +的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到二项展开式的通项，进而可得出结果. 【详解】因为4(2)x +的展开式的第1r +项为4142-+=r r r r T C x ，令3x =，则3334428==T C x x ，所以3x 的系数为8. 故选D 【点睛】本题主要考查求指定项的系数问题，熟记二项式定理即可，属于常考题型.4．焦点为06（，）且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是 A ．2211224y x -=B ．2212412y x -=C ．2212412x y -=D ．2211224x y -=【答案】A 【解析】 【分析】根据题目要求解的双曲线与双曲线2212x y -=有相同的渐近线，且焦点在y 轴上可知，设双曲线的方程为()2202x y λλ-=>，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质222+=a b c ，求解出λ的值，即可求出答案． 【详解】由题意知，设双曲线的方程为()2202x y λλ-=>，化简得()22102y x λλλ-=>．236λλ∴+=解得12λ=．所以双曲线的方程为2211224y x -=，故答案选A ．【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线22221x y a b-=有相同渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，若0λ>，则双曲线的焦点在x 轴上，若0λ<，则双曲线的焦点在y 轴上．5．设复数z 满足()1i z i +=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122i -- 【答案】B 【解析】 【分析】 算出z ，即可得z . 【详解】由()1i z i +=得，11122i z i i ==++，所以1122z i =-. 故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，考查了学生基本运算能力和对基本概念的理解.6．设椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上,且点2,,P E F 不共线,若2PEF ∆的周长的最小值为4b ,则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．2C ．12D 【答案】A 【解析】分析：利用椭圆定义2PEF ∆的周长为12PE 2a PF EF +-+，结合三点共线时，1PE PF -的最小值为1EF -，再利用对称性，可得椭圆的离心率.详解：2PEF ∆的周长为2212PE PE 2PF EF a PF EF ++=+-+21212a PE 2a 2a 4b EF PF EF EF =++-≥+-==，∴213e 1142c b a a ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭故选：A点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)． 7．在平面直角坐标系中，由坐标轴和曲线3cos 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭所围成的图形的面积为（ ） A ．2 B ．52C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数图象的对称性可得203cos xdx S π=⎰，求出积分值即可得结果.【详解】根据余弦函数图象的对称性可得()2203cos 3sin 3103S xdx xππ===-=⎰，故选C.【点睛】本题主要考查定积分的求法，考查数学转化思想方法，属于基础题．8．已知函数()()212,042ln 3,4x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪->⎩，若方程()f x m =有三个实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则312x x x -的取值范围为 （ ） A ．[)52ln 2,4-B ．)252ln 2,1e ⎡--⎣C ．)242ln 2,1e ⎡+-⎣ D ．[)3ln 2,52ln 2-+【答案】B 【解析】 【分析】先将方程()f x m =有三个实数根，转化为()y f x =与y m =的图象交点问题，得到m 的范围，再用m 表示()31232,0,2mx x x e m m -=+-∈，令()()32,0,2mg m e m m =+-∈，利用导数法求()g m 的取值范围即可.【详解】已知函数()()212,042ln 3,4x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪->⎩，其图象如图所示：因为方程()f x m =有三个实数根， 所以02m <<， 令2122x x m -+=， 得122x x m =， 令()ln 3x m -=，所以33mx e =+，所以()31232,0,2mx x x e m m -=+-∈，令()()32,0,2mg m e m m =+-∈，所以()2mg m e '=-，令()20mg m e '=-=，得ln 2m =，当0ln 2m <<时，()0g m '<，当n 22l m <<时，()0g m '>， 所以当ln 2m =时，()g m 取得极小值52ln 2-. 又()()204,21g g e ==-，所以()g m 的取值范围是：2[52ln 2,1)e --.即312x x x -的取值范围为2[52ln 2,1)e --. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数与方程，导数与函数的单调性、极值最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.9．已知复数511i z i-=+，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．1-C ．i -D ．i【答案】B 【解析】 【分析】将z 利用复数代数形式的乘除运算化简即可得到答案. 【详解】由题意，()()()251111111i i iz i i i i i ---====-+++-， 所以z 的虚部是1-. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的基本概念和复数代数形式的乘除运算，属于基础题.10．已知O 为坐标原点，双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>上有,A B 两点满足OA OB ⊥，且点O 到直线AB 的距离为c ，则双曲线的离心率为（ ）A ．12B C ．12+ D 【答案】A 【解析】 【分析】讨论直线AB 的斜率是否存在：当斜率不存在时，易得直线AB 的方程，根据OA OB ⊥及点O 到直线AB距离即可求得a b c 、、的关系，进而求得离心率；当斜率存在时，设出直线方程，联立双曲线方程，结合OA OB ⊥及点到直线距离即可求得离心率。
山东省烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．随机变量ξ服从二项分布(),B n p ξ~，且300,200E D ξξ==，则p 等于（ ）A ．23B ．13C ．1D ．0【答案】B【解析】因为(),B n p ξ~,所以()()()3001200E np D np p ξξ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩,解得90013n p =⎧⎪⎨=⎪⎩.即p 等于13.故选B. 2．如图所示，给出了样本容量均为7的A 、B 两组样本数据的散点图，已知A 组样本数据的相关系数为r 1，B 组数据的相关系数为r 2，则（ ）A ．r 1＝r 2B ．r 1<r 2C ．r 1>r 2D ．无法判定【答案】C【解析】【分析】 利用“散点图越接近某一条直线线性相关性越强，相关系数的绝对值越大”判断即可.【详解】根据,A B 两组样本数据的散点图知，A 组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，∴相关系数为1r 应最接近1，B 组数据分散在一条直线附近，也成正相关，∴相关系数为2r ，满足21r r <，即12r r >，故选C ．【点睛】本题主要考查散点图与线性相关的的关系，属于中档题.判断线性相关的主要方法：（1）散点图（越接近直线，相关性越强）；（2）相关系数（绝对值越大，相关性越强）.3．已知m ＞0，n ＞0，向量(,1),(1,1),a m b n a b ==-⊥r r r r 且 则12m n+ 的最小值是（ ） A ．22B ．2 C ．322+ D ．422+【答案】C分析：利用向量的数量积为0，求出m ，n 的方程，然后利用基本不等式求解表达式的最小值即可.详解：m ＞0，n ＞0，向量()(),1,1,1,a m b n a b ==-⊥r r r r 且，可得1m n +=，则()12122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当1,m n n +==时，表达式取得最小值3+. 故选：C.点睛：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．4．若()()55234512345122x a x a x a x a x a x a x +++=++++，则135a a a a +++=（ ）A ．0B ．1-C ．243D ．2【答案】C【解析】分析：由题意根据二项式展开式的通项公式可得510,1a a +==-，再分别求得2135,,,a a a a 的值，从而可得结果.详解：由常数项为零，根据二项式展开式的通项公式可得 510,1a a +=∴=-，且111552220,a C C =+=333335522160a C C =+=，55255552264a C C =+=，13512016064243a a a a ∴+++=-+++=，故选C.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.5．已知函数2()4,[,5]f x x x x m =-+∈的值域是[5,4]-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,2]-C ．[1,2]-D ．[2,5]【解析】【分析】函数()f x 在2x =时取得最大值4,在5x =或1-时得()5f x =-,结合二次函数()f x 图象性质可得m 的取值范围.【详解】二次函数()24f x x x =-+的图象是开口向下的抛物线. 最大值为4，且在2x =时取得，而当5x =或1-时，()5f x =-.结合函数()f x 图象可知m 的取值范围是[]1,2-．故选:C ．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质,考查数形结合思想的应用,属于中档题.6．若全集{}2|280U x x x =--<，集合{}|1327x A x =<<，则U C A =（ ）A ．()0,3B ．(2,0)(3,4)-UC ．(2,0][3,4)-UD ．(2,1][2,4)-U 【答案】C【解析】【分析】分别化简求解集合U,A ，再求补集即可【详解】因为{|24}U x x =-<<，{|03}A x x =<<，所以][()2,03,4U C A =-⋃.故选：C【点睛】本题考查集合的运算，考查运算求解能力.7．已知点P 的极坐标是π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，则过点P 且平行极轴的直线方程是( ) A ．ρ1=B ．ρsin θ=C ．1ρsin θ=-D ．1ρsin θ= 【答案】D【解析】 分析：把点P 的极坐标化为直角坐标，求出过点P 且平行极轴的直线直角坐标方程，再把它化为极坐标方程．详解：把点P 的极坐标π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭化为直角坐标为）， 故过点P 且平行极轴的直线方程是1y = ，化为极坐标方程为1sin ρθ=，故选D ．点睛：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把直角坐标方程化为即坐标方程的方法，属于基础题． 8．若集合()(){}120A x x x =+-<，{}ln 0B x x =>，则A B =I （ ）A ．{}12x x <<B ．{}11x x -<<C ．{}12x x -<<D ．{}21x x -<< 【答案】A【解析】【分析】分别化简集合A 和B ，然后直接求解A B I 即可【详解】∵()(){}{}12012A x x x x x =+-<=-<<，{}{}ln 01B x x x x =>=>，∴{}12A B x x ⋂=<<.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题9．已知点M 的极坐标为π(5,)3，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是( )A ．π(5,-)3B ．4π(5,)3C ．2π(5,)3-D ．5π(5,)3- 【答案】D【解析】【分析】 由于3π 和53π-是终边相同的角，故点M 的极坐标53π⎛⎫ ⎪⎝⎭，也可表示为553π⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【详解】点M 的极坐标为53π⎛⎫⎪⎝⎭，，由于3π 和53π-是终边相同的角， 故点M 的坐标也可表示为553π⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 故选D ．【点睛】 本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法，属于基础题．10．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若()20.66P ξ≤=，则()0P ξ≤=（ ） A ．0.84B ．0.68C ．0.34D ．0.16【答案】C【解析】分析：先根据正态分布得(12)0.16,P ξ≤≤=再求(01)0.16,P ξ≤≤=最后求得 () 0P ξ≤=0.34.详解：由正态分布曲线得(12)0.660.50.16,P ξ≤≤=-=所以(01)0.16,P ξ≤≤=所以()0P ξ≤=0.5-0.16=0.34.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背.11．已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩„若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e 【答案】C【解析】【分析】先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，转化为ln x a x≤在(1,)+∞上恒成立． 【详解】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->，当1a >时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln x a x ≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln x g x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=， 当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤．当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；综上可知，a 的取值范围是[0,]e ，故选C ．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．12．已知a v ，b v 是两个向量，则“0a b ⋅=v v ”是“0a =v”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】分析：先化简已知条件，再利用充分条件必要条件的定义判断. 详解：由题得0a b ⋅=v v ，所以cos ,0a b a b =v v v v ，所以||0a =r 或||0b =r 或a b ⊥r r ，所以0a =r r 或0b =r r 或a b ⊥r r .因为0a =r r 或0b =r r 或a b ⊥r r 是0a =v 的必要非充分条件,所以“0a b ⋅=v v ”是“0a =v”的必要非充分条件.故答案是：B.点睛：（1）本题主要考查充分条件和必要条件，考查向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法，本题利用的是集合法.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．关于曲线C ：11221x y +=，给出下列五个命题：①曲线C 关于直线y =x 对称； ②曲线C 关于点1144⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称；③曲线C 上的点到原点距离的最小值为24； ④当01x x ≠≠且时，曲线C 上所有点处的切线斜率为负数；⑤曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积是16. 上述命题中，为真命题的是_____.（将所有真命题的编号填在横线上）【答案】①③④⑤【解析】【分析】对每一个命题逐一分析判断得解.【详解】对于①：曲线方程为1,(01,01)x y x y +=剟剟，交换x ，y 的位置后曲线方程不变，所以 曲线C 关于直线y x =对称，故该命题是真命题；对于②：在第一象限内，因为点1(4，1)4在曲线上，由图象可知曲线在直线1y x =-+的下方， 且为凹函数如图，所以曲线C 不关于点1144（，）对称，故该命题是假命题；对于③：||OP 22112+=44（）（） 对于④：因为函数为凹函数，所以当0x ≠，1时，曲线C 上所有点处的切线斜率为负值，所以该命题是真命题；对于⑤：曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积设为S ，则112001(1)(21)6S x dx x x dx =-=-=⎰⎰，故该命题正确. 故答案为：①③④⑤【点睛】本题主要考查函数图像的对称问题，考查定积分的计算，考查函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为________.【答案】32π 【解析】【分析】几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1，圆柱的全面积包括三部分，上下底面圆的面积和侧面展开矩形的面积.【详解】由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1， 故圆柱的全面积是：2113221222πππ⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查三视图和圆柱的表面积，关键在于由三视图还原几何体.15．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程ˆ35yx =-，若变量x 增加一个单位时，则y 平均增加5个单位； ③线性回归方程^^^y b x a =+所在直线必过(),x y ；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，则其两个变量之间有关系的可能性是0090. 其中错误的是________．【答案】②④⑤【解析】分析：根据方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义确定命题真假.详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确； 回归方程ˆ35yx =-中若变量x 增加一个单位时，则y 平均减少5个单位； 曲线上的点与该点的坐标之间不一定具有相关关系；在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，只能确定两个变量之间有相关关系的可能性，所以②④⑤均错误．点睛：本题考查方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义，考查对基本概念理解与简单应用能力. 16．已知111()123f n n=++++L .经计算(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，则根据以上式子得到第n 个式子为______.【答案】()()1*322n n f n N ++>∈ 【解析】【分析】我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案.【详解】观察已知中等式：()()2134222f f +=>=， ()()35238222f f +=>=， ()()43316232f f +=>=， ()()574332222f f +=>=，…， 则()()1*322n n f n N ++>∈， 故答案为：()()1*322n n f n N ++>∈. 【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设函数()ln(1)f x x =+，()'()g x xf x =，0x ≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.（1）令1()()g x g x =，1()(())n n g x g g x +=，*n N ∈，求()n g x 的表达式；（2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()1n x g x nx=+；（2）(],1-∞. 【解析】 分析：（1）求出g x （）的解析式，依次计算即可得出猜想；（2）已知()()f x ag x ≥恒成立，即(1)1ax ln x x≥+＋ 恒成立． 设()()φx ln 1x 1ax x+＝＋－ (x≥0)， 则φ′(x)＝11x +=－21a x +＝211x a x +-+，对a 进行讨论，求出h x （）的最小值，令0min h x ≥（） 恒成立即可； 详解：由题设得，g(x)＝1x x+ (x≥0)． (1)由已知，g 1(x)＝1x x+， g 2(x)＝g(g 1(x))＝111xx x x+++＝12x x +， g 3(x)＝13x x +，…，可得g n (x)＝1x nx +. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x)＝1x x+，结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x)＝1x kx +. 那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x)＝g(g k (x))＝1k k g x g x +＝11111x x kx x k x kx+=++++， 即结论成立．由①②可知， 结论对n∈N ＋成立．所以g n (x)＝1x nx+. (2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥1ax x +恒成立． 设φ(x)＝ln(1＋x)－1ax x+ (x≥0)， 则φ′(x)＝11x +=－21a x +＝211x a x+-+， 当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1时，ln(1＋x)≥1ax x+恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a>1时，对x∈(0，a －1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a－1)<φ(0)＝0，即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥1ax x +不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．点睛：本题考查了函数的单调性判断与最值计算，数学归纳法证明，分类讨论思想，属于中档题．18．设i 为虚数单位，n 为正整数，[)0,2θ∈π （1）证明：()cos 2sin cos sin nn i n θθθθ+=+；（2）z i =，利用（1）的结论计算10z ． 【答案】 (1)证明见解析.(2) ()5121. 【解析】分析：（1）利用数学归纳法先证明，先证明当1n =时成立，假设当()*n k k N =∈时，命题成立，只需证明当1n k =+时，命题也成立，证明过程注意三角函数和差公式的应用；（2）由（1）结论得101011112cos sin 66z i i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1011112cos sin 66i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式与特殊角的三角函数可得结果.详解：（1）1°当1n =时，左边cos sin i θθ=+，右边cos sin i θθ=+， 所以命题成立2°假设当()*n k k N =∈时，命题成立， 即()cos sin cos sin ki k i k θθθθ+=+， 则当1n k =+时，()()()1cos sin cos sin cos sin k ki i i θθθθθθ++=++()()cos sin cos sin k i k i θθθθ=++()cos cos sin sin k k θθθθ=- ()sin cos cos sin i k k θθθθ++()()cos 1sin 1k i k θθ⎡⎤⎡⎤=+++⎣⎦⎣⎦所以，当1n k =+时，命题也成立综上所述，()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+（n 为正整数）成立（2）1222z i i ⎛⎫==⨯- ⎪ ⎪⎝⎭11112cos sin 66i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由（1）结论得101011112cos sin 66z i i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1011112cos sin 66i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()101251212⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭点睛：本题主要考查复数的运算、诱导公式、特殊角的三角函数、归纳推理的应用以及数学归纳法证明，属于中档题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证0n n =时结论成立；（2）假设n k =时结论正确，证明1n k =+时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.19．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3470x y -+=相切，且被y轴截得的弦长为C 的面积小于13. （1）求圆C 的标准方程：（2）设过点(0,3)M 的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程：如果不存在，请说明理由.【答案】 (1) 22(1)4x y -+=. (2) 不存在这样的直线l . 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（I ）用待定系数法即可求得圆C 的标准方程；（Ⅱ）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).l 与圆C 相交于不同的两点，那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k 与x 1、x 2之间关系式，进而求出k 的值.若k 的值满足Δ>0，则存在；若k 的值不满足Δ>0，则不存在. 试题解析：（I ）设圆C ：(x-a)2+y 2=R 2(a>0)，由题意知R R ==，，解得a=1或a=138， 又∵S=πR 2<13， ∴a=1，∴圆C 的标准方程为：(x-1)2+y 2=1．（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l 为：x=0不满足题意． 当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 又∵l 与圆C 相交于不同的两点， 联立223{(1)4y kx x y =+-+=，，消去y 得：(1+k 2)x 2+(6k-2)x+6=0，∴Δ=(6k -2)2-21(1+k 2)=3k 2-6k-5>0，解得13k <-或13k >+．x 1+x 2=2621k k --+，y 1+ y 2=k(x 1+x 2)+6=2261k k++， 121211()()22OD OA OB x x y y =+=++u u u r u u u r u u u r ，，(13)MC =-u u u u r ，，假设OD uuu r ∥MC u u uu r ，则12123()x x y y -+=+，∴226226311k k k k -+⨯=++， 解得32626(1)(1)4k =∉-∞-⋃++∞，，，假设不成立． ∴不存在这样的直线l ． 考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系.20．如图，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，//,22DE AP AP AD DE ===.(Ⅰ)证明：平面//DCE 平面ABP ； (Ⅱ)求直线CP 与平面DCE 所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）直线CP 与平面DCE 6. 【解析】分析：(1)先根据线面平行判定定理得//DC 平面ABP ，//DE 平面ABP .，再根据面面平行判定定理得结论，(2)先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面DCE 的一个法向量，利用向量数量积求得向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系得结果. 详解： (Ⅰ)因为//DC AB ，AB ⊂平面ABP ，DC ⊄平面ABP ， 所以//DC 平面ABP . 同理可得，//DE 平面ABP . 又DC DE D ⋂=,所以平面//DCE 平面ABP .（Ⅱ）（向量法）以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，由已知得，点(020)D ，，，()2,2,0C ,()0,2,1E ,()0,0,2P . 所以()2,2,2CP u u u v =--，()0,2,0AD =u u u v.易证AD ⊥平面DCE ，则平面DCE 的一个法向量为()0,2,0AD =u u u v . 设直线CP 与平面DCE 所成角为θ，则()()0,2,0?2,2,2·3sin cos ,223AD CP AD CP AD CP θ--====⨯u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v 。
山东省烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．402．已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，则双曲线M 的离心率为（ ） A ．233B ．3C ．2D ．233或2 3．某所大学在10月份举行秋季越野接力赛，每个专业四人一组，其中计算机专业的甲、乙、丙、丁四位大学生将代表本专业参加拉力赛，需要安排第一棒到第四棒的顺序，四个人去询问教练的安排，教练对甲说：“根据训练成绩，你和乙都不适合跑最后一棒”；然后又对乙说：“你还不适合安排在第一棒”，仅从教练回答的信息分析，要对这四名同学讲行合理的比赛棒次安排，那么不同情形的种数共有（ ） A ．6B ．8C ．12D ．244．若()21001121002a a x a x a x x +++=+-L ，则0123102310a a a a a ++++⋅⋅⋅+=（ ） A ．10B ．-10C ．1014D ．10345．设211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A ．12μμ>，12σσ>B ．12()()P X P X μμ><>C ．12μμ<，12σσ>D ．12()()P Y P X μμ≤<≤6．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝7．已知全集{1,3,5,7},{3,5}U A ==，则U C A =A ．{1}B ．{7}C ．{1,7}D ．{1357}，，， 8．设0a >，0b >，若21a b +=，则21a b+的最小值为 A ．22B ．8C ．9D ．109．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a(1 3 )i，i＝1，2，3，则a的值为( )A．1 B．913C．1113D．271310．2只猫把5只老鼠捉光,不同的捉法有()种.A．25B．52C．25C D．25A11．二项式()521x-的展开式的各项中，二项式系数最大的项为( )A．20x B．20x和240x-C．240x-和380x D．380x12．在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；在三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度为（）A．B．C．D．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知2(2,)Nξσ:，且(4)0.9Pξ<=，则(02)Pξ<<=__________．14．从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有ξ个红球,则()2Pξ=为_____.15．如图所示，则阴影部分的面积是.16．一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为______．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为12312x ty⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数）；以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为3ρθ=．（1）求1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）若1C与2C交于点A B、，求线段AB的长．18．设复数12i z a =+（其中a R ∈），234z i =-．（Ⅰ）若12z z +是实数，求12z z ⋅的值；（Ⅱ）若12z z 是纯虚数，求1z ．19．（6分）已知集合112A xx ⎧⎫=≤-⎨⎬-⎩⎭，设a A ∈，判断元素2292417b a a =-+与A 的关系.20．（6分）设a ，k ∈R ，已知函数()2f x x x a ka =--+. （I ）当1a =时，求()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若对于任意10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 至少有三个零点，求实数k 的取值范围.21．（6分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15:65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下： 年龄 [)15,25 [)25,35 [)35,45 [)45,55 [)55,65支持“延迟退休”的人数155152817（1）由以上统计数据填22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异； 45岁以下 45岁以上 总计 支持 不支持 总计（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率. ②记抽到45岁以上的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望. 22．（8分）已知函数()|21||1|f x x x =-++． (1)解不等式()3f x „；(2)记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t++…．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】首先根据二项展开式的各项系数和012232n nn n n n C C C C +++==L ，求得5n =，再根据二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+=，求得2r =，再求二项展开式中x 的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和012232n nn n n n C C C C +++==L ，所以5n =，又二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+==3r r n n C x -，351r -=，2r =所以二项展开式中x 的系数为2510C =．答案选择B ．【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题． 2．C 【解析】 【分析】转化条件得b a =e =即可得解.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为by x a=±，又 渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，∴tan 60ba==o∴双曲线离心率2e ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】这里将“乙”看做特殊元素，考虑“乙”的位置，再考虑甲的位置，运用分类加法去计算. 【详解】根据条件乙只能安排在第二棒或第三棒；若“乙”安排在第二棒，此时有：1222C A 4=g 种，若“乙”安排在第三棒，此时有：1222C A 4=g 种，则一共有：8种.故选：B. 【点睛】（1）排列组合中，遵循特殊元素优先排列的原则； （2）两个常用的计数原理：分类加法和分步乘法原理. 4．C 【解析】 【分析】先求出0a ，对等式两边求导，代入数据1得到答案. 【详解】()21001121002a a x a x a x x +++=+-L取10.002x a =⇒=对等式两边求导1231902923110(2)0a a a x x x x a +++⋅⋅⋅+⇒--=取1x =1231001231023102310140110a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=⇒-=⇒ 故答案为C 【点睛】本题考查了二项式定理，对两边求导是解题的关键.5．D 【解析】 【分析】由正态分布的性质，结合图像依次分析选项即可得到答案。
提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．下列判断错误的是A ．若随机变量ξ服从正态分布2(1,),(4)0.79N P σξ≤=，则(2)0.21P ξ≤-=B ．“x ∀∈R ，20x >”的否定是“x ∃∈R ，20x ≤”C ．若随机变量ξ服从二项分布：1(5,)5B ξ-，则1E ξ= D ．“2am <2bm ”是“a<b”的必要不充分条件3．函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f （2）=0，则使f （x ）<0的x 的取值范围（ ） A ．（－∞，2）B ．（2，+∞）C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）D ．（－2，2）4．命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≤的否定是（ ）A ．2,10x R x x ∀∈-+>B ．2,10x R x x ∀∈-+≤C ．2000,10x R x x ∃∈-+>D ．BF AC ⊥5．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．346．在用数学归纳法证明:“凸多边形内角和为(2)n π-”时，第一步验证的n 等于（ ） A ．1B ．3C ．5D ．77．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，正面向上的次数为X ，则（ ） A ．(5,1)X B B ．(0.5,5)X B C ．(2,0.5)XBD ．(5,0.5)XB8．某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布(300,100)N ，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（ ）（参考数据：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<≤+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.）A ．17B ．23C ．34D ．469．已知空间向量 向量且,则不可能是A ．B ．1C ．D ．4 10．通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，由2()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++得2250(2015105)8.33330202525K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯参照附表，得到的正确结论是（ ）. 爱好 不爱好 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 302050附表：20()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828A ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 11．若22(0,),(22)8ln x x x x e x a x ∃∈+∞--+-<，则a 的取值范围为 （ ）A ．(13,)e -+∞B ．3(98ln 3,)e +-+∞C ．(24,)e -+∞D ．2(248ln 2,)e -+-+∞12．已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =（ ） A．4355i - B ．4355i -+ C ．4355i -- D ．4355i + 二、填空题：本题共4小题13．某校为了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级500名学生中用系统抽样的方法抽取50名进行调查，记500名学生的编号依次为1,2,…，500,若抽取的前两个号码为6,16,则抽取的最大号码为________.14．设函数()f x 是定义在R 上的周期为 2 的偶函数， 当[0x ∈，1]时，()2f x x =+，则32f ⎛⎫=⎪⎝⎭____．15．某射击运动员每次击中目标的概率为0.8，现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为_______．16．若612ax x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为240，则实数a 的值为______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年山东省烟台市数学高二(下)期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．己知A(2,5,1),B(2,2,4),CB (1,2,3)--=u u u v ，则向量AB u u u v 与AC u u uv 的夹角为.A ．30B ．60C ．120D ．150.2．甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局．若采用 三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（ ） A ． B ． C ． D ．3．设实数a,b,c 满足a+b+c =1,则a,b,c 中至少有一个数不小于 ( ) A ．0B ．13C ．12D ．14．已知0,0,42a b a b >>+=，则11a b+的最小值是 A ．4B ．92C ．5D ．95．如表是某厂节能降耗技术改造后，在生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：x3 4 5 6 y2.53m4.5若根据如表提供的数据，用最小二乘法可求得y 对x 的回归直线方程是$0.70.35y x =+，则表中m 的值为（ ） A ．4B ．4.5C ．3D ．3.56．同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《十年》，《父亲》，《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未选取的概率为（ ） A ．13 B ．12 C ．23 D ．567．()()511x x -+展开式中2x 项的系数是 A ．4 B ．5 C ．8D ．128．已知随机变量X 的分布列如下表所示：则()25E x -的值等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．将点的直角坐标(－2，化成极坐标得( )． A ．(4，23π) B ．(－4，23π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21n n n a S a -=，则下列结论中（ ）①数列{}2n S 是等差数列；②n a <；③11n n a a +<A ．仅有①②正确B ．仅有①③正确C ．仅有②③正确D ．①②③均正确11．用数学归纳法证明()11125123124f n n n n =++>+++L ()n N +∈过程中，假设()n k k N +=∈时，不等式()2524f k >成立，则需证当1n k =+时，()25124f k +>也成立，则()()1f k f k +-=（ ）A ．134k +B ．11341k k -++C ．112323433k k k +-+++D ．111323334k k k +++++12．已知函数()32f x x ax bx c =+++，那么下列结论中错误的是（ ）A ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞上单调递减B ．函数()y f x =的图像可以是中心对称图形C ．0x R ∃∈，使()00f x =D ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____.14．已知'()f x 是函数f(x)的导函数，()()22ln 1(0)xf x x f '=++⋅,则(1)f '=________.15．将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三所不同的学校去任教，每所学校至少分配一人且甲、乙两人不在同一所学校，则共有________ 种不同的分配方案（用数字作答）。
2019-2020学年山东省烟台市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，3，4}，B＝{0，1，2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{0，2，4}2．已知a＝log3，b＝（），c＝log，则a，b，c的大小关系为A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c3．函数f（x）＝+lg的定义域为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，3]C．（﹣3，﹣1）∪（﹣1，3）D．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，3]4．已知函数f（x）＝x2+ax+a2+1为偶函数，则f（x）在x＝1处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x﹣y+1＝0C．2x﹣y+2＝0D．2x﹣y﹣1＝0 5．根据我国《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，车辆驾驶人员100mL 血液中酒精含量在[20，80）（单位：mg）即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，为避免酒后驾车，他至少经过n小时才能开车，则n的最小整数值为（）A．5B．6C．7D．86．若函数f（x）＝x3+（2﹣a）x2+x+1在其定义域上不单调，则实数a的取值范围为（）A．a＜1或a＞4B．a≥4C．1＜a＜4D．1≤a≤47．函数f（x）＝ln的图象大致为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝，若f（log3x）﹣f（log x）≤2f（1），则x的取值范围为（）A．≤x≤1B．≤x≤3C．x≥D．0＜x≤3二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9．下列四个命题中，为假命题的是（）A．∃x∈（0，1），2x＝B．“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+x﹣1＜0”C．“函数f（x）在（a，b）内f′（x）＞0”是“f（x）在（a，b）内单调递增”的充要条件D．已知f（x）在x0处存在导数，则“f'（x0）＝0”是“x0是函数f（x）的极值点”的必要不充分条件10．已知函数f（x）＝a+，则（）A．对于任意实数a，f（x）在（﹣∞，0）上均单调递减B．存在实数a，使函数f（x）为奇函数C．对任意实数a，函数f（x）在（0，+∞）上函数值均大于0D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）＞1的解集为（0，2）11．为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y＝（）x﹣a（a为常数），则（）A．当0≤x≤0.2时，y＝5xB．当x＞0.2时，y＝（）x﹣0.1C．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg以下D．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg以下12．已知函数f（x）＝x﹣（x﹣1）lnx，下述结论正确的是（）A．f（x）存在唯一极值点x0，且x0∈（1，2）B．存在实数a，使得f（a）＞2C．方程f（x）＝﹣1有且仅有两个实数根，且两根互为倒数D．当k＜1时，函数f（x）与g（x）＝kx的图象有两个交点三、填空题（共4小题）.13．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是．14．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数y＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，当x∈（﹣1.5，3]时，函数y＝[]的值域为．15．设x1满足2x+2x＝3，x2满足22﹣x＝2x﹣1，则x1+x2＝．16．已知λ∈R，函数f（x）＝，当λ＝0时，不等式f（x）＜0的解集是；若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，0＜x＜3}．（1）若m＝1，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．已知函数f（x）＝x3+2x2+x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有3个零点，求a的取值范围．19．已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝e x+x﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）若存在k∈[﹣1，1]，使不等式f（t2+t+k）+f（﹣2t2+2kt+3）＜0成立，求实数t的取值范围．20．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣alnx．（1）若函数f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，证明：f（x）≥a﹣alna．21．某科技公司2019年实现利润8千万元，为提高产品竞争力，公司决定在2020年增加科研投入．假设2020年利润增加值y（千万元）与科研经费投入x（千万元）之间的关系满足：①y与（x+）成正比，其中t为常数，且t∈[1，16]；②当x＝2时，y＝4+t；③2020年科研经费投入x不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求2020年利润增加值y的最大值以及相应的x的值．22．已知函数f（x）＝lnx+a（x2﹣x），a∈R．（1）讨论函数f（x）极值点的个数；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜﹣3﹣4ln2．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，3，4}，B＝{0，1，2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{0，2，4}【分析】可知阴影部分表示的集合为∁B（A∩B），从而进行交集和补集的运算即可．解：A∩B＝{1}，∴∁B（A∩B）＝{0，2}，故选：C．2．已知a＝log3，b＝（），c＝log，则a，b，c的大小关系为A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】可以得出，然后即可得出a，b，c 的大小关系．解：∵，，，∴c＞b＞a．故选：B．3．函数f（x）＝+lg的定义域为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，3]C．（﹣3，﹣1）∪（﹣1，3）D．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，3]【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．解：由题意，得，∴，解得﹣5＜x＜﹣1或﹣1＜x≤3，故选：D．4．已知函数f（x）＝x2+ax+a2+1为偶函数，则f（x）在x＝1处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x﹣y+1＝0C．2x﹣y+2＝0D．2x﹣y﹣1＝0【分析】先根据f（x）为偶函数求出a的值，然后对f（x）求导，得到f（x）在x＝1处的切线斜率，再求出切线方程．解：∵f（x）为偶函数，∴a＝0，∴f（x）＝x2+1，∴f'（x）＝2x，又f（1）＝8，∴f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣2＝2（x﹣1），故选：A．5．根据我国《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，车辆驾驶人员100mL 血液中酒精含量在[20，80）（单位：mg）即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，为避免酒后驾车，他至少经过n小时才能开车，则n的最小整数值为（）A．5B．6C．7D．8【分析】先计算出100mL血液中酒精含量，再计算n小时后血液中酒精含量，列出不等式，求得结果．【解答】∵0.8×100＝80，∴喝酒后驾驶员100mL血液中酒精含量为80mg，则n小时后的血液中酒精含量为80×（1﹣20%）n＝160×0.7n，故选：C．6．若函数f（x）＝x3+（2﹣a）x2+x+1在其定义域上不单调，则实数a的取值范围为（）A．a＜1或a＞4B．a≥4C．1＜a＜4D．1≤a≤4【分析】求出函数的导数，得到f′（x）＝0有变号零点，结合二次函数的性质可求．解：f′（x）＝3x2+2（2﹣a）x+，若函数f（x）＝x3+（2﹣a）x2+x+1在其定义域上不单调，故△＝4（7﹣a）2﹣4a＞0，解得：a＞7或a＜1，故选：A．7．函数f（x）＝ln的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】先根据函数奇偶性的概念可判断出函数f（x）为奇函数，于是排除选项A和D；再对比选项B和C，只需计算x＝时的函数值y，并与0比较大小即可作出选择．解：因为f（﹣x）＝ln＝﹣ln＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A 和D；又因为f（）＝ln＝ln＜0，所以排除选项C，故选：B．8．已知函数f（x）＝，若f（log3x）﹣f（log x）≤2f（1），则x的取值范围为（）A．≤x≤1B．≤x≤3C．x≥D．0＜x≤3【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在R上为增函数，据此可得原不等式等价于f（log3x）≤f（1），则有log3x≤1，解可得x的取值范围，即可得答案．解：根据题意，f（x）＝＝e x﹣e﹣x，其定义域为R，有f（﹣x）＝e x﹣e﹣x＝﹣（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），函数f（x）为奇函数，f（log3x）﹣f（log x）≤2f（1）⇒f（log3x）﹣f（﹣log3x）≤8f（1）⇒f（log3x）≤f （1）⇒log3x≤1⇒0＜x≤3，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列四个命题中，为假命题的是（）A．∃x∈（0，1），2x＝B．“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+x﹣1＜0”C．“函数f（x）在（a，b）内f′（x）＞0”是“f（x）在（a，b）内单调递增”的充要条件D．已知f（x）在x0处存在导数，则“f'（x0）＝0”是“x0是函数f（x）的极值点”的必要不充分条件【分析】根据各命题对应的知识逐个判断即可解出．对于A，利用导数判断其单调性，再根据零点存在性定理即可判断；对于B，由全称命题的否定是特称命题即可判断；对于C，根据函数的单调性与导数的关系即可判断；对于D，根据极值存在的条件即可判断；解：对于A，设f（x）＝2x﹣，x∈（0，1），因为f′（x）＝2x ln3+＞0，所以f（x）在（0，1）上单调递增，而f（）＝﹣2＜0，f（1）＝1＞4，∴f（）f （1）＜0，对于B，“∀x∈R，x2+x﹣1＞4”的否定是“∃x∈R，x2+x﹣1≤0”B不正确；对于D，因为f（x）在x6处存在导数，根据极值点的定义可知，但是“f'（x0）＝0”不一定可以推出“x2是函数f（x）的极值点”，但是x＝0不是函数f（x）的极值点，D正确．故选：BC．10．已知函数f（x）＝a+，则（）A．对于任意实数a，f（x）在（﹣∞，0）上均单调递减B．存在实数a，使函数f（x）为奇函数C．对任意实数a，函数f（x）在（0，+∞）上函数值均大于0D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）＞1的解集为（0，2）【分析】根据各选项条件，逐一判断即可解出．对于A，判断函数f（x）的导数在（﹣∞，0）上的符号即可；对于B，根据奇函数的定义即可求出是否存在这样的实数；对于C，赋值即可判断；对于D，根据方程的根与不等式的解集端点的关系即可判断．解：对于A，当x∈（﹣∞，0），f′（x）＝＜0，所以，对于任意实数a，f（x）在（﹣∞，0）上均单调递减，A正确；a+＝﹣（a+），变形可得，2a＝1，解得a＝，对于C，取a＝﹣10，f（1）＝﹣2＜0，C不正确；故选：ABD．11．为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y＝（）x﹣a（a为常数），则（）A．当0≤x≤0.2时，y＝5xB．当x＞0.2时，y＝（）x﹣0.1C．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg以下D．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg以下【分析】利用待定系数法求出函数解析式，并根据函数解析式计算药含量变化情况．解：当0≤x≤0.2时，设y＝kx，则1＝0.7k，故k＝5，故A正确；当x＞0.2时，把（0.2，1）代入y＝（）x﹣a可得：（）0.2﹣a＝2，∴a＝0.2，故B错误；故选：AD．12．已知函数f（x）＝x﹣（x﹣1）lnx，下述结论正确的是（）A．f（x）存在唯一极值点x0，且x0∈（1，2）B．存在实数a，使得f（a）＞2C．方程f（x）＝﹣1有且仅有两个实数根，且两根互为倒数D．当k＜1时，函数f（x）与g（x）＝kx的图象有两个交点【分析】对f（x）求导得f′（x）＝，设g（x）＝1﹣xlnx，x∈（0，+∞），求导数分析g（x）单调性；根据各选项条件，逐一判断即可．对于选项A，由g（x）在（1，2）上单调性，且g（1）＞0，g（2）＜0，推出g（x）在区间（1，2）内存在零点x0，进而函数f（x）存在唯一极值点x0，且x0∈（1，2），A正确；对于选项B，令h（x）＝f（x）﹣2＝x﹣（x﹣1）lnx﹣2，只需分析存在实数a，h（x）＞0，即可确定选项B是否正确．对于C选项，方程f（x）＝﹣1的根⇔f（x）+1＝0的根⇔x﹣（x﹣1）lnx+1＝0的根，设p（x）＝x﹣（x﹣1）lnx+1，只需确定函数p（x）的零点个数，即可确定选项C是否正确．对于D选项，函数f（x）与g（x）＝kx的图象交点⇔方程x﹣（x﹣1）lnx＝kx的根⇔＝k的根，令q（x）＝，只需分析q（x）的零点为2个时，k的取值范围，即可确定D是否正确．解：函数f（x）＝x﹣（x﹣1）lnx，x∈（0，+∞）；则f′（x）＝1﹣lnx﹣＝；g′（x）＝﹣lnx﹣1在（，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，又g（1）＝4＞0，g（2）＝1﹣2ln2＝6﹣ln4＜1﹣lne＝0，所以函数f（x）存在唯一极值点x0，且x0∈（1，3），A正确；h′（x）＝1﹣lnx﹣＝；g（x）max＝g（）＝1﹣ln＝1+lne＞4，再结合A选项可知，g（x）有唯一的零点x0∈（1，2），且1﹣x0lnx0＝7，即lnx0＝当x∈（x5，+∞）时，g（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，＝x0+lnx0﹣3＝x0+﹣3，x0∈（1，2），所以h（x）max＜0，对于C选项，方程f（x）＝﹣2的根⇔f（x）+1＝0的根，设p（x）＝x﹣（x﹣1）lnx+1，由g（x）＝1﹣xlnx的单调性可知，x→0时，g（x）→2；x→+∞时，g（x）→﹣∞．所以当x∈（0，x0）时，g（x）＞3，p′（x）＞0，p（x）单调递增，所以p（x）max＝h（x0）＝x0﹣（x0﹣2）lnx0+1＝x2﹣x0lnx0+lnx0+1＝x0﹣1+lnx0+1所以p（x）＝x0+lnx0＞0，所以函数p（x）有两个零点，所以m﹣（m﹣2）lnm+1＝0，p（）＝﹣（﹣1）ln+1＝+（﹣6）lnm+1把①代入，得，对于D选项，即为＝k的根，q′（x）＝＝，t′（x）＝﹣1﹣＜0，又t（1）＝0，在（1，+∞）上，t（x）＜0，q′（x）＜3，q（x）单调递减，所以当k＜1时，q（x）有两个零点，即函数f（x）与g（x）＝kx的图象有两个交点．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【分析】由集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，A⊆B，由集合包含关系的定义比较两个集合的端点可直接得出结解：∵集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，∴a≥2，故答案为[8，+∞）14．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数y＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，当x∈（﹣1.5，3]时，函数y＝[]的值域为{﹣2，﹣1，0}．【分析】直接利用函数的取整问题和根类讨论思想的应用求出结果．解：由于[x]表示不超过实数x的最大整数，所以：当x∈（﹣1.5，0）时，＝﹣2，当x∈[2，3]时，．故答案为：{﹣2，﹣8，0}．15．设x1满足2x+2x＝3，x2满足22﹣x＝2x﹣1，则x1+x2＝2．【分析】令t＝2﹣x2得到2t+2t＝3，利用函数y＝2x+2x+3在（0，+∞）上单调递增，可得t＝x1，即2﹣x2＝x1，故可求得答案．解：因为x2满足24﹣x＝2x﹣1，即有＝2x2﹣1，令t＝2﹣x2，则x2＝2﹣t，则＝2x2﹣4可化为2t＝2（2﹣t）﹣1，即2t+3t＝3，因为函数y＝2x+2x+3在（0，+∞）上单调递增，又因为3t+2t＝3，即2﹣x7＝x1，故答案为：2．16．已知λ∈R，函数f（x）＝，当λ＝0时，不等式f（x）＜0的解集是（﹣2，1）；若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是λ＜﹣2或0≤λ＜1．【分析】（1）分情况解不等式组求出x的范围；（2）对λ的取值范围进行讨论，得出f（x）的零点个数，得出答案．解：（1）λ＝0时，由f（x）＜0可得：或，解得0＜x＜3或﹣2＜x≤0，∴f（x）＜0的解集是（﹣2，5）．①若λ＜﹣2，则f（x）在（﹣∞，λ]上无零点，在（λ，+∞）上有两个零点0，1，符合题意；②若﹣6≤λ＜0，则f（x）在（﹣∞，λ]上有1个零点﹣2，在（λ，+∞）上有两个零点0，1，不符合题意；③若0≤λ＜3，则f（x）在（﹣∞，λ]上有1个零点﹣2，在（λ，+∞）上有1个零点1，符合题意；④λ≥4，则f（x）在（﹣∞，λ]上有1个零点﹣2，在（λ，+∞）上无零点，不符合题意；综上，λ＜﹣2或0≤λ＜4．故答案为：（﹣2，1），λ＜﹣2或0≤λ＜7．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，0＜x＜3}．（1）若m＝1，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝1代入，利用根式内部的代数式大于等于0求解x的范围可得A，求解指数函数的值域得到B，取并集得答案；（2）利用根式内部的代数式大于等于0求解x的范围可得A，由（1）可得B，再由q 是p的必要不充分条件，得A⫋B，转化为两集合端点值间的关系求解m的范围．解：（1）若m＝1，由x（2﹣x）≥0，得x（x﹣2）≤3，解得0≤x≤2．∴A＝[0，2]，∴B＝（1，4）．（2）由（x﹣m+1）（m+1﹣x）≥0，可得m﹣7≤x≤m+1．由（1）知B＝（1，8），则，解得2＜m＜7．∴实数m的取值范围是（2，7）．18．已知函数f（x）＝x3+2x2+x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有3个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导得f′（x），令f′（x）＝0得x＝﹣或x＝﹣1，列表格分析随着x变化f′（x），f（x）变化情况，进而得出极值．（2）由（1）可知要使得函数f（x）有3个零点，只需，进而解出a的取值范围．解：（1）f′（x）＝3x2+8x+1，令f′（x）＝3x2+4x+1＝0，解得x＝﹣或x＝﹣5，x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，﹣）﹣（﹣，+∞）f′（x）+0﹣8+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，当x＝﹣1时，f（x）取得极大值a，当x＝﹣时，f（x）取得极小值a﹣．只需，解得0＜a＜．19．已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝e x+x﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）若存在k∈[﹣1，1]，使不等式f（t2+t+k）+f（﹣2t2+2kt+3）＜0成立，求实数t的取值范围．【分析】（1）根据函数的奇偶性求出函数的解析式即可；（2）问题等价于f（t2+t+k）＜f（2t2﹣2kt﹣3），即t2+t+k＜2t2﹣2kt﹣3，于是原问题可化为，存在k∈[﹣1，1]，使得g（k）＝（1+2t）k﹣t2+t+3＜0有解，只需g（1）＜0或g（﹣1）＜0，得到关于t的不等式，解出即可．解：（1）由x＜0，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（e﹣x﹣x﹣1）＝﹣e﹣x+x+1，（6）当x≥0时，f′（x）＝1+e x＞0，又f（x）是R的奇函数，故f（x）在R递增，即t2+t+k＜2t2﹣2kt﹣3，于是原问题可化为，只需g（5）＜0或g（﹣1）＜0，由g（﹣1）＝t2﹣t+2＜0，解得：t＞1或t＜﹣3，故t＞1或t＜﹣1．20．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣alnx．（1）若函数f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，证明：f（x）≥a﹣alna．【分析】（1）由题意得，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立⇒a≤xe x﹣1在（0，+∞）上恒成立，只需a≤g（x）最小值即可．令g（x）＝xe x﹣1，求导数，分析函数g（x）的单调性，得出g（x）的最小值，进而得出答案．（2）当a＞0时，f′（x）＝，由（1）知函数g（x）＝xe x﹣1在（0，+∞）上单调递增且g（x）∈（0，+∞），⇒存在唯一的x0＞0满足x0e＝a⇒e＝⇒x0﹣1＝lna﹣lnx0，且f（x0）为f（x）在（0，+∞）上取到最小值⇒f（x0）＝+ax0﹣a ﹣alna＝a﹣alna，不等式得证．解：（1）由题意得，f′（x）＝e x﹣1﹣≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≤xe x﹣1在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）＝xe x﹣1在（2，+∞）上单调递增，（2）证明方法一：当a＞0时，f′（x）＝e x﹣1﹣＝，因此，存在唯一的x0＞7满足x0e＝a，因此f（x8）为f（x）在（0，+∞）上的极小值，也是最小值．因为x0e＝a，所以e＝，x0﹣1＝lna﹣lnx0，证明方法二：g′（x）＝e x﹣1﹣1，在（3，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）≥0，即e x﹣1≥x，令h（x）＝x﹣alnx，（a＞0，x＞0）所以在（0，a）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）min＝h（a）＝a﹣alna，由①②得e x﹣4﹣alnx≥a﹣alna．21．某科技公司2019年实现利润8千万元，为提高产品竞争力，公司决定在2020年增加科研投入．假设2020年利润增加值y（千万元）与科研经费投入x（千万元）之间的关系满足：①y与（x+）成正比，其中t为常数，且t∈[1，16]；②当x＝2时，y＝4+t；③2020年科研经费投入x不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求2020年利润增加值y的最大值以及相应的x的值．【分析】（1）设y＝k（x+），结合当x＝2时，y＝4+t列式求得k值，可得函数解析式，再由题意求出x的范围可得函数定义域；（2）令y＝f（x）＝2x+，x∈[2，6]，t∈[1，16]．求得函数的导函数，然后对t分类可得y＝2x+在[2，6]上的单调性，然后求解最值，并求得相应的x值．解：（1）设y＝k（x+），当x＝2时，y＝k（2+）＝4+t，得k＝7．∴y＝2x+．∴函数定义域为x∈[2，6]．（5）令y＝f（x）＝2x+，x∈[2，6]，t∈[1，16]．当6≤t≤4时，y′≥0恒成立，y＝2x+在[2，8]上单调递增，当4＜t≤16时，y′＝．此时y max＝max{f（2），f（6）}．∴f（6）﹣f（2）＝12+﹣（4+t）＝8﹣；当12＜t≤16时，8﹣＜0，f（6）＜f（8），y max＝f（2）＝4+t．当12＜t≤16时，科研经费投入2千万元，利润增加值y的最大值为（4+t）千万元．22．已知函数f（x）＝lnx+a（x2﹣x），a∈R．（1）讨论函数f（x）极值点的个数；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜﹣3﹣4ln2．【分析】（1）求导得f′（x）＝，x＞0，分当a＝0时，当a≠0时两大类情况讨论导数的正负，f（x）函数的单调性，进而得极值点个数．其中当a≠0时，令g （x）＝2ax2﹣ax+1＝0，△＝a2﹣8a时，在分△＞0，△＝0，△＜0三种情况讨论函数g （x）的正负，即f′（x）的正负，函数f（x）的单调性，进而得极值点个数．（2）由（1）知，当a＞8时，函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1+x2＝，x1x2＝，再代入f（x1）+f（x2）化简得f（x1）+f（x2）＝﹣ln（2a）﹣﹣1，a＞8，再令h（a）＝﹣ln（2a）﹣﹣1，a＞8，求导分析单调性得，h（a）的最大值，进而得出结论．解：（1）f′（x）＝+a（2x﹣1）＝，x＞0，当a＝0时，f′（x）＝＞6，f（x）在（0，+∞）单调递增，没有极值点．方程g（x）＝2ax2﹣ax+1＝0的两根为x1，x2，且x2＜x2，知g（x）＝0的两根x1，x2，满足x5＜0＜＜x5，当x∈（x2，+∞），g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，若0＜a≤4时，则△≤0，g（x）＝2ax2﹣ax+3≥0，即f′（x）≥0恒成立，若a＞8时，则△＞0，注意到g（4）＝1，x1+x2＝，当x∈（0，x1），g（x）＞0，f′（x）＞8，f（x）单调递增，当x∈（x2，+∞），g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，综上：当a＜0时，f（x）有一个极值点，当a＞4时，f（x）有两个极值点．且x1+x2＝，x1x8＝，＝ln（x1x2）+a（x5+x2）2﹣2ax7x2﹣a（x1+x2）＝﹣ln（2a）﹣﹣5，a＞8，则h′（a）＝（﹣ln2﹣lna﹣﹣1）′＝﹣﹣＜0，所以h（a）＜h（8）＝﹣3﹣4ln2，所以f（x1）+f（x4）＜﹣3﹣4ln2．。
烟台市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．6(x展开式中常数项为( ) A ．160-B ．160C ．240-D ．2402．已知定义在R 上的连续奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()0f x f x x'+>，则使得()()()2213310xf x x f x +-->成立的x 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()11,1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,15⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),1-∞3．已知复数2i3iz =-,则z 的共轭复数z =() A ．13i 55-- B ．13i 55-+ C ．1355i + D ．13i 55- 4． “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。
2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的 A ．甲辰年B ．乙巳年C ．丙午年D ．丁未年5．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（ ） A ．0795B ．0780C ．0810D ．08156．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（ ） A ．18B ．24C ．30D ．367．极坐标系内,点1,2π⎛⎫⎪⎝⎭到直线cos 2ρθ=的距离是( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．若如下框图所给的程序运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）A ．7?k =B ．6?k ≤C ．6?k <D ．6?k >9．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ） A ．12B ．22C ．1D 210．若22,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭是极坐标系中的一点，则8552,,2,,2,,2,3333Q R M N ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四个点中与点P 重合的点有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．设函数23()ln 2f x x ax =-+，则“22e a <”是“()0f x =有4个不同的实数根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件12．已知集合{}1,2A =，{}1,3,B m =，若{}1,2,3,4A B =，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．在61()x x-的展开式中的常数项为_______.14．命题“如果3x y +>，那么1x >且2y >”的逆否命题是______．15．()()2221z m m i m R =-+-∈，其共轭复数z 对应复平面内的点在第二象限，则实数m 的范围是____．16．若()()521x a x ++的展开式的各项系数之和为96，则该展开式中5x 的系数为______.（用数字填写答案）三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()ln f x x a x =-，a R ∈（）. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）设1()a g x x+=-，若不等式()()f x g x >对任意[]1e x ∈，恒成立，求a 的取值范围.18．函数f(x)对任意的m ，n R ∈，都有()()()1f m n f m f n +=+-，并且0x >时，恒有()1f x > (1)求证：f(x)在R 上是增函数(2)若(6)4f =，解不等式2(4)2f a a +-<19．（6分）已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E 过点()0,3C ，离心率为12. （1）求椭圆E 的方程；（2）设过定点02T （，）的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A B 、，且·0OA OB >，求直线l 的斜率k 的取值范围；20．（6分）已知数列{}n a 满足11a =，122n n n a a +=-+.（Ⅰ）证明：数列{}2nn a +是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .21．（6分）某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为n )进行统计，按[)[)[)50,60,60,70,70,80[)[]80,90,90,100分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[)[]50,60,90,100的数据).（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的,x y（2）在选取的样本中,从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取3株,设随机变量X 表示所抽取的3株高度在 [)80,90 内的株数,求随机变量X 的分布列及数学期望.22．（8分）已知矩阵1101M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.（1）求直线31yx 在M 对应的变换作用下所得的曲线方程；（2）求矩阵M 的特征值与特征向量.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】 求出6(x展开式的通项公式，然后进行化简，最后让x 的指数为零，最后求出常数项.【详解】 解:36622166(2)(2)r r r rrr rr TC xxC x---+=-=-，令4r =得展开式中常数项为446(2)240C -=，故选D.【点睛】本题考查了求二项式展开式中常数项问题，运用二项式展开式的通项公式是解题的关键. 2．C 【解析】 【分析】根据0x >时()()0f x f x x'+>可得：()()0xf x f x '+>；令()()g x xf x =可得函数在()0,∞+上单调递增；利用奇偶性的定义可证得()g x 为偶函数，则()g x 在(),0-∞上单调递减；将已知不等式变为()()231g x g x >-，根据单调性可得自变量的大小关系，解不等式求得结果.【详解】当0x >时，()()0f x f x x'+> ()()0xf x f x '∴+>令()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递增()f x 为奇函数 ()()()()g x xf x xf x g x ∴-=--== ()g x ∴为偶函数则()g x 在(),0-∞上单调递减()()()2213310xf x x f x ∴+-->等价于()()231g x g x >-可得：231x x >-，解得：115x << 本题正确选项：C 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题，关键是能够构造函数，根据导函数的符号确定所构造函数的单调性，并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性，从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较. 3．A 【解析】对复数z进行化简，然后得到z，再求出共轭复数z. 【详解】因为2i3iz=-，所以()22313955i iz ii+==-+-，所以z的共轭复数1355 z i =--故选A项.【点睛】本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于简单题.4．C【解析】【分析】按照题中规则依次从年列举到年，可得出答案。
基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数()y f x =的图像如下图所示，则函数()'y f x =的图像有可能是（）A ．B ．C ．D ．2．在Rt△ABC 中，AC=1，BC=x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x 的取值范围是（ ） A ．(0,3]B ．2(,2]C ．(3,23]D ．（2，4]3．若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则2x y +的最大值为A ．2B ．6C ．7D ．84．用数学归纳法证明()*1111N ,12321n n n n ++++<∈>-时，第一步应验证不等式（ ） A ．1122+< B ．111223++< C ．111323++< D ．11113234+++< 5．若P 为两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） A ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面6．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（ ） A ．1320B ．920C ．15D ．1207．在等比数列中，，公比为，前项和为，若数列也是等比数列，则等于A ．B ．C ．D ．8．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（ ） A ．141种B ．140种C ．51种D ．50种9．已知21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数和为32,则展开式中4x 的系数( ) A ．5B ．40C ．20D ．1010．已知点P 在椭圆221123x y +=上，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，1PF 的中点在y 轴上，则12||||PF PF 等于（ ） A ．7B ．5C ．4D ．311．某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有（ ） A ．20种B ．15种C ．10种D ．4种12．下面给出了四种类比推理：①由实数运算中的=⋅⋅a b b a 类比得到向量运算中的=⋅⋅a b b a ；②由实数运算中的 (⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)类比得到向量运算中的(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)； ③由向量a 的性质22||=a a 类比得到复数z 的性质22||z z =；④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义； 其中结论正确的是 A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④二、填空题：本题共4小题13．已知棱长为1的正四面体P ABC -，PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成角的取值范围为____________；14．设2(5,2)N ξ~，则(37)P ξ<≤=__________． 15．在复数范围内解方程23||()2iz z z i i-++=+（i 为虚数单位），z =________ 16．定积分)2x dx =⎰__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
烟台市2019-2020学年数学高二下期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示的电路有a ，b ，c ，d 四个开关，每个开关断开与闭合的概率均为12且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为（ ）A ．116B ．18C ．316D ．14【答案】C 【解析】 【分析】由独立事件同时发生的概率公式计算．把,c d 组成一个事整体，先计算它通路的概率． 【详解】记,c d 通路为事件M ，则213()1()24P M =-=， 所以灯泡亮的概率为113322416P =⨯⨯=． 故选：C. 【点睛】本题考查相互独立 事件同时发生的概率，由独立事件的概率公式计算即可．2．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于,,a b c D ∀∈，(),(),()f a f b f c 分别为某三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①()(0)xf x e x =>②2()3(01)f x x x =+≤≤③12()(14)f x x x =≤≤④22()21x xf x +=+.其中为“三角形函数”的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据构成三角形条件，可知函数需满足max min min ()()()f x f x f x -<，由四个函数解析式，分别求得其值域，即可判断是否满足不等式成立. 【详解】根据题意，对于,,a b c D ∀∈，(),(),()f a f b f c 分别为某三角形的三边长，由三角形性质可知需满足max min min ()()()f x f x f x -<：对于①，()(0)xf x e x =>，如当1,1,10a b c ===时不能构成三角形，所以①不是“三角形函数”；对于②，2()3(01)f x x x =+≤≤，则[]()3,4f x ∈，满足max min min ()()()f x f x f x -<，所以②是“三角形函数”；对于③，12()(14)f x x x =≤≤，则[]()1,2f x ∈，当1,1,2a b c ===时不能构成三角形，所以③不是“三角形函数”；对于④，221()12121x x xf x +==+++，由指数函数性质可得()()1,2f x ∈，满足max min min ()()()f x f x f x -<，所以④是“三角形函数”；综上可知，为“三角形函数”的有②④， 故选：B. 【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，函数值域的求法，三角形构成的条件应用，属于中档题. 3．若a R ∈，则“复数32aiz i-=的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“0a >”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先将复数z 化简成z a bi =+形式，得其共轭复数，通过对应的点在第二象限求出a 的取值范围，即可判断与0a >的关系． 【详解】22323223ai i ai z a i i i--===--，所以共轭复数23z a i =-+， 因为共轭复数在复平面内对应的点在第二象限 所以20a -<，解得0a > 所以“复数32aiz i-=的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“0a >” 充要条件，故选C 【点睛】本题考查复数的基本运算与充要关系，解题的关键是先通过条件求出a 的取值范围，属于一般题． 4．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．1y x=-B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．3y x =D ．2log y x =【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义，代入-x 检验即可判断是奇函数或偶函数；根据基本初等函数的图像即可判断函数是否为增函数． 【详解】 A ．1y x=-在定义域上既不是增函数，也不是减函数； B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数； C ．3y x = 在其定义域上既是奇函数又是增函数； D ．2log y x =在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数， 故选C ． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及单调性的简单应用，属于基础题．5．二项式6ax ⎛+ ⎝⎭的展开式中5x20ax dx =⎰（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理的展开式可得a ，再利用微积分基本定理即可得出． 【详解】 二项式（ax6的展开式中通项公式：T r+2=663()r r-（ax ）r ，令r=2，则T 6=56a 2x 2．∵x 256×6a 2，解得a=2． 则0a⎰x 2dx=1⎰x 2dx=3101|3x =13． 故选：A ．【点睛】用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加6．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2019，则输出的y 值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1【答案】C 【解析】 【分析】读懂流程图，可知每循环一次，x 的值减少4，当0x <时，得到2xy =的值.【详解】根据流程图，可知每循环一次，x 的值减少4，输入2019x =，因为2019除以4余3，经过多次循环后3x =，再经过一次循环后1x =-满足0x <的条件， 输出11222xy -===【点睛】流程图的简单问题，找到循环规律，得到x 的值，得到输出值.属于简单题. 7．已知,,a b c ∈R ，命题“若22233a b c a b c ++=++≥，则”的否命题是 A ．若3a b c ++≠，则2223a b c ++<B ．若3a b c ++=，则2223a b c ++<C ．若3a b c ++≠，则2223a b c ++≥D ．若3a b c ++≥，则3a b c ++=【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】根据否命题的定义：即否定条件又否定结论， 命题“若a+b+c=3，则a 2+b 2+c 2≥3”的否命题是 “若a+b+c≠3，则a 2+b 2+c 2＜3” 故选A 8．已知复数21iz i+=+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 因为2(2)(1)31222i i i i z i ++-===-+，所以复数z 在复平面内对应的点为31(,)22-，在第四象限，选D.9．某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响.现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为（ ） A ．0.5 B ．0.48C ．0.4D ．0.32【答案】B 【解析】 【分析】事件“第一次投进球”和“第二次投进球”是相互独立的，利用对立事件和相互独立事件可求“其中一名同学得2分”的概率. 【详解】设“第一次投进球”为事件A ，“第二次投进球”为事件B ，则得2分的概率为()()0.4p P AB P AB =+=⨯0.60.60.40.48+⨯=.故选B .【点睛】本题考查对立事件、相互独立事件，注意互斥事件、对立事件和独立事件三者之间的区别，互斥事件指不同时发生的事件，对立事件指不同时发生的事件且必有一个发生的两个事件，而独立事件指一个事件的发生与否与另一个事件没有关系.10．二项式()521x -的展开式的各项中，二项式系数最大的项为( )A ．20xB ．20x 和240x -C ．240x -和380xD ．380x【答案】C 【解析】 【分析】先由二项式，确定其展开式各项的二项式系数为5kC (0,1,2,3,4,5)k =，进而可确定其最大值.【详解】因为二项式()521x -展开式的各项的二项式系数为5kC (0,1,2,3,4,5)k =，易知当2k =或3时，5kC 最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第三项和第四项. 故第三项为252522352(1)80C x x ---=；第四项为353533252(1)40C x x ---=-.故选C 【点睛】本题主要考查二项式系数最大的项，熟记二项式定理即可，属于常考题型.11．己知命题P ：单位向量的方向均相同，命题q ：实数a 的平方为负数。
烟台市2019-2020学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，{}1,3,4A =，{}0,1,2B =，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}0B ．{}2C ．{}0,2D ．{}0,2,42．已知31log 2a =，1413b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b>>B ．c b a>>C ．b c a>>D ．b a c>>3．函数()232lg 1x x f x x ++=+的定义域为（）A ．()2,1--B ．(]2,3-C ．()()13,31,⋃---D ．()(]12,31,⋃---4．已知函数()221f x x ax a +++=为偶函数，则()f x 在1x =处的切线方程为（）A ．20x y -=B ．210x y -+=C ．220x y -+=D ．210x y --=5．根据我国《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，车辆驾驶人员100mL 血液中酒精含量在[)20,80（单位：mg ）即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL ，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，为避免酒后驾车，他至少经过n 小时才能开车，则n 的最小整数值为（）A ．5B ．6C ．7D ．86．若函数()()32213af x x a x x +-++=在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围为（）A ．1a <或4a >B ．4a ≥C ．14a <<D ．14a ≤≤7．函数()1ln1xf x x-+=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()21x xe f ex -=，若()()313log log 21f x f x f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为（）A ．113x ≤≤B ．133x ≤≤C ．13x ≥D ．03x <≤二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列四个命题中，为假命题的是（）A ．()0,1x ∃∈，12x x=B ．“x ∀∈R ，210x x +->”的否定是“x ∃∈R ，210x x +-<”C ．“函数()f x 在(),a b 内()0f x >”是“()f x 在(),a b 内单调递增”的充要条件D ．已知()f x 在0x 处存在导数，则“()00f x '=”是“0x 是函数()f x 的极值点”的必要不充分条件10．已知函数()121x f x a =+-，则（）A ．对于任意实数a ，()f x 在(),0-∞上均单调递减B ．存在实数a ，使函数()f x 为奇函数C ．对任意实数a ，函数()f x 在()0,∞上函数值均大于0D ．存在实数a ，使得关于x 的不等式()1f x >的解集为()0,211．为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量y （单位：mg ）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y 与x 成正比；药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为18x ay -⎛⎫⎪⎝⎭=（a 为常数），则（）A ．当00.2x ≤≤时，5y x=B ．当0.2x >时，0.118x y -⎛⎫⎪⎝⎭=C ．2330小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg 以下D ．1315小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg 以下12．已知函数()()1ln f x x x x --=，下述结论正确的是（）A ．()f x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈B ．存在实数a ，使得()2f a >C ．方程()1f x =-有且仅有两个实数根，且两根互为倒数D ．当1k <时，函数()f x 与()g x kx =的图象有两个交点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设集合{}02A x x =<<，{}B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为________．14．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数[]y x =称为高斯函数，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，当(]1.5,3x ∈-时，函数22x y ⎡-=⎤⎢⎥⎣⎦的值域为________．15．设1x 满足223x x +=，2x 满足2221x x -=-，则12x x +=________．16．已知λ∈R ，函数()32,2,x x x f x x x λλ⎧->=⎨--≤⎩，当0λ=时，不等式()0f x <的解集是________；若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是________．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合{A x y ==，{}2,03xB y y x ==<<．（1）若1m =，求A B ⋃；（2）设p ：x A ∈，q ：x B ∈，若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知函数()()322f x x x x a a +++=∈R ．（1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 有3个零点，求a 的取值范围．19．（12分）已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()1xf x e x =+-．（1）求()f x 的解析式；（2）若存在[]1,1k ∈-，使不等式()()222230f t t k f t kt +++++<-成立，求实数t 的取值范围．20．（12分）已知函数()1ln x f x ea x --=．（1）若函数()f x 在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，证明：()ln f x a a a -≥．21．（12分）某科技公司2019年实现利润8千万元，为提高产品竞争力，公司决定在2020年增加科研投入．假设2020年利润增加值y （千万元）与科研经费投入x （千万元）之间的关系满足：①y 与t x x ⎛⎫⎪⎝⎭+成正比，其中t 为常数，且[]1,16t ∈；②当2x =时，4y t =+；③2020年科研经费投入x 不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）求2020年利润增加值y 的最大值以及相应的x 的值．22．（12分）已知函数()()2ln f x x a x x +-=，a ∈R ．（1）讨论函数()f x 极值点的个数；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()1234ln 2f x f x +<--．2019-2020学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学参考答案一、单项选择题1．C2．B3．D4．A 5．C6．A 7．B8．D二、多选题9．BC10．ABD11．AD12．ACD三、填空题13．2a ≥14．{}2,1,0--15．216．()2,1，2λ<-或01λ≤<注：16题第一空写作：(]()2,00,1-⋃，也给分．四、解答题17．解：（1）若1m =，由()20x x -≤，解得02x ≤≤，所以[]0,2A =．当03x <<时，18y <<，所以()1,8B =．所以[)0,8A B ⋃=．（2）由()()110x m m x -++≥-，可得11m x m -≤≤+，所以集合[]1,1A m m =-+，由（1）知()1,8B =，因为q 是p 的必要不充分条件，则A B Þ．所以1118m m ->⎧⎨+<⎩，解得27m <<．18．解：（1）()2341f x x x '++=，令()23410f x x x '++==，解得13x =-或1x =-，则有：x(),1-∞-1-11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭13-1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x '+-+()f x 单增极大值单减极小值单增所以，当1x =-时，()f x 取得极大值a ，当13x =-时，()f x 取得极小值427a -．（2）要使函数()f x 有3个零点，只需04027a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩，解得4027a <<．19．解：（1）当0x <，0x ->，又因为()f x 是奇函数，所以()()()11x x f x f x e x e x ----=-=-=-++-，所以()1,01,0xxe x xf x x e x -⎧+-≥⎪=⎨+-<⎪⎩．（2）当0x ≥时，()10xf x e =+'>，所以()f x 在[)0,+∞上是增函数．又()f x 是为R 的奇函数，所以()f x 在(),-∞+∞上是增函数．于是()()222230f t t k f t kt +++++<-等价于()()22223f t t k f t kt +-<+-，即22223t t k t kt ++<--．于是原问题可化为，存在[]1,1k ∈-，使得()()21230g k t k t t +-++<=有解．只需()10g <或()10g -<，由()21340g t t ++-<=得4t >或1t <-，由()2120g t t --+<=得1t >或2t <-，故1t <-或1t >．20．（1）由题意，()10x af x e x-'-≥=在()0,+∞上恒成立．即1x a xe -≤在()0,+∞上恒成立．令()1x g x xe-=，则()()110x g x x e-'+>=，所以()1x g x xe-=在()0,+∞上单调递增．于是()()00g x g >=，所以0a ≤．（2）当0a >时，()11x x a xe a f x ex x---'-==由（1）知，函数()1x g x xe -=在()0,+∞单增，且()()0,g x ∈+∞．因此，存在唯一的00x >满足010x x e a -=，且当00x x <<时，10x xe a --<，即()0f x '<；当0x x >时，10x xe a -->，即()0f x '>．因此()0f x 为()f x 在()0,+∞上的极小值，也是最小值．下证：()0ln f x a a a -≥．因为010x x ea -=，所以010x ae x -=，001ln ln x a x -=-，于是()0100ln x f x e a x --≥()0000ln 1ln a aa a x ax a a a x x =--+=+--ln ln a a a a a a ≥--=-，不等式得证．21．（1）设t x x y k ⎛⎫= ⎪⎝⎭+，当2x =时，4y t =+，可得2k =，所以22ty x x=+，因为x 不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%；所以定义域为[]2,6x ∈，所以y 关于x 的函数表达式为22ty x x=+，[]2,6x ∈．（2）令()22ty f x x x==+，[]2,6x ∈，[]1,16t ∈．则()222222x t t y x x -'=-=．当14t ≤≤时，0y '≥恒成立，22ty x x=+在[]2,6上单调递增，此时，()max 6123ty f ==+．当416t <≤时，(22x x y x +-'=，()f x在⎡⎣单调递减，在⎤⎦单调递增，此时，()(){}max max 2,6y f f =．又()24f t =+，()6123tf =+，所以()()()262124833t t f f t +=+--=-，当412t <≤时，2803t-≥，()()26f f >，()max 6y f =．当1216t <≤时，2803t-<，()()26f f <，()max 2y f =．综上：当112t ≤≤时，科研经费投入6千万元，利润增加值y 的最大值为123t ⎛⎫+⎪⎝⎭千万元；当1216t <≤时，科研经费投入2千万元，利润增加值1216t <≤的最大值为()4t +千万元．22．解：（1）()()212121ax ax f x a x x x-+'=+-=，0x >．当0a =时，()10f x x'=>，()f x 在()0,+∞单调递增，没有极值点；当0a ≠时，令()221g x ax ax =-+，设当280a a ∆=->时，方程()221g x ax ax =-+的两根为1x ，2x ，且12x x <．若0a <，则280a a ∆=->，注意到()01g =，1212x x +=，知()0g x =的两根1x ，2x 满足12104x x <<<．当()20,x x ∈，()0g x >，()0f x '>，()f x 单增；当()2,x x ∈+∞，()0g x <，()0f x '<，()f x 单减，所以()f x 只有一个极值点；若08a <≤，则0∆≤，()2210g x ax ax =-+≥，即()0f x '≥恒成立，()f x 在()0,+∞单调递增，所以()f x 没有极值点；若8a >，则0∆>，注意到()01g =，1212x x +=，知()0g x =的两根1x ，2x 满足12104x x <<<．当()10,x x ∈，()0g x >，()0f x '>，()f x 单增；当()12,x x x ∈，()0g x <，()0f x '<，()f x 单减；当()2,x x ∈+∞，()0g x >，()0f x '>，()f x 单增；所以()f x 有两个极值点．综上：当0a <时，()f x 有一个极值点；当08a <≤时，()f x 没有极值点；当8a >时，()f x 有两个极值点．（2）由（1）知，当8a >时，函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且1212x x +=，1212x x a=．所以()()()()2212111222ln ln f x f x x a x x x a x x =+-++-+()()()212121212ln 2x x a x x ax x a x x =++--+()1ln1ln 21244a aa a =--=---，8a >，令()()ln 214ah a a =---，8a >．则()ln 2ln 141104a a h a a '⎛⎫==--< ⎪⎭-⎝'---，所以()h a 在()8,+∞单调递减，所以()()834ln 2h a h <=--，所以()()1234ln 2f x f x +<--．。
